첫째항이 \(1\)인 등차수열 \(a_n\)에 대하여 \(\sum_{n = 1}^{10} a_n = 100\)일 때, \(\sum_{n = 1}^{10} \frac{2}{a_n a_{n + 1}}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

상수 \(a 에 대하여 이차함수 f(x)\)가 \[9 \times \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-x}{x^3-27} = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(x+1)}{x^2-4} = a\] 를 만족시킬 때, \(a 와 f(7)\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

모든 항이 정수인 수열 \(\{a_n\}\) 이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[a_{n+1} = \begin{cases} -2a_n + 7 & (a_n \lt 4) \\ a_n - n + 5 & (a_n \ge 4) \end{cases}\] 를 만족시킨다. \(a_6 = 11\)일 때, \(a_1, a_4, \sum_{k = 1}^{10} a_k\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\) \(= a\sin bx + c 0 \le x \le \frac{2\pi}{b}\)는 \(x=\alpha\)에서 최댓값 \(10, x = \beta\)에서 최솟값 \(m\)을 갖는다. \(y=f(x)\)의 그래프 위의 두 점 \(A(\alpha\)\(, 10\)\(,\)\(B(\beta\)\(, m\)을 지나는 직선을 \(y=g(x)\)라 하자. \(\beta - \alpha = 2\pi\) 이고 \(f(\frac{\pi}{3})\) \(= 8\)일 때, 직선 \(y=g(x)\)와 \(x\) 축 및 두 직선 \(x = \alpha, x = \beta\)로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a, b, c\)는 양수이고, \(a \lt c\)이다.)

\(2 이상의 자연수 n 에 대하여 실수 a 의 n 제곱근 중 실수인 것의 개수를 f_n(a) 라 하자. 2f_{n+1}(a^n) + (-1)^n \times f_n(f_{n+1}(a)) 의 값이 최소일 때, f_n(a) - 3f_{n+1}(a^n) + f_{n+1}(|a|^n - a^n)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 \[f(x) = \begin{cases} (x+5)(x-1) & (x \lt 0) \\ x-4 & (x \ge 0) \end{cases}\] 일 때, 모든 실수 \(a 에 대하여 극한값 \lim_{x \to a} f(x)f(k-x) 가 존재하도록 하는 실수 k\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x) 의 한 부정적분을 F(x) 라 하자. 모든 실수 x\)에 대하여 \[F(x) = x^2 f(x) - 2x^4 + ax + 1\] 이 성립할 때, \(F\left(\frac{2}{a} f'(0)\right)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a\)는 상수이다.)

상수 \(a(a\) \(\gt 1\)와 양수 \(t(t\) \(\gt 1\)에 대하여 곡선 \(y = \log_a x + 3\)과 곡선 \(y = \log_{\frac{1}{a}} x + 1\) 이 만나는 점을 \(A\)라 하고, 직선 \(x=t\)와 두 곡선이 만나는 점을 각각 \(B, C\)라 하자. \(\overline{AB} = \frac{10}{3}\) 이고 삼각형 \(ABC\)의 넓이가 \(\frac{16}{3}\)일 때, \(a\)와 \(t\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. 단, 점 \(B\)와 점 \(C\)의 \(y\)좌표는 정수이다.)

다항함수 \(f(x) 가 모든 실수 x\)에 대하여 \[4f(x) = -2x^3 + 6x + \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{1}^{1+h} \{f(t)\}^2 dt\] 를 만족시킬 때, \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

\(0 \le \theta < 2\pi\)에서 \(\sin\left(\frac{3}{2}\pi + \theta\right)\) \(-\) \(\cos\left(\frac{3}{2}\pi + \theta\right)\) \(= - \frac{3}{4}\)일 때, \(\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(\sum_{n=1}^{12} \frac{3n^2+5n+2}{18n^2+30n+8}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

