공차가 \(4\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 두 자연수 \(k, m\)이 존재할 때, \(a_1, k, m\)의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

(가) \(a_k = 0\)
(나) \(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_m = 0\)
(다) \(|a_1| + |a_2| + |a_3| + \cdots + |a_m| = 204\)

2 이상의 자연수 \(m\)에 대하여 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) \(f'(x) = \sum_{k=2}^{m} k(k-1)x^{k-2}\)
(나) \(f'(1) = 240\)
(다) \(f(0) = 1\)
곡선 \(y=f(x)\) 위의 점 \(- 1,\)\(f(-1))\) 에서의 접선의 기울기와 접선의 \(y\)절편을 모두 구하는 과정을 서술하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q\)의 시각 \(t t \geq 0\) 에서의 속도가 각각
\(v_1(t)\) \(= 3t^2 + 4t + 10,\)
\(v_2(t)\) \(= 18t - 5\) 이고, 시각 \(t=0\)일 때 점 \(P\)의 위치를 \(p\) , 점 \(Q\)의 위치를 \(q\)라 하면 \(p < q\)이다. 두 점 \(P, Q\)는 출발한 후 시각 \(t=a\)일 때와 시각 \(t=b\)일 때만 만난다. 시각 \(t=a\)와 \(t=b\)에서 점 \(P\)의 가속도를 각각 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(1 < a < b\)이다.)

두 함수 \(f(x)\)\(,\)\(g(x)\)가
\(\lim_{x \to 0}\) \(\frac{f(x)}{x^2+2x}\) \(= \lim_{x \to 0} \left\{\) \(\frac{g(x)+x}{g(x)-x}\) \(- 1 \right\} = 1\)
을 만족시킬 때, \(\lim_{x \to 0} \frac{4f(x)g(x)}{2\{f(x)\}^2 + 3f(x)g(x) - 2\{g(x)\}^2}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

실수 \(a\)에 대하여 곡선 \(y = a \times 3^{x - 3} + 2a\)가 점 \(5, 22\)를 지난다. 이 곡선의 점근선이 \(y\) 축 및 곡선 \(y = 2^{x} - 1\)과 만나는 점을 각각 \(A, B\)라 할 때, 삼각형 \(AOB\)의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(O\)는 원점이다.)

1이 아닌 두 양수 \(a, b\) \(a \neq b\) \()\)가 \(\log_a b - \log_b a = 0\)을 만족시킬 때, \(9a + 25b\)의 최솟값을 \(m\) 이라 하고, 이때의 \(a\)의 값을 \(\alpha\)라 하자. \(m\)과 \(\alpha\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

첫째항이 \(2\) 이고 공차가 \(3\)인 등차수열 \(a_n\)에 대하여 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(13S_n > ;\)\(\sum_{k = 1}^{6} a_k\)\(^3\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

양의 실수 \(t\)에 대하여 함수 \(y = t - |2x|\)의 그래프와 함수 \(y = x^2\)의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S(t)\)라 할 때, \(\lim_{t\to \infty}\) \(\frac{\sqrt{t}S(t)}{t^2}\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

실수 \(t\)에 대하여 직선 \(y = t\)가 곡선 \(y = |x^2 - 2x| + x\)와 만나는 점의 개수를 \(f(t)\)라 하자. 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(g(t)\)에 대하여 함수 \(f(t)g(t)\)가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, \(f(1)\) \(+\) \(g(1)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 \(-\frac{1}{2}\) 이고 \(x = 8\)에서 최댓값을 갖는 이차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를)
\(g(x) = \begin{cases}\) \(f(x)\) \(&\) \(x \le a\) \(\ \(|f(x+1)\) \(-\) \(f(x)\) \(- \frac{7}{2}|\) \(&\) \(x\) \(> ;\)\(a\) \(\end{cases}\)
라 하자. 함수 \(g(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, \(f(a)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, \(a\)는 상수이다.)

함수 \(f(x)\) \(=\) \(2\sin^2\left(\frac{3}{2}\pi\) \(- x\right)\) \(-\) \(2\cos\left(\frac{\pi}{2}\) \(- x\right)\) \(+ 5\)의 최댓값이 \(\alpha\) 이고 최솟값이 \(\beta\)일 때, \(\alpha\beta\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(x\)에 대한 부등식 \[x^2 - x \log_3 \left( \sqrt[3]{9}n \] \[ight) + \log_3 \sqrt[3]{n^2} < 0\] 을 만족시키는 정수 \(x\)의 개수가 \(3\)이 되도록 하는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

공차가 \(0\) 이 아닌 등차수열 \({a_n}\)에 대하여 \(a_2 - 1 = 1 - a_4\) 이고 \(|a_4 + 5| = | - 5 - a_6|\)일 때, \(a_7\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 모든 다항함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f\left(\frac{1}{2}\right)\)의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오.
(가) 함수 \(f(x)\)의 모든 항의 계수가 정수이고, \(f(0)\) \(= 0\)이다.
(나) \(\lim_{x \to \infty}\) \(\frac{f(x)\) \(- 2x^3}{x^2} = \lim_{x \to \frac{1}{2}}\) \(f(x)\) (다) \(f(x)\)가 실수 전체의 집합에서 증가한다.

