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수학 영역 (해설집)
을지대학교 기출문제집
2026학년도 수시모집 논술고사 (1교시)
Questio Editor Team
PUBLISHED 2026
2026학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅰ
📝 [수학 8번 문항 해설] 로그함수의 그래프와 점근선
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: (1) \(2\), (2) \(5\)

해설:
(1) 함수 \(f(x) = \log_{5}(ax+b)\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점 \(\text{A}\)의 \(y\)좌표는 \(0\)이므로 \(\log_{5}(ax_A+b) = 0 \implies ax_A+b = 1 \implies x_A = \frac{1-b}{a}\)에서 점 \(\text{A}\)의 좌표는 \(\left(\frac{1-b}{a}, 0\right)\)이다. 또한 \(y\)축과 만나는 점 \(\text{B}\)의 \(x\)좌표는 \(0\)이므로 \(y_B = f(0) = \log_{5}(b)\)에서 점 \(\text{B}\)의 좌표는 \(\left(0, \log_{5}(b)\right)\)이다. 함수 \(y = \log_{5}(ax+b)\)의 진수 조건에 의해 점근선의 방정식은 \(ax+b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}\)이므로 점 \(\text{A}\left(\frac{1-b}{a}, 0\right)\)에서 점근선에 내린 수선의 발 \(\text{H}\)의 좌표는 \(\left(-\frac{b}{a}, 0\right)\)이다. 점 \(\text{A}\)가 선분 \(\text{OH}\)의 중점이므로 \(\frac{1-b}{a} = \frac{1}{2} \left(0 + \left(-\frac{b}{a}\right)\right) = -\frac{b}{2a}\)에서 양변에 \(a\) (\(a>1\))를 곱하면 \(1-b = -\frac{b}{2} \implies 2 - 2b = -b \implies b = 2\)이다.
(2) \(b = 2\)이므로 점 \(\text{A}\left(-\frac{1}{a}, 0\right)\), 점 \(\text{B}\left(0, \log_{5}(2)\right)\)이다. 조건 \(\overline{\text{OA}} = \overline{\text{OB}}\)에서 \(a > 1\)이므로 선분 \(\text{OA}\)의 길이는 \(\frac{1}{a}\), 선분 \(\text{OB}\)의 길이는 \(\log_{5}(2)\)이다. 따라서 \(\frac{1}{a} = \log_{5}(2) \implies a = \frac{1}{\log_{5}(2)} = \log_{2}(5)\)이고, 구하고자 하는 값 \(b^a\)는 \(b^a = 2^{\log_{2}(5)} = 5\)이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소 부분 배점
두 점 A, B의 좌표를 각각 \(a\), \(b\)를 이용하여 정확히 표현함 3점
점근선의 방정식을 구하고 수선의 발 H의 좌표를 정확히 구함 2점
중점 조건을 이용하여 \(b = 2\)를 도출함 2점
선분 길이 조건 \(\overline{\text{OA}} = \overline{\text{OB}}\)를 이용하여 \(a = \log_{2}(5)\)를 도출하고 최종값 \(b^a = 5\)를 계산함 3점
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2026학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅰ
📝 [수학 9번 문항 해설] 삼각방정식과 삼각함수의 관계
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: (1) \(\frac{3}{5}\), (2) \(-\frac{4}{3}\)

