삼각형의 무게중심을 \((a, b)\)라 하면, 직선 \(2x+y-30=0\)까지의 거리는 \(d = \frac{|2a+b-30|}{\sqrt{5}}\)이다.
\(d \le 6\sqrt{5} \iff |2a+b-30| \le 30\)이다.
5개의 점 중 3개를 고르는 전체 경우의 수는 \({_5\mathrm{C}_3} = 10\)가지이다. 각 조합에 대한 무게중심과 \(|2a+b-30|\)의 값은 다음과 같다:
• \((P_1, P_2, P_3): (-5, 2) \implies 38\)
• \((P_1, P_2, P_4): (-2, 1) \implies 33\)
• \((P_1, P_2, P_5): (-2, -1) \implies 35\)
• \((P_1, P_3, P_4): (-1, 2) \implies 30 \le 30\)  (O)
• \((P_1, P_3, P_5): (-1, 0) \implies 32\)
• \((P_1, P_4, P_5): (2, -1) \implies 27 \le 30\)  (O)
• \((P_2, P_3, P_4): (-1, 4) \implies 28 \le 30\)  (O)
• \((P_2, P_3, P_5): (-1, 2) \implies 30 \le 30\)  (O)
• \((P_2, P_4, P_5): (2, 1) \implies 25 \le 30\)  (O)
• \((P_3, P_4, P_5): (3, 2) \implies 22 \le 30\)  (O)
따라서 조건을 만족하는 경우의 수는 총 \(6\)가지이다.
[답] \(6\)

호 \(F_1G_1\)의 원주각 성질과 평행선 성질에 의해 \( riangle B_2C_2F_1 \sim riangle G_1C_2D_2\)이다.
\(\overline{C_2F_1} = a\), 정사각형 \(A_2B_2C_2D_2\)의 한 변을 \(r\)이라 하면 닮음비에 의해 \(r^2 = a(\sqrt{2}-a)\)이다.
\( riangle B_2C_2F_1\)에서 사인법칙 및 덧셈정리를 적용하면 \(r = \frac{\sqrt{2}a(1+\cot\theta)}{2}\)이다.
\(\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{5} \implies \cot\theta = \frac{1}{2}\)를 대입하면 \(r = \frac{12}{17}\)을 얻는다.
각 단계에서 정사각형의 넓이 비는 공비가 \(q = \frac{r^2}{4} = \frac{36}{289}\)인 등비수열을 이룬다.
첫째항이 \(S_1 = 4\)이므로, 무한등비급수의 합은
\(\sum_{n=1}^\infty S_n = \frac{4}{1 - \frac{36}{289}} = \frac{4 \times 289}{253} = \frac{1156}{253}\)이다.
[답] \(\frac{1156}{253}\)

두 직선 \(BM\)과 \(PN\)의 교점 \(S\) 성질과 평면의 평행 관계에 의해 \(MN \parallel BP\)이다.
점 \(P\)의 평면 \(DEF\) 위로의 정사영을 \(P'\)이라 하면, 닮음비로부터 \(t : (3-t) = 2 : 1 \implies t = 2\)이다.
\(\overline{PQ} = \sqrt{41}, \overline{PR} = \sqrt{38}, \overline{QR} = \sqrt{5}\)에서 코사인법칙에 의해 \(\cos\angle QPR = \frac{37}{\sqrt{1558}}\), \(\sin\angle QPR = \frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{1558}}\).
따라서 \( riangle PQR\)의 넓이는 \(S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{41} \cdot \sqrt{38} \cdot \frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{1558}} = \frac{3\sqrt{21}}{2}\)이다.
\( riangle PQR\)의 평면 \(DEF\) 위로의 정사영 넓이는 \(S' = \triangle P'QR = \frac{9}{2} - 1 - 1 - 1 = \frac{3}{2}\)이다.
따라서 \(\cos\theta = \frac{S'}{S} = \frac{3/2}{3\sqrt{21}/2} = \frac{1}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{21}\)이다.
[답] \(\frac{\sqrt{21}}{21}\)

\(f(x) = x^3 + 3x^2 - x - 6\)이라 하면 \(g(x) = f(x-m) + n\)이다. 원점 대칭이므로 정리하면 \(3(m-1)x^2 + m^3 - 3m^2 - m + 6 - n = 0\)이 모든 \(x\)에 대해 성립한다.

따라서 \(m = 1, n = 3\)이다. 이때 \(g(x) = x^3 - 4x\)이며, 두 곡선의 교점은 \((1, -3), (-2, 0)\)이다.

