정답: (1) \(3\), (2) \(4\) (1) 점 \((a, b)\)가 함수 \(y = f(x) = 2^{x+1} - 1\)의 그래프 위에 있으므로 \(b = 2^{a+1} - 1\)이다. 점 \((a, b)\)와 직선 \(y = 1\) 사이의 거리가 \(2\)이므로 \[\begin{aligned} |b - 1| = 2 \\ & b - 1 = 2 \quad \text{또는} \quad b - 1 = -2 \\ & b = 3 \quad \text{또는} \quad b = -1 \end{aligned}\] 함수 \(f(x) = 2^{x+1} - 1\)의 치역은 \(y > -1\)이므로 \(b > -1\)이다. 따라서 \(b = 3\)이다. (2) \(b = 3\)을 \(b = 2^{a+1} - 1\)에 대입하면 \[ \begin{aligned} 3 = 2^{a+1} - 1 \implies 2^{a+1} \\ & = 4 = 2^2 \implies a + 1 = 2 \implies a = 1 \end{aligned} \] 따라서 \(a + b = 1 + 3 = 4\)이다.

정답: (1) \(\frac{2}{3}\), (2) \(10\sqrt{5}\) (1) 조건 (가) \(\cos B = \cos C\)에서 삼각형 \(\text{ABC}\)의 두 내각 \(B, C \in (0, \pi)\)이므로 \(B = C\)이다. 따라서 \(\triangle \text{ABC}\)는 \(b = c\)인 이등변삼각형이다. 사인법칙에 의해 \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = 9\)이다. 조건 (나) \(\sin A : \sin B = 4 : 3\)이므로 세 변의 길이의 비는 \(a : b : c = 4 : 3 : 3\)이다. 세 변의 길이를 \(a = 4k, b = 3k, c = 3k\) (\(k > 0\))라 하고, 각 \(B\)에 대해 코사인법칙을 적용하면 \[ \begin{aligned} \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\ & = \frac{(4k)^2 + (3k)^2 - (3k)^2}{2(4k)(3k)} = \frac{16k^2}{24k^2} = \frac{2}{3} \end{aligned} \] (2) \(\cos B = \frac{2}{3}\)이고 \(B\)는 예각이므로 \[ \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \] 외접원 지름 \(2R = 9\)이므로 변 \(b\)의 길이는 \[b = 2R \sin B = 9 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = 3\sqrt{5}\] 이등변삼각형이므로 \(c = b = 3\sqrt{5}\)이고, \(a = \frac{4}{3}b = 4\sqrt{5}\)이다. 또한 \(\sin A = \frac{4}{3} \sin B = \frac{4\sqrt{5}}{9}\)이므로 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이 \(S\)는 \[ \begin{aligned} S = \frac{1}{2} b c \sin A \\ & = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{5} \times 3\sqrt{5} \times \frac{4\sqrt{5}}{9} = \frac{1}{2} \times 45 \times \frac{4\sqrt{5}}{9} = 10\sqrt{5} \end{aligned} \]

정답: (1) \(T_5 = \frac{ar^2(r^{10}-1)}{r^2-1}\), (2) \(\frac{1}{16}\) (1) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항을 \(a\), 공비를 \(r\) (\(r > 0\))이라 하자. 수열 \(\{b_n\}\)의 일반항은 \(b_n = a_{2n+1} = a r^{2n}\)이므로 첫째항 \(b_1 = a r^2\), 공비 \(R = r^2\)인 등비수열이다. 수열 \(\{b_n\}\)의 첫째항부터 제 \(5\)항까지의 합 \(T_5\)는 \[ \begin{aligned} T_5 = \frac{b_1 (R^5 - 1)}{R - 1} \\ & = \frac{ar^2 ((r^2)^5 - 1)}{r^2 - 1} = \frac{ar^2 (r^{10} - 1)}{r^2 - 1} \end{aligned} \] (2) \(S_{10} = \frac{a(r^{10}-1)}{r-1}\)이고, 주어진 조건 \(S_{10} = 6 T_5\)에 대입하면 \[ \begin{aligned} \frac{a(r^{10}-1)}{r-1} = 6 \times \frac{ar^2(r^{10}-1)}{r^2-1} \\ & = \frac{6ar^2(r^{10}-1)}{(r-1)(r+1)} \end{aligned} \] 양변을 \(\frac{a(r^{10}-1)}{r-1} \ne 0\)으로 나누면 \[ \begin{aligned} 1 = \frac{6r^2}{r+1} \implies 6r^2 - r - 1 \\ & = 0 \implies (2r-1)(3r+1) = 0 \end{aligned} \] \(r > 0\)이므로 \(r = \frac{1}{2}\)이다. 구하고자 하는 값 \(\frac{b_3}{a_3}\)은 \[ \frac{b_3}{a_3} = \frac{a_7}{a_3} = \frac{a r^6}{a r^2} = r^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \]

