【문제 1】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

(가) 두 팀이 여러 번 시합을 해서 $n$번 먼저 이기는 팀이 최종 승리하는 경기 방식을 $n$선승제라고 한다. 최종 승리하는 팀이 정해지기까지 최대 $(2n-1)$번의 시합을 하기 때문에 $(2n-1)$전 $n$선승제 경기라고도 한다. 단판승부의 방식은 $n=1$에 해당하는 경우이다.
(나) 승리한 시합 수에서 패배한 시합 수를 뺀 값을 마진(margin)이라고 한다. 가령 3승 1패의 상황은 마진이 2이다.
(다) 매 시합에서 무승부는 없고 모든 시합의 결과는 서로 독립임을 가정한다.
(라) 별도의 언급이 없으면 매 시합에서 두 팀의 승률은 같다.
(마) 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$에 대하여
$P(0 \le Z \le 1) = 0.3413, P(0 \le Z \le 1.14) = 0.3729, P(0 \le Z \le 1.15) = 0.3749, P(0 \le Z \le 1.16) = 0.3770$ 이다.
그리고, $\frac{1}{\sqrt{2}} = 0.71, \frac{1}{\sqrt{3}} = 0.58, \frac{1}{\sqrt{5}} = 0.45$ 값을 사용한다.

[문제 1-1] 7전 4선승제 경기에서 최종 승리 팀을 정할 때까지 치르는 시합 수의 평균(기댓값)을 구하시오. (5점)

[문제 1-2] 7전 4선승제 경기에서 최종 승리 확률이 80% 이상이 되는 마진을 모두 구하시오. (10점)

[문제 1-3] 7전 4선승제 경기를 100번 반복할 때 3승 2패 상황의 팀이 80번 이상 최종 승리할 확률을 구하시오. (10점)

[문제 1-4] 승률이 $\frac{3}{5}$인 팀의 경우, 단판승부와 5전 3선승제 경기 중에서 어떤 방식이 더 유리한가를 근거와 함께 설명하시오. (5점)

【문제 2】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (35점)

(가) 수열 $\{S_n\}$을 다음과 같이 정의한다.
$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{2k-1}{k(k+1)(k+2)}$
(나) $0 < x < \pi$일 때, 함수 $P(x)$를 다음과 같이 정의한다.
$P(x) = \cos(2^0 x) \times \cos(2^1 x) \times \cos(2^2 x) \times \cos(2^3 x) \times \cos(2^4 x) \times \cos(2^5 x) \times \cos(2^6 x) \times \cos(2^7 x) \times \cos(2^8 x) \times \cos(2^9 x) \times \cos(2^{10} x)$
(다) 수열 $\{C_n\}$과 $\{\theta_n\}$을 다음과 같이 정의한다.
$C_n = \sum_{k=1}^n (2k-1)(\cos(k\theta_n) - \cos((k+1)\theta_n)), \quad \theta_n = \frac{\pi}{2^{n+1}}$
(라) 다음의 코사인함수의 덧셈정리 식 (1)과 (2)를 이용하여 식 (3)을 얻을 수 있다.
(1) $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
(2) $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
(3) $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$

[문제 2-1] 수열 $\{S_n\}$에 대하여 $\alpha = \lim_{n \to \infty} S_n$이라 하자. 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{\alpha^n} S_n)$의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하면 그 합을 구하시오. (5점)

[문제 2-2] 함수 $P(x)$에 대하여 방정식 $|P(x)| = \frac{1}{2^{11}}$의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오. (15점)

[문제 2-3] 제시문 (다)와 (라)를 이용하여 $\lim_{n \to \infty} [ \frac{C_n}{n^2 \sin(\theta_n / 2)} ]$의 값을 구하시오. (15점)

【문제 3】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (35점)

