[가] 다항식 \(P(x)\)를 \(0\)이 아닌 다항식 \(A(x)\)로 나눈 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R(x)\)라 할 때, \[P(x) = A(x)Q(x) + R(x) \quad (R(x) = 0 \text{ 또는 } (R(x)\text{의 차수}) < (A(x)\text{의 차수}))\] 가 성립한다. 특히 일차식 \(x-\alpha\)로 나눈 나머지는 \(P(\alpha)\)이다. (고등학교 『수학』)
[나] 이차방정식 \(x^2+x+1=0\)의 한 허근을 \(\omega\)라 할 때, 계수가 실수이므로 켤레복소수 \(\bar{\omega}\) 또한 근이 되며 다음 관계가 성립한다: \[\omega^2 + \omega + 1 = 0, \quad \omega^3 = 1, \quad \omega + \bar{\omega} = -1, \quad \omega\bar{\omega} = 1 \quad \text{(고등학교 『수학』)}\]
[논제] 실수 \(a, b, c\)에 대하여 다항식 \(P(x) = x^{2027} + ax^2 + bx + c\)가 있다.
[가] 좌표평면 위의 두 점 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\) 사이의 거리는 \(\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)이다. (고등학교 『수학』)
[나] 두 양수 \(A, B\)에 대하여 다음 부등식이 항상 성립한다: \[\frac{A+B}{2} \ge \sqrt{AB} \quad (\text{단, 등호는 } A = B \text{일 때 성립}) \quad \text{(고등학교 『수학』)}\]
[논제] 좌표평면 위에 점 \(A(0, 4)\)와 \(x\)축의 양의 부분 위의 점 \(P(t, 0)\) (\(t > 0\))이 있다. 선분 \(AP\)를 한 변으로 하고 제1사분면에 위치하는 정사각형 \(APQB\)를 만든다.
[가] 점 \((x_1, y_1)\)과 직선 \(ax+by+c=0\) 사이의 거리 \(d\)는 다음과 같다: \[d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \text{(고등학교 『수학』)}\]
[나] 중심이 원점이고 반지름이 \(r\)인 원 \(x^2+y^2=r^2\) 위의 점 \((x_1, y_1)\)에서의 접선의 방정식은 \(x_1 x + y_1 y = r^2\)이다. (고등학교 『수학』)
[논제] 좌표평면 위의 원 \(C: x^2+y^2=4\)와 원 밖의 직선 \(l: x - 2y + 10 = 0\)이 있다. 직선 \(l\) 위의 임의의 점 \(P(a, b)\)에서 원 \(C\)에 그은 두 접선의 접점을 각각 \(A, B\)라 하자.
[가] 함수 \(y=f(x)\)가 일대일대응일 때 역함수 \(f^{-1}\)가 존재하며, \(f\)의 치역은 \(f^{-1}\)의 정의역이 되고, \(f\)의 정의역은 \(f^{-1}\)의 치역이 된다. 또한 곡선 \(y=f(x)\)와 역함수 \(y=f^{-1}(x)\)의 그래프는 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이다. (고등학교 『수학』)
[나] 무리함수 \(y=\sqrt{ax+b}+c\)의 그래프와 직선의 위치 관계는 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식뿐만 아니라, 무리함수 그래프의 시작점의 위치와 방향을 함께 고려하여 엄밀히 판정한다. (고등학교 『수학』)
[논제] 정의역이 \(\{x \mid x \ge 2\}\)인 무리함수 \(f(x) = \sqrt{2x-4} + 1\)과 직선 \(l: y = x + k\) (\(k\)는 실수)가 있다.
[가] 두 사건 \(A, B\)에 대하여 사건 \(A\)가 일어나는 경우의 수가 \(m\), 사건 \(B\)가 일어나는 경우의 수가 \(n\)일 때, 두 사건이 동시에 일어나지 않으면 사건 \(A\) 또는 사건 \(B\)가 일어나는 경우의 수는 \(m+n\)이다. (합의 법칙) (고등학교 『수학』)
[나] 서로 다른 \(n\)개에서 순서를 생각하지 않고 \(r\)개를 택하는 조합의 수는 \(_n\mathrm{C}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) (\(0 \le r \le n\))이다. 도로망에서 최단 경로의 수는 가로 이동 횟수와 세로 이동 횟수의 조합으로 계산된다. (고등학교 『수학』)
[논제] 좌표평면 위의 원점 \(O(0, 0)\)에서 점 \(A(5, 5)\)까지 도로망을 따라 이동하려고 한다. 이동은 한 번에 \(x\)축의 양의 방향으로 \(1\)만큼 이동하거나 \(y\)축의 양의 방향으로 \(1\)만큼 이동하는 최단 경로만을 따른다.
