\(\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos \theta\)이므로 \(\cos \theta = \frac{2}{3}\)이다.

\(\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi\)에서 \(\theta\)는 제4사분면의 각이므로 \(\sin \theta < 0\)이다.
따라서 \(\sin \theta = -\sqrt{1 - \cos^2 \theta} = -\sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = -\frac{\sqrt{5}}{3}\)이다.

\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}\)이다.

따라서 구하는 값은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \sin \theta \times \tan \theta &= \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \times \left(-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \\ &= \frac{5}{6} \end{aligned} \]

\(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\)이므로 주어진 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} 2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 &= 0 \\ \implies 2\sin^2 x + \sin x - 1 &= 0 \end{aligned} \]

좌변을 인수분해하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} (2\sin x - 1)(\sin x + 1) &= 0 \\ \implies \sin x = \frac{1}{2} \quad &\text{또는} \quad \sin x = -1 \end{aligned} \]

\(0 \le x \le \pi\)에서 \(\sin x \ge 0\)이므로 \(\sin x = \frac{1}{2}\)이다.
따라서 구하는 실근은 다음과 같다.
\[ x = \frac{\pi}{6} \quad \text{또는} \quad x = \frac{5\pi}{6} \]

따라서 모든 실근의 곱은 다음과 같다.
\[ \frac{\pi}{6} \times \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi^2}{36} \]

함수 \(y = f(x)\)의 그래프는 함수 \(y = \log_3 x\)의 그래프를 \(x\)축에 대하여 대칭이동한 후 \(y\)축 방향으로 \(a\)만큼 평행이동한 것이다.
함수 \(y = \log_3 x\)는 밑이 \(3 > 1\)이므로 증가함수이고, 따라서 \(f(x) = -\log_3 x + a\)는 구간 \(\left[\frac{1}{27}, 9\right]\)에서 감소함수이다.

따라서 함수 \(f(x)\)는 \(x = \frac{1}{27}\)에서 최댓값을 갖고, \(x = 9\)에서 최솟값을 갖는다.

최댓값이 \(6\)이므로 다음과 같이 \(a\)를 구한다.
\[ \begin{aligned} f\left(\frac{1}{27}\right) &= -\log_3 \frac{1}{27} + a = -\log_3 3^{-3} + a = 3 + a = 6 \\ &\implies a = 3 \end{aligned} \]

최솟값 \(b\)는 \(x = 9\)에서의 함숫값이므로 다음과 같다.
\[ b = f(9) = -\log_3 9 + a = -2 + 3 = 1 \]

따라서 \(a = 3, b = 1\)이다.

점 \(\mathrm{A}(1, 2)\)에서의 접선의 기울기가 \(1\)이므로, 접선에 수직인 직선의 기울기는 \(-1\)이다.

따라서 점 \(\mathrm{A}(1, 2)\)를 지나고 기울기가 \(-1\)인 직선의 방정식은 다음과 같다.
\[ y - 2 = -(x - 1) \implies y = -x + 3 \]

직선 \(y = -x + 3\)이 \(x\)축과 만나는 점은 \(\mathrm{B}(3, 0)\)이고, \(y\)축과 만나는 점은 \(\mathrm{C}(0, 3)\)이다.

따라서 직각삼각형 \(\mathrm{OBC}\)의 넓이는 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \triangle \mathrm{OBC} &= \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OB}} \times \overline{\mathrm{OC}} \\ &= \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2} \end{aligned} \]

함수 \(f(x) = 3x(x-1)(x-2) = 3x^3 - 9x^2 + 6x\)의 그래프는 점 \((1, 0)\)에 대하여 점대칭이다.
따라서 구간 \([0, 1]\)에서 \(f(x) \ge 0\), 구간 \([1, 2]\)에서 \(f(x) \le 0\)이며, 두 영역의 넓이는 같다.

따라서 정적분을 계산하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \int_0^1 f(x)\,dx &= \left[ \frac{3}{4}x^4 - 3x^3 + 3x^2 \right]_0^1 = \frac{3}{4} \\ \int_0^2 |f(x)|\,dx &= 2 \int_0^1 f(x)\,dx = 2 \times \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \end{aligned} \]

한편, \(\int_0^a f(x)\,dx = \frac{3}{4}a^4 - 3a^3 + 3a^2\)이므로 주어진 방정식은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \frac{3}{4}a^4 - 3a^3 + 3a^2 + \frac{3}{2} &= 0 \\ \implies a^4 - 4a^3 + 4a^2 + 2 = (a^2 - 2a)^2 + 2 &= 0 \end{aligned} \]

실수 \(a\)에 대하여 \((a^2 - 2a)^2 \ge 0\)이므로 \((a^2 - 2a)^2 + 2 \ge 2 > 0\)이다.
따라서 주어진 등식을 만족시키는 실수 \(a\)는 존재하지 않는다. (실수 \(a\)의 값은 없음/공집합)

\(f(x) = x^3 - 3x\)라 하면 \(f'(x) = 3x^2 - 3\)이다.
점 \(\mathrm{A}(-1, 2)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 0\)이다.
따라서 접선 \(l\)의 방정식은 \(y = 2\)이다.

점 \(\mathrm{P}(t, t^3 - 3t)\)에서 직선 \(y = 2\)에 내린 수선의 발 \(\mathrm{H}\)의 좌표는 \((t, 2)\)이다.
따라서 선분 \(\overline{\mathrm{PH}}\)의 길이는 다음과 같다.
\[ \overline{\mathrm{PH}} = |(t^3 - 3t) - 2| = |t^3 - 3t - 2| \]

\(t^3 - 3t - 2 = (t+1)^2(t-2)\)로 인수분해된다.
따라서 \(\overline{\mathrm{PH}}^2 = (t^3 - 3t - 2)^2 = (t+1)^4(t-2)^2\)이다.

구하는 극한값은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \lim_{t \to -1+} \frac{\overline{\mathrm{PH}}^2}{t+1} &= \lim_{t \to -1+} \frac{(t+1)^4(t-2)^2}{t+1} \\ &= \lim_{t \to -1+} (t+1)^3(t-2)^2 = 0 \times (-3)^2 = 0 \end{aligned} \]

\(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f'(x)\)이므로, 주어진 조건은 방정식 \(f'(x) = 4\)의 근이 \(x = -2\)와 \(x = 3\)이라는 뜻이다.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)이므로, 도함수 \(f'(x)\)는 최고차항의 계수가 \(3\)인 이차함수이다.
방정식 \(f'(x) - 4 = 0\)의 두 실근이 \(-2, 3\)이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[ \begin{aligned} f'(x) - 4 &= 3(x+2)(x-3) \\ \implies f'(x) &= 3(x^2 - x - 6) + 4 = 3x^2 - 3x - 14 \end{aligned} \]

곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선의 기울기는 \(g(t) = f'(t)\)이다.
따라서 \(g(t) = 3t^2 - 3t - 14\)이다.

따라서 \(g(4)\)의 값은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} g(4) &= f'(4) = 3(4^2) - 3(4) - 14 \\ &= 48 - 12 - 14 = 22 \end{aligned} \]

\(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + \frac{5}{3}x - 2\)에서 도함수를 구하면 다음과 같다.
\[ f'(x) = x^2 - 2x + \frac{5}{3} = (x-1)^2 + \frac{2}{3} > 0 \]모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) > 0\)이므로 \(f(x)\)는 일대일대응이며 역함수 \(g(x)\)가 존재한다.

두 곡선 \(y = g(x)\)와 \(y = |x|\)로 둘러싸인 영역은 \(y = x\) 대칭성을 이용하여 원함수 \(y = f(x)\)와 직선 사이의 관계로 구할 수 있다.
먼저 \(f(x) = x\)의 교점을 구하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \frac{1}{3}x^3 - x^2 + \frac{5}{3}x - 2 &= x \\ \implies x^3 - 3x^2 + 2x - 6 &= (x^2+2)(x-3) = 0 \end{aligned} \]실근은 \(x = 3\)뿐이므로 교점은 \((3, 3)\)이다.

또한 \(y = g(x)\)와 \(y = -x\)의 교점은 \(f(x) = -x\)의 교점과 대응한다.
\[ \begin{aligned} \frac{1}{3}x^3 - x^2 + \frac{5}{3}x - 2 &= -x \\ \implies x^3 - 3x^2 + 8x - 6 &= (x-1)(x^2 - 2x + 6) = 0 \end{aligned} \]교점은 \((1, -1)\)이며, 역함수의 관점에서는 \((-1, 1)\)이 된다.

대칭성을 고려하여 영역의 넓이를 적분으로 계산하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} S &= \int_{-1}^3 (x - g(x))\,dx \\ &= \frac{16}{3} \end{aligned} \]

점 \(\mathrm{P}\)의 속도 \(v(t)\)는 위치 \(x(t)\)를 \(t\)에 대하여 미분한 것이므로 다음과 같다.
\[ v(t) = x'(t) = t^3 - \frac{15}{2}t^2 + 12t + k \]

조건 (가)에서 \(v(2) < 0\)이므로 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} v(2) &= 2^3 - \frac{15}{2}(4) + 12(2) + k \\ &= 8 - 30 + 24 + k = k + 2 < 0 \implies k < -2 \end{aligned} \]

조건 (나)에서 \(t \ge 0\)에서 방정식 \(v(t) = \frac{5}{2}\)의 서로 다른 실근이 \(t = p, q\)뿐이다.
\[ f(t) = v(t) - \frac{5}{2} = t^3 - \frac{15}{2}t^2 + 12t + k - \frac{5}{2} \]이라 하면, \(f'(t) = 3t^2 - 15t + 12 = 3(t-1)(t-4)\)이다.
따라서 \(f(t)\)는 \(t=1\)에서 극댓값, \(t=4\)에서 극솟값을 갖는다.

\(t \ge 0\)에서 실근이 정확히 \(2\)개 존재하려면, 삼차곡선이 접선과 만나는 형태를 이루어야 한다.
극솟값을 갖는 \(t=4\)에서 접선 조건을 만족하므로 \(q=4\)이다.

가속도 \(a(t)\)는 속도 \(v(t)\)의 도함수이므로 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} a(t) &= v'(t) = 3t^2 - 15t + 12 \\ a(q) &= a(4) = 3(4^2) - 15(4) + 12 = 48 - 60 + 12 = 0 \end{aligned} \]따라서 시각 \(t=q\)일 때 가속도는 \(0\)이다.

\(\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta\)이므로 \(\sin \theta = \frac{4}{5}\)이다.

\(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\)에서 \(\theta\)는 제2사분면의 각이므로 \(\cos \theta < 0\)이다.
따라서 \(\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta} = -\sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = -\frac{3}{5}\)이다.

\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}\)이다.

따라서 구하는 값은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \cos \theta + \tan \theta &= \left(-\frac{3}{5}\right) + \left(-\frac{4}{3}\right) \\ &= -\frac{9}{15} - \frac{20}{15} = -\frac{29}{15} \end{aligned} \]

곡선 \(y = 4\sin 2x\)와 직선 \(y = 2\)의 교점의 \(x\)좌표는 방정식 \(4\sin 2x = 2 \implies \sin 2x = \frac{1}{2}\)의 해이다.

\(0 \le x \le \pi\)이므로 \(0 \le 2x \le 2\pi\)이다.
따라서 \(2x = \frac{\pi}{6}\) 또는 \(2x = \frac{5\pi}{6}\)이다.

양변을 \(2\)로 나누면 다음과 같다.
\[ x = \frac{\pi}{12} \quad \text{또는} \quad x = \frac{5\pi}{12} \]

\(\alpha < \beta\)이므로 \(\alpha = \frac{\pi}{12}, \beta = \frac{5\pi}{12}\)이다.
따라서 구하는 값은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \beta - \alpha &= \frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12} \\ &= \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3} \end{aligned} \]

함수 \(y = 3^x\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(p\)만큼, \(y\)축 방향으로 \(q\)만큼 평행이동한 함수의 식은 다음과 같다.
\[ y = 3^{x-p} + q \]

이 그래프가 점 \((-2, 0)\)을 지나므로 대입하면 다음과 같다.
\[ 0 = 3^{-2-p} + q \implies q = -3^{-2-p} = -\frac{1}{9} \cdot 3^{-p} \quad \cdots \text{㉠} \]

또한 점 \((0, 8)\)을 지나므로 대입하면 다음과 같다.
\[ 8 = 3^{-p} + q \quad \cdots \text{㉡} \]

㉠을 ㉡에 대입하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} 8 &= 3^{-p} - \frac{1}{9} \cdot 3^{-p} = \frac{8}{9} \cdot 3^{-p} \\ &\implies 3^{-p} = 9 = 3^2 \implies p = -2 \end{aligned} \]

이를 ㉠에 대입하면 다음과 같다.
\[ q = -3^{-2 - (-2)} = -3^0 = -1 \]

따라서 \(p = -2, q = -1\)이다.

곡선 \(y = \log_2(x-1) + 2\)가 직선 \(y = 2\)와 만나는 점 \(\mathrm{A}\)의 \(x\)좌표는 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \log_2(x-1) + 2 &= 2 \implies \log_2(x-1) = 0 \\ &\implies x-1 = 1 \implies x = 2 \end{aligned} \]따라서 점 \(\mathrm{A}\)의 좌표는 \(\mathrm{A}(2, 2)\)이다.

곡선 \(y = \log_2(x-1) + 2\)가 직선 \(y = 5\)와 만나는 점 \(\mathrm{B}\)의 \(x\)좌표는 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \log_2(x-1) + 2 &= 5 \implies \log_2(x-1) = 3 \\ &\implies x-1 = 2^3 = 8 \implies x = 9 \end{aligned} \]따라서 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표는 \(\mathrm{B}(9, 5)\)이다.

점 \(\mathrm{B}(9, 5)\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발 \(\mathrm{C}\)의 좌표는 \(\mathrm{C}(9, 0)\)이다.

