[출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch02) PDF p.5 예제 1 / 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch02) PDF p.8 예제 3 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-01, 12미적Ⅰ-02-05, 12미적Ⅰ-02-06, 12미적Ⅰ-02-07]
[1줄 공식선언 (30%)]: \(f'(x) = 3x^2 - 6\cdot 6x + 96 = 3(x - 4)(x - 8) = 0\) 및 닫힌구간 \([4, 8]\)에서의 평균값 정리 등식을 선언한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(\alpha = 4, \beta = 8\)이므로 \(\beta - \alpha = 4\), \(f(\alpha) - f(\beta) = \int_{8}^{4} 3(x-4)(x-8)\,dx = 32\). 평균값 정리에서 \(f'(c) = -2\cdot 4 \implies 3(c-6)^2 - 3\cdot 4 = -2\cdot 4 \implies c = 6 \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\).
[3줄 최종결론 (30%)]: 대칭중심에서의 접선의 기울기는 \(f'(6) = -12\)이며, \(g(x) = |f(x)-t|\)의 미분불가능점이 1개인 \(t\)의 범위는 \(t \ge f(4)\) 또는 \(t \le f(8)\)이다.
| 배점 단계 | 숙명여자대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [1-1] 6점 | • \(\alpha = 4, \beta = 8\) 도출 +3점 / \(\beta - \alpha = 4\), \(f(\alpha)-f(\beta) = 32\) 산출 +3점 |
| [1-2] 7점 | • 연속·미분가능 조건 명시 후 \(c = 6 \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) 도출 +4점 / \(f'(6) = -12\) 계산 +3점 |
| [1-3] 7점 | • 단순근(부호 변화)에서만 첨점이 발생함을 논증 +4점 / \(t \ge f(4)\) 또는 \(t \le f(8)\) 도출 +3점 |
⚠️ 숙명여자대학교 감점 방어 포인트: 평균값 정리 적용 전 닫힌구간 연속·열린구간 미분가능 조건을 반드시 첫 줄에 선언해야 감점이 없습니다.
[출처: 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch03) PDF p.8 예제 1 / 미래엔 미적분Ⅰ (DB: CAL1_Ch03) PDF p.12 예제 1 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-01, 12미적Ⅰ-03-04, 12미적Ⅰ-03-05]
[1줄 공식선언 (30%)]: \(x\int_{1}^x f'(t)\,dt - \int_{1}^x tf'(t)\,dt = x^3 - 3x^2 + ax + b\)로 분리한 뒤 정적분과 미분의 관계를 선언한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 양변을 미분하면 \(\int_{1}^x f'(t)\,dt = 3x^2 - 6x + a\). \(x=1\)을 대입하여 \(a = 3, b = -1\)을 얻고, \(f(x) - f(1) = 3(x - 1)^2\)에서 \(f(1) = 5\)이므로 \(f(x) = 3(x - 1)^2 + 5\)이다.
[3줄 최종결론 (30%)]: \(f(0) = 8\), \(f'(0) = -6\)이므로 접선 \(l\)은 \(y = -6x + 8\)이며, 정적분으로 넓이 \(S\)를 확정한다.
| 배점 단계 | 숙명여자대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [2-1] 6점 | • 적분변수 \(t\)와 \(x\) 분리 후 미분 +3점 / \(a=3, b=-1\) 및 \(f(x) = 3(x-1)^2 + 5\) 결정 +3점 |
| [2-2] 7점 | • \(f(0)\) 및 \(f'(0) = -6\) 산출 +3점 / 접선 \(y = -6x + 8\) 완성 +4점 |
| [2-3] 7점 | • 두 곡선 차 함수의 정적분 식 수립 +3점 / 최종 넓이 \(S\) 계산 완료 +4점 |
⚠️ 숙명여자대학교 감점 방어 포인트: 정적분 기호 안의 \((x-t)f'(t)\)를 전개하지 않고 미분하면 라이프니츠 미분법 오류로 3점 감점됩니다.
[출처: 미래엔 대수 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.3 예제 1 / 미래엔 대수 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.7 예제 1 | 성취기준: 12대수03-02, 12대수03-05, 12대수03-06]
[1줄 공식선언 (30%)]: \(b_{n+1} = b_n \iff a_{n+1} + c\cdot 4^{n+1} = 2(a_n + c\cdot 4^n)\) 동치식을 선언하여 \(c = -1\)을 결정한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \(b_n = b_1 = \dfrac{6 - 4}{2}\)이므로 \(a_n = 4^n + (2)\cdot 2^{n-1}\)이며, \(n=1\) 초기 확인과 \(n=k \implies n=k+1\) 귀납 단계를 통해 증명한다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 등비수열 합 공식으로 \(S_n = \dfrac{4(4^n - 1)}{3} + (2)(2^n - 1)\)을 구하면 극한값은 \(\dfrac{1}{3}\)이다.
