\(a \gt 0, b \gt 0\) 이고, 함수 \(f(x)=a\sin\frac{x}{3b}+c\)의 주기가 \(6\pi\) , 최솟값이 \(-2\)이다. \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3}{2}\)일 때, \(a\times b\times c\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a, b, c\)는 상수이다.)

일차함수 \(f(x)\)와 이차함수 \(g(x)\)가 \(f(x)=a(x+1)\)\(,\)\(g(x)=b(x+c)^2\)일 때, 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\{f(x)\}^2-4g(x)=4x+3\)
(나) \(f(x)-g'(x)=1\) 두 함수 \(y=\log_2\) \(f(x)\)\(,\)\(y=\log_2\sqrt{g(x)}\)의 그래프가 만나는 점의 \(x\) 좌표의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a, b, c\)는 상수이다.)

첫째항이 \(\sqrt{3}\)인 등비수열 \(a_n\)에 대하여 \(\log_3\frac{a_5 a_7}{a_4 a_6 a_8} = 9\)일 때, \(a_m=\frac{1}{3^9}\)을 만족시키는 자연수 \(m\)과 공비의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

그림과 같이 직선 \(y=x\)가 곡선 \(y=\sqrt{x}\)와 만나는 점 중 원점 \(O\)가 아닌 점을 \(A\)라 하고 점 \(B(t\)\(, \sqrt{t}\)에 대하여 삼각형 \(OAB\)의 넓이를 \(T(t)\)라 하자. 곡선 \(y=x^2\)과 \(x\) 축 및 두 직선 \(x = t, x = 1\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(t)\)라 할 때, \(\lim_{t \to 1 - }\) \(\frac{S(t)}{T(t)}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(0 \lt t \lt\) \(1))\)

사차함수 \(f(x)\) \(= \frac{5}{16}x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 4\)가 있다. 실수 \(t\)에 대하여 방정식 \(|f(x)|=t\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(t)\)라 할 때, \(\lim_{t \to 1 + }\) \(g(t)\) \(+ \lim_{t \to 1 - }\) \(g(t)\) \(+\) \(g(1)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 \(f(x) 에 대하여 f(-1) 의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, f(x)\)의 계수는 모두 정수이다.) (가) \(x \ge 1\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x^2 <\) \(f\left(\frac{x-1}{6}\right)\)을 만족시킨다.
(나) \(x \ge 2\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f\left(\frac{x-2}{6}\right)\) \(< x^2\)을 만족시킨다.
(다) 함수 \(\int_0^x\) \(f(t)dt\)는 \(x=-\frac{1}{3}\)에서 극값을 갖는다.

상수 \(a (a>0) 에 대하여 함수 f(x)\)가 \[f(x) = \begin{cases} x^3 & (x < 0) \\ a x (x-2) & (x \ge 0) \end{cases}\] 이다. 실수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x)=f(t)\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(t)\)라 하고, 점 \(0, - 9\)에서 곡선 \(y=f(x)\)에 그은 접선의 방정식을 \(y=h(x)\)라 하자. \(|\lim_{t \to k + }\) \(g(t)\) \(- \lim_{t \to k - }\) \(g(t)|\) \(= 2\)를 만족시키는 모든 실수 \(k\)의 값의 합이 \(1\)일 때, 곡선 \(y=ax(x-2)\)와 \(y\) 축 및 직선 \(y=h(x)\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.

\(0 \le x \le \frac{4\pi}{3}\)일 때, 방정식 \[\cos^2\left(x+\frac{5\pi}{6}\right)-a\cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right)+a\sin\left(x+\frac{5\pi}{6}\right)-2a-4=0\] 의 서로 다른 실근의 개수가 2가 되도록 하는 정수 \(a\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 \(1 인 삼차함수 f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(2,\)\(f(2))\) 에서의 접선의 방정식이 \(y=-4x+24\)이다.
(나) \(f(0)=14\) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

1이 아닌 두 양수 \(a, b\) \(a \neq b\) \()\)가 \(\log_a \frac{1}{b} = \log_{\frac{1}{b}} a\) \(\times \log_a a^2b^3\)을 만족시킬 때, \(\log_b a + \log_{\frac{1}{a}} b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\) \(= x^2 + ax + b\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(a)\) \(+\) \(f(b)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a, b\)는 상수이다.)

