[문제 1] (85점)
$0 \le a \le 1$일 때, 정적분 $$\int_{0}^{3\pi} |\sin x - a| dx$$ 의 값이 최소가 되는 $a$의 값과 정적분의 최솟값을 구하여라.

[문제 2] (95점)
타원 $$\frac{x^2}{64} + y^2 = 1$$ 과 제1사분면에서 접하는 접선을 $l$이라 하자. 직선 $l$과 직선 $y = -1$의 교점을 $A$, 직선 $l$과 $y$축의 교점을 $B$라 하자. 점 $C(0, -1)$일 때, $\triangle ABC$의 넓이의 최솟값을 구하여라.

[문제 3] (105점)
모든 양수 $a$에 대하여, 중심의 좌표가 $(a, a^2)$이고 반지름의 길이가 $a$인 모든 원 위의 점들로 이루어진 영역을 $S$라 하자. 영역 $S$에 있는 $x$좌표가 $t$ ($t > 0$)인 점 중에서 $y$좌표가 가장 작은 점을 지나는 원을 $(x - r)^2 + (y - r^2)^2 = r^2$이라 할 때, $t$와 $r$ 사이의 관계식을 구하고 $t = \frac{1}{2}$에서 미분계수 $\frac{dr}{dt}$의 값을 구하여라.

[문제 4] (총 115점)
$1$부터 $n$ ($n \ge 3$)까지의 자연수를 좌표로 갖는 서로 다른 $n$개의 점이 수직선 위에 있다. 이 중에서 서로 다른 세 점을 임의로 선택할 때, 그 세 점을 선택한 순서대로 각각 $A, B, C$라 하자. 수직선에서 두 선분 $AB$와 $AC$가 겹치는 부분의 길이를 확률변수 $X$라 할 때, 다음 물음에 답하여라.

(a) $X = 1$일 확률을 구하여라. (40점)
(b) $X$의 평균을 구하여라. (75점)

[문제 1] (85점)
$12$보다 큰 자연수 중에서 $12$와 서로소인 수를 작은 수부터 차례로 나열할 때, $k$번째 값을 $a_k$라 하자.

(a) $a_k \ge 100$을 만족하는 자연수 $k$의 최솟값을 구하여라. (30점)
(b) 자연수 $n$에 대하여 $$\sum_{k=1}^{2n} (a_k a_{k+1} - a_{k+2})$$ 의 값을 구하여라. (55점)

[문제 2] (95점)
밑면이 정사각형인 사각뿔을 밑면과 평행한 평면으로 잘라서 아래 그림과 같은 육면체를 얻었다. 육면체에서 두 정사각형 $ABCD$와 $EFGH$의 한 변의 길이는 각각 $a$와 $a+2$이다. 또한 두 선분 $AE$와 $DH$의 길이는 모두 $b$이며 두 선분 $BF$와 $CG$의 길이는 모두 $c$이다.
사각형 $AEHD$의 평면 $BFGC$ 위로의 정사영의 넓이를 $a, b, c$에 대한 식으로 나타내어라. (단, $a>0, b>1, c>1$ 이고 $b^2 + c^2 \ge 6$ 이다.)

[문제 3] (총 105점)
그림과 같이 $n^2$ 개의 영역으로 이루어진 한 개의 전광판이 있다. 이 전광판에 연결된 버튼을 이용하여 서울이와 시립이가 다음과 같은 규칙으로 게임을 하려고 한다. (단, $n$은 $3$ 이상의 자연수이다.)
- (1) 게임을 시작할 때, 전광판의 모든 영역은 불이 꺼져있다.
- (2) 게임이 끝날 때까지 두 사람은 버튼을 번갈아 누른다.
- (3) 한 사람이 버튼을 누르면 불이 꺼져있는 영역 중 임의의 한 영역에 불이 켜지며, 이때 불이 켜진 영역은 버튼을 누른 사람의 소유가 된다.
- (4) 한 사람이 버튼을 눌렀을 때, 상대방이 소유한 영역과 한 모서리를 공유하는 영역에 불이 켜지면 이때 버튼을 누른 사람이 승리하고 게임이 끝난다.

서울이부터 게임을 시작하여 진행할 때, 다음 물음에 답하여라.
(a) 시립이가 버튼을 한 번 눌러서 승리할 확률을 구하여라. (40점)
(b) 서울이가 버튼을 두 번 눌러서 승리할 확률을 구하여라. (65점)

[문제 4] (115점)
자연수 $n$에 대하여 $$T_n = \sum_{k=1}^{3n} \frac{1}{n^2} \int_{0}^{k\pi} \left| \sin \frac{x}{2n} \right| dx$$ 라 할 때, $\lim_{n\to \infty} T_n$의 값을 구하여라.

