$2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 실수 $a$의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수를 $f_n(a)$라 할 때, $$f_n((-a)^n) + (-1)^n \times f_{n+1}((-a)^{n+1}) + f_{n+1}(f_{n+2}(a^n))$$ 의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $2$ 이상의 자연수 $k$에 대하여 두 함수 $y = \log_M(x+k)+m$, $y = \log_M(-x+k)+m$의 그래프의 교점을 $A$라 하고, 삼각형 $ABC$가 정삼각형이 되도록 하는 $x$축 위의 서로 다른 두 점을 $B$, $C$라 할 때, $\sqrt{3} < \overline{BC} < 2\sqrt{3}$을 만족시키는 $k$의 개수를 구하는 과정을 서술하시오.

등비수열 \(\{a_n\}\)과 수열 \(\{b_n\}\)이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $0 < a_1 < \frac{\pi}{2}$, $0 < a_2 < \frac{\pi}{2}$ 이고 $\tan a_1 = \frac{3}{4}$, $\tan a_2 = \frac{1}{3}$ 이다.
(나) $\tan b_1 = \frac{1}{4}$
(다) 모든 자연수 $n$에 대하여 $0 < b_n < \frac{\pi}{2}$ 이고 $(1 - \tan a_n \tan b_n) \tan b_{n+1} = \tan a_n + \tan b_n$ 이다.
$\lim_{n \to \infty} b_n = b$라 할 때, $\tan b$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 실수 $a$에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, $f'(a)$와 $\int_{0}^{2a} f(x) dx$의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a > 1$)
(가) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) + f(2a-x) = 2a^2$ 이다.
(나) $\int_{0}^{2a} \{f(x) - x\} dx = 36$
(다) $\int_{-1}^{1} (x+5)^2 f(x+a) dx = 440$

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 두 실수 $a, b$와 모든 실수 $x$에 대하여 $$f(x) + \frac{2}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{2}f(x)\right) = \frac{a e^x - b}{e^x + 1}$$ 를 만족시킨다. 첫째항이 $4a^3 - 13a^2 + 12a - 2$ 이고 공비가 $\frac{1}{3}b^3 - \frac{3}{2}b^2 + 2b$ 인 모든 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a \ge 0, b \ge 0$)

첫째항이 $0$인 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n-k} \times k \times (n-k+1)^2$$ 이다. $\sum_{k=1}^{m} a_k = -78$ 일 때, 자연수 $m$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

두 상수 $a, b$에 대하여 함수 $f(x)$를 $f(x) = \frac{x^3 + a x^2 + b x}{e^x}$ 라 하자. 실수 $t$에 대하여 함수 $g(x) = |t - f(x)|$가 $x=p$에서 미분가능하지 않은 실수 $p$의 개수를 $h(t)$라 할 때, 함수 $h(t)$는 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 $h(t)$가 $t=k$에서 불연속인 실수 $k$의 값은 $2$개이다.
(나) $\lim_{t \to 0^+} h(t) + \lim_{t \to 0^-} h(t) + h(0) = 3$
집합 $A = \{\alpha \mid \text{점 } (\alpha, f(\alpha))\text{는 곡선 } y=f(x)\text{의 변곡점}, \alpha\text{는 실수}\}$의 서로 다른 두 원소 $\alpha, \beta$에 대하여 $f'(\alpha) \times f'(\beta)$의 최솟값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$)

네 수열 $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}, \{d_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{n+1} = \frac{a_n^2+2}{2a_n}, \quad b_n = \frac{a_n-\sqrt{2}}{a_n+\sqrt{2}}, \quad c_{n+1} = \frac{c_n+2}{c_n+1}, \quad d_n = \frac{c_n-\sqrt{2}}{c_n+\sqrt{2}}$$ 을 만족시킨다. $b_8 = (b_1)^p, d_8 = (d_1)^q, a_8 = c_m$ 일 때, 자연수 $p, q, m$의 값을 모두 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a_1 = c_1 = 1$)

