정답: (1) \(3\), (2) \(4\) (1) 점 \((a, b)\)가 함수 \(y = f(x) = 2^{x+1} - 1\)의 그래프 위에 있으므로 \(b = 2^{a+1} - 1\). 점 \((a, b)\)와 직선 \(y = 1\) 사이의 거리가 \(2\)이므로 \[\begin{aligned} |b - 1| = 2 \\ & b - 1 = 2 \quad \text{또는} \quad b - 1 = -2 \\ & b = 3 \quad \text{또는} \quad b = -1 \end{aligned}\] 함수 \(f(x) = 2^{x+1} - 1\)의 치역은 \(y > -1\)이므로 \(b > -1\). 따라서 \(b = 3\). (2) \(b = 3\)을 \(b = 2^{a+1} - 1\)에 대입하면 \[ \begin{aligned} 3 = 2^{a+1} - 1 \implies 2^{a+1} \\ & = 4 = 2^2 \implies a + 1 = 2 \implies a = 1 \end{aligned} \] 따라서 \(a + b = 1 + 3 = 4\).

정답: (1) \(\frac{2}{3}\), (2) \(10\sqrt{5}\) (1) 조건 (가) \(\cos B = \cos C\)에서 삼각형 \(\text{ABC}\)의 두 내각 \(B, C \in (0, \pi)\)이므로 \(B = C\). 따라서 \(\triangle \text{ABC}\)는 \(b = c\)인 이등변삼각형. 사인법칙에 의해 \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = 9\). 조건 (나) \(\sin A : \sin B = 4 : 3\)이므로 세 변의 길이의 비는 \(a : b : c = 4 : 3 : 3\). 세 변의 길이를 \(a = 4k, b = 3k, c = 3k\) (\(k > 0\))라 하고, 각 \(B\)에 대해 코사인법칙을 적용하면 \[ \begin{aligned} \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \\ & = \frac{(4k)^2 + (3k)^2 - (3k)^2}{2(4k)(3k)} = \frac{16k^2}{24k^2} = \frac{2}{3} \end{aligned} \] (2) \(\cos B = \frac{2}{3}\)이고 \(B\)는 예각이므로 \[ \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \] 외접원 지름 \(2R = 9\)이므로 변 \(b\)의 길이는 \[b = 2R \sin B = 9 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = 3\sqrt{5}\] 이등변삼각형이므로 \(c = b = 3\sqrt{5}\)이고, \(a = \frac{4}{3}b = 4\sqrt{5}\). 또한 \(\sin A = \frac{4}{3} \sin B = \frac{4\sqrt{5}}{9}\)이므로 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이 \(S\)는 \[ \begin{aligned} S = \frac{1}{2} b c \sin A \\ & = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{5} \times 3\sqrt{5} \times \frac{4\sqrt{5}}{9} = \frac{1}{2} \times 45 \times \frac{4\sqrt{5}}{9} = 10\sqrt{5} \end{aligned} \]

정답: (1) \(T_5 = \frac{ar^2(r^{10}-1)}{r^2-1}\), (2) \(\frac{1}{16}\) (1) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항을 \(a\), 공비를 \(r\) (\(r > 0\))이라 하자. 수열 \(\{b_n\}\)의 일반항은 \(b_n = a_{2n+1} = a r^{2n}\)이므로 첫째항 \(b_1 = a r^2\), 공비 \(R = r^2\)인 등비수열. 수열 \(\{b_n\}\)의 첫째항부터 제 \(5\)항까지의 합 \(T_5\)는 \[ \begin{aligned} T_5 = \frac{b_1 (R^5 - 1)}{R - 1} \\ & = \frac{ar^2 ((r^2)^5 - 1)}{r^2 - 1} = \frac{ar^2 (r^{10} - 1)}{r^2 - 1} \end{aligned} \] (2) \(S_{10} = \frac{a(r^{10}-1)}{r-1}\)이고, 주어진 조건 \(S_{10} = 6 T_5\)에 대입하면 \[ \begin{aligned} \frac{a(r^{10}-1)}{r-1} = 6 \times \frac{ar^2(r^{10}-1)}{r^2-1} \\ & = \frac{6ar^2(r^{10}-1)}{(r-1)(r+1)} \end{aligned} \] 양변을 \(\frac{a(r^{10}-1)}{r-1} \ne 0\)으로 나누면 \[ \begin{aligned} 1 = \frac{6r^2}{r+1} \implies 6r^2 - r - 1 \\ & = 0 \implies (2r-1)(3r+1) = 0 \end{aligned} \] \(r > 0\)이므로 \(r = \frac{1}{2}\). 구하고자 하는 값 \(\frac{b_3}{a_3}\)은 \[ \frac{b_3}{a_3} = \frac{a_7}{a_3} = \frac{a r^6}{a r^2} = r^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \]

