2027학년도 중앙대학교 모의논술 [창의형] 수학 문제집

📝 [문제 1] 미적분 배점: 15점

[문제 1] 곡선 $y = x^3 - x$ 위의 점 $(1, 0)$에서의 접선을 $l$이라 하자. (15점)

(1-1) 곡선 $y = x^3 - x$와 직선 $l$의 교점을 구하시오. (단, 접점 $(1, 0)$은 제외한다.) [5점]

(1-2) 닫힌구간 $\left[-2-\frac{1}{n}, -2+\frac{1}{n}\right]$에서 곡선 $y = x^3 - x$와 직선 $l$ 사이의 넓이를 $A_n$이라 할 때, $\lim_{n \to \infty}(n^2 A_n)$의 값을 구하시오. [10점]

📝 [문제 2] 미적분 배점: 15점

[문제 2] 음함수 표현 $x^4 + 7x^2 y^2 + y^4 = 45$에 대하여 $x = a$에서 $\frac{dy}{dx} = -1$이다. $a$의 값을 모두 구하시오. (단, $x > 0$이고 $y > 0$이다.) (15점)

📝 [문제 3] 미적분 배점: 15점

[문제 3] 양의 실수 $a$에 대하여 함수 $g(x)$를 다음과 같이 정의한다. (15점) $$g(x) = x + a\int_0^x e^{-t^2}dt$$

(3-1) 함수 $g(x)$가 증가하는 구간을 구하시오. [5점]

(3-2) 정적분 $\int_0^{g(1)} g^{-1}(x)dx = 1$을 만족시키는 $a$를 구하시오. [10점]

📝 [문제 4] 수열과 급수 배점: 15점

[문제 4] 좌표평면에서 곡선 $y = \sqrt{x}$ 위의 점 $P_n(a_n^2, a_n)$과 $x$축 위의 점 $Q_n(b_n, 0)$을 다음과 같이 정의한다. (15점)

(i) 점 $P_1$의 좌표는 $(1, 1)$이다. (즉, $a_1 = 1$이다.)
(ii) $P_n(a_n^2, a_n)$을 지나고 기울기 $-1$인 직선이 $x$축과 만나는 점을 $Q_n(b_n, 0)$이라 한다.
(iii) $Q_n(b_n, 0)$을 지나고 기울기 $1$인 직선이 곡선 $y = \sqrt{x}$와 만나는 점을 $P_{n+1}(a_{n+1}^2, a_{n+1})$이라 한다.

삼각형 $P_n Q_n P_{n+1}$의 넓이를 $S_n$이라 할 때 급수 $\sum_{n=1}^{10} S_n$의 값을 구하시오.

📝 [문제 5] 미적분 심화 배점: 20점

[문제 5] 실수 $a, b$에 대하여 함수 $f(x) = e^{x+\frac{\pi}{3}}(a\sin x + b\cos x)$가 다음을 만족시킨다. (20점) $$f\left(\frac{\pi}{6}\right) = f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{\frac{\pi}{2}}$$

(5-1) 실수 $a, b$를 구하시오. [10점]

(5-2) 닫힌구간 $[0, \pi]$에서 $f(x)$의 최댓값을 구하시오. [10점]

📝 [문제 6] 미적분 심화 배점: 20점

[문제 6] 좌표평면에서 점 $P(t, 0)$을 지나는 직선 중 곡선 $y = e^{|x|}$과 한 점에서 만나는 직선이 세 개 있다. 세 직선이 곡선 $y = e^{|x|}$과 만나는 점을 각각 $A(a_1, a_2), B(b_1, b_2), C(c_1, c_2)$라 하고 삼각형 $ABC$의 넓이를 $S(t)$라 하자. (20점)

(6-1) 점 $A, B, C$의 좌표를 $t$의 함수로 표현하시오. (단, $2 \le t \le 3$이고 $a_1 < b_1 < c_1$이다.) [10점]

(6-2) 정적분 $\int_2^3 S(t)dt$를 구하시오. [10점]

📝 [문제 7] (의·약학부 전용 추가 문항) 기하 심화 배점: 15점

[문제 7] 점 $P(t, 3)$에서 타원 $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1$에 그은 두 접선이 이루는 예각이 $45^\circ$일 때, $t^2$의 값을 구하시오. (15점)

📝 [문제 8] (의·약학부 전용 추가 문항) 기하 심화 배점: 15점

[문제 8] 반지름의 길이가 $1$인 원 위의 세 점 $A, B, C$에 대하여 내적 $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$가 최솟값을 가질 때, 그 값과 삼각형 $ABC$의 넓이를 구하시오. (15점)