(가) \(\int_{0}^{1} f(x)dx = \frac{1}{3}\)
(나) \(\lim_{x\to 0} \frac{x^2+x+1}{x} \int_{1}^{x+1} f(t)dt = 3\)

삼각형 \(ABC\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\overline{BC} \times \overline{CA} = 42\)
(나) \(\cos C = \frac{27}{28}\)
(다) \(\sin A + \sin B = \frac{13\sqrt{55}}{56}\)

삼각형 \(ABC\)의 외접원의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(\sqrt{\frac{495S}{\pi}}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

자연수 \(n\)에 대하여 좌표평면에서 \(A_n(-n\)\(, 0\)\(,\)\(B_n(n\)\(, 0\)\(,\)\(C_n(0\)\(, n\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(A_n B_n C_n\)의 넓이를 \(S_n\) , 둘레의 길이를 \(l_n\) 이라 하자. \(\sum_{n = 1}^{10} S_n\)과 \(\sum_{n = 1}^{10} l_n\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x^3} = \frac{1}{3}\)
(나) \(\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} = 4\)
(다) 두 양수 \(x_1, x_2 ( x_1 < x_2 )에 대하여 f(x_1) - f(x_2) + x_1^2 - x_2^2 < 0\)이다.

방정식 \(f(x) = 0\)의 세 근의 합의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\) \(= - \frac{1}{3}x^3 + x + 7\)과 실수 \(t\)에 대하여 집합 \(A = \{x \mid\) \(f(x)f'(t)\) \(-\) \(f'(t))(x-t)\) \(+\) \(f(x)(f(t)\) \(- 1\) \(-\) \(f(t)\) \(+ 1 = 0\}\)일 때, 집합 \(A\)의 원소의 개수가 \(1\) 이 되도록 하는 모든 \(t\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x) 와 g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(f(0)\) \(= 1\) 이고, \(f(x)\)의 한 부정적분 \(F(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(F(x)\) \(=\) \(\frac{1}{2}\{f(x)\}^2\)이다.
(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{0}^{x}\) \(\{t+g(t)\}dt\) \(= x +\) \(g(x)\) \(+ \frac{x^3}{3} + a\)이다.

\(\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^2}{1 + x} dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}}\) \(\frac{f(x)}{1-x}\) \(dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}}\) \(\frac{g(x)}{x^2-1}\) \(dx\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a\)는 상수이다.)

그림과 같이 선분 \(AB\)를 지름으로 하는 원 위에 \(\overline{CA} =\) \(\sqrt[4]{5}\)\(, \overline{CB} =\) \(\sqrt[4]{20}\)\(, \overline{DB} =\) \(\sqrt[4]{1.25}\)인 점 \(C\)와 점 \(D\)를 잡는다. 점 \(C\)에서 선분 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(P\) , 점 \(D\)에서 선분 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(Q\)라 할 때, \(\overline{PB}, \overline{QB}, \frac{\overline{PQ}}{\overline{AB}}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

모든 항이 양수인 등비수열 \(a_n\) 이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n a_{n + 1} a_{n + 2} = 3^n\)을 만족시킬 때, 수열 \(a_n\)의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(\frac{1}{S_{12}}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(\pi \lt \theta \lt \dfrac{3}{2}\pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(\tan\theta - \dfrac{\sqrt{3}}{\tan\theta} = \sqrt{3} - 1\)일 때, \(2\cos\theta - 4\sin\theta\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 곡선 \(y=x^2f(x)-3x\) 위의 점 \(2, 6\)에서의 접선의 기울기가 \(1\)일 때, \(y=f(x)\) 위의 점 \(2,\)\(f(2))\)에서의 접선의 \(y\) 절편을 구하는 과정을 서술하시오.

첫째항이 \(1\)인 수열 \(\{a_n\}\) 이 모든 자연수 \(n\)에 대하여
\[a_{n+1} = a_n + n\sin\left(\dfrac{n\pi+\pi}{2}\right)\]
를 만족시킬 때, \(\sum_{k=1}^{42} a_k\)의 값을 구하는 다음의 풀이과정을 완성하시오.

수열 \(a_n\)에 대해 \(a_{4k - 3} = 2k - 1, a_{4k - 2} = a_{4k - 1} = [ ① ], a_{4k} =\) [ ② ] 이다.

따라서 \(a_{4k - 3} + a_{4k - 2} + a_{4k - 1} + a_{4k} = [ ③ ]\) 이므로 \(\sum_{k = 1}^{42} a_k =\) [ ④ ] 이다.

함수 \(f(x)=\) rac{ax+2}{x-b} 와 양의 실수 t 에 대하여 x 에 대한 방정식 |f(x)|=t 의 서로 다른 실근의 개수를 g(t) 라 하고, x 에 대한 방정식 |f(x)|=-tx 의 서로 다른 실근의 개수를 h(t) 라 할 때, 두 함수 g(t), h(t))가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 \(g(t)\)는 \(t=b\) 에서만 불연속이다.
(나) 함수 \(h(t) 는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다.\)
f(3)+h(3)= rac{2}{3} 일 때, f(a) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, a, b 는 상수이고 ab+2 e0)이다.)