정답: (1) \(a = 2\), (2) \(11\) (1) 함수 \(f(x)\)가 \(x=1\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 4\). \[\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1} = 4\] \(x \to 1\)일 때 분모 \(\to 0\)이므로 극값이 존재하기 위해서 분자 \(\to 0\)이어야 한다. \[1^2 + a(1) + b = 0 \implies 1 + a + b = 0 \implies b = -a - 1\] 이를 분자에 대입하여 인수분해하면 \[\begin{aligned} x^2 + ax - a - 1 = (x^2 - 1) + a(x - 1) = (x - 1)(x + 1 + a) \\ & \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1+a)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x + 1 + a) \\ & = 1 + 1 + a = a + 2 \end{aligned}\] 극한값이 \(4\)이므로 \(a + 2 = 4 \implies a = 2\). (2) \(a = 2\)를 \(b = -a - 1\)에 대입하면 \(b = -2 - 1 = -3\). 따라서 \(a - 3b = 2 - 3(-3) = 2 + 9 = 11\).

정답: (1) \(\sqrt{10a^2+8a+2}\), (2) \(-\frac{3\sqrt{2}}{2}\) (1) 두 점 \(O(0,0) , A(a, 2a+1) , B(a+1, 2a+2)\)에 대하여 선분 \(OA\)의 길이는 \[ \begin{aligned} f(a) = \sqrt{a^2 + (2a+1)^2} \\ & = \sqrt{a^2 + 4a^2 + 4a + 1} = \sqrt{5a^2 + 4a + 1} \end{aligned} \] 선분 \(AB\)의 길이는 \[ \begin{aligned} g(a) = \sqrt{((a+1)-a)^2 + ((2a+2)-(2a+1))^2} \\ & = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \end{aligned} \] 따라서 \(f(a) \times g(a)\)는 \[ \begin{aligned} f(a) \times g(a) = \sqrt{5a^2 + 4a + 1} \times \sqrt{2} \\ & = \sqrt{10a^2 + 8a + 2} \end{aligned} \] (2) \(\lim_{a \to -1} \frac{f(a) - g(a)}{a+1}\)을 구하기 위해 분자를 유리화하면 \[ \begin{aligned} \frac{\sqrt{5a^2+4a+1} - \sqrt{2}}{a+1} = \frac{(5a^2+4a+1) - 2}{(a+1)(\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2})} \\ & = \frac{5a^2+4a-1}{(a+1)(\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2})} \end{aligned} \] 분자를 인수분해하면 \(5a^2 + 4a - 1 = (a+1)(5a-1)\)이므로 \[\frac{(a+1)(5a-1)}{(a+1)(\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2})} = \frac{5a-1}{\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2}}\] \(a \to -1\)일 때의 극한값을 구하면 \[ \begin{aligned} \lim_{a \to -1} \frac{5a-1}{\sqrt{5a^2+4a+1} + \sqrt{2}} = \frac{5(-1)-1}{\sqrt{5(-1)^2+4(-1)+1} + \sqrt{2}} \\ & = \frac{-6}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{-6}{2\sqrt{2}} = -\frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \]

정답: (1) \(f(x) = x^2 + 2x - 1\), (2) \(6\) (1) 최고차항의 계수가 \(1\)인 이차함수를 \(f(x) = x^2 + bx + c\)라 하자. 조건 (가)에서 \(x\)의 값이 \(0\)에서 \(3\)까지 변할 때의 평균변화율이 \(5\)이므로 \[ \begin{aligned} \frac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \frac{(9 + 3b + c) - c}{3} \\ & = \frac{9 + 3b}{3} = 3 + b = 5 \implies b = 2 \end{aligned} \] 따라서 \(f(x) = x^2 + 2x + c\)이고, 도함수는 \(f'(x) = 2x + 2\). 조건 (나)에서 미분계수의 정의에 의해 \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \left( \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} \times \frac{1}{x + 1} \right) \\ & = f'(1) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} f'(1) \end{aligned} \] \(f'(1) = 2(1) + 2 = 4\)이므로 \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}(4) = 2\). 조건 (나)에서 이 극한값이 \(f(1)\)과 같으므로 \(f(1) = 2\). \[f(1) = 1^2 + 2(1) + c = 3 + c = 2 \implies c = -1\] 따라서 구하고자 하는 이차함수는 \(f(x) = x^2 + 2x - 1\). (2) \(f(x) = x^2 + 2x - 1\)과 \(f'(x) = 2x + 2\)에서 \[\begin{aligned} f(3) = 3^2 + 2(3) - 1 = 9 + 6 - 1 = 14 \\ & f'(3) = 2(3) + 2 = 8 \end{aligned}\] 따라서 \(f(3) - f'(3) = 14 - 8 = 6\).

