(1) \(n\)이 자연수일 때, 실수에서 정의된 최고차항의 계수가 각각 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 이차함수 \(g(x)\)에 대하여 \(f(x) = 0\)의 근이 \(0,\ -n\)을 포함하고, \(g(x) = 0\)의 근이 \(0,\ n\)이라 하자. 함수 \[ h(x) = \begin{cases} f(x), & x \le 0 \\ g(x), & x > 0 \end{cases} \] 가 원점에서 미분가능할 때, \(y = |h(x)|\)의 그래프와 직선 \(y = 0\)으로 둘러싸인 두 영역 중에서 \(y\)축 왼쪽의 내부 영역(경계 제외)을 \(A_n\), \(y\)축 오른쪽의 내부 영역(경계 제외)을 \(B_n\)이라 하자. \(A_n\) 및 \(B_n\)의 원소 중에서 \(x\)좌표와 \(y\)좌표가 모두 정수인 점의 개수를 각각 \(a_n,\ b_n\)이라 할 때, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{nb_n}\)의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 13점

(2) 점 \((-n, 0)\)을 지나고 기울기가 양수인 직선이 곡선 \(y = |h(x)|\)와 만나는 점의 개수를 직선의 기울기에 따라 분류하고, 그 근거를 논술하시오. 17점

(1) 동아리가 받을 성장 보너스의 기댓값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 16점

(2) 이번에는 동아리가 두 식물을 관찰한다고 하자. 두 식물의 현재 성장 지수는 모두 \(16\)이며, 각 식물의 성장 지수는 위와 같은 규칙에 따라 변한다. 또한 두 식물에서 일어나는 성장 지수의 변화도 서로 독립이다. 동아리는 3개월 뒤 각 식물의 성장 보너스를 계산한 후, 둘 중 더 큰 값을 최종 성장 보너스로 받는다. 이때 최종 성장 보너스의 기댓값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 17점

(1) 점 \(\mathrm{O}_1,\ \mathrm{O}_2,\ \mathrm{O}_3\)가 이루는 평면을 \(\beta\)라 하자. 평면 \(\alpha\)와 평면 \(\beta\)의 이면각을 \(\theta\)라 할 때, \(\cos\theta\)의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 15점

(2) 점 \(\mathrm{O}_1\)과 \(\mathrm{O}_2\)를 지나는 직선이 평면 \(\alpha\)와 만나는 점을 \(\mathrm{A}\), 점 \(\mathrm{O}_2\)와 점 \(\mathrm{O}_3\)를 지나는 직선이 평면 \(\alpha\)와 만나는 점을 \(\mathrm{B}\), 점 \(\mathrm{O}_3\)에서 \(\alpha\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{P}_3\)라 하자. 이때, 삼각형 \(\mathrm{O}_3\mathrm{AB}\)의 넓이를 \(S_1\), 삼각형 \(\mathrm{P}_3\mathrm{AO}_2\)의 넓이를 \(S_2\)라 할 때 \(\dfrac{S_2}{S_1}\)의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 22점

(1) \(\dfrac{dy}{dx} = n\)이 되는 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표를 \(a_n\)이라고 할 때, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\)을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 15점

(2) 시각 \(t = 1\)에서 \(t = e^{\frac{1}{2n+1}}\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리를 \(l\)이라고 하고, 시각 \(t = e^{\frac{1}{2n+1}}\)에서 점 \(\mathrm{P}\)의 \(y\)좌표를 \(m\)이라고 하자. 이때 \(\dfrac{l}{m}\)을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 15점

(1) 처음 윷짝을 던진 결과가 앞면이 나왔을 때, 뒷면이 세 번 나오기 전에 말이 맨 오른쪽 점까지 도달할 확률 \(f(p)\)를 구하고, 그 근거를 논술하시오. 12점

(2) \(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\)라는 다섯 개의 영역이 있는 돌림판이 있고, 각 영역이 나올 확률은 동일하다. 돌림판을 돌려서 영역 \(1,\ 2,\ 3,\ 4\) 중 하나가 나오면 말을 왼쪽에서 세 번째 점에 두고, 반면에 영역 \(5\)가 나오면 말을 왼쪽에서 두 번째 점에 둔다. 그 후에 윷짝을 계속해서 던져서 뒷면이 두 번 나오기 전에 말이 맨 오른쪽 점까지 도달할 확률을 \(g(p)\)라고 하자. (1)에서 구한 \(f(p)\)에 대하여 \(f(p) = g(p)\)인 \(p\)의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (단, \(0 \lt p \lt 1\)) 21점

(1) 점 \(\mathrm{P}\)가 점 \((-4, 0)\)에서 점 \((4, 0)\)까지 \(x\)축을 따라 움직인다. 점 \(\mathrm{P}\)가 움직이는 동안 점 \(\mathrm{Q}\)는 곡선 \(y = \sqrt{4 - x^2}\)을 따라 움직인다고 할 때, 점 \(\mathrm{R}\)가 그리는 곡선을 나타내는 함수 \(y = f(x)\)를 구하고 그 근거를 논술하시오. (단, 점 \(\mathrm{P}\)가 원점에 있을 때, 점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표는 \((0, 2)\)이다.) 15점

(2) (1)에서의 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 곡선 \(y = 5 - \dfrac{x^2}{a}\)의 서로 다른 교점이 \(2\)개 이상이 되는 양수 \(a\)의 범위를 구하고 그 근거를 논술하시오. 18점

(1) \(\overline{\mathrm{OP}_5}\)를 \(\alpha\)와 \(\beta\)에 대한 식으로 정리하면 \(\overline{\mathrm{OP}_5} = A\sin(\alpha + B)\sin\alpha\cos(\beta + C)\cos\beta\) 일 때, 상수 \(A,\ B,\ C\)의 값을 각각 구하고 그 근거를 논술하시오. (단, \(0 \lt B \lt \dfrac{\pi}{2},\ -\dfrac{\pi}{2} \lt C \lt 0\)) 16점