모든 항이 양수인 수열 \(a_n, \{b_n\}, \{c_n\}\) 이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n a_{n + 1} = 2^{\sin \frac{n\pi}{6}}, b_n b_{n + 1} = 2^{\cos \frac{n\pi}{3}}, c_n c_{n + 1} = 2^{\tan \frac{2n - 1}{4}\pi}\)을 만족시킬 때, \(\sum_{n=1}^{100}\) \(\log_2(a_n\) \(b_n c_n\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

그림과 같이 \(1 < k < 16\)인 자연수 \(k\)에 대하여 함수 \(y =\) \(|(x-1)(x-k)|\)의 그래프가 직선 \(y =\) \(m(x\) \(- 1\)과 서로 다른 세 점에서 만난다. 세 점의 \(x\) 좌표를 작은 수부터 크기 순서대로 \(a_1, a_2, a_3\) 이라 하자. 세 수 \(a_1, a_2, a_3\) 이 이 순서대로 공비가 \(r\)인 등비수열을 이룰 때, 공비 \(r\)가 유리수가 되도록 하는 모든 자연수 \(k\)의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(m\)은 양수이다.)

방정식 \(\log_5(5^x\) \(+ 10\) \(= \frac{x}{2} + \log_5 \frac{10}{25} + 2\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\frac{1}{5^\alpha} + \frac{1}{5^\beta}\)의 값을 \(m\) 이라 하자. 정의역이 \(\{x \mid\) \(-\sqrt[5]{5}\) \(\le x \le - \frac{1}{125}\}\)인 함수 \(y =\) \(-\log_5(-x)\) \(+ a\)의 최댓값은 \(M\) 이고 최솟값이 \(m\)일 때, \(a, M, m\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a\)는 상수이다.)

양수 \(k\)에 대하여 함수 \(f(x)\)는 \(f(x)\) \((= k - x)^3\) \(+\) \(6(k\) \((- x)^2\) \(+\) \(3(k\) \(- x\) \(- 18\) 이라고 하자. 닫힌구간 \([0, k]\)에서 정의된 함수 \(g(x)\) \(= \int_{0}^{x}\) \(f(t)dt\)가 열린구간 \(0, k\)에서 극값을 갖도록 하는 \(k\)의 범위를 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 \(1 인 이차함수 f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(f(x)\)의 최솟값은 음수이다.
(나) 함수 \(y =\) \(f(x)\)의 그래프와 직선 \(y = f(2)\)가 서로 다른 두 점 \(A, B\)에서 만나고 두 점 \(A, B\)의 \(x\) 좌표의 합은 \(6\)이다.
(다) \(\lim_{x\to 5} \frac{1}{x - 5} \left\{ \int_{a}^{x} |f(t)|dt - 2\int_{a}^{3} |f(t)|dt \right\} = 6\)

\(af(3)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a\)는 상수이다.)

좌표평면 위의 점 \(A(4, 4\)와 실수 \(m\) \(m > ;\)\(1\) \()\)에 대하여 점 \(A\)에서 직선 \(y = mx\)에 내린 수선의 발을 \(B\)라 하자. 점 \(B\)를 지나며 \(x\) 축에 수직인 직선이 선분 \(OA\)와 만나는 점을 \(C\)라 하자. 삼각형 \(ABC\)의 넓이를 \(S(m)\) , 삼각형 \(OBC\)의 넓이를 \(T(m)\) 이라 할 때, \(\lim_{m\to 1^ + }\) \(\frac{S(m)}{(m-1)T(m)}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(O\)는 원점이고, 점 \(B\)의 \(x\) 좌표는 \(0\)보다 크다.)\)

사차함수 \(f(x)\) \(= \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + x^2 + 8x + 9\) 이고, 삼차함수 \(g(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\) 이고 \(g(0)\) \(= - \frac{1}{3}\)이다. \(f(x)\)와 \(g(x)\)가 \(x = a\)에서 같은 극댓값을 가질 때, 함수 \(g(x)\)의 극솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 로그함수 \(y=\loga(x-1)(a>\)\(; 0, a\ne1\)의 성질에 관한 내용을 완성하시오.)