정답: (1) \((-2, -16) , (2, 0)\), (2) \(\frac{64}{3}\) (1) 곡선 \(y = f(x) = x^3 - 2x^2\) 위의 점 \((t, t^3 - 2t^2)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(t) = 3t^2 - 4t\). 접선 \(y = g(x)\)의 방정식은 \[ \begin{aligned} y - (t^3 - 2t^2) = (3t^2 - 4t)(x - t) \implies y \\ & = (3t^2 - 4t)x - 2t^3 + 2t^2 \end{aligned} \] 이 접선이 점 \((0, -8)\)을 지나므로 \[ \begin{aligned} -8 = -2t^3 + 2t^2 \implies t^3 - t^2 - 4 \\ & = 0 \implies (t - 2)(t^2 + t + 2) = 0 \end{aligned} \] \(t^2 + t + 2 > 0\)이므로 실근은 \(t = 2\) 뿐. 따라서 접선 \(y = g(x)\)는 기울기 \(f'(2) = 4\), 접점 \((2, 0)\)을 지나므로 \(g(x) = 4(x - 2) = 4x - 8\). 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = g(x)\)의 교점의 \(x\)좌표는 \[ \begin{aligned} x^3 - 2x^2 = 4x - 8 \implies x^3 - 2x^2 - 4x + 8 \\ & = 0 \implies (x - 2)^2 (x + 2) = 0 \end{aligned} \] 따라서 교점의 \(x\)좌표는 \(x = -2\)와 \(x = 2\). \(x = -2\)일 때 \(y = g(-2) = -16\)이고, \(x = 2\)일 때 \(y = g(2) = 0\)이므로 두 교점은 \((-2, -16)\)과 \((2, 0)\). (2) 구간 \([-2, 2]\)에서 \(f(x) - g(x) = (x+2)(x-2)^2 \ge 0\)이므로 곡선 \(y = f(x)\)가 직선 \(y = g(x)\)보다 위에 위치한다. 따라서 둘러싸인 부분의 넓이 \(S\)는 \[ \small \begin{aligned} S = \int_{-2}^{2} (x^3 - 2x^2 - 4x + 8) dx \\ & = 2 \int_{0}^{2} (-2x^2 + 8) dx \\ & S = 2 \left[ -\frac{2}{3}x^3 + 8x \right]_{0}^{2} \\ & = 2 \left( -\frac{16}{3} + 16 \right) = 2 \left( \frac{32}{3} \right) = \frac{64}{3} \end{aligned} \]

정답: (1) \(\frac{1}{3}\), (2) \(\frac{1}{6} \log_{3}\left(\frac{8}{3}\right)\) (1) 두 곡선 \(y = 3^x - \frac{8}{3}\)과 \[ y = \left(\frac{1}{3}\right)^x = 3^{-x} \] 의 교점 B의 \(x\)좌표를 구하기 위해 연립하면 \[ 3^x - \frac{8}{3} = 3^{-x} \] . \(3^x = t\) (\(t>0\))로 치환하면 \[ t - \frac{8}{3} = \frac{1}{t} \implies 3t^2 - 8t - 3 = 0 \implies (3t+1)(t-3) = 0 \] 에서 \(t>0\)이므로 \[ t=3 \implies 3^x = 3 \implies x=1 \] . 따라서 교점 B의 좌표는 \(\left(1, \frac{1}{3}\right)\)이므로 점 B의 \(y\)좌표 값은 \(\frac{1}{3}\). (2) 곡선 \(y = 3^x - \frac{8}{3}\)이 \(x\)축과 만나는 점 A의 \(x\)좌표는 \[ 3^x - \frac{8}{3} = 0 \implies 3^x = \frac{8}{3} \implies x = \log_{3}\left(\frac{8}{3}\right) \] 이므로 점 A의 좌표는 \(\left(\log_{3}\left(\frac{8}{3}\right), 0\right)\). 삼각형 AOB의 밑변의 길이는 점 A의 \(x\)좌표인 \(\log_{3}\left(\frac{8}{3}\right)\)이고, 높이는 점 B의 \(y\)좌표인 \(\frac{1}{3}\)이므로, 삼각형 AOB의 넓이는 \[ \frac{1}{2} \times \log_{3}\left(\frac{8}{3}\right) \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \log_{3}\left(\frac{8}{3}\right) \] .