두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는

점 \(R\)에서 \(BC\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하면 \(\triangle PBQ \equiv \triangle QHR\)이다. \(\overline{HR} = \overline{BQ} = a\)라 하면 \(\overline{HC} = 4 - (x+a)\)이다.

\(\triangle RHC \sim \triangle ABC\)이므로 \(\frac{a}{4-(x+a)} = \frac{3}{4} \implies a = \frac{12-3x}{7}\)이다.

\(\triangle PQR\)의 넓이 \(S = \frac{1}{2}\overline{PQ}^2 = \frac{1}{2}(x^2 + a^2) = \frac{1}{49}(29x^2 - 36x + 72)\)이다.

\(0 \le x \le 3\)에서 \(S = \frac{29}{49}\left(x - \frac{18}{29}\right)^2 + \frac{36}{29}\)이므로 \(x = \frac{18}{29}\)일 때 최솟값 \(\frac{36}{29}\)를 갖는다.

정삼각형 한 변을 \(1\)이라 하면 코사인법칙에 의해 \(\overline{A_1 B_1'}^2 = 1 + t^2 - 2t\cos\frac{\pi}{3} = 1 - t + t^2\)이다.

\(\triangle A_1 B_1 B_1' \sim \triangle B_1 B_2 B_1'\)에서 \(\overline{B_1 B_2} = \frac{t}{\sqrt{1-t+t^2}}\), \(\overline{B_1' B_2} = \frac{t^2}{\sqrt{1-t+t^2}}\)이다.

\(\overline{A_2 B_2} = \overline{A_1 B_1'} - \overline{A_1 A_2} - \overline{B_2 B_1'} = \frac{1-2t}{\sqrt{1-t+t^2}}\)이다.

넓이의 비: \(r = \frac{s_2}{s_1} = \mathbf{\frac{(1-2t)^2}{t^2-t+1}}\)이다.

무한등비급수 \(\sum_{n=1}^\infty s_n = \frac{s_1}{1-r} = \frac{1-t+t^2}{3t(1-t)}s_1 = 3s_1 \implies 1-t+t^2 = 9t - 9t^2 \implies 10t^2 - 10t + 1 = 0\).

\(0 \lt t \lt \frac{1}{2}\)이므로 \(t = \frac{5-\sqrt{15}}{10}\)이다.

부분적분법에 의해 \(\int_0^x f''(t)(x-t)dt = f(x) - f(0) - x f'(0)\)이다. 제시문 <가>의 양변을 미분하면

\(f'(x) = e^x(4\sin x + 2\cos x) + 2f'(x) - 2f'(0) \implies f'(x) = -e^x(4\sin x + 2\cos x) + 2f'(0)\)이다.

\(x=0\)을 대입하면 \(f'(0) = -2 + 2f'(0) \implies f'(0) = 2\)이다. 따라서 \(f'(x) = -e^x(4\sin x + 2\cos x) + 4\)이다.

양변을 적분하면 \(f(x) = -e^x(3\sin x - \cos x) + 4x + b\)이다. 원래 식에 대입하여 상수를 구하면 \(b = 2\)이며, \(f(0) = 3\)이다.

제시문 <나>의 (ㄴ)에서 \(\int_0^x p''(t)(3x-5t)dt = 3x(p'(x)-p'(0)) - 5(xp'(x) - p(x) + p(0))\)이다.

정리하면 \(p(x) = 4x^4 - 2x p'(x) - 3x p'(0) + 5p(x) - 5p(0) + \frac{3}{2}\int_0^2 t p(t)dt\)이다.

사차함수 \(p(x) = a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e\)를 대입하여 계수를 비교하면 \(a = 1, b = 0, d = 0\)이고 상수항은 \(-(3c+8)\)이다.

따라서 \(p(x) = x^4 + c x^2 - (3c+8)\)이다. 이를 적분하면

조건 (ㄷ), (ㄹ)에서 \(p(x)\)는 \([0, 1]\)에서 증가하며 역함수 \(r(x)\)와 둘러싸인 도형의 넓이는

문제에서 주어진 넓이 조건은 \(\int_{q(0)}^{q(1)} (1 - r(x))dx\) 형태이므로 이를 적분식으로 계산하면

\(p(x) = x^4 + c x^2 - (3c+8)\)에서 \(p'(x) = 4x^3 + 2cx\)이다. 이를 대입하여 적분하면

\(\int_0^1 (1-x)(4x^3 + 2cx)dx = \left[ x^4 - \frac{4}{5}x^5 + cx^2 - \frac{2c}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{5} + \frac{c}{3}\)이다.

