[제시문]

<제시문>
(가) 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은
$$y - f(a) = f'(a)(x-a)$$
(나) 두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 미분가능하고 $f'(x)$, $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때,
$$\int_a^b f(x)g'(x) dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x) dx$$
(다) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때, 곡선 $y=f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=a$, $x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는
$$S = \int_a^b |f(x)| dx$$

닫힌구간 $[0, 10\pi]$에서 정의된 함수 $f(x) = \cos x - \sin x$에 대하여 $g(x) = f(x)e^{-x}$라 하자.

[제시문]

<제시문>
(가) 함수 $f(x)$가 실수 $a$에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $f(x)$는 $x=a$에서 연속이라고 한다.
(i) 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 정의되어 있다.
(ii) 극한값 $\lim_{x \to a} f(x)$가 존재한다.
(iii) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
(나) 미분가능한 두 함수 $y=f(u)$, $u=g(x)$에 대하여 합성함수 $y=f(g(x))$의 도함수는
$$\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)$$
(다) 다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(t)$가 $f(g(t)) = t$를 만족하면, $g(t)$는 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=t$의 교점의 $x$좌표 중 하나이다. 만일 $\lim_{t \to t_0+} g(t)$, $\lim_{t \to t_0-} g(t)$, $\lim_{t \to t_0} g(t)$가 존재하면 이 값들도 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=t_0$의 교점의 $x$좌표 중 하나이다.

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 다음 물음에 답하시오.

[제시문]

<제시문>
(가) 함수 $f(x)$가 임의의 세 실수 $a, b, c$를 포함하는 닫힌구간에서 연속일 때,
$$\int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$$
(나) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 미분가능한 함수 $x = g(t)$에 대하여 $a = g(\alpha)$, $b = g(\beta)$일 때 도함수 $g'(t)$가 $\alpha$, $\beta$를 포함하는 구간에서 연속이면
$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) g'(t) dt$$
(다) 두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 미분가능하고 $f'(x)$, $g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때,
$$\int_{a}^{b} f(x) g'(x) dx = [f(x)g(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x)g(x) dx$$
(라) 함수 $f(x)$가 실수 $a$에 대하여 다음 조건을 모두 만족시킬 때, $f(x)$는 $x=a$에서 연속이라고 한다.
(i) 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 정의되어 있다.
(ii) 극한값 $\lim_{x \to a} f(x)$가 존재한다.
(iii) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속이 아닐 때, $f(x)$는 $x=a$에서 불연속이라고 한다.

실수 $t$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x) = x^2 + |x-t|$의 최솟값을 $g(t)$라 하자. 사차함수 $h(x)$는 최고차항의 계수가 $1$이고 $h(1) = 0$, $h(-1) \ne g(0)$이다.

[제시문]

<제시문>
(가) 함수 $y=f(x)$의 정의역에 속하는 모든 $x$에 대하여 $f(x+p) = f(x)$를 만족시키는 $0$이 아닌 상수 $p$가 존재할 때, 함수 $y=f(x)$를 주기함수라 하고 상수 $p$ 중에서 최소인 양수를 그 함수의 주기라고 한다.
(나) 함수 $f(x)$가 $a, b$를 포함하는 열린구간에서 연속이고, $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하면 $f(x)$의 $a$에서 $b$까지의 정적분은
$$\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)$$

자연수 $n$에 대하여, $2(n-1) \le x < 2n$일 때 $f(x) = \sin(n\pi x)$라 하자.