정답: (1) \(a = 2\), (2) \(11\) (1) 함수 \(f(x)\)가 \(x=1\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 4\)이다. \[\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1} = 4\] \(x \to 1\)일 때 분모 \(\to 0\)이므로 극값이 존재하기 위해서 분자 \(\to 0\)이어야 한다. \[1^2 + a(1) + b = 0 \implies 1 + a + b = 0 \implies b = -a - 1\] 이를 분자에 대입하여 인수분해하면 \[\begin{aligned} x^2 + ax - a - 1 = (x^2 - 1) + a(x - 1) = (x - 1)(x + 1 + a) \\ & \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1+a)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x + 1 + a) \\ & = 1 + 1 + a = a + 2 \end{aligned}\] 극한값이 \(4\)이므로 \(a + 2 = 4 \implies a = 2\)이다. (2) \(a = 2\)를 \(b = -a - 1\)에 대입하면 \(b = -2 - 1 = -3\)이다. 따라서 \(a - 3b = 2 - 3(-3) = 2 + 9 = 11\)이다.

정답: (1) \(\sqrt{10a^2+8a+2}\), (2) \(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\) (1) 두 점 \(O(0,0) , A(a, 2a+1) , B(a+1, 2a+2)\)에 대하여 선분 \(OA\)의 길이는 \[ \begin{aligned} f(a) = \sqrt{a^2 + (2a+1)^2} \\ & = \sqrt{a^2 + 4a^2 + 4a + 1} = \sqrt{5a^2 + 4a + 1} \end{aligned} \] 선분 \(AB\)의 길이는 \[ \begin{aligned} g(a) = \sqrt{((a+1)-a)^2 + ((2a+2)-(2a+1))^2} \\ & = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \end{aligned} \] 따라서 \(f(a) \times g(a)\)는 \[ \begin{aligned} f(a) \times g(a) = \sqrt{5a^2 + 4a + 1} \times \sqrt{2} \\ & = \sqrt{10a^2 + 8a + 2} \end{aligned} \] (2) \(\lim_{a \to -1} \frac{f(a) - g(a)}{a+1}\)을 구하기 위해 분자를 유리화하면 \[ \begin{aligned} \frac{\sqrt{5a^2+4a+1} - \sqrt{2}}{a+1} = \frac{(5a^2+4a+1) - 2}{(a+1)(\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2})} \\ & = \frac{5a^2+4a-1}{(a+1)(\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2})} \end{aligned} \] 분자를 인수분해하면 \(5a^2 + 4a - 1 = (a+1)(5a-1)\)이므로 \[\frac{(a+1)(5a-1)}{(a+1)(\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2})} = \frac{5a-1}{\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2}}\] \(a \to -1\)일 때의 극한값을 구하면 \[ \begin{aligned} \lim_{a \to -1} \frac{5a-1}{\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2}} = \frac{5(-1)-1}{\sqrt{5(-1)^2+4(-1)+1} + \sqrt{2}} \\ & = \frac{-6}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{-6}{2\sqrt{2}} = -\frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]

정답: (1) \(f(x) = x^2 + 2x - 1\), (2) \(6\) (1) 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수를 \(f(x) = x^2 + bx + c\)라 하자. 조건 (가)에서 \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율이 \(5\)이므로 \[ \begin{aligned} \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{(9 + 3b + c) - c}{3} \\ & = \frac{9 + 3b}{3} = 3 + b = 5 \implies b = 2 \end{aligned} \] 따라서 \(f(x) = x^2 + 2x + c\)이고, 도함수는 \(f'(x) = 2x + 2\)이다. 조건 (나)에서 미분계수의 정의에 의해 \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \left( \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \times \frac{1}{x + 1} \right) \\ & = f'(1) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} f'(1) \end{aligned} \] \(f'(1) = 2(1) + 2 = 4\)이므로 \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}(4) = 2\)이다. 조건 (나)에서 이 극한값이 \(f(1)\)과 같으므로 \(f(1) = 2\)이다. \[f(1) = 1^2 + 2(1) + c = 3 + c = 2 \implies c = -1\] 따라서 구하고자 하는 이차함수는 \(f(x) = x^2 + 2x - 1\)이다. (2) \(f(x) = x^2 + 2x - 1\)과 \(f'(x) = 2x + 2\)에서 \[\begin{aligned} f(3) = 3^2 + 2(3) - 1 = 9 + 6 - 1 = 14 \\ & f'(3) = 2(3) + 2 = 8 \end{aligned}\] 따라서 \(f(3) - f'(3) = 14 - 8 = 6\)이다.

