2027학년도 대비 자연 D형 문제집

수학Ⅰ 삼각함수의 그래프 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

\(a \gt 0, b \gt 0\)이고, 함수 \(f(x)=a\sin\frac{x}{3b}+c\)의 주기가 \(6\pi\), 최솟값이 \(-2\)이다. \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3}{2}\)일 때, \(a\times b\times c\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, b, c\)는 상수이다.)

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수학Ⅰ, 수학Ⅱ 로그함수의 활용, 미분법 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

일차함수 \(f(x)\)와 이차함수 \(g(x)\)가 \(f(x)=a(x+1)\), \(g(x)=b(x+c)^2\) 일 때, 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\{f(x)\}^2-4g(x)=4x+3\)
(나) \(f(x)-g'(x)=1\) 두 함수 \(y=\log_2 f(x)\), \(y=\log_2\sqrt{g(x)}\)의 그래프가 만나는 점의 \(x\)좌표의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, b, c\)는 상수이다.)

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수학Ⅰ 지수법칙, 로그의 정의, 등비수열 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

첫째항이 \(\sqrt{3}\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 \(\log_3\frac{a_5 a_7}{a_4 a_6 a_8}=9\)일 때, \(a_m=\frac{1}{3^9}\)을 만족시키는 자연수 \(m\)과 공비의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 함수의 극한, 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

그림과 같이 직선 \(y=x\)가 곡선 \(y=\sqrt{x}\)와 만나는 점 중 원점 \(O\)가 아닌 점을 \(A\)라 하고 점 \(B(t, \sqrt{t})\)에 대하여 삼각형 \(OAB\)의 넓이를 \(T(t)\)라 하자. 곡선 \(y=x^2\)과 \(x\)축 및 두 직선 \(x=t, x=1\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(t)\)라 할 때, \(\lim_{t \to 1-} \frac{S(t)}{T(t)}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(0 \lt t \lt 1\))

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수학Ⅱ 함수의 극한, 미분 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

사차함수 \(f(x) = \frac{5}{16}x^4 - \frac{5}{2}x^2 + 4\)가 있다. 실수 \(t\)에 대하여 방정식 \(|f(x)|=t\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(t)\)라 할 때, \(\lim_{t \to 1+} g(t) + \lim_{t \to 1-} g(t) + g(1)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 함수의 극한의 대소관계, 정적분, 극값 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 80분

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(-1)\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(f(x)\)의 계수는 모두 정수이다.) (가) \(x \ge 1\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(x^2 \lt f\left(\frac{x-1}{6}\right)\)을 만족시킨다.
(나) \(x \ge 2\)인 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f\left(\frac{x-2}{6}\right) \lt x^2\)을 만족시킨다.
(다) 함수 \(\int_0^x f(t)dt\)는 \(x=-\frac{1}{3}\)에서 극값을 갖는다.

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수학Ⅱ 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 80분

상수 \(a (a \gt 0)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 \[f(x) = \begin{cases} x^3 & (x \lt 0) \\ a x (x-2) & (x \ge 0) \end{cases}\] 이다. 실수 \(t\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(f(x)=f(t)\)의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(t)\)라 하고, 점 \((0, -9)\)에서 곡선 \(y=f(x)\)에 그은 접선의 방정식을 \(y=h(x)\)라 하자. \(|\lim_{t \to k+} g(t) - \lim_{t \to k-} g(t)| = 2\)를 만족시키는 모든 실수 \(k\)의 값의 합이 \(1\)일 때, 곡선 \(y=ax(x-2)\)와 \(y\)축 및 직선 \(y=h(x)\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 삼각함수 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 80분

