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QUESTIO MATH ESSAY
5개년 통합 기출 정밀 해설집 (자연계열 오후1)
[기계 ∙ 신소재 ∙ 전기 ∙ 산업 ∙ 자연과학 ∙ 수학교육]
한양대학교
(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 수록) 5개년 기출 정밀 해설집
🎯 [오후1 전형] 대상 모집단위 (전공·계열)
공과대학: 전기·생체공학부(전기공학), 신소재공학부, 기계공학부, 산업공학과, 원자력공학과, 바이오메디컬공학
자연과학대학: 수학과, 물리학과, 화학과, 생명과학과
사범대학: 수학교육과
QUESTIO 수리논술 입시연구소
2027학년도 수험생용
한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1] 상세해설
2026학년도 기출
오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과
📌 [문제 1-1] 해설 및 모범 답안
\(A_1\)의 \(x\)좌표를 \(s_1\), \(A_3\)의 \(x\)좌표를 \(s_2\)라 하자. 조건에 의해 \(s_1 = s_2 + 1\)이다.
\(A_2\)의 \(y\)좌표는 \(2^{s_1-3} + 35\)이므로 \(A_3\)의 \(x\)좌표는 \(s_2 = \log_2 (2^{s_1-3} + 35)\)이다.
\(s_2 = s_1 - 1\)이므로 \(2^{s_1-3} + 35 = 2^{s_1-1}\). 양변에 \(8\)을 곱하면 \(2^{s_1} + 280 = 4 \cdot 2^{s_1} \implies 3 \cdot 2^{s_1} = 280\).
따라서 \(2^{s_1} = \frac{280}{3} \implies s_1 = \log_2 \frac{280}{3}\), \(s_2 = \log_2 \frac{140}{3}\)이다.
구하는 둘러싸인 도형의 넓이는 사다리꼴 넓이에서 곡선 아래 넓이를 뺀 값이거나 정적분으로 계산된다:
\(S = \int_{s_2}^{s_1} 2^x dx - (s_1 - s_2) \cdot 2^{s_2} = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{s_2}^{s_1} - 1 \cdot \frac{140}{3} = \frac{1}{\ln 2}\left(\frac{280}{3} - \frac{140}{3}\right) - \frac{140}{3} = \frac{140}{3}\left(\frac{1}{\ln 2} - 1\right)\).
[답] \(\frac{140}{3}\left(\frac{1}{\ln 2} - 1\right)\)
📌 [문제 1-2] 해설 및 모범 답안
\(A_{2k-1}\)의 \(y\)좌표가 \(y_k\)이므로 \(x\)좌표는 \(\log_2 y_k\)이다.
점 \(A_{2k}\)의 \(y\)좌표는 \(2^{\log_2 y_k - 3} + 35 = \frac{1}{8}y_k + 35\)이며, 이것이 바로 점 \(A_{2k+1}\)의 \(y\)좌표 \(y_{k+1}\)이다.
따라서 수열의 점화식은 \(y_{k+1} = \frac{1}{8}y_k + 35\)이다.
\(y_5 = \frac{1}{8^4}y_1 + 35\left(1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8^2} + \frac{1}{8^3}\right) = \frac{1}{4096}y_1 + 35 \cdot \frac{1 - (1/8)^4}{1 - 1/8} = \frac{1}{4096}y_1 + 40\left(1 - \frac{1}{4096}\right) = \frac{10725}{256}\).
양변에 \(4096\)을 곱하면 \(y_1 + 40 \times 4095 = 10725 \times 16 = 171600\).
\(y_1 = 171600 - 163800 = 7800\).
[답] \(7800\)
📌 [문제 1-3] 해설 및 모범 답안
\(g(t) = a\sin t + b|\sin(2t)|\)라 하면, \(f'(x) = g(x)\)이다.
조건 (1), (2)에 의해 \(g(t)\)는 \((0, \pi)\)와 \((\pi, 2\pi)\)에서 부호가 변하지 않아야 하므로 \(|a| \ge 2|b|\)가 유도된다.
\(a^2 + b^2 = 1\)에서 \(b^2 \le \frac{a^2}{4} \implies \frac{5}{4}a^2 \ge 1 \implies |a| \ge \frac{2}{\sqrt{5}}\).
대칭성에 의해 \(\int_0^{2\pi} |g(x)| dx = 4|a|\)이며, 함수 \(|g(x)|\)는 주기 \(2\pi\)를 가진다.
따라서 \(\int_0^{2026\pi} |f'(x)| dx = 1013 \int_0^{2\pi} |g(x)| dx = 4052|a|\)이다.
\(|a| \ge \frac{2}{\sqrt{5}}\)이므로 최솟값은 \(4052 \times \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{8104}{\sqrt{5}}\)이다.
등호 성립 조건 \(|a| = \frac{2}{\sqrt{5}}, |b| = \frac{1}{\sqrt{5}}\)에서 가능한 모든 순서쌍 \((a, b)\)는 4개이다:
[답] 모든 순서쌍: \(\left(\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right), \left(\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right), \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right), \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\), 최솟값: \(\frac{8104}{\sqrt{5}}\)
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1] 전수 채점기준표
2026학년도 기출
하위 문항 채점 세부 기준 및 평가 요소 배점
1-1 점 \(A_1\)과 \(A_2\)의 \(x\)좌표를 로그를 활용하여 정확히 표현한 경우 (\(s_1 = \log_2 \frac{280}{3}, s_2 = \log_2 \frac{140}{3}\)) 15점
지수함수의 정적분을 적용하여 둘러싸인 도형의 넓이 \(\frac{140}{3}\left(\frac{1}{\ln 2} - 1\right)\)을 올바르게 구한 경우 15점
1-2 수열의 귀납적 관계식 \(y_{k+1} = \frac{1}{8}y_k + 35\)를 정확하게 유도한 경우 15점
점화식을 전개하여 \(y_5 = \frac{10725}{256}\)으로부터 초기항 \(y_1 = 7800\)을 정확히 계산한 경우 15점
1-3 \(a \ne 0\)일 때 조건 (1), (2)의 필요충분조건이 \(|a| \ge 2|b|\)임을 삼각함수 부등식으로 엄밀히 증명한 경우 10점
\(a\)와 \(b\)의 부호 4가지 경우를 분류하여 각각의 정적분 값이 \(4052|a|\)임을 유도한 경우 20점
정적분이 최소가 되는 모든 순서쌍 \((a, b)\) 4개와 최솟값 \(\frac{8104}{\sqrt{5}}\)를 정확히 도출한 경우 10점
🔍 QAH 수리논술 감수위원회의 핵심 평가 포인트:
• 지수함수와 수열: 귀납적 관계식 수립에서 분수 거듭제곱 계산 실수를 방지하고 양변에 \(8^4=4096\)을 곱해 정수 연산으로 전환하는 테크닉이 고득점의 핵심입니다.
• 초월함수 정적분: 구간별 부호 일치 조건 \(a \ge 2b\cos t\)에서 코사인의 치역 범위를 완벽하게 반영하여 \(|a| \ge 2|b|\) 부등식을 도출하는 논리적 완결성이 요구됩니다.
2026학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 1] Page 2
한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2] 상세해설