정답: (1) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), (2) \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\) (1) 곡선 \(y = \sin ax\)를 \(x\)축 방향으로 \(\frac{\pi}{6}\)만큼, \(y\)축 방향으로 \(b\)만큼 평행이동 한 함수 \(f(x)\)는 \[ f(x) = \sin a\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + b \] . 양수 \(a\)에 대하여 \(f(x)\)의 주기가 \(3\pi\)이므로 \[ \frac{2\pi}{a} = 3\pi \implies a = \frac{2}{3} \] . \[ f\left(\frac{2}{3}\pi\right) = \sqrt{3} \] 이므로 식에 대입하면 \[ \begin{aligned} \sin\left\{\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3}\pi - \frac{\pi}{6}\right)\right\} + b = \sqrt{3} \\ & \implies \sin\left\{\frac{2}{3}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right\} + b = \sqrt{3} \\ & \implies \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + b = \sqrt{3} \end{aligned} \] . \[ \frac{\sqrt{3}}{2} + b = \sqrt{3} \implies b = \frac{\sqrt{3}}{2} \] . 따라서 \[ a \times b = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] .

(2) 함수 \[ f(x) = \sin\left\{\frac{2}{3}\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right\} + \frac{\sqrt{3}}{2} \] 에 \(x = -\frac{\pi}{12}\)를 대입하면 \[ \begin{aligned} f\left(-\frac{\pi}{12}\right) = \sin\left\{\frac{2}{3}\left(-\frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{6}\right)\right\} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ & = \sin\left\{\frac{2}{3}\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right\} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ & = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \end{aligned} \] .

정답: (1) \(3\), (2) \(7\) (1) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항을 \(a_1\), 공차를 \(d\)라 하면 \[ a_3 = a_1 + 2d = 11 \quad \cdots (\text{ㄱ}) \] . 또한 \(a_5 = a_1 + 4d\)이고 \[ S_8 = \frac{8(2a_1 + 7d)}{2} = 8a_1 + 28d \] 이므로 \[ a_5 + S_8 = 9a_1 + 32d = 155 \quad \cdots (\text{ㄴ}) \] 가 성립한다. (ㄱ)에서 \(a_1 = 11 - 2d\)를 (ㄴ)에 대입하면 \[ \begin{aligned} 9(11-2d) + 32d = 155 \\ & \implies 99 + 14d = 155 \\ & \implies 14d = 56 \implies d = 4 \end{aligned} \] . 이를 다시 대입하면 \(a_1 = 11 - 8 = 3\). (2) 첫째항 \(a_1 = 3\), 공차 \(d = 4\)이므로 등차수열의 합 \(S_n\)은 \[ S_n = \frac{n\{2 \times 3 + (n-1) \times 4\}}{2} = \frac{n(4n+2)}{2} = n(2n+1) = 2n^2+n \] . \[ S_n > 100 \implies 2n^2+n > 100 \] 을 만족하는 자연수 \(n\)의 범위를 구하면, \(n=6\)일 때 \(2(36)+6 = 78 \le 100\)이고 \(n=7\)일 때 \(2(49)+7 = 105 > 100\)이므로 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(7\).

정답: (1) \(0\), (2) \(66\) (1) 조건 (가)에서 분모가 \(x \to a\)일 때 \(0\)으로 수렴하므로, 극한값이 존재하기 위해서는 분자 역시 \(0\)으로 수렴해야 한다. 즉, 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(f(a) + f(-a) = 0\)이 성립한다. 이는 함수 \(f(x)\)가 기함수(원점 대칭)임을 의미한다. \[ f(x) = px^3 + qx^2 + kx + l \] 가 기함수이므로 우함수 차수인 이차항과 상수항의 계수는 \(0\)이어야 한다. 따라서 \(q = 0, l = 0\)이므로 \(\frac{q}{p} = 0\). (2) \(q=0, l=0\)이므로 삼차함수 \(f(x)\)는 \(f(x) = px^3 + kx\). 조건 (나)에서 \(x \to 1\)일 때 분모가 \(0\)으로 가므로 분자 역시 \(0\)으로 가야 한다. 즉 \[ f(1)+2 = 0 \implies f(1) = -2 \] . 미분계수의 정의에 의해 \(f'(1) = 4\). \[ f(1) = p+k = -2 \quad \cdots (\text{ㄱ}) \] 이고, \[ f'(x) = 3px^2+k \implies f'(1) = 3p+k = 4 \quad \cdots (\text{ㄴ}) \] . (ㄴ)에서 (ㄱ)을 빼면 \[ 2p=6 \implies p=3 \] 이고, 이를 (ㄱ)에 대입하면 \(k=-5\). 따라서 \(f(x) = 3x^3 - 5x\)이므로 구하고자 하는 값 \(f(3)\)은 \(f(3) = 3 \times 27 - 5 \times 3 = 81 - 15 = 66 \).