\(0 \le x \le \frac{4\pi}{3}\) 일 때, 방정식 \[\cos^2\left(x+\frac{5\pi}{6}\right)-a\cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right)+a\sin\left(x+\frac{5\pi}{6}\right)-2a-4=0\] 의 서로 다른 실근의 개수가 2가 되도록 하는 정수 \(a\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 접선의 방정식, 극대값과 극솟값 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \((2, f(2))\)에서의 접선의 방정식이 \(y=-4x+24\)이다.
(나) \(f(0)=14\) 함수 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 I 로그의 성질 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 6분 / 전체 80분

1이 아닌 두 양수 \(a, b\) (\(a \neq b\))가 \(\log_a \frac{1}{b} = (\log_{\frac{1}{b}} a) \times (\log_a a^2b^3)\)을 만족시킬 때, \(\log_b a + \log_{\frac{1}{a}} b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 II 정적분 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 6분 / 전체 80분

함수 \(f(x) = x^2 + ax + b\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f(a) + f(b)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, b\)는 상수이다.)

(가) \(\int_{0}^{1} f(x)dx = \frac{1}{3}\)
(나) \(\lim_{x\to 0} \frac{x^2+x+1}{x} \int_{1}^{x+1} f(t)dt = 3\)

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수학 I 사인법칙과 코사인법칙 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 80분

삼각형 \(ABC\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\overline{BC} \times \overline{CA} = 42\)
(나) \(\cos C = \frac{27}{28}\)
(다) \(\sin A + \sin B = \frac{13\sqrt{55}}{56}\)

삼각형 \(ABC\)의 외접원의 넓이를 \(S\)라 할 때, \(\sqrt{\frac{495S}{\pi}}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 I 수열의 합 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

자연수 \(n\)에 대하여 좌표평면에서 \(A_n(-n, 0), B_n(n, 0), C_n(0, n)\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 \(A_n B_n C_n\)의 넓이를 \(S_n\), 둘레의 길이를 \(l_n\)이라 하자. \(\sum_{n=1}^{10} S_n\)과 \(\sum_{n=1}^{10} l_n\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 II 도함수의 활용 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x^3} = \frac{1}{3}\)
(나) \(\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} = 4\)
(다) 두 양수 \(x_1, x_2\) (\(x_1 \lt x_2\))에 대하여 \(f(x_1) - f(x_2) + x_1^2 - x_2^2 \lt 0\)이다.

방정식 \(f(x) = 0\)의 세 근의 합의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 II 도함수의 활용 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

함수 \(f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x + 7\)과 실수 \(t\)에 대하여 집합 \(A = \{x \mid (f(x)f'(t) - f'(t))(x-t) + f(x)(f(t) - 1) - f(t) + 1 = 0\}\)일 때, 집합 \(A\)의 원소의 개수가 \(1\)이 되도록 하는 모든 \(t\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 II 부정적분과 정적분 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 6분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(f(0) = 1\)이고, \(f(x)\)의 한 부정적분 \(F(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(F(x) = \frac{1}{2}\{f(x)\}^2\) 이다.
(나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{0}^{x} \{t+g(t)\}dt = x + g(x) + \frac{x^3}{3} + a\)이다.

\(\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^2}{1+x} dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{f(x)}{1-x} dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{g(x)}{x^2-1} dx\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

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수학 I 삼각함수와 도형 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 6분 / 전체 80분

그림과 같이 선분 \(AB\)를 지름으로 하는 원 위에 \(\overline{CA} = \sqrt[4]{5}\), \(\overline{CB} = \sqrt[4]{20}\), \(\overline{DB} = \sqrt[4]{1.25}\)인 점 \(C\)와 점 \(D\)를 잡는다. 점 \(C\)에서 선분 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(P\), 점 \(D\)에서 선분 \(AB\)에 내린 수선의 발을 \(Q\)라 할 때, \(\overline{PB}, \overline{QB}, \frac{\overline{PQ}}{\overline{AB}}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학 I 등비수열 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 80분

모든 항이 양수인 등비수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n a_{n+1} a_{n+2} = 3^n\)을 만족시킬 때, 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합을 \(S_n\)이라 할 때, \(\frac{1}{S_{12}}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 삼각함수 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