자연수 \(a\)에 대하여 함수 \[f(x) = \] \[rac{1}{3}\log_2(x-2)\]의 그래프의 점근선과 함수 \(g(x) = an\left(\) rac{\pi x}{a} ight)의 그래프는 만나지 않는다. 정의역이\left\{x \,\middle|\, rac{17}{8} \le x \le 6 ight\}일 때, 모든 자연수a)의 값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.

다음 조건을 만족시키는 최고차항의 계수가 \(1 인 모든 삼차함수 f(x)\)에 대하여 \[\int_{-1}^{3} f(x)dx\] 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 과정을 서술하시오.
(가) \(|f(1)| + |f(-1)| = 0\)
(나) \(-1 \le \int_{0}^{1} f(x)dx \le 1\)

점 \(- 2, a\)에서 곡선 \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\)에 그을 수 있는 접선의 개수가 \(3\) 이 되도록 하는 정수 \(a\)의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

공비가 \(1\) 이 아닌 등비수열 \(a_n\)의 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라고 하자. \(S_3 = 6, S_6 = 18\)일 때, \(\log_2\) \(\left(\) \(1 + \frac{S_{15}}{6} \right)\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

두 양수 \(a, b\)에 대하여 \(\log_3 ab = 6, \log_3 a = 4\log_b 3\)일 때, \(\log_a b + \log_b a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\) \(= x^2 - 4x + 4\)의 그래프 위의 점 \(a,\)\(f(a))\) 에서의 접선이 \(x\) 축 및 \(y\) 축과 만나는 점을 각각 \(P, Q\)라 할 때, 삼각형 \(OPQ\)의 넓이가 최대가 될 때의 \(a\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(O\)는 원점이고, \(0 < a < 2\)이다.)

사각형 \(ABCD\)가 반지름이 \(2\)인 원에 내접하며 \(\overline{AB} = 4, \overline{BC} = \overline{CD} = 1\)일 때, 사각형 \(ABCD\)의 넓이의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(y=f(x)\)의 그래프를 \(x\) 축의 방향으로 \(5\) 만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수를 \(y=g(x)\)라 하자.
\(\lim_{x \to - 1}\) \(\frac{f(x)}{(x+1)g(x)}\) \(= - \frac{1}{5}, \quad \lim_{x \to 4}\) \(\frac{f(x)}{(x+1)g(x)}\) \(= k\)일 때, 상수 \(k\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \(f(x)\) \(= - x^2 + 6x - 9\)에 대하여, 곡선 위의 점 \(a,\)\(f(a))\) \(0 < a < 3\) 에서의 접선을 \(\ell\) 이라 하자. \(y=f(x)\)의 그래프와 접선 \(\ell, x\) 축 및 \(y\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오.

정의역이 \(\{x | x \ge 0\}\)인 함수 \(f(x)\) \(= ax^2 0 < a < 1\)의 역함수를 \(g(x)\)라 하자. 두 곡선 \(y=f(x)\)\(,\)\(y=g(x)\)로 둘러싸인 부분의 넓이가 \(S = \frac{3}{4}\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하는 다음의 풀이 과정을 완성하시오.

두 곡선 \(y=f(x)\)\(,\)\(y=g(x)\)의 교점의 \(x\) 좌표는 \(x=0\)과 \(x = [ ① ]\)이다.

따라서 넓이를 정적분으로 나타내면 \(S = [ ② ]\) 이고, 이 적분의 값을 \(a\)에 대한 식으로 쓰면 \(S = [ ③ ]\)이다. \(S = \frac{3}{4}\) 이므로 상수 \(a=\) [ ④ ] 이다.

1이 아닌 서로 다른 두 양수 \(a\), \(b\)에 대하여 두 집합 \(A\), \(B\)를 \[A = \{ 1, \log_a b \}, \quad B = \left\{ \frac{3}{2}, 2, 3\log_2 a - 2\log_2 b \right\}\] 라 하자. \(A \subset B\)일 때, \(ab^2\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

\(x\)에 대한 이차방정식 \(kx^2 - k + 2\)x) \(+ k + 1\) \(= 0\)의 두 근이 \(\sin\theta\)와 \(\cos\theta\)일 때, \(\theta\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오. 단, \(k\)는 상수이고 \(0 \le \theta \le \pi\))

수열 \(a_n\)은 \(a_1 > 0, a_4 + a_5 = 0\) 이고, 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_n\)을 만족시킨다. 수열 \(a_n\)의 첫째항부터 \(n\) 항까지의 합을 \(S_n\) 이라 할 때, \(S_n < 0\)을 만족시키는 \(300\) 이하의 자연수 \(n\)의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

함수 \[f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} & (x > 1) \\ \frac{x+b}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}} & (x \le 1) \end{cases}\] 가 \(x=1\)에서 연속일 때, 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

수직선 위를 움직이는 두 점 \(P, Q 의 시각 t ( t \ge 0 )에서의 위치 x_1, x_2\)가 \[x_1 = 3t^3 - 3t^2 + 7t, \quad x_2 = 2t^3 + 3t^2 - 2t\] 이다. 두 점 \(P\), \(Q\)가 동시에 원점을 출발한 후 처음으로 속도가 같아지는 순간 \(t_a\)와 처음으로 만나는 순간 \(t_b\)의 값을 구하는 과정을 서술하시오.