2026학년도 기출
오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과
📌 [문제 2-1] 해설 및 모범 답안
정삼각형 \(BCD\)에서 점 \(O\)는 외심이자 무게중심이다.
선분 \(BC\)의 중점을 \(M\)이라 하면 \(\overline{DM} = 3\sqrt{3}\)이고, 무게중심 성질에 의해 \(\overline{DO} = 2\sqrt{3}, \overline{OM} = \sqrt{3}\)이다.
\(OP \parallel BM\)이므로 삼각형의 닮음에 의해 \(\overline{DP} = 4, \overline{OP} = 2\)이다.
\(\overline{AM} = \sqrt{\overline{AC}^2 - \overline{MC}^2} = \sqrt{a^2-9}\)이고, \(\overline{AO} = \sqrt{\overline{AM}^2 - \overline{OM}^2} = \sqrt{a^2-12}\)이다.
각 삼각형의 넓이는 다음과 같다:
• \( riangle DOP = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}\)
• \( riangle AOD = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{a^2-12} = \sqrt{3(a^2-12)}\)
• \( riangle AOP = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2-12} \cdot 2 = \sqrt{a^2-12}\)
• \( riangle APD = \frac{2}{3} riangle ACD = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{a^2-9} = 2\sqrt{a^2-9}\)
네 삼각형의 넓이의 곱은 \(2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3(a^2-12)} \cdot \sqrt{a^2-12} \cdot 2\sqrt{a^2-9} = 12(a^2-12)\sqrt{a^2-9}\)이다.
[답] \(12(a^2-12)\sqrt{a^2-9}\)
📌 [문제 2-2] 해설 및 모범 답안
정사영 공식에 의해 \(\cos\theta_1 = \frac{ riangle DOP}{ riangle APD} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{a^2-9}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2-9}}\), \(\cos\theta_2 = \frac{ riangle AOD}{ riangle APD} = \frac{\sqrt{3(a^2-12)}}{2\sqrt{a^2-9}}\), \(\cos\theta_3 = \frac{ riangle AOP}{ riangle APD} = \frac{\sqrt{a^2-12}}{2\sqrt{a^2-9}}\)이다.
\(\cos\theta_2 > \cos\theta_3\)이고, \(\cos\theta_1 > \cos\theta_2 \iff 2 > \sqrt{a^2-12} \iff a < 4\)이다.
가장 작은 각 \(\theta\)는 코사인 값이 가장 큰 경우이다.
(i) \(2\sqrt{3} \lt a \lt 4\)일 때: \(\cos\theta = \cos\theta_1 = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a^2-9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \implies a^2 - 9 = \frac{9}{2} \implies a = \frac{3\sqrt{6}}{2}\).
(ii) \(a \ge 4\)일 때: \(\cos\theta = \cos\theta_2 = \frac{\sqrt{3(a^2-12)}}{2\sqrt{a^2-9}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \implies 24(a^2-9) = 27(a^2-12) \implies a = 6\).
[답] \(a = \frac{3\sqrt{6}}{2}, a = 6\)
📌 [문제 2-3] 해설 및 모범 답안
\(a=4\)일 때 \(\overline{AO} = \sqrt{16-12} = 2\), \(\overline{AM} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7}\)이다.
정육면체의 한 변의 길이를 \(x\)라 하면 닮음비에 의해 \(\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)x = 3\sqrt{3}\left(1 - \frac{x}{2}\right) \implies x = \frac{18-3\sqrt{3}}{11}\)이다.
정사각형 \(EIJF\)의 면적은 \(x^2\)이며, 평면 \(ACD\) 위로의 정사영은 \(x^2 \cos\theta_3\)이다.
\(\cos\theta_3 = \frac{\sqrt{a^2-12}}{2\sqrt{a^2-9}} = \frac{2}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}\).
정사영 넓이 \(= \left(\frac{18-3\sqrt{3}}{11}\right)^2 \times \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{351 - 108\sqrt{3}}{121\sqrt{7}} = \frac{351\sqrt{7} - 108\sqrt{21}}{847}\).
[답] \(\frac{351\sqrt{7} - 108\sqrt{21}}{847}\)
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2] 전수 채점기준표
2026학년도 기출
하위 문항 채점 세부 기준 및 평가 요소 배점
2-1 삼수선의 정리와 정삼각형의 성질을 적용하여 선분 \(\overline{DO}, \overline{DP}, \overline{OP}, \overline{AO}\)의 길이를 정확히 유도한 경우 10점
네 삼각형의 넓이를 각각 구하고, 그 곱 \(12(a^2-12)\sqrt{a^2-9}\)를 정확히 도출한 경우 20점
2-2 정사영의 정의를 적용하여 \(\cos\theta_1, \cos\theta_2, \cos\theta_3\)의 식을 유도하고 대소 관계를 판별한 경우 15점
\(a\)의 범위에 따른 코사인 최댓값 방정식을 풀고 \(a = \frac{3\sqrt{6}}{2}, 6\)을 모두 구한 경우 15점
2-3 입체도형의 단면과 공간도형 닮음비를 활용하여 정육면체 한 변의 길이 \(x = \frac{18-3\sqrt{3}}{11}\)을 구한 경우 20점
정사각형의 넓이에 \(\cos\theta_3 = \frac{1}{\sqrt{7}}\)을 곱하여 최종 정사영 넓이 \(\frac{351\sqrt{7}-108\sqrt{21}}{847}\)을 도출한 경우 20점
🔍 QAH 수리논술 감수위원회의 핵심 평가 포인트:
• 삼수선의 정리와 정사영: 면과 면 사이의 이면각 코사인 값을 정사영 넓이 비율 \(\frac{S'}{S}\)로 치환하여 신속·정확하게 구하는 능력이 채점의 변별 기준입니다.
• 내접 정육면체 닮음비: 사면체 내부 정육면체의 단면을 포함하는 평면에서 닮음 삼각형의 비례식을 세울 때 꼭짓점 기호와 수선의 발 위치를 명확히 서술해야 감점을 방지할 수 있습니다.
2026학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 2] Page 4
한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1] 예시답안 (1/2)
2025학년도 기출
오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과
▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안