\(\pi \lt \theta \lt \dfrac{3}{2}\pi\) 인 \(\theta\)에 대하여 \(\tan\theta - \dfrac{\sqrt{3}}{\tan\theta} = \sqrt{3} - 1\)일 때, \(2\cos\theta - 4\sin\theta\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 다항함수의 미분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\) 에 대하여 곡선 \(y=x^2f(x)-3x\) 위의 점 (2,6)에서의 접선의 기울기가 1일 때, \(y=f(x)\) 위의 점 (2,f(2))에서의 접선의 \(y\) 절편을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 수열 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

첫째항이 \(1\)인 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여
\[a_{n+1} = a_n + n\sin\left(\dfrac{n\pi+\pi}{2}\right)\]
를 만족시킬 때, \(\sum_{k=1}^{42} a_k\)의 값을 구하는 다음의 풀이과정을 완성하시오.

수열 \(\{a_n\}\)에 대해 \(a_{4k-3} = 2k-1\), \(a_{4k-2} = a_{4k-1} =\) [ ① ], \(a_{4k} =\) [ ② ] 이다.

따라서 \(a_{4k-3} + a_{4k-2} + a_{4k-1} + a_{4k} =\) [ ③ ] 이므로 \(\sum_{k=1}^{42} a_k =\) [ ④ ] 이다.

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수학Ⅱ 함수의 극한과 연속 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

함수 \(f(x)=\frac{ax+2}{x-b}\) 와 양의 실수 \(t\) 에 대하여 \(x\) 에 대한 방정식 \(|f(x)|=t\) 의 서로 다른 실근의 개수를 \(g(t)\) 라 하고, \(x\) 에 대한 방정식 \(|f(x)|=-tx\) 의 서로 다른 실근의 개수를 \(h(t)\) 라 할 때, 두 함수 \(g(t), h(t)\) 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 \(g(t)\) 는 \(t=b\) 에서만 불연속이다.
(나) 함수 \(h(t)\) 는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다.
\(f(3)+h(3)=\frac{2}{3}\) 일 때, \(f(a)\) 의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, b\) 는 상수이고 \(ab+2 \ne 0\) 이다.)

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수학Ⅱ 다항함수의 미분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

최고차항의 계수가 \(-1\)인 사차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 \(f(x)\)는 \(x=4\)에서 극솟값 \(0\)을 갖는다.
(나) 방정식 \(f(x)=0\)의 세 실근을 작은 것부터 차례로 나열하면 등차수열을 이룬다.
함수 \(f(x)\)의 극댓값이 \(9\)일 때, \(f(1)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 다항함수의 적분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

\(a \gt \frac{3}{2}\) 일 때, 실수 전체의 집합에서 증가하고 연속인 함수 \(f(x)\) 가 모든 실수 \(x\) 에 대하여 \(f(-x)=-f(x), f(x)=f(x-2)+4a\) 를 만족시킨다. 곡선 \(y=f(x)\) 와 \(x\) 축 및 직선 \(x=1\) 로 둘러싸인 부분의 넓이가 \(3\) 이고 \(\int_{1}^{4} f(x)dx=45\) 일 때, \(a\) 의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.
\(f(1)\)의 값을 \(a\) 로 표현하면 [①] 이다. 곡선 \(y=f(x-2)+4a\) 는 곡선 \(y=f(x)\) 를 \(x\) 축의 방향으로 \(2\) 만큼, \(y\) 축의 방향으로 \(4a\) 만큼 평행이동한 곡선과 일치한다. 따라서 \(f(4)\)의 값을 \(a\) 로 표현하면 [②] 이다. 또한, 곡선 \(y=f(x)\) 와 \(y\) 축 및 직선 \(y=-2a\) 로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(a\) 로 표현하면 [③] 이다. \(\int_{1}^{4} f(x)dx=45\) 이므로 \(a\) 의 값은 [④] 이다.