전체 도형의 넓이 공식에 맞추어 상수 \(c\)를 풀면 \(c = 9\)를 얻는다.

따라서 사차함수는 \(p(x) = x^4 + 9x^2 - 35\)이다.

구하고자 하는 값은 \(p(1) = 1^4 + 9(1^2) - 35 = 1 + 9 - 35 = \mathbf{-25}\)이다.

답: \(-25\)

1) 첫 번째 가로 행(5칸): 빨강 \(a\), 파랑 \(b\), 노랑 \(c\) 개수라 하면 \(a > b, c \le 2, a+b+c=5\)를 만족한다. 같은 것이 있는 순열의 수는 \(\frac{5!}{a! b! c!}\)이다.

• \(c=0\): \((5,0,0), (4,1,0), (3,2,0) \implies 1 + 5 + 10 = 16\)

• \(c=1\): \((4,0,1), (3,1,1) \implies 5 + 20 = 25\)

• \(c=2\): \((3,0,2), (2,1,2) \implies 10 + 30 = 40\)

따라서 첫 번째 행을 칠하는 경우의 수는 \(16 + 25 + 40 = 81\)이다.

2) 두 번째 가로 행(6칸): 빨강 \(d\), 파랑 \(e\), 노랑 \(f\) 개수라 하면 \(d > e, f \le 2, d+e+f=6\)을 만족한다. 순열의 수는 \(\frac{6!}{d! e! f!}\)이다.

• \(f=0\): \((6,0,0), (5,1,0), (4,2,0) \implies 1 + 6 + 15 = 22\)

• \(f=1\): \((5,0,1), (4,1,1), (3,2,1) \implies 6 + 30 + 60 = 96\)

• \(f=2\): \((4,0,2), (3,1,2) \implies 15 + 60 = 75\)

따라서 두 번째 행을 칠하는 경우의 수는 \(22 + 96 + 75 = 193\)이다.

총 경우의 수는 \(81 \times 193 = \mathbf{15633}\)이다. 답: \(15633\)

각 세로 열마다 세 가지 색이 적어도 한 번씩 나타나야 하므로, 각 세로 열에서 빨간색, 파란색, 노란색을 하나씩 미리 제외하고 생각하면 된다.

제외된 칸의 넓이는 각 색마다 \(n\)씩이므로, 남은 \(10n - 3n = 7n\)개의 칸을 세 가지 색에 배분하는 음이 아닌 세 정수 순서쌍의 개수를 구하는 것과 같다.

따라서 구하는 순서쌍의 개수는 \(3\)개의 문자에서 \(7n\)개를 택하는 중복조합의 수이다:

\[f(5) = \frac{37 \times 36}{2} = 666, \quad f(7) = \frac{51 \times 50}{2} = 1275\]

따라서 \(f(5) + f(7) = 666 + 1275 = \mathbf{1941}\)이다. 답: \(1941\)

점 \(P\)의 좌표를 \((a, b)\)라 두면 점 \(Q\)의 좌표는 \((b, a)\)이고, \(\frac{a^2}{3} + \frac{b^2}{2} = 1\)이 성립한다.

\[\vec{AP} \cdot \vec{BQ} = (a+1, b) \cdot (b, a+1) = 2b(a+1) = \pm 2\sqrt{2}(a+1)\sqrt{1 - \frac{a^2}{3}}\]

닫힌구간 \([-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\)에서 함수 \(f(a) = 2\sqrt{2}(a+1)\sqrt{1 - \frac{a^2}{3}}\)의 도함수를 구하면

\[f'(a) = -\frac{2\sqrt{2}(2a+3)(a-1)}{\sqrt{3(3-a^2)}}\]

\(f'(a)=0\)으로부터 \(a = -\frac{3}{2}, 1\)을 얻는다. 함수의 증감표를 통해

• \(f(a)\)의 최댓값은 \(a=1\)에서 \(f(1) = 2\sqrt{2}(2)\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\)이다.

• \(-f(a)\)의 최댓값은 \(a=-\frac{3}{2}\)에서 \(-f(-\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)이다.

따라서 \(\vec{AP} \cdot \vec{BQ}\)의 최댓값은 \(\mathbf{\frac{8\sqrt{3}}{3}}\)이다. 답: \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\)

\(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\)일 때, 선분 \(AB\)와 \(EH\)의 교점을 \(M\), 선분 \(AB\)와 \(EF\)의 교점을 \(N\)이라 하면 공통부분의 넓이 \(S(\theta)\)는 \(\triangle OMN\) 넓이의 \(8\)배이다.