(가) 좌표평면 위의 두 점 $A(-1, 0), B(1, 0)$에 대하여 선분 $AB$를 지름으로 하는 반원의 호 $x^2 + y^2 = 1$ ($y \ge 0$)가 있다.
(나) 점 $D(0, 1)$에 대하여 호 $BD$ 위를 움직이는 점 $C$가 있다.
(다) 원점 $O$에 대하여 $\angle BOC = \theta$의 시각 $t$에 대한 변화율은 $\frac{d\theta}{dt} = \sqrt{2}$이다.
(라) 선분 $OC$, 선분 $OB$, 호 $BC$에 동시에 접하는 원이 있다. 이 원을 $O_1$이라 하자.
(마) 원 $O_1$과 선분 $OC$의 접점을 $F$라 하고, 원 $O_1$과 선분 $OB$의 접점을 $H$라 하자.
(바) 점 $F$를 지나고 선분 $OC$에 수직인 직선이 $x$축과 만나는 점을 $I$, $y$축과 만나는 점을 $J$라 하자.
(사) 선분 $AB$를 장축, 점 $H$를 한 초점으로 하는 타원을 $T$라 하자.
(아) 삼각함수의 덧셈정리에 의해서 $\cos(2\gamma) = 1 - 2 \sin^2 \gamma$이다. 이로부터 $\sin^2 \gamma = \frac{1 - \cos(2\gamma)}{2}$임을 알 수 있다.

[문제 3-1] 타원 $T$의 단축의 길이가 $2 \overline{OF}$일 때, 시각 $t$에 대한 원 $O_1$의 넓이의 변화율을 구하시오. (10점)

[문제 3-2] $\vec{JI} \cdot \vec{JO} \ge \vec{IJ} \cdot \vec{IF}$일 때, $\vec{OQ} \perp \vec{AQ}, \vec{OQ} \perp \vec{CQ}$를 만족하는 점 $Q$에 대하여 $|\vec{OQ}|^2$의 최댓값을 구하시오. (단, 기호 $\cdot$은 내적을 나타낸다.) (10점)

[문제 3-3] 선분 $AC$, 선분 $AB$, 호 $BC$에 동시에 접하는 원을 $O_2$라 하자. 원 $O_2$가 선분 $OD$에 접할 때, $\overline{OI} = \frac{w}{u + v \sqrt{2}}$이다. 이때, $u+v+w$의 값을 구하시오. (단, $u, v, w$는 자연수이며, 세 수의 최대공약수는 1이다.) (15점)

【문제 1】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

(가) 두 초점 $F, F'$ 사이의 거리가 14이고 주축의 길이가 10인 쌍곡선이 있다.
(나) 다음 그림과 같이 쌍곡선 위의 점 $P$에서 그은 접선 $\ell$이 $x$축과 만나는 점을 $Q$라 하자. 이때 점 $Q$의 $x$좌표는 양수이고 접선 $\ell$은 $\angle FPF'$을 이등분한다. 선분 $PF'$ 위에 $\overline{F'R}=10$을 만족시키는 점을 $R$이라고 하면, $\overline{F'R}$을 지름으로 하는 원이 점 $Q$를 지난다. (단, 점 $P$는 좌표평면의 제1사분면 위에 놓인다.)
[문제 1-1] 제시문에서 주어진 $\angle FPF' = \theta$라 하자. 함수 $f(x) = \frac{5}{\theta} (5x-2)^3$에 대하여 다음 정적분의 값을 구하시오. (15점)
$$\int_0^\theta x \cos x f'(\sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{2}-\theta}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$$

[문제 1-2] 제시문에서 선분 $RF$를 $2:1$로 내분하는 점을 $D$라 하자. 직선 $PR$에 대한 점 $D$의 대칭점을 $E$라 하자. 두 벡터 $\vec{PR}=\vec{a}$, $\vec{PF}=\vec{b}$에 대하여 $\vec{PE}=k\vec{a} + l\vec{b}$일 때, $k+l$의 값을 구하시오. (단, $k, l$은 실수이다.) (15점)