[제시문]

<제시문>
(가) 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여
$$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + C, \quad C\text{는 적분상수}$$
(나) 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f'(a) = 0$이고 $x = a$의 좌우에서
∙ $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극댓값,
∙ $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극솟값을 갖는다.
(다) 미분가능한 함수 $g(x)$에 대하여 $g(x) = t$로 놓으면
$$\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(t) dt$$
(라) 두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능할 때
$$\int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx$$

두 함수 $f(x)$와 $g(x)$를 $f(x) = \int_{1}^{x} \frac{2t}{t^2 + 3} dt$, $g(x) = ax + \frac{8}{x^2 + 3}$이라 하자. (단, $a$는 상수)

[제시문]

<제시문>
(가) 연속인 이계도함수를 갖는 함수 $f(x)$에 대하여 $f''(a) = 0$이고, $x = a$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호가 바뀌면 점 $(a, f(a))$는 곡선 $y=f(x)$의 변곡점이다.
(나) 극한값 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$ 가 존재하면 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 미분가능하다고 하고 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$는
$$f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$$
(다) 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f'(a) = 0$이고 $x = a$의 좌우에서
∙ $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극대이고, 극댓값은 $f(a)$
∙ $f'(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f(x)$는 $x=a$에서 극소이고, 극솟값은 $f(a)$이다.
(라) 두 함수 $y=f(u)$와 $u=g(x)$가 미분가능할 때 합성함수 $y=f(g(x))$의 도함수는
$$y' = \{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)$$$
(마) 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 극값을 갖고 $a$를 포함하는 어떤 열린구간에서 미분가능하면 $f'(a) = 0$이다.

최고차항의 계수가 음수인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x) = f(x)e^x$ 라 하자. 다음 조건을 만족시키는 $f(1)$의 최댓값을 구하시오. (20점)
(1) 곡선 $y=g(x)$는 두 개의 변곡점 $(-5, g(-5))$, $(1, g(1))$을 갖는다.
(2) 모든 $x > 0$에 대하여 $g'(x) \le 2$이다.

[제시문]

<제시문>
(가) 함수 $f(x)$가 $x=c$에서 미분가능할 때, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $P(c, f(c))$에서의 접선의 방정식은 $y-f(c) = f'(c)(x-c)$ 이다.
(나) 열린구간 $(a, b)$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=c$에서 최댓값을 가질 때 $f'(c) = 0$ (단, $a < c < b$) 이다.
(다) 첫째항부터 차례대로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라 하고, 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다. 즉, 공비가 $r$인 등비수열 ${a_n}$에 대하여 $a_{n+1} = r a_n$ (단, $n=1, 2, 3, \cdots$). 또한 첫째항이 $a$, 공비가 $r$ ($r \ne 0$)인 등비수열 ${a_n}$의 일반항은 $a_n = a r^{n-1}$ 이다.
(라) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때,
$$\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x \quad \left( \text{단, } \Delta x = \frac{b-a}{n}, x_k = a+k\Delta x \right)$$

함수 $f(x) = 3(x+\frac{2}{3})(1-3x)$의 그래프와 $g(x) = -f(x)$의 그래프로 둘러싸인 도형을 $R$이라 하고 $R$의 둘레를 $S$라 하자. $-\frac{2}{3} < a < \frac{1}{3}$에 대하여 $S$ 위의 두 점 $A(-\frac{2}{3}, 0)$과 $B(a, g(a))$를 꼭짓점으로 하고 $R$에 포함되는 삼각형 중에서 넓이가 최대인 삼각형의 꼭짓점을 $A, B, B_1$이라 하고, 다시 두 점 $A$와 $B_1$을 꼭짓점으로 하고 $R$에 포함되는 삼각형 중에서 넓이가 최대인 삼각형의 꼭짓점을 $A, B_1, B_2$라 하자. 이 과정을 계속 반복하여 자연수 $n$에 대하여 두 점 $A$와 $B_n$을 꼭짓점으로 하고 $R$에 포함되는 삼각형 중에서 넓이가 최대인 삼각형의 꼭짓점을 $A, B_n, B_{n+1}$이라 하자. 또한 점 $B_n$의 $x$좌표를 $a_n$이라 하자.