\(\int_1^2 (2x^3 + 3ax^2 + bx)dx = \left[ \frac{1}{2}x^4 + ax^3 + \frac{1}{2}bx^2 \right]_1^2 = \frac{15}{2} + 7a + \frac{3}{2}b\)이다.

\(20 \le \frac{15}{2} + 7a + \frac{3}{2}b \le 30 \iff 13 \le 7a + \frac{3b+15}{2} \le 23\)을 만족하는 \(5\) 이하의 자연수 순서쌍을 구한다.

\(a=1\)일 때: \(13 \le \frac{3b+15}{2} \le 23 \implies b \in \{4, 5\}\) (2개)

\(a=2\)일 때: \(6 \le \frac{3b+15}{2} \le 16 \implies b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\) (5개)

\(a=3\)일 때: \(-1 \le \frac{3b+15}{2} \le 9 \implies b \in \{1\}\) (1개)

\(a \ge 4\)일 때는 부등식을 만족하지 않는다. 따라서 순서쌍의 개수는 \(2 + 5 + 1 = \mathbf{8}\)개이다.

도로망 좌표계
▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안

도로망을 좌표평면에 놓자. 지점 \(A(0, 0)\), \(B(n, n)\)이다. 방향이 바뀌는 지점이 정확히 \(4\)번일 때, 오른쪽으로 먼저 시작하는 경우 오른쪽에서 위쪽으로 \(2\)번, 위에서 오른쪽으로 \(2\)번 바뀌며, 위쪽으로 먼저 시작하는 경우도 대칭으로 같다.

경우의 수: \(f(n) = 2 \times ({}_{n-1}\mathrm{C}_2 \times {}_{n-1}\mathrm{C}_1) = (n-1)^2(n-2)\)이다.

따라서 \(f(6) = 5^2 \times 4 = \mathbf{100}\)이다.

방향이 \(7\)번 바뀌는 경우: 한쪽 방향으로 \(4\)번, 다른 방향으로 \(3\)번 바뀌므로

\(g(n) = 2 \times ({}_{n-1}\mathrm{C}_3 \times {}_{n-1}\mathrm{C}_4) = \frac{(n-1)^2(n-2)^2(n-3)^2(n-4)}{72}\)이다.

\(g(32) = 74498\)이며, 계산하면 \(f(6) = 100\), \(\sqrt{2 \times g(32)} = 386\)이다.

2025학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 1] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2025학년도 기출
▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안

\(x \le 1\)에서 \(f(x) = |g(x)|\)이고 \(f(0)=f(1)=0\)이며 실수 전체에서 미분가능하므로, \(g(0)=0\), \(g(1)=g'(1)=0\)이다. 최고차항 계수가 \(1\)이므로 \(g(x) = x(x-1)^2(x-k)\)이다.

\(x \le 1\)에서 극댓값을 갖지 않으려면 \(k \ge 1\)이어야 하며, 매끄러운 연결을 만족하기 위해 \(k=1\)일 때 \(g(x) = x(x-1)^3\)이다.

\(x \ge 1\)에서도 \(f(x)\)는 극댓값을 갖지 않고 \(f(3)=f(a_4)=f(a_5)=0\)을 만족해야 하므로 삼차 이상의 다항식 조각들로 구성되며,

구간별 함수를 대칭 및 미분가능성 조건을 적용하여 정적분하면:

\[\int_{a_1}^{a_5} |f(x)|dx = \int_0^1 x(1-x)^3 dx + \int_1^3 |f(x)|dx + \dots = \mathbf{\frac{1261}{432}}\]

답: \(\frac{1261}{432}\)

[문제 1] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
1-1 정적분 부등식을 만족하는 순서쌍의 개수 \(8\)을 정확히 구하였는가? 30점
1-2 최단 경로 중 방향 전환 횟수 조건에 맞는 경우의 수를 계산하였는가? 30점
1-3 미분가능성과 극댓값 부재 조건을 만족하는 \(f(x)\)의 정적분 \(\frac{1261}{432}\)를 구하였는가? 40점
2025학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 1] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2] 예시답안 (1/2)
2025학년도 기출
오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과
접선 그래프
▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안

\(\sin\theta = \frac{n}{n+1}\tan\theta \implies \cos\theta = \frac{n}{n+1}\)이다. 교점 \(P_n(\theta, \sin\theta)\)에서의 두 접선 \(l_1, l_2\)의 방정식으로부터 \(x\)절편을 구하면 각각 \(\theta - \tan\theta\), \(\theta - \sin\theta\cos\theta\)이다.

두 직선과 \(x\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 \(S_n\)은

\[S_n = \frac{1}{2}\sin^2\theta \left(\frac{1}{\cos\theta} - \cos\theta\right) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{n^2}{(n+1)^2}\right)\left(\frac{n+1}{n} - \frac{n}{n+1}\right) = \frac{(2n+1)^2}{2n(n+1)^3}\]

따라서 \(\lim_{n \to \infty} n^2 S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(2n+1)^2}{2n(n+1)^3} = \frac{4}{2} = \mathbf{2}\)이다.

▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안

포물선 \(y^2 = 4px\) 위의 점 \(P(x_1, y_1)\)에서의 접선은 \(y_1 y = 2p(x + x_1)\)이다. 직선 \(x = -p\)와의 교점은 \(Q\left(-p, \frac{2p(x_1-p)}{y_1}\right)\)이다.

\(P'\)의 좌표는 \(\left(\frac{(x_1-p)^2}{4x_1}, \frac{2p(x_1-p)}{y_1}\right)\)이다. 벡터 \(\vec{FP}, \vec{FP'}\)의 내적과 포물선의 정의에 의한 거리를 이용하면

\[\cos\theta = \frac{\vec{FP} \cdot \vec{FP'}}{|\vec{FP}| |\vec{FP'}|} = \frac{x_1 - p}{x_1 + p} = \frac{1}{5}\]

이를 풀면 \(5x_1 - 5p = x_1 + p \implies 4x_1 = 6p \implies \mathbf{x_1 = \frac{3p}{2}}\)이다.

2025학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 2] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2025학년도 기출
▶ [문항 2-3] 해설 및 모범 답안

직선 \(CP\)와 \(DQ\)가 한 점 \(R\)에서 만나므로 네 점 \(C, D, P, Q\)는 한 평면 위에 있다. 평행한 두 평면 \(ABCD\)와 \(EFGH\)에 포함되므로 직선 \(CD\)와 \(PQ\)는 평행하다. 따라서 \(\triangle RCD \sim \triangle RPQ\)이다.

\(\overline{DR} : \overline{RQ} = 4 : 3\)이므로 \(\overline{PQ} = \frac{3}{4}\overline{CD} = \frac{3}{4} \times 4 = 3\)이다.

좌표계를 설정하여 점들의 좌표를 구하면 \(C(0, 4, 4), D(0, 0, 4)\), \(P(3, 3, 0), Q(3, 0, 0)\), \(A(4, 0, 4)\)이다.

평면 \(APC\)의 법선벡터를 \(\vec{n} = (a, b, c)\)라 하면 \(\vec{AC} = (-4, 4, 0)\), \(\vec{AP} = (-1, 3, -4)\)와 수직이므로

\(-4a + 4b = 0 \implies a = b\), \(-a + 3a - 4c = 0 \implies c = \frac{1}{2}a\). 법선벡터는 \((2, 2, 1)\)로 둘 수 있다.