해설:
(1) 이차방정식 \(3x^2 - 10x + 3 = 0\)을 인수분해하면 \((3x-1)(x-3) = 0\)이므로 두 근은 \(x = \frac{1}{3}\) 또는 \(x = 3\)이다. 주어진 조건에서 \(\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi\) (제4사분면)이므로 \(\cos\theta > 0, \sin\theta < 0\)이다. 이에 따라 \(1-\sin\theta > 1\)이고 \(\cos\theta > 0\)이므로 \(0 < \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} < 1\)이다. 따라서 주어진 한 근은 \(0\)과 \(1\) 사이의 값이어야 하므로 \(\frac{1}{3}\)이다. 즉 \(\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} = \frac{1}{3} \implies 3\cos\theta = 1-\sin\theta \implies \sin\theta = 1 - 3\cos\theta\)가 성립한다. 이를 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)에 대입하면 \((1-3\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1 \implies 10\cos^2\theta - 6\cos\theta = 0 \implies 2\cos\theta(5\cos\theta - 3) = 0\)이 되고, \(\cos\theta > 0\)이므로 \(\cos\theta = \frac{3}{5}\)이다.
(2) \(\cos\theta = \frac{3}{5}\)을 \(\sin\theta = 1 - 3\cos\theta\)에 대입하면 \(\sin\theta = 1 - 3\left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{5}\)이다. 따라서 \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}\)이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소 부분 배점
이차방정식의 해 \(x = \frac{1}{3}\) 또는 \(x = 3\)을 구함 2점
사분면의 각 범위를 파악하여 주어진 근의 값이 \(\frac{1}{3}\)임을 규명함 3점
삼각함수 사이의 관계식을 이용하여 \(\cos\theta = \frac{3}{5}\)을 구함 3점
정의를 이용하여 최종적으로 \(\tan\theta = -\frac{4}{3}\)의 값을 정확히 구함 2점
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2026학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅰ
📝 [수학 10번 문항 해설] 등차수열의 일반항과 합
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: (1) \(a_n = 3n-10\), (2) \(114\)

해설:
(1) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항을 \(a_1\), 공차를 \(d\)라 하면 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)이다. 수열 \(\{a_n + a_{n+2}\}\)의 일반항을 \(b_n\)이라 하면 \(b_n = a_n + a_{n+2} = 2a_1 + 2nd = 2(a_1+d) + (n-1)(2d)\)이므로, 수열 \(\{b_n\}\)은 첫째항이 \(2(a_1+d)\), 공차가 \(2d\)인 등차수열이다. 조건에 의해 공차는 \(2d = 6 \implies d = 3\)이고, 첫째항은 \(2(a_1+d) = -8 \implies a_1+3 = -4 \implies a_1 = -7\)이다. 따라서 일반항 \(a_n\)은 \(a_n = -7 + (n-1) \times 3 = 3n - 10\)이다.
(2) 등차수열의 합 공식에 의해 \(S_n = \frac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2} = \frac{n(3n-17)}{2}\)이므로, 제 \(12\)항까지의 합 \(S_{12}\)는 \(S_{12} = \frac{12 \times (3 \times 12 - 17)}{2} = 6 \times 19 = 114\)이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소 부분 배점
수열 \(\{a_n + a_{n+2}\}\)의 일반항을 등차수열 형태로 표현함 3점
연립방정식을 통해 첫째항 \(a_1 = -7\)과 공차 \(d = 3\)을 구함 3점
일반항 \(a_n = 3n-10\)을 정확히 구함 2점
등차수열 합의 공식을 적용하여 \(S_{12} = 114\)의 최종 합을 구함 2점
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2026학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅱ
📝 [수학 11번 문항 해설] 주기함수와 함수의 연속
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: (1) \(a = \frac{1}{5}, b = \frac{9}{5}\), (2) \(\frac{18}{5}\)

해설:
(1) 함수 \(f(x)\)가 \(x=3\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 3-} f(x) = \lim_{x \to 3+} f(x) \implies -3+5 = a(3-2)^2 + b \implies a+b=2 \quad \cdots (\text{ㄱ})\)이다. 또한 주기성에 의해 \(f(0) = \lim_{x \to 6-} f(x) \implies -0+5 = a(6-2)^2 + b \implies 16a+b=5 \quad \cdots (\text{ㄴ})\)이다. (ㄴ)에서 (ㄱ)을 빼면 \(15a=3 \implies a=\frac{1}{5}\)이고, 이를 (ㄱ)에 대입하면 \(b=\frac{9}{5}\)이다.
(2) \(f(x)\)의 주기가 \(6\)이므로 \(f(23) = f(6 \times 3 + 5) = f(5)\)이다. \(3 < 5 \le 6\)이므로 \(f(5) = a(5-2)^2+b = 9a+b\)이고, 구한 \(a, b\)를 대입하면 \(f(23) = 9\left(\frac{1}{5}\right) + \frac{9}{5} = \frac{18}{5}\)이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소 부분 배점
x = 3에서의 연속성 조건을 통해 \(a + b = 2\) 식을 세움 3점
주기성 및 경계 조건을 통해 \(16a + b = 5\) 식을 세움 3점
연립하여 \(a = \frac{1}{5}\), \(b = \frac{9}{5}\)를 정확히 구함 2점
주기성을 활용하여 \(f(23) = f(5)\) 임을 파악하고 최종값 \(\frac{18}{5}\)를 구함 2점
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2026학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅱ
📝 [수학 12번 문항 해설] 함수의 극한과 다항함수의 결정
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: (1) \(f(x) = 3x^2+5x-6\), (2) \(6\)