[가] 다양한 상황에서 경우의 수를 구하는 체계적인 방법이 존재한다. 경우의 수를 세는 방법을 통해 사건이 일어날 수 있는 모든 경우를 분류하고 체계화하는 수학적 사고를 경험할 수 있으며, 이는 합리적인 의사 결정의 중요한 도구가 된다. (고등학교 『수학』)
[나] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 합의 기호 \(\sum\)를 사용하여 다음과 같이 나타낸다: \[a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k \quad \text{(고등학교 『수학Ⅰ』)}\]
[논제] 임의의 자연수 \(m\)이 소수 \(p_1, p_2, \dots, p_n\)의 곱 \(p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n\)으로 나타낼 수 있을 때 \(f(m) = n\)이라고 하자. 예를 들면, \(12 = 2 \times 2 \times 3\)이므로 \(f(12) = 3\)이다. (단, \(f(1) = 0\)이다.)
[가] 점 \((x_1, y_1)\)과 직선 \(ax+by+c=0\) 사이의 거리 \(d\)는 다음과 같다: \[d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad \text{(고등학교 『수학』)}\]
[나] 일반적으로 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 미분가능할 때, 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(P(a, f(a))\)에서의 접선의 기울기는 \(x=a\)에서의 미분계수 \(f'(a)\)이다. (고등학교 『수학Ⅱ』)
[논제] \(f(x)\)는 삼차함수이다. 곡선 \(y=f(x)\)의 기울기가 \(m\)인 접선이 \(m > -1\)일 때 두 개, \(m = -1\)일 때 한 개 존재하고, \(m < -1\)이면 존재하지 않는다고 하자. 또한 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) + f(-x) = 2\)이다. \(m > -1\)일 때 \(m\)을 기울기로 갖는 \(f(x)\)의 두 접선에 동시에 접하는 원의 넓이를 \(g(m)\)이라고 하며, \(g(0) = 4\pi\)이다.
[가] 차례로 늘어놓은 수의 열을 수열이라 하고, 수열을 이루고 있는 각각의 수를 그 수열의 항이라 한다. (고등학교 『수학Ⅰ』)
[나] \(10\)을 밑으로 하는 로그를 상용로그라 하고, 상용로그 \(\log_{10} N\)은 보통 밑 \(10\)을 생략하여 \(\log N\)과 같이 나타낸다. (고등학교 『수학Ⅰ』)
[논제 1] 어떤 질병에 걸린 환자 \(a\) (\(a > 0\))명의 집단이 있다. A와 B의 치료법 중 하나를 날마다 선택하여 이 집단의 모든 환자에게 일괄 적용하려 한다. 치료법 A를 처음 적용할 때 남아 있는 환자의 \(\frac{2}{3}\)가 다음날 질병으로부터 회복되고, 치료법 A를 두 번째부터 적용하면 남아 있는 환자의 \(\frac{1}{3}\)이 다음날 질병으로부터 회복된다. 치료법 B를 적용하면 남아 있는 환자의 \(\frac{1}{2}\)이 다음날 질병으로부터 회복된다. 치료법의 적용 비용은 환자 수와 관계없이 회당 A는 \(10\)만 원이며, B는 \(15\)만 원이다. (단, \(\log 2 = 0.30, \log 3 = 0.48\)로 계산한다.)
[가] 함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(f(x) \ge 0\)일 때, 곡선 \(y=f(x)\)와 \(x\)축 및 두 직선 \(x=a, x=b\)로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 다음과 같다: \[S = \int_a^b f(x) dx \quad \text{(고등학교 『수학Ⅱ』)}\]
[논제 2] 곡선 \(y=x^2\)과 직선 \(y=k\) (\(k > \frac{2}{3}\))에 의해 둘러싸인 영역의 경계선 위에 점 \(A_1\)부터 \(A_9\)까지 \(9\)개의 점이 순서대로 반시계 방향으로 놓여있다. 점 \(P\left(0, \frac{2}{3}\right)\)와 \(A_1\)부터 \(A_9\)까지 \(9\)개의 점을 각각 잇는 선분들로 이 영역의 넓이를 \(9\)등분하고자 한다. \(A_1\)은 원점이고 \(A_2\)의 좌표는 \((1, 1)\)이다.
