2027학년도 한양대학교 수리논술 해설집 (자연계열 오전 2개년)

QUESTIO MATH ESSAY

5개년 통합 기출 정밀 해설집 (자연계열 오전)

한양대학교
(2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 수록) 5개년 기출 정밀 해설집

QUESTIO 수리논술 입시연구소

2027학년도 수험생용

한양대학교 자연계열 (오전) - 2026학년도 해설

2026학년도 기출

📌 [2026학년도 문제 1-1] 해설

\(r = \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{x} - \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}}\right)\)이므로 \(f(x) = \frac{\pi}{4}\left(x + \frac{1}{x} - \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}}\right)^2\), \(g(x) = \frac{\pi}{4}\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\)이다.
극값을 유리화하여 계산하면 \(\lim_{x \to \infty} f(x)g(x) = \frac{\pi^2}{16}\)을 얻는다.

📌 [2026학년도 문제 1-2] 해설

접선 \(y = \sqrt{m}x \pm \sqrt{a^2 m + b^2}\)의 절편을 구하여 넓이 \(S(m)\)을 계산하고 \(S'(m)=0\)인 점에서 최댓값을 산출한다.

문항	채점 세부 기준 및 평가 요소	배점
1-1	\(f(x), g(x)\) 식 작성 및 극한값 \(\frac{\pi^2}{16}\) 정확히 유도	15점
1-2	접선 및 넓이 식 도출, 몫의 미분법 최댓값 구함	15점
1-3	공간벡터 도형과 점과 직선 거리 공식 활용	20점

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 1] 상세해설

2025학년도 기출

📌 [문제 1-1] 해설

\(\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = \frac{3-1}{2} = 1\). \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 1 \implies 3x^2 = 4 \implies c = \frac{2\sqrt{3}}{3} \in (0, 2)\).

📌 [문제 1-2] 해설

보조함수 \(F(x) = e^{x^2}(g(x)-1)\)을 설정하면 \(F(0)=-1, F(1)=e(1)=e>0\)이므로 롤의 정리/사잇값 정리에 의해 \(F'(c)=0\)인 \(c \in (0, 1)\)이 존재한다.

📌 [문제 1-3] 해설

\(h'(x) = \frac{2e^x}{(e^x+1)^2} > 0\). \(0 < h'(x) \le \frac{1}{2} < 1\)이므로 평균값 정리에 의해 \(|h(x_1)-h(x_2)| = h'(c)|x_1-x_2| < |x_1-x_2|\).

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 1] 채점기준표

2025학년도 기출

문항	채점 세부 기준 및 평가 요소	배점
1-1	평균값 정리 적용 및 \(c=\frac{2\sqrt{3}}{3}\) 도출	15점
1-2	보조함수 \(F(x)\) 설정 및 사잇값/롤의 정리 서술	15점
1-3	\(h'(x)\) 범위 성립 및 부등식 엄밀한 증명	20점

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 2] 상세해설

2025학년도 기출

📌 [문제 2-1] 해설

\(S = \int_{1}^{3} -(x^2-4x+3) dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x\right]_{1}^{3} = \frac{4}{3}\).

📌 [문제 2-2] 해설

\(f(t) = (t-1)^2 + (t^2-2)^2\), \(f'(t) = 2(2t^3 - 3t - 1) = 0 \implies t=-1\) 또는 \(t=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\). 극솟값 계산.

📌 [문제 2-3] 해설

\(L = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{9\cos^4 t \sin^2 t + 9\sin^4 t \cos^2 t} dt = 3 \int_{0}^{\pi/2} \sin t \cos t dt = \frac{3}{2}\).

한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 2] 채점기준표

2025학년도 기출

문항	채점 세부 기준 및 평가 요소	배점
2-1	정적분 구간 설정 및 넓이 \(\frac{4}{3}\) 명확히 구함	15점
2-2	거리 제곱 미분 및 극소 최솟값 정확히 계산	15점
2-3	매개변수 미분 및 적분값 \(\frac{3}{2}\) 계산 완료	20점

한양대학교 자연계열 (오전) [문항 1] 정밀해설

2024학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

원 내접삼각형의 변과 각의 관계(사인정리, 코사인정리)를 이해하고, 미분법 및 산술-기하 평균 부등식을 활용하여 최댓값을 논리적으로 산출한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

1-1 사인정리에 의해 \(a = 2R \sin\theta\), 넓이 \(S = \frac{1}{2}bc \sin\theta = \frac{1}{2}a h\) 이므로, 높이 \(h = \frac{bc}{2R}\) 이다.

