2022~2026 기출문제 광운대학교 수시모집 논술고사 문제집 [자연계열 1교시]

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QUESTIO AI EDITORIAL

대학별 수리논술 기출 실전연습 시리즈

2022~2026 기출문제

광운대학교 자연계열 1교시

[2022~2026학년도 자연계열 1교시 기출문제 (5개년)]

QUESTIO 입시연구소 수학분과 감수

2027학년도 대비

📝 [문제 1] (1/2) 확통, 도형, 미적분

총 배점: 50점 2026기출

1. 집합 $A$가 유한집합일 때, 집합 $A$의 원소의 개수를 기호로 $n(A)$와 같이 나타낸다. 특히 $n(\varnothing)=0$이다.

2. $n$이 자연수일 때, $$(a+b)^n = {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + \dots + {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r + \dots + {}_n\mathrm{C}_n b^n$$

3. 점 $(a, b)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $(-a, -b)$

4. 미분가능한 함수 $f(x)$에서 $f'(a)=0$이고, $x=a$의 좌우에서
① $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대이고, 극댓값은 $f(a)$이다.
② $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극소이고, 극솟값은 $f(a)$이다.

[1] 전체집합 $U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$의 두 부분집합 $A, B$가 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (10점)

(가) $n(A) \times n(B) \ne 0$
(나) $n(B) < n(U)$
(다) $A \subset B$

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📝 [문제 1] (2/2) 도형의 이동, 정적분

배점: 40점 2026기출

[2] 세 점 $\mathrm{A}(-1, -1), \mathrm{B}(1, -1), \mathrm{C}(1, 3)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{ABC}$와 이 삼각형을 원점에 대하여 대칭이동한 삼각형 $\mathrm{A'B'C'}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 두 삼각형이 겹치는 영역의 넓이를 구하시오. (6점)

(2) 두 삼각형 중 한 삼각형을 고정하고 다른 삼각형을 $x$축의 양의 방향 또는 음의 방향으로 평행이동할 때, 두 삼각형이 겹치는 영역의 넓이의 최댓값을 구하시오. (14점)

[3] 실수 $k$에 대하여 $S(k) = \int_0^1 |x^3+k|\,dx$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 $S(k)$를 구하시오. (10점)

(2) 함수 $S(k)$가 최소가 되게 하는 $k$의 값과 함수 $S(k)$의 최솟값을 구하시오. (10점)

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📝 [문제 2] (1/2) 삼각함수, 미적분

총 배점: 50점 2026기출

1. 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서
  $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
  $b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B$
  $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

2. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (단, $x$의 단위는 라디안)

3. 좌표평면 위의 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 $$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

[1] 오른쪽 그림과 같이 두 각 $\alpha, \beta$를 나타내는 동경이 단위원과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}(\cos\alpha, \sin\alpha), \mathrm{Q}(\cos\beta, \sin\beta)$라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) 코사인함수의 덧셈정리 $\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$를 증명하시오. (8점)

(2) (1)의 식을 이용하여 $(\cos x)' = -\sin x$를 증명하시오. (8점)

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📝 [문제 2] (2/2) 복소수, 로그, 원과 직선, 증감 판정

배점: 34점 2026기출

[2] 실수 $a$와 자연수 $b$에 대하여 $z = (1+i)^{2025} + a(i-1)^{2026}$이 실수가 되게 하는 $a$의 값을 구하고, 그때의 $z$에 대하여 $\log_b z$가 자연수가 되게 하는 $b$의 개수를 구하시오. (12점)

[3] 직선 $y=ax$와 원 $(x-1)^2 + (y+1)^2 = 2$는 원점과 원점이 아닌 점 $\mathrm{P}$에서 만난다. 점 $\mathrm{Q}\left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, $a$는 $-7$과 $1$이 아닌 실수)

(1) 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이를 $f(a)$라 할 때, 함수 $f(a)$를 구하시오. (10점)

(2) 함수 $f(a)$의 증가와 감소를 표로 나타내고 극값을 구하시오. (12점)

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[문제 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. 원의 방정식, 기하

[배점: 50점] 2025기출

1. 점 $P(x_1, y_1)$와 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 $$d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

2. 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 선택하는 순열의 수는 $${}_n\mathrm{P}_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!} \quad (\text{단, } 0 < r \le n)$$

3. 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 선택하는 조합의 수는 $${}_n\mathrm{C}_r = \frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \quad (\text{단, } 0 < r \le n)$$

[그림 1] 직각삼각형 $OAB$

[1] 좌표평면 위의 세 점 $O(0,0)$, $A(8,0)$, $B(0,6)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $OAB$가 있다.