【문제 2】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

(가) 아래의 그림과 같이 모선의 길이가 $\ell$, 밑면인 원의 중심이 $M$인 원뿔이 있다. 원뿔의 밑면인 원의 둘레 위의 두 점 $A, B$를 잇는 선분 $AB$는 점 $M$을 지난다. 점 $A$를 지나고 직선 $OB$에 수직인 평면 $\alpha$가 선분 $OB$와 만나는 점을 $C$라 하자. 점 $C$는 선분 $OB$를 이등분한다. 평면 $\alpha$와 원뿔이 만나는 교선 위에 점 $P$가 있다. 직선 $AC$에 대한 점 $P$의 대칭점을 $Q$라 하자.
(나) 아래의 그림과 같이 원기둥이 있다. 이 원기둥의 밑면의 반지름은 제시문 (가)의 원뿔의 밑면의 반지름과 같고, 이 원기둥의 높이는 제시문 (가)의 원뿔의 높이와 같다.
(다) 아래의 그림과 같이 제시문 (나)의 원기둥 안에 제시문 (가)의 원뿔이 있다. 점 $O$를 포함하는 원기둥의 밑면을 포함하는 평면을 $\beta$라 하자.
(라) 제시문 (다)에서 만든 도형에서 원뿔 of 위쪽에 $n$개의 구가 있다. 모든 구는 평면 $\beta$와 만나지 않고, 모든 구의 중심은 한 평면 위에 있다. 모든 구는 양 옆에 있는 구와 서로 한 점에서 만난다. 모든 구는 원뿔의 모선과 접하고, 원기둥과 한 점에서 만난다. (단, $n$은 짝수이다.)
(마) 자연수 $x=3,4,\dots,10$에 대해서, $\sin(\pi/x)$와 $1/\sqrt{x}$의 근삿값은 다음과 같다.
- $\sin(\pi/5) \approx 0.5878$, $\sin(\pi/6) = 0.5000$
- $1/\sqrt{3} \approx 0.5774$

[문제 2-1] 제시문 (가)에서 호 $AK$의 길이를 $g(\theta)$, 선분 $PQ$의 길이를 $f(\theta)$라 할 때, 극한값 $\lim_{\theta \to 0^+} \frac{f(\theta)}{g(\theta)}$를 구하시오. (15점)

[문제 2-2] 제시문 (라)의 조건을 만족하는 짝수 $n$의 최솟값을 구하시오. (15점)

【문제 1】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

(가) 전체집합 $U$의 두 부분집합 $A, B$에 대하여 $A \cup B = U$ 를 만족시키는 순서쌍 $(A, B)$의 개수를 경우의 수를 이용하여 구하고자 한다.
(나) $U_n = \{1, 2, \dots, n\}$ 이다. $U_{k+1}$의 두 부분집합 $A, B$에 대하여 $A \cup B = U_{k+1}$ 이고 $n(A) = 2$ 인 순서쌍 $(A, B)$의 개수를 $a_k$라 하자. 또한 $U_{k+1}$의 두 부분집합 $A, B$에 대하여 $A \cup B = U_{k+1}$ 이고 $n(A) = 3$ 인 순서쌍 $(A, B)$의 개수를 $b_k$라 하자.

[문제 1-1] 제시문 (나)에서 정의된 수열 $a_k, b_k$ 에 대하여 모든 자연수 $k$에 대해 다음 관계식이 성립할 때, 상수 $c_2$의 값을 구하시오. (15점)
$$b_{k+1} = c_k \sum_{i=1}^k a_i \quad (k=1, 2, 3, \dots)$$

[문제 1-2] 모든 자연수 $k$에 대하여 $c_k = 2$ 임을 증명하고, 이를 이용하여 곱 $c_1 c_2 \dots c_k$의 값을 구하시오. (15점)

【문제 2】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

(가) 원주시에서는 아래의 규칙 (나) ~ (사)를 만족하도록 평평한 땅 위에 직사각형 모양의 공원을 조성하고자 한다.
(나) 아래의 그림과 같이 공원을 이루는 직사각형을 $ABCD$라 하자.
(다) 선분 $DA$의 길이는 $180\text{ m}$ 이고, 선분 $DA$ 위에 $\overline{PA} = \overline{QD}$ 가 되는 지점 $P, Q$ 에 각각 국기게양대가 있다.
(라) 두 국기게양대로부터의 거리의 합이 $180\text{ m}$ 인 모든 곳에 황토를 깔아 황톳길 산책로를 만든다.
(마) 두 국기게양대로부터의 거리의 차가 $60\text{ m}$ 인 모든 곳에 꽃길을 만든다. 이때 파란색 꽃은 $Q$보다 $P$에 더 가까운 곳에 심고, 빨간색 꽃은 $P$보다 $Q$에 더 가까운 곳에 심는다.
(바) 파란 꽃길은 선분 $DA$ 위의 한 지점에서 시작하여 점 $B$에서 종료한다.
(사) 황톳길과 파란 꽃길이 만나는 지점에 음수대를 만든다. 이때 음수대와 두 국기게양대가 만드는 삼각형은 $\overline{PQ}$ 를 빗변으로 하는 직각삼각형을 이룬다.

