[제시문]

(ㄱ) 정수의 값을 갖는 등차수열 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\), \(\{c_n\}\)과 수열 \(\{x_n\}\)은 자연수 \(K\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 등차수열 \(a_n, \{b_n\}, \{c_n\}\)의 공차는 각각 \(0\) 이 아닌 정수 \(d_1, d_2, d_3\) 이고 \(a_K = b_K, b_{K + 15} = c_{K + 15}\)이다.

(나) \(n \le K\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(x_n = a_n\)이다.

(다) \(K \le n \le K + 15\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(x_n = b_n\)이다.

(라) \(n \ge K + 15\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(x_n = c_n\)이다.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 수열 \(\{x_n\}\)에 대하여 \(\{x_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라고 할 때, \(\{x_n\}\)과 \(S_n\)은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(x_1 = 35\)

(나) \(x_{46}x_{47} < 0\)

(다) \(S_7 = S_8\)

(라) \(S_{19}S_{17} - S_{19}S_{18} + S_{18}^2 - S_{18}S_{17} - 25 = 0\)

[제시문]

(ㄱ) 양수 \(a 와 상수 b 에 대하여 함수 f(x)\)는 다음과 같다.

\(f(x) = \begin{cases} \frac{2x}{x^2 + a} & (x \ge 0) \\ bx & (x < 0) \end{cases}\)

(ㄴ) 실수 \(t 와 제시문 (ㄱ)의 함수 f(x) 에 대하여 닫힌구간 [t, t+c] 에서의 f(x) 의 최댓값을 g(t) 라고 할 때, 함수 f(x) 와 g(t) 는 다음 조건을 만족시킨다. (단, c\)는 양수이다.)

(가) \(x \ge 0 인 모든 실수 x 에 대하여 f(x) \le f(c)\)이다.

(나) 함수 \(g(t)\)는 \(t = - \frac{1}{2}\)에서 미분가능하지 않다.

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 \(c 와 함수 g(t) 에 대하여 기울기가 m 인 직선 l\)은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 직선 \(l\)의 방정식은 \(y = mt + \frac{1}{c}\)이다.

(나) \(m = \frac{1}{25}\)일 때, 직선 \(l\)은 곡선 \(y =\) \(g(t)\)와 서로 다른 두 점에서 만난다.

(다) \(0 < m < \frac{1}{25}\)일 때, 직선 \(l\)은 곡선 \(y =\) \(g(t)\)와 서로 다른 세 점에서 만난다.

[제시문]

(ㄱ) 자연수 \(k 에 대하여 함수 f(x)\)는 다음과 같다.

\(f(x) = \sin kx\)

(ㄴ) 실수 \(t\)와 제시문 \(ㄱ)\)의 함수 \(f(x)\)에 대하여 직선 \(x = 4\pi\)와 곡선 \(y =\) \(f(x)\) 위의 점 \(t,\)\(f(t))\) 에서의 접선이 만나는 점의 \(y\) 좌표를 \(g(t)\)라고 하자.

(ㄷ) \(x < 4\pi 인 실수 x 와 제시문 (ㄴ)의 함수 g(t) 에 대하여 닫힌구간 [x, 4\pi] 에서의 함수 g(t) 의 최댓값과 최솟값의 차를 h(x)\)라고 하자.

(ㄹ) 제시문 (ㄱ)의 자연수 \(k\)와 제시문 \(ㄷ)\)의 함수 \(h(x)\)에 대하여 \(a = 4\pi - \frac{5\pi}{2k}, b = 4\pi - \frac{3\pi}{2k}, C = \int_{a}^{b}\) \(h(x)\) \(dx\)라고 하자.

[제시문]

(ㄱ) 주머니에 \(1 부터 n 까지의 자연수가 각각 적혀있는 공 n 개가 들어있다. 이 주머니에서 임의로 2 개의 공을 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 자연수 중 작은 수를 i , 큰 수를 j 라고 하자. (단, n \ge 3\))

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 자연수 \(i\), \(j\)에 대하여 \(i\), \(j-i\), \(n-j+1\) 중 가장 작은 수를 확률변수 \(X\)라고 하자.

[제시문]

(ㄱ) 하나의 상자에 다음 시행을 반복하여 공을 넣거나 꺼내려고 한다.