| 배점 단계 | 숙명여자대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [3-1] 6점 | • \(c = -1\) 도출 +3점 / 일반항 \(a_n = 4^n + (2)\cdot 2^{n-1}\) 계산 +3점 |
| [3-2] 7점 | • \(n=1\) 성립 확인 +2점 / \(n=k\) 귀납 가정 명시 +2점 / \(n=k+1\) 등식 유도 +3점 |
| [3-3] 7점 | • 등비수열의 합 \(S_n\) 도출 +4점 / 극한값 \(\dfrac{1}{3}\) 산출 +3점 |
⚠️ 숙명여자대학교 감점 방어 포인트: 수학적 귀납법 증명에서 \(n=k\)일 때 성립한다고 "가정하자"라는 문구와 \(n=k+1\)에서의 결론 문장을 빠뜨리지 마세요.
[출처: 대수 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.5 예제 1 / 대수 (DB: ALG_Ch01_02) PDF p.3 예제 1 | 성취기준: 12대수01-02, 12대수01-04, 12대수01-06]
[1줄 공식선언 (30%)]: 밑변환 공식 \(\log_b a = \dfrac{1}{x}\), \(\log_c b = \dfrac{1}{y}\)를 선언하여 \(x + 2y = 3\), \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} = 3\)을 세운다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: 두 식을 연립하면 \((x - 1)(2x - 1) = 0\) 또는 대칭해로부터 \((x, y) = (1, 1)\)과 비등비 해를 얻는다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 등비수열일 때 \(x = y = 1 \implies \log_a c = xy = 1\)이며, \(a^t \gt 0, c^t \gt 0, a \neq c\)에서 산술·기하평균 부등식에 의해 \(a^t + c^t \gt 2\sqrt{(ac)^t} = 2b^t\)이다.
| 배점 단계 | 숙명여자대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [4-1] 6점 | • 밑변환 역수 관계 \(\log_b a = 1/x\) 적용 +3점 / 연립방정식 해 도출 +3점 |
| [4-2] 7점 | • 등비중항 \(b^2 = ac \iff x = y\) 조건 명시 +4점 / \(\log_a c = xy\) 계산 +3점 |
| [4-3] 7점 | • 양수 조건 및 산술·기하평균 부등식 적용 +4점 / \(a \neq c\) 등호 불성립 명시 +3점 |
⚠️ 숙명여자대학교 감점 방어 포인트: 산술·기하평균 부등식 서술 시 양수 조건(\(a^t \gt 0, c^t \gt 0\))과 등호 성립 조건 확인은 필수 배점 요소입니다.
[출처: 대수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.6 예제 1 / 대수 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.14 예제 3 | 성취기준: 12대수02-01, 12대수02-02, 12대수02-03]
[1줄 공식선언 (30%)]: 사인법칙 \(\overline{\mathrm{AB}} = 2R\sin\dfrac{\pi}{3} = 3\sqrt{3}\)과 코사인법칙 \(a^2 + b^2 - ab = \overline{\mathrm{AB}}^2 = 27\)을 선언한다.
[2줄 핵심계산 (40%)]: \((a+b)^2 - 3ab = 27\)에 \(a+b = 6\sqrt{2}\)를 대입하면 \(8\cdot 9 - 3ab = 3\cdot 9 \implies ab = \dfrac{5\cdot 9}{3}\)이고, 중선정리 \(a^2 + b^2 = 2(\overline{\mathrm{CM}}^2 + \overline{\mathrm{AM}}^2)\)로 \(\overline{\mathrm{CM}}\)을 구한다.
[3줄 최종결론 (30%)]: 넓이 \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\sqrt{3}\cdot 9}{12}\) 및 \(S = \dfrac{1}{2}r(a+b+c)\)로부터 내접원 반지름 \(r\)를 확정한다.
| 배점 단계 | 숙명여자대학교 공식 2열 부분점수 채점 기준표 |
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| [5-1] 6점 | • 사인법칙 \(\overline{\mathrm{AB}} = 3\sqrt{3}\) 도출 +3점 / 코사인법칙 \(a^2+b^2-ab = 27\) 계산 +3점 |
| [5-2] 7점 | • 곱셈공식 변형으로 \(ab = \dfrac{5\cdot 9}{3}\) 산출 +4점 / 중선 \(\overline{\mathrm{CM}}\) 계산 +3점 |
| [5-3] 7점 | • 삼각형 넓이 \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\) 산출 +4점 / 내접원 반지름 \(r = \frac{2S}{a+b+c}\) 도출 +3점 |
⚠️ 숙명여자대학교 감점 방어 포인트: 사인법칙과 코사인법칙을 결합할 때 외접원 반지름 \(R\)과 내접원 반지름 \(r\)의 기호를 혼동하지 않도록 명확히 구분하여 서술하세요.