(1) 삼각형 $OAB$의 외접원과 내접원의 방정식을 각각 구하시오. [10점]

(2) 삼각형 $OAB$의 외접원 위의 점과 내접원 위의 점 사이의 거리의 최솟값과 최댓값을 구하시오. [14점]

광운대학교 2025학년도 자연계열 1교시 [문제 1] (1/2)

[문제 1] - 문항 [2] (계속) 순열과 조합, 경우의 수

[배점: 26점] 2025기출

[2] 다음은 놀이동산 광운랜드를 방문한 7명 학생들의 광운랜드 도착순서, 학생명, 성별, 학년을 나타낸 표이다.

도착순서	학생명	성별	학년
1	박 옥의	여	1학년
2	정 복지	여	1학년
3	김 화도	남	3학년
4	최 문화	여	1학년
5	이 비마	여	2학년
6	조 한울	남	1학년
7	강 참빛	남	1학년

광운청룡열차 좌석표
1	2	3	4	5	6	7
(학생 1인 1좌석 배정)

인솔교사는 모든 학생들에게 광운청룡열차의 1인용 좌석을 배정하고자 한다.

(1) 학생 7명의 좌석을 배정할 때, 광운랜드에 가장 빨리 도착한 3명을 1번, 2번, 3번 좌석에 도착순서에 상관없이 나누어 배정하는 경우의 수를 구하시오. [4점]

(2) 학생 7명의 좌석을 배정할 때, 2학년 학생과 3학년 학생 사이에 1학년 여학생 2명과 1학년 남학생 2명만을 배정하는 경우의 수를 구하시오. [7점]

(3) 학생 7명의 좌석을 배정할 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 경우의 수를 구하시오. [15점]

(가) 3학년 학생 바로 앞번호 좌석과 바로 뒷번호 좌석 중 하나에 1학년 여학생 1명, 나머지 하나에 1학년 남학생 1명을 배정한다.
(나) 2학년 학생 바로 앞번호 좌석과 바로 뒷번호 좌석 중 하나에 1학년 여학생 1명, 나머지 하나에 1학년 남학생 1명을 배정한다.

광운대학교 2025학년도 자연계열 1교시 [문제 1] (2/2)

[문제 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. 인수분해, 정적분과 급수

[배점: 50점] 2025기출

1. 다항식 $A$를 다항식 $B(B e 0)$로 나누었을 때의 몫을 $Q$, 나머지를 $R$라고 하면 $$A = BQ + R$$가 성립한다. 여기서 $R$는 상수이거나 $R$의 차수는 $B$의 차수보다 낮다.

2. 자연수의 거듭제곱의 합: ① $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$, ② $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, ③ $\sum_{k=1}^n k^3 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2$

3. 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 정의되고 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$일 때, 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 연속이라고 한다.

4. 극한값 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$가 존재하면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 미분가능하다고 한다.

[1] 인수분해를 이용하여 자연수 $$2025 \cdot 2026 \cdot 2027 \cdot 2028 - 24$$를 $$(2025)^2 + 3 \cdot 2023 + 1$$로 나누었을 때의 나머지를 구하시오. [6점]

[2] $$\lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{1 \cdot (n^2+1^2)} + \frac{1+7}{(1+3)(n^2+2^2)} + \frac{1+7+19}{(1+3+5)(n^2+3^2)} + \cdots + \frac{1+7+\cdots+(3n^2-3n+1)}{(1+3+\cdots+(2n-1))(n^2+n^2)} \right\}$$ 의 값을 구하시오. [8점]

광운대학교 2025학년도 자연계열 1교시 [문제 2] (1/2)

[문제 2] - 문항 [3], [4] (계속) 합성함수, 미분가능성, 역함수

[배점: 36점] 2025기출

[3] 두 함수 $$f(x) = \begin{cases} x & (x \ge 1) \\ 2-x & (x < 1) \end{cases}, \quad g(x) = x^2 - 2x + 2$$ 에 대하여 두 곡선 $y=f_n(x)$와 $y=g_n(x)$로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\frac{15}{17}$일 때의 자연수 $n$을 구하시오. [14점]
(단, 함수 $f(x)$에 대하여 $f_1(x)=f(x), f_{n+1}(x)=(f \circ f_n)(x)$, $g_1(x)=g(x), g_{n+1}(x)=(g \circ g_n)(x)$, $n$은 자연수)