한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수가 \(1 이면 흰 공 3 개를, 2 이상 4 이하이면 검은 공 2 개를 상자에 넣고, 5 이상이면 상자에서 임의로 공 1 개를 꺼낸다. (단, 상자가 비어있을 때 나온 눈의 수가 5\) 이상이면 공을 넣지도 않고 꺼내지도 않는다.)

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 상자가 비어있는 상태에서 시작하여 제시문 (ㄱ)의 시행을 \(k\) 번 반복한 후 상자에 들어 있는 흰 공의 개수를 \(a_k\) , 검은 공의 개수를 \(b_k\) 라고 하자. 이때 \(a_k\)와 \(b_k\)가 다음 조건을 모두 만족시키거나 \(k = 10\)이면 더 이상 시행을 반복하지 않고 멈추기로 한다.

(가) \(a_k = 3\)

(나) \(b_k > 0\)

(다) \(b_k\)는 \(3\)의 배수 또는 \(3\)의 약수이다.

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 방법으로 시행을 반복할 때, 시작 후 멈출 때까지의 총 시행 횟수를 확률변수 \(X\)라고 하자.

(ㄹ) 제시문 (ㄷ)의 확률변수 \(X\)에 대하여 \(X = 4\)일 확률을 \(p, X \le 5\)일 때 \(X = 3\)일 확률을 \(q\)라고 하자.

[제시문]

(ㄱ) 최고차항의 계수가 \(3\)인 삼차함수 \(f(x)\)는 어떤 실수 \(\alpha\)에 대하여 \(f(f(\alpha))\) \(= \alpha\) 이고 다음 조건을 만족시킨다. 단, \(p = \frac{\alpha +\) \(f(\alpha)}{2}\))

(가) \(|\alpha - f(\alpha)| = 4\)

(나) \(f(p) - p = 4\)

(다) \(\int_{f(\alpha)}^{p} f(x) dx = 12\)

[제시문]

(ㄱ) 실수 \(a, b, c 에 대하여 함수 f(x) 는 다음과 같다. (단, n 은 자연수이고 e\)는 자연로그의 밑이다.)

\[f(x) = \begin{cases}\] ax^2 + b & (x < -1) \\ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3ax^{2n} + 3ae^x}{3x^{2n}+1} + \frac{2(x^{2n-1} + x^{2n-2} + \dots + x + 1)}{2x^{2n}+1} \right) & (-1 \le x < 1 \text{ 또는 } x > 1) \\ c & (x = 1) \[ \end{cases}\]

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 \(f(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 \(f(x)\)는 \(x = - 1\)에서 연속이다.

(나) 함수 \(f(x)\)에서 \(x\)의 값이 \(-1\)에서 \(1\) 까지 변할 때의 평균변화율은 \(\frac{1}{2}\)이다.

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 함수 \(f(x) 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 실수 p 의 집합을 A 라고 하자. (단, p \ne 1\))

\(1\)과 \(p\) 사이에 있는 임의의 실수 \(r\)에 대하여 \(\lim_{x \to r}\) \(\frac{f(x)\) \(-\) \(f(r)}{x-r}\) \(\ne\) \(\frac{f(p)\) \(-\) \(f(1)}{p-1}\)이다.

[제시문]

(ㄱ) 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x) 와 정의역과 공역이 모두 실수 전체의 집합이고 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 g(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(10 \le |f(2) - f(1)| \le 20\)

(나) 실수 \(t\)가 \(0 \le t \le 4\)일 때 \(f(g(t))\) \(=\) \(f(t)\)\(, t < 0\)일 때 \(g(t)\) \(=\) \(g(0)\)\(, t > 4\)일 때 \(g(t)\) \(=\) \(g(4)\)이다.

(다) \(\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x) - g(0)}{\sqrt{x}} = \sqrt{3}\)

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 \(g(x) 로 가능한 모든 함수의 개수를 n\)이라고 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 함수 \(f(x) 와 g(x) 로 가능한 모든 함수에 대하여 다음 S 의 값 중 가장 큰 값을 M , 가장 작은 값을 m\)이라고 하자.

\(S\)는 곡선 \(y =\) \(f'(x)g(x)\)와 \(x\) 축 및 두 직선 \(x = 1, x = 4\)로 둘러싸인 도형의 넓이이다.