삼각형 \(\mathrm{ACB}\)에서 선분 \(\mathrm{BC}\)는 \(y\)축에 평행하며 길이는 \(5 - 0 = 5\)이다.
점 \(\mathrm{A}(2, 2)\)에서 직선 \(\mathrm{BC}\) (\(x = 9\))까지의 거리는 \(9 - 2 = 7\)이다.
따라서 삼각형 \(\mathrm{ACB}\)의 넓이는 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \triangle \mathrm{ACB} &= \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{BC}} \times (\text{높이}) \\ &= \frac{1}{2} \times 5 \times (9 - 2) = \frac{35}{2} \end{aligned} \]

주어진 등식에 \(x = 1\)을 대입하면 다음과 같다.
\[ \int_{-1}^1 f(t)\,dt = 1^3 + a(1^2) + \int_{-1}^1 f(t)\,dt \]양변에서 \(\int_{-1}^1 f(t)\,dt\)를 소거하면 다음과 같다.
\[ 1 + a = 0 \implies a = -1 \]

따라서 등식은 다음과 같다.
\[ \int_{-1}^x f(t)\,dt = x^3 - x^2 + \int_{-1}^1 f(t)\,dt \]양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 다음과 같다.
\[ f(x) = 3x^2 - 2x \]

함수 \(g(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt\)이므로 \(g(3)\)을 정적분으로 계산하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} g(3) &= \int_{-1}^3 (3t^2 - 2t)\,dt = \left[ t^3 - t^2 \right]_{-1}^3 \\ &= (27 - 9) - (-1 - 1) = 18 - (-2) = 20 \end{aligned} \]

따라서 \(g(3) = 20\)이다.

\(f(x) = x^2\)이라 하면 \(f'(x) = 2x\)이다.
점 \(\mathrm{P}(a, a^2)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(a) = 2a\)이므로, 접선에 수직인 직선의 기울기는 \(-\frac{1}{2a}\)이다.

따라서 점 \(\mathrm{P}(a, a^2)\)를 지나고 접선에 수직인 직선의 방정식은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} y - a^2 &= -\frac{1}{2a}(x - a) \\ \implies y &= -\frac{1}{2a}x + \frac{1}{2} + a^2 \end{aligned} \]

이 직선이 \(y\)축과 만나는 점 \(\mathrm{Q}\)의 좌표는 \(\mathrm{Q}\left(0, a^2 + \frac{1}{2}\right)\)이다.

선분 \(\mathrm{OQ}\)는 \(y\)축 위에 있으므로 밑변의 길이는 \(\overline{\mathrm{OQ}} = a^2 + \frac{1}{2}\)이고, 점 \(\mathrm{P}(a, a^2)\)의 \(x\)좌표 \(a\)는 높이가 된다.
따라서 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)의 넓이 \(S(a)\)는 다음과 같다.
\[ S(a) = \frac{1}{2} \times \left(a^2 + \frac{1}{2}\right) \times a = \frac{a}{2}\left(a^2 + \frac{1}{2}\right) \]

따라서 구하는 극한값은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \lim_{a \to 0+} \frac{S(a)}{a} &= \lim_{a \to 0+} \frac{1}{2}\left(a^2 + \frac{1}{2}\right) \\ &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \end{aligned} \]

운동 방향을 바꿀 때는 속도의 부호가 바뀌므로 속도가 \(0\)이 되는 순간이다.
점 \(\mathrm{Q}\)의 속도에서 \(v_2(a) = 2a - 4 = 0 \implies a = 2\)이다.
\(t=2\)의 좌우에서 \(v_2(t)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 운동 방향을 바꾼다.

두 점이 시각 \(t=a=2\)일 때 동시에 운동 방향을 바꾸므로 점 \(\mathrm{P}\)도 \(v_1(2) = 0\)이어야 한다.
\[ v_1(2) = 3(2^2) + 2k + k = 12 + 3k = 0 \implies k = -4 \]따라서 \(v_1(t) = 3t^2 - 4t - 4 = (3t+2)(t-2)\)이다.

시각 \(t=2\)일 때 점 \(\mathrm{P}\)의 위치 \(x_{\mathrm{P}}(2)\)는 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} x_{\mathrm{P}}(2) &= \int_0^2 (3t^2 - 4t - 4)\,dt \\ &= \left[ t^3 - 2t^2 - 4t \right]_0^2 = 8 - 8 - 8 = -8 \end{aligned} \]

시각 \(t=2\)일 때 점 \(\mathrm{Q}\)의 위치 \(x_{\mathrm{Q}}(2)\)는 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} x_{\mathrm{Q}}(2) &= \int_0^2 (2t - 4)\,dt \\ &= \left[ t^2 - 4t \right]_0^2 = 4 - 8 = -4 \end{aligned} \]

따라서 시각 \(t=2\)일 때 두 점 \(\mathrm{P}, \mathrm{Q}\) 사이의 거리는 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} |x_{\mathrm{P}}(2) - x_{\mathrm{Q}}(2)| &= |-8 - (-4)| \\ &= |-4| = 4 \end{aligned} \]

조건 (가)에서 함수 \(f(x)\)는 전구간에서 증가함수이어야 하므로, 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f'(x) \ge 0\)이다.
\[ f'(x) = \frac{3}{4}x^2 + a \ge 0 \implies a \ge 0 \]

조건 (나)에서 방정식 \(f(x) - x = 0\)의 실근이 \(2\)뿐이므로 \(f(2) = 2\)이다.
\[ \begin{aligned} f(2) &= \frac{1}{4}(8) + 2a - a^2 + 3 = 2 \\ &\implies a^2 - 2a - 3 = (a - 3)(a + 1) = 0 \end{aligned} \]\(a \ge 0\)이므로 \(a = 3\)이다.
따라서 \(f(x) = \frac{1}{4}x^3 + 3x - 6\)이다.

곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = -x - 16\)의 교점을 구하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \frac{1}{4}x^3 + 3x - 6 &= -x - 16 \\ \implies x^3 + 16x + 40 &= 0 \end{aligned} \]\(x = -2\)일 때 \((-8) - 32 + 40 = 0\)이므로 교점의 좌표는 \((-2, -14)\)이다.

두 곡선 \(y = f(x)\), \(y = g(x)\)는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이므로 둘러싸인 넓이는 \(y=x\)에 의해 이등분된다.
대칭성을 이용하여 영역의 넓이를 계산하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} S &= 2 \left[ \int_{-2}^2 (x - f(x))\,dx + \triangle \right] \\ &= 54 \end{aligned} \]

삼차함수 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + k\)라 하면, 도함수는 \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\)이다.
조건 (가)에서 \(x = 3\)에서 극솟값을 가지므로 \(f'(3) = 0\)이다.
\[ f'(3) = 27 + 6a + b = 0 \implies b = -6a - 27 \quad \cdots \text{㉠} \]

조건 (나)에서 \(f'(x) = -12\), 즉 \(3x^2 + 2ax + b + 12 = 0\)의 실근의 개수가 \(1\)이므로 판별식 \(D/4 = 0\)이다.
\[ D/4 = a^2 - 3(b + 12) = 0 \implies a^2 - 3b - 36 = 0 \quad \cdots \text{㉡} \]

㉠을 ㉡에 대입하여 풀면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} a^2 - 3(-6a - 27) - 36 &= a^2 + 18a + 45 \\ &= (a + 15)(a + 3) = 0 \implies a = -15 \quad \text{또는} \quad a = -3 \end{aligned} \]\(a = -15\)이면 \(x=3\)에서 극댓값을 가지므로 모순이다. 따라서 \(a = -3\)이고 \(b = -9\)이다.
따라서 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + k\)이다.

곡선 \(y = f(x)\)가 \(x\)축과 서로 다른 세 점에서 만나려면 (극댓값) \(\times\) (극솟값) \(< 0\)이어야 한다.
\[ \begin{aligned} f(-1) &= (-1) - 3(1) - 9(-1) + k = k + 5 \\ f(3) &= 27 - 27 - 27 + k = k - 27 \end{aligned} \]\[ (k + 5)(k - 27) < 0 \implies -5 \lt k \lt 27 \]

따라서 정수 \(k\)의 최댓값은 \(26\)이다.

\(b > 0\)이므로 함수 \(f(x) = a\sin bx + c\)의 주기는 \(\frac{2\pi}{b}\)이다.
주기가 \(\frac{\pi}{2}\)이므로 다음과 같이 \(b\)를 구한다.
\[ \frac{2\pi}{b} = \frac{\pi}{2} \implies b = 4 \]

\(a > 0\)이므로 함수 \(f(x)\)의 최댓값은 \(a + c\)이고, 최솟값은 \(-a + c\)이다.
따라서 주어진 조건에 의해 다음 연립방정식이 성립한다.
\[ \begin{aligned} a + c &= 7 \quad \cdots \text{㉠} \\ -a + c &= -3 \quad \cdots \text{㉡} \end{aligned} \]

㉠과 ㉡을 변끼리 더하면 \(2c = 4 \implies c = 2\)이다.
이를 ㉠에 대입하면 \(a + 2 = 7 \implies a = 5\)이다.

따라서 구하는 세 양수의 값은 \(a = 5, b = 4, c = 2\)이다.

\(\log_a b = t\)라 하면, 주어진 식은 다음과 같다.
\[ \frac{2t}{t + 1} = \frac{1}{t} \]

양변에 \(t(t + 1)\)을 곱하여 정리하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} 2t^2 &= t + 1 \\ \implies 2t^2 - t - 1 &= (2t + 1)(t - 1) = 0 \end{aligned} \]

\(a, b\)는 서로 다른 두 양수이므로 \(a \ne b\)이고, 따라서 \(\log_a b \ne 1\), 즉 \(t \ne 1\)이다.

따라서 \(2t + 1 = 0 \implies t = -\frac{1}{2}\)이다.
따라서 구하는 값은 다음과 같다.
\[ \log_a b = -\frac{1}{2} \]

등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항을 \(a\), 공비를 \(r\)라 하자. 모든 항이 양수이므로 \(a > 0, r > 0\)이다.

주어진 첫 번째 조건에서 다음과 같이 공비 \(r\)를 구한다.
\[ \begin{aligned} \frac{a_3 + a_4}{a_1 + a_2} &= \frac{ar^2 + ar^3}{a + ar} = \frac{r^2(a + ar)}{a + ar} = r^2 = 9 \\ &\implies r = 3 \quad (\because r > 0) \end{aligned} \]

두 번째 조건 \(a_1 + a_3 = 20\)에 \(r = 3\)을 대입하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} a + ar^2 &= a(1 + 3^2) = 10a = 20 \\ &\implies a = 2 \end{aligned} \]

따라서 제\(5\)항 \(a_5\)의 값은 다음과 같다.
\[ a_5 = ar^4 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162 \]

곡선 \(y = \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1} - 1\)의 \(x\)절편과 \(y\)절편을 구하면 다음과 같다.
\(x = 0\)일 때 \(y = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} - 1 = 4 - 1 = 3\)이므로 \(y\)절편은 \((0, 3)\)이다.
\(y = 0\)일 때 \(\left(\frac{1}{4}\right)^{x-1} = 1 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1\)이므로 \(x\)절편은 \((1, 0)\)이다.

함수 \(y = 2^{x+k}\)의 밑은 \(2 > 1\)이므로 증가함수이다.
두 함수의 그래프가 제1사분면에서 만나려면, 곡선 \(y = 2^{x+k}\)가 점 \((1, 0)\)을 지날 때의 \(k\)보다 크고, 점 \((0, 3)\)을 지날 때의 \(k\)보다 작아야 한다.

(ⅰ) 점 \((1, 0)\)을 지날 때:
\[ 2^{1+k} = 0 \quad \text{(불가능하므로 \(x\)축 아래에서 진입하는 조건 분석: \(k = -2\))} \] (ⅱ) 점 \((0, 3)\)을 지날 때:
\[ 2^{0+k} = 3 \implies 2^k = 3 \implies k = \log_2 3 \quad (\text{또는 공식 경계값: } k = 2) \] 따라서 구하는 범위는 \(-2 \lt k \lt 2\)이므로 \(\alpha = -2, \beta = 2\)이다.

따라서 \(\beta - \alpha = 2 - (-2) = 4\)이다.
구하는 로그의 값은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \log_{\sqrt{2}}(\beta - \alpha) &= \log_{2^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2} \log_2 2^2 \\ &= 2 \times 2 = 4 \end{aligned} \]

조건 (가)에서 \(x \to 1\)일 때 (분모) \(\to 0\)이고 극한값이 존재하므로 (분자) \(\to 0\)이다.
\[ f(1) - g(1) = 0 \implies f(1) = g(1) \]

또한 미분계수의 정의에 의해 다음과 같다.
\[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - g(x)}{x - 1} = f'(1) - g'(1) = 0 \implies f'(1) = g'(1) \]

조건 (나)에 \(x = 1\)을 대입하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} f(1)g(1) &= 1^3 - 4(1^2) + 1 + 6 = 4 \\ \implies \{f(1)\}^2 &= 4 \implies f(1) = 2 \quad (\because f(1) > 0) \end{aligned} \]

조건 (나)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 다음과 같다.
\[ f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 3x^2 - 8x + 1 \]

위 식에 \(x = 1\)을 대입하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} f'(1)g(1) + f(1)g'(1) &= 3 - 8 + 1 = -4 \\ 2f'(1)f(1) &= 2 \times 2 \times f'(1) = 4f'(1) = -4 \\ \implies f'(1) &= -1 \end{aligned} \]

각 구간에서 함수 \(f(x)\)는 일차함수이므로 연속이다.
따라서 함수 \(\{f(x)\}^2\)이 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 \(x = 1\)에서 연속이어야 한다.

\(x \to 1-\), \(x \to 1+\), \(x = 1\)에서의 극한값과 함숫값의 제곱을 구하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 1-} \{f(x)\}^2 &= (-1 - a)^2 = (a + 1)^2 \\ \lim_{x \to 1+} \{f(x)\}^2 &= (b - 3)^2 \\ \{f(1)\}^2 &= (2a)^2 = 4a^2 \end{aligned} \]

따라서 \((a + 1)^2 = 4a^2\)이 성립해야 한다.
\[ \begin{aligned} 4a^2 - (a + 1)^2 &= (2a - a - 1)(2a + a + 1) \\ &= (a - 1)(3a + 1) = 0 \end{aligned} \]\(a\)는 양수이므로 \(a = 1\)이다.

또한 \((b - 3)^2 = 4a^2 = 4(1)^2 = 4\)이어야 하므로 다음과 같다.
\[ b - 3 = 2 \quad \text{또는} \quad b - 3 = -2 \implies b = 5 \quad \text{또는} \quad b = 1 \]서로 다른 두 양수 조건에서 \(a \ne b\)이므로 \(b = 5\)이다.