[4] $-2 \lt x \lt 2$에서 다음과 같이 정의된 함수 $f(x)$에 대하여 다음 물음에 답하시오. $$f(x) = \begin{cases} (x+2)^2 - 2 & (-2 < x \le -1) \\ -2x - 1 & (-1 \lt x \lt 0) \\ \sqrt{\frac{x}{2} + 1} & (0 \le x < 2) \end{cases}$$

(1) $x = -1$에서 함수 $y = |f(x)|$의 연속성과 미분가능성을 조사하시오. [8점]

(2) $\left| \lim_{x \to a^-} f^{-1}(x) + \lim_{x \to a^+} f^{-1}(x) \right| = 1$을 만족시키는 실수 $a$를 모두 구하시오. (단, $-2 \lt a \lt 2$) [14점]

광운대학교 2025학년도 자연계열 1교시 [문제 2] (2/2)

[문제 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. 수열의 극한

[배점: 50점] 2024기출

1. 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$에 대하여 $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$, $\lim_{n \to \infty} b_n = \beta$ ($\alpha, \beta$는 실수)일 때,

① $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n = \alpha + \beta$

② $\lim_{n \to \infty} a_n b_n = \lim_{n \to \infty} a_n \times \lim_{n \to \infty} b_n = \alpha \beta$

2. 유리함수 $y = \frac{k}{x-p} + q$ ($k \ne 0$)의 그래프의 점근선은 두 직선 $x=p, y=q$이다.

3. 집합 $A$의 원소가 유한개일 때, 집합 $A$의 원소의 개수를 기호 $n(A)$로 나타낸다.

[1] 수열 $\{a_n\}$의 일반항이 $a_n = \ln\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)$일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 극한값 $\lim_{n \to \infty} (2n+1)a_n$을 구하시오. [6점]

(2) 수열 $\{b_n\}$의 일반항이 $b_n = -\frac{a_n}{2n+1}$일 때, 자연수 $n$에 대하여 $b_n < b_{n+1}$임을 증명하시오. [8점]

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[문제 1] (계속) 삼각방정식, 유리함수, 경우의 수

[문항 2 및 3] 2024기출

[2] 함수 $f(x) = ax(x-2\pi)$가 다음 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오. (단, $a$는 $0$이 아닌 실수)

$0 \le x \le 2\pi$에서 $f(x)$의 최댓값은 $1$이다.

(1) $0 \le x \le 2\pi$에서 방정식 $f(x) + |\cos x| = -\frac{x}{\pi}$의 실근이 없음을 증명하시오. [8점]

(2) 함수 $g(x) = \frac{x-p}{x+2p}$에 대하여 $0 \le x \le 2\pi$에서 합성함수 $(g \circ f)(x)$의 최댓값과 최솟값이 모두 존재하도록 하는 실수 $p$의 범위를 구하시오. $\left(\text{단, } p\text{는 } 0\text{과 } -\frac{1}{2}\text{이 아닌 실수}\right)$ [12점]

[3] 다음 두 집합 $A, B$에 대하여 물음에 답하시오.

$A = \{ a \mid a\text{는 } 4\text{의 배수인 자연수} \}$
$B = \{ b \mid b\text{는 } 7\text{개의 숫자 } 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\text{을 중복 없이 사용하여 만든 일곱 자리 자연수} \}$

(1) $n(A \cap B)$를 구하시오. [8점]

(2) 집합 $B$의 원소를 큰 수부터 차례로 $b_1, b_2, \cdots, b_{n(B)}$라고 할 때, $b_{1000}$의 값을 구하시오. [8점]

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[문제 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. 귀류법, 다항함수

[배점: 50점] 2024기출

1. 어떤 명제가 참임을 증명할 때, 주어진 명제의 결론을 부정하여 가정 또는 이미 알려진 수학적 사실 등에 모순됨을 보여 원래의 명제가 참임을 증명하는 방법을 귀류법이라고 한다.

2. 함수 $f(x)$가 어떤 열린구간에서 미분가능할 때

① 그 구간의 모든 $x$에 대하여 $f'(x) > 0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 증가한다.

② 그 구간의 모든 $x$에 대하여 $f'(x) < 0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 감소한다.