(2) \(\beta = \dfrac{\pi}{6}\)일 때, \(x\)축 위의 점 \(\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_5,\ \mathrm{P}_9,\ \cdots\)에 대하여, \(\overline{\mathrm{OP}_1} + \overline{\mathrm{OP}_5} + \overline{\mathrm{OP}_9} + \cdots\)의 합을 \(\alpha\)에 대한 식으로 구하고, 이를 \(f(\alpha)\)라 하자. 이때, \(f(\alpha)\)의 증가와 감소의 표를 구하시오. 이를 이용하여 \(f(\alpha)\)가 최대가 되는 \(\alpha\)의 값과, 그때의 최댓값을 구하고 그 근거를 논술하시오. 21점

(1) 선분 \(\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\)의 수직이등분선이 쌍곡선 \(x^2 - y^2 = b\)와 접한다고 한다. 이때 \(b\)의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 12점

(2) 두 점 \(\mathrm{P}_1,\ \mathrm{Q}_1\)에 대하여 직각삼각형 \(\mathrm{OP}_1\mathrm{Q}_1\)을 만든다. 선분 \(\mathrm{P}_1\mathrm{Q}_1\)의 수직이등분선이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}_2,\ \mathrm{Q}_2\)라 하고 직각삼각형 \(\mathrm{OP}_2\mathrm{Q}_2\)를 만든다. 선분 \(\mathrm{P}_2\mathrm{Q}_2\)의 수직이등분선이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}_3,\ \mathrm{Q}_3\)라 하고 직각삼각형 \(\mathrm{OP}_3\mathrm{Q}_3\)를 만든다. 선분 \(\mathrm{P}_3\mathrm{Q}_3\)의 수직이등분선이 \(x\)축, \(y\)축과 만나는 두 점을 각각 \(\mathrm{P}_4,\ \mathrm{Q}_4\)라 하고 직각삼각형 \(\mathrm{OP}_4\mathrm{Q}_4\)를 만든다. 이와 같은 과정을 계속하여 직각삼각형 \(\mathrm{OP}_5\mathrm{Q}_5,\ \mathrm{OP}_6\mathrm{Q}_6,\ \mathrm{OP}_7\mathrm{Q}_7,\ \cdots\)을 만든다.
이때, 빗변의 중점이 제\(1\)사분면에 있는 직각삼각형들의 넓이의 합을 \(A_1\), 빗변의 중점이 제\(2\)사분면에 있는 직각삼각형들의 넓이의 합을 \(A_2\), 빗변의 중점이 제\(3\)사분면에 있는 직각삼각형들의 넓이의 합을 \(A_3\), 빗변의 중점이 제\(4\)사분면에 있는 직각삼각형들의 넓이의 합을 \(A_4\)라 하자. 다음 명제의 참, 거짓을 판별하고, 그 근거를 논술하시오. 18점

(1) 뒷면이 연속해서 나오지 않는 경우의 수를 구하고, 그 근거를 논술하시오. 12점

(2) 앞면은 항상 두 번 이상 연속해서 나오고 뒷면은 연속해서 나오지 않는 경우의 수를 구하고, 그 근거를 논술하시오. 21점

(1) 점 \(\mathrm{P}\)와 점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표를 구하고, 그 근거를 논술하시오. 10점

(2) 점 \(\mathrm{A}\)와 점 \(\mathrm{P}\)가 아닌 구 위의 점 \(\mathrm{R}\)에 대하여 삼각형 \(\mathrm{ARQ}\)의 \(xy\)평면 위로의 정사영을 \(F\)라 하고 삼각형 \(\mathrm{ARQ}\)와 \(xy\)평면이 이루는 각의 크기를 \(\theta\)라 하자. \(F\)의 넓이가 최대가 될 때, 삼각형 \(\mathrm{ARQ}\)의 세 변의 길이와 \(\cos\theta\)의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 27점

(1) 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표를 \(a,\ b,\ k\)를 이용하여 나타내고, 그 근거를 논술하시오. 15점

(2) \(a = 5,\ b = 4,\ k = 13\)이라 하자. 점 \(\mathrm{P}\)를 지나고 직선 \(l\)에 수직인 직선을 \(l'\)이라 하고, 직선 \(l'\)이 \(x\)축과 만나는 점을 \(\mathrm{Q}\)라 하자. 이때 \(\dfrac{\overline{\mathrm{PF}}}{\overline{\mathrm{QF}}} + \dfrac{\overline{\mathrm{PF}'}}{\overline{\mathrm{QF}'}}\)의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. 15점

(1) 구간 \((0, \infty)\)에서 함수 \(y = x + \dfrac{1}{x}\)의 증가와 감소를 표로 나타내시오. 이 결과를 이용하여 상수 \(k\)가 양수일 때 두 함수 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만남을 보이고, 그 근거를 논술하시오. \(\left(\text{단, } \displaystyle\lim_{x\to 0+}\left(x + \frac{1}{x}\right) = \infty,\ \lim_{x\to\infty}\left(x + \frac{1}{x}\right) = \infty\right)\) 18점

(2) (1)에서 두 교점의 \(x\)좌표를 각각 \(\alpha\)와 \(\beta\)라 할 때, \((\alpha - \beta)^2\)을 \(k\)에 대한 식으로 나타내고, 그 식을 \(S(k)\)라 하자. 닫힌구간 \([4, 10]\)의 임의의 점 \(x\)에서 \(x\)축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 \(6S(x)\)인 입체도형의 부피를 구하고, 그 근거를 논술하시오. 15점