2027학년도 경기대학교 수리논술 문제집

경기대학교 수리논술 (자연·자유전공)

A형 [문항 1] • 35점

[문제 1] 다음 제시문 [가], [나]를 읽고 물음에 답하시오.

[가] 우리 주변에서 일어나는 현상 중 많은 것이 지수함수나 로그함수의 그래프 형태로 나타난다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[나] 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합 \(a_1+a_2+a_3+\dots+a_n\)을 합의 기호 \(\sum\)를 사용하여 다음과 같이 나타낸다: \[ a_1+a_2+a_3+\dots+a_n = \sum_{k=1}^n a_k \] (고등학교 『수학Ⅰ』)

[논제 1] 함수 \(f(x)\)가 \(f(x)=\log_3 x\)이고, 수열 \(\{a_n\}\)을 첫째항이 \(3\)이고 공비가 \(3\)인 등비수열이라 하자. \(n\)은 \(n \ge 2\)인 자연수이고, 세 점 \((a_n, f(a_n))\), \((a_{n-1}, 0)\), \((a_{n+1}, 0)\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 \(T_n\)이라 하자.

(1) 삼각형 \(T_n\)의 밑변을 두 점 \((a_{n-1}, 0)\)과 \((a_{n+1}, 0)\)을 잇는 선분으로 선택할 때의 높이를 \(h_n\)이라 하자. 이때 \(\sum_{k=2}^n h_k^2\)을 구하시오. [15점]

(2) 삼각형 \(T_n\)의 넓이를 \(A_n\)이라 할 때, \(\sum_{k=2}^n \frac{A_k}{k}\)을 구하시오. [20점]

경기대학교 수리논술 (자연·자유전공)

A형 [문항 2] • 65점

[문제 2] 다음 제시문 [가]를 읽고 물음에 답하시오.

[가] 삼각형 \(ABC\)의 세 변의 길이를 각각 \(a, b, c\)라 하고 삼각형의 넓이를 \(S\)라고 하면 \[ S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}ca \sin B = \frac{1}{2}ab \sin C \] 이다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[논제 2] 시계판 위에 시침과 분침을 핀으로 고정하여 만든 원형의 아날로그 시계가 있다. 이 시계의 시침과 분침은 일정한 속도로 시계판 위를 회전하는데, 시침은 12시간마다, 분침은 1시간마다 시계판 위를 한 바퀴 회전한다. 고정핀으로부터 시침과 분침의 끝부분까지의 길이는 각각 \(10\text{cm}\), \(20\text{cm}\)이다.

(1) 시침을 기준으로 분침이 시계방향으로 이루는 각을 \(\theta\)라 할 때, 고정핀과 시침의 끝부분, 분침의 끝부분이 이루는 삼각형의 넓이가 \(50\text{cm}^2\) 이상이 되는 \(\theta\)의 범위를 \(0 \le \theta \le 4\pi\)에서 구하시오. [25점]

(2) 오후 1시부터 오후 6시까지 5시간 동안 시계를 관찰할 때, 고정핀과 시침의 끝부분, 분침의 끝부분이 이루는 삼각형의 넓이가 \(50\text{cm}^2\) 이상이 되는 총 시간은 얼마인지 설명하시오. [40점]

경기대학교 수리논술 (자연·자유전공)

B형 [문항 1] • 40점

[문제 3] 다음 제시문 [가], [나]를 읽고 물음에 답하시오.

[가] 좌표평면에서 동경 \(OP\)가 나타내는 각의 크기를 \(\theta\)라고 할 때 \(\sin\theta = \frac{y}{r}\), \(\cos\theta = \frac{x}{r}\), \(\tan\theta = \frac{y}{x} \;(x \ne 0)\)이다. (고등학교 『수학Ⅰ』)

[논제 1] 인공위성을 궤도에 올리는 데 사용된 우주발사체가 파괴되어 8개의 파편이 순차적으로 평평한 지면 위의 두 지점 \(A\)와 \(B\)의 상공을 통과하여 추락하였다. \(A\)지점의 상공을 \(n\)번째로 지나간 파편은 지면으로부터 \((n+1)^2\text{km}\)의 높이로 통과하였으며, \(B\)지점의 상공에서는 모든 파편이 지면으로부터 \(1\text{km}\)의 높이로 통과하였다. 파편은 모두 직선을 따라 지면에 도달하였고, 두 지점 \(A\)와 \(B\) 사이의 거리는 \(1\text{km}\)라고 하자.

(1) \(A\)지점의 상공을 \(n\)번째 지나간 파편이 지면에 도달할 때, 지면과 이루는 각을 \(\theta_n\)이라 하면, \(\sum_{n=1}^8 \tan\theta_n\)은 얼마인지 설명하시오. (단, \(0 < \theta_n < \frac{\pi}{2}\)이다.) [15점]

(2) \(A\)지점의 상공을 \(n\)번째로 지나간 파편이 지면에 도달한 지점에서 \(B\)지점까지의 거리를 \(a_n\text{km}\)라 하면, \(\sum_{n=1}^8 a_n\)은 얼마인지 설명하시오. [25점]

경기대학교 수리논술 (자연·자유전공)

B형 [문항 2] • 60점

[문제 4] 다음 제시문 [가], [나]를 읽고 물음에 답하시오.

[가] 함수 \(y=f(x)\)의 그래프 개형은 도함수를 활용하여 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 조사하고, \(x\)축, \(y\)축과의 교점을 구하면 그릴 수 있다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[나] 함수 \(y=f(x)\)의 \(x=a\)에서의 미분계수 \(f'(a)\)가 존재할 때, \(f'(a)\)는 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 기울기와 같다. (고등학교 『수학Ⅱ』)

[논제 2] 드론이 평지에 직선으로 뻗어있는 도로를 따라 시험 비행을 하였다. 시험 비행에서 드론의 비행경로는 3차 함수의 그래프 개형을 따르기로 하였으며, 도로의 \(O\)지점에서 이륙하여 도로의 \(A\)지점 상공을 지날 때 하강을 시작하고 도로의 \(B\)지점 상공을 지날 때부터 다시 상승하기로 계획하였다. 이때 \(A\)지점에서는 \(2\text{km}\)의 높이로, \(B\)지점에서는 \(1\text{km}\)의 높이로 비행하기로 계획하였고, \(A\)지점부터 \(B\)지점까지의 거리는 \(4\text{km}\)이다.

그런데 시험 비행 도중 드론이 \(A\)지점으로부터 도로를 따라 \(2\text{km}\) 지난 지점의 상공을 지나는 순간 드론 조종에 문제가 발생하였다. 드론 조종에 문제가 발생한 시점부터 드론이 그 순간의 진행 방향으로 직선을 따라 움직여 도로 위에 충돌하였다. 드론이 지면에 충돌한 지점은 도로의 \(A\)지점에서 몇 \(\text{km}\) 지난 지점인지 설명하시오. (단, 비행 중 드론의 속력은 항상 0보다 크다.) [60점]