첫째항이 $\frac{47}{45}$인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여
$$a_{n+1} = a_n + (-1)^n \times \frac{2n+1}{n(n+1)}$$
을 만족시킬 때, $a_{2025} = \frac{q}{p}$이다. $\sqrt{p} + q$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $p, q$는 서로소인 자연수이다.)
$a > 0$인 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x) = ax^3$의 역함수를 $g(x)$라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(5, f(5))$에서의 접선의 방정식이 점 $(4,2)$를 지날 때, 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오.
두 함수 $y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$, $y=\log_{\frac{1}{9}}(3-x)$의 그래프가 점 $R_1(2,0)$에서 만난다. 직선 $y=1$이 두 함수의 그래프와 만나는 점을 각각 $P_1, Q_1$이라 할 때, 삼각형 $P_1Q_1R_1$의 넓이를 $a_1$이라 하자. 선분 $P_1Q_1$ 위의 점 중 $x$좌표가 $2$인 점을 $R_2$라 하고, 직선 $y=2$가 두 함수의 그래프와 만나는 점을 각각 $P_2, Q_2$라 할 때, 삼각형 $P_2Q_2R_2$의 넓이를 $a_2$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 삼각형 $P_nQ_nR_n$의 넓이를 $a_n$이라 하자. 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n+b_n = 1 - \frac{1}{2 \times 3^n}$을 만족시키는 수열 $\{b_n\}$의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $1458 S_3$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x)-x} = \frac{1}{2}$을 만족시킬 때,
$$\lim_{x \to 0} \frac{35xf(x) + 5\{f(x)\}^2}{2\{f(x)\}^2 + 3xf(x) - 2x^2}$$
의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
자연수 $k$에 대하여 두 함수 $f(x) = -\log_2 (k+1)x$, $g(x) = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{k+1}{k}x \right)$ (즉, $g(x) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{k+1}{kx}\right)$) 가 있다. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $h(x)$를
$$h(x) = \begin{cases} f(x) & (g(x) < f(x)) \\ g(x) & (g(x) \ge f(x)) \end{cases}$$
라 하자. 곡선 $y=h(x)$와 직선 $y=\log_2 k$가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 $l(k)$라 할 때,
$$\frac{10}{3} \times \sum_{k=1}^{9} l(k)$$
의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = x^2 + ax + b$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(a+b)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)
(가) $f(2) = f'(2)$
(나) $\sum_{k=1}^{15} \lim_{h \to 0} \frac{f(k+1+h) - f(k+1-2h)}{5h} = 90$
함수 $f(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{3}\right)^x - 4 & (0 < x \le 2) \\ \log_3 x & (x > 2) \end{cases}$ 에 대하여 $\sum_{n=1}^{3} f(f(f(n)))$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
집합 $A = \{x \mid |f(x)| - |f(t)| = 0\}$의 원소의 개수가 홀수가 되도록 하는 모든 실수 $t$의 개수가 $m$이고, 이러한 $m$개의 실수 $t$의 값을 작은 수부터 차례로 $t_1, t_2, t_3, \dots, t_m$이라 하자. $\frac{1}{|f(\alpha)|} \sum_{i=1}^{m} f(t_i)$의 가능한 모든 값을 구하는 과정을 서술하시오.
(가) $0 \le x < 1$일 때, $f(x) = a\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}$ 이다.
(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 1) = f(x) + 1$을 만족시킨다.
자연수 $n$에 대하여 $p_n = \int_{n-1}^{n} f(x)dx$라 할 때, 함수 $g(x) = \sum_{n=1}^{100} (x - p_n)^2$은 $x = \alpha$에서 최솟값을 갖는다. $\alpha$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a, \alpha$는 상수이다.)
다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 $m$이라 하자. 함수 $f(x) = \sin \frac{\pi x}{n}$ 가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x + 30) = f(x)$를 만족시킨다. 그림과 같이 중심이 $O$이고 반지름의 길이가 $4$인 원에 내접하는 예각삼각형 $ABC$ 에 대하여 점 $O$에서 세 선분 $AB, BC, CA$에 내린 수선의 발을 각각 $D, E, F$ 라 하자. $\overline{OD} : \overline{OE} : \overline{OF} = 12 : m : 6(3\sqrt{5} - 1)$일 때, 선분 $OE$ 의 길이와 $\sin^2 B$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
다항함수 $f(x)$에 대하여 $2(x+1)f(x)$의 한 부정적분을 $G(x)$라 할 때, 함수 $G(x)$는 모든 실수 $x$에 대하여
$G(x) = (x+1)^2 f(x) - x^4 - 4x^3 - 6x^2 - 4x$
를 만족시킨다. $G(0) = -2$일 때, $f(1)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
첫째항이 $2$인 수열 $\{a_n\}$에 대하여 함수
$$f(x) = egin{cases} a_n - n + 5 & (a_n \ge 4) \ a_{n+1} - n + 5 & (a_n < 4) \end{cases}$$
라 하자. 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $a_{10}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
$x\ge 0$ 에서 정의된 함수 $f(x) = |p\sin x - q| \; (p \gt 0)$에 대하여 $f(0) \gt f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$이다.