1) \(a> ;\)\(1\)일 때, \(x\)의 값이 증가하면 \(y\)의 값은 증가한다. \(0[①]
한다. \(2\) \(a\)의 값에 관계없이 그래프는 점 \(
[②]
)\)을 지난다. \(3\) 함수 \(y=\loga(x-1)\)의 그래프와 함수 \(y=
[③]
의 그래프는 \(x\) 축에 대하 여 대칭이다. \(4\) 함수 \(y=
[④]
의 그래프는 함수 \(y=\log\) \(a(x-1)\)의 그래프를 \(x\) 축의 방향 으로 \(3\)만큼, \(y\) 축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.\)

1) \(a> ;\)\(1\)일 때, \(x\)의 값이 증가하면 \(y\)의 값은 증가한다. \(0[①]
한다. \(2\) \(a\)의 값에 관계없이 그래프는 점 \(
[②]
)\)을 지난다. \(3\) 함수 \(y=\loga(x-1)\)의 그래프와 함수 \(y=
[③]
의 그래프는 \(x\) 축에 대하 여 대칭이다. \(4\) 함수 \(y=
[④]
의 그래프는 함수 \(y=\log\) \(a(x-1)\)의 그래프를 \(x\) 축의 방향 으로 \(3\)만큼, \(y\) 축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.\)

1) \(a> ;\)\(1\)일 때, \(x\)의 값이 증가하면 \(y\)의 값은 증가한다. \(0[①]
한다. \(2\) \(a\)의 값에 관계없이 그래프는 점 \(
[②]
)\)을 지난다. \(3\) 함수 \(y=\loga(x-1)\)의 그래프와 함수 \(y=
[③]
의 그래프는 \(x\) 축에 대하 여 대칭이다. \(4\) 함수 \(y=
[④]
의 그래프는 함수 \(y=\log\) \(a(x-1)\)의 그래프를 \(x\) 축의 방향 으로 \(3\)만큼, \(y\) 축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. \)

다항함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
()가 \()\) \(\lim\)
x) \(\to\) \(∞\) \(f(\frac{1)}{x}=-3
(\) (나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x)=3x^2-4x+2x\int_{0}^{2}\) \(f(t)dt+a
f′(a)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a\)는 상수이다.)

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{a}^{x}\) \(f(t)dt=x^3-x^2-6x\)를 만족시킬 때, \(f(a)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a\)는 양수이다.)

최고차항의 계수가 \(1 인 삼차함수 f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. \[9 imes \lim_{x o 3} \] rac{f(x)-x}{x^3-27} = \lim_{x o 2} \[rac{f(x)-f(x+1)}{x^2-4} = a\] 상수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

첫째항이 \(a_1\) 이고 제 \(n\) 항까지의 합이 \(Sn=\frac{3a_1n2}{2}-\frac{1a_1n}{2}\)인 등차수열 \({a_{n}}\)에 대하여 \(\sum k = 1 4\frac{7}{a_2ka_2k + 2} = 1\)일 때, \(a_5\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a_1> ;\)\(0\)

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
()가 \()\) \(f(x)={
\(2x^2 - 8x 0 < x < 4\) \(4\le=""\) \(2x^2-20x+48=""\) \(6\)(\) (나) 모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x+6)=f(x)\) 다.

양의 실수 \(m\)에 대하여 함수 \(g(x)=f(x)-mx\)라 할 때, 함수 \(g(x)\)가 \(x=\alpha\)에서 극대 또 는 극소인 모든 실수 \(\alpha\)를 작은 수부터 차례대로 나열한 것을 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, ..., \alpha_{n}\)\( ,...이라 하자.\alpha_4<10\le \alpha_5\) 이고 \[\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=23\] 일 때, m의 값을 구하는 과정을 서술하시 오.

