🎯 고려대학교세종 맞춤형 출제 트랙: Track B (약술형 논술 — [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 3줄 완성형)
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 예제 1 / 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 예제 3 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]
[제시문 (가)] 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 열린구간 \((a, b)\)에서 미분가능할 때,
\(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\)를 만족시키는 실수 \(c\)가 열린구간 \((a, b)\)에 적어도 하나 존재한다.
[제시문 (나)] 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x) = x^3 - 3\cdot 19x^2 + 1056x\)와 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(g(x) = |f(x) - t|\)라 하자.
[문항 1-1] (6점) 도함수 \(f'(x) = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\) (단, \(\alpha \lt \beta\))라 할 때, 극점 사이의 거리 \(\beta - \alpha\)와 극댓값·극솟값의 차 \(f(\alpha) - f(\beta)\)를 구하시오.
[문항 1-2] (7점) 닫힌구간 \([\alpha, \beta]\)에서 평균값 정리를 만족시키는 실수 \(c \in (\alpha, \beta)\)를 모두 구하고, 곡선 \(y = f(x)\)의 대칭중심 \((19, f(19))\)에서의 접선의 기울기를 구하시오.
[문항 1-3] (7점) 함수 \(g(x) = |f(x) - t|\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하지 않은 점의 개수가 \(1\)이 되도록 하는 실수 \(t\)의 값의 범위를 구하시오.
[고려대학교세종 답안 작성란 — 문항 1]
🎯 고려대학교세종 맞춤형 출제 트랙: Track B (약술형 논술 — [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 3줄 완성형)
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 예제 1 / 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 예제 1 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
[제시문 (가)] 다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여
$$\int_{2}^{x} (x - t) f'(t)\,dt = x^3 - 6x^2 + ax + b$$
를 만족시킨다. (단, \(a, b\)는 상수이고 \(f(2) = 18\)이다.)
[문항 2-1] (6점) 정적분과 미분의 관계를 이용하여 상수 \(a, b\)의 값을 구하고, 다항함수 \(f(x)\)의 식을 결정하시오.
[문항 2-2] (7점) 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((0, f(0))\)에서의 접선 \(l\)의 방정식을 구하시오.
[문항 2-3] (7점) 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = f(2) + 3(x - 2)^2\) 및 \(x = 0, x = 4\)로 둘러싸인 영역의 넓이 \(S\)를 정적분으로 구하시오.
[고려대학교세종 답안 작성란 — 문항 2]
🎯 고려대학교세종 맞춤형 출제 트랙: Track B (약술형 논술 — [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 3줄 완성형)
[출처: 미래엔 대수 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 / 미래엔 대수 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-05, 12대수03-06]
[제시문 (가)] 첫째항이 \(a_1 = 19\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 귀납적 정의를 만족시킨다.
$$a_{n+1} = 2a_n + (5-2)\cdot 5^n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$
[제시문 (나)] 수열 \(\{b_n\}\)을 \(b_n = \dfrac{a_n + c \cdot 5^n}{2^n}\) (단, \(c\)는 상수)으로 정의한다.
[문항 3-1] (6점) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(b_{n+1} = b_n\)이 성립하도록 하는 상수 \(c\)의 값을 구하고, 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항을 구하시오.
[문항 3-2] (7점) 문항 3-1에서 구한 일반항 \(a_n = 5^n + (14)\cdot 2^{n-1}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.
[문항 3-3] (7점) 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\)를 구하고, \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{S_n}{5^{n+1}}\)의 값을 구하시오.
[고려대학교세종 답안 작성란 — 문항 3]
🎯 고려대학교세종 맞춤형 출제 트랙: Track B (약술형 논술 — [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 3줄 완성형)
[출처: 대수 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 예제 1 / 대수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 예제 1 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-04, 12대수01-06]
[제시문 (가)] \(a \gt 0, a \neq 1, b \gt 0, c \gt 0, c \neq 1\)일 때 로그의 밑변환 공식 \(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)가 성립한다.
[제시문 (나)] \(1\)보다 큰 세 실수 \(a, b, c\)가 \(\log_a b + 3\log_b c = 4\) 및 \(\log_b a + 3\log_c b = 4\)을 동시에 만족시킨다.
[문항 4-1] (6점) \(x = \log_a b\), \(y = \log_b c\)라 할 때, 밑변환 공식을 이용하여 \(x, y\)가 만족시키는 연립방정식을 세우고 순서쌍 \((x, y)\)를 모두 구하시오.
[문항 4-2] (7점) 세 실수 \(a, b, c\)가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때 \(\log_a c\)의 값을 구하고, 등비수열이 아닐 때 \(\log_a c\)의 값을 구하시오.
[문항 4-3] (7점) \(b = \sqrt{ac}\) (단, \(a \neq c\))일 때 모든 양수 \(t \gt 0\)에 대하여 \(a^t + c^t \gt 2b^t\)이 성립함을 논증하시오.
[고려대학교세종 답안 작성란 — 문항 4]
🎯 고려대학교세종 맞춤형 출제 트랙: Track B (약술형 논술 — [1줄: 공식선언(30%) ➔ 2줄: 핵심계산(40%) ➔ 3줄: 최종결론(30%)] 3줄 완성형)
[출처: 대수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 예제 1 / 대수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02, 12대수02-03]
[제시문 (가)] 반지름의 길이가 \(R = 4\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle \mathrm{ACB} = \dfrac{\pi}{3}\)이고 \(\overline{\mathrm{BC}} \gt \overline{\mathrm{CA}}\)이다.
[제시문 (나)] 선분 \(\mathrm{AB}\)의 중점을 \(\mathrm{M}\)이라 할 때, 두 변의 길이의 합이 \(\overline{\mathrm{BC}} + \overline{\mathrm{CA}} = 8\sqrt{2}\)이다.
[문항 5-1] (6점) 사인법칙을 이용하여 선분 \(\mathrm{AB}\)의 길이를 구하고, \(\overline{\mathrm{BC}} = a, \overline{\mathrm{CA}} = b\)라 할 때 코사인법칙으로 \(a^2 + b^2 - ab\)의 값을 구하시오.
[문항 5-2] (7점) 조건 \(a + b = 8\sqrt{2}\)를 이용하여 곱 \(ab\)의 값과 중선 \(\overline{\mathrm{CM}}\)의 길이를 구하시오.
[문항 5-3] (7점) 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이 \(S\)와 내접원의 반지름의 길이 \(r\)를 구하시오.
[고려대학교세종 답안 작성란 — 문항 5]