정답: (1) \((-2, -16) , (2, 0)\), (2) \(\frac{64}{3}\) (1) 곡선 \(y = f(x) = x^3 - 2x^2\) 위의 점 \((t, t^3 - 2t^2)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(t) = 3t^2 - 4t\)이다. 접선 \(y = g(x)\)의 방정식은 \[ \begin{aligned} y - (t^3 - 2t^2) = (3t^2 - 4t)(x - t) \implies y \\ & = (3t^2 - 4t)x - 2t^3 + 2t^2 \end{aligned} \] 이 접선이 점 \((0, -8)\)을 지나므로 \[ \begin{aligned} -8 = -2t^3 + 2t^2 \implies t^3 - t^2 - 4 \\ & = 0 \implies (t - 2)(t^2 + t + 2) = 0 \end{aligned} \] \(t^2 + t + 2 > 0\)이므로 실근은 \(t = 2\) 뿐이다. 따라서 접선 \(y = g(x)\)는 기울기 \(f'(2) = 4\), 접점 \((2, 0)\)을 지나므로 \(g(x) = 4(x - 2) = 4x - 8\)이다. 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = g(x)\)의 교점의 \(x\)좌표는 \[ \begin{aligned} x^3 - 2x^2 = 4x - 8 \implies x^3 - 2x^2 - 4x + 8 \\ & = 0 \implies (x - 2)^2 (x + 2) = 0 \end{aligned} \] 따라서 교점의 \(x\)좌표는 \(x = -2\)와 \(x = 2\)이다. \(x = -2\)일 때 \(y = g(-2) = -16\)이고, \(x = 2\)일 때 \(y = g(2) = 0\)이므로 두 교점은 \((-2, -16)\)과 \((2, 0)\)이다. (2) 구간 \([-2, 2]\)에서 \(f(x) - g(x) = (x+2)(x-2)^2 \ge 0\)이므로 곡선 \(y = f(x)\)가 직선 \(y = g(x)\)보다 위에 위치한다. 따라서 둘러싸인 부분의 넓이 \(S\)는 \[ \small \begin{aligned} S = \int_{-2}^{2} (x^3 - 2x^2 - 4x + 8) dx \\ & = 2 \int_{0}^{2} (-2x^2 + 8) dx \\ & S = 2 \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 8x \right]_{0}^{2} \\ & = 2 \left( -\frac{16}{3} + 16 \right) = 2 \left( \frac{32}{3} \right) = \frac{64}{3} \end{aligned} \]

정답: (1) \(\frac{5}{2}\), (2) \(\frac{31}{2}\) (1) 로그함수 \[ f(x) = \log_{\frac{1}{3}} (2x^2 - 10x + a) \] 의 밑은 \(\frac{1}{3}\)로 \(0 < \frac{1}{3} < 1\)이므로 진수가 최소일 때 전체 로그함수 값 \(f(x)\)는 최댓값을 갖는다. 진수를 \(g(x) = 2x^2 - 10x + a\)라 하면 \[ g(x) = 2\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 + a - \frac{25}{2} \] 이다. 진수의 계수가 양수이므로 \(g(x)\)는 \(x = \frac{5}{2}\)에서 최솟값 \(a - \frac{25}{2}\)을 갖는다. 따라서 함수 \(f(x)\)가 최댓값을 갖는 \(x\)의 값은 \(\frac{5}{2}\)이다. (2) \(x = \frac{5}{2}\)에서 함수 \(f(x)\)의 최댓값은 \[ f\left(\frac{5}{2}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \left(a - \frac{25}{2}\right) \] 이다. 이 최댓값이 \(-1\)이므로 \[ \begin{aligned} \log_{\frac{1}{3}} \left(a - \frac{25}{2}\right) = -1 \\ & \implies a - \frac{25}{2} = 3 \\ & \implies a = 3 + \frac{25}{2} = \frac{31}{2} \end{aligned} \] 이다.

정답: (1) \(\frac{1}{4}\), (2) \(\frac{9}{4}\) (1) 삼각함수 사이의 관계에 의해 \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)이므로 이를 식에 대입하면 \[ f(x) = (1 - \cos^2 x) + \cos x - 1 = -\cos^2 x + \cos x \] 이다. 여기서 \(\cos x = t\)로 치환하면 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(-1 \le t \le 1\)이다. 치환된 식을 \[ g(t) = -t^2 + t = -\left(t - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \] 이라 하면, 꼭짓점인 \(t = \frac{1}{2}\)이 범위 \(-1 \le t \le 1\)에 포함되므로 \(t = \frac{1}{2}\)일 때 최댓값 \(M = \frac{1}{4}\)을 갖는다. (2) 양 끝값인 \(t = -1\)과 \(t = 1\)에서의 값을 비교하면 \[ g(-1) = -1 - 1 = -2 , g(1) = -1 + 1 = 0 \] 이다. 따라서 최솟값은 \(m = -2\)이다. 최댓값 \(M = \frac{1}{4}\), 최솟값 \(m = -2\)이므로 구하고자 하는 \(M-m\)의 값은 \[ \frac{1}{4} - (-2) = \frac{9}{4} \] 이다.

