2027학년도 대비 광운대학교 수시모집 논술고사 문제집 [자연계열 2교시]

1. ① $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$ ② $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ③ $\sum_{k=1}^n k^3 = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$

2. 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프와 직선 $y=mx+n$의 교점의 $x$좌표는 이차방정식 $ax^2+bx+c=mx+n$, 즉 $ax^2+(b-m)x+c-n=0$의 실근과 같다.

3. 모집단이 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$을 따르는 경우, 크기가 $n$인 표본을 임의 추출하면 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $\mathrm{N}\left(m, \frac{\sigma^2}{n}\right)$을 따른다.

[1] $\sum_{k=1}^{10} k^2 + \sum_{k=2}^{10} k^2 + \sum_{k=3}^{10} k^2 + \dots + \sum_{k=9}^{10} k^2$의 값을 구하시오. (8점)

[2] $x$에 대한 이차함수 $f(x)=x^2+2(k+1)x+k+3$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 실수 $k$값에 관계없이 이차함수 $y=f(x)$의 그래프가 지나는 점의 좌표를 구하시오. (8점)

(2) 이차함수 $y=f(x)$의 그래프가 두 점 $\mathrm{A}(-1, 1), \mathrm{B}(3, 5)$를 잇는 선분 $\mathrm{AB}$와 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$값의 범위를 구하시오. (12점)

[3] 평행한 두 직선 $l$과 $m$ 위에 각각 $5$개의 점과 $7$개의 점이 그림 (a)와 같이 놓여 있다. 직선 $l$ 위의 점과 직선 $m$ 위의 점을 연결하여 서로 다른 세 개의 선분을 그을 때, 선분이 교차하지 않는 경우의 수를 구하시오. (단, 선분의 시작점이나 끝점에서 두 선분이 만나는 경우는 교차하지 않는 것으로 본다. 예를 들어 그림 (b)는 교차하지 않는 경우이고 그림 (c)는 교차하는 경우이다.) (12점)

[4] $\mathrm{K}$회사에서 생산하는 향수에 들어 있는 천연 성분의 무게는 평균 $150\,\mathrm{mg}$, 표준편차 $5\,\mathrm{mg}$인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산한 향수 중에서 임의 추출한 $100$개의 향수에 들어 있는 천연 성분의 무게의 평균을 $\overline{X}$라 할 때, $\mathrm{P}(\overline{X} \ge 300 - 5k) \le 0.98$을 만족시키는 자연수 $k$의 최댓값을 구하시오. (단, $\mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 2.05) = 0.96$) (10점)

1. 함수 $f(t)$가 실수 $a$를 포함하는 구간에서 연속이면 이 구간에 속하는 임의의 $x$에 대하여 $$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$

2. 두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능할 때, $$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$$

3. 두 함수 $f(x), g(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, $$f(x) \le g(x)\text{이면 } \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx$$

[1] 두 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$이 다음 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오. (단, $a_1=2$)

$$a_n + b_n\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^n, \quad a_n b_n = \frac{1}{4\sqrt{3}}\left\{(2+\sqrt{3})^{2n} - (2-\sqrt{3})^{2n}\right\}$$

(1) $a_n$과 $b_n$을 구하시오. (10점)

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n(a_n^2 - 3b_n^2)}{a_n}$의 값을 구하시오. (8점)

[2] 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, 방정식 $f(x)-1=0$의 근을 구하시오. (단, $0 \le x < 2\pi$) (14점)

$$f(x) + \int_0^x f(t)\,dt = x - \cos x + \frac{3}{2}$$

[3] 모든 실수 $x$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(x) > 0$이고 다음 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오.

(가) $f(0) = 1$
(나) $f(x) \le 2f'(x)$
(다) $\{f(x)\}^2 \le \int_0^x \{f(t)\}^2\,dt + 1$

(1) $\int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt = \{f(x)\}^2 - 1$이 성립함을 보이시오. (6점)

(2) 함수 $f(x)$를 구하시오. (12점)