2027학년도 한양대학교 수리논술 해설집 (자연계열 오후1 2개년)

QUESTIO MATH ESSAY

5개년 통합 기출 정밀 해설집 (자연계열 오후1)

한양대학교
(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 수록) 5개년 기출 정밀 해설집

QUESTIO 수리논술 입시연구소

2027학년도 수험생용

한양대학교 자연계열 (오후1) - 2026학년도 해설

2026학년도 기출

📌 [2026학년도 문제 1-1] 해설

\(r = \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{x} - \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}}\right)\)이므로 \(f(x) = \frac{\pi}{4}\left(x + \frac{1}{x} - \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}}\right)^2\), \(g(x) = \frac{\pi}{4}\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\)이다.
극값을 유리화하여 계산하면 \(\lim_{x \to \infty} f(x)g(x) = \frac{\pi^2}{16}\)을 얻는다.

📌 [2026학년도 문제 1-2] 해설

접선 \(y = \sqrt{m}x \pm \sqrt{a^2 m + b^2}\)의 절편을 구하여 넓이 \(S(m)\)을 계산하고 \(S'(m)=0\)인 점에서 최댓값을 산출한다.

문항	채점 세부 기준 및 평가 요소	배점
1-1	\(f(x), g(x)\) 식 작성 및 극한값 \(\frac{\pi^2}{16}\) 정확히 유도	15점
1-2	접선 및 넓이 식 도출, 몫의 미분법 최댓값 구함	15점
1-3	공간벡터 도형과 점과 직선 거리 공식 활용	20점

한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1] 상세해설

2025학년도 기출

📌 [문제 1-1] 해설

\(y = \frac{1}{x}\)를 \(x^2 + y^2 = r^2\)에 대입하면 \(x^4 - r^2 x^2 + 1 = 0\) 4차방정식을 얻는다.

📌 [문제 1-2] 해설

원 법선과 쌍곡선 접선 기울기의 곱이 \(-1\)이 되는 조건으로 \(r = \sqrt{2}\)를 산출한다.

한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1] 채점기준표

2025학년도 기출

문항	채점 세부 기준 및 평가 요소	배점
1-1	4차방정식 \(x^4 - r^2 x^2 + 1 = 0\) 정확히 유도	15점
1-2	접선 직교 조건 및 \(r=\sqrt{2}\) 산출	15점
1-3	적분 영역 정확히 계산	20점

한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2] 해설 및 채점기준표

2025학년도 기출

📌 [문제 2] 상세해설

정규화 조건 \(\int f(x)dx = 1\) 및 기댓값 \(E(X)=\int x f(x) dx\) 계산 결과를 명시한다.

문항	채점 세부 기준 및 평가 요소	배점
2-1	정규화 상수 \(C\) 도출	15점
2-2	기댓값 및 분산 계산 정확성	15점
2-3	조건부 확률 계산	20점

한양대학교 자연계열 (오후1) [문항 1] 정밀해설

2024학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

포물선과 타원의 접선의 기울기 공식을 이해하고, 두 곡선이 교점에서 직교할 조건을 기울기의 곱이 \(-1\)임을 이용하여 증명하며, 두 접선과 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 계산한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

1-1 포물선 \(m_1 = \frac{2p}{y_0}\), 타원 \(m_2 = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\) 직교 조건 \(m_1 m_2 = -1\) 및 곡선 방정식을 결합하여 \(a^2 - b^2 = 2p x_0\)를 유도함.

1-2 \(p=1, a=2, b=1\) 대입시 \(4 - 1 = 2 x_0 \implies x_0 = \frac{3}{2}\), \(y_0 = \sqrt{6}\) 교점 좌표 \(R\left(\frac{3}{2}, \sqrt{6}\right)\) 유도.

1-3 포물선 접선 \(x\)절편 \(T_1(-3, 0)\), 타원 접선 \(x\)절편 \(T_2\left(\frac{8}{3}, 0\right)\) 이므로 밑변 \(\frac{17}{3}\), 높이 \(\sqrt{6}\) 삼각형 넓이는 \(\frac{17\sqrt{6}}{6}\) 이다.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[1-1] 음함수 미분으로 접선의 기울기를 구하고 직교 조건 \(a^2 - b^2 = 2p x_0\)를 엄밀히 증명함	15점
[1-2] 증명된 식에 대입하여 교점 좌표 \(R\left(\frac{3}{2}, \sqrt{6}\right)\)를 바르게 산출함	15점
[1-3] 두 접선의 \(x\)절편 \(T_1(-3, 0), T_2\left(\frac{8}{3}, 0\right)\)를 구하고 삼각형 넓이 \(\frac{17\sqrt{6}}{6}\)을 계산함	20점

한양대학교 자연계열 (오후1) [문항 2] 정밀해설

2024학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

수열의 합으로 표현된 급수를 정적분의 정의로 변환하고, \(\tan\theta\) 및 \(\sin\theta\) 삼각치환적분법을 활용하여 정적분을 계산한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

2-1 급수 \(\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{1+(k/n)^2}\frac{1}{n} \to \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx\) 치환적분으로 \(\frac{\pi}{4}\) 계산.

2-2 \(a_n \to \int_0^1 \frac{x}{1+x^2}dx = \frac{1}{2}[\ln(1+x^2)]_0^1 = \frac{1}{2}\ln 2\) 계산.

