\(0 \le x \lt \frac{\pi}{2}\)일 때, 방정식 \(3\cos^2 x - \sin x\cos x - 2\sin^2 x = 0\)의 실근을 구하는 과정을 서술하시오.

수열 \(a_n\)에 대하여 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 하자. \(S_1 = 3\) 이고 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(S_{n + 1} = 3S_n + 2\)를 만족시킬 때, \(\log_3 \frac{8}{a_6}\)의 값과 \(S_7\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\) \(= x^2 - 3x + k\)에 대하여 함수 \(y =\) \(\frac{3x+1}{2\{f(x)\}^2 - 2xf(x) + 5f(x)}\)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하는 과정을 서술하시오.

실수 \(t (0 \le t \le 3) 에 대하여 점 (t, \sqrt{27-t^3}) 과 원점 사이의 거리의 제곱을 f(t) 라 하자. 닫힌구간 [0, 3] 에서 함수 f(t) 의 최댓값과 최솟값을 각각 M, m 이라 할 때, M \times m\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(- \frac{1}{4} \lt x \lt \frac{3}{4}\)에서 기울기가 양수이고 점 \(\frac{1}{4}, 0\)을 지나는 직선과 함수 \(y = \tan 2\pi x\)의 그래프가 만나는 두 점의 \(x\) 좌표를 각각 \(a, b a \lt b\)라 하자. \(a + 2b = \frac{7}{6}\)일 때, \(\sin 2a + b\)\(\pi\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 \(1 인 삼차함수 f(x) 가 다음 조건을 만족시킬 때, f'(3) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 0 이 아닌 모든 실수 x\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\frac{3}{4}f'(x) - f'(0) + \frac{23}{4}x^2 - 4 \le \frac{f(3x) - f(0)}{3x} \le \frac{1}{2}x^4 + 5x^2\]

최고차항의 계수가 \(1 인 다항함수 f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x f'(x)} = \frac{1}{3}\)
(나) \(\lim_{x \to 0} \left\{ \left(x^2 + \frac{1}{x}\right) f(x) \right\}\)가 존재한다.
(다) \(\lim_{x \to -1} \left\{ \left(x^2 + \frac{1}{x}\right) \frac{1}{f(x)} \right\} = 3 \int_{-2}^2 |f(x)| dx\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

점 \(A\)의 좌표를 \(- 2, 0\) 이라 하고, 함수 \(f(x)\) \(= \log_2 x + 2\)의 그래프가 \(y\) 축과 만나는 점을 \(B\)라 하자. \(2\) 이상인 자연수 \(n\)에 대하여 곡선 \(y=f(x)\) 위의 \(x\) 좌표가 \(2^n\)인 점을 \(P\)라 하고 두 삼각형 \(PBO, PBA\)의 넓이의 차를 \(S_n\) 이라 할 때, \(S_n \gt 2026\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(O\)는 원점이다.)

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\) \(= x - 2\)(x-a))의 한 부정적분을 \(F(x)\)라 하자. \(x\)에 대한 방정식 \(F(x)\) \(= 0\)의 서로 다른 실근의 개수가 \(2\)일 때, \(F(0)\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(2 \lt a \le 6\))

공비 \(r\)가 음수인 등비수열 \(a_n\)의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 하자. \(\frac{S_4 - S_1}{S_{10} - S_4} = \frac{64}{9}\)일 때, \(r\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a_1 \neq 0, r \neq - 1\))

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim_{x\to \infty}\) \(\frac{\sqrt{x^4-5}-f(x)}{6x^2+1}\) \(= \frac{1}{3}\)일 때, 함수 \(g(x) = \begin{cases} f(1-x)-f(x) & (x < 1) \\ f(x) & (x \ge 1) \end{cases}\)라 하자. 함수 \(g(x)\)가 \(x = 1\)에서 미분가능할 때, \(f(3)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

자연수 \(k\)에 대하여 함수 \(f(x)\) \(= 5^{3x + 3} - 5^{2x + \log_2 k}\)의 그래프가 \(x\) 축과 만나는 점의 \(x\) 좌표를 \(a\)라 하자. \(1 \le a \le 3\)을 만족시키는 모든 \(k\)의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 \(1 인 이차함수 f(x) 와 두 실수 a, b 가 다음 조건을 만족시킬 때, a + b + f(3)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

(가) 함수 \(g(x)\) \(=\) \(\frac{x}{f(x^2+9)}\)는 \(x = a\)에서만 불연속이다.
(나) \(\lim_{x\to -3} \frac{f(x-2)}{f(x^2)} = b\)

