2027학년도 한양대학교 수리논술 해설집 (자연계열 오후2 2개년)

QUESTIO MATH ESSAY

5개년 통합 기출 정밀 해설집 (자연계열 오후2)

한양대학교
(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 수록) 5개년 기출 정밀 해설집

QUESTIO 수리논술 입시연구소

2027학년도 수험생용

한양대학교 자연계열 (오후2) - 2026학년도 해설

2026학년도 기출

📌 [2026학년도 문제 1-1] 해설

\(r = \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{x} - \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}}\right)\)이므로 \(f(x) = \frac{\pi}{4}\left(x + \frac{1}{x} - \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}}\right)^2\), \(g(x) = \frac{\pi}{4}\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\)이다.
극값을 유리화하여 계산하면 \(\lim_{x \to \infty} f(x)g(x) = \frac{\pi^2}{16}\)을 얻는다.

📌 [2026학년도 문제 1-2] 해설

접선 \(y = \sqrt{m}x \pm \sqrt{a^2 m + b^2}\)의 절편을 구하여 넓이 \(S(m)\)을 계산하고 \(S'(m)=0\)인 점에서 최댓값을 산출한다.

문항	채점 세부 기준 및 평가 요소	배점
1-1	\(f(x), g(x)\) 식 작성 및 극한값 \(\frac{\pi^2}{16}\) 정확히 유도	15점
1-2	접선 및 넓이 식 도출, 몫의 미분법 최댓값 구함	15점
1-3	공간벡터 도형과 점과 직선 거리 공식 활용	20점

한양대학교 자연계열 (오후2) - [문제 1] 상세해설

2025학년도 기출

📌 [문제 1-1] 해설

접선 기울기 \(y' = \frac{t}{x}\)와 법선 방정식에서 원과의 접함 조건으로 방정식 유도.

📌 [문제 1-2] 해설

\(t \to 0+\)일 때 \(x(t) \to 1\) 극한 도출.

한양대학교 자연계열 (오후2) - [문제 1] 채점기준표

2025학년도 기출

문항	채점 세부 기준 및 평가 요소	배점
1-1	방정식 도출 과정의 엄밀성	15점
1-2	극한값 1의 서술 정확성	15점
1-3	법선 교점 추론 논리성	20점

한양대학교 자연계열 (오후2) - [문제 2] 해설 및 채점기준표

2025학년도 기출

📌 [문제 2] 상세해설

역함수 미분법 \(g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}\) 및 \(g''(x) = -\frac{f''(g(x))}{\{f'(g(x))\}^3}\) 유도.

문항	채점 세부 기준 및 평가 요소	배점
2-1	역함수 1계, 2계 도함수 공식 구함	15점
2-2	치환적분을 이용한 정적분 계산	15점
2-3	변곡점 조건 증명 완결성	20점

한양대학교 자연계열 (오후2) [문항 1] 정밀해설

2024학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

구의 방정식과 공간벡터의 좌표 표현을 통해 벡터 내적의 관계식을 유도하고, 코시-슈바르츠 부등식 및 산술-기하 평균 부등식을 활용하여 최댓값과 최솟값을 구한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

1-1 내적 \(\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 1 - (x+y)\) 이고 코시-슈바르츠 부등식으로 \(-\sqrt{2} \le x+y \le \sqrt{2}\) 이므로 최댓값 \(1+\sqrt{2}\), 최솟값 \(1-\sqrt{2}\) 이다.

1-2 세 내적의 합 \(I = 3 - 2(x+y+z)\) 이고 정사영 조건 \(1 < x+y+z \le \sqrt{3}\) 에 의해 범위를 \(3-2\sqrt{3} \le I < 1\) 로 구함.

1-3 사면체 부피 \(V = \frac{1}{3}xyz\) 이고 산술-기하 평균 부등식 \(x^2+y^2+z^2=1 \implies xyz \le \frac{\sqrt{3}}{9}\) 에 의해 최댓값 \(\frac{\sqrt{3}}{27}\) 유도.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[1-1] 내적식을 \(1-(x+y)\)로 단순화하고 코시-슈바르츠로 최댓값 \(1+\sqrt{2}\), 최솟값 \(1-\sqrt{2}\)를 구함	15점
[1-2] 세 내적의 합 \(3-2(x+y+z)\)를 구하고 정사영 조건에 따른 범위 \(3-2\sqrt{3} \le I < 1\)을 유도함	15점
[1-3] 사면체 부피 \(V = \frac{1}{3}xyz\)를 구하고 산술-기하 평균으로 최댓값 \frac{\sqrt{3}}{27}을 산출함	20점

한양대학교 자연계열 (오후2) [문항 2] 정밀해설

2024학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

주어진 함수방정식을 도함수의 정의에 대입하여 미분방정식을 해결하고, 정적분으로 정의된 함수의 극값 및 급수의 극한을 정적분과 조임정리로 계산한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

2-1 \(f(x+y) = f(x)+f(y)+2xy\) 에 \(x=y=0\) 대입시 \(f(0)=0\), 도함수 정의 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} + 2x = 2x+1\) 유도.

2-2 \(f(x) = x^2+x\), \(g(x) = \frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2\), \(g'(x) = x(x+1) = 0 \implies x=0\)에서 극솟값 \(g(0)=0\) 구함.