3. 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = g(t)$의 도함수 $g'(t)$가 $a = g(\alpha), b = g(\beta)$일 때, $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)\,dt$$

4. 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 도함수를 갖는 두 함수 $f(x), g(x)$에 대하여 $$\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx$$

[1] 다항함수 $f(x)$가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 함수 $f(x)$를 구하시오. [6점]

(가) $f(0) = 1$
(나) 모든 실수 $x$에서 $f(3x) = f(x) + x^3$이다.

[2] 방정식 $8x^3 - 6x + 1 = 0$의 실근이 유리수가 아님을 증명하시오. [12점]

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[문제 2] (계속) 정적분과 부등식, 초월함수 넓이

[문항 3 및 4] 2024기출

[3] 다음 물음에 답하시오.

(1) 정적분 $\int_0^1 \frac{1-x^8}{1+x^2}\,dx$를 구하시오. [6점]

(2) (1)에서 구한 값을 $I$라고 할 때, 부등식 $\left| I - \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \right| \le \frac{1}{9}$이 성립함을 증명하시오. [8점]

[4] 함수 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) $n \ge 3$인 자연수 $n$에 대하여 $n^{n+1}$과 $(n+1)^n$의 크기를 비교하시오. [8점]

(2) 함수 $g(x) = \frac{f(x+1)}{x+1}$일 때, 곡선 $y = g(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=0, x=e^2-1$로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [10점]

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[문제 1] 지수법칙, 귀류법 증명, 삼각방정식

[50점] 2023기출

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 귀류법: 어떤 명제가 참임을 증명할 때, 주어진 명제의 결론을 부정하여 가정 또는 이미 알려진 수학적 사실 등에 모순됨을 보여 원래의 명제가 참임을 증명하는 방법을 귀류법이라고 한다.

2. 조건부 확률: 사건 $A$가 일어났을 때의 사건 $B$의 조건부확률은 $$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (\text{단, } P(A) > 0)$$

[1] 다음 물음에 답하시오.

(1) 실수 $a$에 대하여 $3^a = 4$일 때, $\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{a}{12}}$의 값을 구하시오. [5점]

(2) 귀류법을 이용하여 $\log_3 4$가 무리수임을 증명하시오. [5점]

[2] $-\pi \le x \le \pi$에서 방정식 $\cos^2 x - \sin x - x = 0$을 만족시키는 실근의 개수를 구하시오. [9점]

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[문제 1] (계속) 조건부확률, 우함수·기함수 분해와 정적분

[문항 3 및 4] 2023기출

[3] 어떤 데이터 조사에 따르면 이메일 중 스팸메일이 $25\%$, 스팸메일 중 ‘계좌’라는 단어가 들어가 있을 확률은 $80\%$, 스팸메일이 아닌 이메일 중 ‘계좌’라는 단어가 들어가 있을 확률은 $30\%$라고 한다. 다음 물음에 답하시오.

  (1) 이메일에 ‘계좌’라는 단어가 들어가 있고 스팸메일이 아닐 확률을 구하시오.  [4점]

  (2) 이메일에 ‘계좌’라는 단어가 들어가 있을 확률을 구하시오.  [5점]

  (3) 이메일에 ‘계좌’라는 단어가 들어가 있을 때, 이 이메일이 스팸메일일 확률을 구하시오.  [6점]

[4] 모든 실수 $x$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$와 $h(x)$가 아래 조건을 만족할 때, 다음 물음에 답하시오.

(ⅰ) $f(x) = g(x) + h(x)$
(ⅱ) $g(-x) = g(x), \quad h(-x) = -h(x)$

(1) 함수 $g(x)$와 $h(x)$를 $f(x)$와 $f(-x)$를 이용하여 나타내고, 위 조건이 만족됨을 보이시오. [6점]

(2) (1)을 이용하여 $\int_{-1}^1 \frac{x}{(x+p)^2+1}\,dx = 0$이면 $p=0$임을 보이시오. (단, $p$는 실수) [10점]

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[문제 2] 내분점, 원의 접선과 각, 수열의 극한

[50점] 2023기출

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 좌표평면 위의 선분의 내분점: 두 점 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$에 대하여 선분 $AB$를 $m:n$ ($m>0, n>0$)으로 내분하는 점 $P$의 좌표는 $$\left( \frac{mx_2+nx_1}{m+n}, \frac{my_2+ny_1}{m+n} \right)$$

2. 미분가능: 함수 $y = f(x)$에 대하여 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$가 존재하면 함수 $y=f(x)$는 $x=a$에서 미분가능하다고 한다.