그림과 같이 중심이 \(O\) 이고 길이가 \(6\)인 선분 \(AB\)를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 \(AB\) 위의 점 \(P\)에 대하여 \(\overline{PB} = \overline{PC}\)가 되도록 호 \(PA\) 위에 점 \(C\)를 잡는다. 선분 \(OP\)가 선분 \(BC\)와 만나는 점을 \(D\)라 하자. 사각형 \(ACPD\)가 평행사변형일 때, 선분 \(AP\)의 길이와 \(\sin(\angle\) \(PBC\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x)\) \(= x^3 - 3x^2 + 2x \int_{0}^{2}\) \(f(t)dt\) \(+ \left\{\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{2}}f(t)dt\right\}^2\)이다.
(나) 임의의 두 실수 \(x_1, x_2 ( x_1 < x_2 )에 대하여 f(x_2) - 3x_1^2 > f(x_1) - 3x_2^2\) 이 성립한다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(g(x)\)가 \(0 \le x < 1\)일 때 \(g(x)\) \(=\) \(f(x)\) \(+ ax^2\) 이고, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x\) \(+ 1\) \(=\) \(g(x)\) \(+ b\)를 만족시킨다. \(\int_{2}^{3}\) \(g(x)dx\) \(= \frac{79}{12}\)일 때, \(a\)와 \(b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a, b\)는 상수이다.)

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)의 도함수가
\(f'(x)\) \(=\) \(\begin{cases} -2 & (x >b) \\ -4x^3 - 12x^2 - 9x - 2) & (x \le b) \end{cases}\)
이다. 함수 \(g(x)\) \(=\) \(|f(x)|\) 이고 세 집합 \(A, B, C\)를
\(A = \left\{x \mid \lim_{h\to 0^-} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} + \lim_{h\to 0^+} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = 0\right\},\)
\(B = \left\{x \mid \lim_{h\to 0^-} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} = 0\right\},\)
\(C =\) \(\{g(x)\) \(\mid x \in A\}\)라 할 때, \(n(A)\) \(= 3\),\(n(B)\) \(= 2\),\(n(C)\) \(= 2\)이다. 집합 \(C\)의 모든 원소를 구하는 과정을 서술하시오.

시각 \(t = 0\)일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q\)가 있다. 시각 \(t\) \(t \ge 0\) \()\)에서의 점 \(P\)의 속도 \(v_1(t)\)와 점 \(Q\)의 가속도 \(a_2(t)\)는 \(v_1(t)\) \(= - \frac{1}{2}t^2 + \frac{5}{2}t,\)\(a_2(t)\) \(= 2t - \frac{1}{2}\)이다. 시각 \(t = k\)일 때, 두 점 \(P, Q\)의 속도가 같고 점 \(Q\)의 가속도가 점 \(P\)의 가속도의 \(7\) 배이다. \(t = 0\)에서 \(t = k\) 까지 두 점 \(P, Q\)가 움직인 거리의 차를 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(k\)는 상수이다.)

상수 \(a\)와 \(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\)에 대하여, 이차방정식 \(3x^2 - \sqrt{5}x + a = 0\)의 해가 \(\sin \theta, \cos \theta\)이다. \(\sin \theta - \cos \theta\)의 값을 \(b\)라 할 때, \(ab\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

부등식 \(\log_2 rac{x}{8} imes \log_2 rac{x}{64} < 40\)을 만족시키는 자연수 \(x\)의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오.

모든 항이 실수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(a_2 a_3 = rac{3}{2}\) , \(a_7 a_8 = 54\)일 때, \(a_5^2\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.
등비수열 \(a_n\)에 대하여 세 수 \(a_2, [①], a_8\) 이 이 순서대로 등비수열을 이루고, 또한 세 수 \(a_3, [②], a_7\) 이 이 순서대로 등비수열을 이루므로 \(a_5^4 = [③]\)이다. 따라서 \(a_5^2\)의 값은 [④] 이다.

\(\pi \le x < 2\pi\)에서 \(x\)에 대한 방정식 \(|6\sin x+1|=k\)가 서로 다른 세 실근 \(\alpha, \beta, \gamma (\alpha < \beta < \gamma)\)를 가질 때, \(k\left(\frac{\beta+\gamma}{\alpha}\right)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(k\)는 상수이다.)