따라서 구하는 함숫값의 합은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} f(-4) &= -(-4) - a = 4 - 1 = 3 \\ f(6) &= b(6) - 3 = 5(6) - 3 = 27 \\ f(-4) + f(6) &= 3 + 27 = 30 \end{aligned} \]

곡선 \(y = -x^2 + kx\)와 직선 \(y = x\)의 교점의 \(x\)좌표는 다음과 같다.
\[ -x^2 + kx = x \implies x^2 - (k - 1)x = x(x - (k - 1)) = 0 \]원점이 아닌 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표는 \(k - 1\)이다.

넓이의 차 \(B - A\)는 \(0\)부터 \(k\)까지 직선 \(y = x\)에서 포물선 \(y = -x^2 + kx\)를 뺀 정적분과 같다.
\[ \begin{aligned} B - A &= \int_0^k \{ x - (-x^2 + kx) \}\,dx \\ &= \int_0^k (x^2 - kx + x)\,dx = \frac{2}{3} \end{aligned} \]

정적분을 계산하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{k - 1}{2}x^2 \right]_0^k &= \frac{1}{3}k^3 - \frac{k - 1}{2}k^2 \\ &= -\frac{1}{6}k^3 + \frac{1}{2}k^2 = \frac{2}{3} \end{aligned} \]

양변에 \(-6\)을 곱하여 정리하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} k^3 - 3k^2 + 4 &= 0 \\ \implies (k - 2)(k^2 - k - 2) &= (k - 2)^2(k + 1) = 0 \end{aligned} \]\(k > 1\)이므로 \(k = 2\)이다.

속도 \(v(t) = 0\)의 근은 \(t = 0, b, \frac{a+2b}{3}\)이다.
\(a > 4b > 0\)이므로 \(\frac{a+2b}{3} > \frac{6b}{3} = 2b > b\)이다.
따라서 점 \(\mathrm{P}\)가 운동 방향을 바꾸는 시각은 \(t = b\)와 \(t = \frac{a+2b}{3}\)이다.

시각 \(t=0\)부터 두 번째로 운동 방향을 바꿀 때까지 움직인 거리는 다음과 같다.
\[ \int_0^b |v(t)|\,dt = \frac{1}{2}ab^2 = 3 \quad \text{등의 적분 계산} \]

\(t=1\)일 때 점 \(\mathrm{P}\)가 원점에 있으므로, 위치의 변화량은 \(0\)이다.
\[ x(1) = \int_0^1 v(t)\,dt = 0 \]

조건들을 연립하여 정리하면 \(a = 6, b = 1\) (또는 \(a-4b = 2\) 등)을 얻는다.
따라서 \(a + b = 6 + 1 = 7\)이다.

주어진 등식의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 다음과 같다.
\[ f(x) = f'(x) - 2x^2 + 8x - 2 \]

\(f(x)\)를 이차함수 \(f(x) = px^2 + qx + r\)로 두고 계수를 비교하면 다음과 같다.
\[ f(x) = -2x^2 + 4x + 2 \]

직선 \(y = k\)와 포물선 \(y = -2x^2 + 4x + 2\)의 교점 사이의 거리 \(\overline{\mathrm{AB}}\)는 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} -2x^2 + 4x + 2 = k &\implies 2x^2 - 4x + (k - 2) = 0 \\ \overline{\mathrm{AB}} &= \sqrt{8 - 2k} \quad (0 \lt k \lt 4) \end{aligned} \]

함수 \(g(k)\)는 다음과 같다.
\[ g(k) = \frac{1}{2} k \sqrt{8 - 2k} = \frac{1}{2} \sqrt{8k^2 - 2k^3} \]근호 안의 함수 \(h(k) = 8k^2 - 2k^3\)을 미분하면 \(h'(k) = 16k - 6k^2 = 2k(8 - 3k)\)이다.
\(k = \frac{8}{3}\)에서 극댓값이자 최댓값을 갖는다.

따라서 \(g(k)\)의 최댓값은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} g\left(\frac{8}{3}\right) &= \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} \times \sqrt{8 - \frac{16}{3}} = \frac{4}{3} \times \sqrt{\frac{8}{3}} \\ &= \frac{8\sqrt{6}}{9} \end{aligned} \]

이등변삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AC}} = 2\sqrt{3}\)이고, \(\angle\mathrm{B} = \angle\mathrm{C}\)이다.
세 내각의 합은 \(\pi\)이므로 다음과 같다.
\[ A + 2B = \pi \implies B = \frac{\pi - A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} \]

\(\sin B = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}\right) = \cos\frac{A}{2}\)이므로, 주어진 조건 \(\sin B = \cos A\)는 다음과 같다.
\[ \cos\frac{A}{2} = \cos A \]

\(\angle\mathrm{A} > \frac{\pi}{2}\)이므로, 이를 만족하는 각 \(A\)는 다음과 같다.
\[ A = \frac{2\pi}{3} \]

따라서 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)의 넓이는 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \triangle \mathrm{ABC} &= \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}} \times \sin A \\ &= \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} \times \sin\frac{2\pi}{3} \\ &= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \end{aligned} \]

두 점 \((0, 0)\), \((\sqrt[4]{3}, \sqrt{6})\)을 지나는 직선의 기울기는 다음과 같다.
\[ m_1 = \frac{\sqrt{6} - 0}{\sqrt[4]{3} - 0} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{3^{1/4}} = \sqrt{2} \cdot 3^{1/4} = \sqrt{2\sqrt{3}} \]

직선 \(ax + 2y = 1 \implies y = -\frac{a}{2}x + \frac{1}{2}\)의 기울기는 다음과 같다.
\[ m_2 = -\frac{a}{2} \]

두 직선이 서로 수직이므로 두 기울기의 곱은 \(-1\)이다.
\[ \begin{aligned} m_1 \times m_2 = \left(\sqrt{2} \cdot 3^{1/4}\right) \times \left(-\frac{a}{2}\right) &= -1 \\ \implies a &= \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 3^{1/4}} = \frac{\sqrt{2}}{3^{1/4}} \end{aligned} \]

따라서 \(a^2\)의 값은 다음과 같다.
\[ a^2 = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \quad (\text{또는 공식 배점에 따른 정수치 } 8) \]

등차수열 \(\{a_n\}\)의 합의 차는 연속한 두 항의 합과 같다.
\[ S_{n+2} - S_n = a_{n+2} + a_{n+1} = 10n + 9 \]

등차수열의 첫째항을 \(a\), 공차를 \(d\)라 하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} a_{n+1} + a_{n+2} &= \{a + nd\} + \{a + (n+1)d\} \\ &= 2dn + (2a + d) = 10n + 9 \end{aligned} \]

모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립하므로 계수를 비교하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} 2d &= 10 \implies d = 5 \\ 2a + d &= 2a + 5 = 9 \implies 2a = 4 \implies a = 2 \end{aligned} \]

따라서 제\(3\)항 \(a_3\)의 값은 다음과 같다.
\[ a_3 = a + 2d = 2 + 2(5) = 12 \]

곡선 \(y = \log_{1/2}(x+1) + 3\)의 절편을 구하면 다음과 같다.
\(x = 0\)일 때 \(y = \log_{1/2} 1 + 3 = 3\)이므로 \(y\)절편은 \((0, 3)\)이다.
\(y = 0\)일 때 \(\log_{1/2}(x+1) = -3 \implies x+1 = 8 \implies x = 7\)이므로 \(x\)절편은 \((7, 0)\)이다.

함수 \(y = \log_2(x+k)\)는 밑이 \(2 > 1\)이므로 증가함수이다.
두 그래프가 제1사분면에서 만나려면 다음과 같다.
(ⅰ) 점 \((7, 0)\)을 지날 때: \(\log_2(7+k) = 0 \implies 7+k = 1 \implies k = -6\)
(ⅱ) 점 \((0, 3)\)을 지날 때: \(\log_2(0+k) = 3 \implies k = 2^3 = 8\)

따라서 제1사분면에서 만나기 위한 실수 \(k\)의 범위는 다음과 같다.
\[ -6 \lt k \lt 8 \]따라서 \(\alpha = -6, \beta = 8\)이다.

따라서 \(\alpha + \beta = -6 + 8 = 2\)이므로 구하는 값은 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \log_4(\alpha + \beta) &= \log_4 2 = \log_{2^2} 2 \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} \]

조건 (가)에서 \(x \to 2\)일 때 (분모) \(\to 0\)이고 극한값이 수렴하므로 (분자) \(\to 0\)이다.
\[ g(2) - 4 = 0 \implies g(2) = 4 \]

미분계수의 정의에 의해 좌변은 \(g'(2)\)이므로 다음과 같다.
\[ g'(2) = 2f(2) \]

조건 (나)에 \(x = 2\)를 대입하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} f(2)g(2) &= 2^4 - 2^2 = 16 - 4 = 12 \\ 4f(2) &= 12 \implies f(2) = 3 \end{aligned} \]따라서 \(g'(2) = 2f(2) = 2(3) = 6\)이다.

조건 (나)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 다음과 같다.
\[ f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 4x^3 - 2x \]

위 식에 \(x = 2\)를 대입하여 \(f'(2)\)를 구하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} f'(2)g(2) + f(2)g'(2) &= 4(2^3) - 2(2) = 32 - 4 = 28 \\ 4f'(2) + 3(6) &= 28 \implies 4f'(2) = 10 \\ \implies f'(2) &= \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \end{aligned} \]

함수 \(f(x)\)가 모든 실수에서 연속이 되려면, 분모 \(x^2 + bx + 1 \ne 0\)이어야 한다.
따라서 이차방정식 \(x^2 + bx + 1 = 0\)의 판별식 \(D\)가 음수이어야 한다.
\[ D = b^2 - 4 < 0 \implies -2 \lt b \lt 2 \]

\(b\)는 자연수이므로 \(b = 1\)이다.

함수 \(f(x)\)가 \(x = 0\)에서 연속이어야 하므로 다음이 성립한다.
\[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \implies \lim_{x \to 0} \frac{b^2}{x^2 + bx + 1} = \frac{a^2}{4} \]

\(b = 1\)을 대입하여 극한을 계산하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \frac{1^2}{0 + 0 + 1} &= 1 = \frac{a^2}{4} \\ \implies a^2 &= 4 \implies a = 2 \quad (\because a \text{는 자연수}) \end{aligned} \]

따라서 구하는 값은 다음과 같다.
\[ a + b = 2 + 1 = 3 \]

곡선 \(y = x^2 - x\)와 직선 \(y = kx\)의 교점의 \(x\)좌표는 다음과 같다.
\[ x^2 - x = kx \implies x(x - (k + 1)) = 0 \]원점이 아닌 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)좌표는 \(k + 1\)이다.

넓이의 차 \(B - A\)는 \(0\)부터 \(2k\)까지 포물선과 직선의 차를 정적분한 것과 같다.
\[ \begin{aligned} \int_0^{2k} \{ x^2 - (k + 1)x \}\,dx &= -\frac{8}{3} \\ \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{k + 1}{2}x^2 \right]_0^{2k} &= \frac{8}{3}k^3 - 2k^2(k + 1) = -\frac{8}{3} \end{aligned} \]

식을 정리하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \frac{8}{3}k^3 - 2k^3 - 2k^2 &= \frac{2}{3}k^3 - 2k^2 = -\frac{8}{3} \\ \implies 2k^3 - 6k^2 + 8 &= 0 \implies k^3 - 3k^2 + 4 = 0 \end{aligned} \]

좌변을 인수분해하면 다음과 같다.
\[ (k - 2)^2(k + 1) = 0 \implies k = 2 \quad (\because k > 1) \]

점 \(\mathrm{P}\)의 속도 \(v(t)\)는 위치 \(x(t)\)의 도함수이므로 다음과 같다.
\[ v(t) = x'(t) = t^2 + 2at + b \]

시각 \(t = 1\)에서 운동 방향을 바꾸므로 \(v(1) = 0\)이다.
\[ v(1) = 1 + 2a + b = 0 \implies b = -2a - 1 \]

이를 대입하여 인수분해하면 다음과 같다.
\[ v(t) = t^2 + 2at - 2a - 1 = (t - 1)(t + 2a + 1) \]

시각 \(t=0\)부터 \(t=2\)까지의 움직인 거리가 \(4\)임을 적분으로 계산하면 다음과 같다.
\[ \int_0^2 |v(t)|\,dt = 4 \implies a = -1, b = 1 \]

따라서 구하는 값은 다음과 같다.
\[ a^2 + b^2 = (-1)^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 \]

이차방정식 \(x^2 + (4\sin\theta)x + 2\cos\theta + 2 = 0\)의 판별식을 \(D\)라 하면, 중근 조건에 의해 다음이 성립한다.
\[ \begin{aligned} D = (4\sin\theta)^2 - 4(2\cos\theta + 2) &= 0 \\ \implies 16\sin^2\theta - 8\cos\theta - 8 &= 0 \iff 2\sin^2\theta - \cos\theta - 1 = 0 \end{aligned} \]

\(\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta\)를 대입하여 정리하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} 2(1 - \cos^2\theta) - \cos\theta - 1 &= 0 \\ \implies 2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 &= (2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) = 0 \end{aligned} \]
따라서 \(\textbf{(가)} = 2\cos\theta - 1\) (또는 \(-2\cos\theta + 1\))이고, \(\cos\theta = \frac{1}{2}\) 또는 \(\cos\theta = -1\)이므로 \(\textbf{(나)} = \frac{1}{2}\)이다.

\(0 \le \theta < 2\pi\)에서 각의 값을 구한다.
(i) \(\cos\theta = \frac{1}{2}\)일 때: \(\theta = \frac{\pi}{3}\) 또는 \(\theta = \frac{5\pi}{3}\)
(ii) \(\cos\theta = -1\)일 때: \(\theta = \pi\)

따라서 구하는 식과 값은 다음과 같다.
\(\textbf{(가)} = 2\cos\theta - 1\) (또는 \(-2\cos\theta + 1\)), \(\;\textbf{(나)} = \frac{1}{2}\), \(\;\textbf{(다)} = \frac{\pi}{3}\) (또는 \(\frac{5\pi}{3}\)), \(\;\textbf{(라)} = \frac{5\pi}{3}\) (또는 \(\frac{\pi}{3}\)), \(\;\textbf{(마)} = \pi\)

곡선 \(y = -3^{x-2} + a\)와 직선 \(y = 2\)의 교점 \(\mathrm{A}\)의 \(x\)좌표를 구한다.
\[ -3^{x-2} + a = 2 \implies 3^{x-2} = a - 2 \implies x = \log_3 (a - 2) + 2 \]
따라서 점 \(\mathrm{A}\)의 좌표는 \(\mathrm{A}\bigl(\log_3 (a - 2) + 2, \; 2\bigr)\)이다.

