\(A(1, 0)\), \(P(\cos\theta, \sin\theta)\). 기울기 \(m_1 = \frac{\sin\theta - 0}{\cos\theta - 1} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta - 1}\).
직선 \(AP\): \(y = \frac{\sin\theta}{\cos\theta - 1}(x - 1)\).
\(x = 0\) 대입 시 \(Q\)의 \(y\)좌표: \(y_Q = \frac{-\sin\theta}{\cos\theta - 1} = \frac{\sin\theta}{1 - \cos\theta}\).
반각공식 적용: \(\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} = \frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\sin^2(\theta/2)} = \frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)} = \cot\left(\frac{\theta}{2}\right)\).
답: 직선 \(y = \frac{\sin\theta}{\cos\theta-1}(x-1)\), \(y_Q = \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\) (또는 \(\cot\frac{\theta}{2}\))

\(B(0, 1)\), \(P(\cos\theta, \sin\theta)\). 기울기 \(m_2 = \frac{\sin\theta - 1}{\cos\theta - 0} = \frac{\sin\theta - 1}{\cos\theta}\).
직선 \(BP\): \(y - 1 = \frac{\sin\theta - 1}{\cos\theta} x \implies y = \frac{\sin\theta - 1}{\cos\theta} x + 1\).
\(y = 0\) 대입 시 \(R\)의 \(x\)좌표: \(\frac{\sin\theta - 1}{\cos\theta} x = -1 \implies x_R = \frac{\cos\theta}{1 - \sin\theta}\).
반각 변형: \(\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta} = \cot\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right)\) (또는 \(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\)).
답: 직선 \(y = \frac{\sin\theta-1}{\cos\theta}x + 1\), \(x_R = \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}\)

\(\overline{OQ} = \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\), \(\overline{OR} = \frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}\).
대칭성에 의해 \(\theta = \frac{\pi}{4}\)에서 최솟값을 가짐을 추론할 수 있다.
\(\theta = \frac{\pi}{4}\)일 때: \(\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
\(\overline{OQ} = \frac{\sqrt{2}/2}{1 - \sqrt{2}/2} = \frac{\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{2} = \sqrt{2} + 1\).
동일하게 \(\overline{OR} = \sqrt{2} + 1\). 따라서 \(L(\pi/4) = 2(\sqrt{2} + 1) = 2\sqrt{2} + 2\).
도함수 \(L'(\theta) = 0\)의 유일해 검증을 거치면 최솟값은 \(2\sqrt{2} + 2\)이다.
답: \(\theta = \frac{\pi}{4}\)일 때 최솟값 \(2\sqrt{2} + 2\)

\(f(x) = x^3 - 3x \implies f'(x) = 3x^2 - 3\).
점 \(P(t, t^3-3t)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(t) = 3t^2 - 3\).
접선의 방정식: \(y - (t^3 - 3t) = (3t^2 - 3)(x - t)\).
전개하여 정리하면: \(y = (3t^2 - 3)x - 3t^3 + 3t + t^3 - 3t \implies y = (3t^2 - 3)x - 2t^3\).
답: \(y = (3t^2 - 3)x - 2t^3\)

곡선과 접선의 연립: \(x^3 - 3x = (3t^2 - 3)x - 2t^3 \implies x^3 - 3t^2 x + 2t^3 = 0\).
\(x = t\)에서 접하므로 \((x-t)^2\)을 인수로 갖는다: \((x - t)^2(x + 2t) = 0\).
따라서 점 \(Q\)의 \(x\)좌표는 \(x = -2t\)이다.
점 \(P\)와 \(Q\)의 \(x\)좌표 차이는 \(|t - (-2t)| = 3t\).
기울기가 \(m = 3t^2 - 3\)이므로 선분 \(PQ\)의 길이는:
\(\overline{PQ} = 3t \sqrt{1 + m^2} = 3t \sqrt{1 + (3t^2 - 3)^2}\).
답: \(Q\)의 \(x\)좌표는 \(-2t\), \(\overline{PQ} = 3t\sqrt{1 + (3t^2 - 3)^2}\)

삼차곡선과 접선이 둘러싼 넓이 공식 또는 정적분:
\(S(t) = \int_{-2t}^t \left( (3t^2-3)x - 2t^3 - (x^3-3x) \right)\,dx = \int_{-2t}^t -(x-t)^2(x+2t)\,dx\).
공식 적용: \(S(t) = \frac{1}{12}|a|(\beta - \alpha)^4 = \frac{1}{12}(1)(t - (-2t))^4 = \frac{1}{12}(3t)^4 = \frac{81 t^4}{12} = \frac{27}{4}t^4\).
조건: \(S(t) = \frac{27}{4}t^4 = 108 \implies t^4 = \frac{108 \times 4}{27} = 4 \times 4 = 16\).
\(t > 0\)이므로 \(t = 2\).
답: \(S(t) = \frac{27}{4}t^4, \quad t = 2\)

표본의 크기 \(n = 100\), 표본평균 \(\bar{X} = 22\), 모표준편차 \(\sigma = 15\).
신뢰도 \(95\%\)의 신뢰구간 공식: \(\left[ \bar{X} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \ \bar{X} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right]\).
오차의 한계: \(1.96 \times \frac{15}{\sqrt{100}} = 1.96 \times 1.5 = 2.94\).
신뢰구간: \([22 - 2.94, \ 22 + 2.94] = [19.06, \ 24.94]\).
답: \([19.06, \ 24.94]\) (또는 \(19.06 \le \mu \le 24.94\))

신뢰구간의 길이 \(L = 2 \times 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2 \times 1.96 \times \frac{15}{\sqrt{n}} = \frac{58.8}{\sqrt{n}}\).
조건: \(\frac{58.8}{\sqrt{n}} \le 3 \implies \sqrt{n} \ge \frac{58.8}{3} = 19.6\).
양변을 제곱하면: \(n \ge (19.6)^2 = 384.16\).
\(n\)은 자연수이므로 최소 표본의 크기는 \(385\)이다.
답: 최소 표본의 크기 \(n = 385\)

\(\mu = 20, \sigma = 15, n = 100\)일 때 표본평균의 분포는 \(\bar{X} \sim N\left(20, \left(\frac{15}{10}\right)^2\right) = N(20, 1.5^2)\).
표준화 변수 \(Z\): \(Z = \frac{\bar{X} - 20}{1.5}\).
\(\bar{X} = 23.5\)일 때: \(Z = \frac{23.5 - 20}{1.5} = \frac{3.5}{1.5} = \frac{7}{3} \approx 2.333\dots\).
\(P(\bar{X} \ge 23.5) = P(Z \ge 2.33) = 0.5 - P(0 \le Z \le 2.33) = 0.5 - 0.4901 = 0.0099\) (\(0.99\%\)).
답: \(0.0099\) (\(0.99\%\))