3. 미분가능한 함수의 극대와 극소의 판정: 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(a) = 0$이고 $x=a$의 좌우에서
(1) $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대이다.
(2) $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극소이다.

[1] 아래 조건을 만족시키는 원에 대하여 다음 물음에 답하시오.

• 중심이 제1사분면 위에 있고 $x$축과 $y$축에 모두 접한다.
• 직선 $3x+4y-6=0$과 한 점에서 만난다.

(1) 위 조건을 만족시키는 모든 원의 반지름의 길이를 구하시오. [4점]

(2) 직선 $3x+4y-6=0$이 $x$축과 만나는 점을 $A$, $y$축과 만나는 점을 $B$라고 할 때, 선분 $AB$를 $1:2$로 내분하는 점을 $P$라고 하자. 점 $P$에서 위 조건을 만족하는 가장 작은 원에 접선을 그었을 때, 두 접선이 이루는 예각 $\theta$에 대하여 $\sin\theta$ 값을 구하시오. [8점]

[2] 이차방정식 $x^2-x-1=0$의 두 근을 $\alpha, \beta$ ($\alpha > \beta$)라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $k(\alpha^5 - \beta^5) = 5$를 만족하는 실수 $k$의 값을 구하시오. [6점]

(2) 극한값 $\lim_{n \to \infty} \frac{\alpha^{n+4} - \beta^{n+4}}{\alpha^n - \beta^n}$을 구하시오. [8점]

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[문제 2] (계속) 함수의 극값과 도함수 정의를 이용한 미분가능성

[문항 3] 2023기출

[3] 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, $k \ge \frac{1}{2}$)

$$f(x) = \frac{e^x}{kx^2+x+1}, \quad g(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & (x > 0) \\ 0 & (x \le 0) \end{cases}$$

  (1) 함수 $f(x)$의 극값을 구하시오.  [10점]

  (2) $x > 0$에서 함수 $y = \frac{e^x}{\frac{1}{2}x^2+x+1}$을 이용하여 $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$임을 보이시오.  [7점]

  (3) $x=0$에서 함수 $g(x)$의 미분가능성을 조사하시오.  [7점]

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[문제 1] 다항식 인수분해, 점과 직선 사이의 거리, 이차함수

[50점] 2022기출

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 함수의 증가와 감소: 함수 $f(x)$가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 그 구간에 속하는 모든 $x$에서 $f'(x) > 0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 증가한다. $f'(x) < 0$이면 $f(x)$는 그 구간에서 감소한다.

2. 타원: 평면의 두 점 $F$와 $F'$로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라고 한다. 이때 두 점 $F$와 $F'$을 타원의 초점이라고 한다.

3. 치환적분법을 이용한 정적분: 미분가능한 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $g(a)=\alpha$와 $g(b)=\beta$에 대하여 함수 $f(x)$가 $\alpha$와 $\beta$를 포함한 구간에서 연속일 때 다음이 성립한다. $$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(t)\,dt$$

[1] 다항식의 인수분해를 이용하여 자연수 $N = (11 \times 13 \times 15 \times 17 - 9) + (11^3 + 5 \times 11^2 + 3 \times 11 - 9)$를 소인수분해하시오. [7점]

[2] 좌표평면에서 점 $A(-1, 3)$과 원점 $O(0, 0)$ 및 포물선 $y = x^2 - 7x + 12$ 위의 점 $B(b, c)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $AOB$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 $B(b, c)$와 직선 $AO$ 사이의 거리를 $b$에 관한 식으로 나타내시오. [4점]

(2) 삼각형 $AOB$의 넓이를 $b$에 관한 식으로 나타내고, 삼각형 $AOB$의 넓이의 최솟값을 찾으시오. [4점]

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[문제 1] (계속) 유리함수 정의역, 타원 매개변수와 접선, 영역 넓이

[문항 3 및 4] 2022기출

[3] 두 함수 $f(x) = x^2 + 4$와 $g(x) = kx + 1$에 대하여 다음을 찾으시오.

(1) 함수 $\frac{1}{f(x) - g(x)}$가 모든 실수 $x$에서 정의되기 위한 상수 $k$의 값의 범위 [4점]

(2) 함수 $h(x) = f(x)g(x)$가 구간 $(0, \infty)$에서 증가하도록 하는 상수 $k$의 값의 범위 [6점]

[4] 태양 $S$를 한 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 행성 $E$가 공전하고 있다고 하자. 오른쪽 그림과 같이 이 타원을 좌표평면에 나타내어 타원의 중심은 원점 $O$에 장축 $AB$는 $x$축에 놓인다고 하자. 태양 $S$는 원점 $O$와 꼭짓점 $A$ 사이에 있다. 선분 $AS$의 길이가 $2$, 선분 $SB$의 길이가 $18$이라고 할 때, 다음을 찾으시오.