선분 \(AN\)과 \(EO\)의 교점을 \(P\)라 두면, \(\angle PEN = \angle OAP = \frac{\pi}{4}\)이고 \(\angle EPN = \angle APO\)이므로 \(\angle PNE = \angle AOP = \theta\)이다.

\(\pi = \angle PNE + \angle PNO + \angle ONF = \theta + 2\angle PNO\)로부터 \(\angle PNO = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}\)이고, \(\angle MON = \frac{\pi}{4}\)이므로 \(\angle OMN = \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2}\)이다.

점 \(O\)에서 선분 \(MN\)에 내린 수선의 발을 \(Q\)라 하면 \(\overline{OQ} = \frac{1}{2}\)이므로

\[S(\theta) = 8 \times \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2}\cot\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right) + \frac{1}{2}\cot\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right) \right) \times \frac{1}{2} = \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} + \tan\frac{\theta}{2}\]

도함수를 구하면 \(S'(\theta) = -\frac{\sec^2(\theta/2)}{(1+\tan(\theta/2))^2} + \frac{1}{2}\sec^2\frac{\theta}{2}\)이다.

\(\theta = \frac{\pi}{3}\)를 대입하면 \(\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \sec^2\frac{\pi}{6} = \frac{4}{3}\)이므로 \(S'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \mathbf{2\sqrt{3} - \frac{10}{3}}\)이다.

답: \(2\sqrt{3} - \frac{10}{3}\)

제시문 <나>의 성질 \({}_nC_k + {}_nC_{k+1} = {}_{n+1}C_{k+1}\)을 반복 적용한다:

각 항에 성질을 다시 적용하면:

한 번 더 성질을 적용하면:

따라서 동류항을 합산하면 원하는 관계식을 얻는다:

[문항 1-1]의 결과를 이용하여 \(a_{n+1} + a_n\)을 정리하면:

\({}_{3n}C_0 = {}_{3n}C_{3n} = 1\)이므로 \(2 = {}_{3n}C_0 + {}_{3n}C_{3n}\)이다. 합 기호 내의 항들을 전개하여 각 지수별로 묶어 정리하면, 모든 항 \({}_{3n}C_j\) (\(0 \le j \le 3n\))의 계수가 정확히 \(3\)이 된다:

이항정리에 의해 \(\sum_{j=0}^{3n} {}_{3n}C_j = (1+1)^{3n} = 2^{3n}\)이므로

\(f(x) = \frac{\ln(x+\alpha)}{x+\alpha}\)의 도함수는 \(f'(x) = \frac{1 - \ln(x+\alpha)}{(x+\alpha)^2}\)이다.

\(f'(x) = 0 \implies \ln(x+\alpha) = 1 \implies x = e - \alpha\)에서 극댓값이자 최댓값 \(f(e-\alpha) = \frac{1}{e}\)을 갖는다.

\(\lim_{x \to -\alpha^+} f(x) = -\infty, \lim_{x \to \infty} f(x) = 0\)이므로, \(y=f(x)\)의 그래프는 \(x=e-\alpha\)에서 극댓값 \(\frac{1}{e}\)을 갖고 \(x \to \infty\)일 때 \(0\)에 점근한다.

\((f \circ f)(x) = \frac{1}{e}\)에서, 함수 \(f(t) = \frac{1}{e}\)을 만족하는 \(t\)는 유일한 최댓값 위치인 \(t = e - \alpha\)뿐이다. 따라서 방정식은 \(f(x) = e - \alpha\)가 된다.

\(f(x) = e - \alpha\)가 서로 다른 두 실근을 가지려면 상수 \(e - \alpha\)가 극댓값과 점근선 사이인 \(0 < e - \alpha < \frac{1}{e}\)에 있어야 한다. 따라서

답: \(e - \frac{1}{e} < \alpha < e\)

\(f'(-1) = a > 0, f'(1) = -b < 0\) (\(b > 0\))라 하면 주어진 조건에서 \(a - (-b) = a + b = 23\)이다.

곡선 위의 점 \(A(-1, 0), B(1, 0)\)에서의 접선의 방정식은 각각 \(y = a(x+1), y = -b(x-1)\)이다.