최고차항의 계수가 \(-1\)인 사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
( (가) 함수 \(f(x)\)는 \(x=4\)에서 극솟값 \(0\)을 갖는다.
(\()\) 방정식 \(f(x)=0\)의 세 실근을 작은 것부터 차례로 나열하면 등차수열을 이룬
다. 함수 \(f(x)\)의 극댓값이 9일 때, f(1)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(a>\) \(rac{3}{2} 일 때, 실수 전체의 집합에서 증가하고 연속인 함수 f(x) 가 모든 실수 x 에 대하여 f(-x)=-f(x), f(x)=f(x-2)+4a 를 만족시킨다. 곡선 y=f(x) 와 x 축 및 직선 x=1 로 둘러싸인 부분의 넓이가 3 이고 \int_{1}^{4} f(x)dx=45 일 때, a 의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.
f(1) 의 값을 a 로 표현하면 [①] 이다. 곡선 y=f(x-2)+4a 는 곡선 y=f(x) 를 x 축의 방향으로 2 만큼, y 축의 방향으로 4a 만큼 평행이동한 곡선과 일치한다. 따라서 f(4) 의 값을 a 로 표현하면 [②] 이다. 또한, 곡선 y=f(x) 와 y 축 및 직선 y=-2a 로 둘러싸인 부분의 넓이를 a 로 표현하면 [③] 이다. \int_{1}^{4} f(x)dx=45 이므로 a\)의 값은 [④] 이다.

정의역이 \(\{x|x\ge 0\}\)인 함수 \(f(x)\)가 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음을 만족시킨다. \(2n - 2\le x < 2n\)일 때, \(f(x)=\cos\) \(n\pi x\)이다. \(0\le x < 4\)에서 방정식 \(2f(x)-1=0\)의 서로 다른 실근 중 가장 작은 값과 가장 큰 값을 구하는 과정을 서술하시오.

첫째항이 같은 두 수열 \(a_n, \{b_n\}\) 이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n+b_n=2\)를 만족시키고, \(\sum_{k=1}^{10}\) \(\{ka_k+1-(k+1)a_k\}=50\)\(, \sum_{k = 1}^{9}\) \(\{(a_k+1)^2-(b_k+1)^2\}=20\)일 때, \(\sum_{k = 1}^{11} a_k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

두 이차함수 \(y=f(x), y=g(x)\)의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식 \(\log_3 f(x)\) rac{x}{3} ight) \le \log_3 g\left( rac{x}{3} ight)를 만족시키는 정수x)의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

등차수열 { \(a_n\)이 \(a_{5} + a_{6} + a_{7} = 30, a_{9} + a_{10} = 6\)을 만족시킨다. 수열 \({ a_{n}\) }의 첫째항부터
제 20항까지의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

넓이가 6인 사각형 ABCD 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 두 대각선 AC , BD 에 대하여 \(\frac{BD = 11}{AC + / }\) (나) 두 대각선 \(AC, BD\)가 이루는 예각의 크기는 \(30^\circ\)이다.
\frac{BD 일 때 \(\frac{ \frac{ / }{AC}\)\( }{}{AC< / }}
BD 의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

- 250 -\)
곡선 y=- \(x^3 + 6t x^2 + 5tx\)에 접하는 직선 중에서 기울기가 최대인 접선의 방정식을 구하는
다음의 풀이 과정을 완성하시오. 단, \(t\)는 실수\()
y′\) \(=
[①]
이므로 곡선 \(y = - x^3 + 6t x^2\) +5tx에 접하는 직선의 기울기는 최댓값
[②]
을 갖는다. 이때 접점의 좌표는
[③]
이므로 접선의 방정식은
[④]
이다.

1보다 큰 자연수 a, b, c에 대하여 \(log2a + log3b = 3c,\) \(log3a\) \()(\) \(log2b\) \()=2c2\)일 때, \(\frac{a=kc\)을 만족시키는 유리수 \(k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a [Q10] 개별 채점
AI 정밀 피드백

k\)<-1인 k에 대하여 0 \(\le x \le 2 \pi\)에서 함수 \(y=sin2(\) \(\cos^2\left(\frac{\pi+x}{2}\right) - 2k\sin x + 3k - 1의 최댓값이\)
-3)일 때, 이 함수의 최솟값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.
sinx=t라 하고 주어진 함수를 \(t\)의 식으로 나타내면 \(y=
[①]
이다. \(k<-1\)이므
로 주어진 범위 \(0 \le x \le 2 \pi\)에서 함수 y는 x=
[②]
에서 최댓값을, x=
[③]
에서 최솟값을 갖는다. 따라서 주어진 최댓값으로부터 k=
[④]
이고 최
솟값은 -11이다.