[제시문]

<제시문>
(가) 함수 $f(x)$가 임의의 세 실수 $a, b, c$를 포함하는 닫힌구간에서 연속일 때,
$$\int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx$$
(나) 미분가능한 함수 $g(t)$에 대하여 $x = g(t)$로 놓으면
$$\int f(x) dx = \int f(g(t)) g'(t) dt$$
(다) 함수 $f(x)$가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 $x$에 대하여
∙ $f'(x) > 0$ 이면 $f(x)$는 증가
∙ $f'(x) < 0$ 이면 $f(x)$는 감소

실수 전체의 집합에서 연속이고 증가하는 함수 $f(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.
(1) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x+2) = f(x) + 2$
(2) $0 \le x \le 2$인 모든 $x$에 대하여 $f(x) + f(2-x) = 2$
(3) $\int_{0}^{1} f(x) dx - \int_{-1}^{0} f(x) dx = \frac{5}{4}$
함수 $g(x)$를 $g(x) = a e^x + b$라 하자. (단, $a, b$는 상수이고 $a > 0$)

[제시문]

<제시문>
(가) 미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 존재하고 이 역함수가 미분가능할 때,
$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$
(나) 함수 $f(x)$에서 $x$의 값이 $a$가 아니면서 $a$에 한없이 가까워질 때, $f(x)$의 값이 일정한 값 $L$에 한없이 가까워지면 함수 $f(x)$는 $L$에 수렴한다고 한다. 이때 $L$을 $x=a$에서의 함수의 극한값 또는 극한이라 하고, 이것을 기호로 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 과 같이 나타낸다.
(다) 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속이고 미분가능한 함수 $x=g(t)$에 대하여 $a = g(\alpha), b = g(\beta)$일 때 도함수 $g'(t)$가 $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면
$$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t)dt$$

[제시문]

<제시문>
아래 그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 각각 $(0, 2), (-2, 0), (0, -2), (2, 0)$이고 반지름의 길이가 1인 4개의 원 $C_1, C_2, C_3, C_4$와 꼭짓점이 $(\frac{3}{2}\pi, 0), (\frac{3}{2}\pi, -\frac{\pi}{2}), (\pi, -\frac{\pi}{2}), (\pi, 0)$인 정사각형 $S$가 있다. 실수 $t$ ($t \ge 0$)에 대하여 좌표평면 위를 이동하는 5개의 점 $P_1, P_2, P_3, P_4, Q$는 다음과 같은 규칙을 따른다.
∙ 좌표평면 위의 네 점 $R_1(0, 3), R_2(-3, 0), R_3(0, -3), R_4(3, 0)$에 대하여 점 $P_i$는 $t=0$ 일 때 점 $R_i$를 출발하여 $t$ ($t > 0$)초 동안 원 $C_i$ 위를 시계 반대 방향으로 $t$ 만큼 이동한다. (단, $i=1, 2, 3, 4$)
∙ 점 $Q$는 $t=0$ 일 때 점 $(\frac{3}{2}\pi, 0)$을 출발하여 $t$ ($t > 0$)초 동안 정사각형 $S$ 위를 시계 방향으로 $t$ 만큼 이동한다.
출발 후 $t$ 초가 경과했을 때,
∙ 두 점 $P_1$과 $P_3$ 사이의 거리를 $l(t)$
∙ 사각형 $P_1P_2P_3P_4$의 넓이를 $A(t)$
∙ 삼각형 $P_1P_3Q$의 무게중심의 $x$좌표를 $f(t)$라 하자.

(가) 두 변수 $x, y$의 관계를 새로운 변수 $t$를 이용하여 $x = f(t), y = g(t)$와 같이 나타낼 때, $t$를 매개변수라 한다.
(나) 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f'(a) = 0$ 이고 $x=a$의 좌우에서 $f'(x)$의 부호가 바뀌면 $f(a)$는 극값이다.
(다) 두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능하고 $f'(x), g'(x)$가 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속일 때,
$$\int_{a}^{b} f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x)g(x)dx$$