2026학년도 수학Ⅱ - 접선의 방정식, 최댓값과 최솟값 난이도: 의예과형 독자출제 ⏱️ 예상 소요 시간: 6분 / 전체 80분

2026학년도 모의논술 수학 I, 수학 II, 미적분 ⏱️ 예상 소요 시간: 7분 / 전체 50분

2026학년도 모의논술 수학 I ⏱️ 예상 소요 시간: 10분 / 전체 50분

2026학년도 모의논술 미적분 ⏱️ 예상 소요 시간: 15분 / 전체 50분

2026학년도 모의논술 수학 II ⏱️ 예상 소요 시간: 10분 / 전체 50분

그림과 같이 자연수 $n$에 대하여 직각삼각형 $AB_0C_0$의 선분 $AB_0$ 위의 점 $B_n$과 선분 $AC_0$ 위의 점 $C_n$을 다음 규칙에 따라 정한다.
(가) $\angle C_0 = \frac{\pi}{2}$, $\angle B_0 = \frac{5}{12}\pi$, $\overline{B_0C_0} = 6$
(나) 선분 $B_0C_0$을 지름으로 하는 반원을 $G_0$이라 하고, $G_0$이 선분 $AB_0$와 만나는 점 중 $B_0$이 아닌 점이 $B_1$이다. 점 $B_1$을 지나면서 선분 $B_0C_0$와 평행한 직선이 선분 $AC_0$와 만나는 점이 $C_1$이다.
(다) 선분 $B_1C_1$을 지름으로 하는 반원을 $G_1$이라 하고, $G_1$이 선분 $AB_1$과 만나는 점 중 $B_1$이 아닌 점이 $B_2$이다. 점 $B_2$을 지나면서 선분 $B_1C_1$과 평행한 직선이 선분 $AC_1$과 만나는 점이 $C_2$이다.
(라) 선분 $B_nC_n$을 지름으로 하는 반원을 $G_n$이라 하고, $G_n$이 선분 $AB_n$과 만나는 점 중 $B_n$이 아닌 점이 $B_{n+1}$이다. 점 $B_{n+1}$을 지나면서 선분 $B_nC_n$과 평행한 직선이 선분 $AC_n$과 만나는 점이 $C_{n+1}$이다.
반원 $G_{n-1}$에서 호 $B_{n-1}B_n$과 선분 $B_{n-1}B_n$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $T_{n-1}$이라 하자. $\sum_{k=0}^{\infty} T_k = (p + q\sqrt{3})\left(\frac{\pi}{3} - 1\right)$일 때, 유리수 $p$와 $q$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

$\lim_{n\to \infty} \left\{ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \ln n - \frac{4}{n^4} \sum_{k=1}^{n} k^3 \ln(k+n) \right\}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 $f(x) = \ln(ax)$의 그래프와 이차함수 $g(x) = b^2 x^2 - bx + 1$의 그래프가 한 점 $P(\alpha, \beta)$에서만 만나고 $f'(\alpha) = g'(\alpha)$이다. 기울기가 음수이고 점 $P$ 를 지나는 직선이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $A, B$라 하자. 선분 $AB$의 길이의 최솟값이 $8$일 때, $ab$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a, b$는 양수이다.)

자연수 $n$에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $0 < x \le n$일 때, 어떤 정수 $m$에 대하여 $m \le \log_7(3x+1) < m+1$이면 $f(x) = m$이다.
(나) 모든 양의 실수 $x$에 대하여 $f(x+n) = f(x)$이다.
열린구간 $(0, 2025)$에 속하는 $x = c$에서 함수 $f(x)$가 불연속일 때, $c$의 개수가 $k$가 되도록 하는 모든 자연수 $n$ 중 최댓값을 $a_k$라 하자. $a_7, a_{13}, a_{19}, a_{25}$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음을 만족한다.
(가) $f(0) = \frac{\pi}{2}$ 이고, 수열 \(\{a_n\}\)이 모든 자연수 $n$에 대하여 $f(a_n) = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ 를 만족시킨다.
(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) > 0$이고, $f'(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
(다) 자연수 $n$에 대하여 $2(n-1)\pi + \frac{\pi}{2} \le f(x) \le 2n\pi - \frac{\pi}{2}$ 일 때, $f'(x) \ge \frac{1}{2+\cos f(x)}$ 이고, $2n\pi - \frac{\pi}{2} \le f(x) \le 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ 일 때, $f'(x) \le \frac{1}{2+\cos f(x)}$ 이다.
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $g(x) > 0$와 $g(x) = 1 - \int_{0}^{x} g(t)\cos f(t)dt$를 만족시킬 때, $\lim_{n\to \infty} g(a_n)$의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

함수 $f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 3 & (x \le 0) \\ -(x+1)^2 e^{-x} + a & (x > 0) \end{cases}$ 에 대하여 함수 $y = |f(x)|$의 그래프와 직선 $y = t$가 만나는 서로 다른 점의 개수를 $h(t)$라 하면, $\lim_{t\to k^-} h(t) - \lim_{t\to k^+} h(t) > 2$를 만족시키는 상수 $k$가 존재하도록 하는 모든 양수 $a$의 개수는 $n$이다. 이러한 $n$개의 양수 $a$의 값을 작은 수부터 차례로 $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ 이라 하고, $a = a_1$ 일 때, 실수 $m$에 대하여 $\lim_{t\to m^-} h(t) + \lim_{t\to m^+} h(t)$의 최댓값을 $M$ 이라 하자. $M$ 과 $\sum_{k=1}^{n} a_k$의 값을 구하는 과정을 서술하시오. (단, $n$은 자연수이다.)

$\overline{AB} = 3$, $\overline{BC} = 4$, $\angle B = \frac{\pi}{2}$ 인 직각삼각형 $ABC$ 에서 선분 $BC$ 를 $1 : a$로 내분하는 점을 $P$, 선분 $CA$를 $1 : a$로 내분하는 점을 $Q$라 하자. $\overline{AP} = \overline{PQ}$일 때, $\cos(\angle APQ)$의 값과 삼각형 $APQ$의 넓이를 구하는 과정을 서술하시오. (단, $a$는 양수이다.)

2025학년도 수학 II - 입체도형의 부피 난이도: 최상 ⏱️ 예상 소요 시간: 8분 / 전체 80분

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