곡선 \(Cy=x^4-5x^3-9x^2+2x-3\) 위의 \(x\) 좌표가 양수인 점에서 접하는 직선 중 기울기가 최소인 접선의 방정식을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오. 곡선 \(C\)에 접하는 접선의 접점의 \(x\) 좌표를 \(t\) , 접선의 기울기를 \(f(t)\)라 하면, \(t=\)
[①]
일 때 \(f(t)\)는 최솟값
[②]
을 갖는다. 즉, 기울기가 최소인 접선의 접점 은 점 \(
[③]
)\) 이고 접선의 방정식은 \(y=
[④]
이다.\)
[①]
일 때 \(f(t)\)는 최솟값
[②]
을 갖는다. 즉, 기울기가 최소인 접선의 접점 은 점 \(
[③]
)\) 이고 접선의 방정식은 \(y=
[④]
이다.

두 집합 \(A=\{x| (\) rac{1}{4})^{-x^2+5x+3} < 4^{x-6}, x \text{는 정수}\} , B=\{x| x = 3 - a_2 imes ( \(rac{1}{3})^{-2a-k}, a \in A\} 에 대하여 집합 B 의 모든 원소의 곱이 1 일 때, 상수 k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 \(1 인 모든 사차함수 f(x) 에 대하여 f(2)\)의 최댓값과 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.
(가) \(\lim_{x o 1} \) rac{f(x)}{x-1} = 4)
(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(|f(x)|\le\) \(|x\) \(g(x)|\) 이고, \(g(0)=-4\)인 연속함수 \(g(x)\)가 존재한다.

최고차항의 계수가 \(1\) 이고 모든 항의 계수가 정수인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x)=f(x)+2f'(x)\)라 하자. \(f(0)=g(0)=0\) 이고, \(x\ge k\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x)\ge\) \(0\)을 만족시키는 실수 \(k\)의 최솟값이 \(0\)일 때, \(f(2)\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를 \(g(x)=\int_{0}^{x}\) \(f'(t)dt+(x^2+x+1)f(x)+1\) 이라 할 때, 함수 \(g(x)\)가 \(x=0\)에서 극솟값 \(-1\)을 갖는다. \(g(1)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 두 실수 \(a, b 의 순서쌍 (a,b)\)를 모두 구하는 과정을 서술하시오.
(가) \(f(x)\)는 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(-x)=f(x)\)를 만족시키는 다항함수이다.
(나) \(\lim_{x o \infty} \) \(rac{f(x)-x^2}{x-a} = b\)
(다) \(\lim_{x o a} \) \(rac{|f(x)|}{(x-a)^k} = 1 인 자연수 k\)가 존재한다.

- 259 -
함수 \(f(x)\) \(= - x^3 + 3 x^2 + 9x + a\)가 닫힌구간 \([ - 1, 6]\)에서 최솟값 \(-40\)을 갖는다. 곡선
y=) \(f(x)\)와 직선 y=k가 만나는 점의 개수가 2가 되도록 하는 모든 상수 k의 값의 합을 구하
는 과정을 서술하시오. (단, a는 상수)

sin \(\theta t a_{n} \theta = - \frac{8\)일 때, \(sin(\) \(\frac{3\pi-\theta\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.}{2} }{3}

첫째항이 \(a\)이고 공차가 \(2a\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{5}{7}\)일 때, \(a_3\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a > 0\))

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x) 의 그래프가
x축과 서로 다른 두 점에서 만나고, x \le a인 모든 실수 x에 대하여 부등식 f(x) \le\) 0이 성립
하도록 하는 실수 a의 최댓값은 4이다. f(0)=-16일 때, f(3)의 최솟값을 구하는 과정을 서
술하시오.

실수 a와 6이하의 자연수 n에 대하여 다음 조건을 만족시키는 순서쌍 (a,n)의 개수를 구하는
과정을 서술하시오.
(가) 2 \(a_{2}\) \(-9a+4=0
(\)(나) \(a_{3} n2 - 17n< ; a_{n}\) 2-30

- 265 -
0이 아닌 세 수 a, b, c에 대하여, x에 대한 이차방정식 a \(x^2\) -2bx+c=0이 x=3에서 중근
을 갖는다. 한편, 세 수 a, 5, c가 순서대로 등차수열을 이룰 때, a,b,c의 값을 구하는 과정을
서술하시오.