직선 $y = t$가 곡선 $y = f(x)$와 만나는 모든 점의 $x$ 좌표를 작은 수부터 크기 순으로 나열한 수열이 등차수열이 되도록 하는 $t$의 값은 $\alpha, \beta \; (\alpha \lt \beta)$ 뿐이다. $t = \alpha$, $t = \beta$ 일 때의 이 등차수열을 각각 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$이라 하자. $\alpha + \beta = 12$이고 $\dfrac{f(b_3)}{a_4} = \dfrac{3}{\pi}$일 때, $2p - q$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
정의역이 $\{x \,|\, x \ge 0\}$인 두 함수 $f(x) = ax^2 + bx$, $g(x) = \log_2(x+1)$에 대하여 함수 $h(x)$를
$$h(x) = egin{cases} f(x) & (g(x) < f(x)) \ g(x) & (g(x) \ge f(x)) \end{cases}$$
라 하자. 함수 $h(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, $h'(1) = \dfrac{1}{2\ln 2}$ 일 때, $10(a+b)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a, b$는 상수이다.)
두 실수 $x, y$ 에 대하여 $\dfrac{1}{9x} + \dfrac{1}{2y} = \dfrac{1}{2}$ 이고 $512^x = 144^y$ 일 때, $x = p\log_2 24, y = q\log_{12} 24$ 이다. p, q 그리고 $9x\log_{24} 2 + y\log_{24} 12$ 의 값을 각각 구하는 과정을 서 술하시오. (단, p, q는 유리수이다.)
다항함수 $f(x)$ 의 한 부정적분 F(x)가 모든 실수 x에 대하여 F(x)= $f(x)$ +2 $x^3$ -5 $x^2$ -5x를 만족시킨다. 방정식 $f(x)$ =4 $x^2$ +3의 두 근을 $\alpha$ , $\beta$ 라 할 때, $\alpha$ _{2}+ $\beta$ _{2}의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
- 238 - 2이상의 자연수 a에 대하여 원 (x-1)2+ $y^2$ =1이 곡선 y = a^{\frac{x}{2}} 과는 만나고, 곡선 y = a^x \times \left(\dfrac{3}{7}\right)^{-x} 과는 만나지 않도록 하는 a의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.
사차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $\frac{f(x)}{x^2-1}$ (|x| $\ne$ 1) $g(x)$ =
라 하자. 함수 $g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이고, lim x→1 $\frac{g(x)+1=1일 $ 때, g(p)의 $ 값을}{f(x)}$ x+p (|x|=1) 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오. $g(x)$ 가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 사차함수 $f(x)$ 를 $f(x)$ =( $x^2$ -1)(a $x^2$ +bx+c)라 놓을 수 있다. lim x→1 $\frac{g(x)+1가 $ 존재하므로 $p=}{f(x)}$ [①] 이다. $g(x)$ 가 x=1과 x=-1에서 연속이 므로 b= [②] . 또한, lim x→1 $\frac{g(x)+1=1이므로 c=}{f(x)}$ [③] . 따라서 g(p)= [④]
a>1인 상수 a에 대하여 곡선 y=4+ $loga$ (x+2)와 직선 y=5가 점 A 에서 만나고, 곡선 y=ax+2+4와 직선 x=-1이 점 B 에서 만난다. 두 직선의 교점이 점 P 일 때, 삼각형 PAB 의 넓이가 2가 되는 a의 값을 구하는 과정을 서술하시오. - 241 -
일차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를 $g(x) = x\int_0^x (tf(t)-11)dt - \int_0^x t^2f(t)dt$ 라 할 때, 함수 $g(x)$ 는 x=2에서 극솟값 -20을 갖는다. 함수 $g(x)$ 가 x=k에서 또 다른 극 솟값을 가질 때, k의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, k $\ne$ 2)
- 246 - 모든 자연수 n에 대하여 기울기가 -\frac{2이고 원 $x^2 + y^2 = \dfrac{1}{9^n}$ ln이라 하고, 직선 ln과 x축 및 y축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 $a_{n}$ 이라 하자. $\sum$ k=1 10 $a_{k}$ 의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오. 원 $x^2$ + $y^2$ =\frac{1의 반지름의 길이가 $\frac{3n}{}$ {9n}} 1이므로, 기울기가 - $\frac{2이고 이 원에 접하는 직선}{3}$ ln의 방정식은 [①] 이다. 직선 ln이 x축 및 y축에 둘러싸인 부분의 넓이 $a_{n}$ = [②] 이므로, 수열 { $a_{n}$ }의 첫째항 $a_{1}$ = [③] 이다. 따라서 $\sum$ k=1 10 $a_{k}$ = [④] 이다.
함수 $g(x)$를 $x$와 $1$중에서 크지 않은 수로 정의하자. 구간 $(-1, \infty)$에서 정의된 함수 $f(x) = g(x) - \frac{x}{1+x}$에 대하여 $\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$과 $\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.
$x < 1$일 때 $f(x) =$ [ ① ], $x > 1$일 때 $f(x) =$ [ ② ] .
좌표평면에서 시초선을 원점에서 $x$축의 양의 방향으로 잡을 때, 각 $\theta$를 나타내는 동경과 원점을 중심으로 하는 원이 만나는 점의 좌표가 $(a, b)$ 이다. $3\cos\theta + \cos\theta\tan\theta = 3$일 때, $\frac{a}{b}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $b \ne 0$)
원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 A, B의 시각 $t(t \ge 0)$에서의 속도를 각각 $v_1(t), v_2(t)$라 할 때, $v_1(t) = 2t^3 - 12t^2 + 24t, v_2(t) = \frac{3}{2}t^2 + 9a (a \ge 0)$이다. 두 점 A, B가 출발 후 오직 두 번 만나기 위한 모든 실수 $a$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.
함수 $f(x) = -x^2 + 6x - 9$에 대하여, 곡선 위의 점 $(a, f(a))$ $(0 < a < 3)$에서의 접선을 $l$이라 하자. $y=f(x)$의 그래프와 접선 $l$, $x$축 및 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.