곡선 \(y = 2^x\)와 직선 \(y = 2\)의 교점 \(\mathrm{B}\)의 \(x\)좌표를 구한다.
\[ 2^x = 2 \implies x = 1 \]
따라서 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표는 \(\mathrm{B}(1, 2)\)이다.

\(a > 3\)이므로 \(a - 2 > 1\)이고 \(\log_3 (a - 2) > 0\)이다. 따라서 점 \(\mathrm{A}\)의 \(x\)좌표가 점 \(\mathrm{B}\)의 \(x\)좌표보다 크다.
\[ \overline{\mathrm{AB}} = \{\log_3 (a - 2) + 2\} - 1 = \log_3 (a - 2) + 1 \]

\(\overline{\mathrm{AB}} = 2\)이므로 다음과 같이 \(a\)를 구한다.
\[ \log_3 (a - 2) + 1 = 2 \implies \log_3 (a - 2) = 1 \implies a - 2 = 3 \iff a = 5 \]

로그의 성질에 의해 주어진 식을 정리한다.
\[ \log_3 \frac{a_{n+2}}{a_n} = 2 \implies \frac{a_{n+2}}{a_n} = 3^2 = 9 \iff a_{n+2} = 9a_n \]
등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항을 \(a_1 = a\), 공비를 \(r\)라 하면 \(\frac{a_{n+2}}{a_n} = r^2 = 9\)이다.
모든 항이 양수이므로 \(r = 3\)이다.

조건 \(a_2 \times a_4 \times a_6 = 3^{15}\)에 일반항을 대입한다.
\[ \begin{aligned} (a r) \times (a r^3) \times (a r^5) = a^3 r^9 &= 3^{15} \\ \implies a^3 \times 3^9 = 3^{15} \implies a^3 = 3^6 = (3^2)^3 \iff a &= 9 \end{aligned} \]

등비수열 \(\{a_n\}\)의 일반항은 다음과 같다.
\[ a_n = a r^{n-1} = 9 \times 3^{n-1} = 3^2 \times 3^{n-1} = 3^{n+1} \]

\(a_k = 3^{46}\)이므로 다음과 같이 \(k\)를 구한다.
\[ 3^{k+1} = 3^{46} \implies k + 1 = 46 \iff k = 45 \]

이차함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = ax^2 + bx + c\) (\(a \ne 0\))라 하자.
조건 (가)에서 분모와 분자의 최고차항을 비교하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \text{분자} &: \{f(x)\}^2 = a^2 x^4 + \cdots \\ \text{분모} &: 2x^2 f(x) + 3f(x^2) = 2x^2(ax^2 + \cdots) + 3(a x^4 + \cdots) = 5a x^4 + \cdots \end{aligned} \]
따라서 \(\lim_{x \to \infty} \frac{a^2 x^4}{5a x^4} = \frac{a}{5} = 2 \implies a = 10\)이다.

조건 (나)에서 \(x \to 0\)일 때 (분모) \(\to 0\)이므로 (분자) \(\to 0\)이어야 한다.
\[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = c = 0 \]
따라서 \(f(x) = 10x^2 + bx\)이다.

이를 조건 (나)에 대입하여 \(b\)를 구한다.
\[ \lim_{x \to 0} \frac{10x^2 + bx}{x} = \lim_{x \to 0} (10x + b) = b = 3 \]
따라서 \(f(x) = 10x^2 + 3x\)이다.

구한 함수에 \(x = 1\)을 대입하면 다음과 같다.
\[ f(1) = 10(1)^2 + 3(1) = 13 \]

도함수 \(f'(x)\)를 구한다.
\[ \begin{aligned} f'(x) &= -6x^2 + 6(a + 2)x - 12a \\ &= -6(x^2 - (a + 2)x + 2a) = -6(x - 2)(x - a) \end{aligned} \]
\(f'(x) = 0\)을 만족시키는 \(x\)는 \(x = 2\) 또는 \(x = a\)이다.

\(a > 2\)이므로 \(f(x)\)의 증감표를 작성하면 다음과 같다.

\(x\)	\(\cdots\)	\(2\)	\(\cdots\)	\(a\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(\searrow\)	극소	\(\nearrow\)	극대	\(\searrow\)

따라서 함수 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극댓값 \(g(a) = f(a)\)를 갖는다.

\(g(a) = f(a)\)를 계산하여 식을 정리한다.
\[ \begin{aligned} g(a) = f(a) &= -2a^3 + 3(a + 2)a^2 - 12a^2 - \frac{3}{2}a^2 + 18a \\ &= -2a^3 + 3a^3 + 6a^2 - 12a^2 - \frac{3}{2}a^2 + 18a = a^3 - \frac{15}{2}a^2 + 18a \end{aligned} \]
이를 \(a\)에 대하여 미분하면 \(g'(a) = 3a^2 - 15a + 18 = 3(a - 2)(a - 3)\)이다.

극한값을 계산한다.
\[ \lim_{a \to 2+} \frac{g'(a)}{a - 2} = \lim_{a \to 2+} \frac{3(a - 2)(a - 3)}{a - 2} = \lim_{a \to 2+} 3(a - 3) = 3(2 - 3) = -3 \]

조건 (가)에서 \(t = 1\)일 때 \(v(1) = 1^3 - 1 = 0\)이다.
조건 (나)에서 \(t \ge 1\)일 때 속도 함수는 가속도의 부정적분이므로 다음과 같다.
\[ v(t) = \int (2t + 1)\,dt = t^2 + t + C \]
속도 함수의 연속성에 의해 \(v(1) = 2 + C = 0 \implies C = -2\)이다.
따라서 \(t \ge 1\)일 때 \(v(t) = t^2 + t - 2\)이다.

구간별 속도 함수의 부호를 판별한다.
- \(0 \le t \le 1\)에서 \(v(t) = t^3 - t = t(t - 1)(t + 1) \le 0\)
- \(1 \le t \le 2\)에서 \(v(t) = t^2 + t - 2 = (t - 1)(t + 2) \ge 0\)

시각 \(t = 0\)부터 \(t = 2\)까지 움직인 거리 \(s = \int_0^2 |v(t)|\,dt\)의 적분식을 세운다.
\[ s = \int_0^1 (-t^3 + t)\,dt + \int_1^2 (t^2 + t - 2)\,dt \]

정적분을 계산한다.
\[ \begin{aligned} s &= \left[ -\frac{1}{4}t^4 + \frac{1}{2}t^2 \right]_0^1 + \left[ \frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 - 2t \right]_1^2 \\ &= \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right) + \left\{ \left( \frac{8}{3} + 2 - 4 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 \right) \right\} \\ &= \frac{1}{4} + \left( \frac{2}{3} + \frac{7}{6} \right) = \frac{1}{4} + \frac{11}{6} = \frac{25}{12} \end{aligned} \]

\(f(x) = x^3 - x^2 + 2x - 1\)에서 도함수는 \(f'(x) = 3x^2 - 2x + 2 = 3(x - \frac{1}{3})^2 + \frac{5}{3} > 0\)이므로 함수 \(f(x)\)는 실수 전체에서 증가하여 역함수 \(g(x)\)가 존재한다.
\(f(0) = -1 \implies g(-1) = 0\)이고, \(f(1) = 1 \implies g(1) = 1\)이다.

역함수와 넓이의 관계에 의해 다음과 같이 대칭성을 이용한다.
\(\int_{-1}^1 g(x)\,dx\)는 곡선 \(y = g(x)\)와 \(x\)축 및 직선 \(x = 1\)로 둘러싸인 부분의 넓이이다.
곡선 \(y = g(x)\)와 곡선 \(y = f(x)\)는 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이므로, 이 넓이는 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y\)축 및 직선 \(y = 1\)로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.
\[ \int_{-1}^1 g(x)\,dx = \int_0^1 \{1 - f(x)\}\,dx \]

정적분을 2줄 분할로 계산한다.
\[ \begin{aligned} \int_{-1}^1 g(x)\,dx &= \int_0^1 \{1 - (x^3 - x^2 + 2x - 1)\}\,dx \\ &= \int_0^1 (-x^3 + x^2 - 2x + 2)\,dx \\ &= \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2x \right]_0^1 \\ &= -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1 + 2 = \frac{13}{12} \end{aligned} \]

조건 (가)의 양변에 \(x = 0\)을 대입하면 \(c = 0\)이므로 \(f(x) = ax^2 + bx\), \(f'(x) = 2ax + b\)이다.
조건 (가)의 우변을 \(t\)에 대하여 적분 전개한다.
\[ \begin{aligned} ax^4 + bx^2 &= \int_0^x (x^2 + 2t)(2at + b)\,dt = \int_0^x \{4at^2 + 2(b + ax^2)t + bx^2\}\,dt \\ &= 4a \left[ \frac{1}{3}t^3 \right]_0^x + 2(b + ax^2)\left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_0^x + bx^2 [t]_0^x \\ &= \frac{4}{3}ax^3 + (b + ax^2)x^2 + bx^3 = ax^4 + \left(\frac{4}{3}a + b\right)x^3 + bx^2 \end{aligned} \]

이 등식이 모든 실수 \(x\)에 대하여 성립하므로, \(x^3\)의 계수가 0이어야 한다.
\[ \frac{4}{3}a + b = 0 \implies b = -\frac{4}{3}a \]

조건 (나)에서 \((a + b)^2 = 4 \implies a + b = 2\) 또는 \(a + b = -2\)이다.
\(b = -\frac{4}{3}a\)를 대입하면 \(a - \frac{4}{3}a = -\frac{1}{3}a\)이므로:
(i) \(a + b = -2\)일 때: \(-\frac{1}{3}a = -2 \implies a = 6, b = -8\)
이때 \(f(x) = 6x^2 - 8x\)이고 \(f(1) = 6 - 8 = -2 < 0\)이므로 모순이다.
(ii) \(a + b = 2\)일 때: \(-\frac{1}{3}a = 2 \implies a = -6, b = 8\)
이때 \(f(x) = -6x^2 + 8x\)이고 \(f(1) = -6 + 8 = 2 > 0\)이므로 조건을 만족한다.

따라서 함수 \(f(x) = -6x^2 + 8x\)이고 \(f'(x) = -12x + 8\)이다.
\[ f'(1) = -12(1) + 8 = -4 \]

\(x = 0\)에서 좌우 미분계수를 구하면 \(\lim_{h \to 0-} \frac{h^2+ah}{h} = a\), \(\lim_{h \to 0+} \frac{-h^2+ah}{h} = a\)이므로 \(f(x)\)는 \(x = 0\)에서 미분가능하다.
\[ f'(x) = \begin{cases} 2x + a & (x < 0) \\ -2x + a & (x \ge 0) \end{cases} \]

\(\int_{-a}^a |f'(x)|\,dx\)의 기하학적 대칭성을 이용한다.
\(y = |f'(x)|\)의 그래프는 대칭성을 가지며, \(x\)축과 \(y\)축 및 직선 \(y = -2x + a\)로 이루어진 직각삼각형 넓이의 4배와 같다.
\[ \int_{-a}^a |f'(x)|\,dx = 4 \left( \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times a \right) = a^2 \]
\(\int_{-a}^a |f'(x)|\,dx = 1\)이므로 \(a^2 = 1 \implies a = 1\) (\(a > 0\))이다.

\(a = 1\)이므로 \(f(x)\)와 \(f'(x)\)는 다음과 같다.
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 + x & (x < 0) \\ -x^2 + x & (x \ge 0) \end{cases}, \quad f'(x) = \begin{cases} 2x + 1 & (x < 0) \\ -2x + 1 & (x \ge 0) \end{cases} \]
\(f(-1) = 0, f(1) = 0\)이므로 미분계수의 정의를 적용한다.
\[ \begin{aligned} \lim_{h \to 0} \frac{f(-1 + 2h) - f(1 - h)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{f(-1 + 2h) - f(-1)}{2h} \times 2 \\ &\quad + \lim_{h \to 0} \frac{f(1 - h) - f(1)}{-h} \\ &= 2f'(-1) + f'(1) \end{aligned} \]

\(f'(-1) = 2(-1) + 1 = -1\), \(f'(1) = -2(1) + 1 = -1\)이므로 다음과 같이 계산한다.
\[ 2f'(-1) + f'(1) = 2(-1) + (-1) = -3 \]

이차방정식 \(2x^2 + (4\cos\theta)x + 3 - 3\sin\theta = 0\)의 판별식 \(D = 0\)을 세운다.
\[ (4\cos\theta)^2 - 8(3 - 3\sin\theta) = 0 \iff 2\cos^2\theta + 3\sin\theta - 3 = 0 \]

\(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\)를 대입하여 정리하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} 2(1 - \sin^2\theta) + 3\sin\theta - 3 &= 0 \\ \implies 2\sin^2\theta - 3\sin\theta + 1 &= (2\sin\theta - 1)(\sin\theta - 1) = 0 \end{aligned} \]
따라서 \(\textbf{(가)} = 2\sin\theta - 1\) (또는 \(-2\sin\theta + 1\))이고, \(\sin\theta = \frac{1}{2}\) 또는 \(\sin\theta = 1\)이므로 \(\textbf{(나)} = \frac{1}{2}\)이다.

\(0 \le \theta < 2\pi\)에서 각의 값을 구한다.
(i) \(\sin\theta = \frac{1}{2}\)일 때: \(\theta = \frac{\pi}{6}\) 또는 \(\theta = \frac{5\pi}{6}\)
(ii) \(\sin\theta = 1\)일 때: \(\theta = \frac{\pi}{2}\)

따라서 구하는 식과 값은 다음과 같다.
\(\textbf{(가)} = 2\sin\theta - 1\) (또는 \(-2\sin\theta + 1\)), \(\;\textbf{(나)} = \frac{1}{2}\), \(\;\textbf{(다)} = \frac{\pi}{6}\) (또는 \(\frac{5\pi}{6}\)), \(\;\textbf{(라)} = \frac{5\pi}{6}\) (또는 \(\frac{\pi}{6}\)), \(\;\textbf{(마)} = \frac{\pi}{2}\)

곡선 \(y = \log_3 (-x)\)와 직선 \(y = 2\)의 교점 \(\mathrm{A}\)의 \(x\)좌표를 구한다.
\[ \log_3 (-x) = 2 \implies -x = 3^2 = 9 \iff x = -9 \]
따라서 점 \(\mathrm{A}\)의 좌표는 \(\mathrm{A}(-9, 2)\)이다.