정답: (1) \(2\), (2) \(1280\) (1) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항을 \(a_1\), 공비를 \(r\)이라 하면 일반항은 \(a_n = a_1 r^{n-1}\)이다. 주어진 조건 \(a_2 a_4 = 100\)을 대입하면 \[ (a_1 r) \times (a_1 r^3) = a_1^2 r^4 = (a_1 r^2)^2 = a_3^2 = 100 \] 이다. 모든 항이 실수이므로 \(a_3 = 10\) 또는 \(a_3 = -10\)이다. 또한 \[ a_6 = a_1 r^5 = (a_1 r^2)r^3 = a_3 r^3 = 80 \] 이다. 만약 \(a_3 = -10\)이면 \[ \begin{aligned} -10r^3 = 80 \\ & \implies r^3 = -8 \implies r = -2 \end{aligned} \] 가 되는데, 이는 공비 \(r\)이 양수라는 조건에 모순이다. 따라서 \(a_3 = 10\)이고 \[ \begin{aligned} 10r^3 = 80 \\ & \implies r^3 = 8 \implies r = 2 \end{aligned} \] 이다. (2) \(r = 2\)이고 \[ a_3 = a_1 r^2 = 4a_1 = 10 \implies a_1 = \frac{5}{2} \] 이다. 구하고자 하는 \(a_{10}\)의 값은 다음과 같다: \[ a_{10} = a_1 r^9 = \frac{5}{2} \times 2^9 = 5 \times 2^8 = 5 \times 256 = 1280 \] 이다.

정답: (1) \(-8\), (2) \(f(x) = 2x^3 + x^2 - 8x\) (1) 조건 \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = -8 \] 에서 \(x \to 0\)일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 극한값이 존재하기 위해 분자 역시 \(0\)으로 가야 한다. 즉 \[ f(0) = 0 \implies c = 0 \] 이다. 미분계수의 정의에 의해 \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0) = -8 \] 이다. \(f(x)\)를 미분하면 \(f'(x) = 6x^2+2ax+b\)이므로 \(f'(0) = b = -8\)이다. (2) \(b = -8, c = 0\)이므로 \(f(x) = 2x^3 + ax^2 - 8x\)이고 \(f'(x) = 6x^2 + 2ax - 8\)이다. 함수 \(f(x)\)가 \(x = 1\)에서 극값을 가지므로 \(f'(1) = 0\)이 성립해야 한다. 식에 대입하면 \[ \begin{aligned} f'(1) = 6(1)^2 + 2a(1) - 8 \\ & = 2a - 2 = 0 \implies a = 1 \end{aligned} \] 이다. 따라서 구하는 삼차함수 식은 \(f(x) = 2x^3 + x^2 - 8x\)이다.

정답: (1) \(6\), (2) \(9\) (1) 함수 \(f(x)\)가 \(x=3\)에서 연속이기 위해서는 함숫값 \(f(3)\)과 극한값 \(\lim_{x \to 3} f(x)\)가 존재하고 서로 일치해야 한다. 즉, \[ k = \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} \] 이다. 우변의 극한을 계산하면 \[ \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6 \] 이므로, 구하고자 하는 \(k\)의 값은 \(6\)이다. (2) \(k = 6\)이므로 구하고자 하는 함숫값 \(f(k)\)는 \(f(6)\)이다. \(x = 6\)은 \(x \ne 3\)인 범위에 속하므로 함수 식에 대입하여 계산하면 \[ f(6) = \frac{6^2-9}{6-3} = \frac{36-9}{3} = \frac{27}{3} = 9 \] 이다.