  (1) 좌표평면에서 행성 $E$의 궤도를 나타내는 타원의 방정식  [5점]

  (2) 선분 $OE$와 $x$축의 양의 방향이 이루는 각의 크기를 $\theta$라고 할 때, 매개변수 $\theta$로 (1)의 타원의 방정식을 $x = a\cos\theta, y = b\sin\theta$ ($0 \le \theta < 2\pi$)로 나타낼 수 있다. 이때, 두 양수 $a$와 $b$의 값과 $\theta = \frac{\pi}{3}$에 대응하는 점에서의 타원의 접선의 방정식  [7점]

  (3) 선분 $SE$의 길이를 $l(\theta)$라고 할 때, $l(\theta)$의 최솟값과 그때의 $\theta$의 값  [6점]

  (4) $\theta$가 $0$에서 $\frac{\pi}{4}$까지 증가하는 동안 선분 $OE$가 지나가는 영역의 넓이  [7점]

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[문제 2] 등차수열과 삼차방정식, 팩토리얼 분해와 급수

[50점] 2022기출

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 함수 극한의 대소 관계: 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 $\lim_{x\to a} f(x) = L$이고 $\lim_{x\to a} g(x) = M$ ($L, M$은 실수)일 때, $a$에 가까운 $x$의 모든 값과 함수 $h(x)$에 대하여 $f(x) \le h(x) \le g(x)$이고 $L=M$이면 $\lim_{x\to a} h(x) = L$이다.

2. 확률밀도함수의 성질: 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수 $f(x)$ ($\alpha \le x \le \beta$)에 대하여
① $f(x) \ge 0$
② $f(x)$의 그래프와 $x$축 및 두 직선 $x=\alpha$와 $x=\beta$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $1$이다.
③ 두 상수 $a$와 $b$ ($\alpha \le a \le b \le \beta$)에 대하여 $P(a \le X \le b)$는 $f(x)$의 그래프와 $x$축 및 두 직선 $x=a$와 $x=b$로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.

3. 부분적분법을 이용한 정적분: 미분가능한 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 $f'(x)$와 $g'(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속일 때 다음이 성립한다. $$\int_a^b f(x)g'(x)\,dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)\,dx$$

[1] 삼차방정식 $x^3 - 9x^2 + cx - 12 = 0$의 세 실근은 등차수열을 이룬다. 이때 다음을 찾으시오.

  (1) 등차수열을 이루는 세 실근의 등차중항  [4점]

  (2) 상수 $c$의 값  [3점]

  (3) 주어진 방정식의 세 실근  [4점]

[2] $n$이 자연수일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $\frac{n+2}{n! + (n+1)! + (n+2)!} = \frac{n+1}{(n+2)!}$임을 증명하시오. [6점]

(2) $\sum_{n=1}^{2022} \frac{n+2}{n! + (n+1)! + (n+2)!}$의 값을 찾으시오. [7점]

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[문제 2] (계속) 로그 부등식과 샌드위치 극한, 확률밀도함수 정적분

[문항 3] 2022기출

[3] 양수 $k$에 대하여 함수 $f(x) = kx \ln|x|$라 하자. 곡선 $y=f(x)$와 실수 $t$에 대하여 $x$축에 평행한 직선 $y=t$가 만나는 점의 개수를 $g(t)$라 하자. 다음 물음에 답하시오.

  (1) 구간 $0 \lt x \lt 1$에서 두 함수 $\ln|x|$와 $-\frac{1}{\sqrt{x}}$의 대소 관계를 판정하시오.  [7점]

  (2) (1)을 이용하여 두 극한값 $\lim_{x\to 0+} f(x)$와 $\lim_{x\to 0-} f(x)$를 찾으시오.  [6점]

  (3) 함수 $f(x)$의 증가와 감소를 나타내는 표를 만들고, 함수 $g(t)$가 불연속인 $t$의 값과 그 함숫값 $g(t)$의 순서쌍 $(t, g(t))$를 찾으시오.  [7점]

  (4) 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수가 $f(x) = kx\ln|x|$ $\left(-1 \le x \le -\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$일 때, 양수 $k$의 값을 찾으시오.  [6점]

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[문제 1] 등차수열 합, 절댓값 이차함수와 실근 개수

[50점] 3교시 기출

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 등차수열과 등비수열: 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더해 만들어지는 수열을 등차수열이라 하고, 그 일정한 수를 공차라고 한다. 첫째항부터 차례로 일정한 수를 곱해 만들어지는 수열을 등비수열이라 하고, 그 일정한 수를 공비라고 한다.