평면 \(EFGH\)의 법선벡터는 \((0, 0, 1)\)이므로 두 평면이 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여

\[\cos\theta = \frac{|(2, 2, 1) \cdot (0, 0, 1)|}{\sqrt{4+4+1} \times 1} = \frac{1}{3 \times 1} = \mathbf{\frac{1}{3}}\]

답: \(\frac{1}{3}\)

[문제 2] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
2-1 두 접선의 \(x\)절편을 구하고 삼각형 넓이의 극한값 \(2\)를 정확히 구하였는가? 30점
2-2 포물선의 정의와 벡터 내적을 이용하여 \(x_1 = \frac{3p}{2}\)를 바르게 도출하였는가? 30점
2-3 공간도형의 위치 관계 및 평면의 방정식을 세워 이면각 \(\cos\theta = \frac{1}{3}\)을 계산하였는가? 40점
2025학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 2] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1] 예시답안 (1/2)
2024학년도 기출
오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과
▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안

전체 직육면체에서 꼭짓점 \(P\)를 포함하고 정사각형 \(25\)개로 이루어진 면을 면 \(X\), 꼭짓점 \(Q\)를 포함하고 정사각형 \(25\)개로 이루어진 면을 면 \(Y\)라 하자. 꼭짓점 \(P\)에서 꼭짓점 \(Q\)까지 최단거리로 가려면 가로, 세로 방향으로 모서리를 \(5\)개씩 지나고, 면 \(X\)와 면 \(Y\)를 잇는 모서리를 \(1\)개 지난다.

가로 방향 이동을 \(d\), 세로 방향 이동을 \(e\), 면 사이 이동을 \(f\)라 하자. 꼭짓점 \(Q\)와 모서리로 연결된 면 \(X\)의 꼭짓점을 \(R\)라 하면, \(P\)에서 \(R\)까지 최단거리 이동 경로의 수는 \(10\)개의 문자 \(d, d, d, d, d, e, e, e, e, e\)를 나열하는 경우의 수 \(\frac{10!}{5! 5!} = 252\)이다.

이 중 색칠된 정육면체의 꼭짓점을 지나는 경로의 수는 \(1 + 5^2 = 26\)이다. 따라서 색칠된 꼭짓점을 지나지 않고 \(P\)에서 \(R\)까지 이동하는 경우의 수는 \(252 - 26 = 226\)이다.

이 경로에 모서리 이동 \(f\)를 하나 삽입하는 방법의 수는 \(11\)가지이므로 총 경우의 수는 \(226 \times 11 = \mathbf{2486}\)이다. 답: \(2486\)

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안

\(c = ab, d = \frac{a-6}{2}\)라 하자. \((a, b)\)의 순서쌍에 따른 \((c, d)\)는 \((0,-4), (4,-4), (0,-3), (6,-3), (0,-2), (8,-2)\)이다.

판별식 \(c^2 - 4d \ge 8 > 0\)이므로 삼차방정식은 세 실근 \(x_1 = -7, x_2 = \frac{c - \sqrt{c^2 - 4d}}{2}, x_3 = \frac{c + \sqrt{c^2 - 4d}}{2}\)을 갖는다. \(x_1 < -2 \le x_2 < x_3\)이 성립한다.

가장 가까운 두 점 사이의 거리는 \(x_2 - x_1\)과 \(x_3 - x_2\)를 비교하면 되며, \(x_2 - x_1 < x_3 - x_2 \iff 9d + 49 < c(2c-7)\)이다. 이를 만족하는 순서쌍은 \((6,1), (8,1)\)이다.

확률변수 \(X\)의 분포표를 작성하면 다음과 같다:

\((a, b)\)\((4,0)\)\((4,1)\)\((6,0)\)\((6,1)\)\((8,0)\)\((8,1)\)
\(X\)\(4\)\(4\sqrt{2}\)\(2\sqrt{3}\)\(10-2\sqrt{3}\)\(2\sqrt{2}\)\(11-3\sqrt{2}\)
\(P\)\(3/10\)\(1/5\)\(1/5\)\(2/15\)\(1/10\)\(1/15\)

기댓값: \(E(X) = 4\times\frac{3}{10} + 4\sqrt{2}\times\frac{1}{5} + 2\sqrt{3}\times\frac{1}{5} + (10-2\sqrt{3})\times\frac{2}{15} + 2\sqrt{2}\times\frac{1}{10} + (11-3\sqrt{2})\times\frac{1}{15} = \mathbf{\frac{49}{15} + \frac{4\sqrt{2}}{5} + \frac{2\sqrt{3}}{15}}\)이다.

답: \(\frac{49}{15} + \frac{4\sqrt{2}}{5} + \frac{2\sqrt{3}}{15}\)

2024학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 1] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2024학년도 기출
▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안

\(p(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x\)에 대해 \(p'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}\)이므로 \(\frac{d}{dx}p(2x) = -\frac{2}{\sin^2 2x}\)이다.

\[g(x) = \int_{\pi/6}^x \frac{1}{\sin^2 2t}dt = \left[ -\frac{1}{2}\cot 2t \right]_{\pi/6}^x = -\frac{\cos 2x}{2\sin 2x} + \frac{1}{2\sqrt{3}}\]

\[h(x) = \int_{\pi/6}^x g(t)dt = -\frac{1}{4}\ln|\sin 2x| + \frac{1}{4}\ln\left(\sin\frac{\pi}{3}\right) + \frac{x}{2\sqrt{3}} - \frac{\pi}{12\sqrt{3}}\]

이제 극한값을 구하면:

\[\lim_{x \to 0+} \frac{\{g(x)\}^2}{f(x)} = \lim_{x \to 0+} \sin^2 2x \left( -\frac{\cos 2x}{2\sin 2x} + \frac{1}{2\sqrt{3}} \right)^2 = \lim_{x \to 0+} \left( -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{\sin 2x}{2\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{1}{4}\]

\[\lim_{x \to 0+} \frac{h(x)}{f(x)} = \lim_{x \to 0+} \sin^2 2x \left( -\frac{1}{4}\ln|\sin 2x| + \dots \right) = \lim_{t \to 0+} \left( -\frac{1}{4}t^2 \ln t \right) = 0\]

따라서 \(\lim_{x \to 0+} \frac{h(x) + \{g(x)\}^2}{f(x)} = 0 + \frac{1}{4} = \mathbf{\frac{1}{4}}\)이다. 답: \(\frac{1}{4}\)

[문제 1] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
1-1 같은 것이 있는 순열을 이용하여 색칠된 꼭짓점을 지나지 않고 \(P\)에서 \(R\)까지 이동하는 경우의 수 \(226\)을 구했는가? 10점
문자 \(f\)의 삽입 방법을 고려하여 총 경우의 수 \(226 \times 11 = 2486\)을 정확히 도출하였는가? 20점
1-2 곡선과 \(x\)축의 세 교점 사이 거리를 정확히 비교하여 확률변수 \(X\)의 값에 따른 경우를 도출하였는가? 20점
확률분포표를 올바르게 작성하고 기댓값 \(\frac{49}{15} + \frac{4\sqrt{2}}{5} + \frac{2\sqrt{3}}{15}\)를 계산하였는가? 20점
1-3 함수 \(f(x)\)를 적분하여 함수 \(g(x)\)와 \(h(x)\)를 정확히 구하였는가? 20점
삼각함수 극한 성질과 주어진 조건(\(\lim t^2 \ln t = 0\))을 이용하여 극한값 \(\frac{1}{4}\)를 도출하였는가? 10점
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2] 예시답안 (1/2)
2024학년도 기출
오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과
▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안
반원 좌표계

반원을 좌표평면에 두면 \(Q(\cos\theta, \sin\theta)\)이고, \(\overline{PQ}=1\)이므로 중심각 \(\angle POQ = \frac{\pi}{3}\)이다. 따라서 \(P(\cos(\theta+\frac{\pi}{3}), \sin(\theta+\frac{\pi}{3}))\)이다.