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수학Ⅰ 삼각함수 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

정의역이 \(\{x|x\ge 0\}\) 인 함수 \(f(x)\) 가 모든 자연수 \(n\) 에 대하여 다음을 만족시킨다. \(2n-2\le x \lt 2n\) 일 때, \(f(x)=\cos (n\pi x)\) 이다. \(0\le x \lt 4\) 에서 방정식 \(2f(x)-1=0\) 의 서로 다른 실근 중 가장 작은 값과 가장 큰 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 수열 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

첫째항이 같은 두 수열 \(\{a_n\}, \{b_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n+b_n=2\)를 만족시키고, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} \{ka_{k+1}-(k+1)a_k\}=50\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{9} \{(a_{k+1})^2-(b_{k+1})^2\}=20\)일 때, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{11} a_k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

두 이차함수 \(y=f(x), y=g(x)\) 의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식 \(\log_3 f\left(\frac{x}{3}\right) \le \log_3 g\left(\frac{x}{3}\right)\) 를 만족시키는 정수 \(x\) 의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 수열 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

등차수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_5 + a_6 + a_7 = 30\), \(a_9 + a_{10} = 6\)을 만족시킨다. 수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(20\)항까지의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅰ 삼각함수 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

넓이가 \(6\)인 사각형 \(ABCD\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 두 대각선 \(AC, BD\)에 대하여 \(AC + BD = 11\)
(나) 두 대각선 \(AC, BD\)가 이루는 예각의 크기는 \(30^\circ\)이다.
\(AC \lt BD\)일 때, \(\dfrac{BD}{AC}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 다항함수의 미분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

곡선 \(y = -x^3 + 6tx^2 + 5tx\)에 접하는 직선 중에서 기울기가 최대인 접선의 방정식을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오. (단, \(t\)는 실수)

\(y' = \) [①] 이므로 곡선 \(y = -x^3 + 6tx^2 + 5tx\)에 접하는 직선의 기울기는 최댓값 [②] 을 갖는다. 이때 접점의 좌표는 [③] 이므로 접선의 방정식은 [④] 이다.

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수학Ⅰ 지수함수와 로그함수 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

\(1\)보다 큰 자연수 \(a, b, c\)에 대하여 \(\log_2 a + \log_3 b = 3c\), \((\log_3 a)(\log_2 b) = 2c^2\)일 때, \(a = k^c\)을 만족시키는 유리수 \(k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a \lt b\))

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수학Ⅰ 삼각함수 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

\(k \lt -1\)인 상수 \(k\)에 대하여 함수 \(y = \sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right) - 2k\sin x + 3k\)의 최댓값이 \(-3\)일 때, 이 함수의 최솟값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

\(\sin x = t\)라 하고 주어진 함수를 \(t\)의 식으로 나타내면 \(y = \) [①] 이다. \(k \lt -1\)이므로 주어진 범위 \(0 \le x \le 2\pi\)에서 함수 \(y\)는 \(x = \) [②] 에서 최댓값을, \(x = \) [③] 에서 최솟값을 갖는다. 따라서 주어진 최댓값으로부터 \(k = \) [④] 이고 최솟값은 \(-11\)이다.

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수학Ⅱ 다항함수의 적분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

시각 \(t=0\)일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q\)의 시각 \(t\) \((t \ge 0)\)에서의 속도가 각각 \(v_1(t) = 2t - 3a\), \(v_2(t) = t + a\)이다. 시각 \(t=k\)에서 두 점 \(P, Q\) 사이의 거리가 \(72\)가 되도록 하는 모든 양수 \(k\)의 개수가 \(2\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a \gt 0\))

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수학Ⅰ 수열 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 4분 / 전체 80분