두 직선을 연립하면 교점 \(P\)의 좌표는 \(\left(\frac{b-a}{a+b}, \frac{2ab}{a+b}\right)\)이다. \(\triangle APB\)의 밑변은 \(\overline{AB}=2\)이므로 넓이 \(S\)는

두 접선이 \(x\)축과 이루는 예각을 각각 \(\alpha, \beta\)라 하면 \(a = \tan\alpha, b = \tan\beta\)이다. \(\theta = \angle APB\)라 하면 \(\theta = \pi - (\alpha + \beta)\)이므로

따라서 \(\cot\theta = \frac{ab-1}{a+b} = \frac{ab}{a+b} - \frac{1}{a+b} = \frac{S}{2} - \frac{1}{23}\)이다.

답: \(\cot(\angle APB) = \frac{S}{2} - \frac{1}{23}\)

동전을 \(x\)번 던질 때 처음으로 같은 면이 두 번 연속으로 나오는 사건을 \(A_x\)라 하자.

∙ \(x=1\)일 때는 불가능하므로 \(P(A_1) = 0\)
∙ \(x=2\)일 때는 (앞, 앞), (뒤, 뒤)의 \(2\)가지이므로 \(P(A_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5^{2-1}\)
∙ \(x=3\)일 때는 (뒤, 앞, 앞), (앞, 뒤, 뒤)의 \(2\)가지이므로 \(P(A_3) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0.5^{3-1}\)

일반적으로 이전 단계까지 교대로 나오다가 \(x\)번째에 직전과 같은 면이 나와야 하므로 \(P(A_x) = 0.5^{x-1}\) \((x=2, 3, \dots, 2022)\)이다.

따라서 동전을 던진 횟수가 \(2022\) 이하일 확률은 등비수열의 합에 의해 다음과 같다:

답: \(1 - 0.5^{2021}\) (또는 \(1 - \frac{1}{2^{2021}}\))

반원의 중심을 \(O\), 부채꼴 \(OPQ\)의 중심각을 \(t\) \((0 \lt t \lt \pi)\)라 하자. 코사인법칙 및 부채꼴 넓이에 의해

\(x = 1\)일 때 \(2\sin\frac{t}{2} = 1 \implies \frac{t}{2} = \frac{\pi}{6} \implies t = \frac{\pi}{3}\)이다.

매개변수 미분법에 의해 \(\frac{dx}{dt} = \cos\frac{t}{2}\), \(\frac{df}{dt} = \frac{1}{2}(1-\cos t)\)이므로

답: \(\frac{\sqrt{3}}{6}\)

쌍곡선의 방정식을 표준형으로 정리하면 \(\frac{x^2}{5/2} - \frac{y^2}{27/2} = 1\)이다. 초점의 \(x\)좌표를 \(c > 0\)이라 하면

\(p = \overline{AF}, q = \overline{AF'}\)이라 하면, 쌍곡선의 정의와 코사인법칙에 의해

\(q = p + \sqrt{10}\)을 대입하여 정리하면 \(2p^2 + 2\sqrt{10}p - 75 = 0\)이다. \(p > 0\)이므로

점 \(A(x_0, y_0)\)에 대하여 \(\overline{AF'}^2 - \overline{AF}^2 = (x_0+4)^2 + y_0^2 - ((x_0-4)^2 + y_0^2) = 16x_0 = \frac{125}{2} - \frac{45}{2} = 40 \implies x_0 = \frac{5}{2}\)이다. \(y_0^2 = \frac{45}{2} - \left(\frac{5}{2}-4\right)^2 = \frac{81}{4} \implies y_0 = \frac{9}{2}\)이므로

원점 대칭성에 의해 제\(3\)사분면의 점 \(B\)의 좌표는 \(B\left(-\frac{5}{2}, -\frac{9}{2}\right)\)이다.

답: \(A\left(\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right), \quad B\left(-\frac{5}{2}, -\frac{9}{2}\right)\)

타원 위의 점 \(P(t, s)\)에서의 접선의 방정식은 \(\frac{t}{a^2}x + \frac{s}{b^2}y = 1 \implies b^2 t x + a^2 s y - a^2 b^2 = 0\)이다.

원점으로부터 접선까지의 거리의 제곱 \(f(t)\)는 다음과 같다:

\(c^2 = a^2 - b^2\) (\(b < a\))를 사용하면 \(f(t) = \frac{a^4 b^2}{a^4 - c^2 t^2} = \frac{a^2 b^2}{2} \left( \frac{1}{a^2-ct} + \frac{1}{a^2+ct} \right)\)이다.