[문제 1] (85점)
두 곡선 $y = x^4 - 2x^2 + 1$과 $y = -x^2 + x + 2$가 만나는 두 점 중 $x$좌표가 음수인 점을 $P$, $x$좌표가 양수인 점을 $Q$라 하자. 점 $A(0, -1)$에 대하여 $$k \le \vec{PQ} \cdot \vec{PA} < k+1$$ 을 만족시키는 정수 $k$를 구하여라.

[문제 2] (총 95점)
서울이, 시립이, 대학이는 과일가게에서 사과와 배를 사려고 한다. 세 사람 중 과일을 사지 않은 사람이 있을 수도 있을 때, 다음 경우의 수를 구하여라. (단, 사과와 배는 각각 $11$개 이상이고, 같은 종류의 과일은 서로 구별하지 않는다.)

(a) 서울이, 시립이, 대학이가 모두 합해서 $11$개의 과일을 사는 경우의 수를 구하여라. (40점)
(b) 서울이, 시립이, 대학이가 산 과일의 수를 차례로 $x, y, z$라 하자. 이때 (a)의 경우 중 $x \le y \le z$를 만족시키는 경우의 수를 구하여라. (55점)

[문제 3] (105점)
자연수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 정수의 순서쌍 $(a, b)$의 개수를 $A_n$이라 하자.
$$\text{모든 실수 } x\text{에 대하여 } -|x-2| \le ax+b \le |x-2n| + 5 \quad \text{이다.}$$ 이때 $\sum_{n=1}^{100} A_n$의 값을 구하여라.

[문제 4] (총 115점)
$2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 점 $A_k$의 좌표를 $\left( \cos \left(\frac{k-1}{n}\pi\right), \sin \left(\frac{k-1}{n}\pi\right) \right)$라 하자. (단, $k = 1, 2, \dots, 2n$)
점 $A_1, A_2, \dots, A_{2n}$을 꼭짓점으로 하는 정$2n$각형의 변 위를 두 점 $P, Q$가 시계 반대 방향으로 움직인다. 두 점 $P, Q$가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 다음 물음에 답하여라.
- (1) 두 점 $P, Q$는 시각 $t = 0$일 때 점 $A_1(1, 0)$을 출발하여 정$2n$각형을 한 바퀴 돌아 점 $A_1$에 동시에 도착한다.
- (2) 점 $P$는 변 $A_k A_{k+1}$ 위를 속력 $\sqrt{2 - \frac{k}{2n}}$로 움직이고, 변 $A_{2n} A_1$ 위를 속력 $1$로 움직인다. (단, $k=1, 2, \dots, 2n-1$)
- (3) 점 $Q$의 속력은 일정하다.

(a) 점 $P$가 출발한 후 점 $A_1$에 처음으로 도착하는 시각을 $b_n$이라 할 때, $\lim_{n\to \infty} b_n$의 값을 구하여라. (50점)
(b) 점 $P$가 출발한 후 점 $A_{n+1}(-1, 0)$에 처음으로 도착하는 시각을 $c_n$이라 하자. 시각 $t = 0$에서 $t = c_n$까지 점 $P$와 점 $Q$가 움직인 거리의 차를 $d_n$이라 할 때, $\lim_{n\to \infty} d_n$의 값을 구하여라. (65점)

[문제 1] (85점)
시립이는 아래와 같은 규칙으로 주사위를 반복해 던져서 나오는 눈의 수만큼 주머니에 공을 넣는 게임을 한다. 게임을 시작할 때 주머니에 있는 공의 개수는 $0$이다.
- (1) 주머니에 있는 공의 개수가 $5$ 이하이면 시립이는 주사위를 새로 던져서 나오는 눈의 수만큼 공을 넣는다.
- (2) 주머니에 있는 공의 개수가 $6$ 이상이면 시립이는 주사위를 던지는 것을 멈추고 게임을 끝낸다.

(a) 게임이 끝났을 때 주머니에 있는 공의 개수가 $6$일 확률 $\frac{q}{p}$를 구하여라. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) (45점)
(b) 시립이가 주사위를 $4$번 던져서 게임이 끝났을 때 주머니에 있는 공의 개수가 $6$일 확률 $\frac{s}{r}$를 구하여라. (단, $r$과 $s$는 서로소인 자연수이다.) (40점)

[문제 2] (95점)
함수 $f(x) = -x^3 - x + 3$의 역함수 $g(x)$에 대하여 연속함수 $h(x)$가 다음 조건을 모두 만족시킨다.
- (1) $h(x) = \begin{cases} 3x & (0 \le x < 1) \\ 4g'(x) + 4 & (1 \le x < 3) \end{cases}$
- (2) 모든 실수 $x$에 대하여 $h(x+3) = h(x)$이다.
정적분 $\int_{0}^{6} x h(x) dx$의 값을 구하여라.

