2027학년도 대비 광운대학교 수시모집 논술고사 문제집 [자연계열 1교시]

QUESTIO AI EDITORIAL

대학별 수리논술 기출 실전연습 시리즈

2027학년도 대비 기출문제집

광운대학교 자연계열 1교시

[2026학년도 자연계열 1교시 기출 (문제 1, 문제 2)]

QUESTIO 입시연구소 수학분과 감수

2027학년도 대비

📝 [문제 1] (1/2) 집합, 이항정리, 도형의 이동, 정적분 총 배점: 50점

1. 집합 $A$가 유한집합일 때, 집합 $A$의 원소의 개수를 기호로 $n(A)$와 같이 나타낸다. 특히 $n(\varnothing)=0$이다.

2. $n$이 자연수일 때, $$(a+b)^n = {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + \dots + {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r + \dots + {}_n\mathrm{C}_n b^n$$

3. 점 $(a, b)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $(-a, -b)$

4. 미분가능한 함수 $f(x)$에서 $f'(a)=0$이고, $x=a$의 좌우에서
① $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대이고, 극댓값은 $f(a)$이다.
② $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극소이고, 극솟값은 $f(a)$이다.

[1] 전체집합 $U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$의 두 부분집합 $A, B$가 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (10점)

(가) $n(A) \times n(B) \ne 0$
(나) $n(B) < n(U)$
(다) $A \subset B$

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📝 [문제 1] (2/2) 대칭 및 평행이동, 정적분 함수 배점: 40점

[2] 세 점 $\mathrm{A}(-1, -1), \mathrm{B}(1, -1), \mathrm{C}(1, 3)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 이 삼각형을 원점에 대하여 대칭이동한 삼각형 $\mathrm{A'B'C'}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 두 삼각형이 겹치는 영역의 넓이를 구하시오. (6점)

(2) 두 삼각형 중 한 삼각형을 고정하고 다른 삼각형을 $x$축의 양의 방향 또는 음의 방향으로 평행이동할 때, 두 삼각형이 겹치는 영역의 넓이의 최댓값을 구하시오. (14점)

[3] 실수 $k$에 대하여 $S(k) = \int_0^1 |x^3+k|\,dx$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $S(k)$를 구하시오. (10점)

(2) 함수 $S(k)$가 최소가 되게 하는 $k$의 값과 함수 $S(k)$의 최솟값을 구하시오. (10점)

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📝 [문제 2] (1/2) 삼각함수의 덧셈정리, 미분법 총 배점: 50점

1. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서
  $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
  $b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B$
  $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (단, $x$의 단위는 라디안)

3. 좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 $$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

[1] 오른쪽 그림과 같이 두 각 $\alpha, \beta$를 나타내는 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}(\cos\alpha, \sin\alpha), \mathrm{Q}(\cos\beta, \sin\beta)$라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) 코사인함수의 덧셈정리 $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$를 증명하시오. (8점)

(2) (1)의 식을 이용하여 $(\cos x)' = -\sin x$를 증명하시오. (8점)

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📝 [문제 2] (2/2) 복소수와 로그, 도형의 기하학적 넓이 배점: 34점

[2] 실수 $a$와 자연수 $b$에 대하여 $z = (1+i)^{2025} + a(i-1)^{2026}$이 실수가 되게 하는 $a$의 값을 구하고, 그때의 $z$에 대하여 $\log_b z$가 자연수가 되게 하는 $b$의 개수를 구하시오. (12점)

[3] 직선 $y=ax$와 원 $(x-1)^2 + (y+1)^2 = 2$는 원점과 원점이 아닌 점 $\mathrm{P}$에서 만난다. 점 $\mathrm{Q}\left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, $a$는 $-7$과 $1$이 아닌 실수)

(1) 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이를 $f(a)$라 할 때, 함수 $f(a)$를 구하시오. (10점)

(2) 함수 $f(a)$의 증가와 감소를 표로 나타내고 극값을 구하시오. (12점)

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