정답: (1) \(a = 1, b = -1\), (2) \(-1\) (1) 주어진 식 \[ \int_{1}^{x} (t-1)f(t)dt = ax^4 + 2bx^2 + 1 \quad \cdots (\text{ㄱ}) \] 에 \(x=1\)을 대입하면 좌변의 정적분 값은 \(0\)이므로 \[ a+2b+1 = 0 \quad \cdots (\text{ㄴ}) \] 이다. (ㄱ)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면 \[ (x-1)f(x) = 4ax^3 + 4bx \quad \cdots (\text{ㄷ}) \] 이다. \(f(x)\)가 다항함수이므로 (ㄷ)의 우변은 \((x-1)\)을 인수로 가져야 한다. 우변에 \(x=1\)을 대입하면 \[ \begin{aligned} 4a+4b = 0 \\ & \implies a+b = 0 \implies a = -b \end{aligned} \] 이다. 이를 (ㄴ)에 대입하면 \[ -b+2b+1 = 0 \implies b = -1 \] 이다. 따라서 \(a = -b = 1\)이다. (2) \(a=1, b=-1\)을 (ㄷ)에 대입하면 \[ (x-1)f(x) = 4x^3-4x = 4x(x^2-1) = 4x(x-1)(x+1) \] 이다. \(x \ne 1\)일 때 양변을 나누면 \(f(x) = 4x(x+1) = 4x^2+4x\)이고, 다항함수의 연속성에 의해 모든 실수에서 \(f(x) = 4x^2+4x\)이다. 이차함수 \[ f(x) = 4\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 - 1 \] 은 꼭짓점인 \(x = -\frac{1}{2}\)에서 최솟값 \(-1\)을 갖는다.

정답: (1) \((\sqrt{2}, 2) , (-\sqrt{2}, 2)\), (2) \(\frac{4\sqrt{2}}{3}\) (1) 곡선 \(y = x^2\) 위의 임의의 접점의 좌표를 \((t, t^2)\)이라 하자. \(y'=2x\)이므로이 점에서의 접선의 방정식은 \[ y - t^2 = 2t(x-t) \implies y = 2tx - t^2 \] 이다. 이 접선이 점 \((0, -2)\)를 지나므로 대입하면 \[ \begin{aligned} -2 = -t^2 \\ & \implies t^2 = 2 \implies t = \pm\sqrt{2} \end{aligned} \] 이다. 따라서 접점의 좌표는 \((\sqrt{2}, 2)\)와 \((-\sqrt{2}, 2)\)이다. (2) 두 접선의 방정식은 \(y = 2\sqrt{2}x-2\)와 \(y = -2\sqrt{2}x-2\)이다. 이 도형은 \(y\)축에 대하여 대칭이므로, \(0 \le x \le \sqrt{2}\)인 구간에서 곡선 \(y=x^2\)과 접선 \(y = 2\sqrt{2}x-2\) 사이의 넓이를 구한 뒤 \(2\)배를 하면 된다. 따라서 넓이 \(S\)는 다음과 같다: \[ \begin{aligned} S &= 2 \int_{0}^{\sqrt{2}} \{x^2 - (2\sqrt{2}x-2)\}dx \\ &= 2 \left[ \frac{1}{3}x^3 - \sqrt{2}x^2 + 2x \right]_{0}^{\sqrt{2}} \\ &= 2 \left(\frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\right) = 2 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3} \end{aligned} \] 이다.

정답: (1) \(9 - 6a\), (2) \(5 + 10a\), (3) \(a = \frac{1}{4}\) (1) \(x \to 0-\)일 때 함수 \(g(x) = \{2f(x)-3\}\{f(x)-2a\}\)의 좌극한을 구하면 \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0-} g(x) = \lim_{x \to 0-} \{2f(x)-3\}\{f(x)-2a\} = (2 \times 3 - 3)(3 - 2a) = 9 - 6a \end{aligned} \] (2) \(x \to 0+\)일 때 함수 \(g(x)\)의 우극한을 구하면 \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0+} g(x) = \lim_{x \to 0+} \{2f(x)-3\}\{f(x)-2a\} = \{2 \times (-1) - 3\}(-1 - 2a) = 5 + 10a \end{aligned} \] (3) 함수 \(g(x)\)가 \(x=0\)에서 연속이려면 \(\lim_{x \to 0-} g(x) = \lim_{x \to 0+} g(x) = g(0)\)이어야 하므로 \[9 - 6a = 5 + 10a \implies 16a = 4 \implies a = \frac{1}{4}\]

정답: (1) \(a_1 = 5\), (2) \(a_n = 5n\), (3) \(a_{20} = 100\) (1) 수열 \(\{a_n\}\)은 관계식 \(a_{n+1} = a_n + 5\)에 의해 공차 \(d = 5\)인 등차수열이다. \[\sum_{k=1}^{15} a_k = \frac{15(2a_1 + 14 \times 5)}{2} = 15(a_1 + 35) = 600 \implies a_1 + 35 = 40 \implies a_1 = 5\] (2) 첫째항 \(a_1 = 5\)이고 공차 \(d = 5\)이므로 일반항 \(a_n\)은 \[a_n = 5 + 5(n - 1) = 5n\] (3) \(n = 20\)을 일반항에 대입하면 \[a_{20} = 5 \times 20 = 100\]

