$20$ 이상의 자연수 $n$에 대하여, 이차함수 $y=ax^2+bx+c$는 다음 조건을 만족한다.
(가) $0 \lt a \lt 1$
(나) 두 점 $(-1, 1)$과 $(0, 1)$을 지난다.
(다) 두 이차함수 $y=ax^2+bx+c$와 $y=x^2$으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $n$이다.
이때, 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 꼭짓점의 $y$좌표를 $y_n$이라 하고, 두 이차함수 $y=ax^2+bx+c$와 $y=x^2$의 교점 중 $(-1, 1)$이 아닌 점을 $(d_n, d_n^2)$이라 하자. (단, $d_n \ge \sqrt{2n}$이다.)

삼차함수 $f(x)=x^3+bx^2+cx+d$가 다음 조건을 만족한다.
(가) 모든 $x$에 대하여 $f'(x) \gt 0$이다.
(나) $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)+f(-x)-2f(0)}{x^2} = 0$
(다) 함수 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-2g(x)}{x} = 1$이다.

세 실수 $a, b, c$와 세 점 $A(c, 0)$, $B(-c, 0)$, $O(0, 0)$에 대하여, $|\vec{OP}-\vec{OA}| + |\vec{OP}-\vec{OB}| = b$를 만족하는 점 $P$의 집합이 나타내는 곡선 $C$와 직선 $y=\frac{1}{\sqrt{2}}x+a$는 만나지 않는다. 곡선 $C$ 위의 점 $P$와 직선 $y=\frac{1}{\sqrt{2}}x+a$ 사이의 거리가 최소일 때 점 $P$의 $x$좌표를 $x_1$이라 하고, 거리가 최대일 때 $x$좌표를 $x_2$라 하자. (단, $b \gt 2c \ge 0$이다.)

1년 1월 1일부터 2025년 12월 31일까지의 날짜를 8개의 숫자를 이용하여 ①②③④⑤⑥⑦⑧의 형태로 나타내려 한다. 이때, ①②③④는 연도, ⑤⑥은 월, ⑦⑧은 일을 나타낸다. 날짜 계산을 단순화하고자, 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12월은 31일, 2월은 28일, 그 외의 달은 30일까지 있다고 가정한다.
- ①에는 0, 1, 2
- ⑤에는 0, 1
- ⑦에는 0, 1, 2, 3

아래로 볼록인 곡선 $y=f(x)$ ($0 \le x \le 1$)는 매개변수 $t$를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$x(t)=\cos^3 t, \quad y(t)=2\sin^3 t \quad \left(0 \le t \le \frac{\pi}{2}\right)$$ 실수 $a (0 \lt a \lt 1)$에 대하여 점 $A(a, 0)$를 지나고 이 곡선에 접하는 직선이 단 하나 존재한다. (단, 곡선의 두 끝점은 접점이 아니다.) 이 접선을 $\ell_a$라 하자.

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 곡선 $y=f(x)$는 $x=\frac{2}{3}$에서 변곡점을 갖는다.
(나) 다음과 같이 정의된 함수 $g(x)$가 $x=0$에서 미분가능하다.
$$g(x)=\begin{cases} x f'(x) + f(x) & (x \ge 0) \\ (1-x)e^{-x} + \cos x & (x \lt 0) \end{cases}$$ (다) 곡선 $y=f(x)$ 위의 서로 다른 세 점에서 점 $(0, k)$를 지나는 접선을 그을 수 있는 $k$ 값의 범위는 $2 \lt k \lt \frac{62}{27}$이다.

좌표평면 위에 두 점 $O(0,0), A(3,3)$와 중심이 $B(5,3)$이고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C$가 있다.
점 $O=A_0, A_1, A_2, A_3=A$는 선분 $OA$를 삼등분하며, 점 $P$는 원 $C$ 위를 움직인다.

파란색 공이 $n$개, 노란색 공이 $2n-1$개, 진홍색 공이 $2n+2$개 있을 때, $2n$개의 공을 택하는 경우의 수를 $a_n$이라고 하자. (단, $n$은 자연수이고, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.)

(가) 이차함수 $y=f(x)$가 다음 조건을 만족한다.
    (i) $\lim_{h \to \infty} \frac{f(h)}{h} (\ln(h+1) - \ln h) = 1$,    (ii) $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h^2} \int_{h}^{h+\sin h} f(x) dx = 3$
(나) 두 실수 $\alpha \lt \beta$에 대하여 두 점 $(\alpha, f(\alpha))$, $(\beta, f(\beta))$를 지나는 직선의 방정식을 $y=k(x)$라 할 때, $\int_{\alpha}^{\beta} (k(x)-f(x))dx = \frac{1}{6}$ 이다.
(다) 두 실수 $a, b$에 대하여 포물선 $y=-(x-a)^2+b$가 두 점 $(\alpha, f(\alpha))$, $(\beta, f(\beta))$를 지난다.

(가) 함수 $f(x)$는 $f(x)=x^3-x$이다.
(나) 실수 $a$가 주어질 때, 함수 $g(x)$는 다음 성질을 만족한다.
    (i) $g(x)$는 일차함수 또는 상수함수이다.
    (ii) $f(a)-g(a)=a$
    (iii) $f'(a)-g'(a)=0$

반경이 $1$인 반원 위에 $\overline{AB_1}=\overline{B_1 B_2}=\overline{B_2 B_3}=\overline{B_3 B_4}$를 만족시키는 $4$개의 점 $B_1, B_2, B_3, B_4$가 순서대로 놓여있다.

부품 A, B, C가 연결되어 작동하는 회로가 있다. 이 회로는 부품 A와 B 중 적어도 하나가 정상이고 부품 C가 정상이면 작동을 한다. 새로 생산된 부품이 불량일 확률은 부품 A: $20\%$, 부품 B: $25\%$, 부품 C: $10\%$이고 부품 A, 부품 B, 부품 C가 불량일 사건은 각각 독립이다.

함수 $\sigma(x)$는 다음과 같다.
$$\sigma(x) = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\ 0 & (x \lt 0) \end{cases}$$

$f(x)=x^3+px^2+qx+r$은 다음 조건들을 만족하는 삼차 다항함수이다.
(가) $p, q, r$은 정수이고 $p$는 $0$이 아니다.
(나) $y=f(x)$의 변곡점에서 접선의 방정식은 $y=-x$이다.

그림과 같이 반경이 $1$인 원 위에 $\overline{AB_1}=\overline{B_1 B_2}=\overline{B_2 B_3}=\cdots=\overline{B_{n-1} B_n}=\overline{B_n A}$를 만족시키는 $n$개의 점 $B_1, B_2, \dots, B_n$이 순서대로 놓여있다. 벡터 $\vec{b_i} = \vec{AB_i}$ ($1 \le i \le n$)라 하자.

$20$ 이상의 자연수 $n$에 대하여, 이차함수 $y=ax^2+bx+c$는 다음 조건을 만족한다.
(가) $0 \lt a \lt 1$
(나) 두 점 $(-1, 1)$과 $(0, 1)$을 지난다.
(다) 두 이차함수 $y=ax^2+bx+c$와 $y=x^2$으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $n$이다.
이때, 이차함수 $y=ax^2+bx+c$의 꼭짓점의 $y$좌표를 $y_n$이라 하고, 두 이차함수 $y=ax^2+bx+c$와 $y=x^2$의 교점 중 $(-1, 1)$이 아닌 점을 $(d_n, d_n^2)$이라 하자. (단, $d_n \ge \sqrt{2n}$이다.)