해설:
(1) 조건 (가)에서 \(t = 1/x\)로 치환하면 \(\lim_{t \to \infty} f(t)/t^2 = 3\)이므로 \(f(x) = 3x^2+px+q\)이다. \(f(1)=2, f(2)=16\)을 대입하면 \(p+q=-1\)과 \(2p+q=4\)를 얻고, 이를 연립하면 \(p=5, q=-6\)이므로 \(f(x) = 3x^2+5x-6\)이다.
(2) 조건 (나)에 \(f(x)\)를 대입하면 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2+5x-6-3g(x)}{x} = 5\)이다. 극한값이 존재하므로 분자의 최고차항이 소거되어야 하여 \(g(x) = x^2+mx+n\)이다. 분자를 정리하면 \((5-3m)x - (6+3n)\)이므로 극한값은 \(5-3m=5 \implies m=0\)이다. \(g(0)=-3 \implies n=-3\)이므로 \(g(x)=x^2-3\)이다. 따라서 \(g(3) = 3^2-3=6\)이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소 부분 배점
치환을 통해 \(f(x)\)가 최고차항이 \(3x^2\)인 이차함수임을 이끌어냄 3점
연립방정식을 통해 \(f(x) = 3x^2+5x-6\)을 정확히 결정함 2점
극한 식 (나)의 성질을 분석하여 \(g(x)\)가 최고차항이 \(x^2\)인 이차함수임을 밝힘 3점
조건 \(g(0) = -3\)과 계수 비교를 통해 \(g(x) = x^2-3\)을 도출하고 \(g(3) = 6\)을 구함 2점
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2026학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅱ
📝 [수학 13번 문항 해설] 접선의 방정식과 원의 기하학적 성질
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: (1) \(y = x+5\), (2) \(3\sqrt{2}\)

해설:
(1) \(f'(x) = 3x^2 + k\)이므로 접선의 기울기는 \(f'(-1) = 3+k\)이다. 점 \(\text{A}(-1, 4)\)에서의 접선(직선 \(\text{AB}\))의 방정식은 \(y - 4 = (3+k)(x+1) \implies y = (3+k)x + k + 7 \quad \cdots (\text{ㄱ})\)이다. 곡선과 접선을 연립하면 \(x^3 + kx + k + 5 = (3+k)x + k + 7 \implies x^3 - 3x - 2 = 0\)이고, \(x = -1\)이 접점이므로 \((x+1)^2(x-2)=0\)에서 교점 \(\text{B}\)의 \(x\)좌표는 \(2\)이다. 이를 (ㄱ)에 대입하면 점 \(\text{B}\)의 좌표는 \((2, 3k+13)\)이다. 점 \(\text{B}\)를 지나고 기울기가 \(-1\)인 직선 \(y - (3k+13) = -(x-2)\)의 \(y\)절편인 점 \(\text{C}\)의 좌표는 \((0, 3k+15)\)이다. 점 \(\text{B}\)가 선분 \(\text{AC}\)를 지름으로 하는 원 위의 점이므로 \(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{BC}} = 0\)이다. \(\vec{\text{AB}} = (3, 3k+9)\), \(\vec{\text{BC}} = (-2, 2)\)이므로 내적은 \(3 \times (-2) + 2(3k+9) = 6k + 12 = 0 \implies k = -2\)이다. 따라서 직선 \(\text{AB}\)의 방정식은 \(y = x+5\)이다.
(2) \(k = -2\)이므로 점 \(\text{B}\)의 좌표는 \((2, 7)\)이다. 두 점 \(\text{A}(-1, 4)\)와 \(\text{B}(2, 7)\) 사이의 거리인 선분 \(\text{AB}\)의 길이는 \(\overline{\text{AB}} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (7 - 4)^2} = 3\sqrt{2}\)이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소 부분 배점
접선의 방정식을 \(k\)에 관한 식으로 구하고 점 B의 좌표를 나타냄 3점
점 C의 좌표를 표현하고 지름 원 조건을 이용해 수직 관계(\(\vec{\text{AB}} \cdot \vec{\text{BC}} = 0\))를 정립함 3점
\(k = -2\)를 도출하고 접선 \(y = x+5\)를 구함 2점
점 B의 좌표 \((2, 7)\)을 확인하고 선분 \(\overline{\text{AB}} = 3\sqrt{2}\)를 정확히 계산함 2점
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2026학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅱ
📝 [수학 14번 문항 해설] 부정적분과 도함수의 연립 관계
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: (1) \(g'(x) = x+1\), (2) \(\frac{1}{2}\)