선분 \(PQ\)의 중점을 \(R\)라 하면, 선분 \(RH\)는 지름 \(PQ\)인 반원의 반지름이므로 \(\overline{RH} = \frac{1}{2}\)이다. 점 \(R\)의 \(y\)좌표가 \(\overline{RH}\)이므로

\[\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left(\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) + \sin\theta\right) \implies 3\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\]

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)과 연립하여 \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\)에서 풀면

\[\mathbf{\cos\theta = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{6}, \quad \sin\theta = \frac{3 - \sqrt{6}}{6}}\] 답: \(\cos\theta = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}, \sin\theta = \frac{3-\sqrt{6}}{6}\)

▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안

호 \(PQ\) 위의 점 \(S\)의 좌표는 \((\cos(\theta+t), \sin(\theta+t))\) (\(0 \le t \le \frac{\pi}{3}\))라 할 수 있다.

선분 \(PQ\)의 중점 \(R\)의 좌표는 \((\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2})\)이므로 직선 \(OR\)의 기울기는 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)이고, 직선 \(PQ\)는 \(OR\)과 수직이므로 기울기는 \(-\sqrt{2}\)이다.

직선 \(PQ\)의 방정식은 \(y = -\sqrt{2}x + \frac{3}{2}\)이므로, 점 \(T\)의 좌표는 \((\cos(\theta+t), -\sqrt{2}\cos(\theta+t) + \frac{3}{2})\)이다.

\[\overline{ST} = f(t) = \sin(\theta+t) - \left(-\sqrt{2}\cos(\theta+t) + \frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2}\cos t + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin t - \frac{3}{2}\]

\(f'(t) = -\frac{3}{2}\sin t + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos t = 0 \implies \tan t = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies t = \frac{\pi}{6}\)이다.

증감표에 따라 \(\overline{ST}\)의 최댓값은 \(f(\frac{\pi}{6}) = \mathbf{\sqrt{3} - \frac{3}{2}}\)이다. 답: \(\sqrt{3} - \frac{3}{2}\)

2024학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 2] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2024학년도 기출
▶ [문항 2-3] 해설 및 모범 답안
구 단면 단면 직각삼각형

직선 \(l\)과 수직이고 원의 중심 \(O\)를 지나는 평면을 생각하면, 지름이 \(2\)인 반구와 지름이 \(1\)인 반구가 이 평면과 만나서 생기는 단면은 각각 \(\overline{AB}=2\)인 반구와 \(\overline{PQ}=1\)인 반구이다.

평면 \(\alpha\)와 평면 \(\beta\)가 이루는 이면각의 크기를 \(a\)라 하면, 기하학적 대칭성에 의해 \(a = \angle RBH = \angle ORH\)이다.

따라서 \(\cos a = \frac{\overline{RH}}{\overline{OR}}\)이다. 이때 \(\overline{RH} = \frac{1}{2}\)이고, \(\triangle OPQ\)는 한 변의 길이가 \(1\)인 정삼각형이므로 높이 \(\overline{OR} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)이다.

따라서 \(\cos a = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)이다.

원 \(C\)의 넓이는 \(\pi (\frac{1}{2})^2 = \frac{\pi}{4}\)이므로, 구하는 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영의 넓이는

\[\frac{\pi}{4}\cos a = \frac{\pi}{4} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{\pi}{4\sqrt{3}}}\] 답: \(\frac{\pi}{4\sqrt{3}}\)

[문제 2] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
2-1 좌표평면 설정을 통해 \(\cos\theta\)와 \(\sin\theta\)가 만족시키는 등식을 유도하였는가? 20점
연립방정식을 정확히 풀어 \(\cos\theta = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}, \sin\theta = \frac{3-\sqrt{6}}{6}\)을 도출하였는가? 20점
2-2 선분 \(ST\)의 길이를 매개변수 \(t\)에 대한 함수식으로 정확히 나타내었는가? 20점
도함수의 부호 변화를 통해 선분 \(ST\)의 최댓값 \(\sqrt{3} - \frac{3}{2}\)을 구하였는가? 10점
2-3 수직 단면 분석을 통해 두 평면이 이루는 각의 코사인 \(\cos a = \frac{1}{\sqrt{3}}\)을 구하였는가? 20점
원 \(C\)의 넓이에 \(\cos a\)를 곱하여 정사영의 넓이 \(\frac{\pi}{4\sqrt{3}}\)을 도출하였는가? 10점
2024학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 2] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1] 예시답안 (1/2)
2023학년도 기출
오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과
▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안

\(s = x - t\)로 치환하면 \(dt = -ds\)이고, \(t=0\)일 때 \(s=x\), \(t=x\)일 때 \(s=0\)이므로

\[f(x) = \int_x^0 (x-s)s e^s (-1) \, ds = \int_0^x (xs - s^2)e^s \, ds = x \int_0^x s e^s \, ds - \int_0^x s^2 e^s \, ds\]

\(f(x)\)를 \(x\)에 대하여 미분하면

\[f'(x) = \int_0^x s e^s \, ds + x^2 e^x - x^2 e^x = \int_0^x s e^s \, ds\]

한 번 더 미분하면 \(f''(x) = x e^x\)이다. \(e^x > 0\)이므로 \(x < 0\)일 때 \(f''(x) < 0\)이고, \(x > 0\)일 때 \(f''(x) > 0\)이다.

따라서 열린구간 \((-\infty, 0)\)에서 위로 볼록하고, 열린구간 \((0, \infty)\)에서 아래로 볼록하다. \(x=0\)의 좌우에서 \(f''(x)\)의 부호가 바뀌고 \(f(0)=0\)이므로 변곡점의 좌표는 \((0, 0)\)이다.