정답: (1) \(t = 1\) 또는 \(t = 2\), (2) \(t = 1\), (3) \(2\) (1) 두 점 \(P, Q\)가 만나는 순간 위치가 같으므로 \(x_p(t) = x_q(t)\)에서 \[t^3 - 2t^2 = t - 2 \implies t^3 - 2t^2 - t + 2 = (t+1)(t-1)(t-2) = 0\] \(t \ge 0\)이므로 두 점이 만나는 시각은 \(t = 1\) 또는 \(t = 2\)이다. (2) 속도함수는 \(v_p(t) = 3t^2 - 4t , v_q(t) = 1\)이다. \(t = 1\)일 때 \(v_p(1) = -1 < 0 , v_q(1) = 1 > 0\)이므로 서로 반대 방향으로 움직인다. \(t = 2\)일 때 \(v_p(2) = 4 > 0 , v_q(2) = 1 > 0\)이므로 같은 방향이다. 따라서 반대 방향으로 움직이는 시각은 \(t = 1\)이다. (3) 점 \(P\)의 가속도함수는 \(a_p(t) = 6t - 4\)이므로 \(t = 1\)에서의 가속도는 \(a_p(1) = 6(1) - 4 = 2\)이다.

정답: (1) \(-\frac{2}{3}\), (2) \(-2\), (3) \(-\frac{5}{3}\) \(f(x) = x^2 + ax + b\)라 할 때 (단, \(a = \int_0^3 f(t)dt , b = \int_{-1}^1 f(t)dt\)) (1) 우함수/기함수 정적분 성질을 이용하면 \[ \small b = \int_{-1}^1 (t^2 + at + b)dt = 2 \left[ \frac{1}{3}t^3 + bt \right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{3} + b\right) \implies b = \frac{2}{3} + 2b \implies b = -\frac{2}{3} \] (2) \(a = \int_0^3 f(t)dt\)에 대입하면 \[ \small \begin{aligned} a = \int_0^3 \left(t^2 + at - \frac{2}{3}\right)dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 + \frac{a}{2}t^2 - \frac{2}{3}t \right]_0^3 = 9 + \frac{9}{2}a - 2 = 7 + \frac{9}{2}a \\ & a - \frac{9}{2}a = 7 \implies -\frac{7}{2}a = 7 \implies a = -2 \end{aligned} \] (3) 따라서 \(f(x) = x^2 - 2x - \frac{2}{3}\)이므로 \[f(1) = 1^2 - 2(1) - \frac{2}{3} = -1 - \frac{2}{3} = -\frac{5}{3}\]

정답: (1) \(3\), (2) \(4\), (3) \(144\) (1) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비를 \(r\)이라 하면 \[\begin{aligned} S_{10} - S_8 = a_{10} + a_9 = a_1 r^9 + a_1 r^8 = a_1 r^8 (r + 1) \\ & S_7 - S_5 = a_7 + a_6 = a_1 r^6 + a_1 r^5 = a_1 r^5 (r + 1) \\ & \frac{S_{10} - S_8}{S_7 - S_5} = \frac{a_1 r^8 (r+1)}{a_1 r^5 (r+1)} = r^3 = 3 \end{aligned}\] (2) \(S_2 - S_1 = a_2 = a_1 r\)이므로 \((S_2 - S_1)^3 = (a_1 r)^3 = a_1^3 r^3 = 192\) \(r^3 = 3\)을 대입하면 \(3 a_1^3 = 192 \implies a_1^3 = 64 \implies a_1 = 4\) (3) 등비수열의 성질에 의해 \(a_2 \times a_6 = (a_4)^2 = (a_1 r^3)^2 = a_1^2 \times (r^3)^2 = 4^2 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144\)

정답: (1) \(\sqrt{2}\), (2) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (1) 삼각함수 변환 공식에 의해 \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta , \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta\)이므로 \[\sin(\pi - \theta)\cos(\pi + \theta) = \sin\theta(-\cos\theta) = -\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2} \implies \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\] \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2\left(\frac{1}{2}\right) = 2\) \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta < 0 \implies \sin\theta > 0\)이고 \(\sin\theta\cos\theta > 0 \implies \cos\theta > 0\)이므로 \(\sin\theta + \cos\theta > 0\)이다. 따라서 \(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\)이다. (2) 삼각함수 인수분해 공식에 대입하면 \[\begin{aligned} \sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^3 - 3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta + \cos\theta) \\ & = (\sqrt{2})^3 - 3\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}\]

정답: (1) \(8\), (2) \(10\) (1) 지수함수 \(f(x) = 4^{x-3} + a\)의 역함수를 구하기 위해 \(y = 4^{x-3} + a\)에서 \[x - a = 4^{y-3} \implies y - 3 = \log_4(x - a) \implies y = \log_4(x - a) + 3\] 역함수 \(g(x) = \log_4(x - a) + 3\)이 \(g(x) = \log_4(x - 5) + b\)와 같으므로 \(a = 5 , b = 3\)이다. 따라서 \(a + b = 5 + 3 = 8\)이다. (2) \(f(x) = 4^{x-3} + 5 , g(x) = \log_4(x - 5) + 3\)이므로 \[\begin{aligned} f(3) = 4^{3-3} + 5 = 4^0 + 5 = 1 + 5 = 6 \\ & g(9) = \log_4(9 - 5) + 3 = \log_4 4 + 3 = 1 + 3 = 4 \end{aligned}\] 따라서 \(f(3) + g(9) = 6 + 4 = 10\)이다.

