1. \(2^x = t\) (\(t > 0\))로 치환하면 주어진 방정식은 \(t^2 - 4t + k = 0\)이 된다.

2. 원래의 지수방정식이 서로 다른 두 실근 \(x\)를 가지려면, \(t\)에 대한 이차방정식이 '서로 다른 두 양의 실근'을 가져야 한다.

3. 조건 검토:
- (1) 판별식: \(D/4 = (-2)^2 - k = 4 - k > 0 \implies k < 4\)
- (2) 두 근의 합: \(4 > 0\) (항상 만족)
- (3) 두 근의 곱: \(k > 0\)

4. 따라서 구하는 실수 \(k\)의 범위는 \(0 < k < 4\)이다.

[정답] \(0 < k < 4\)

1. 부채꼴의 둘레: \(2r + l = 24 \implies l = 24 - 2r\) (단, \(0 < r < 12\)).

2. 부채꼴의 넓이: \(S = \frac{1}{2} r l = \frac{1}{2} r (24 - 2r) = -r^2 + 12r = -(r-6)^2 + 36\).

3. 따라서 넓이 \(S\)는 \(r = 6\text{cm}\)일 때 최댓값 \(S = 36\text{cm}^2\)을 갖는다.

4. 이때 호의 길이 \(l = 24 - 12 = 12\text{cm}\)이므로 중심각 \(\theta = \frac{l}{r} = \frac{12}{6} = 2\)(라디안)이다.

[정답] \(r = 6\text{cm}, \theta = 2, S = 36\text{cm}^2\)

1. 등차수열의 일반항: \(a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 1\).

2. \(a_{n+1} - a_n = 4\)이므로 부분분수 공식 \(\frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}} \right)\)이다.

3. 합의 전개: \[ \sum_{n=1}^{15} \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{4} \left[ \left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{a_{15}} - \frac{1}{a_{16}}\right) \right] = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{16}} \right) \]

4. \(a_1 = 3, a_{16} = 4(16) - 1 = 63\).
\(\frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{63} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{21 - 1}{63} = \frac{1}{4} \cdot \frac{20}{63} = \frac{5}{63}\).

[정답] \(\frac{5}{63}\)

1. \(x \to 2\)일 때 분모가 \(0\)으로 가고 수렴하므로 분자도 \(0\)으로 가야 한다.
\(\sqrt{2+a} - 3 = 0 \implies \sqrt{2+a} = 3 \implies 2+a = 9 \implies a = 7\).

2. 극한값 계산 (분자 유리화):
\(\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+7} - 3}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x+7) - 9}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} = \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x+7}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}\).
따라서 \(b = \frac{1}{6} \implies \frac{1}{b} = 6\).

3. 구하는 값: \(a + \frac{1}{b} = 7 + 6 = 13\).

[정답] \(13\)

1. \(y' = 3x^2 - 6x\). 점 \(P(2, 0)\)에서의 접선의 기울기는 \(y'(2) = 12 - 12 = 0\). 접선의 방정식은 \(y = 0\) (\(x\)축)이다.

2. 곡선과 접선의 교점: \(x^3 - 3x^2 + 4 = 0 \implies (x-2)^2(x+1) = 0\).
접점 \(P(2, 0)\) 외의 다른 교점 \(Q\)의 좌표는 \(Q(-1, 0)\)이다.

3. 선분 \(PQ\)의 길이는 \(|2 - (-1)| = 3\)이다.

[정답] \(3\)

1. \(f(x) = x^3 - 4x + 1\)이라 하면, \(f(x)\)는 다항함수이므로 닫힌구간 \([1, 2]\)에서 연속이다.

2. 구간 양 끝점의 함숫값:
- \(f(1) = 1 - 4 + 1 = -2 < 0\)
- \(f(2) = 8 - 8 + 1 = 1 > 0\)

3. \(f(1) \cdot f(2) < 0\)이므로, 사잇값 정리에 의하여 \(f(c)=0\)을 만족하는 상수 \(c\)가 열린구간 \((1, 2)\)에 적어도 하나 존재한다.

4. 따라서 주어진 방정식은 열린구간 \((1, 2)\)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. (증명 완료)

[정답] 서술 및 증명 완료

1. 주기함수 \(f(x+2) = f(x)\)이므로 주기가 \(2\)이다. 한 주기(길이 2)의 적분값 \(\int_0^2 f(x)\,dx = 5\)이다.

2. 구하는 적분 구간의 길이: \([-2, 4]\)는 길이가 \(6\)이므로 주기가 3회 반복된다.

3. 주기의 성질에 의해: \[ \int_{-2}^4 f(x)\,dx = \int_{-2}^0 f(x)\,dx + \int_0^2 f(x)\,dx + \int_2^4 f(x)\,dx = 3 \times \int_0^2 f(x)\,dx \]

4. 따라서 \(3 \times 5 = 15\)이다.

[정답] \(15\)