시각 t=0일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는
두 점 P,Q 의 시각 t (t \(\ge 0\)에서의 속도가 각각 \(x^1 t\)=2t-3a)\(, x^2\) (t)=t+a
이다. 시각 t=k에서 두 점 P, Q 사이의 거리가 72가 되도록 하는 모든 양수 k의 개수가 2일
때, 상수 a의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, a>0)

- 255 -
수열 { \(a_n\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
()(가) \(\sum\) \(k=1
10
(\) \(a_{k} + 2\)
2=192
()(나) \(\sum k = 1 < br/ > 10 a_{k}\) \(a_{k} + 1\)=) \(\sum k = 1 < br/ > 11 < br/ > 2 a_{k}\) (다) \(\sum\) \(k=1
10
k(\) \(a_{k} - a_{k} + 1\)=20
이때 \(\sum k = 1 < br/ > 11 a_{k}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

정의역이 양의 실수 전체의 집합인 함수 \(f(x)\)가 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
()(가) \(0 < x \le = "" m\)에\(= "" n\)일\(=""\) 대하여\( m \le\) \(log5(2x+21)\) \(
(\)(나) 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x+n)=\) \(f(x)\)이다.
열린구간 \(0, 2023\)에서 함수 \(f(x)\)가 23개의 불연속인 점을 갖도록 하는 자연수 n의 최댓값을
구하는 과정을 서술하시오.

곡선 y= \(x^2 + 1\)위의 점 \(P(t\)\(, t^2 + 1\)에서의 접선을 \(l\)이라 하자. 점 \(Q(m\)\(, \frac{9}{2}에 대하여 직선\) PQ 와 직선 l이 서로 수직인 점 P의 개수가 1이 되도록 하는 m의 범위를 구하는 과정을 서술
하시오.
- 258 -

함수 \(g(x)\)를 \(x\)와 \(1\) 중에서 크지 않은 수로 정의하자. 구간 \(- 1, \infty\)에서 정의된 함수 \(f(x)\) \(=\) \(g(x)\) \(- \frac{x}{1 + x}\)에 대하여 \(\lim_{x \to 1 - }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)과 \(\lim_{x \to 1 + }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

\(x < ;\)\(1\)일 때 \(f(x)\) \(= [ ① ], x > ;\)\(1\)일 때 \(f(x)\) \(= [ ② ] .\)

\(f(1)\) \(= \frac{1}{2}\) 이므로 \(\lim_{x \to 1 - }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) \(= [ ③ ],\)

\(\lim_{x \to 1 + }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) \(=\) [ ④ ] 이다.

곡선 \(y=ax^2\) 위의 원점이 아닌 점 \(k, ak^2\) 에서의 접선이 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지날 때, 이 접선의 기울기를 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a, k\)는 상수이고 \(a \ne 0\))

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x)=3^{|x|}+a\)라 하자. \(x\)에 대한 방정식
\(4^{f(x)}\) \(- 5 \times\) \(2^{f(x)+1}\) \(+ 24 = 0\) 이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

좌표평면에서 시초선을 원점에서 \(x\) 축의 양의 방향으로 잡을 때, 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 원점을 중심으로 하는 원이 만나는 점의 좌표가 \(a, b\)이다.
\(3\cos\theta + \cos\theta\tan\theta = 3\)일 때, \(\frac{a}{b}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(b \ne 0\))

수열 \(a_n\)의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합 \(S_n\) 이 \(S_n =\) \(\frac{n^2(n+2)^2}{9}\)일 때, \(a_1 + a_{100}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\)와 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\)를 만족할 때, \(\lim_{x \to 2}\) \(\frac{f(x)}{x-2}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

정의역이 \(\{x | \frac{1}{9} \le x \le 16\}\)인 함수 \(f(x)\) \(= \log_{|a + 1|} x\)의 최댓값이 \(2\)가 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a \ne - 1\))

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 A, B의 시각 \(t(t\) \(\ge 0\) 에서의 속도를 각각 \(v_1(t)\)\(,\)\(v_2(t)\)라 할 때,
\(v_1(t)\) \(= 2t^3 - 12t^2 + 24t,\)\(v_2(t)\) \(= \frac{3}{2}t^2 + 9a a \ge 0\)이다. 두 점 \(A, B\)가 출발 후 오직 두 번 만나기 위한 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\) \(= - x^2 + 6x - 9\)에 대하여, 곡선 위의 점 \(a,\)\(f(a))\) \(0\) \(< ; a < ;\)\(3\) 에서의 접선을 \(l\) 이라 하자. \(y=f(x)\)의 그래프와 접선 \(l, x\) 축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.