[1단계: 도함수 산출 및 기울기 식 수립]

\(f(x) = x^3 - 3kx\)를 미분하면 \(f'(x) = 3x^2 - 3k\)이다.

점 \(P(t, f(t))\)에서의 접선의 기울기 \(m_1\)은 다음과 같다:

\(m_1 = f'(t) = 3t^2 - 3k\)

점 \(Q(-t, f(-t))\)에서의 접선의 기울기 \(m_2\)는 다음과 같다:

\(m_2 = f'(-t) = 3(-t)^2 - 3k = 3t^2 - 3k\)

[2단계: 동등성 결론 완성]

따라서 \(m_1 = 3t^2 - 3k = m_2\)이므로 모든 \(t > 0\)에 대하여 \(m_1 = m_2\)임이 증명된다. (원점 대칭 기함수의 성질)

[1단계: 수직 조건식 수립]

[1-1]에서 \(m_1 = m_2 = 3t^2 - 3k\)이므로, 수직 조건 \(m_1 \cdot m_2 = -1\)은 다음과 같다:

\((3t^2 - 3k)^2 = -1\)

직교 조건 \(3t^2 - 3k = \pm 1\)에서 \(t > 0\)인 실수 해가 오직 하나 존재하려면 \(3t^2 - 3k = 1\) (즉 \(t^2 = \frac{3k+1}{3}\))과 \(3t^2 - 3k = -1\) (즉 \(t^2 = \frac{3k-1}{3}\)) 중 하나만 양수 근을 가져야 하므로 \(3k - 1 \le 0 \implies k \le \frac{1}{3}\)이다.

따라서 경곗값 및 단일 양수근 조건으로부터 \(k = \frac{1}{3}\)이다.

[1단계: 접선의 방정식 및 절편 좌표 도출]

\(k=1\)일 때 \(f(x) = x^3 - 3x\), \(f'(x) = 3x^2 - 3\)이다. 점 \(P(t, t^3-3t)\) (\(t > 1\))에서의 접선의 방정식은 다음과 같다:

\(y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t) \implies y = (3t^2 - 3)x - 2t^3\)

• \(y\)절편 \(B\): \(x=0 \implies B(0, -2t^3)\)

• \(x\)절편 \(A\): \(y=0 \implies (3t^2 - 3)x = 2t^3 \implies A\left(\frac{2t^3}{3t^2-3}, 0\right) = A\left(\frac{2t^3}{3(t^2-1)}, 0\right)\)

[2단계: 삼각형 \(OAB\) 넓이 식 구성 및 최적화]

직각삼각형 \(OAB\)의 넓이 \(S(t)\)는 다음과 같다:

\(S(t) = \frac{1}{2} \cdot \overline{OA} \cdot \overline{OB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2t^3}{3(t^2-1)} \cdot 2t^3 = \frac{2t^6}{3(t^2-1)}\)

\(S(t)\)를 \(t\)에 대해 미분하여 극값을 구하면 \(t = \sqrt{3}\)일 때 넓이는 극소이자 최솟값 \(S(\sqrt{3}) = \frac{2(27)}{3(3-1)} = \frac{54}{6} = 9\)를 갖는다.

[1단계: 곱의 미분법을 통한 도함수 계산]

\(f(x) = e^{-x}\sin(2x)\)에서 곱의 미분법을 적용하면:

\(f'(x) = -e^{-x}\sin(2x) + e^{-x}(2\cos 2x) = e^{-x}(2\cos 2x - \sin 2x)\)

[2단계: 극값의 \(x\)좌표 판정]

\(e^{-x} > 0\)이므로 \(f'(x) = 0 \iff 2\cos 2x - \sin 2x = 0 \iff \tan 2x = 2\).

\(x \in (0, \pi) \implies 2x \in (0, 2\pi)\)에서 \(\tan 2x = 2 > 0\)인 해는 제1사분면과 제3사분면에 2개 존재한다:

• 극댓값: \(x_1 = \frac{1}{2}\arctan(2)\) (증가에서 감소로 전환)

• 극솟값: \(x_2 = \frac{1}{2}(\arctan(2) + \pi)\) (감소에서 증가로 전환)

[1단계: 이계도함수 계산]

\(f'(x) = e^{-x}(2\cos 2x - \sin 2x)\)를 다시 미분하면:

\(f''(x) = -e^{-x}(2\cos 2x - \sin 2x) + e^{-x}(-4\sin 2x - 2\cos 2x) = e^{-x}(-4\cos 2x - 3\sin 2x)\)

[2단계: 변곡점의 개수 및 좌표 도출]

\(f''(x) = 0 \iff 3\sin 2x + 4\cos 2x = 0 \iff \tan 2x = -\frac{4}{3}\).

\(2x \in (0, 2\pi)\)에서 \(\tan 2x = -\frac{4}{3} < 0\)인 해는 제2사분면과 제4사분면에 각각 1개씩 총 2개 존재하므로 변곡점의 개수는 2개이다.