2-3 \(f\left(\frac{kx}{n^2}\right) = \frac{k^2 x^2}{n^4} + \frac{kx}{n^2}\) 의 급수 극한 \(h(x) = \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{x^2}{n^4}\frac{n^3}{3} + \frac{x}{n^2}\frac{n^2}{2} \right] = \frac{x}{2}\) 이므로 \(h(1) = \frac{1}{2}\) 유도.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[2-1] \(f(0)=0\)을 구하고 도함수의 정의로 \(f'(x) = 2x+1\)을 바르게 유도함	15점
[2-2] \(f(x)=x^2+x\) 및 \(g(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2\)를 구하고 \(x=0\)에서 극솟값 \(g(0)=0\) 제시함	15점
[2-3] 거듭제곱의 합 공식을 적용하여 극한 \(h(x) = \frac{x}{2}\) 및 \(h(1) = \frac{1}{2}\)을 정확히 계산함	20점

한양대학교 자연계열 (오후2) [문항 1] 정밀해설

2023학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

수열의 점화식과 극한, 정적분으로 정의된 함수 및 회전체 부피, 조임정리를 다룬다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

1-1 \(a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}(a_n - 2) \implies a_n = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\), \(\lim_{n \to \infty} a_n = 2\) 유도.

1-2 \(S_n = 2n - 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) \implies \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n} = 2\) 유도.

1-3 급수 \(\sum \frac{1}{n} \frac{k/n}{1+(k/n)^2} \to \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2}\ln 2\) 유도.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[1-1] 점화식을 풀어 일반항 \(a_n = 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) 및 극한값 \(2\)를 구함	15점
[1-2] \(S_n = 2n - 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right)\) 이고 \(\lim \frac{S_n}{n} = 2\)를 계산함	15점
[1-3] 급수를 정적분 \(\int_0^1 \frac{x}{1+x^2}dx\)로 변환하여 \(\frac{1}{2}\ln 2\)를 명확히 유도함	20점

한양대학교 자연계열 (오후2) [문항 2] 정밀해설

2023학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

점화식 일반항 유도, 정적분과 급수 변환, 삼각함수 적분 및 회전체 부피를 평가한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

2-1 \(K = \int_0^{\pi/2} (\cos t + K)\sin t dt = \left[-\frac{1}{2}\cos^2 t - K\cos t\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} + K \implies K=1, f(x) = \cos x + 1\) 유도.

2-2 회전체 부피 \(V = \pi \int_0^{\pi/2} (\cos x + 1)^2 dx = \pi \int_0^{\pi/2} (\cos^2 x + 2\cos x + 1) dx = \pi \left(\frac{3\pi}{4} + 2\right)\) 유도.

2-3 부등식 \(\frac{n^3}{n^3+n} \le \sum_{k=1}^n x_k \le \frac{n^3}{n^3} = 1\) 이고 \(\lim \frac{n^3}{n^3+n} = 1\) 이므로 조임정리에 의해 극한값은 \(1\) 이다.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[2-1] \(K = \int_0^{\pi/2} (\cos t + K)\sin t dt = \frac{1}{2} + K\) 에서 \(K=1\), \(f(x) = \cos x + 1\)을 구함	15점
[2-2] 회전체 부피 \(V = \pi \int_0^{\pi/2} (\cos x + 1)^2 dx = \pi \left(\frac{3\pi}{4} + 2\right)\)를 구함	15점
[2-3] 조임정리 \(\frac{n^3}{n^3+n} \le \sum x_k \le 1\) 에서 극한값 \(1\)을 올바르게 증명함	20점

한양대학교 자연계열 (오후2) [문항 1] 정밀해설

2022학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

삼각함수 미분 및 적분, 부분적분법, 이항분포와 정규분포의 근사(드모아브르-라플라스 정리)를 평가한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

1-1 \(f'(x) = x \sin x \ge 0\) (\(x \in [0, \pi]\)) 단조증가, 최솟값 \(f(0)=0\), 최댓값 \(f(\pi)=\pi\) 구함.

1-2 부분적분 \(\int_0^{\pi} (\sin x - x \cos x) dx = [ -\cos x - (x \sin x + \cos x) ]_0^{\pi} = \pi\) 유도.

1-3 곡선의 길이 적분식 \(L = \int_0^{\pi} \sqrt{1 + x^2 \sin^2 x} dx\) 범위 평가.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[1-1] \(f'(x) = x \sin x \ge 0\) 이므로 단조증가하며 최솟값 \(f(0)=0\), 최댓값 \(f(\pi)=\pi\) 구함	15점
[1-2] 부분적분법으로 넓이 \(S = \int_0^{\pi} (\sin x - x \cos x) dx = \pi\) 계산	15점
[1-3] 곡선의 길이 적분식을 구성하고 범위를 논리적으로 유도함	20점

한양대학교 자연계열 (오후2) [문항 2] 정밀해설

2022학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

함수의 증감과 넓이 적분, 이항분포의 평균/분산 및 표준화 확률 계산을 논리적으로 평가한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

2-1 \(E(X) = 2, V(X) = \frac{4}{3}, P(X=2) = \frac{80}{243}\) 바르게 구함.

2-2 \(E(Y) = 3(2)-2 = 4, V(Y) = 9(4/3) = 12\) 산출.

2-3 \(n=450, p=1/3 \implies m=150, \sigma=10\), \(P(140 \le X \le 165) = P(-1.0 \le Z \le 1.5) = 0.7745\) 계산.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[2-1] \(E(X) = n p = 2\), \(V(X) = n p q = \frac{4}{3}\), \(P(X=2) = \binom{6}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{80}{243}\) 구함	15점
[2-2] \(E(Y) = 3 E(X) - 2 = 4\), \(V(Y) = 9 V(X) = 12\) 산출	15점
[2-3] \(N(150, 100)\) 정규분포 근사로 \(P(-1.0 \le Z \le 1.5) = 0.3413 + 0.4332 = 0.7745\) 계산	20점