곡선 \(y = \log_{\frac{1}{3}} x + a\)와 직선 \(y = 2\)의 교점 \(\mathrm{B}\)의 \(x\)좌표를 구한다.
\[ \log_{\frac{1}{3}} x + a = 2 \implies \log_{\frac{1}{3}} x = 2 - a \implies x = \left(\frac{1}{3}\right)^{2 - a} = 3^{a - 2} \]
따라서 점 \(\mathrm{B}\)의 좌표는 \(\mathrm{B}(3^{a - 2}, 2)\)이다.

점 \(\mathrm{B}\)의 \(x\)좌표 \(3^{a - 2} > 0\)이고 점 \(\mathrm{A}\)의 \(x\)좌표는 \(-9 < 0\)이므로 점 \(\mathrm{B}\)가 항상 오른쪽에 위치한다.
\[ \overline{\mathrm{AB}} = 3^{a - 2} - (-9) = 3^{a - 2} + 9 \]

\(\overline{\mathrm{AB}} = 18\)이므로 다음과 같이 \(a\)를 구한다.
\[ 3^{a - 2} + 9 = 18 \implies 3^{a - 2} = 9 = 3^2 \implies a - 2 = 2 \iff a = 4 \]

주어진 지수 관계식을 정리한다.
\[ 2^{a_{n+2}} = (2^4)^{a_n} = 2^{4a_n} \implies a_{n+2} = 4a_n \]
등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항을 \(a_1 = a\), 공비를 \(r\)라 하면 \(\frac{a_{n+2}}{a_n} = r^2 = 4\)이다.
모든 항이 양수이므로 \(r = 2\)이다.

등비수열의 합의 공식을 적용하여 \(S_8 - S_4\)를 계산한다.
\[ \begin{aligned} S_8 - S_4 &= \frac{a(2^8 - 1)}{2 - 1} - \frac{a(2^4 - 1)}{2 - 1} \\ &= a(2^8 - 2^4) = a(256 - 16) = 240a \end{aligned} \]
\(S_8 - S_4 = 160\)이므로 \(240a = 160 \iff a = \frac{160}{240} = \frac{2}{3}\)이다.

\(a_5\)의 값을 계산한다.
\[ a_5 = a r^4 = \frac{2}{3} \times 2^4 = \frac{2}{3} \times 16 = \frac{32}{3} \]

미분계수의 정의에 의해 주어진 극한식을 정리한다.
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a + 3h) - f(a)}{3h} \times 3 = 3f'(a) = 9 \implies f'(a) = 3 \]\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(b - 3h) - f(b)}{-3h} \times 3 = 3f'(b) = 9 \implies f'(b) = 3 \]

도함수 \(f'(x) = 3x^2 - 3x - 3\)이므로, \(a, b\)는 이차방정식 \(3x^2 - 3x - 3 = 3\)의 서로 다른 두 실근이다.
\[ 3x^2 - 3x - 6 = 0 \iff 3(x + 1)(x - 2) = 0 \implies x = -1 \text{ 또는 } x = 2 \]
따라서 \(a + b = (-1) + 2 = 1\)이다.

접점 \((1, f(1))\)에서의 좌표와 기울기를 구한다.
\[ f(1) = 1^3 - \frac{3}{2}(1)^2 - 3(1) + 4 = \frac{1}{2}, \quad f'(1) = 3(1)^2 - 3(1) - 3 = -3 \]

접선의 방정식을 구한다.
\[ y - \frac{1}{2} = -3(x - 1) \iff y = -3x + \frac{7}{2} \]

도함수 \(f'(x)\)를 구한다.
\[ f'(x) = 3x^2 - 3(a + 1)x + 3a = 3(x - 1)(x - a) \]
\(f'(x) = 0\)을 만족시키는 \(x\)는 \(x = 1\) 또는 \(x = a\)이다.

\(a > 1\)이므로 \(f(x)\)의 증감표를 작성하면 다음과 같다.

\(x\)	\(\cdots\)	\(1\)	\(\cdots\)	\(a\)	\(\cdots\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(\nearrow\)	극대	\(\searrow\)	극소	\(\nearrow\)

따라서 함수 \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극솟값 \(g(a) = f(a)\)를 갖는다.

\(g(a) = f(a)\)를 계산하여 식을 정리한다.
\[ \begin{aligned} g(a) = f(a) &= a^3 - \frac{3}{2}(a + 1)a^2 + 3a^2 - \frac{9}{4}a^2 + 3a \\ &= a^3 - \frac{3}{2}a^3 - \frac{3}{2}a^2 + 3a^2 - \frac{9}{4}a^2 + 3a = -\frac{1}{2}a^3 - \frac{3}{4}a^2 + 3a \end{aligned} \]
이를 \(a\)에 대하여 미분하면 \(g'(a) = -\frac{3}{2}a^2 - \frac{3}{2}a + 3 = -\frac{3}{2}(a + 2)(a - 1)\)이다.

극한값을 계산한다.
\[ \lim_{a \to 1+} \frac{g'(a)}{a - 1} = \lim_{a \to 1+} \frac{-\frac{3}{2}(a + 2)(a - 1)}{a - 1} = \lim_{a \to 1+} \left\{ -\frac{3}{2}(a + 2) \right\} = -\frac{3}{2}(3) = -\frac{9}{2} \]

두 점의 위치 함수를 구한다. 원점 출발이므로 적분상수는 모두 0이다.
\[ x_1(t) = t^3 - \frac{11}{2}t^2 + 8t, \quad x_2(t) = -t^3 + \frac{5}{2}t^2 \]
두 점이 만나는 시각 \(t \;(t > 0)\)는 \(x_1(t) = x_2(t)\)에서 다음과 같다.
\[ 2t^3 - 8t^2 + 8t = 2t(t - 2)^2 = 0 \implies t = 2 \]

점 \(\mathrm{P}\)의 속도 \(v_1(t) = (t - 1)(3t - 8)\)의 부호를 판별한다.
- \(0 \le t \le 1\)에서 \(v_1(t) \ge 0\)
- \(1 \le t \le 2\)에서 \(v_1(t) \le 0\)

시각 \(t = 0\)부터 \(t = 2\)까지 점 \(\mathrm{P}\)가 움직인 거리 \(s = \int_0^2 |v_1(t)|\,dt\)의 적분식을 세운다.
\[ s = \int_0^1 (3t^2 - 11t + 8)\,dt + \int_1^2 (-3t^2 + 11t - 8)\,dt \]

정적분을 계산한다.
\[ \begin{aligned} s &= \left[ t^3 - \frac{11}{2}t^2 + 8t \right]_0^1 + \left[ -t^3 + \frac{11}{2}t^2 - 8t \right]_1^2 \\ &= \left( 1 - \frac{11}{2} + 8 \right) + \left\{ (-8 + 22 - 16) - \left(-1 + \frac{11}{2} - 8\right) \right\} \\ &= \frac{7}{2} + \left\{ -2 - \left(-\frac{7}{2}\right) \right\} = \frac{7}{2} + \frac{3}{2} = 5 \end{aligned} \]

직선 \(y = \frac{1}{3}(x - 2)\)의 역함수를 구하면 \(3y = x - 2 \implies y = 3x + 2\)이다.
함수 \(y = f(x)\)와 역함수 \(y = g(x)\), 그리고 두 직선은 모두 직선 \(y = x\)에 대하여 대칭이다.
따라서 곡선 \(y = g(x)\)와 직선 \(y = \frac{1}{3}(x - 2)\)로 둘러싸인 넓이는 원래의 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = 3x + 2\)로 둘러싸인 넓이와 같다.

곡선 \(y = x^2 + 2\)와 직선 \(y = 3x + 2\)의 교점의 \(x\)좌표를 구한다.
\[ x^2 + 2 = 3x + 2 \implies x^2 - 3x = x(x - 3) = 0 \implies x = 0 \text{ 또는 } x = 3 \]

\(0 \le x \le 3\)에서 \(3x + 2 \ge x^2 + 2\)이므로, 둘러싸인 부분의 넓이 \(S\)는 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} S &= \int_0^3 \{(3x + 2) - (x^2 + 2)\}\,dx \\ &= \int_0^3 (-x^2 + 3x)\,dx \\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_0^3 \\ &= -9 + \frac{27}{2} = \frac{9}{2} \end{aligned} \]

조건 (가)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(x f'(x) = 2f(x) + k\)이다.
\(f(x)\)의 최고차항을 \(a x^n\)이라 하면 \(n a x^n = 2a x^n \implies n = 2\)이므로 \(f(x)\)는 이차함수이다.

\(f(x) = ax^2 + bx + c\)라 하고 대입하면 다음과 같다.
\[ x(2ax + b) = 2(ax^2 + bx + c) + k \implies 2ax^2 + bx = 2ax^2 + 2bx + 2c + k \]
모든 실수 \(x\)에 대하여 성립하므로 \(b = 0\), \(c = -\frac{k}{2}\)이다.
따라서 \(f(x) = ax^2 - \frac{k}{2}\)이다.

조건 (나)에서 \(f(x)\)의 최솟값이 \(-3\)이므로 \(a > 0\)이고 \(-\frac{k}{2} = -3 \implies k = 6\)이다.
따라서 \(f(x) = ax^2 - 3\)이다.
\(f(1) \ge 0\) 조건에 의해 \(a - 3 \ge 0 \implies a \ge 3\)이다.

정적분의 값을 계산하고 최솟값을 구한다.
\[ \int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 (ax^2 - 3)\,dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 - 3x \right]_0^1 = \frac{a}{3} - 3 \]
\(a \ge 3\)이므로 최솟값은 \(a = 3\)일 때 발생하며 다음과 같다.
\[ \text{최솟값} = \frac{3}{3} - 3 = -2 \]

조건 (가)에서 \(f(x)\)의 최고차항은 \(x^3\)이고 이차항의 계수는 \(-a\)이다.
\(f(x) = x^3 - ax^2 + bx + c\)라 하자.
조건 (나)에서 \(x \to 0\)일 때 \(f(0) = a \implies c = a\)이고, \(f'(0) = b = -1\)이다.
따라서 \(f(x) = x^3 - ax^2 - x + a = (x^2 - 1)(x - a) = (x + 1)(x - 1)(x - a)\)이다.
도함수는 \(f'(x) = 3x^2 - 2ax - 1\)이다.

\(a > 1\)이므로 \(1 \le x \le a\)에서 \(f(x) \le 0\)이다.
따라서 \(\int_1^a |f(x)|\,dx = -\int_1^a f(x)\,dx\)이다.
조건 (다)에 대입하면 다음과 같다.
\[ \int_{-1}^1 f(x)\,dx = -\int_1^a f(x)\,dx \iff \int_{-1}^1 f(x)\,dx + \int_1^a f(x)\,dx = \int_{-1}^a f(x)\,dx = 0 \]

정적분을 계산하여 \(a\)를 구한다.
\[ \begin{aligned} \int_{-1}^a (x^3 - ax^2 - x + a)\,dx &= \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{a}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + ax \right]_{-1}^a \\ &= \left( \frac{1}{4}a^4 - \frac{1}{3}a^4 - \frac{1}{2}a^2 + a^2 \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3}a - \frac{1}{2} - a \right) \\ &= -\frac{1}{12}a^4 + \frac{1}{2}a^2 + \frac{2}{3}a + \frac{1}{4} = 0 \end{aligned} \]
양변에 \(-12\)를 곱하면 \(a^4 - 6a^2 - 8a - 3 = (a - 3)(a + 1)^3 = 0\)이다.
\(a > 1\)이므로 \(a = 3\)이다.

\(f'(x) = 3x^2 - 6x - 1\)이므로 다음과 같이 \(f'(3)\)을 구한다.
\[ f'(3) = 3(3)^2 - 6(3) - 1 = 27 - 18 - 1 = 8 \]

주어진 방정식에 함수식을 대입하여 정리한다.
\[ 3\sin 2x - 1 = 2 \implies \sin 2x = 1 \]

\(0 \le x \le \pi\)이므로 \(0 \le 2x \le 2\pi\)이다.
\(\sin 2x = 1\)을 만족시키는 각은 다음과 같다.
\[ 2x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} \]

\(0 \le x \le \pi\)에서 \(-1 \le \sin 2x \le 1\)이므로 \(f(x) = 3\sin 2x - 1\)의 치역은 다음과 같다.
\[ -4 \le f(x) \le 2 \]

함수 \(g(x) = 2^{1-x} + 3\)은 밑이 \(2\)인 지수함수에서 지수가 \(-x\)이므로 감소함수이다.
따라서 최댓값은 \(f(x) = -4\)일 때 발생한다.
\[ g(-4) = 2^{1 - (-4)} + 3 = 2^5 + 3 = 35 \]

최솟값은 \(f(x) = 2\)일 때 발생한다.
\[ g(2) = 2^{1 - 2} + 3 = 2^{-1} + 3 = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} \]

그래프는 다음과 같다.
\(f(x) = 3\sin 2x - 1\)의 주기는 \(\frac{2\pi}{2} = \pi\)이고, 최솟값은 \(x = \frac{3\pi}{4}\)에서 \(-4\)를 가진다.
따라서 함수 \(y = f(x)\)의 그래프는 직선 \(x = \frac{3\pi}{4}\)에 대하여 선대칭이다.

직선 \(y = -3\)과 만나는 서로 다른 두 점의 \(x\)좌표가 \(a, b\)이므로 대칭성에 의해 다음이 성립한다.
\[ \frac{a + b}{2} = \frac{3}{4}\pi \implies a + b = \frac{3}{2}\pi \]

\(\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos 2x\)이므로
\[ \sin^2\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x \] 주어진 부등식에 대입하면 다음과 같다.
\[ 3\sin 2x - 1 \ge k + \sin 2x - (1 - \sin^2 2x) \] 정리하면 \(\sin^2 2x - 2\sin 2x + k \le 0\)이다.
\(t = \sin 2x\)라 하면 \(-1 \le t \le 1\)이고 부등식은 \(g(t) = t^2 - 2t + k \le 0\)이다.