정답: (1) \(-1\), (2) \(\frac{9}{4}\) (1) 함수 \(f(x)\)가 모든 실수에서 연속이므로 경계점 \(x=2\)에서 연속이어야 한다. 즉 \[ \begin{aligned} \lim_{x \to 2-} f(x) = \lim_{x \to 2+} f(x) \\ & \implies 2^2+2a = \frac{1}{2}\times 2 - a \\ & \implies 4+2a = 1-a \\ & \implies 3a = -3 \implies a = -1 \end{aligned} \] . (2) \(a=-1\)이므로 함수 식은 \[ f(x) = \begin{cases} x^2-x & (x < 2) \\ \frac{1}{2}x+1 & (x \ge 2) \end{cases} \] . 닫힌구간 \([0, 3]\)에서 최대/최소를 찾기 위해 범위를 나눈다. \(0 \le x < 2\)에서 \[ f(x) = x^2-x = \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \] 이므로 꼭짓점 \(x=\frac{1}{2}\)에서 최솟값 \(-\frac{1}{4}\)을 갖고 경계에서 \[ f(0)=0 , \lim_{x \to 2-} f(x)=2 \] . \(2 \le x \le 3\)에서 \(f(x) = \frac{1}{2}x+1\)은 단조 증가하는 일차함수이므로 최댓값은 \(x=3\)일 때인 \[ f(3) = \frac{3}{2}+1 = \frac{5}{2} \] . 따라서 최솟값 \(m = -\frac{1}{4}\)이고 최댓값 \(M = \frac{5}{2}\)이므로, 구하고자 하는 \(M+m\)의 값은 \[ \frac{5}{2} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4} \] .

정답: (1) \(-2x^3+x^2+1\), (2) \(3\) (1) 미분계수의 정의에 의해 좌변 식은 \[ \lim_{h \to 0} \frac{\{f(x+h)-f(x)\} - \{f(x-h)-f(x)\}}{h} = f'(x) - (-f'(x)) = 2f'(x) \] 가 된다. 따라서 \[ 2f'(x) = -4x^3+2x^2+2 \implies f'(x) = -2x^3+x^2+1 \] . (2) 함수 \(g(x)\)의 극한 식을 미분계수 형태로 나타내면 \[ \begin{aligned} g(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\{f(x+4h)-f(x)\} - \{f(x-2h)-f(x)\}}{2h} \\ & = \frac{4}{2}f'(x) - \left(-\frac{2}{2}f'(x)\right) \\ & = 2f'(x)+f'(x) = 3f'(x) \end{aligned} \] . 따라서 \[ g(x) = 3(-2x^3+x^2+1) = -6x^3+3x^2+3 \] . 식에 각각 대입하여 계산하면 \[ g(0) = 3 , g(1) = -6+3+3 = 0 \] 이므로, 구하고자 하는 \(g(0)+g(1)\)의 값은 \(3+0=3\).

정답: (1) \(ax^2-4x+4\), (2) \(6\) (1) \[ \int_{x-1}^{x+1} f(t)dt + \int_{x-1}^{x+1} 2tdt = ax^2 + 4 \] \[ \int_{x-1}^{x+1} 2tdt = \left[t^2\right]_{x-1}^{x+1} = (x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x \] \[ \int_{x-1}^{x+1} f(t)dt + 4x = ax^2+4 \] \[ \int_{x-1}^{x+1} f(t)dt = ax^2-4x+4 \] (2) 조건 \[ \int_{0}^{3} f(t)dt = \int_{0}^{1} f(t)dt + 20 \] 의 우변 항을 이항하면 \[ \begin{aligned} \int_{0}^{3} f(t)dt - \int_{0}^{1} f(t)dt = 20 \\ & \implies \int_{1}^{3} f(t)dt = 20 \end{aligned} \] 을 얻는다. (1)에서 구한 정적분 식에 \(x=2\)를 대입하면 \[ \int_{1}^{3} f(t)dt = a(2)^2 - 4(2) + 4 = 4a-4 \] 따라서 \[ \begin{aligned} 4a-4 = 20 \\ & \implies 4a = 24 \implies a = 6 \end{aligned} \]

