한양대학교 자연계열 (오전) - [문제 2] 상세해설
2026학년도 기출
📌 [문제 2-1] 해설 및 모범 답안
함수 \(F(x) = \int_0^x f(t) dt\)라 하자. \(s(t) = e^t - \cos t\)라 두면 열린구간 \((0, 2\pi)\)에서 \(s(t) \ge 0\)이고 \(s'(t) = e^t + \sin t > 0\)이므로 \((s(t))^{2026}\)은 단조 증가한다.\((0, \pi)\)에서 \((s(t+\pi))^{2026} > (s(t))^{2026}\)이고 \(\sin(t+\pi) = -\sin t\)이므로
\(F(2\pi) = \int_0^{2\pi} f(t) dt = \int_0^\pi [(s(t+\pi))^{2026} - (s(t))^{2026}]\sin t dt > 0 = F(0)\)이다.
\(x < 0\)일 때 \(F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^{-x} \{-f(-s)\} ds = \int_0^{-x} f(s) ds = F(-x)\)이므로 \(F(x)\)는 우함수이다.
\(h(x) = \int_a^x f(t) dt = F(x) - F(a)\)이고 \(h(a) = 0\)이다.함수 \(g(x) = |h(x)|\)가 실수 전체에서 미분가능하려면 곡선 \(y = F(x)\)와 직선 \(y = F(a)\)의 모든 교점에서 \(F'(x) = f(x) = 0\)이 성립해야 한다.
함수 \(y = F(x)\)의 그래프 개형에 의해 접선의 기울기가 \(0\)이면서 극값이 일치하여 꺾임점 없이 부드럽게 접하는 \(a\)의 값은 \(-2\pi, -\pi, \pi, 2\pi\)이다.
[답] \(a = -2\pi, -\pi, \pi, 2\pi\)
📌 [문제 2-2] 해설 및 모범 답안
연립방정식 \(y = a(x-1)\), \(x^2 + y^2 = 1\)을 풀면 교점의 좌표는 \(P(1, 0)\), \(Q\left(\frac{a^2-1}{a^2+1}, -\frac{2a}{a^2+1}\right)\)이다.선분 \(\overline{PQ}\)의 길이는 \(\overline{PQ} = \frac{2}{\sqrt{a^2+1}}\)이고, 점 \(P\)와 직선 \(L': y = a(x-1) + k\) 사이의 거리는 \(d = \frac{k}{\sqrt{a^2+1}}\)이다.
직사각형 \(PBCQ\)의 넓이는 \(d \times \overline{PQ} = \frac{2k}{a^2+1}\)이다.
또한 두 점 \(R, S\)의 \(x\)좌표의 차를 \(d_x = \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2}\)라 하면, \(\overline{RS} = d_x \sqrt{1+a^2} = \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{\sqrt{1+a^2}}\)이다.
직사각형 \(ARSD\)의 넓이는 \(d \times \overline{RS} = k \cdot \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2}\)이다.
둘러싸인 영역의 넓이 \(S(k)\)는 직사각형 \(PBCQ\)를 포함하고 직사각형 \(ARSD\)의 내부에 존재하므로
\(\frac{2k}{a^2+1} \le S(k) \le k \cdot \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2} \implies \frac{2}{a^2+1} \le \frac{S(k)}{k} \le \frac{2\sqrt{1+a^2-(a-k)^2}}{1+a^2}\)이다.
조임정리에 의해 \(k \to 0^+\)일 때 극한값을 취하면 \(\lim_{k \to 0^+} \frac{S(k)}{k} = \frac{2}{1+a^2}\)이다.
[답] \(\frac{2}{1+a^2}\)