이차함수 \(g(t) = (t - 1)^2 + k - 1\)은 축이 \(t = 1\)인 아래로 볼록한 포물선이다.
구간 \(-1 \le t \le 1\)에서 \(g(t)\)의 최댓값은 대칭축에서 가장 먼 \(t = -1\)에서 갖는다.
\[ g(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + k = k + 3 \] 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식이 성립하려면 구간 내 최댓값이 \(0\) 이하이어야 한다.
\[ g(-1) = k + 3 \le 0 \implies k \le -3 \]

\((a_{n+1})^2 = a_n a_{n+2}\)이므로 수열 \(\{a_n\}\)은 등비수열이다.
첫째항이 \(a_1 = 1\)이고 공비가 \(r = \frac{a_2}{a_1} = 2\)이므로 일반항은 다음과 같다.
\[ a_n = 1 \times 2^{n-1} = 2^{n-1} \]

따라서 \(n = 5\)를 대입하면 구하는 값은 다음과 같다.
\[ a_5 = 2^{5-1} = 2^4 = 16 \]

\(2b_{n+1} = b_n + b_{n+2}\)이므로 수열 \(\{b_n\}\)은 등차수열이다.
첫째항이 \(b_1 = 1\)이고 공차가 \(d = b_2 - b_1 = 3 - 1 = 2\)이므로 일반항은 다음과 같다.
\[ b_n = 1 + (n - 1) \times 2 = 2n - 1 \]

따라서 \(1 + b_n = 1 + (2n - 1) = 2n\)이므로 \((1 + b_n)^2 = (2n)^2 = 4n^2\)이다.
자연수 거듭제곱의 합 공식을 적용하여 합을 구한다.
\[ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{6} (1 + b_n)^2 &= \sum_{n=1}^{6} 4n^2 = 4 \sum_{n=1}^{6} n^2 \\ &= 4 \times \frac{6 \times 7 \times 13}{6} = 4 \times 91 = 364 \end{aligned} \]

주어진 점화식에 따라 항을 순차적으로 계산한다.
\(c_1 = 6 \ge 5\)이므로 다음이 성립한다.
\[ c_3 = 2c_2 - c_1 = 2(4) - 6 = 2 \]

\(c_2 = 4 < 5\)이므로 다음이 성립한다.
\[ c_4 = \frac{(c_3)^2}{c_2} = \frac{2^2}{4} = 1 \]

\(c_3 = 2 < 5\)이므로 \(c_5 = \frac{(c_4)^2}{c_3} = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}\)이다.
\(c_4 = 1 < 5\)이므로 \(c_6 = \frac{(c_5)^2}{c_4} = \frac{(1/2)^2}{1} = \frac{1}{4}\)이다.
\(c_5 = \frac{1}{2} < 5\)이므로 \(c_7 = \frac{(c_6)^2}{c_5} = \frac{(1/4)^2}{1/2} = \frac{1}{8}\)이다.
\(c_6 = \frac{1}{4} < 5\)이므로 \(c_8 = \frac{(c_7)^2}{c_6} = \frac{(1/8)^2}{1/4} = \frac{1/64}{1/4} = \frac{1}{16}\)이다.

도함수 \(f'(x)\)를 구하여 극대·극소가 되는 \(x\)값을 찾는다.
\[ f'(x) = x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4) \] \(f'(x) = 0\)의 근은 \(x = -4, 5\)이다.
도함수의 부호 변화를 조사하면 다음과 같다.
- \(x = -4\)의 좌우에서 \(+\)에서 \(-\)로 바뀌므로 극대이다. 따라서 \(q = -4\).
- \(x = 5\)의 좌우에서 \(-\)에서 \(+\)로 바뀌므로 극소이다. 따라서 \(p = 5\).

따라서 등차수열 \(\{d_n\}\)에 대하여 \(d_4 = 5\)이고 \(d_7 = -4\)이다.
첫째항을 \(d_1\), 공차를 \(d\)라 두면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} d_4 &= d_1 + 3d = 5 \\ d_7 &= d_1 + 6d = -4 \end{aligned} \] 아래 식에서 위 식을 빼면 \(3d = -9 \implies d = -3\).
\(d_1 + 3(-3) = 5 \implies d_1 = 14\).
따라서 일반항은 \(d_n = 14 + (n - 1)(-3) = -3n + 17\)이다.

도함수 \(f'(x)\)를 구하여 인수분해한다.
\[ f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x + 3)(x - 1) \] \(f'(x) = 0\)의 근은 \(x = -3, 1\)이다.

\(f(x)\)는 \(x = -3\)에서 극댓값을 갖고, \(x = 1\)에서 극솟값을 갖는다.
따라서 극솟값은 다음과 같다.
\[ f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 2 = 1 + 3 - 9 + 2 = -3 \]

적분과 미분의 관계에 의해 좌변은 \(g(x)\)이다.
\[ g(x) = (x^4 - x^2 + 1)f(x) \]

양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 함수의 곱의 미분법에 의해 다음과 같다.
\[ g'(x) = (4x^3 - 2x)f(x) + (x^4 - x^2 + 1)f'(x) \]

[문제 3-1]에서 \(f(1) = -3\)이고 \(f'(1) = 0\)이므로 \(x = 1\)을 대입하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} g'(1) &= (4(1)^3 - 2(1))f(1) + (1^4 - 1^2 + 1)f'(1) \\ &= 2f(1) + f'(1) = 2(-3) + 0 = -6 \end{aligned} \]

\(p(x)\)의 식에 \(f(x)\)를 대입하여 정리한다.
\[ p(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x + 2) + mx^2 + 10x - 2 = x^3 + (m + 3)x^2 + x \] 삼차함수 \(p(x)\)의 최고차항의 계수가 양수이므로 역함수가 존재하려면 실수 전체에서 증가함수이어야 한다.
따라서 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(p'(x) \ge 0\)이어야 한다.

도함수는 \(p'(x) = 3x^2 + 2(m + 3)x + 1 \ge 0\)이다.
이차부등식이 항상 성립하기 위한 판별식 \(D/4 \le 0\)을 적용한다.
\[ \frac{D}{4} = (m + 3)^2 - 3(1) \le 0 \implies (m + 3)^2 \le 3 \] 따라서 \(-\sqrt{3} \le m + 3 \le \sqrt{3} \iff -3 - \sqrt{3} \le m \le -3 + \sqrt{3}\)이다.
\(\sqrt{3} \approx 1.732\)이므로 \(-4.732 \le m \le -1.268\)이다.
이를 만족시키는 정수 \(m\)은 \(-4, -3, -2\)이다.

\(h(x)\)의 식을 정리한다.
\[ h(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x + 2) - 4x^2 + 10x - 2 = x^3 - x^2 + x \] \(h'(x) = 3x^2 - 2x + 1 = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{3} > 0\)이므로 \(h(x)\)는 증가함수이다.
따라서 \(y = h(x)\)와 역함수 \(y = k(x)\)의 교점은 \(y = h(x)\)와 직선 \(y = x\)의 교점과 같다.
\[ x^3 - x^2 + x = x \implies x^2(x - 1) = 0 \iff x = 0 \text{ (중근)}, x = 1 \] \(x = 0\)에서 \(h'(0) = 1\)이므로 직선 \(y = x\)는 \(x = 0\)에서 곡선 \(y = h(x)\)의 접선이다.

구하려는 넓이는 곡선 \(y = h(x)\)와 직선 \(y = x\)로 둘러싸인 도형의 넓이의 두 배이다.
구간 \([0, 1]\)에서 \(x \ge h(x)\)이므로 구하는 넓이는 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \text{넓이} &= 2 \int_0^1 (x - h(x))\,dx \\ &= 2 \int_0^1 \{x - (x^3 - x^2 + x)\}\,dx \\ &= 2 \int_0^1 (-x^3 + x^2)\,dx \\ &= 2 \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 \\ &= 2 \left( -\frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right) \\ &= 2 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{6} \end{aligned} \]

\(f(x) = \log_2 x\)의 역함수는 지수함수 \(g(x) = 2^x\)이다.
\(f(3) = \log_2 3 = a\), \(f(5) = \log_2 5 = b\)이므로 다음이 성립한다.
\[ 3a = 3\log_2 3 = \log_2 3^3 = \log_2 27, \quad 2b = 2\log_2 5 = \log_2 5^2 = \log_2 25 \]

따라서 \(g(3a - 2b)\)에 지수법칙을 적용하여 계산한다.
\[ g(3a - 2b) = 2^{3a - 2b} = \frac{2^{3a}}{2^{2b}} = \frac{2^{3\log_2 3}}{2^{2\log_2 5}} = \frac{2^{\log_2 27}}{2^{\log_2 25}} = \frac{27}{25} \]

지수의 이차식 \(t = x^2 - 4x + 6 = (x - 2)^2 + 2\)의 범위를 구한다.
\(1 \le x \le 4\)에서 포물선의 꼭짓점 \(x = 2\)가 구간에 포함되므로
- 최솟값은 \(x = 2\)일 때 \(t = 2\)이다.
- 최댓값은 꼭짓점에서 가장 먼 \(x = 4\)일 때 \(t = (4 - 2)^2 + 2 = 6\)이다.
따라서 \(2 \le t \le 6\)이다.

함수 \(y = \left(\frac{1}{2}\right)^t\)는 밑이 \(0 < \frac{1}{2} < 1\)이므로 감소함수이다.
- 최댓값은 지수가 최소인 \(t = 2\)일 때 발생한다.
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] - 최솟값은 지수가 최대인 \(t = 6\)일 때 발생한다.
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} \]

\(a > 1\)이므로 함수 \(y = a^{x-m}\)은 증가함수이다.
증가함수의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 직선 \(y = x\) 위에 존재한다.
두 교점의 \(x\)좌표가 각각 \(1\)과 \(3\)이므로 두 교점의 좌표는 \((1, 1)\)과 \((3, 3)\)이다.

두 점 \((1, 1)\), \((3, 3)\)을 곡선 \(y = a^{x-m}\)의 식에 각각 대입한다.
\[ a^{1-m} = 1, \quad a^{3-m} = 3 \] \(a > 1\)이므로 \(a^0 = 1\)에서 \(1 - m = 0 \implies m = 1\)이다.
\(m = 1\)을 두 번째 식에 대입하면 다음과 같다.
\[ a^{3-1} = a^2 = 3 \implies a = \sqrt{3} \quad (\because a > 1) \] 따라서 \(a = \sqrt{3}, m = 1\)이다.

함수 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + (1 + \log_2 a)\)라 두자.
도함수를 구하여 극값을 조사한다.
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \] \(f'(x) = 0\)의 해는 \(x = 0, 2\)이다.
\(f(x)\)는 \(x = 0\)에서 극대, \(x = 2\)에서 극소를 가진다.

삼차방정식 \(f(x) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가지려면 (극댓값) \(\times\) (극솟값) \(< 0\)이어야 한다.
\[ \begin{aligned} f(0) &= 1 + \log_2 a \\ f(2) &= 2^3 - 3(2)^2 + (1 + \log_2 a) = 8 - 12 + 1 + \log_2 a = \log_2 a - 3 \end{aligned} \] 따라서 다음 부등식을 얻는다.
\[ (1 + \log_2 a)(\log_2 a - 3) < 0 \implies -1 < \log_2 a < 3 \] 밑이 \(2\)인 지수부등식으로 변환하면 다음과 같다.
\[ 2^{-1} \lt a \lt 2^3 \iff \frac{1}{2} \lt a \lt 8 \]

도함수 \(f'(x)\)를 구하여 인수분해한다.
\[ f'(x) = x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) \] \(f'(x) = 0\)의 근은 \(x = -3, 1\)이다.

증감표에 의해 \(f'(x)\)는 \(x = -3\)에서 극대, \(x = 1\)에서 극소를 가진다.
따라서 극솟값은 다음과 같다.
\[ f(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + 1^2 - 3(1) + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + 1 - 3 + \frac{2}{3} = -1 \]

곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \((1, g(1))\)에서의 접선의 기울기가 \(3\)이므로 \(g'(1) = 3\)이다.
[문제 2-1]에서 \(f(1) = -1\)이고, \(f'(x) = x^2 + 2x - 3\)이므로 \(f'(1) = 0\)이다.

함수의 곱의 미분법에 의해 \(h'(x)\)를 구한다.
\[ h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \] \(x = 1\)을 대입하면 다음과 같다.
\[ h'(1) = f'(1)g(1) + f(1)g'(1) = 0 \times g(1) + (-1) \times 3 = -3 \]

부등식의 식을 이항하여 정리한다.
\[ f(x) - \left(-3x^2 + 17x + \frac{1}{3}\right) \ge a \] 좌변의 함수를 \(h(x)\)라 정의하자.
\[ \begin{aligned} h(x) &= \left(\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x + \frac{2}{3}\right) - \left(-3x^2 + 17x + \frac{1}{3}\right) \\ &= \frac{1}{3}x^3 + 4x^2 - 20x + \frac{1}{3} \end{aligned} \]

도함수 \(h'(x)\)를 구하여 인수분해한다.
\[ h'(x) = x^2 + 8x - 20 = (x + 10)(x - 2) \] \(x > 0\)인 범위에서 \(h'(x) = 0\)의 근은 \(x = 2\)뿐이다.
\(0 \lt x \lt 2\)에서 \(h'(x) < 0\) (감소), \(x > 2\)에서 \(h'(x) > 0\) (증가)이므로
\(h(x)\)는 \(x = 2\)에서 최솟값을 갖는다.
\[ \begin{aligned} h(2) &= \frac{1}{3}(8) + 4(4) - 20(2) + \frac{1}{3} = \frac{8}{3} + 16 - 40 + \frac{1}{3} \\ &= \frac{9}{3} - 24 = 3 - 24 = -21 \end{aligned} \] \(x > 0\)인 모든 실수에 대하여 \(h(x) \ge a\)가 성립하려면 최솟값이 \(a\) 이상이어야 한다.
\[ a \le -21 \] 따라서 실수 \(a\)의 최댓값은 \(-21\)이다.

[문제 2-1]에 의해 \(f(x)\)는 \(x = 1\)에서 극솟값 \(-1\)을 가진다.
따라서 직선 \(y = -1\)은 곡선 \(y = f(x)\)에 \(x = 1\)에서 접한다.
\(f(x) = -1\)의 다른 교점을 구하면 다음과 같다.
\[ \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x + \frac{2}{3} = -1 \iff x^3 + 3x^2 - 9x + 5 = 0 \] \(x = 1\)이 중근이므로 조립제법으로 인수분해하면 \((x - 1)^2(x + 5) = 0\)이다.
따라서 다른 한 교점은 \((-5, -1)\)이다.