[문제 2-1] 두 국기게양대 $P, Q$ 사이의 거리와 공원의 세로 길이(선분 $AB$의 길이)를 각각 구하시오. (15점)

[문제 2-2] $B$ 지점의 지면에서 $P$ 지점의 국기게양대 꼭대기를 바라본 각도가 $15^\circ$ 이고, 국기게양대 높이를 $h$라 하자. 유리수 $h_1, h_2, h_3, h_4$ 에 대하여 $h^2 = 1800(h_1 + h_2\sqrt{3} + h_3\sqrt{5} + h_4\sqrt{15})$ 이 성립할 때, $h_1+h_2+h_3+h_4$의 값을 구하시오. (15점)

【문제 1】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

(가) 지수함수 $y=a^x$ 과 로그함수 $y=\log_a x$ 는 서로 역함수 관계이고, 극한값 $\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e$ 가 성립한다.
(나) 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$를 다음과 같이 정의하자.
$$f(x) = e^{nx} + e^{-nx}, \quad g(x) = \frac{1}{n} \ln f(x) \quad (n \text{은 자연수})$$

[문제 1-1] 함수 $f(x)$의 그래프 위의 점 $P$에서의 접선의 기울기가 $2n$ 일 때, 점 $P$의 $x$좌표를 $a_n$이라 하자. 극한값 $\lim_{n \to \infty} (1+a_n)^{1/n} = \alpha$ 라 할 때, 닫힌구간 $[0, k]$ 에서 도함수 $g'(x)$의 최댓값이 $\frac{1}{3} e^{\frac{1}{\ln \alpha}}$ 가 되도록 하는 양수 $k$의 값을 구하시오. (15점)

[문제 1-2] 제시문 (나)의 함수 $f(x)$ 위의 두 점 $P(a_n, f(a_n))$, $Q(-a_n, f(-a_n))$ 과 원점 $O$에 대하여, 삼각형 $OPQ$의 넓이 $S_n$의 최댓값을 $S$라 하자. 포물선 $y^2 = 12x$ 위의 점 $(a, b)$에서의 접선과 $n=1$일 때 $S_n$이 최대가 되는 점 $Q$에서의 접선이 서로 수직일 때, $S\sqrt{ab}$의 값을 구하시오. (단, $b > 0$ 이다.) (15점)

【문제 2】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

(가) 평평한 땅 위에 한 변의 길이가 $L$인 정삼각형 $ABC$ 모양의 정원이 있다. 정원 내에 있는 반지름이 2인 두 원 모양의 분수대 $O_1, O_2$는 다음 그림과 같이 서로 외접하고 있으며, 원 $O_1$은 선분 $AB, AC$와 만나지 않고 접하며, 원 $O_2$는 선분 $AB, BC$와 만나지 않고 접한다. (단, $O_1, O_2$는 각 원의 중심이다.)
(나) 두 원 $O_1, O_2$의 접점을 $D$라 하고, 원 $O_1$과 선분 $AC$의 접점을 $Q_1$, 원 $O_2$와 선분 $BC$의 접점을 $P_2$라 하자. 선분 $AC$ 위에 $O_1 P_1 \perp AC$ 가 되도록 점 $P_1$을 잡고, 선분 $BC$ 위에 $O_2 Q_2 \perp BC$ 가 되도록 점 $Q_2$를 잡는다. (단, $P_1, Q_1$은 원 $O_1$ 위의 점이고 $P_2, Q_2$는 원 $O_2$ 위의 점이다.)
(다) 곡선 $Q_1 D P_2$의 아랫부분과 정원의 경계로 둘러싸인 영역을 $S_1$이라 하고, 직각삼각형 $H O_1 O_2$ 에서 곡선 $Q_1 D P_2$의 아랫부분과 직선 $O_2 H$로 둘러싸인 영역을 $S_2$라 하자.

