(가) 두 집합 \(X, Y\)에서 함수 \(f: X \to Y\)가 일대일대응이면, \(Y\)의 각 원소 \(y\)에 대응하는 \(X\)의 원소 \(x\)는 오직 하나 존재한다. 이때 \(Y\)의 각 원소 \(y\)에 \(y = f(x)\)인 \(X\)의 원소 \(x\)를 대응시키면 \(Y\)를 정의역, \(X\)를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있다. 이 함수를 \(f\)의 역함수라고 한다.
(나) 미분가능한 함수 \(g(t)\)에 대하여 \(x = g(t)\)로 놓으면 \(\int f(x)\,dx = \int f(g(t))g'(t)\,dt\)
(다) 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 미분가능하고, \(f'(x), g'(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, \(\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx\)
(라) 삼각형의 한 꼭짓점과 그 대변의 중점을 이은 선분을 중선이라 하고, 세 중선의 교점을 삼각형의 무게중심이라고 한다. 삼각형의 무게중심은 세 중선을 꼭짓점으로부터 각각 \(2:1\)로 내분한다.
실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x) = \int_0^x (t - a)e^t\,dt\)의 극솟값을 \(g(a)\)라 하자. 구간 \(x \ge 0\)에서 함수 \(g(x)\)의 역함수를 \(h(x)\)라 하자.

(가) 함수 \(f(x)\)가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 \(x\)에 대하여
∙ \(f'(x) > 0\)이면 \(f(x)\)는 이 구간에서 증가한다.
∙ \(f'(x) < 0\)이면 \(f(x)\)는 이 구간에서 감소한다.
(나) 함수 \(f: X \to Y\)에서 정의역 \(X\)의 임의의 두 원소 \(x_1, x_2\)에 대하여 \(x_1 \ne x_2\)이면 \(f(x_1) \ne f(x_2)\)가 성립할 때, 이 함수 \(f\)를 일대일함수라고 한다.
(다) 함수 \(f(x)\)에서 \(x = a\)를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 \(x\)에 대하여
∙ \(f(x) \le f(a)\)이면 함수 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극대, 그때의 함숫값 \(f(a)\)를 극댓값이라 한다.
∙ \(f(x) \ge f(a)\)이면 함수 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극소, 그때의 함숫값 \(f(a)\)를 극솟값이라 한다.
함수 \(f(x) = \frac{2x}{1 + x^2}\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(가) 임의의 세 실수 \(a, b, c\)를 포함하는 구간에서 함수 \(f(x)\)가 연속일 때, \(\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx\)
(나) 두 직선 \(y = mx + n, y = m'x + n'\)에 대하여 두 직선이 서로 수직이면 \(mm' = -1\)이다.
(다) 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(P(a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)
최고차항의 계수가 양수 \(a\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 \(g(x) = \int_1^x f(t)\,dt\)는 \(x = -2, 0, 2\)에서 극값을 갖는다.

(가) \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C\) (단, \(C\)는 적분상수)
(나) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 미분가능한 함수 \(x = g(t)\)에 대하여 \(a = g(\alpha), b = g(\beta)\)일 때, 도함수 \(g'(t)\)가 \(\alpha, \beta\)를 포함하는 구간에서 연속이면 \(\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)\,dt\)
(다) 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(f'(a) = 0\)이고 \(x = a\)의 좌우에서
∙ \(f'(x)\)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극대이고, 극댓값은 \(f(a)\)이다.
∙ \(f'(x)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극소이고, 극솟값은 \(f(a)\)이다.
함수 \(f(x) = \frac{\cos x}{2 + \sin x}\)라 하자.

(가) 함수 \(y = f(x)\)에서 평균변화율의 극한값 \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}\)가 존재하면 \(y = f(x)\)는 \(x = a\)에서 미분가능하다고 한다.
(나) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속, \(f(x) \ge 0\)이고 \(f(a) = f(b) = 0\)일 때, 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \(S = \int_a^b f(x)\,dx\)
(다) 함수 \(f(x)\)에서 \(x = a\)를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 \(x\)에 대하여
∙ \(f(x) \le f(a)\)이면 함수 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극대, 그때의 함숫값 \(f(a)\)를 극댓값이라 한다.
∙ \(f(x) \ge f(a)\)이면 함수 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극소, 그때의 함숫값 \(f(a)\)를 극솟값이라 한다.
\(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\)일 때 함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = \left| |\tan x| - 1 \right|\)이라 하고, 삼차함수 \(p(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.
(1) 함수 \(g(x) = f(x)p(x)\)는 구간 \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)에서 미분가능하다.
(2) 함수 \(h(x) = |\tan x + p(x)|\)는 \(x = 0\)에서 미분가능하다.

(가) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이면 함수 \(F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\) (\(a \le x \le b\))는 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능하며 \(F'(x) = f(x)\)이다.
(나) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(f(x) \ge 0\)일 때, 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x = a, x = b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \(S = \int_a^b f(x)\,dx\)
(다) 두 사건 \(A, B\)에 대하여 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)일 때, 두 사건 \(A\)와 \(B\)는 서로 독립이라고 한다.
곡선 \(y = 3\sin 2x\) (\(0 \le x \le \pi\)) 위의 점 \(P(t, 3\sin 2t)\)에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(가) 함수 \(f(x)\)가 \(x = a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)
(나) 두 함수 \(f(x), g(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속일 때, 두 곡선 \(y = f(x), y = g(x)\) 및 두 직선 \(x = a, x = b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \(S = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx\)
(다) 매개변수 \(t\)로 나타내어진 곡선 \(x = f(t), y = g(t)\)에서 \(\frac{dy}{dx} = \frac{g'(t)}{f'(t)}\) (단, \(f'(t) \ne 0\))
곡선 \(C: y = \frac{1}{x}\) (\(x > 0\)) 위의 점 \(P(t, \frac{1}{t})\)에서의 접선을 \(l\), 법선을 \(m\)이라 하자.

(가) 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고, \(x = g(t)\)가 미분가능할 때, \(\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)\,dt\)
(나) \(\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx\)
(다) 함수 \(f(x) = e^{-x^2}\)에 대하여 함수 \(F(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,dt\)라 하자.

(가) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항이 \(a\), 공비가 \(r\) (\(r \ne 1\))일 때, 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합은 \(S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)
(나) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항이 \(a_n = \log_2 (1 + \frac{1}{n})\)일 때, \(\sum_{k=1}^n a_k = \log_2 (n+1)\)
(다) 삼차방정식 \(x^3 - 3x + k = 0\)의 실근의 개수는 함수 \(y = x^3 - 3x\)의 그래프와 직선 \(y = -k\)의 교점의 개수와 같다.

(가) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\)
(나) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\)
(다) 함수 \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\) (\(x > 0\))의 도함수는 \(f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}\)이다.