2. 이차함수: 이차함수 $y=ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$)의 그래프와 $x$축의 교점의 $x$좌표는 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 실근과 같다. 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 그래프는 $a>0$이면 감소하다가 증가하고 $a<0$이면 증가하다가 감소한다. 이에 따라 이 이차함수의 최솟값은 $a>0$일 때 나타나고 최댓값은 $a<0$일 때 나타난다.

[1] $n$개의 항으로 이루어진 등차수열 $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{n-1}, a_n$의 합은 $2022$이고 $a_2 = 92$이며 $a_{n-1} = 245$라고 하자. 다음 값을 찾으시오.

(1) 항의 개수 $n$ [4점]

(2) 공차 $d$ [4점]

[2] 이차함수 $f(x) = a(x-c)^2 + d$ ($a>0$)에 대해 다음 물음에 답하시오. (단, $a, c, d$는 상수)

  (1) $|f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = |f(4)| = 10$일 때, 세 상수 $a, c, d$의 값을 각각 찾으시오.  [7점]

  (2) (1)에서 찾은 $f(x)$에 대해 함수 $y=|f(x)|$의 그래프를 그리고, 방정식 $|f(x)|=k$의 근의 개수가 다음과 같을 때 실수 $k$의 값 또는 그 범위를 각각 찾으시오.  [7점]
    ① 근이 없음      ② 근이 2개      ③ 근이 3개      ④ 근이 4개

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[문제 1] (계속) 삼차함수 내접 직사각형 둘레 최댓값, 삼각방정식과 사인법칙

[문항 3 및 4] 3교시 기출

[3] 오른쪽 그림과 같이 두 점 $A$와 $C$는 곡선 $y=2x^3-8x$에 있고 도형 $ABCD$는 선분 $AB$가 $y$축과 평행한 직사각형이다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 점 $A$의 $x$좌표는 $a$ ($-2 \lt a \lt 0$)이고 점 $C$의 $x$좌표는 $-a$라 할 때, 직사각형 $ABCD$의 둘레의 길이를 $a$에 관한 함수로 나타내시오. [4점]

(2) (1)에서 얻은 함수의 최댓값을 찾고, 이때의 $a$의 값을 찾으시오. [6점]

[4] 구간 $\left(\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$에서 정의된 함수 $f(x) = \sin x + \sec^2 x$에 대해 다음 물음에 답하시오.

  (1) $\frac{3\pi}{4} \lt x \lt \frac{5\pi}{4}$일 때, $\sin x$의 값의 범위를 찾으시오.  [4점]

  (2) $\frac{3\pi}{4} \lt x \lt \frac{5\pi}{4}$일 때, 방정식 $f(x) = 1$의 근의 개수를 찾으시오.  [7점]

  (3) (2)에서 찾은 근 중에서 가장 작은 값과 가장 큰 값을 각각 $\alpha$와 $\beta$라고 하자. 삼각형 $ABC$에서 $\angle A = \alpha - \frac{\pi}{2}$이고 $\angle B = \beta - \pi$이며 $\overline{AB} = \sqrt{6}$이라고 하자. 이때, 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이 $R$을 찾으시오.  [7점]

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[문제 2] 정적분과 급수의 합, 상용로그와 데시벨 미분계수

[50점] 3교시 기출

【제시문】 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 정적분과 급수의 합: 도형의 넓이를 구할 때, 주어진 도형을 잘게 나누어 간단한 도형의 넓이의 합으로 어림값을 구하고, 이 어림값의 극한값으로 도형의 넓이를 구할 수 있다.

2. 중복조합: 서로 다른 $n$개에서 중복을 허용하여 $r$개를 택하는 조합을 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하는 중복조합이라고 한다. 이 중복조합의 수를 기호로 ${}_n\mathrm{H}_r$와 같이 나타낸다.

3. 위치벡터: 평면에서 정해진 점 $O$를 시점으로 하는 벡터 $\vec{OP}$를 점 $O$에 대한 점 $P$의 위치벡터라고 한다.