해설:
(1) 조건 (나)의 양변을 미분하면 \(f(x) = g(x) + xg'(x) - g(x) \implies f(x) = xg'(x) \quad \cdots (\text{ㄱ})\)이다. 조건 (가)의 부정적분 식에서 \(f(x) = g'(x) + x^2 + C\)이고, 여기에 (ㄱ)을 대입하면 \(xg'(x) = g'(x) + x^2 + C \implies (x-1)g'(x) = x^2 + C\)이다. \(g'(x)\)가 다항함수이므로 \(x^2+C\)는 \((x-1)\)로 나누어떨어져야 하므로 \(x=1\)을 대입하면 \(1+C=0 \implies C=-1\)이다. 따라서 \((x-1)g'(x) = x^2-1 = (x-1)(x+1)\)에서 \(g'(x) = x+1\)이다.
(2) \(g'(x) = x+1\)의 부정적분은 \(g(x) = \frac{1}{2}x^2 + x + K\)이다. (ㄱ)에서 \(f(x) = x(x+1) = x^2+x\)이므로 \(f(1)=2\)이다. 조건 (다)에서 \(f(1)=g(1)\)이므로 \(2 = \frac{1}{2} + 1 + K \implies K = \frac{1}{2}\)이다. 따라서 \(g(0) = K = \frac{1}{2}\)이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소 부분 배점
조건 식을 미분하여 \(f(x) = xg'(x)\)의 핵심 유도식을 얻음 3점
부정적분 관계식을 연립하여 \((x-1)g'(x) = x^2 + C\)를 이끌어냄 3점
나누어떨어짐 조건을 통해 적분상수 \(C = -1\)을 구하고 \(g'(x) = x+1\)을 도출함 2점
조건 \(f(1) = g(1)\)을 활용해 적분상수 \(K = \frac{1}{2}\)를 구하고 최종 \(g(0) = \frac{1}{2}\)을 정확히 계산함 2점
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2025학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅱ
📝 [수학 8번 문항 해설] 함수의 극한과 연속
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: \(2\sqrt{5}-4\)

해설:
1. \(a = \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2-3x+16}-4}{x-3} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1\) 이다.
2. $b = \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^2-3x+16}-4}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x^2-3x+16)-16}{(x-3)(\sqrt{x^2-3x+16}+4)} = \lim_{x \to 3} \frac{x(x-3)}{(x-3)(\sqrt{x^2-3x+16}+4)} = \frac{3}{\sqrt{16}+4} = \frac{3}{8}\(이다.
3.\)a + 8b = 1 + 8 \times \frac{3}{8} = 4\(이므로\)f(a+8b) = f(4) = \frac{\sqrt{16-12+16}-4}{4-3} = \sqrt{20}-4 = 2\sqrt{5}-4$ 이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소부분 배점
주어진 함수의 조건에서 극한값 \(a=1\)을 구함3점
유리화를 통해 극한값 \(b=\frac{3}{8}\)을 구함3점
\(a\)와 \(b\) 값을 이용하여 \(f(a+8b) = 2\sqrt{5}-4\)를 올바르게 계산함4점
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2025학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅰ
📝 [수학 9번 문항 해설] 수열
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: \(n = 16\)