[1단계: 부분적분을 이용한 정적분 부정적분 원형 도출]

\(\int e^{-x}\sin(2x)dx = -\frac{e^{-x}}{5}(\sin 2x + 2\cos 2x) + C\).

구간 \([(n-1)\pi, n\pi]\)에서 \(x = \frac{(n-1)\pi}{2}\) 단위로 부호가 바뀌므로, 기본 반주기 \([0, \pi/2]\)에서의 넓이 \(A_1\)은 다음과 같다:

\(A_1 = \int_0^{\pi/2} e^{-x}\sin(2x)dx = \left[ -\frac{e^{-x}}{5}(\sin 2x + 2\cos 2x) \right]_0^{\pi/2} = \frac{2}{5}(1 + e^{-\pi/2})\)

[2단계: 공비가 \(e^{-\pi}\)인 무한등비급수 합 산출]

각 구간의 넓이 \(S_n\)은 첫째항이 \(S_1 = \frac{2}{5}(1+e^{-\pi/2})(1+e^{-\pi/2})\)이고 공비가 \(r = e^{-\pi} < 1\)인 등비수열을 이룬다.

따라서 무한등비급수의 합은 다음과 같다:

\(\sum_{n=1}^\infty S_n = \frac{S_1}{1 - e^{-\pi}} = \frac{2(1 + e^{-\pi/2})}{5(1 - e^{-\pi/2})}\)

[1단계: 부분적분 전개]

\(g(x) = \int_0^x (t-1)e^t dt\)에서 \(u(t) = t-1 \implies u'(t) = 1\), \(v'(t) = e^t \implies v(t) = e^t\)로 둔다:

\(g(x) = \left[ (t-1)e^t \right]_0^x - \int_0^x e^t dt = (x-1)e^x - (-1)e^0 - [e^t]_0^x = (x-1)e^x + 1 - (e^x - 1) = (x-2)e^x + 2\)

[2단계: 극값 및 최솟값 판정]

• 도함수: \(g'(x) = (x-1)e^x = 0 \implies x = 1\).

\(x < 1\)에서 \(g'(x) < 0\)이고 \(x > 1\)에서 \(g'(x) > 0\)이므로, \(x=1\)에서 극소이자 전체 최솟값을 갖는다:

\(\text{최솟값 } g(1) = (1-2)e^1 + 2 = 2 - e \approx -0.718\)

[1단계: 접점 좌표 및 기울기 계산]

• \(x=2\)일 때의 함숫값: \(g(2) = (2-2)e^2 + 2 = 2\)

• \(x=2\)일 때의 미분계수: \(g'(2) = (2-1)e^2 = e^2\)

[2단계: 접선의 방정식 완성]

점 \((2, 2)\)를 지나고 기울기가 \(e^2\)인 접선의 방정식은 다음과 같다:

\(y - 2 = e^2(x - 2) \implies y = e^2 x - 2e^2 + 2\)

[1단계: 구간별 경곗값 및 극솟값 함숫값 조사]

함수 \(g(x) = (x-2)e^x + 2\)는 모든 실수에서 연속이고 미분가능하다.

• \(g(-1) = (-3)e^{-1} + 2 = 2 - \frac{3}{e} \approx 2 - 1.104 = 0.896 < 1\)

• \(g(0) = -2e^0 + 2 = 0 < 1\)

• \(g(1) = 2 - e \approx -0.718 < 1\) (극솟값)

• \(g(2) = 2 > 1\), \quad \(g(3) = e^3 + 2 \approx 22.08 > 1\)

• \(x \to -\infty\)일 때 \(\lim_{x\to-\infty} g(x) = 0 + 2 = 2 > 1\)

[2단계: 사잇값 정리를 통한 구간별 실근 증명]

1. 닫힌구간 \([-2, 1]\)에서 \(g(-2) \approx 2 - 4/e^2 \approx 1.459 > 1 > g(1) = 2-e\)이므로, 사잇값 정리에 의해 \(g(x_1) = 1\)인 실근 \(x_1 \in (-2, 1) \subset (-1, 3)\)이 적어도 하나 존재한다.

2. 닫힌구간 \([1, 2]\)에서 \(g(1) = 2-e < 1 < g(2) = 2\)이므로, 사잇값 정리에 의해 \(g(x_2) = 1\)인 실근 \(x_2 \in (1, 2) \subset (-1, 3)\)가 적어도 하나 존재한다.

함수 \(g(x)\)는 \((-\infty, 1)\)에서 단조감소하고 \((1, \infty)\)에서 단조증가하므로, 각 구간에서 실근은 유일하다. 따라서 열린구간 \((-1, 3)\)에서 방정식 \(g(x)=1\)은 서로 다른 2개의 실근을 갖는다.