2027학년도 중앙대학교 모의논술 [일반형] 수학 문제집

📝 [문제 1] 확률과 통계 배점: 20점

[문제 1] 갑과 을 두 사람이 아래와 같은 규칙으로 게임을 한다. 풀이와 함께 물음에 답하시오. (20점)

• 갑은 $1$부터 $n$까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 $n$장의 카드에서 임의로 한 장의 카드를 꺼낸다. (단, $n \ge 11$이다.)
• 을은 $1$부터 $11$까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 $11$장의 카드에서 특정 수 $k$ ($1 \le k \le 11$)가 적힌 카드는 제거하고, 나머지 $10$장의 카드 중에서 임의로 한 장의 카드를 꺼낸다.
• 두 사람이 꺼낸 카드에 적힌 수를 비교하여 더 큰 수를 꺼낸 사람이 승자가 된다.
• 만약 두 수가 동일하면 무승부가 되고 꺼낸 카드는 다시 넣는다.
• 게임은 승부가 날 때까지 같은 규칙으로 진행한다.

(1-1) 갑이 승자가 될 확률과 을이 승자가 될 확률이 서로 같아지도록 하는 순서쌍 $(n, k)$를 모두 구하시오.

📝 [문제 2] 미적분 배점: 20점

【제시문】

• 음함수 표현 $f(x, y) = 0$에서 $y$를 $x$에 대한 함수로 보고 각 항을 $x$에 대하여 미분하여 $\frac{dy}{dx}$를 구한다.
• 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = g(t)$의 도함수 $g'(t)$가, $a = g(\alpha), b = g(\beta)$일 때 $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다. $$\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)dt$$

좌표평면 위의 두 점 $A(-1, 0)$, $B(1, 0)$에 대하여 점 $P(x, y)$가 음함수 표현 $\overline{PA} \times \overline{PB} = 1$을 만족시킨다. (단, $x > 0$이고 $y > 0$이다.) 이를 바탕으로 문제 [2-1], [2-2]를 풀이하시오. (20점)

(2-1) $\frac{dy}{dx}$를 구하고, $(x, y) = (a, b)$에서 $\frac{dy}{dx} = 0$이 되게 하는 $a, b$를 구하시오. [12점]

(2-2) 정적분 $\int_a^1 x y^2 dx$의 값을 구하시오. (단, $a$는 문제 [2-1]에서 구한 값이다.) [8점]

📝 [문제 3] 수학 I 배점: 30점

【제시문】

• $x$의 값의 범위가 $\alpha \le x \le \beta$일 때 이차함수 $f(x) = a(x-p)^2 + q$의 최댓값과 최솟값은 다음과 같다.
(i) $\alpha \le p \le \beta$이면 $f(\alpha), f(p), f(\beta)$ 중에서 가장 큰 값이 최댓값이고 가장 작은 값이 최솟값이다.
(ii) $p < \alpha$ 또는 $p > \beta$이면 $f(\alpha), f(\beta)$ 중에서 큰 값이 최댓값이고 작은 값이 최솟값이다.
• 로그함수 $y = \log_a x$는 $a > 1$일 때, $x$의 값이 증가하면 $y$의 값도 증가한다.
• 삼각함수 $y = \sin x$는 주기함수이고 주기는 $2\pi$이다.

(3-1) 양의 실수 $a$에 대하여 $k = 2^a$이라 하자. 함수 $f(x)$를 $f(x) = |(\log_k x + 4)(\log_k x - 8)|$이라 하고 $\frac{1}{4} \le x \le 16$일 때, $f(x) \ge 29$가 성립하도록 하는 $a$의 최솟값을 구하시오. [15점]

(3-2) 양의 실수 $a$에 대하여 $0 \le x \le 2\pi$에서 정의된 함수 $f(x) = |4\sin^2 x - 4\sin x - a|$이 있다. $0 \le x \le 2\pi$에서 함수 $f(x)$의 최댓값을 $M$이라 할 때, $x$에 대한 방정식 $f(x) = M$이 구간 $[0, 2\pi]$에서 서로 다른 세 실근 $x_1, x_2, x_3$을 갖는다. $a$와 $x_1, x_2, x_3$의 값을 구하시오. [15점]

📝 [문제 4] 미적분 배점: 30점

【제시문】

• 닫힌구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f(x)$에 대하여 미분가능한 함수 $x = g(t)$의 도함수 $g'(t)$가, $a = g(\alpha), b = g(\beta)$일 때 $\alpha, \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면 다음 식이 성립한다: $\int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(g(t))g'(t)dt$
• 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $P(a, f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y - f(a) = f'(a)(x-a)$이다.
• $\int_a^b f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a^b f'(x)g(x)dx$, • $y = x^n$이면 $y' = n x^{n-1}$이다.

(4-1) 좌표평면에서 점 $(t, 0)$을 지나고 곡선 $y = e^{x^2}$과 접하는 직선이 두 개 있다. 두 접선의 기울기를 각각 $m_1(t), m_2(t)$라 할 때 다음 정적분의 값을 구하시오. [15점] $$\int_0^2 t^3 m_1(t) m_2(t) dt$$

(4-2) 자연수 $n$에 대하여 함수 $f(x) = |x-1|^{\frac{n}{13}} + |x+1|^{\frac{n}{13}}$의 최솟값을 $a_n$이라 하자. 급수 $\sum_{n=1}^{27} a_n$의 값을 구하시오. [15점]

📝 [문제 5] (의·약학부 전용 추가 문항) 기하 심화 배점: 30점

【제시문】

• 초점이 $F(p, 0)$, 준선이 $x = -p$인 포물선의 방정식은 $y^2 = 4px$이다. (단, $p \ne 0$이다.)
• 두 직선 $l, m$이 꼬인 위치에 있을 때, 직선 $m$ 위의 임의의 점 $O$를 지나고 직선 $l$에 평행한 직선 $l'$을 그으면 두 직선 $l', m$은 점 $O$에서 만나므로 한 평면을 결정한다. 이때 두 직선 $l'$과 $m$이 이루는 각을 두 직선 $l, m$이 이루는 각이라 한다.

(5-1) 초점이 $F$인 포물선 $y^2 = 4x$ 위에 있는 제1사분면 위의 점 $P$에서의 접선이 $y$축과 만나는 점을 $Q$라 하자. $\angle PFQ = 30^\circ$일 때 사각형 $OFPQ$의 넓이를 구하시오. (단, $O$는 원점이다.) [15점]

(5-2) 그림과 같이 정사면체 $ABCD$에 대하여 모서리 $BC$를 $1:2$로 내분하는 점을 $P$, 모서리 $AD$를 $2:1$로 내분하는 점을 $Q$라 하자. 두 직선 $PQ, CD$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos\theta$의 값을 구하시오. [15점]