답: \((-\infty, 0)\)에서 위로 볼록, \((0, \infty)\)에서 아래로 볼록, 변곡점 \((0, 0)\)

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안 (1/2)

부분적분법을 적용하여 \(f(x)\)와 \(f'(x)\)를 계산하면 다음과 같다:

\[\int_0^x s e^s \, ds = [s e^s]_0^x - \int_0^x e^s \, ds = x e^x - e^x + 1 \implies f'(x) = x e^x - e^x + 1\]
\[\int_0^x s^2 e^s \, ds = [s^2 e^s]_0^x - 2\int_0^x s e^s \, ds = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x + 1) = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x - 2\]

따라서 \(f(x) = x(x e^x - e^x + 1) - (x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x - 2) = x e^x - 2e^x + x + 2\)이다.

점 \((0, 0)\)에서 접선의 기울기는 \(f'(0) = 0\)이므로 \(\ell_1: y = 0\)이다.

점 \((2, f(2))\)에서 \(f(2) = 4\), \(f'(2) = e^2 + 1\)이므로 접선 \(\ell_2\)의 방정식은 \(y = (e^2 + 1)x - 2(e^2 - 1)\)이다.

\(f(x) - \ell_2(x) = (x-2)(e^x - e^2) \ge 0\)이므로 곡선 \(y=f(x)\)는 접선 \(\ell_2\)보다 항상 위쪽에 위치한다.

2023학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 1] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2023학년도 기출
▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안 (2/2)
넓이 영역

곡선 \(y=f(x)\)와 \(x\)축 및 \(x=2\)로 둘러싸인 영역의 넓이는 다음과 같다:

\[S_1 + S_2 = \int_0^2 f(x) \, dx = \int_0^2 (x e^x - 2e^x + x + 2) \, dx = \left[ x e^x - 3e^x + \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_0^2 = 9 - e^2\]

\(\ell_2\)의 \(x\)절편은 \(\frac{2(e^2-1)}{e^2+1}\)이므로 직각삼각형 \(S_2\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \left(2 - \frac{2(e^2-1)}{e^2+1}\right) \times 4 = \frac{8}{e^2+1}\)이다.

따라서 구하는 넓이 \(S_1\)은 다음과 같다:

\[S_1 = (S_1 + S_2) - S_2 = 9 - e^2 - \frac{8}{e^2+1} = \frac{(9-e^2)(e^2+1) - 8}{e^2+1} = \mathbf{\frac{-e^4 + 8e^2 + 1}{e^2+1}}\]

답: \(\frac{-e^4 + 8e^2 + 1}{e^2+1}\)

▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안

제시문 조건 양변을 \(x\)에 대해 미분하면:

\[-e^{-x} \int_0^x g'(t) \, dt + e^{-x}g'(x) = e^{-x}g'(x) - \sin(2\pi x) - 2\pi x \cos(2\pi x)\]

\(g(0)=0\)이므로 \(-e^{-x}g(x) = -\sin(2\pi x) - 2\pi x \cos(2\pi x) \implies g(x) = e^x [\sin(2\pi x) + 2\pi x \cos(2\pi x)]\)이다.

모든 양의 실수 \(x\)에 대해 \(\sin(2\pi x) \le 1, \cos(2\pi x) \le 1\)이므로 \(g(x) \le e^x(1 + 2\pi x)\)이다. 따라서

\[\int_0^{2023} g(x) \, dx \le \int_0^{2023} e^x(1 + 2\pi x) \, dx = [e^x]_0^{2023} + 2\pi [x e^x - e^x]_0^{2023} = 4046\pi e^{2023} + (1-2\pi)(e^{2023}-1)\]

\(1 - 2\pi < 0\)이고 \(e^{2023}-1 > 0\)이므로 \((1-2\pi)(e^{2023}-1) < 0\)이다. 그러므로 \(\int_0^{2023} g(x) \, dx < 4046\pi e^{2023}\)이 성립한다. [증명 완료]

[문제 1] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
1-1 이계도함수 \(f''(x) = x e^x\)를 정확히 유도하였는가? 10점
\(f''(x)\)의 부호로부터 오목·볼록 구간을 판정하고 변곡점 \((0, 0)\)을 구하였는가? 10점
1-2 접선의 방정식 \(\ell_1: y=0, \ell_2: y=(e^2+1)x - 2(e^2-1)\)을 정확히 구하였는가? 10점
곡선 \(y=f(x)\)가 항상 접선 \(\ell_2\)보다 위쪽에 위치함을 논증하였는가? 10점
정적분 계산을 통해 넓이 \(S_1 = \frac{-e^4 + 8e^2 + 1}{e^2+1}\)을 도출하였는가? 20점
1-3 양변 미분을 통해 함수 \(g(x) = e^x [\sin(2\pi x) + 2\pi x \cos(2\pi x)]\)를 구하였는가? 20점
삼각함수의 상계를 이용하여 적분 부등식을 엄밀하게 증명하였는가? 20점
2023학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 1] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2] 예시답안 (1/2)
2023학년도 기출
오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과
▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안
정사영 삼각형

\(\overline{AP} = t\) \(\left(0 \le t \le \frac{1}{2}\right)\)라 두면, 직각삼각형 피타고라스 정리에 의해

\[\overline{PB} = \sqrt{t^2 + 1}, \quad \overline{PH} = \sqrt{(1-t)^2 + 1} = \sqrt{t^2 - 2t + 2}, \quad \overline{BH} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\]

\(\angle BPH = \alpha\)라 하면 코사인법칙에 의해

\[\cos\alpha = \frac{\overline{PB}^2 + \overline{PH}^2 - \overline{BH}^2}{2\overline{PB}\cdot\overline{PH}} = \frac{(t^2+1) + (t^2-2t+2) - 3}{2\sqrt{t^2+1}\sqrt{t^2-2t+2}} = \frac{t^2-t}{\sqrt{t^2+1}\sqrt{t^2-2t+2}}\]

\(\triangle PBH\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}\overline{PB}\cdot\overline{PH}\sin\alpha = \frac{1}{2}\sqrt{(t^2+1)(t^2-2t+2) - (t^2-t)^2} = \sqrt{\frac{t^2-t+1}{2}}\)이다.

\(\sqrt{\frac{t^2-t+1}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\)에서 \(t^2 - t + 1 = \frac{7}{8} \implies 8t^2 - 8t + 1 = 0\)이다. \(0 \le t \le \frac{1}{2}\)이므로 \(t = \frac{2-\sqrt{2}}{4}\)이다.

점 \(P, B, H\)의 평면 \(EFGH\) 위로의 정사영을 각각 \(P', B', H'\)라 하면, \(\overline{P'H'} = \overline{PD} = 1 - t\), 밑변에 수직인 높이는 \(1\)이다.

따라서 정사영의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times 1 \times (1-t) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{2-\sqrt{2}}{4}\right) = \mathbf{\frac{2+\sqrt{2}}{8}}\)이다. 답: \(\frac{2+\sqrt{2}}{8}\)

▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안

\(A_{n+1} - A_n\)은 \(x, y, z\)가 삼각형의 세 변의 길이가 되면서 세 수 중 최댓값이 \(n+1\)인 순서쌍 \((x, y, z)\)의 개수와 같다.

