자연수 \(n 에 대하여 x 에 대한 이차부등식
x^2 - (n^2+12n+13)x + 12n^3 + 13n^2 \le 0\)
을 만족시키는 모든 자연수 \(x\)의 개수를 \(a_n\) 이라 할 때, \(\sum_{k = 1}^{15} a_k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다항함수 \(f(x)\)가 \[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+x^3}{x^2} = 5___MATH_TOKEN_00004___g(x) = an\left(\] rac{\pi x}{a} ight)___MATH_TOKEN_00005___\left\{x \,\middle|\, rac{17}{8} \le x \le 6 ight\}___MATH_TOKEN_00006___에 대하여 \[\int_{-1}^{3} f(x)dx\] 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
(가) \(|f(1)| + |f(-1)| = 0\)
(나) \(-1 \le \int_{0}^{1} f(x)dx \le 1\)

삼차함수 \(f(x)=x^3+ax^2+bx\)가 \(\lim x \to 2\frac{1\int_{1}^{x} t\) \(f'(t)\) \(dt=20}{x-2}\)을 만족시킬 때, \(f(4)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(a, b\)는 상수이다.)

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곡선 y= \(x^3\)과 곡선 \(y = \sqrt \frac{x}{2}\)가 만나는 원점이 아닌 점을 \(A\)라 할 때, 점 \(A\)에서 \(x\)축에 내린
수선의 발을 \(H\)라 하자. 삼각형 \(AOH\)의 넓이가 \(2 < br/ > - \frac{a}{b}\)일 때, \(a_{2}\) +b2의 값을 구하는 과정을 서술
하시오. (단, O는 원점, a와 b는 서로소인 자연수)

\frac{3 \(\pi\) \(< ;\)\(\theta\) \(< ;\)\(2 \pi\)인 \(\theta\)에 대하여 \(6cos \theta - \frac{1}{cos\theta} }{2} < br/ > = 1\)일 때, \(sin \theta cos \theta\)의 값을 구하는 과정을 서
술하시오.

모든 항이 자연수인 수열 { \(a_{n} }\)이 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n} + 1 =





3 a_{n}\) \(+1(\) \(a_{n}\) 이홀수인경우\()
\(/\)
2\) \(a_{n}\) \(a_{n}\) 이짝수인경우\()
를 만족시킨다. \(a_{7} = 4\)일 때, \(S_{20}\)의 최솟값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오. 단, 수열
{\) \(a_{n} }\)의 첫째항부터 제 \(n\)항까지의 합을 \(S_{n}\) 이라 한다.\()\) \(a_{7} = 4\)이므로 \(a_{6}\) 이 홀수이면 \(a_{6} = 1\)이고, 짝수이면 \(a_{6} = 8\)이다. \(a_{6} = 1\)일 때, \(S_{6}\)의 최솟값은
[①]
이다. \(a_{6} = 8\)일 때, \(a_{5} + a_{6} =\)
[②]
>\(;\)
[①]
이므로, \(a_{6} = 1\)일 때의 \(S_{6}\) 이 최솟값을
갖는다. \(S_{6}\) 이 최솟값을 갖는 수열 \({ a_{n} }\)에서 반복되는 세 수는
[③]
이다. 따라서 \(S_{20}\)의 최솟값은
[④]
이다. \(a_{6} = 8\)일 때, \(a_{5} + a_{6} =\)
[②]24
>)r/>[①]14
이므로 \(a_{6} = 1\)일 때의 \(S_{6}\) 이 최솟값을 갖는다.
따라서 \(S_{6}\) 이 최솟값을 갖는 수열 \({ a_{n} }\)은 \(4, 2, 1, 4, 2, 1\)\(... 이므로
[③]\) \\(,\(2,\)\(1
이다. 따라서 \(S_{20}\)의 최솟값은 (4+2+1)×6+(4+2)=
[④]48
이다.

두 다항함수 \(f(x)\)\(,\)\(g(x)\)에 대하여 \(f(x)\) \(= 3 x^2 + 2x \int\) \(0
1
tg(t)dt\)\(,\)\(g(x)\) \(= - 6x + \int\) \(0
1
f(t)dt
일 때, 방정식 \(f(x)\) \(+\)g(x)\) =0의 모든 실근의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

두 함수 \(f(x)\) \(=




2x+1
(x\) \(\ge 1\)
\(,\)\(g(x)\) \(= x^2 - ax x^3 + a_{2} x^2\) \(-2x
(x<\)\(;\)\(1\)

에 대하여 함수 \(f(x)\) \(g(x)\)가 x=1에서 연속이 되도록 하는 상수 a의 값을 모두 구하는 과정을
서술하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 P , Q 의 시각 t(t \(\ge 0\)에서의 위치 \(x^1, x^2\)가 \(x^1 = 3 t^4 - 24 t^2 + 51t + d, x^2 = 8 t^3 + 6 t^2\) \(-21t
이다. 실수 \(t\)에 대하여 닫힌구간 \(0, 4\)에서 두 점 \(P, Q\) 사이 거리의 최솟값이 \(3\)일 때, 다음의
풀이 과정을 완성하시오. 단, \(d \le\) 0)
두 점 P , Q 사이 거리가 최소가 되는 시각은 t=
[①]
이다. 한편, 두 점 P , Q 사이
거리는 t=
[②]
에서 최댓값
[③]
를 가지며, 이때 점 Q 의 속도는
[④]
이다.\)

정의역이 \(\{x | x \ge 0\}\)인 함수 \(f(x)\) \(= ax^2 0 \lt a \lt 1\)의 역함수를 \(g(x)\)라 하자. 두 곡선 \(y=f(x)\)\(,\)\(y=g(x)\)로 둘러싸인 부분의 넓이가 \(S = \frac{3}{4}\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

두 곡선 \(y=f(x)\)\(,\)\(y=g(x)\)의 교점의 \(x\) 좌표는 \(x=0\)과 \(x = [ ① ]\)이다.

따라서 넓이를 정적분으로 나타내면 \(S = [ ② ]\) 이고, 이 적분의 값을 \(a\)에 대한 식으로 쓰면 \(S = [ ③ ]\)이다. \(S = \frac{3}{4}\) 이므로 상수 \(a=\) [ ④ ] 이다.

1이 아닌 서로 다른 두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 두 집합 \(A\), \(B\)를 \[A = \{ 1, \log_a b \}, \quad B = \left\{ \frac{3}{2}, 2, 3\log_2 a - 2\log_2 b \right\}\] 라 하자. \(A \subset B\)일 때, \(ab^2\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(x\)에 대한 이차방정식 \(kx^2 - k + 2\)x) \(+ k + 1\) \(= 0\)의 두 근이 \(\sin\theta\)와 \(\cos\theta\)일 때, \(\theta\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(k\)는 상수이고 \(0 \le \theta \le \pi\))

수열 \(a_n\)은 \(a_1 > 0, a_4 + a_5 = 0\) 이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_n\)을 만족시킨다. 수열 \(a_n\)의 첫째항부터 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(S_n < 0\)을 만족시키는 \(300\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \[f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} & (x > 1) \\ \frac{x+b}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} & (x \le 1) \end{cases}\] 가 \(x=1\)에서 연속일 때, 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q 의 시각 t ( t \ge 0 )에서의 위치 x_1, x_2\)가 \[x_1 = 3t^3 - 3t^2 + 7t, \quad x_2 = 2t^3 + 3t^2 - 2t\] 이다. 두 점 \(P\), \(Q\)가 동시에 원점을 출발한 후 처음으로 속도가 같아지는 순간 \(t_a\)와 처음으로 만나는 순간 \(t_b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.