[1] 포물선 $y=x^2$과 $x$축 및 직선 $x=2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) $S$를 정적분으로 나타내고, 그 값을 찾으시오. [2점]

(2) (1)의 정적분을 급수의 합으로 나타내고, 극한을 이용하여 그 급수의 합을 찾으시오. [4점]

[2] ‘데시벨(dB)’은 소리의 세기를 표준음의 세기와 비교해서 나타내는데, 표준음은 정상적인 청각을 지닌 사람이 겨우 들을 수 있는 소리로 그 세기는 $1\text{m}^2$에 $10^{-12}\text{W}$이다. 곧 $10^{-12}\text{W/m}^2$이다. 표준음의 세기를 $I_0\text{W/m}^2$이라 하고 어떤 소리의 세기를 $I\text{W/m}^2$이라고 할 때, 이 소리의 세기 $I\text{W/m}^2$을 단위를 바꾸어 $L\text{dB}$이라고 하면 이 값 $L$은 상용로그를 이용해서 다음과 같이 계산한다. $$L = 10\log \frac{I}{I_0}$$ $L$을 변수 $I$의 함수 $L(I)$라고 할 때, 다음 값을 찾으시오. [6점] $$\lim_{h\to 0} \frac{L(10^5 I_0 + h) - L(10^5 I_0 - h)}{h}$$

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[문제 2] (계속) 중복조합과 조건부확률

[문항 3] 3교시 기출

[3] 방정식 $x+y+z+w=21$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $x, y, z, w$의 순서쌍 $(x, y, z, w)$에 대하여 다음 값을 찾으시오. (단, $0$은 모든 수의 배수이다. 이를테면 $0$은 $2$의 배수이므로 짝수이고, $0$은 $6$의 배수이기도 하다.)

  (1) 주어진 방정식을 만족시키는 음이 아닌 정수 $x, y, z, w$의 순서쌍의 개수  [4점]

  (2) 주어진 방정식을 만족시키는 음이 아닌 정수 $x, y, z, w$의 순서쌍 중에서 하나를 임의로 택할 때, $x, y, z$가 모두 짝수일 확률  [5점]

  (3) 주어진 방정식을 만족시키는 음이 아닌 정수 $x, y, z, w$의 순서쌍 중에서 하나를 임의로 택할 때, $x$가 $6$의 배수이고 $y$와 $z$가 짝수일 확률  [5점]

  (4) 주어진 방정식을 만족시키는 음이 아닌 정수 $x, y, z, w$의 순서쌍 중에서 하나를 임의로 택하는데 $x, y, z$가 모두 짝수일 때, $x$가 $3$의 배수일 확률  [5점]

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[문제 2] (계속) 위치벡터 점렬 극한

[문항 4] 3교시 기출

[4] $n$이 자연수일 때, 좌표평면에서 원점 $O$를 시점으로 하는 두 점의 위치벡터 $\vec{a}_n = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^n, 0\right)$과 $\vec{b}_n = \left(0, \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)$을 이용하여 벡터 $\vec{p}_n$을 다음과 같이 정의하자. $$\vec{p}_n = \sum_{k=1}^n (\vec{a}_k + \vec{b}_k)$$ 다음 물음에 답하시오.

  (1) 원점 $O$를 시점으로 하는 위치벡터 $\vec{p}_n$의 종점을 점 $P_n$이라고 할 때, $n$의 값이 커짐에 따라 점 $P_n$이 한없이 가까워지는 점 $P$의 좌표를 찾으시오.  [3점]

  (2) $n \ge 2$일 때, 점 $P_n$이 선분 $P_{n-1}P_{n+1}$을 $\alpha : \beta$ ($\alpha > 0, \beta > 0$)로 내분한다고 할 때, $\frac{\alpha}{\beta}$의 값을 찾으시오.  [5점]

  (3) 점 $A(1, 0)$과 (1)에서 찾은 점 $P$에 대해 다음을 만족시키는 좌표평면의 점 $Q$가 나타내는 도형의 방정식을 찾으시오.  [5점] $$|\vec{QA} + \vec{QP}| = 1$$
  (4) 점 $P_n$을 $x$축에 관해 대칭이동하고 $y$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 점을 $R_n$이라 하고 원점 $O$를 시점으로 하는 두 위치벡터 $\vec{OR}_n$과 $\vec{OR}_{n+1}$이 이루는 예각의 크기를 $\theta_n$이라 할 때, $\cos\theta_n$의 최솟값을 찾으시오.  [6점]

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