정답: (1) \(4\), (2) \(0\), (3) \(12\) (1) \(\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{4x^2-1}\)의 \(0\)이 아닌 극한값이 존재하고 분모인 \(4x^2-1\)이 이차함수이므로 함수 \(f(x)\)도 이차함수이다. \(f(x)=ax^2+bx+c\)로 두고 \(\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{4x^2-1}=\lim_{x \to \infty}\frac{ax^2+bx+c}{4x^2-1}=\frac{a}{4}\)이므로 \(\frac{a}{4}=1\), 즉 \(a=4\) (2) \(\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{f(x)}{4x^2-1}=2\) 에서 \(x \to \frac{1}{2}\)일 때 (분모) \(\to 0\)이고 극한값이 존재하므로 (분자) \(\to 0\) \(\lim_{x \to \frac{1}{2}}f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)=0\) (3) \(f(x)=4\left(x-\frac{1}{2}\right)(x+k)\)로 놓으면 \(\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{f(x)}{4x^2-1}=\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{4\left(x-\frac{1}{2}\right)(x+k)}{4\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)}=\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{(x+k)}{\left(x+\frac{1}{2}\right)}=\frac{\frac{1}{2}+k}{1}\) \(\frac{1}{2}+k=2\) 이므로 \(k=\frac{3}{2}\) 따라서 \(f(x)=4\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)\)이므로 \(f\left(\frac{3}{2}\right)=12\)

정답: (1) \(-4\), (2) \(30\), (3) \(120\) (1) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 공차를 \(d\)라 하자. \(S_{n+2}-S_n = a_{n+1}+a_{n+2}=[a_1+nd]+[a_1+(n+1)d]\) 이므로 \((2a_1+d)+2dn=56-8n\) 모든 자연수 \(n\)에 대하여 성립하려면 \(2nd=-8n\) 이므로 \(d=-4\) (2) \(2a_1+d=56\) 이 식에 \(d=-4\)을 대입하면 \(a_1=30\) (3) \(S_n=\frac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}\) 이므로 \(S_6=\frac{6\{2 \times 30+5 \times (-4)\}}{2}=120\)

정답: (1) \((0, 2)\), (2) \((-2, 0)\), (3) \(3\) (1) \(f(x)=x^3-2x^2+x+2\)라 할 때, 접선의 기울기는 \(f'(1)\)이다. \(f'(x)=3x^2-4x+1\)이므로 기울기 \(f'(1)=3-4+1=0\) 접선의 방정식이 \((1,2)\)를 지나므로 \(y-2=0 \cdot (x-1)\) 따라서 접선의 방정식은 \(y=2\) 이다. 접선과 \(f(x)\)가 만나는 점 \(x^3-2x^2+x+2=2\), \(x^3-2x^2+x=0\), \(x(x^2-2x+1)=0\) \(x(x-1)^2=0\), \(x=0, 1\) 따라서 점 \(\text{B}\)의 \(x\)좌표는 \(0\) \(f(0)=2\) 이므로 좌표 \(\text{B}\)는 \(\text{B}(0,2)\) (2) 점 \(\text{B}(0,2)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(x)=3x^2-4x+1\) 이므로 \(f'(0)=1\) 점 \(\text{B}\)를 지나는 접선의 방정식 \(y=1 \cdot x+d'\) \((0,2)\)를 지나므로 \(2=0+d'\), \(d'=2\) 따라서 \(y=x+2\) \(x\)축과 만나는 점 \(\text{C}\) \(0=x+2 \implies x=-2\) 따라서 점 \(\text{C}\)의 좌표는 \((-2,0)\) (3) 사각형 \(\text{OABC}\)넓이는 사다리꼴 \(\frac{1}{2}(1+2) \cdot 2=3\)