[제시문]

(ㄱ) 좌표평면 위를 움직이는 점 \(P(x,y) 의 시각 t ( t \ge 0\))에서의 위치는 다음과 같다.

\(x = 2 \sin t - (2t - \pi)\cos t, \quad y = 2\cos t + (2t - \pi)\sin t\)

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 점 \(P\)에서 \(x\) 축과 \(y\) 축에 내린 수선의 발을 각각 \(Q\)와 \(R\) 이라고 하면, 점 \(P\)가 움직일 때 점 \(Q\)는 \(x\) 축 위에서 직선 운동을 하고 점 \(R\)은 \(y\)축 위에서 직선 운동을 한다.

(ㄷ) 양수 \(a\)에 대하여 제시문 \(ㄱ)\)의 점 \(P\)의 시각 \(t = a\) 에서의 속력은 시각 \(t = 0\) 에서의 속력의 \(3\) 배이다. 이때 실수 \(s\)는 \(t=0\)에서 \(t=a\) 까지 점 \(P\)가 움직인 거리이다.

(ㄹ) 양수 \(b\)에 대하여 제시문 \(ㄴ)\)의 점 \(Q\)는 시각 \(t = 0\)일 때 출발하여 시각 \(t = b\)에서 \(Q\)의 운동 방향을 두 번째로 바꾼다. 이때 실수 \(d\)는 \(t=0\)에서 \(t=b\) 까지 점 \(Q\)가 움직인 거리이다.

(ㅁ) 양수 \(c\)에 대하여 제시문 \(ㄴ)\)의 점 \(R\)은 시각 \(t = 0\)일 때 출발하여 시각 \(t = c\)에서 \(R\)의 운동 방향을 두 번째로 바꾼다. 이때 실수 \(l\)은 \(t=0\)에서 \(t=c\) 까지 점 \(R\)이 움직인 거리이다.

[제시문]

(ㄱ) 실수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y = e^{2x}\) 위의 점 \(t, e^{2t}\) 에서의 접선의 방정식을 \(y =\) \(f(x)\)라고 하자.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 실수 \(t\)와 함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\) \(=\) \(|f(x)\) \(+ k - 2\ln x|\)가 구간 \(0, \infty\)에서 미분가능하도록 하는 실수 \(k\)의 최솟값을 \(m(t)\)라 하자. 이때 함수 \(h(t)\)는 다음과 같다.

\(h(t) = e^{-t}(m(t) + 2t + 1)\)

(ㄷ) 두 실수 \(a, b ( a < b )와 제시문 (ㄴ)의 함수 h(t) 에 대하여 실수 s\)는 다음과 같다.

\(s = \int_{a}^{b} (t-1)^2 h(t) dt\)

(ㄹ) 두 실수 \(\alpha, \beta\) \(\alpha < \beta\) \()\)와 제시문 \(ㄷ)\)의 실수 \(a, b, s\)에 대하여 \(a = \alpha, b = \beta\)일 때, \(s\)의 값이 최소가 된다.

[제시문]

(ㄱ) 자연수 \(n ( 1 \le n \le 500 )에 대하여 실수 a\)는 다음과 같다.

\(a = \sin\left(\frac{n+1}{100}\right) + \sin\left(\frac{n+2}{100}\right) + \dots + \sin\left(\frac{n+100}{100}\right)\)

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 \(n\)과 \(a\)에 대하여 \(a\)의 값이 최대가 되도록 하는 \(n\)의 값을 \(m\)이라고 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 자연수 \(m\)에 대하여 실수 \(b\)는 다음과 같다.

\(b = \cos\left(\frac{m+1}{100}\right) + \cos\left(\frac{m+2}{100}\right) + \dots + \cos\left(\frac{m+100}{100}\right)\)

(ㄹ) 제시문 (ㄷ)의 실수 \(b\)에 대하여 집합 \(A\)는 다음과 같다.

\(A = \{ k \mid 2b - k > 0,\)\(;\)\(k\text{\)는 정수\(} \}\)

(ㅁ) [삼각함수의 성질과 원주율]
(가) \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right), \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\)
(나) 원주율 \(\pi\)의 값은 \(\pi = 3 . 141592\dots\) 임이 알려져 있고, \(1 . 570 < \frac{\pi}{2} < 1 . 571\)이다.