[문제 2-1] 영역 $S_1$의 넓이를 구하시오. (15점)

[문제 2-2] 점 $C$에 설치된 스프링클러가 정원 내 곡선 $P_1 D$ 위에 있는 모든 곳에 물을 뿌리기 위한 살수반경의 최솟값을 $r$이라 할 때, $r^2$의 값을 구하시오. (15점)

【문제 1】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (35점)

다리 건너기 게임이 있다. 한 줄의 징검다리는 두 개의 유리판(강화유리와 일반유리)으로 구성되어 있고 참가자는 이 중 하나를 딛고 가야 한다. 강화유리를 밟으면 생존하여 다음 줄로 갈 수 있으나, 일반유리를 밟으면 유리가 깨지며 탈락한다. 이 게임의 참가자 수는 18명이고, 징검다리 줄의 수는 20줄이다.

[문제 1-1] 강화유리와 일반유리를 구분하여 강화유리를 찾을 확률이 $\frac{3}{4}$ 이라고 할 때, 마지막 참가자가 생존할 확률은 $1 - \frac{a}{2^{40}}$ 이다. 이때, 상수 $a$의 값을 구하시오. (10점)

[문제 1-2] 전체 다리를 건너는 제한시간이 112초로 주어졌고 한 줄의 징검다리를 건너뛰는 데 걸리는 시간이 2초이다. 출발한 참가자들은 동시에 한 줄의 징검다리를 건너뛴다. 유리를 관찰하여 강화유리를 찾을 확률 $p$는 관찰시간 $t$에 대한 1차 함수 그래프로 나타난다. 관찰시간이 0.1초 증가할 때마다 $p$는 $q$만큼 커지며, 고민 없이 0초 만에 선택할 때의 $p$는 $1/2$ 이고 10초 이상 관찰할 때의 $p$는 1이다. 전체 참가자 중 17번째 사람이 시간 초과로 탈락하였을 때, 14, 15, 16번째 사람만 생존할 확률이 $\frac{1}{10^{20}} \left( 2^{b_1} \cdot 3^{b_2} \cdot 5^{b_3} \cdot 7^{b_4} \cdot 11^{b_5} \cdot 13^{b_6} \cdot 17^{b_7} \cdot 19^{b_8} \right)$ 이다. 이때 $b_1 - \sum_{j=2}^8 b_j$ 의 값을 구하시오. (단, 게임 중 관찰 시간은 바뀌지 않으며 $b_i$는 음이 아닌 정수이다.) (15점)

[문제 1-3] 징검다리 건너기 게임 참가자가 강화유리와 일반유리를 구분할 확률은 유리를 관찰하는 시간 $t \ge 0$에 따라 달라지는 연속 함수 $f(t)$이다. 이때, 다음 조건을 만족시키는 $f(t)$를 구하시오. (10점)
(가) 참가자가 고민 없이 0초 만에 강화유리와 일반유리를 구분할 확률은 $1/2$ 이다.
(나) $f(t) = 1$ 을 만족시키는 $t$ 값 중 가장 작은 값을 $t^*$라고 하자.
(다) $x \le t^*$ 와 어떤 상수 $a$에 대해서 $\int_{a}^x f(t) dt = -\frac{2\sin x + \cos x}{e^x} + f(x)$ 가 성립한다.
(라) $x > t^*$ 에 대해서 $f(x) = 1$ 이다.

【문제 2】 아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (25점)

(가) 실수 전체에서 정의된 연속함수 $f(x) = \cos(\pi x)$ 에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 임의의 점 $(x, f(x))$ 에서 그은 접선이 곡선 $y=f(x)$ 와 만나는 점의 개수를 $h(x)$라 하자.
(나) $h(x) = 0$ 을 만족하는 $x$의 범위 $[a, b)$에 대하여, 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 $p(x) = k e^x f(x)$ 가 확률밀도함수가 되도록 하는 상수를 $k$라 하자.

[문제 2-1] 제시문 (가)에서 $x \in (0, 1)$ 일 때 $h(x)$를 구하여 그래프 개형을 대략적으로 그리고, $h(x)$가 좌극한은 불연속이고 우극한은 연속인 점을 구하시오. (10점)

[문제 2-2] 제시문 (나)에서 주어진 확률밀도함수 $p(x)$의 상수 $k$의 값을 구하시오. (5점)

[문제 2-3] $h(b) = 8$ 을 만족시키는 양의 실수 $b$ 에 대하여 다음 식이 성립함을 설명하시오. (10점)
$$b\pi + \cot(b\pi) = \frac{9}{2}\pi$$