다음 조건을 만족시키는 모든 일차 이상의 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\int_{0}^{6}\) \(f(x)dx\)의 최솟값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.
() (가) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\int_{ - / 2}^{3}\) \(x
tf′(t)dt=(\frac{2x}{3}+1){f(x)+k}\)이다. 단, \(k\)는 실수이 다. \()
(\) 나 \()\) \(x\)에 대한 방정식 \(f(x)=m\) 이 실근을 갖도록 하는 실수 \(m\)의 최솟값은 \(-9\)이다.
( 다 \()\) \(f(0)\ge\) \(0

다항함수 \(f(x)\)의 최고차항을 \(axn(n\)은 자연수, \(a\)는 \(0\)이 아닌 상수\()\)이라 하자. 조건
(\) (가)에서 \(\int_{ - / 2}^{3}\) \(x
tf′(t)dt=(\frac{2x}{3}+1){f(x)+k}\)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하고 최고차 항을 비교하면 \(n\)의 값은
[①]
이다. 한편, 조건 (나)로부터 \(k\)의 값은
[②]
이 다. 조건 (다)에서 \(f(0)\ge\) \(0\) 이므로 \(\int_{0}^{6}\) \(f(x)dx\)의 값은 \(a\)의 값이
[③]
일 때 최 소이다. 따라서, \(\int_{0}^{6}\) \(f(x)dx\)의 최솟값은
[④]
이다.

원점 \(O\)에서 점 \(A(0, 13)\)을 지나고 기울기가 음인 직선 \(l\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 할 때, \(OH = 5\)이다. 직선 \(l\)이 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(2\sin\theta - 3\cos\theta\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\))

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \({f(x)}4-4x^2{f(x)}2-4{f(x)}2+16x^2=0\)을 만족시킨다. 함수 \(f(x)\)의 최댓값이 \(0\)이고 최솟값이 \(-2\)일 때, 함수 \(g(x)=\frac{f(x)}{x}\)의 \(x=0\) 에서의 좌극한과 우극한을 구하는 과정을 서술하시오.

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 \(f(x)\) \(= x^3 - m x^2\) \(+(m+\) \(\frac{4x+5}{3}가 일대일 대응이 되도록\) 하는 모든 정수 m의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

0이 아닌 두 실수 \(a, b\)에 대하여 \(a^{-3} \times \sqrt{a^4 b^{-2}} = 3\), \(a^{-1} - b^{-1} = -5\)일 때, \(a^2 + b^2\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

0< \(\theta < \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(t a_{n} \theta + \frac{1}{t a_{n} \theta } < br/ > = - 2\)일 때, \(\frac{1}{cos\theta} - \frac{1}{sin\theta}\)의 값을 구하는 과정을 서술
하시오.

함수 \(f(x)\) \(= < br/ > < br/ > < br/ > < br/ > < br/ > 2x + a_{2} x \le - 1\)

-x+2a+1
(x>)\(;\)\(-1\)
에 대하여 함수 \(f(\) \(x^2\) )f(2x-1)이 x=0에서 연속이 되도록 하는 실수 a의 값의 합을 구하는
과정을 서술하시오
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\(p > 0, q < 0\)인 두 정수 \(p, q\)와 모든 자연수 \(n\)에 대하여 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1 = 30, a_{n+1} = a_n + 3pn + q\)를 만족시킨다. 두 부등식 \(a_3 > 0, a_4 < 0\)을 만족시키는 정수 \(p, q\)의 순서쌍 \((p, q)\)를 모두 구하는 과정을 서술하시오.

\(a > 1\)인 실수 \(a\)에 대해 곡선 \(y = \log_a x\)와 원 \(C: \left(x - \frac{5}{3}\right)^2 + y^2 = \frac{17}{9}\)의 두 교점을 \(P, Q\)라 하자. 선분 \(PQ\)가 원 \(C\)의 지름일 때, \(a\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을
완성하시오.
선분 \(PQ\)가 원 \(C\)의 지름이므로 선분 \(PQ\)는 원의 중심 \(\left(\frac{5}{3}, 0\right)을 지난다.\) 따라서 양수 \(b\)에 대해 점 \(P\)의 \(x\)좌표를 \(\frac{5-b}{3}이라 할 때,\) 점 \(Q\)의 \(x\)좌표는
[①]
\(.\)
점 \(P\)와 점 \(Q\)의 \(y\)좌표의 부호가 서로 반대임을 이용하면, \(b=
[②]
\(.\)
따라서 점 \(Q\)의 \(y\)좌표는
[③]
\(.\)
점 \(Q\)는 곡선 \(y = logax\)와 원 C 의 교점이므로, a=
[④]
.