해설:
1. \(2a_{n+1} = a_n + a_{n+2}\)이므로 수열 \(\{a_n\}\)은 등차수열이다. 공차를 \(d\)라 하면 \(a_3 - a_8 = -5d = 15 \implies d = -3\) 이다.
2. \(a_3 + a_8 = 2a_1 + 9d = 2a_1 - 27 = 63 \implies 2a_1 = 90 \implies a_1 = 45\) 이다.
3. 일반항 \(a_n = 45 + (n-1)(-3) = -3n + 48 = 0 \implies 3n = 48 \implies n = 16\) 이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소부분 배점
주어진 등차중항 성질을 이용하여 공차 \(d=-3\)을 구함3점
주어진 수열의 연립방정식을 이용하여 첫째항 \(a_1=45\)를 구함3점
\(a_n=0\)을 만족시키는 자연수 \(n=16\)을 정확히 구함4점
을지대학교 수시모집 논술고사 수학 영역 - 해설집 | Page 9
2025학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅱ
📝 [수학 10번 문항 해설] 미분
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: \(2\sqrt{10}\)

해설:
1. \(y' = 3x^2 - 6\)이므로 곡선 \(y = x^3 - 6x + 5\) 위의 점 A\((1, 0)\)에서의 접선의 기울기는 \(y'(1) = 3 - 6 = -3\) 이다. 접선의 방정식은 \(y = -3(x-1) \implies y = -3x + 3\) 이다.
2. 곡선 \(y = -x^2 - 5x + 2\) 위의 점 B의 좌표를 \((t, -t^2-5t+2)\)라 하면 접선의 기울기는 \(-2t-5 = -3 \implies t = -1\) 이다. 따라서 점 B의 좌표는 \((-1, 6)\) 이다.
3. 두 점 A\((1, 0)\), B\((-1, 6)\) 사이의 거리 \(\overline{\text{AB}} = \sqrt{(1-(-1))^2 + (0-6)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\) 이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소부분 배점
주어진 함수 위의 점 A에서 접선의 방정식 \(y=-3x+3\)을 구함3점
접선의 기울기를 이용하여 점 B의 좌표 \((-1, 6)\)을 구함3점
두 점 A, B 사이의 거리 \(\overline{\text{AB}} = 2\sqrt{10}\)을 구함4점
을지대학교 수시모집 논술고사 수학 영역 - 해설집 | Page 10
2025학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅱ
📝 [수학 11번 문항 해설] 적분
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: \(-4\)

해설:
1. 주어진 식의 양변을 미분하면 \(\int_{0}^{x} f(t)dt + x f(x) = x^2 - 8 + 2f(x) + x f(x) \implies \int_{0}^{x} f(t)dt = x^2 - 8 + 2f(x)\) ㉠ 이다. \(x=0\)을 대입하면 \(2f(0) = 8 \implies f(0) = 4\) 이다.
2. ㉠의 양변을 한 번 더 미분하면 \(f(x) = 2x + 2f'(x)\) 이다. \(f(0) = 4\)이므로 \(2f'(x) = 4 \implies f'(x) = 2 \implies f(x) = 2x + 4\) 이다. \(\int_{0}^{a} (2x+4)dx = [x^2+4x]_{0}^{a} = a^2+4a = 0 \implies a(a+4) = 0\) 에서 \(a \ne 0\)이므로 \(a = -4\) 이다.
3. 따라서 \(f(a) = f(-4) = 2(-4) + 4 = -4\) 이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소부분 배점
주어진 다항함수의 양변을 미분하고 \(x=0\)을 대입하여 \(f(0)=4\)를 구함3점
함수 \(f(x)\)를 정적분하여 \(0\)을 만족하는 \(a\)의 값 \(-4\)를 구함3점
\(f(a) = f(-4) = -4\)를 정확히 구함4점
을지대학교 수시모집 논술고사 수학 영역 - 해설집 | Page 11
2025학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅰ
📝 [수학 12번 문항 해설] 수열
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: \(8\)