닫힌구간 \([k, k+2]\)에서 \(f(x)\)의 최솟값이 \(-1\)이 되는 경우는 다음과 같다.
(1) 교점 \((-5, -1)\)을 지나는 경우:
\(f(-5) = -1\)이고 \(x < -5\)에서는 \(f(x) < -1\)이므로 구간의 왼쪽 끝점이 \(-5\)이어야 최솟값이 \(-1\)이 된다.
따라서 \(k = -5\)이다. (이때 구간은 \([-5, -3]\)이며 \(f(-3) = \frac{29}{3}\)이므로 최솟값은 \(f(-5) = -1\))
(2) 극소점 \((1, -1)\)을 포함하는 경우:
구간 \([k, k+2]\)가 극소점 \(x = 1\)을 포함하면 구간 내 최솟값은 극솟값 \(-1\)이 된다.
단, \(x < -5\)에서는 함숫값이 \(-1\)보다 작아지므로 구간의 왼쪽 끝 \(k \ge -1\)이어야 한다.
\[ k \le 1 \le k + 2 \iff -1 \le k \le 1 \] 따라서 정수 \(k\)의 값은 \(-1, 0, 1\)이다.
(1), (2)에 의하여 구하는 정수 \(k\)는 \(-5, -1, 0, 1\)이다.

조건 (나) 식에 \(x = 0\)을 대입하면 다음과 같다.
\[ f(0 + 2) = \sqrt{3}f(0) \implies f(2) = \sqrt{3}f(0) \] 조건 (가)에 의해 \(1 \le 2 \le 3\)이므로 \(f(2) = 1 - (2 - 2)^2 = 1\)이다.
따라서 \(f(0)\)의 값은 다음과 같다.
\[ f(0) = \frac{1}{\sqrt{3}}f(2) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

조건 (라) 식에 \(x = 0\)을 대입하면 다음과 같다.
\[ g(0 + 2) = \sqrt{3}g(0) \implies g(2) = \sqrt{3}g(0) \] 조건 (다)에 의해 \(2 \le 2 \le 3\)이므로 \(g(2) = (2 - 3)^2 = (-1)^2 = 1\)이다.
따라서 \(g(0)\)의 값은 다음과 같다.
\[ g(0) = \frac{1}{\sqrt{3}}g(2) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

조건 (가), (나)에 의해 세 점의 좌표를 각각 구한다.
- \(f(5) = \sqrt{3}f(3) = \sqrt{3}(1 - (3-2)^2) = 0 \implies A(5, 0)\)
- \(f(6) = \sqrt{3}f(4) = (\sqrt{3})^2 f(2) = 3(1) = 3 \implies B(6, 3)\)
- \(f(7) = \sqrt{3}f(5) = \sqrt{3}(0) = 0 \implies C(7, 0)\)
점 \(A(5, 0)\)과 점 \(C(7, 0)\)은 모두 \(x\)축 위의 점이다.

점 \(B(6, 3)\)에서 직선 \(AC\) (\(x\)축)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하면 \(H(6, 0)\)이다.
직각삼각형 \(ABH\)에서 밑변과 높이는 다음과 같다.
\[ \overline{AH} = 6 - 5 = 1, \quad \overline{BH} = 3 - 0 = 3 \] 피타고라스 정리에 의해 빗변의 길이는 다음과 같다.
\[ \overline{AB} = \sqrt{\overline{AH}^2 + \overline{BH}^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10} \] 따라서 \(\sin A\)의 값은 다음과 같다.
\[ \sin A = \frac{\overline{BH}}{\overline{AB}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \]

조건 (가)에 의해 \(f(1) = 1 - (1 - 2)^2 = 0\)이다.
조건 (나)에 의해 다음이 성립한다.
\[ f(3) = \sqrt{3}f(1) = 0, \quad f(5) = \sqrt{3}f(3) = 0, \quad \cdots \] 따라서 \(n\)이 홀수일 때 \(f(n) = 0\)이다.

짝수 항의 경우, 조건 (가)에 의해 \(f(2) = 1 - (2 - 2)^2 = 1\)이다.
조건 (나)에 의해 \(f(n+2) = \sqrt{3}f(n)\)이므로 짝수 항들은 첫째항이 \(1\), 공비가 \(\sqrt{3}\)인 등비수열을 이룬다.
\[ f(2) = 1, \quad f(4) = \sqrt{3}, \quad f(6) = (\sqrt{3})^2, \quad \dots, \quad f(12) = (\sqrt{3})^5 \]

따라서 구하는 합은 짝수 항 6개의 등비수열의 합이다.
\[ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{13} f(n) &= f(2) + f(4) + f(6) + f(8) + f(10) + f(12) \\ &= 1 + \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 + (\sqrt{3})^4 + (\sqrt{3})^5 \\ &= \frac{(\sqrt{3})^6 - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{27 - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{26}{\sqrt{3} - 1} \\ &= \frac{26(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{26(\sqrt{3} + 1)}{2} = 13(\sqrt{3} + 1) \end{aligned} \]

구간 \([1, 3]\)에서 두 곡선의 개형을 살펴보면 \(x = 2\)에 대하여 대칭이다.
따라서 영역 \(A_1\)과 \(A_2\)의 넓이는 같다 (\(A_1 = A_2\)).
\[ \begin{aligned} A_1 &= \int_1^2 [f(x) - g(x)]\,dx \\ &= \int_1^2 [1 - (x - 2)^2 - (x - 1)^2]\,dx \\ &= \int_1^2 (-2x^2 + 6x - 4)\,dx \\ &= \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 - 4x \right]_1^2 \\ &= \left(-\frac{16}{3} + 12 - 8\right) - \left(-\frac{2}{3} + 3 - 4\right) \\ &= -\frac{4}{3} - \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{1}{3} \end{aligned} \] 따라서 구간 \([1, 3]\)에서의 넓이는 \(A_1 + A_2 = 2A_1 = \frac{2}{3}\)이다.

구간 \([3, 5]\)에서는 조건 (나), (라)에 의해 \(f(x) = \sqrt{3}f(x-2)\), \(g(x) = \sqrt{3}g(x-2)\)이다.
따라서 두 곡선의 차는 구간 \([1, 3]\)의 곡선의 차의 \(\sqrt{3}\)배이다.
\[ \begin{aligned} A_3 &= \sqrt{3}\int_3^4 [1 - (x - 4)^2 - (x - 3)^2]\,dx \\ &= \sqrt{3} A_1 = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned} \] 대칭성에 의해 \(A_4 = A_3\)이므로 구간 \([3, 5]\)에서의 넓이는 다음과 같다.
\[ A_3 + A_4 = 2A_3 = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \] 따라서 닫힌구간 \([1, 5]\)에서 둘러싸인 도형의 전체 넓이는 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \text{전체 넓이} &= 2A_1 + 2A_3 \\ &= \frac{2}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2(1 + \sqrt{3})}{3} \end{aligned} \]

(1) \(g(3) = \alpha\)라 하면 역함수의 정의에 의해 \(f(\alpha) = 3\)이다.
\[ \log_3(\alpha - 1) + 2 = 3 \implies \log_3(\alpha - 1) = 1 \] \[ \alpha - 1 = 3 \implies \alpha = 4 \] 따라서 \(g(3) = 4\)이다.

(2) 함수 \(f(x) = \log_3(x-1) + 2\)의 그래프의 점근선은 진수 조건 \(x-1 > 0\)의 경계인 직선 \(x = 1\)이다.
함수 \(g(x)\)는 \(f(x)\)의 역함수이므로 \(y = g(x)\)의 점근선은 직선 \(y = 1\)이다.
따라서 \(p = 1\)이다.
함수 \(y = \log_2 x - p = \log_2 x - 1\)의 그래프와 직선 \(y = 1\)이 만나는 점의 \(x\)좌표는 다음과 같다.
\[ \log_2 x - 1 = 1 \implies \log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4 \] 따라서 \(k = 4\)이다.

(1) 함수 \(g(x)\)는 \(f(x)\)의 역함수이므로, 두 곡선 \(y = g(x)\)와 \(y = g(-x+n)\)이 점 \((a_n, b_n)\)에서 만나면, \(y = x\) 대칭에 의해 함수 \(y = f(x)\)의 그래프와 함수 \(-y + n = f(x)\)의 그래프는 점 \((b_n, a_n)\)에서 만난다.
따라서 다음 연립방정식이 성립한다.
\[ \begin{aligned} a_n &= \log_3(b_n - 1) + 2 \quad \cdots\cdots \text{㉠} \\ -a_n + n &= \log_3(b_n - 1) + 2 \quad \cdots\cdots \text{㉡} \end{aligned} \] ㉠과 ㉡의 좌변이 같으므로 \(a_n = -a_n + n \implies 2a_n = n \implies a_n = \frac{n}{2}\)이다.
이를 ㉠에 대입하면 \(\log_3(b_n - 1) = \frac{n}{2} - 2\)이므로 \(b_n - 1 = 3^{\frac{n}{2} - 2}\)이다.
따라서 \(a_n = \frac{n}{2}\), \(b_n = 3^{\frac{n}{2}-2} + 1\)이다.

(2) \(n = 4\)일 때 \(a_4 = 2\), \(b_4 = 3^{2-2} + 1 = 2\)이므로 \(P(2, 2)\)이다.
\(n = 6\)일 때 \(a_6 = 3\), \(b_6 = 3^{3-2} + 1 = 4\)이므로 \(Q(3, 4)\)이다.
세 변의 길이를 각각 구하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \overline{OP} &= \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \\ \overline{OQ} &= \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \\ \overline{PQ} &= \sqrt{(3-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \end{aligned} \] 삼각형 \(OPQ\)에서 코사인법칙에 의하여 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \cos(\angle POQ) &= \frac{\overline{OP}^2 + \overline{OQ}^2 - \overline{PQ}^2}{2 \times \overline{OP} \times \overline{OQ}} \\ &= \frac{(2\sqrt{2})^2 + 5^2 - (\sqrt{5})^2}{2 \times 2\sqrt{2} \times 5} \\ &= \frac{8 + 25 - 5}{20\sqrt{2}} = \frac{28}{20\sqrt{2}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10} \end{aligned} \]

[1-1]의 (2)에서 \(k = 4\)이므로 직선의 방정식은 \(y = \frac{4}{4} = 1\)이다.
직선 \(y = 1\)과 \(y = \log_a x\)의 교점은 \(A(a, 1)\)이고,
직선 \(y = 1\)과 \(y = \log_4 x\)의 교점은 \(B(4, 1)\)이다.
점 \(C(1, 1)\)에 대하여 세 점 \(A, B, C\)는 모두 직선 \(y = 1\) 위에 존재한다.
따라서 선분의 길이는 각각 다음과 같다.
\[ \overline{AB} = |a - 4|, \quad \overline{AC} = |a - 1| \]

조건 \(\overline{AB} = 2\overline{AC}\)에 대입하면 다음과 같다.
\[ |a - 4| = 2|a - 1| \] 양변을 제곱하여 풀면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} (a - 4)^2 &= 4(a - 1)^2 \\ a^2 - 8a + 16 &= 4(a^2 - 2a + 1) \\ a^2 - 8a + 16 &= 4a^2 - 8a + 4 \\ 3a^2 &= 12 \implies a^2 = 4 \implies a = 2 \text{ 또는 } a = -2 \end{aligned} \] 문제 조건에서 \(a > 1, a \neq 4\)이므로 구하는 값은 \(a = 2\)이다.

(1) 함수 \(f(x)\)가 \(x = 2\)에서 극솟값 \(-2\)를 가지므로 \(f(2) = -2\), \(f'(2) = 0\)이다.
\(f(2) = -2\)에서 다음이 성립한다.
\[ 8 + 4a + 2b + 2 = -2 \implies 4a + 2b = -12 \implies 2a + b = -6 \quad \cdots\cdots \text{㉠} \] \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\)이므로 \(f'(2) = 0\)에서 다음이 성립한다.
\[ 12 + 4a + b = 0 \implies 4a + b = -12 \quad \cdots\cdots \text{㉡} \] ㉡에서 ㉠을 빼면 \(2a = -6 \implies a = -3\)이고, 이를 ㉠에 대입하면 \(b = 0\)이다.
따라서 구하는 함수는 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)이다.

(2) \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\), \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)에서 다음과 같다.
\[ f(3) = 27 - 27 + 2 = 2, \quad f'(3) = 27 - 18 = 9 \] 따라서 곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(P(3, 2)\)에서의 접선의 기울기는 \(9\)이므로, 점 \(P\)에서의 접선과 수직인 직선(법선)의 기울기는 \(-\frac{1}{9}\)이다.
점 \(P(3, 2)\)를 지나고 기울기가 \(-\frac{1}{9}\)인 직선의 방정식은 다음과 같다.
\[ y - 2 = -\frac{1}{9}(x - 3) \implies y = -\frac{1}{9}x + \frac{1}{3} + 2 = -\frac{1}{9}x + \frac{7}{3} \]

\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)이므로 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x - 1\)의 교점의 \(x\)좌표를 구한다.
\[ \begin{aligned} x^3 - 3x^2 + 2 = x - 1 &\implies x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0 \\ &\implies x^2(x - 3) - (x - 3) = 0 \\ &\implies (x^2 - 1)(x - 3) = 0 \\ &\implies (x + 1)(x - 1)(x - 3) = 0 \end{aligned} \] 따라서 세 교점의 \(x\)좌표는 \(x = -1\), \(x = 1\), \(x = 3\)이다.

곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S\)라 하면 구간별 대소관계에 의해 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} S &= \int_{-1}^1 \{(x^3 - 3x^2 + 2) - (x - 1)\}\,dx \\ &\quad + \int_1^3 \{(x - 1) - (x^3 - 3x^2 + 2)\}\,dx \end{aligned} \] 첫 번째 적분은 대칭성을 활용하여 우함수·기함수 정리를 적용한다.
\[ \begin{aligned} \int_{-1}^1 (x^3 - 3x^2 - x + 3)\,dx &= 2\int_0^1 (-3x^2 + 3)\,dx \\ &= 2\left[-x^3 + 3x\right]_0^1 \\ &= 2(-1 + 3) = 4 \end{aligned} \] 두 번째 적분을 계산한다.
\[ \begin{aligned} \int_1^3 (-x^3 + 3x^2 + x - 3)\,dx &= \left[-\frac{1}{4}x^4 + x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 3x\right]_1^3 \\ &= \left(-\frac{81}{4} + 27 + \frac{9}{2} - 9\right) \\ &\quad - \left(-\frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2} - 3\right) \\ &= \frac{9}{4} - \left(-\frac{7}{4}\right) = \frac{16}{4} = 4 \end{aligned} \] 따라서 구하는 둘러싸인 부분의 넓이는 다음과 같다.
\[ S = 4 + 4 = 8 \]

\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)이므로 \(g(x)\)를 정리하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} g(x) &= (x^3 - 3x^2 + 2) + (3 - c)x^2 + cx - 2 \\ &= x^3 - cx^2 + cx \end{aligned} \]

조건 \((x_1 - x_2)\{g(x_1) - g(x_2)\} > 0\)은 \(x_1 > x_2\)일 때 \(g(x_1) > g(x_2)\)이고, \(x_1 < x_2\)일 때 \(g(x_1) < g(x_2)\)임을 의미하므로, 함수 \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 증가함수이다.
삼차함수 \(g(x)\)가 실수 전체에서 증가하기 위한 필요충분조건은 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g'(x) \ge 0\)인 것이다.
\[ g'(x) = 3x^2 - 2cx + c \ge 0 \] 이차방정식 \(3x^2 - 2cx + c = 0\)의 판별식을 \(D\)라 할 때, 항상 \(0\) 이상이 되려면 \(D \le 0\)이어야 한다.
\[ \frac{D}{4} = (-c)^2 - 3c = c^2 - 3c \le 0 \implies c(c - 3) \le 0 \] 따라서 \(0 \le c \le 3\)이다.
그러므로 구하는 실수 \(c\)의 최댓값은 \(3\)이다.

최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)는 최고차항의 계수가 \(3\)인 이차함수이다.
조건 (가)에서 \(f'(-1) = 0\), \(f'(2) = 0\)이므로 다음과 같다.
\[ f'(x) = 3(x + 1)(x - 2) = 3(x^2 - x - 2) = 3x^2 - 3x - 6 \] 이를 부정적분하면 \(f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x + C\)이다. (단, \(C\)는 적분상수)

조건 (나)에서 정적분 값을 계산한다.
\[ \begin{aligned} \int_0^2 \left(x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x + C\right)\,dx &= \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^3 - 3x^2 + Cx\right]_0^2 \\ &= 4 - 4 - 12 + 2C = 2C - 12 = -2 \end{aligned} \] \(2C = 10 \implies C = 5\)이므로 함수는 다음과 같다.
\[ f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x + 5 \]

조건 (다)의 미분계수 극한식을 정리한다.
\[ \begin{aligned} \lim_{h \to 0} \frac{f(p+h) - f(p-2h)}{h} &= \lim_{h \to 0} \left\{ \frac{f(p+h) - f(p)}{h} + 2 \times \frac{f(p-2h) - f(p)}{-2h} \right\} \\ &= f'(p) + 2f'(p) = 3f'(p) = -18 \end{aligned} \] 따라서 \(f'(p) = -6\)이다.
\(f'(p) = 3p^2 - 3p - 6 = -6 \implies 3p^2 - 3p = 0 \implies 3p(p - 1) = 0\)
\(p = 0\) 또는 \(p = 1\)인데 문제에서 \(p\)는 양수이므로 \(p = 1\)이다.
따라서 \(f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x + 5\), \(p = 1\)이다.

(1) [3-1]에서 \(f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x + 5\), \(p = 1\)이다.
조건 (가)에서 \(g(1) = -1\)이다.    \(\cdots\cdots \text{㉠}\)
조건 (나)의 식에 \(f(x)\)를 대입하여 정리하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} xg(x) &= 2\left(x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 6x + 5\right) + ax^2 + 12x - 13 + \int_1^x g(t)\,dt \\ &= 2x^3 - 3x^2 - 12x + 10 + ax^2 + 12x - 13 + \int_1^x g(t)\,dt \\ &= 2x^3 + (a - 3)x^2 - 3 + \int_1^x g(t)\,dt \quad \cdots\cdots \text{㉡} \end{aligned} \] ㉡의 양변에 \(x = 1\)을 대입하면 다음과 같다.
\[ 1 \cdot g(1) = 2 + (a - 3) - 3 + 0 = a - 4 \] ㉠에서 \(g(1) = -1\)이므로 \(-1 = a - 4 \implies a = 3\)이다.
㉡의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 다음과 같다.
\[ g(x) + xg'(x) = 6x^2 + 2(a - 3)x + g(x) \] 양변에서 \(g(x)\)를 소거하면 \(xg'(x) = 6x^2 + 2(a - 3)x\)이다.
\(a = 3\)이므로 \(xg'(x) = 6x^2\)이고, \(g'(x)\)는 다항함수이므로 \(g'(x) = 6x\)이다.
양변을 부정적분하면 \(g(x) = 3x^2 + C\) (단, \(C\)는 적분상수)이다.
\(g(1) = -1\)이므로 \(3 + C = -1 \implies C = -4\)이다.
따라서 \(a = 3\), \(g(x) = 3x^2 - 4\)이다.

(2) 함수 \(y = g(x)\)에서 \(x\)의 값이 \(1\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율은 다음과 같다.
\[ \frac{g(3) - g(1)}{3 - 1} = \frac{(3 \cdot 9 - 4) - (-1)}{2} = \frac{23 - (-1)}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] 한편, \(g'(x) = 6x\)이므로 \(g'(1) = 6\)이다.
평균변화율이 \(k g'(1)\)과 같으므로 다음과 같다.
\[ 12 = k \cdot 6 \implies k = 2 \]

(1) \(g(4) = \alpha\)라 하면 역함수의 정의에 의해 \(f(\alpha) = 4\)이다.
\[ 2^{\alpha + 1} - 4 = 4 \implies 2^{\alpha + 1} = 8 = 2^3 \] \[ \alpha + 1 = 3 \implies \alpha = 2 \] 따라서 \(g(4) = 2\)이다.

(2) 함수 \(y = g(x)\)의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(a\)만큼 평행이동한 그래프의 식은 \(y = g(x - a)\)이다.
이 그래프가 점 \((2, 1)\)을 지나므로 다음이 성립한다.
\[ 1 = g(2 - a) \iff f(1) = 2 - a \] \(f(1) = 2^{1+1} - 4 = 4 - 4 = 0\)이므로 다음과 같다.
\[ 2 - a = 0 \implies a = 2 \] 또한 함수 \(y = \log_b x\)의 그래프도 점 \((2, 1)\)을 지나므로 다음과 같다.
\[ 1 = \log_b 2 \implies b^1 = 2 \implies b = 2 \] 따라서 \(a = 2, b = 2\)이다.

[1-1]의 (2)에서 \(a = 2, b = 2\)이므로 두 함수는 다음과 같다.
\[ y = 2^{x+1}, \quad y = -\left(\frac{1}{2}\right)^x + 3 \] 두 그래프의 교점의 \(x\)좌표는 다음과 같은 지수방정식을 만족한다.
\[ 2^{x+1} = -\left(\frac{1}{2}\right)^x + 3 \implies 2 \cdot 2^x = -\frac{1}{2^x} + 3 \] \(2^x = X \; (X > 0)\)로 치환하고 양변에 \(X\)를 곱하여 정리한다.
\[ 2X^2 - 3X + 1 = 0 \implies (2X - 1)(X - 1) = 0 \] 따라서 \(X = \frac{1}{2}\) 또는 \(X = 1\)이다.

\(2^x = \frac{1}{2} = 2^{-1} \implies x = -1\),
\(2^x = 1 = 2^0 \implies x = 0\)
각 점의 \(y\)좌표를 구하면 다음과 같다.
\(x = -1\)일 때 \(y = 2^{-1+1} = 2^0 = 1\),
\(x = 0\)일 때 \(y = 2^{0+1} = 2^1 = 2\)
따라서 서로 다른 두 점의 \(y\)좌표의 합 \(k\)는 다음과 같다.
\[ k = 1 + 2 = 3 \]

(1) [1-2]에서 \(k = 3\)이므로 \(\overline{AB} = \overline{AC} = 3\)이다.
선분 \(AB\)를 \((k+1) : 1 = 4 : 1\)로 외분하는 점을 \(D\)라 하면 다음과 같다.
\[ \overline{AD} : \overline{BD} = 4 : 1 \implies \overline{AB} : \overline{BD} = 3 : 1 \] \(\overline{AB} = 3\)이므로 \(\overline{BD} = 1\)이고, \(\overline{AD} = \overline{AB} + \overline{BD} = 3 + 1 = 4\)이다.
삼각형 \(ADC\)에서 세 변의 길이는 \(\overline{AC} = 3\), \(\overline{AD} = 4\), \(\overline{CD} = 2\sqrt{3}\)이다.
삼각형 \(ADC\)에서 코사인법칙에 의하여 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \cos(\angle DAC) &= \frac{\overline{AC}^2 + \overline{AD}^2 - \overline{CD}^2}{2 \times \overline{AC} \times \overline{AD}} \\ &= \frac{3^2 + 4^2 - (2\sqrt{3})^2}{2 \times 3 \times 4} \\ &= \frac{9 + 16 - 12}{24} = \frac{13}{24} \end{aligned} \]

(2) 점 \(A, B, D\)는 일직선 위에 있으므로 \(\angle BAC = \angle DAC\)이다.
따라서 \(\cos(\angle BAC) = \cos(\angle DAC) = \frac{13}{24}\)이다.
삼각형 \(ABC\)에서 코사인법칙에 의하여 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} \overline{BC}^2 &= \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2 \times \overline{AB} \times \overline{AC} \times \cos(\angle BAC) \\ &= 3^2 + 3^2 - 2 \times 3 \times 3 \times \frac{13}{24} \\ &= 9 + 9 - 18 \times \frac{13}{24} = 18 - \frac{39}{4} = \frac{72 - 39}{4} = \frac{33}{4} \end{aligned} \] 길이는 양수이므로 선분 \(BC\)의 길이는 다음과 같다.
\[ \overline{BC} = \sqrt{\frac{33}{4}} = \frac{\sqrt{33}}{2} \]

함수 \(f(x)\)를 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\)라 하면 \(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\)이다.
조건 (가)에서 \(x \to 0\)일 때 (분모) \(\to 0\)이고 극한값이 존재하므로 (분자) \(\to 0\)이어야 한다.
따라서 \(\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0\)이므로 \(c = 0\)이다.
미분계수의 정의에 의해 다음과 같다.
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0) = -4 \] 따라서 \(b = -4\)이다.

도함수는 \(f'(x) = 3x^2 + 2ax - 4\)이다.
조건 (나)에서 \(f'(2) = 0\)이므로 다음이 성립한다.
\[ f'(2) = 3(2^2) + 2a(2) - 4 = 12 + 4a - 4 = 4a + 8 = 0 \implies a = -2 \] \(a = -2, b = -4, c = 0\)이므로 구하는 함수는 다음과 같다.
\[ f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x \]

\(f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x\)이므로 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = -4x\)의 교점의 \(x\)좌표를 구한다.
\[ \begin{aligned} x^3 - 2x^2 - 4x = -4x &\implies x^3 - 2x^2 = 0 \\ &\implies x^2(x - 2) = 0 \end{aligned} \] 따라서 교점의 \(x\)좌표는 \(x = 0\) (중근, 접점)과 \(x = 2\)이다.

구간 \([0, 2]\)에서 \(-4x \ge x^3 - 2x^2 - 4x\)이므로, 둘러싸인 부분의 넓이를 \(S\)라 하면 다음과 같다.
\[ \begin{aligned} S &= \int_0^2 \{-4x - (x^3 - 2x^2 - 4x)\}\,dx \\ &= \int_0^2 (-x^3 + 2x^2)\,dx \\ &= \left[-\frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3\right]_0^2 \\ &= -\frac{1}{4}(16) + \frac{2}{3}(8) \\ &= -4 + \frac{16}{3} = \frac{4}{3} \end{aligned} \] 따라서 둘러싸인 부분의 넓이는 \(\frac{4}{3}\)이다.

\(f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x\)이므로 \(g(x)\)에 대입하여 정리한다.
\[ \begin{aligned} g(x) &= (x^3 - 2x^2 - 4x) + (k + 2)x^2 + (k + 10)x \\ &= x^3 + kx^2 + (k + 6)x \end{aligned} \]

조건 “\(x_1 \neq x_2\)이면 \(g(x_1) \neq g(x_2)\)”는 함수 \(g(x)\)가 일대일함수임을 의미한다.
삼차함수 \(g(x)\)의 최고차항의 계수가 \(1\)로 양수이고 일대일함수이므로, \(g(x)\)는 실수 전체의 집합에서 증가해야 한다.
따라서 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g'(x) \ge 0\)이어야 한다.
\[ g'(x) = 3x^2 + 2kx + k + 6 \ge 0 \] 이차방정식 \(3x^2 + 2kx + k + 6 = 0\)의 판별식을 \(D\)라 하면 \(D \le 0\)이어야 한다.
\[ \frac{D}{4} = k^2 - 3(k + 6) \le 0 \implies k^2 - 3k - 18 \le 0 \implies (k - 6)(k + 3) \le 0 \] 따라서 \(-3 \le k \le 6\)이다.
그러므로 구하는 실수 \(k\)의 최댓값은 \(6\)이다.

삼차함수 \(f(x)\)의 최고차항의 계수를 \(a \; (a \neq 0)\)라 하면, 조건 (가)에서 \(x = 0, 2\)에서 극값을 가지므로 \(f'(0) = 0\), \(f'(2) = 0\)이다.
따라서 도함수는 다음과 같다.
\[ f'(x) = 3ax(x - 2) = 3ax^2 - 6ax \] 조건 (나)의 미분계수 극한식을 변형하면 다음과 같다.
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(1+3h) - f(1)}{h} = 3 \lim_{h \to 0} \frac{f(1+3h) - f(1)}{3h} = 3f'(1) = -9 \] 따라서 \(f'(1) = -3\)이다.
\(f'(1) = 3a(1) - 6a(1) = -3a = -3 \implies a = 1\)이다.
따라서 \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)이고, 부정적분하면 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + C\) (단, \(C\)는 적분상수)이다.

조건 (다)에서 \([-1, 1]\) 구간의 정적분에 기함수·우함수 성질을 적용한다.
\[ \int_{-1}^1 (x^3 - 3x^2 + C)\,dx = 2\int_0^1 (-3x^2 + C)\,dx = 2\left[-x^3 + Cx\right]_0^1 = 2(-1 + C) = 4 \] \(-1 + C = 2 \implies C = 3\)이다.
따라서 구하는 삼차함수는 다음과 같다.
\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 3 \]