두 연속 함수 \(f(x)\)\(,\)\(g(x)\)가
lim
x→2) \(\frac{f(x)-4}{x-2} = 2, \lim\)
x→2) \(\frac{g(x)+2=-1}{x-2}\)을 만족시킬 때, \(lim
x→2\) \(\frac{f(x)g(x)+8}{x^2-4}의 값을 구하는 과정을 서술하시오.\)

최고차항의 계수가 3인 이차함수 \(f(x) 는 x=3에서 극값을 갖고, 모든 실수 x에 대하여 g(x) =(1-x) f(x) + \int 1\)
x
f(t)dt
를 만족시킨다. 곡선 y=x g(x) x와 직선 y=kx가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 k
의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

곡선 y=x \(x^2\) -5xx-5x+9와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(g(x)\)를 \(x\)와 \(1\) 중에서 크지 않은 수로 정의하자. 구간 \(- 1, \infty\)에서 정의된 함수 \(f(x)\) \(=\) \(g(x)\) \(- \frac{x}{1 + x}\)에 대하여 \(\lim_{x \to 1 - }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)과 \(\lim_{x \to 1 + }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

\(x < 1\)일 때 \(f(x)\) \(= [ ① ], x > ;\)\(1\)일 때 \(f(x)\) \(= [ ② ] .\)

\(f(1)\) \(= \frac{1}{2}\) 이므로 \(\lim_{x \to 1 - }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) \(= [ ③ ],\)

\(\lim_{x \to 1 + }\) \(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) \(=\) [ ④ ] 이다.

곡선 \(y=ax^2\) 위의 원점이 아닌 점 \(k, ak^2\) 에서의 접선이 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지날 때, 이 접선의 기울기를 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a, k\)는 상수이고 \(a \ne 0\))

실수 \(a\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를 \(f(x)=3^{|x|}+a\)라 하자. \(x\)에 대한 방정식
\(4^{f(x)}\) \(- 5 \times\) \(2^{f(x)+1}\) \(+ 24 = 0\) 이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

좌표평면에서 시초선을 원점에서 \(x\) 축의 양의 방향으로 잡을 때, 각 \(\theta\)를 나타내는 동경과 원점을 중심으로 하는 원이 만나는 점의 좌표가 \(a, b\)이다.
\(3\cos\theta + \cos\theta\tan\theta = 3\)일 때, \(\frac{a}{b}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(b \ne 0\))

수열 \(a_n\)의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합 \(S_n\) 이 \(S_n =\) \(\frac{n^2(n+2)^2}{9}\)일 때, \(a_1 + a_{100}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\)와 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\)를 만족할 때, \(\lim_{x \to 2}\) \(\frac{f(x)}{x-2}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

정의역이 \(\{x | \frac{1}{9} \le x \le 16\}\)인 함수 \(f(x)\) \(= \log_{|a + 1|} x\)의 최댓값이 \(2\)가 되도록 하는 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a \ne - 1\))

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 A, B의 시각 \(t(t\) \(\ge 0\) 에서의 속도를 각각 \(v_1(t)\)\(,\)\(v_2(t)\)라 할 때,
\(v_1(t)\) \(= 2t^3 - 12t^2 + 24t,\)\(v_2(t)\) \(= \frac{3}{2}t^2 + 9a a \ge 0\)이다. 두 점 \(A, B\)가 출발 후 오직 두 번 만나기 위한 모든 실수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\) \(= - x^2 + 6x - 9\)에 대하여, 곡선 위의 점 \(a,\)\(f(a))\) \(0 < a < 3\) 에서의 접선을 \(l\) 이라 하자. \(y=f(x)\)의 그래프와 접선 \(l, x\) 축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.