정답: (1) \(2\), (2) \(6x+9\), (3) \(21\) (1) \(\int_{-3}^x xf(t)dt - \int_{-3}^x tf(t)dt = x^3 + \left(2a+\frac{1}{2}\right)x^2 - 2a\)에서 \(x\int_{-3}^x f(t)dt - \int_{-3}^x tf(t)dt = x^3 + \left(2a+\frac{1}{2}\right)x^2 - 2a \cdots\cdots ㉠\) ㉠의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(\int_{-3}^x f(t)dt + xf(x) - xf(x) = 3x^2 + 2\left(2a+\frac{1}{2}\right)x\) \(\int_{-3}^x f(t)dt = 3x^2 + 2\left(2a+\frac{1}{2}\right)x \cdots\cdots ㉡\) ㉡의 양변에 \(x=-3\)를 대입하면 \(\int_{-3}^{-3} f(t)dt = 27 - 6\left(2a+\frac{1}{2}\right)\) \(0 = 27 - 12a - 3, \ a=2\) (2) ㉡에서 \(\int_{-3}^x f(t)dt = 3x^2 + 9x\)이고 이 등식의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(f(x) = 6x+9\) (3) \(f(a)=f(2)=12+9=21\)

정답: (1) \(3\), (2) \(\frac{2}{9}\), (3) \(15\) (1) \(\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_3}{a_2} + \frac{a_3}{a_4} + \frac{a_5}{a_4} + \frac{a_5}{a_6} + \frac{a_7}{a_6} = 10\)에서 \(\frac{1}{r} + r + \frac{1}{r} + r + \frac{1}{r} + r = 10\) \(3r^2-10r+3=0\) \((3r-1)(r-3)=0\) \(r > 1\)이므로 \(r=3\) (2) \(a_4 = a_1 \times 3^3 = 6\)이므로 \(a_1 = \frac{2}{9}\) (3) \(S_n = \frac{\frac{2}{9}(3^n-1)}{3-1} = \frac{1}{9}(3^n-1) > 3^{12}\) 에서 \(3^n-1 > 3^{14}\) \(n \ge 15\) 따라서 조건을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(15\)이다.

정답: (1) \(54\), (2) \(21\) (1) \(-1 \le \sin b(x+\pi) \le 1\)이고, \(a\), \(c\)가 자연수이므로 함수 \(f(x)=a\sin b(x+\pi)+c\)의 최댓값과 최솟값은 각각 \(a+c\), \(-a+c\)이다. 조건 (가)에 의하여 \(a+c=15 \cdots\cdots ㉠\), \(-a+c=-3 \cdots\cdots ㉡\) ㉠-㉡에서 \(2a=18 \implies a=9\) \(a=9\)를 ㉠에 대입하면 \(c=6\) \(a \times c = 54\) (2) 함수 \(f(x)=9\sin b(x+\pi)+6\)에서 조건 (나)에 의하여 \(f\left(\frac{\pi}{6}\right)=9\sin\frac{7b}{6}\pi+6=6\) \(\sin\frac{7b}{6}\pi=0 \cdots\cdots ㉢\) 이때, \(\frac{7b}{6}=1, 2, 3, 4, \cdots\) 이고, ㉢을 만족시키는 자연수 \(b\)의 값은 \(b=6, 12, 18, \cdots\) 이다. 그러므로 자연수 \(b\)의 최솟값은 \(6\)이다. 따라서 \(a+b+c\)의 최솟값은 \(a=9, b=6, c=6\)일 때 \(9+6+6=21\)이다.

정답: (1) \(\text{A}(4, 2)\), \(\text{B}(8, 0)\), (2) \(y=-\frac{1}{2}x+4\) (1) 함수 \(y=\log_2(x-4)-2\)는 함수 \(y=\log_2 x\) 의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 \(4\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(-2\) 만큼 평행이동한 그래프이다. 함수 \(y=\log_2 x\) 위의 점을 \((p,q)\)라 하면, 평행이동에 의해 \((p+4, q-2)\)로 옮겨지고 이 점은 \(y=\log_2(x-4)-2\) 그래프 위의 점이다. 두 점 \((p,q)\), \((p+4, q-2)\)를 지나는 직선의 기울기가 \(-\frac{1}{2}\)이므로 \(\text{A}(p,q)\), \(\text{B}(p+4,q-2)\)라 하면 선분 \(\text{AB}\)의 중점의 좌표는 \(\left(\frac{p+(p+4)}{2}, \frac{q+(q-2)}{2}\right) = (p+2, q-1)\) 이 중점의 \(x\)좌표가 \(6\) 이므로 \(p+2=6, \ p=4, \ q=y=\log_2 4=2\), 따라서 \(\text{A}(4,2)\)이다. \(\text{A}(4,2)\)이고, \(\text{B}(p+4, q-2)\)이므로 \(\text{B}(8,0)\)이다. (2) 기울기가 \(-\frac{1}{2}\)이고 \(\text{A}(4,2)\)를 지나는 직선의 방정식은 \(y=-\frac{1}{2}(x-4)+2\) 따라서 \(y=-\frac{1}{2}x+4\)