해설:
1. \(S_{2n} - S_{2n-1} = a_{2n} = -4n + 3 \implies n=1\)일 때 \(a_2 = -1\) 이다. \(a_1 = a_2 = -1\) 이다. \(S_{2n+1} - S_{2n} = a_{2n+1} = 5n - 1 \implies n=1\)일 때 \(a_3 = 4\) 이다. 따라서 \(a_1 + a_3 = -1 + 4 = 3\) 이다.
2. \(a_{2n} = -4n+3, a_{2n+1} = 5n-1\) 이다. \(n=1 \implies a_2 = -1, a_3 = 4\); \(n=2 \implies a_4 = -5, a_5 = 9\) 이다. 따라서 \(S_5 = (-1) + (-1) + 4 + (-5) + 9 = 6\) 이다.
3. 수열 \(\{a_n\}\)을 항별로 펼치면 \(-1, -1, 4, -5, 9, -9, 14, -13, 19, -17, \dots\) 이다. 합 \(S_1 = -1, S_2 = -2, S_3 = 2, S_4 = -3, S_5 = 6, S_6 = -3, S_7 = 11, S_8 = -2, S_9 = 17, S_{10} = 0, \dots\) 이다. \(S_k < 0\)을 만족하는 \(k\)는 \(1, 2, 4, 6, 8\)이므로 가장 큰 \(k\)의 값은 \(8\) 이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소부분 배점
수열의 합과 일반항 관계를 이용해 \(a_1=-1, a_3=4\)를 구하고 \(a_1+a_3=3\)을 구함3점
\(a_{2n}\)과 \(a_{2n+1}\)을 이용하여 첫째항부터 제5항까지의 합 \(S_5=6\)을 구함3점
\(S_k < 0\)을 만족하는 모든 \(k\)를 구한 후 가장 큰 값 \(8\)을 도출함4점
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2025학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅰ
📝 [수학 13번 문항 해설] 삼각함수
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: \(\frac{25}{8}\)

해설:
1. \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)을 대입하면 \(f(x) = \sin^2 x - (1 - \sin^2 x) - \sin x = 2\sin^2 x - \sin x - 1\) 이다. \(\sin x = t\) (\(-1 \le t \le 1\))라 하면 \(f(x) = 2t^2 - t - 1\) 이다.
2. \(f(t) = 2\left(t - \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{9}{8}\) 이다. 최댓값 \(M\)은 \(t = -1\)일 때 \(M = 2\) 이다. 최솟값 \(m\)은 \(t = \frac{1}{4}\)일 때 \(m = -\frac{9}{8}\) 이다. 따라서 \(M - m = 2 - \left(-\frac{9}{8}\right) = \frac{25}{8}\) 이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소부분 배점
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)을 이용하여 \(\sin x\)를 \(t\)로 대입 후 \(t\)에 관한 식으로 바꿈5점
그래프 형태를 파악해 최댓값 \(M\)과 최솟값 \(m\)을 구하고 \(M-m=\frac{25}{8}\)을 구함5점
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2025학년도 을지대학교 수시모집 논술고사 [1교시] 수학Ⅰ
📝 [수학 14번 문항 해설] 지수함수와 로그함수
💡 모범 답안 및 상세 풀이
정답: \(\frac{5}{4}\)

해설:
1. \(g(x) = \frac{1}{8} \times 2^{3x} - 2 = 2^{-3} \times 8^x - 2 = 8^{x-1} - 2\) 이므로 \(p = 1, q = -2\) 이다.
2. \(g(x) = 8^{x-1} - 2 = 0 \implies 8^{x-1} = 2 \implies 2^{3(x-1)} = 2^1 \implies 3(x-1) = 1 \implies x = \frac{4}{3}\) 이므로 \(\text{A}\left(\frac{4}{3}, 0\right)\) 이다. \(g(0) = \frac{1}{8} - 2 = -\frac{15}{8}\) 이므로 \(\text{B}\left(0, -\frac{15}{8}\right)\) 이다. 따라서 삼각형 OAB의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{15}{8} = \frac{5}{4}\) 이다.
🎯 채점 기준 및 배점
평가 단계 및 핵심 서술 요소부분 배점
주어진 지수 그래프에서 평행이동 성질과 지수법칙을 적용하여 상수 \(p=1, q=-2\)를 모두 구함5점
지수함수에서 \(x\)절편과 \(y\)절편을 구한 후 삼각형 OAB의 넓이 \(\frac{5}{4}\)를 구함5점
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