(1) 세 수 중 하나만 \(n+1\)인 경우 (예: \(x = n+1, y \le n, z \le n\)):
삼각형 결정조건 \(y + z > n + 1 \implies z > n + 1 - y\)이다. \(y=1\)이면 가능한 \(z\)가 없으며, \(2 \le y \le n\)인 각 \(y\)에 대해 \(z\)는 \(n - (n+1-y) = y-1\)개 존재한다. 따라서 경우의 수는 \(\sum_{y=2}^n (y-1) = \frac{n(n-1)}{2}\)이고, 세 변의 대칭성에 의해 \(3 \times \frac{n(n-1)}{2}\)가지이다.

(2) 두 수가 \(n+1\)인 경우 (예: \(x = y = n+1, z \le n\)):
\(z + (n+1) > n+1\)이 항상 성립하므로 \(z\)는 \(1\)부터 \(n\)까지 \(n\)가지가 가능하다. 대칭성에 의해 \(3 \times n = 3n\)가지이다.

(3) 세 수가 모두 \(n+1\)인 경우: \((n+1, n+1, n+1)\)의 \(1\)가지이다.

따라서 \(A_{n+1} - A_n = \frac{3n(n-1)}{2} + 3n + 1 = \mathbf{\frac{3n^2 + 3n + 2}{2}}\)이다. 답: \(\frac{3n^2 + 3n + 2}{2}\)

2023학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 2] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2023학년도 기출
▶ [문항 2-3] 해설 및 모범 답안
f(x) 최솟값 그래프

이항계수의 대칭성 \({}_nC_k = {}_nC_{n-k}\)에 의해 다음과 같다:

\[\sum_{k=0}^{n/3} {}_nC_k = \sum_{k=2n/3}^n {}_nC_k\]

모든 \(x > 1\)에 대하여 \(k \ge \frac{2n}{3}\)일 때 \(x^{k - 2n/3} \ge 1\)이 성립하므로

\[\sum_{k=2n/3}^n {}_nC_k \le \sum_{k=2n/3}^n {}_nC_k x^{k - 2n/3} \le \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^{k - 2n/3} = x^{-2n/3} \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^k = x^{-2n/3}(1+x)^n = [x^{-2/3}(1+x)]^n\]

함수 \(f(x) = x^{-2/3}(x+1)\)의 도함수는 \(f'(x) = -\frac{2}{3}x^{-5/3}(x+1) + x^{-2/3} = \frac{1}{3}x^{-5/3}(x-2)\)이므로 \(x=2\)에서 극소이자 최솟값 \(f(2) = 2^{-2/3}(3) = \frac{3}{\sqrt[3]{4}} \approx 1.8899 < 1.9\)를 갖는다.

따라서 \(\sum_{k=0}^{n/3} {}_nC_k \le [f(2)]^n < 1.9^n\)이 성립한다. [증명 완료]

[문제 2] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
2-1 코사인법칙과 넓이 공식을 통해 \(\triangle BPH\)의 넓이 식을 세우고 \(t = \frac{2-\sqrt{2}}{4}\)를 구했는가? 20점
정사영의 성질을 이용하여 정사영의 넓이 \(\frac{2+\sqrt{2}}{8}\)를 정확히 구했는가? 10점
2-2 \(A_{n+1} - A_n\)의 의미를 최댓값 기준으로 나누어 경우의 수를 체계적으로 분류하였는가? 20점
각 경우를 합산하여 \(A_{n+1} - A_n = \frac{3n^2+3n+2}{2}\)를 정확하게 유도하였는가? 10점
2-3 이항계수의 대칭성 및 이항정리를 통해 부분합과 \([f(x)]^n\) 사이의 부등식을 도출하였는가? 20점
함수 \(f(x)\)의 최솟값 \(f(2) < 1.9\)를 대입하여 부등식 \(\sum_{k=0}^{n/3} {}_nC_k < 1.9^n\)을 증명하였는가? 20점
2023학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 2] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1] 예시답안 (1/2)
2022학년도 기출
오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과
▶ [문항 1-1] 해설 및 모범 답안
현과 호의 넓이

반지름이 \(1\)인 원의 중심 \(O\)에서 현 \(PQ\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하자. 중심각이 \(t\)이므로 직각삼각형에서

\[f(t) = 2\overline{QH} = 2\sin\frac{t}{2}\]

도형의 넓이 \(g(t)\)는 부채꼴 \(OPQ\)의 넓이에서 삼각형 \(OPQ\)의 넓이를 뺀 것이므로

\[g(t) = \frac{1}{2} \times 1^2 \times t - \frac{1}{2} \times 1^2 \times \sin t = \frac{1}{2}(t - \sin t)\]

따라서 구하는 극한값은 다음과 같다:

\[\lim_{t \to 0^+} \frac{g(t)}{f(t)} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\frac{1}{2}(t-\sin t)}{2\sin\frac{t}{2}} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2} \times \frac{\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}} \times \left(1 - \frac{\sin t}{t}\right) = \frac{1}{2} \times 1 \times (1-1) = \mathbf{0}\]

답: \(0\)

▶ [문항 1-2] 해설 및 모범 답안
정적분 급수 변환

[문항 1-1]에서 구한 현의 길이 공식에 의해 \(\overline{P_0 P_k} = f\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\) \((k=1, 2, \dots, n-1)\)이다.

\(f(2\pi) = 2\sin\pi = 0\)이므로 무한급수를 정적분으로 변환하면:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n-1} \overline{P_0 P_k}}{n} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\frac{1}{n} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) \, dt\]

\(f(t) = 2\sin\frac{t}{2}\)이므로 적분을 계산하면

\[\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} 2\sin\frac{t}{2} \, dt = \frac{1}{\pi} \left[ -2\cos\frac{t}{2} \right]_0^{2\pi} = \frac{1}{\pi} (2 - (-2)) = \mathbf{\frac{4}{\pi}}\]

답: \(\frac{4}{\pi}\)

2022학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 1] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 1] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2022학년도 기출
▶ [문항 1-3] 해설 및 모범 답안
넓이 제곱의 합

\(S_k = g\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\)이고 \(g(2\pi) = \pi\)이므로, 무한급수를 정적분으로 변환하면 다음과 같다:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n-1} S_k^2}{n} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \left(g\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\right)^2 \frac{1}{n} = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} (g(t))^2 \, dt\]

\(g(t) = \frac{1}{2}(t - \sin t)\)이므로 피적분함수의 제곱을 전개하면

\[\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1}{4}(t-\sin t)^2 \, dt = \frac{1}{8\pi} \int_0^{2\pi} (t^2 - 2t\sin t + \sin^2 t) \, dt\]