정답: (1) \(ax^2-4x+4\), (2) \(6\) (1) \[ \int_{x-1}^{x+1} f(t)dt + \int_{x-1}^{x+1} 2tdt = ax^2 + 4 \] \[ \int_{x-1}^{x+1} 2tdt = \left[t^2\right]_{x-1}^{x+1} = (x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x \] \[ \int_{x-1}^{x+1} f(t)dt + 4x = ax^2+4 \] \[ \int_{x-1}^{x+1} f(t)dt = ax^2-4x+4 \] (2) 조건 \[ \int_{0}^{3} f(t)dt = \int_{0}^{1} f(t)dt + 20 \] 의 우변 항을 이항하면 \[ \begin{aligned} \int_{0}^{3} f(t)dt - \int_{0}^{1} f(t)dt = 20 \\ & \implies \int_{1}^{3} f(t)dt = 20 \end{aligned} \] 을 얻는다. (1)에서 구한 정적분 식에 \(x=2\)를 대입하면 \[ \int_{1}^{3} f(t)dt = a(2)^2 - 4(2) + 4 = 4a-4 \] 따라서 \[ \begin{aligned} 4a-4 = 20 \\ & \implies 4a = 24 \implies a = 6 \end{aligned} \]

정답: (1) \(a_1 = 5\), (2) \(a_n = 5n\), (3) \(a_{20} = 100\) (1) 수열 \(\{a_n\}\)은 관계식 \(a_{n+1} = a_n + 5\)에 의해 공차 \(d = 5\)인 등차수열이다. \[\sum_{k=1}^{15} a_k = \frac{15(2a_1 + 14 \times 5)}{2} = 15(a_1 + 35) = 600 \implies a_1 + 35 = 40 \implies a_1 = 5\] (2) 첫째항 \(a_1 = 5\)이고 공차 \(d = 5\)이므로 일반항 \(a_n\)은 \[a_n = 5 + 5(n - 1) = 5n\] (3) \(n = 20\)을 일반항에 대입하면 \[a_{20} = 5 \times 20 = 100\]

정답: (1) \(t = 1\) 또는 \(t = 2\), (2) \(t = 1\), (3) \(2\) (1) 두 점 \(P, Q\)가 만나는 순간 위치가 같으므로 \(x_p(t) = x_q(t)\)에서 \[t^3 - 2t^2 = t - 2 \implies t^3 - 2t^2 - t + 2 = (t+1)(t-1)(t-2) = 0\] \(t \ge 0\)이므로 두 점이 만나는 시각은 \(t = 1\) 또는 \(t = 2\)이다. (2) 속도함수는 \(v_p(t) = 3t^2 - 4t , v_q(t) = 1\)이다. \(t = 1\)일 때 \(v_p(1) = -1 < 0 , v_q(1) = 1 > 0\)이므로 서로 반대 방향으로 움직인다. \(t = 2\)일 때 \(v_p(2) = 4 > 0 , v_q(2) = 1 > 0\)이므로 같은 방향이다. 따라서 반대 방향으로 움직이는 시각은 \(t = 1\)이다. (3) 점 \(P\)의 가속도함수는 \(a_p(t) = 6t - 4\)이므로 \(t = 1\)에서의 가속도는 \(a_p(1) = 6(1) - 4 = 2\)이다.

정답: (1) \(-\frac{2}{3}\), (2) \(-2\), (3) \(-\frac{5}{3}\) \(f(x) = x^2 + ax + b\)라 할 때 (단, \(a = \int_0^3 f(t)dt , b = \int_{-1}^1 f(t)dt\)) (1) 우함수/기함수 정적분 성질을 이용하면 \[ \small b = \int_{-1}^1 (t^2 + at + b)dt = 2 \left[ \frac{1}{3}t^3 + bt \right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{3} + b\right) \implies b = \frac{2}{3} + 2b \implies b = -\frac{2}{3} \] (2) \(a = \int_0^3 f(t)dt\)에 대입하면 \[ \small \begin{aligned} a = \int_0^3 \left(t^2 + at - \frac{2}{3}\right)dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 + \frac{a}{2}t^2 - \frac{2}{3}t \right]_0^3 = 9 + \frac{9}{2}a - 2 = 7 + \frac{9}{2}a \\ & a - \frac{9}{2}a = 7 \implies -\frac{7}{2}a = 7 \implies a = -2 \end{aligned} \] (3) 따라서 \(f(x) = x^2 - 2x - \frac{2}{3}\)이므로 \[f(1) = 1^2 - 2(1) - \frac{2}{3} = -1 - \frac{2}{3} = -\frac{5}{3}\]

정답: (1) \(3\), (2) \(4\), (3) \(144\) (1) 등비수열 \(\{a_n\}\)의 공비를 \(r\)이라 하면 \[\begin{aligned} S_{10} - S_8 = a_{10} + a_9 = a_1 r^9 + a_1 r^8 = a_1 r^8 (r + 1) \\ & S_7 - S_5 = a_7 + a_6 = a_1 r^6 + a_1 r^5 = a_1 r^5 (r + 1) \\ & \frac{S_{10} - S_8}{S_7 - S_5} = \frac{a_1 r^8 (r+1)}{a_1 r^5 (r+1)} = r^3 = 3 \end{aligned}\] (2) \(S_2 - S_1 = a_2 = a_1 r\)이므로 \((S_2 - S_1)^3 = (a_1 r)^3 = a_1^3 r^3 = 192\) \(r^3 = 3\)을 대입하면 \(3 a_1^3 = 192 \implies a_1^3 = 64 \implies a_1 = 4\) (3) 등비수열의 성질에 의해 \(a_2 \times a_6 = (a_4)^2 = (a_1 r^3)^2 = a_1^2 \times (r^3)^2 = 4^2 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144\)