[문제 3] (105점)
다음을 만족시키는 서로 다른 세 자연수 $a, b, c$의 모든 순서쌍 $(a, b, c)$의 개수를 구하여라. $$\log_2 (a+4b) + 2\log_2 c - \log_2 3 = 100$$

[문제 4] (총 115점)
좌표평면 위의 두 점 $F(5, 0), F'(-5, 0)$을 초점으로 하는 타원 $C_1$과 두 점 $F, F'$을 초점으로 하는 쌍곡선 $C_2$가 있다. 두 곡선 $C_1, C_2$의 제1사분면 위의 교점 $P$에 대하여 $\overline{PF} \times \overline{PF'} = 20$일 때, 다음에 답하여라.

(a) $\frac{\overline{PF}}{\overline{PF'}}$의 값의 범위를 구하여라. (75점)
(b) $\angle FPF' = \frac{\pi}{3}$일 때, $\frac{\overline{PF}}{\overline{PF'}}$의 값을 구하여라. (40점)

[문제 1] (85점)
좌표평면에서 곡선 $y = x - x^2$의 네 점 $O(0, 0)$, $A(a, a - a^2)$, $B(b, b - b^2)$, $C(1, 0)$에 대하여 다음 물음에 답하여라. (단, $0 < b < a < 1$이다.)

(a) 점 $B$가 곡선에서 두 점 $O$와 $A$사이를 움직일 때, 삼각형 $OAB$의 넓이의 최댓값을 $a$에 대한 식으로 나타내어라. (25점)
(b) 두 점 $A, B$가 곡선에서 두 점 $O$와 $C$사이를 움직일 때, 사각형 $ABCO$의 넓이의 최댓값을 구하여라. (60점)

[문제 2] (95점)
한 개의 주사위를 $6$번 던질 때, 다음 물음에 답하여라.

(a) $3$의 배수의 눈이 연속해서 나오지 않을 확률을 기약분수로 나타내어라. (45점)
(b) 적어도 한 번은 $2$ 이하의 눈이 나왔을 때, $3$의 배수의 눈이 연속해서 나오지 않을 확률을 기약분수로 나타내어라. (50점)

[문제 3] (105점)
다음 정적분의 값을 구하여라. $$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left| 3\sqrt{2}\sin^3 x - \cos x \right| dx$$

[문제 4] (115점)
수열 ${a_n}$의 귀납적 정의가 $$a_1 = 5, \quad a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + \frac{2}{\sqrt{a_n}} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$$ 일 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 다음 부등식이 성립함을 보여라. $$4 < a_n \le \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} + 4$$

[문제 2] (95점)
함수 $$f(x) = \begin{cases} x^3 - 2x + 11 & (x \le -2) \\ \frac{5}{2}x - 2\cos \left(\frac{\pi}{3}x\right) + 11 & (x > -2) \end{cases}$$ 의 역함수의 그래프와 직선 $y = \frac{1}{5}x - 1$의 모든 교점의 $y$좌표의 합을 $a$라 할 때, $a$의 정수 부분을 구하여라.

[문제 3] (105점)
자연수 $n$에 대하여 다음을 모두 만족시키는 두 자연수 $k, m$의 순서쌍 $(k, m)$의 개수를 $a_n$이라 하자. 이때 $$\sum_{n=1}^{p} a_n \le 2022$$ 를 만족시키는 자연수 $p$의 최댓값을 구하여라.
- (1) $k^2 m^3 = 2^{9n}$
- (2) $m \le 8^n \le m^2$

[문제 4] (총 115점)
다음 물음에 답하여라.

(a) 상수 $a$에 대하여 방정식 $x^3 - 6x^2 + a = 0$의 한 근이 $t$일 때, 나머지 두 근을 $t$에 대한 식으로 나타내어라. (25점)
(b) 좌표평면에서 직사각형 $ABCD$의 두 꼭짓점 $A, D$는 곡선 $y = -x^3 + 6x^2$에 있는 제1사분면의 점이고, 두 꼭짓점 $B, C$는 $x$축에 있다. 직사각형 $ABCD$의 넓이가 최대일 때 변 $AB$의 길이를 구하여라. (90점)