모든 항이 양수인 두 수열 $a_n$과 $b_n$은 다음 조건을 만족한다.
(가) $y=x^2$과 $y=a_n x+1$로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\frac{n}{6}$이다. (단, $n$은 $10$보다 큰 자연수이다.)
(나) $y=x^2$과 $y=b_n x+1$의 두 교점 사이의 거리는 $n$이다. (단, $n$은 $10$보다 큰 자연수이다.)

삼차함수 $f(x)=x^3-3x$와 실수 $m$에 대하여, 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족한다.
(가) $g(0)=0$
(나) 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(1, f(1))$에서의 접선과 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(m, g(m))$에서의 접선은 서로 평행하다.
(다) 곡선 $y=f(x)$와 곡선 $y=g(x)$는 서로 다른 두 점에서만 만난다.

양수 $c$에 대하여 두 점 $F(c, 0)$과 $F'(-c, 0)$을 초점으로 하고 장축의 길이가 $6$인 타원 $C$가 있다.
타원 $C$ 위의 점 $P(x_0, y_0)$ ($x_0 \gt 0, y_0 \gt 0$)에 대하여 선분 $PF$와 선분 $PF'$의 길이의 비가 $1:2$이다. (단, $c \lt 3$이다.)

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 $x_1, x_2, x_3, x_4$의 모든 순서쌍 $(x_1, x_2, x_3, x_4)$의 개수를 구하고자 한다.
(가) $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 12$
(나) $x_1, x_2, x_3$ 중 적어도 하나는 $짝수$이다.
(다) $x_4$는 $3$의 배수이다.

함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 $[0, 1]$에서 연속이다.
(나) $f(0)=0$, $f(1)=1$
(다) 구간 $[0, 1]$에서 $f'(x) \gt 0$이고 $f(x) \le x$이다.
(라) $\int_{0}^{1/2} x f'(x) dx = \frac{13}{192}$
(마) 구간 $[0, 1]$에서 함수 $g(x)$를 $g(x) = \int_{0}^{x} (1-f(t)) dt + 3 \int_{x}^{1} f(t) dt$로 정의하자. 이때 함수 $g(x)$는 $x=\frac{1}{2}$에서 극값 $\frac{61}{48}$을 갖는다.

두 번 미분가능한 세 함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$, $y=h(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 $x$에 대하여, $f(x)+f(-x)=0$이다.
(나) $f'(-1)=f'(1)=0$
(다) 구간 $(-1, 1)$에서, $f''(x)=g'(x)$이다.
(라) $g(1)=\pi$, $h(1)=2\pi$, $h(-1)=1$
(마) $\int_{-1}^{1} f'(x)h'(x)dx = \pi$

$OA=2$, $OB=3$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$를 만족시키는 삼각형 $OAB$에 대하여, 선분 $OA$를 $1:2$로 내분하는 점을 $M$, 선분 $AB$를 $1:2$로 내분하는 점을 $N$이라 하자.

실수 $x$와 $y$에 대하여, $x \wedge y = \begin{cases} x & (x \le y) \\\\ y & (x \gt y) \end{cases}$라고 하자.
표본공간 $S$의 두 사건 $A, B$에 대하여 $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$이다.
대한대학과 민국대학이 이틀에 걸쳐 경기할 때, 첫째 날 대한대학이 야구 및 농구 경기에서 이길 확률을 각각 $x, y$라 하고, 둘째 날 첫째 날 한 경기 이상 이긴 경우 럭비와 축구에서 이길 확률은 각각 $x, y$이며 모두 진 경우 각각 $x \wedge y$가 된다.

함수 $\sigma(x)$는 다음과 같다.
$$\sigma(x) = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\\\ 0 & (x \lt 0) \end{cases}$$

$f(x)=x^3+px^2+qx+r$은 다음 조건들을 만족하는 삼차 다항함수이다.
(가) $p, q, r$은 정수이고 $p$는 $0$이 아니다.
(나) $y=f(x)$의 변곡점에서 접선의 방정식은 $y=-x$이다.

그림과 같이 반경이 $1$인 원 위에 $\overline{AB_1}=\overline{B_1 B_2}=\overline{B_2 B_3}=\cdots=\overline{B_{n-1} B_n}=\overline{B_n A}$를 만족시키는 $n$개의 점 $B_1, B_2, \dots, B_n$이 순서대로 놓여있다. 벡터 $\vec{b_i} = \vec{AB_i}$ ($1 \le i \le n$)라 하자.

상금 당첨 행사에서 진홍색 공 $4$개와 파란색 공 $5$개가 든 상자가 준비되어 있다. 네 번의 공을 뽑을 기회가 주어진다. 뽑은 공은 다시 상자에 넣지 않는다.

(가) 이차함수 $y=f(x)$가 다음 조건을 만족한다.
    (i) $\lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h} (\ln(h+1) - \ln h) = 1$,    (ii) $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} \int_{h}^{h+\sin h} f(x) dx = 3$
(나) 두 실수 $\alpha \lt \beta$에 대하여 두 점 $(\alpha, f(\alpha))$, $(\beta, f(\beta))$를 지나는 직선의 방정식을 $y=k(x)$라 할 때, $\int_{\alpha}^{\beta} (k(x)-f(x))dx = \frac{1}{6}$ 이다.
(다) 두 실수 $a, b$에 대하여 포물선 $y=-(x-a)^2+b$가 두 점 $(\alpha, f(\alpha))$, $(\beta, f(\beta))$를 지난다.

(가) 함수 $f(x)$는 $f(x)=x^3-x$이다.
(나) 실수 $a$가 주어질 때, 함수 $g(x)$는 다음 성질을 만족한다.
    (i) $g(x)$는 일차함수 또는 상수함수이다.
    (ii) $f(a)-g(a)=a$
    (iii) $f'(a)-g'(a)=0$

반경이 $1$인 반원 위에 $\overline{AB_1}=\overline{B_1 B_2}=\overline{B_2 B_3}=\overline{B_3 B_4}$를 만족시키는 $4$개의 점 $B_1, B_2, B_3, B_4$가 순서대로 놓여있다.

부품 A, B, C가 연결되어 작동하는 회로가 있다. 이 회로는 부품 A와 B 중 적어도 하나가 정상이고 부품 C가 정상이면 작동을 한다. 새로 생산된 부품이 불량일 확률은 부품 A: $20\\%$, 부품 B: $25\\%$, 부품 C: $10\\%$이고 부품 A, 부품 B, 부품 C가 불량일 사건은 각각 독립이다.