부분적분법에 의해 \(\int_0^{2\pi} t^2 dt = \frac{8\pi^3}{3}\), \(\int_0^{2\pi} -2t\sin t dt = 4\pi\), \(\int_0^{2\pi} \sin^2 t dt = \pi\)이므로

\[\frac{1}{8\pi} \left( \frac{8\pi^3}{3} + 4\pi + \pi \right) = \frac{1}{8\pi} \left( \frac{8\pi^3}{3} + 5\pi \right) = \mathbf{\frac{\pi^2}{3} + \frac{5}{8}}\]

답: \(\frac{\pi^2}{3} + \frac{5}{8}\)

[문제 1] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
1-1 현의 길이 \(f(t)=2\sin(t/2)\)와 활꼴의 넓이 \(g(t)=\frac{1}{2}(t-\sin t)\)를 올바르게 구하였는가? 20점
삼각함수의 극한 성질을 적용하여 극한값 \(0\)을 정확히 도출하였는가? 10점
1-2 급수의 합을 정적분 \(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)dt\)로 바르게 변환하였는가? 20점
삼각함수의 적분을 정확히 계산하여 극한값 \(\frac{4}{\pi}\)를 구하였는가? 10점
1-3 넓이의 제곱의 합을 정적분 \(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} (g(t))^2 dt\)로 올바르게 변환하였는가? 20점
부분적분법을 적용하여 정적분 값 \(\frac{\pi^2}{3} + \frac{5}{8}\)을 완벽히 계산하였는가? 20점
2022학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 1] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2] 예시답안 (1/2)
2022학년도 기출
오후1 전형 기계공학 ∙ 신소재공학 ∙ 전기공학 ∙ 산업공학 ∙ 자연과학대학 ∙ 수학교육과
▶ [문항 2-1] 해설 및 모범 답안

확률변수 \(X\)를 우승팀이 결정될 때까지 실시한 시합 횟수라 하면 \(X\)는 \(3, 4, 5\)의 값을 갖는다.

∙ \(X = 3\)인 경우: AAA 또는 BBB \(\implies P(X=3) = p^3 + (1-p)^3\)
∙ \(X = 4\)인 경우: 3차전까지 2승 1패 후 4차전 승리 \(\implies P(X=4) = {}_3C_2 p^2(1-p)p + {}_3C_2 p(1-p)^2(1-p) = 3p^3(1-p) + 3p(1-p)^3\)
∙ \(X = 5\)인 경우: 4차전까지 2승 2패 후 5차전 승리 \(\implies P(X=5) = {}_4C_2 p^2(1-p)^2 p + {}_4C_2 p^2(1-p)^2(1-p) = 6p^2(1-p)^2\)

기댓값의 정의에 따라 계산하면 다음과 같다:

\[E(X) = 3[p^3 + (1-p)^3] + 4[3p^3(1-p) + 3p(1-p)^3] + 5[6p^2(1-p)^2]\]
\[E(X) = \mathbf{6p^4 - 12p^3 + 3p^2 + 3p + 3}\]

답: \(6p^4 - 12p^3 + 3p^2 + 3p + 3\)

▶ [문항 2-2] 해설 및 모범 답안
타원과 외접직사각형

장축 6, 단축 4인 타원을 좌표평면에 두면 방정식은 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)이다.

기울기가 \(m\)인 접선의 방정식은 \(y = mx \pm \sqrt{9m^2+4}\)이고, 이에 수직인 접선의 방정식은 \(y = -\frac{1}{m}x \pm \sqrt{\frac{9}{m^2}+4}\)이다.

평행한 두 접선 사이의 거리를 각각 \(a, b\)라 하면:

\[a = \frac{2\sqrt{9m^2+4}}{\sqrt{m^2+1}}, \quad b = \frac{2\sqrt{9+4m^2}}{\sqrt{m^2+1}}\]

두 식의 제곱의 합은 \(a^2 + b^2 = \frac{4(9m^2+4+9+4m^2)}{m^2+1} = \frac{4(13m^2+13)}{m^2+1} = 52\)로 \(m\)에 관계없이 항상 일정하다.

직사각형의 한 변의 길이가 \(2\sqrt{5}\)이므로 \(a^2 = 20\)이라 하면 \(b^2 = 52 - 20 = 32 \implies b = 4\sqrt{2}\)이다.

따라서 직사각형의 넓이는 \(ab = 2\sqrt{5} \times 4\sqrt{2} = \mathbf{8\sqrt{10}}\)이다. 답: \(8\sqrt{10}\)

2022학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 2] 해설
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한양대학교 자연계열 (오후1) - [문제 2] 예시답안 및 채점기준 (2/2)
2022학년도 기출
▶ [문항 2-3] 해설 및 모범 답안

\(f(x)\)의 한 부정적분을 \(F(x)\)라 하자. 구간 \([-a, a]\)를 \([-a, 0]\)과 \([0, a]\)로 나누어 부분적분을 적용하면:

\[\int_0^a (a-x)f'(x) \, dx = [(a-x)f(x)]_0^a + \int_0^a f(x) \, dx = F(a) - F(0) - af(0)\]
\[\int_{-a}^0 (a+x)f'(x) \, dx = [(a+x)f(x)]_{-a}^0 - \int_{-a}^0 f(x) \, dx = af(0) - (F(0) - F(-a)) = F(-a) - F(0) + af(0)\]

두 식을 더하면 다음과 같다:

\[\int_{-a}^a (a-|x|)f'(x) \, dx = F(a) + F(-a) - 2F(0) = 0\]

따라서 모든 \(x \ge 0\)에 대해 \(F(x) + F(-x) = 2F(0)\)이 성립한다. 양변을 \(x\)에 대해 미분하면:

\[F'(x) - F'(-x) = 0 \implies f(x) = f(-x) \quad (\forall x > 0)\]

\(x = 0\)일 때는 자명하게 \(f(0) = f(-0)\)이고, \(x < 0\)일 때도 대칭성에 의해 \(f(x) = f(-x)\)가 성립한다.

그러므로 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x) = f(-x)\)가 성립한다. [증명 완료]

[문제 2] 채점 기준표
하위 문항 세부 평가 요소 및 채점 기준 배점
2-1 시합 횟수별 경우의 수와 각각의 확률을 체계적으로 분류하였는가? 15점
기댓값 공식에 대입하여 \(6p^4-12p^3+3p^2+3p+3\)을 정확히 계산하였는가? 15점
2-2 타원의 접선 방정식을 구하고 평행선 사이의 거리 공식을 바르게 수립하였는가? 15점
\(a^2+b^2=52\)의 불변성을 파악하고 직사각형의 넓이 \(8\sqrt{10}\)을 정확히 도출했는가? 15점
2-3 구간별 부분적분을 적용하여 부정적분에 관한 관계식 \(F(x)+F(-x)=2F(0)\)을 유도했는가? 20점
양변 미분을 통해 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f(x)=f(-x)\)가 성립함을 엄밀히 증명하였는가? 20점
2022학년도 한양대학교 자연계열 (오후1: 기계·신소재·전기·산업·자연대·수학교육) 수리논술 [문제 2] 해설
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