1-2 \(R=1, b+c=2\) 이므로 산술-기하 평균에 의해 \(bc \le 1\) 이다. 넓이 \(S = \frac{1}{2}bc \sin\theta \le \frac{1}{2}\) 이며, 최댓값은 \(\frac{1}{2}\) (\(\theta = \frac{\pi}{2}\)) 이다.

1-3 \(\theta = \frac{\pi}{3}, R=1\) 일 때 코사인정리로 \(a=\sqrt{3}\) 이고 \((b+c)^2 \ge 4bc \implies bc \le 3\) 이므로 \(h\)의 최댓값은 \(\frac{3}{2}\) 이다.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[1-1] 사인정리와 넓이 공식을 결합하여 \(h = \frac{bc}{2R}\) 관계식을 바르게 유도함	15점
[1-2] 산술-기하 평균으로 넓이 최댓값 \(\frac{1}{2}\) 및 \(\theta = \frac{\pi}{2}\)를 구함	15점
[1-3] 코사인정리와 변의 부등식으로 높이 \(h\)의 최댓값 \(\frac{3}{2}\)을 명확히 유도함	20점

한양대학교 자연계열 (오전) [문항 2] 정밀해설

2024학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

비복원추출 환경에서 최댓값 확률변수의 확률질량함수를 조합(Combination)으로 구성하고, 기댓값 성질과 하키스틱 정리를 활용하여 \(E(Y_m)\)을 증명한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

2-1 \(n=5, m=3\) 일 때 확률분포를 구하면 \(P(Y_3=3)=1/10, P(Y_3=4)=3/10, P(Y_3=5)=6/10\) 이므로 \(E(Y_3) = 4.5\) (또는 \(9/2\)) 이다.

2-2 \(n\)개 공 중 \(m\)개를 추출할 때 \(k\)가 최댓값이 되는 경우의 수는 \(\binom{k-1}{m-1}\) 이므로 \(P(Y_m=k) = \frac{\binom{k-1}{m-1}}{\binom{n}{m}}\) 이다.

2-3 \(k\binom{k-1}{m-1} = m\binom{k}{m}\) 및 하키스틱 정리 \(\sum_{k=m}^n \binom{k}{m} = \binom{n+1}{m+1}\)을 적용하여 \(E(Y_m) = \frac{m(n+1)}{m+1}\)을 증명함.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[2-1] 확률분포표를 구하고 기댓값 \(4.5\)를 바르게 산출함	15점
[2-2] 조합을 이용하여 확률질량함수 \(P(Y_m=k) = \frac{\binom{k-1}{m-1}}{\binom{n}{m}}\)을 유도함	15점
[2-3] 하키스틱 정리로 \(E(Y_m) = \frac{m(n+1)}{m+1}\)을 명확히 증명함	20점

한양대학교 자연계열 (오전) [문항 1] 정밀해설

2023학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

포물선의 접선과 초점의 geometric 성질을 유도하고 이산/연속확률변수의 확률분포 및 기댓값, 분산을 다룬다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

1-1 접선 \(y_1 y = 2p(x+x_1)\)에서 \(x\)절편 \(T(-x_0, 0)\) 이다. \(\overline{PT} = \sqrt{(2x_0)^2 + y_0^2} = x_0+p = \overline{PF}\) 증명 완료.

1-2 \(p=1, P(4, 4)\)에서 접선 \(y = \frac{1}{2}x + 2\), 준선 \(x=-1\), \(x\)절편 \((-4, 0)\) 삼각형 넓이 \(S = \frac{25}{4}\) 이다.

1-3 초점을 지나는 직선과 포물선의 연립으로 \(\frac{1}{\overline{AF}} + \frac{1}{\overline{BF}} = \frac{1}{p}\) 조화평균 관계 증명.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[1-1] 접선 \(T(-x_0, 0)\)을 구하고 \(\overline{PT} = \overline{PF} = x_0+p\)임을 증명함	15점
[1-2] 점 \(P(4, 4)\)에서의 접선 \(y = \frac{1}{2}x + 2\)와 준선 \(x=-1\)에 의해 삼각형 넓이 \(\frac{25}{4}\)를 산출함	15점
[1-3] 초점을 지나는 직선의 이차방정식을 세우고 \(\frac{1}{\overline{AF}}+\frac{1}{\overline{BF}}=\frac{1}{p}\)을 증명함	20점

한양대학교 자연계열 (오전) [문항 2] 정밀해설

2023학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

포물선의 성질 증명, 확률변수의 변환 및 분산의 성질을 논리적으로 평가한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

2-1 확률 총합 \(\sum c k = c \frac{n(n+1)}{2} = 1 \implies c = \frac{2}{n(n+1)}\), 기댓값 \(E(X) = \frac{2n+1}{3}\) 유도.