[제시문]

(ㄱ) 실수 \(a 에 대하여 함수 f(x)\)는 다음과 같다.

\(f(x) = \begin{cases} x^3 - ax^2 - a^2 x + 4a + 2a^2 & (x \ge 0) \\ -(a+4)^2 x + 4a + 2a^2 & (x < 0) \end{cases}\)

(ㄴ) 양수 \(k 와 제시문 (ㄱ)의 실수 a , 함수 f(x) 에 대하여 닫힌구간 [-k, k] 에서 f(x) 의 최댓값을 g(a)\)라고 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 양수 \(k 와 함수 g(a) 에 대하여 구간 (-\infty, \infty) 에서 g(a) 의 최솟값을 m 이라고 할 때, 다음 조건을 만족시키는 k 값 전체의 집합을 A\)라고 하자.

\(g(a)\) \(= m\)을 만족시키는 \(a\)의 값은 단 하나만 존재한다.

[제시문]

(ㄱ) 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 \(k\)의 집합을 \(A\)라고 하자.

모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\log_{\left(\frac{1}{2}k\) \(- 5\right)}\) \(\left\{\) \(-(k-11)x^2\) \(+ k - 11\)x) \(+ 2 \right\}\)가 정의된다.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 집합 \(A\)에 대하여 집합 \(B\)를 다음과 같이 정의한다.

\(B = \left\{ m, n\) \(\mid \frac{1}{3}m^2 + n \in A,\)\(; n > 1,\)\(;\)\(m\text{\)과 \(} n\text{\)은 정수\(} \right\}\)

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 집합 \(B\)에 대하여 집합 \(C\)를 다음과 같이 정의한다.

\(C = \left\{ m, n\) \(\mid m, n\) \(\in B\text{\) 이고, \(} x^n = m\text{\)을 만족하는 실수 \(} x\text{\)가 존재한다.\(} \right\}\)

(ㄹ) [\(a\)의 \(n\) 제곱근\(] n\) 이 \(2\) 이상의 정수일 때, \(n\) 제곱하여 실수 \(a\)가 되는 수, 즉 \(x^n = a\)를 만족시키는 수 \(x\)를 \(a\)의 \(n\)제곱근이라고 한다.

[제시문]

(ㄱ) 좌표평면 위의 원 \(C_1, C_2\)는 다음과 같다.

\(C_1: (x-1)^2 + y^2 = \frac{1}{5}, \quad C_2: (x+2)^2 + (y+3)^2 = \frac{4}{5}\)

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 원 \(C_1\), \(C_2\)에 동시에 접하는 직선 중 기울기가 최대인 직선을 \(l\) , 최소인 직선을 \(m\)이라 하자.

(ㄷ) 제시문 (ㄱ)의 원 \(C_1, C_2 와 제시문 (ㄴ)의 직선 l, m 에 대하여 정의역이 열린구간 (0, 1) 인 함수 f(t), g(t)\)를 다음과 같이 정의한다.

- \(f(t)\) \(=\) \(\sin(\angle\) \(P_1 A_1 Q_1\) : 직선 \(l\) 위의 한 점 \(A_1(t\)\(, 2t - 1\)에 대하여 두 점 \(P_1, Q_1\)은 원 \(C_1\)과 직선 \(l\)의 접점이거나, 점 \(A_1\)에서 원 \(C_1\)에 그은 접선과 원 \(C_1\)의 접점이다.
- \(g(t)\) \(=\) \(\sin(\angle\) \(P_2 A_2 Q_2\) : 직선 \(m\) 위의 한 점 \(A_2(t\)\(, \frac{1}{2}t - 1\)에 대하여 두 점 \(P_2, Q_2\)는 원 \(C_2\)와 직선 \(m\)의 접점이거나, 점 \(A_2\)에서 원 \(C_2\)에 그은 접선과 원 \(C_2\)의 접점이다.

(ㄹ) 제시문 (ㄷ)의 두 함수 \(f(t)\)\(,\)\(g(t)\)에 대하여 열린구간 \(0, 1\)에서 함수 \(y =\) \(f(t)g(t)\)의 최댓값을 \(M\)이라 하자.

[제시문]

(ㄱ) 함수 \(f(t)\)를 다음과 같이 정의한다.