정답: (1) \(\sqrt{2}\), (2) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (1) 삼각함수 변환 공식에 의해 \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta , \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta\)이므로 \[\sin(\pi - \theta)\cos(\pi + \theta) = \sin\theta(-\cos\theta) = -\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2} \implies \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\] \((\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2\left(\frac{1}{2}\right) = 2\) \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta < 0 \implies \sin\theta > 0\)이고 \(\sin\theta\cos\theta > 0 \implies \cos\theta > 0\)이므로 \(\sin\theta + \cos\theta > 0\)이다. 따라서 \(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\)이다. (2) 삼각함수 인수분해 공식에 대입하면 \[\begin{aligned} \sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^3 - 3\sin\theta\cos\theta(\sin\theta + \cos\theta) \\ & = (\sqrt{2})^3 - 3\left(\frac{1}{2}\right)\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}\]

정답: (1) \(8\), (2) \(10\) (1) 지수함수 \(f(x) = 4^{x-3} + a\)의 역함수를 구하기 위해 \(y = 4^{x-3} + a\)에서 \[x - a = 4^{y-3} \implies y - 3 = \log_4(x - a) \implies y = \log_4(x - a) + 3\] 역함수 \(g(x) = \log_4(x - a) + 3\)이 \(g(x) = \log_4(x - 5) + b\)와 같으므로 \(a = 5 , b = 3\)이다. 따라서 \(a + b = 5 + 3 = 8\)이다. (2) \(f(x) = 4^{x-3} + 5 , g(x) = \log_4(x - 5) + 3\)이므로 \[\begin{aligned} f(3) = 4^{3-3} + 5 = 4^0 + 5 = 1 + 5 = 6 \\ & g(9) = \log_4(9 - 5) + 3 = \log_4 4 + 3 = 1 + 3 = 4 \end{aligned}\] 따라서 \(f(3) + g(9) = 6 + 4 = 10\)이다.

정답: (1) \(9\), (2) \(6\), (3) \(9\) (1) 함수 \(f(x)\)가 \(x=3\)에서 연속이므로 \(\lim_{x \to 3}f(x)=f(3)\) \(\lim_{x \to 3}\frac{x^2-a}{x-3}=b, \lim_{x \to 3}(x-3)=0\) 이므로 \(\lim_{x \to 3}(x^2-a)=0\) 따라서 \(a=9\) (2) \(\lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=b\) 이므로 \(\lim_{x \to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=6\) 즉 \(b=6\) (3) \(b=6\)이므로 \(f(b)=f(6)=\frac{6^2-9}{6-3}=9\)

정답: (1) \(-3\), (2) \(-3n+30\), (3) \(-30\) (1) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 공차를 \(d(d \ne 0)\)이라 하자. \(d > 0\)이면 \(|a_7| < |a_{13}|\)이므로 조건을 만족시킬 수 없다. 즉, \(d < 0\)이다. 따라서 \(a_1=27 > a_7 > a_{13}\)이고, \(|a_7|=|a_{13}|\)이므로 \(a_{13}=-a_7\) \(27+12d=-(27+6d)\) \(18d=-54\) 그러므로 \(d=-3\) (2) \(a_1=27\), 공차 \(d=-3\)이므로 일반항 \(a_n=27+(n-1)(-3) = -3n+30\) (3) \(a_{20}=-3 \times 20+30=-30\)

정답: (1) \(y=-x+2\), (2) \((3, -1)\), (3) \(2\sqrt{2}\) (1) \(y=x^4-2x^3+x+1, \ y'=4x^3-6x^2+1\) 곡선 \(y=x^4-2x^3+x+1\) 위의 점 \(\text{A}(1, 1)\)에서의 접선의 기울기는 \(y'(1)=4-6+1=-1\)이므로 \(\text{A}(1, 1)\)를 지나는 접선의 방정식은 \(y-1=-1(x-1)\) \(y=-x+2\) (2) \(y=x^2-7x+11\)에서 \(y'=2x-7\) 곡선 \(y=x^2-7x+11\) 위의 점 \(\text{B}\)의 좌표를 \(\text{B}(t, t^2-7t+11)\)이라 하면 곡선 \(y=x^2-7x+11\) 위의 점 \(\text{B}\)에서의 접선이 직선 \(y=-x+2\)이므로 접선의 기울기는 \(-1\) \(2t-7=-1, \ t=3\) 따라서 \(y(3)=3^2-7 \times 3+11=-1\)이므로 점 \(\text{B}\)의 좌표는 \((3, -1)\) (3) \(\text{A}(1, 1), \text{B}(3, -1)\)이므로 \(\overline{\text{AB}}=\sqrt{(3-1)^2+(-1-1)^2}=2\sqrt{2}=k\)

