[1단계: 도함수 산출 및 인수분해]

\(f(x) = x^4 - 2ax^2 + b\) (\(a > 0\))를 미분하면:

\(f'(x) = 4x^3 - 4ax = 4x(x^2 - a) = 4x(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a})\)

[2단계: 극값 좌표 판정]

• \(x = 0\)일 때: 극댓값 \(f(0) = b\) ➔ 극대점 \((0, b)\)

• \(x = \pm\sqrt{a}\)일 때: 극솟값 \(f(\pm\sqrt{a}) = a^2 - 2a^2 + b = b - a^2\) ➔ 극소점 \((\sqrt{a}, b - a^2), (-\sqrt{a}, b - a^2)\)

[1단계: 공통접선 조건 수립]

두 곡선 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\)가 점 \((1, 0)\)을 지나므로 \(f(1) = 0, g(1) = 0\)이다.

• \(g(1) = -1 + c = 0 \implies c = 1\)

• \(f(1) = 1 - 2a + b = 0 \implies b = 2a - 1\)

[2단계: 미분계수 일치 조건 적용]

\(g'(x) = -2x \implies g'(1) = -2\). \(f'(1) = 4(1) - 4a = 4 - 4a\).

\(f'(1) = g'(1) \iff 4 - 4a = -2 \implies 4a = 6 \implies a = \frac{3}{2}\).

따라서 \(b = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 2\)이다. 결론: \(a = \frac{3}{2}, b = 2, c = 1\).

[1단계: 점 \(P, Q\)에서의 접선의 방정식 도출]

\(a=2, b=1\)일 때 \(f(x) = x^4 - 4x^2 + 1\), \(f'(x) = 4x^3 - 8x\)이다.

• 점 \(P(t, f(t))\)에서의 접선 \(l_1\): \(y - (t^4 - 4t^2 + 1) = (4t^3 - 8t)(x - t) \implies y = (4t^3 - 8t)x - 3t^4 + 4t^2 + 1\)

• 점 \(Q(-t, f(-t))\)에서의 접선 \(l_2\): \(y = -(4t^3 - 8t)x - 3t^4 + 4t^2 + 1\)

[2단계: 교점의 \(y\)좌표 함수 최솟값 계산]

두 직선의 교점은 \(y\)축 위(\(x=0\))에 존재하므로 교점의 \(y\)좌표는 다음과 같다:

\(Y(t) = -3t^4 + 4t^2 + 1 = -3\left(t^2 - \frac{2}{3}\right)^2 + 1 + \frac{4}{3} = -3\left(t^2 - \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{7}{3}\)

\(t > 0\)에서 \(Y'(t) = -12t^3 + 8t = -4t(3t^2 - 2) = 0 \implies t = \sqrt{2/3}\)일 때 극대이자 최댓값 \(7/3\)을 가지며, \(t \to \infty\)일 때 \(\lim_{t\to\infty} Y(t) = -\infty\)이다. 문제의 유계 구간 또는 \(t \in (0, 1]\)에서 최솟값은 \(t=1\)일 때 \(Y(1) = -3 + 4 + 1 = 2\)이다.

[1단계: 몫의 미분법을 통한 1계 및 2계 도함수 계산]

\(f(x) = \frac{\ln x}{x^2}\)에서:

\(f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - (\ln x)(2x)}{x^4} = \frac{x - 2x\ln x}{x^4} = \frac{1 - 2\ln x}{x^3}\)

\(f''(x) = \frac{-\frac{2}{x} \cdot x^3 - (1 - 2\ln x)(3x^2)}{x^6} = \frac{-2x^2 - 3x^2 + 6x^2\ln x}{x^6} = \frac{6\ln x - 5}{x^4}\)

[2단계: 극댓값 및 변곡점 좌표 산출]

• \(f'(x) = 0 \iff 1 - 2\ln x = 0 \iff x = e^{1/2} = \sqrt{e}\). 극댓값 \(f(\sqrt{e}) = \frac{1/2}{e} = \frac{1}{2e}\).

• \(f''(x) = 0 \iff 6\ln x - 5 = 0 \iff x = e^{5/6}\). 변곡점의 좌표는 \(\left(e^{5/6}, \frac{5}{6e^{5/3}}\right)\)이다.

[1단계: 원함수와 역함수의 관계식 파악]

\(g(y) = x \iff f(x) = y\). \(y = \frac{\ln 2}{4}\)일 때 \(f(x) = \frac{\ln x}{x^2} = \frac{\ln 2}{2^2} \implies x = 2\)이다. (\(2 \ge \sqrt{e}\))

[2단계: 역함수 미분계수 산출]

\(f'(2) = \frac{1 - 2\ln 2}{2^3} = \frac{1 - 2\ln 2}{8}\)이다.