[가] 우리 주변에서 일어나는 현상 중 많은 것이 지수함수나 로그함수의 그래프 형태로 나타난다. (고등학교 『수학Ⅰ』)
[나] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(a_1+a_2+a_3+\dots+a_n\)을 합의 기호 \(\sum\)를 사용하여 나타낸다: \[\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+a_3+\dots+a_n \quad \text{(고등학교 『수학Ⅰ』)}\]
[논제 1] 함수 \(f(x)\)가 \(f(x)=\log_3 x\)이고, 수열 \(\{a_n\}\)을 첫째항이 \(3\)이고 공비가 \(3\)인 등비수열이라 하자. \(n\)은 \(n \ge 2\)인 자연수이고, 세 점 \((a_n, f(a_n))\), \((a_{n-1}, 0)\), \((a_{n+1}, 0)\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 \(T_n\)이라 하자.
[가] 삼각형 \(ABC\)의 세 변의 길이를 각각 \(a, b, c\)라 하고 삼각형의 넓이를 \(S\)라고 하면: \[S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C \quad \text{(고등학교 『수학Ⅰ』)}\]
[논제 2] 시계판 위에 시침과 분침을 핀으로 고정하여 만든 원형의 아날로그 시계가 있다. 이 시계의 시침과 분침은 일정한 속도로 시계판 위를 회전하는데, 시침은 12시간마다, 분침은 1시간마다 시계판 위를 한 바퀴 회전한다. 고정핀으로부터 시침과 분침의 끝부분까지의 길이는 각각 \(10\text{cm}\), \(20\text{cm}\)이다.
[가] 좌표평면에서 동경 \(OP\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta\)라고 할 때: \[\sin\theta = \frac{y}{r}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} \;(x \ne 0) \quad \text{(고등학교 『수학Ⅰ』)}\]
[나] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(a_1+a_2+a_3+\dots+a_n\)을 합의 기호 \(\sum\)를 사용하여 나타낸다: \[\sum_{k=1}^n a_k = a_1+a_2+a_3+\dots+a_n \quad \text{(고등학교 『수학Ⅰ』)}\]
[논제 1] 인공위성을 궤도에 올리는 데 사용된 우주발사체가 파괴되어 8개의 파편이 순차적으로 평평한 지면 위의 두 지점 \(A\)와 \(B\)의 상공을 통과하여 추락하였다. \(A\)지점의 상공을 \(n\)번째로 지나간 파편은 지면으로부터 \((n+1)^2\text{km}\)의 높이로 통과하였으며, \(B\)지점의 상공에서는 모든 파편이 지면으로부터 \(1\text{km}\)의 높이로 통과하였다. 파편은 모두 직선을 따라 지면에 도달하였고, 두 지점 \(A\)와 \(B\) 사이의 거리는 \(1\text{km}\)라고 하자.
[가] 함수 \(y=f(x)\)의 그래프 개형은 도함수를 활용하여 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 조사하고, \(x\)축, \(y\)축과의 교점을 구하면 그릴 수 있다. (고등학교 『수학Ⅱ』)
[나] 함수 \(y=f(x)\)의 \(x=a\)에서의 미분계수 \(f'(a)\)가 존재할 때, \(f'(a)\)는 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 기울기와 같다. (고등학교 『수학Ⅱ』)
[논제 2] 드론이 평지에 직선으로 뻗어있는 도로를 따라 시험 비행을 하였다. 시험 비행에서 드론의 비행경로는 3차함수의 그래프 개형을 따르기로 하였으며, 도로의 \(O\)지점에서 이륙하여 도로의 \(A\)지점 상공을 지날 때 하강을 시작하고 도로의 \(B\)지점 상공을 지날 때부터 다시 상승하기로 계획하였다. 이때 \(A\)지점에서는 \(2\text{km}\)의 높이로, \(B\)지점에서는 \(1\text{km}\)의 높이로 비행하기로 계획하였고, \(A\)지점부터 \(B\)지점까지의 거리는 \(4\text{km}\)이다. 그런데 시험 비행 도중 드론이 \(A\)지점으로부터 도로를 따라 \(2\text{km}\) 지난 지점의 상공을 지나는 순간 드론 조종에 문제가 발생하였다. 드론 조종에 문제가 발생한 시점부터 드론이 그 순간의 진행 방향으로 직선을 따라 움직여 도로 위에 충돌하였다. 드론이 지면에 충돌한 지점은 도로의 \(A\)지점에서 몇 \(\text{km}\) 지난 지점인지 설명하시오. (단, 비행 중 드론의 속력은 항상 \(0\)보다 크다.) [60점]