2-3 \(b_n \to \int_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}}dx\) 에서 \(x=\tan\theta\) 치환으로 \(\int_0^{\pi/4}\cos\theta d\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\) 유도.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[2-1] 정적분 \(\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx\)로 바꾸고 \(\tan\theta\) 치환으로 \(\frac{\pi}{4}\)를 올바르게 계산함	15점
[2-2] 정적분 \(\int_0^1 \frac{x}{1+x^2}dx\)로 변환하고 \(\frac{1}{2}\ln 2\)를 정확히 구함	15점
[2-3] 삼각치환으로 \(\int_0^{\pi/4}\cos\theta d\theta\)로 변환하여 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)를 명확히 유도함	20점

한양대학교 자연계열 (오후1) [문항 1] 정밀해설

2023학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

미분법을 활용한 변곡점과 극값 산출, 공간벡터의 내적 및 정사영 영역 넓이를 평가한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

1-1 \(f'(x) = \frac{4x}{(x^2+1)^2} = 0 \implies x=0\) (극솟값 \(-1\)), \(f''(x) = \frac{4(1-3x^2)}{(x^2+1)^3} = 0 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) (변곡점 \(\left(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{2}\right)\)).

1-2 변곡점 직선 \(y = -\frac{1}{2}\), 접선 기울기 \(m = \pm \sqrt{3} \implies \tan\theta = \sqrt{3}\) 계산.

1-3 치역 \([-1, 1)\) 및 점근선 \(y=1\)에 의해 \(k < -1\) 또는 \(k \ge 1\) (0개), \(k=-1\) 또는 \(k \in (0, 1)\) (1개), \(k \in (-1, 0)\) (2개) 판별.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[1-1] 미분으로 극솟값 \(f(0)=-1\) 및 변곡점 \(\left(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{2}\right)\)를 구함	15점
[1-2] 두 변곡점을 지나는 직선 \(y = -\frac{1}{2}\) 및 접선의 기울기로 \(\tan\theta = \sqrt{3}\)을 계산함	15점
[1-3] \(y=f(x)\)의 치역 \([-1, 1)\)과 점근선 \(y=1\)을 이용해 실근 개수를 정확히 판별함	20점

한양대학교 자연계열 (오후1) [문항 2] 정밀해설

2023학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

이계도함수 미분으로 곡선 개형을 파악하고, 공간벡터 내적과 수선의 발 좌표를 구한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

2-1 내적 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(2) + 2(1) + 2(-2) = 0 \implies \theta = \frac{\pi}{2}\) (직교).

2-2 수선의 발 \(H(1, 2, 2)\), 원점과 평면 사이의 거리 \(d = \frac{|0+0+0-9|}{\sqrt{1+4+4}} = 3\) 계산.

2-3 구 \(S\)의 \(xy\)평면 정사영은 반지름 \(3\)인 원 내부 영역이므로 넓이는 \(9\pi\) 이다.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[2-1] 내적 \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0\) 이므로 두 벡터가 직교함(\(\theta = \frac{\pi}{2}\))을 구함	15점
[2-2] 원점에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 \(H(1, 2, 2)\) 및 거리 \(d = 3\)을 구함	15점
[2-3] 구 \(S\)의 정사영이 타원 내부임을 파악하여 넓이 \(9\pi \cos\phi\)를 바르게 산출함	20점

한양대학교 자연계열 (오후1) [문항 1] 정밀해설

2022학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

음함수의 미분법, 데카르트 엽선의 접선, 공간에서 구와 평면의 교선 및 정사영 영역을 평가한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

1-1 음함수 미분 \(3x^2 + 3y^2 y' - 3a y - 3a x y' = 0 \implies y' = \frac{a y - x^2}{y^2 - a x}\) 접선의 방정식 유도.

1-2 \(a=1\) 일 때 \(y' = -1 \implies x^2-y = y^2-x \implies x=y\), 교점 \(\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)\) 접선 \(x+y=3\) 산출.

1-3 극좌표 \(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta\) 변환으로 루프 넓이 \(S = \frac{3}{2}a^2 = \frac{3}{2}\) 계산.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[1-1] 음함수 미분 \(\frac{dy}{dx} = \frac{a y_0 - x_0^2}{y_0^2 - a x_0}\) 및 접선의 방정식 바르게 유도	15점
[1-2] 기울기 \(-1\) 조건에서 접점 \(\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)\) 및 접선 \(x+y=3\) 산출	15점
[1-3] 극좌표 치환으로 제1사분면 루프 넓이 \(S = \frac{3}{2}\) 명확히 유도	20점

한양대학교 자연계열 (오후1) [문항 2] 정밀해설

2022학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

음함수 미분 공식과 평면의 법선벡터, 피타고라스 정리를 활용한 정사영 계산을 평가한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

2-1 수선의 발 \(H\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\), 원점과 평면 거리 \(d = \frac{2}{\sqrt{3}}\) 구함.

2-2 교선 원의 반지름 \(r = \sqrt{4 - 4/3} = \sqrt{8/3}\), 넓이 \(\frac{8}{3}\pi\) 계산.

2-3 정사영 넓이 \(S' = S \cos\theta = \frac{8}{3}\pi \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{9}\pi\) 유도.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[2-1] 수선의 발 \(H\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\) 및 거리 \(d = \frac{2}{\sqrt{3}}\) 구함	15점
[2-2] 피타고라스 정리 \(r = \sqrt{4 - d^2} = \sqrt{\frac{8}{3}}\) 및 원 넓이 \(\frac{8}{3}\pi\) 계산	15점
[2-3] 법선벡터 각도 \(\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}\)에 의해 정사영 넓이 \(\frac{8\sqrt{3}}{9}\pi\) 바르게 유도	20점