2-2 연속확률변수 \(\int_0^2 k y(2-y) dy = \frac{4}{3}k = 1 \implies k = \frac{3}{4}\), \(E(Y)=1, V(Y)=\frac{1}{5}\) 산출.

2-3 \(V(Z) = 4 V(X) = 48 \implies V(X) = 12\) 이며 \(V(X) = \frac{(n-1)(n+2)}{18} = 12 \implies n=11\) 유도.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[2-1] \(\sum P(X=k)=1\)로 \(c = \frac{2}{n(n+1)}\) 및 \(E(X) = \frac{2n+1}{3}\)을 구함	15점
[2-2] \(\int_0^2 ky(2-y)dy = 1\)로 \(k = \frac{3}{4}\), \(E(Y)=1\), \(V(Y)=\frac{1}{5}\)을 산출함	15점
[2-3] \(V(Z) = 4V(X) = 48 \implies V(X) = 12\) 이고 \(n=11\)을 바르게 유도함	20점

한양대학교 자연계열 (오전) [문항 1] 정밀해설

2022학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

타원의 접선의 성질, 삼각형 넓이의 최솟값, 정적분으로 정의된 함수의 미분과 극값, 변곡점을 다룬다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

1-1 접선 \(\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1\) 및 절편 \(Q\left(\frac{a^2}{x_0}, 0\right), R\left(0, \frac{b^2}{y_0}\right)\) 넓이 \(S = \frac{a^2 b^2}{2 x_0 y_0}\) 유도.

1-2 \(a=2, b=1\) 대입시 \(S = \frac{2}{x_0 y_0} \ge 2\), \(x_0=\sqrt{2}, y_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\) 일 때 최솟값 \(2\) 산출.

1-3 원점과 접선 사이의 거리가 \(r\)임을 이용하여 \(\frac{1}{r^2} = \frac{x_0^2}{a^4} + \frac{y_0^2}{b^4}\) 관계 증명.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[1-1] 타원 접선 \(\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} = 1\) 및 절편 \(Q\left(\frac{a^2}{x_0}, 0\right), R\left(0, \frac{b^2}{y_0}\right)\) 넓이 \(S = \frac{a^2 b^2}{2 x_0 y_0}\) 유도	15점
[1-2] 코시-슈바르츠 부등식으로 \(x_0 y_0 \le 1\) 일 때 넓이 최솟값 \(2\) 및 점 \(P(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})\) 산출	15점
[1-3] 접선과 원의 중심 사이 거리 공식으로 원 접 조건 \(\frac{a^4}{x_0^2} + \frac{b^4}{y_0^2} = r^2\) 증명	20점

한양대학교 자연계열 (오전) [문항 2] 정밀해설

2022학년도 해설

💡 출제의도 및 핵심 개념

음함수 미분과 코시-슈바르츠 부등식, 정적분의 기본정리를 평가한다.

✏️ 모범 답안 및 상세 풀이

2-1 \(f'(x) = (x-1)e^x = 0 \implies x=1\)에서 극솟값 \(f(1) = 1-e\) 계산.

2-2 \(f''(x) = x e^x = 0 \implies (0, 0)\) 변곡점, 구간 \([0, 2]\)에서 최댓값 \(e^2-1\), 최솟값 \(1-e\) 산출.

2-3 급수 \(\sum f(k/n)(1/n) \to \int_0^1 (x-1)e^x dx = [ (x-2)e^x ]_0^1 = 2-e\) 유도.

📊 세부 채점기준표 (50점 만점)

평가 항목 및 채점 기준	배점
[2-1] \(f'(x) = (x-1)e^x = 0 \implies x=1\)에서 극솟값 \(f(1) = 1 - e\) 바르게 산출	15점
[2-2] \(f''(x) = x e^x = 0 \implies x=0\) 변곡점 \((0, 0)\) 및 최댓값 \(f(2) = e^2 - 1\), 최솟값 \(1-e\) 유도	15점
[2-3] 정적분 \(\int_0^1 (x-1)e^x dx = 2 - e\) 계산 완료	20점