양의 실수 a에 대하여 사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
()(가) \(f(1)=-\) \(\frac{24}{5}\) (나) \(lim
x→a{\) \(\frac{2}{f(x)}\) \(-\) \(\frac{5}{(x-a)2}\) }=5
f(8)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

원에 내접하는 사각형 ABCD 에서 대각선 AC , BD 가 만나는 점을 E 라 하자. \(\frac{6}{BD = },\)
∠BAD \(=60^\circ\)이고 대각선 \(AC\)는 \(∠BAD\)를 이등분하며 \(∠ABD = 45^\circ\)이다. 삼각형 \(ABE\)의
넓이를 \(S\), 삼각형 \(CDE\)의 넓이를 \(T\)라 할 때, \(S-T\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성
하시오.
삼각형 \(ABC\)와 삼각형 \(ABD\)가 동일한 원에 내접하므로 사인법칙을 사용하면 \(\frac{C}{B}\)의 값
은
[①]
이다. \(∠CBD = ∠CAD\) 이므로 \(∠ABC = 75^\circ\)\(이다.
\(x = \frac{AC}{AB}\)라 하고 삼각형 \(ABC\)에서 코사인법칙을 사용하면 한편 \(∠CBD = ∠CDB\) 이므로 \(\frac{BC}{CD} = \sqrt{3}\)이다. 따라서 삼각형 \(BCD\)의 넓이는 \(3\sqrt{3}\)이다.의 값은
[②]
이다. 따라서 삼각형 ABC 의 넓이의 값은
[③]
이다.
삼각형 ABC 와 삼각형 BCD 는 삼각형 BCE 를 공통으로 포함하므로 S-T의 값은
[④]
이다.

상수 a에 대하여 함수 \(f(x) ={ x^3 -3a x^2 +2ax+1\)
(x \le 1)
-4x+3
(x>1)
이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, \int -1
9 f(x) dx- \int 2
9 f(x) dx의 값을 구하는 과정을 서술하시
오.

함수 \(g(x)\)를 \(x\)와 \(1\) 중에서 크지 않은 수로 정의하자. 구간 \(- 1, \infty\)에서 정의된 함수 \(f(x)\) \(=\) \(g(x)\) \(- \frac{x}{1 + x}\)에 대하여 \(\lim_{x \to 1 - }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)과 \(\lim_{x \to 1 + }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

\(x < 1\)일 때 \(f(x)\) \(= [ ① ], x > ;\)\(1\)일 때 \(f(x)\) \(= [ ② ] .\)

\(f(1)\) \(= \frac{1}{2}\) 이므로 \(\lim_{x \to 1 - }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) \(= [ ③ ],\)

\(\lim_{x \to 1 + }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) \(=\) [ ④ ] 이다.

곡선 \(y=ax^2\) 위의 원점이 아닌 점 \(k, ak^2\) 에서의 접선이 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지날 때, 이 접선의 기울기를 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a, k\)는 상수이고 \(a \ne 0\))

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x)=3^{|x|}+a\)라 하자. \(x\)에 대한 방정식
\(4^{f(x)}\) \(- 5 \times\) \(2^{f(x)+1}\) \(+ 24 = 0\) 이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

좌표평면에서 시초선을 원점에서 \(x\) 축의 양의 방향으로 잡을 때, 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 원점을 중심으로 하는 원이 만나는 점의 좌표가 \(a, b\)이다.
\(3\cos\theta + \cos\theta\tan\theta = 3\)일 때, \(\frac{a}{b}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(b \ne 0\))

수열 \(a_n\)의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합 \(S_n\) 이 \(S_n =\) \(\frac{n^2(n+2)^2}{9}\)일 때, \(a_1 + a_{100}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\)와 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\)를 만족할 때, \(\lim_{x \to 2}\) \(\frac{f(x)}{x-2}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

정의역이 \(\{x | \frac{1}{9} \le x \le 16\}\)인 함수 \(f(x)\) \(= \log_{|a + 1|} x\)의 최댓값이 \(2\)가 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a \ne - 1\))

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 A, B의 시각 \(t(t\) \(\ge 0\) 에서의 속도를 각각 \(v_1(t)\)\(,\)\(v_2(t)\)라 할 때,
\(v_1(t)\) \(= 2t^3 - 12t^2 + 24t,\)\(v_2(t)\) \(= \frac{3}{2}t^2 + 9a a \ge 0\)이다. 두 점 \(A, B\)가 출발 후 오직 두 번 만나기 위한 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\) \(= - x^2 + 6x - 9\)에 대하여, 곡선 위의 점 \(a,\)\(f(a))\) \(0 < a < 3\) 에서의 접선을 \(l\) 이라 하자. \(y=f(x)\)의 그래프와 접선 \(l, x\) 축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.