정답: (1) \(f'(x)=-3x+9\), (2) \(f(x)=-\frac{3}{2}x^2+9x+4\), (3) \(16\) (1) 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \(2f'(x)-f(x)-xf'(x)=3x^2-15x+18-f(x)\) \((2-x)f'(x)=3(x^2-5x+6)=3(x-2)(x-3)\) \(f(x)\)가 다항함수이므로 \(f'(x)=-3x+9\) (2) \(f(x)=\int(-3x+9)dx=-\frac{3}{2}x^2+9x+C \ \text{(단, }C\text{는 적분상수)}\) 주어진 식의 양변에 \(x=1\)을 대입하면, \(f(1)=1-\frac{15}{2}+18\)에서 \(f(1)=\frac{23}{2}\) \(f(1)=-\frac{3}{2}+9+C=\frac{23}{2}, \ C=4\) 따라서 \(f(x)=-\frac{3}{2}x^2+9x+4\) (3) \(f(x)=-\frac{3}{2}x^2+9x+4\)이므로 \(f(2)=-\frac{3}{2} \times 4+9 \times 2+4=16\)

정답: (1) \(5\), (2) \(a_n=5 \times 2^{n-1}\), (3) \(155\) (1) 수열 \(\{b_n\}\)은 첫째항이 \(S_1+5\)이고 공비가 \(2\)인 등비수열이므로 \(b_n=S_n+5=(a_1+5) \times 2^{n-1}\) \(S_n=(a_1+5) \times 2^{n-1}-5\) \(n \ge 2\)일 때, \(a_n=S_n-S_{n-1}=\{(a_1+5) \times 2^{n-1}-5\}-\{(a_1+5) \times 2^{n-2}-5\}\) \(=(a_1+5)(2^{n-1}-2^{n-2})=(a_1+5) \times 2^{n-2}\) \(a_3=20\)에서 \(2(a_1+5)=20, \ a_1=5\) (2) \(a_1=5\)이고 \(n \ge 2\)일 때, \(a_n=S_n-S_{n-1}=(a_1+5) \times 2^{n-2}=10 \times 2^{n-2}=5 \times 2^{n-1}\)이므로 따라서 \(a_n=5 \times 2^{n-1}\) (3) \(a_n=5 \times 2^{n-1}\)이므로 \(S_5=\frac{5(2^5-1)}{2-1}=155\)

정답: (1) \(t^2-4t\), (2) \(2\) (1) \(\sin^2 x=1-\cos^2 x\)이므로 \(f(x)=-\sin^2 x-4\cos x+1=-(1-\cos^2 x)-4\cos x+1\) \(f(x)=\cos^2 x-4\cos x=t^2-4t \ (-1 \le t \le 1)\) (2) \(f(t)=t^2-4t+4-4=(t-2)^2-4 \ (-1 \le t \le 1)\)라 하면 \(t=1\)일 때 최솟값을 갖고, \(t=-1\)일 때 최댓값을 가지므로 \(f(-1)=5, \ f(1)=-3\)이다. \(f(x)=k\)가 실근을 갖기 위해선 \(-3 \le k \le 5\)이므로 \(\alpha=-3, \ \beta=5\)이다. 따라서 \(\alpha+\beta=2\)

정답: (1) \(\text{C}\left(2, \frac{3}{4}a\right)\), (2) \(\text{C}(2, 1)\) (1) 점 \(\text{C}\)는 선분 \(\text{AB}\)의 \(1:3\) 내분점이므로 \(\text{A}(0, a), \text{B}(8, 0)\)에 대하여 선분 \(\text{AB}\)의 \(1:3\) 내분점을 구하면 \(x=\frac{8+0}{4}, \ y=\frac{0+3a}{4}\) 이고, \(\text{C}\left(2, \frac{3}{4}a\right)\) (2) \(\text{C}\left(2, \frac{3}{4}a\right)\)는 함수 \(y=\log_3(x+1)\) 위의 점이므로 대입하면 \(\frac{3}{4}a=\log_3 3, \ \frac{3}{4}a=1, \ a=\frac{4}{3}\) 따라서, \(a=\frac{4}{3}\)를 대입하면 \(\text{C}(2, 1)\)