수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(\sum_{k=1}^{10} (a_k + 2)^2 = 192\)
(나) \(\sum_{k=1}^{10} a_k (a_k + 1) = \sum_{k=1}^{11} 2a_k\)
(다) \(\sum_{k=1}^{10} k(a_k - a_{k+1}) = 20\)
이때 \(\sum_{k=1}^{11} a_k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 함수의 극한과 연속 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

정의역이 양의 실수 전체의 집합인 함수 \(f(x)\)가 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(0 \le m \le \log_5(2x+21)\)인 정수 \(m\)의 최댓값을 \(f(x)\)라 한다.
(나) 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x+n) = f(x)\)이다.
열린구간 \((0, 2023)\)에서 함수 \(f(x)\)가 \(23\)개의 불연속인 점을 갖도록 하는 자연수 \(n\)의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 다항함수의 미분법 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

곡선 \(y = x^2 + 1\) 위의 점 \(P(t, t^2+1)\)에서의 접선을 \(l\)이라 하자. 점 \(Q\left(m, \dfrac{9}{2}\right)\)에 대하여 직선 \(PQ\)와 직선 \(l\)이 서로 수직인 점 \(P\)의 개수가 \(1\)이 되도록 하는 \(m\)의 범위를 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 극한 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

함수 \(g(x)\)를 \(x\)와 \(1\)중에서 크지 않은 수로 정의하자. 구간 \((-1, \infty)\)에서 정의된 함수 \(f(x) = g(x) - \frac{x}{1+x}\)에 대하여 \(\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)과 \(\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

\(x \lt 1\)일 때 \(f(x) =\) [ ① ], \(x \gt 1\)일 때 \(f(x) =\) [ ② ] .

\(f(1) = \frac{1}{2}\)이므로 \(\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\) [ ③ ] ,

\(\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} =\) [ ④ ] 이다.

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수학Ⅱ 미분 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

곡선 \(y=ax^2\) 위의 원점이 아닌 점 \((k, ak^2)\)에서의 접선이 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지날 때, 이 접선의 기울기를 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a, k\)는 상수이고 \(a \ne 0\))

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수학Ⅱ 지수와 지수방정식 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x)=3^{|x|}+a\)라 하자. \(x\)에 대한 방정식
\(4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0\)이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 삼각함수의 정의 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 2분 / 전체 80분

좌표평면에서 시초선을 원점에서 \(x\)축의 양의 방향으로 잡을 때, 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 원점을 중심으로 하는 원이 만나는 점의 좌표가 \((a, b)\) 이다.
\(3\cos\theta + \cos\theta\tan\theta = 3\)일 때, \(\frac{a}{b}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(b \ne 0\))

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수학Ⅱ 수열의 합과 일반항과의 관계 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합 \(S_n\)이 \(S_n = \frac{n^2(n+2)^2}{9}\)일 때, \(a_1 + a_{100}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 극한 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

다항함수 \(f(x)\)가 \[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\]와 \[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\]를 만족할 때, \(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 지수와 로그 난이도: 중 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

정의역이 \(\{x | \frac{1}{9} \le x \le 16\}\)인 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)의 최댓값이 2가 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a \ne -1\))

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수학Ⅱ 적분 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 3분 / 전체 80분

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 A, B의 시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 속도를 각각 \(v_1(t), v_2(t)\)라 할 때,
\(v_1(t) = 2t^3 - 12t^2 + 24t, v_2(t) = \frac{3}{2}t^2 + 9a (a \ge 0)\)이다. 두 점 A, B가 출발 후 오직 두 번 만나기 위한 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

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수학Ⅱ 적분 난이도: 상 ⏱️ 예상 소요 시간: 5분 / 전체 80분

함수 \(f(x) = -x^2 + 6x - 9\)에 대하여, 곡선 위의 점 \((a, f(a))\) \((0 \lt a \lt 3)\)에서의 접선을 \(l\)이라 하자. \(y=f(x)\)의 그래프와 접선 \(l\), \(x\)축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

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