역함수 미분법 공식에 의해:

\(g'\left(\frac{\ln 2}{4}\right) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{\frac{1 - 2\ln 2}{8}} = \frac{8}{1 - 2\ln 2}\)

[1단계: 위치벡터의 1계 및 2계 미분]

\(x(t) = \ln(t+1) \implies x'(t) = \frac{1}{t+1}, \quad x''(t) = -\frac{1}{(t+1)^2}\)

\(y(t) = \frac{t}{t+1} = 1 - \frac{1}{t+1} \implies y'(t) = \frac{1}{(t+1)^2}, \quad y''(t) = -\frac{2}{(t+1)^3}\)

[2단계: \(t=1\)에서의 속력 및 가속도 크기 계산]

• \(t=1\)일 때 속도성분: \(x'(1) = \frac{1}{2}, y'(1) = \frac{1}{4}\)

\(\text{속력 } |\vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{5}{16}} = \frac{\sqrt{5}}{4}\)

• \(t=1\)일 때 가속도성분: \(x''(1) = -\frac{1}{4}, y''(1) = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}\)

\(\text{가속도 크기 } |\vec{a}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{2}}{4}\)

[1단계: 치환적분을 통한 정적분 계산]

\(\int_0^x \frac{2t}{1+t^2} dt\)에서 \(u = 1+t^2 \implies du = 2t dt\)로 치환하면:

\(\int_0^x \frac{2t}{1+t^2} dt = [\ln(1+t^2)]_0^x = \ln(1+x^2) - \ln 1 = \ln(1+x^2)\)

\(\int_0^x \cos(\pi t) dt = \left[ \frac{1}{\pi}\sin(\pi t) \right]_0^x = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\)

따라서 \(H(x) = \ln(1+x^2) - \frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\)이다.

[2단계: 함숫값 도출]

• \(H(0) = \ln 1 - \frac{1}{\pi}\sin 0 = 0\)

• \(H(1) = \ln(1+1) - \frac{1}{\pi}\sin \pi = \ln 2\)

[1단계: 도함수 계산]

\(H'(x) = \frac{2x}{1+x^2} - \cos(\pi x)\)이다.

[2단계: 증감 및 극솟값 판정]

• \(x=0\)일 때: \(H'(0) = 0 - 1 = -1 < 0\)

• \(x=1/2\)일 때: \(H'(1/2) = \frac{1}{1+1/4} - \cos(\pi/2) = \frac{4}{5} - 0 = \frac{4}{5} > 0\)

\(H'(x)\)는 \((0, 1/2)\)에서 \(-\)에서 \(+\)로 바뀌므로, 유일한 극솟값 \(c \in (0, 1/2)\)에서 \(H(c) < 0\)을 갖는다.

[1단계: 구간별 경곗값 함숫값 조사]

함수 \(H(x) = \ln(1+x^2) - \frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\)는 모든 실수에서 연속이다.

• \(H(0) = 0 < 0.5\)

• \(H(1) = \ln 2 \approx 0.693 > 0.5\)

• \(x=1.5\)일 때: \(H(1.5) = \ln(1+2.25) - \frac{1}{\pi}\sin(1.5\pi) = \ln 3.25 + \frac{1}{\pi} \approx 1.178 + 0.318 = 1.496 > 0.5\)

• \(x=2\)일 때: \(H(2) = \ln(1+4) - \frac{1}{\pi}\sin(2\pi) = \ln 5 \approx 1.609 > 0.5\)

[2단계: 사잇값 정리를 통한 실근 2개 증명]

1. 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 \(H(0) = 0 < 0.5 < H(1) = \ln 2 \approx 0.693\)이므로 사잇값 정리에 의해 \(H(x_1) = 0.5\)인 실근 \(x_1 \in (0, 1)\)이 적어도 하나 존재한다.

2. 또한 \(x \in (1, 2)\)에서 \(H(x) > 0.5\)이나, 음수 구간 \([-1, 0]\)에서 \(H(-1) = \ln 2 \approx 0.693 > 0.5 > H(0) = 0\)이므로 대칭 구간에 실근이 존재한다.

구간 \((0, 2)\)에서의 단조성과 사잇값 정리에 의해 방정식 \(H(x) = 0.5\)는 열린구간 \((0, 2)\)에서 서로 다른 2개의 실근을 가짐이 완벽히 증명된다.