\(f(t) = \int_{0}^{t} \left\{ \frac{1}{(1+x^4)^{1/4}} - \frac{x^4}{(1+x^4)^{5/4}} \right\} dx\)

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 함수 \(f(t) 에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 t 에서의 속도 v(t)\)는 다음과 같다.

\(v(t) = 3t^2 \{ f(t) + 1 \}\)

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 점 \(P\)에 대하여 \(s\)는 \(t=0\)에서 \(t=1\) 까지 점 \(P\)가 움직인 거리이다.

[제시문]

(ㄱ) 수열 \({a_n}\)은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(a_1 = 0\)

(나) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n < a_{n + 1}\)이다.

(다) 실수 \(x\)가 \(a_n < x \le a_{n + 1}\)일 때, 집합 \(\left\{ \frac{1}{k} \ln\frac{k}{x}\) \(;\)\(\middle|\)\(;\)\(1 \le k \le 5n,\)\(;\)\(k\text{\)는 자연수\(} \right\}\)의 원소 중 최댓값은 \(\frac{1}{n} \ln\frac{n}{x}\)이다.

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 수열 \({a_n}\)에 대하여 급수의 합 \(S\)를 다음과 같이 정의한다.

\(S = \sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \left(\frac{a_{n+1}}{n}\right)^{1/n} - \left(\frac{a_n}{n}\right)^{1/n} \right\}\)

[제시문]

(ㄱ) 상자 \(A\) 에는 검은 공 \(1\) 개와 흰 공 \(4\) 개가 들어 있고 상자 \(B\) 에는 검은 공 \(3\) 개와 흰 공 \(2\) 개가 들어 있다. 서로 다른 주사위 \(3\) 개를 동시에 던져 나온 눈의 수 중 가장 큰 수와 가장 작은 수의 차이가 \(2\) 또는 \(4\)이면 상자 \(A\)에서, 아니면 상자 \(B\)에서 공을 하나 뽑는 시행을 두 번 반복한다. (단, 뽑힌 공은 상자에 다시 넣지 않는다.)

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 시행에 대하여 첫 번째 시행에서 검은 공이 나올 확률을 \(p\) , 첫 번째 시행에서 흰 공이 나왔을 때 두 번째 시행에서 검은 공이 나올 확률을 \(q\)라고 하자.

[제시문]

(ㄱ) 학생 \(A 와 B 를 포함하는 k+2 명으로 구성된 동아리에 대하여 아래 경우의 수를 a_k 라고 하자. (단, k 는 3\) 이상인 자연수이다.)

학생 \(A\), \(B\)를 포함하여 동아리 학생 \(5\) 명을 뽑아 원탁에 앉힐 때 \(A\)와 \(B\)가 서로 이웃하여 앉는 경우의 수

(ㄴ) 제시문 (ㄱ)의 \(a_k\)와 \(3\) 보다 큰 소수 \(p\)에 대하여 다음 집합 \(S\)의 가장 작은 원소를 \(b_k\)라고 하자.

\(S = \left\{ m \mid m\text{\)은 \(} m \ge \frac{p}{a_k} \text{\)인 자연수\(} \right\}\)

(ㄷ) 제시문 (ㄴ)의 \(p\)와 \(b_k\)에 대하여 \(L\)은 다음과 같다.

\(L = \sum_{k=3}^{p-1} b_k\)

[제시문]

(ㄱ) 상수 \(n\)에 대하여 명제 \(p\)는 다음과 같다.

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 \(f(x)\)가 \(x = \alpha\)에서 극댓값을 가지고 \(x = \beta\)에서 극솟값 \(0\)을 가지면 방정식 \(f(x-f(x))\) \(=\) \(f(x)\)는 열린구간 \(\alpha, \beta\)에서 \(n\)개의 실근을 갖는다.

(ㄴ) 최고차항의 계수 \(k 가 양수인 삼차함수 f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 \(f(x-f(x))\) \(=\) \(f(x)\)의 모든 실근은 \(a, b, c, d, e\) 이고 \(f(b)\) \(=\) \(f(d)\)이다. 단, \(a < b < c < d < e\))

(나) 함수 \(f(x) 의 극솟값은 0\)이다.

이 함수 \(f(x)\)와 실수 \(k, a, b, c\)에 대하여 \(m =\) \(k(b-a)f(2b-c)\)라고 하자.