(1) 원 \(C : x^2 + (y-r)^2 = r^2\)에서 \(y \le r\)인 아랫부분을 함수로 표현하면 \(g(x) = r - \sqrt{r^2 - x^2}\) 이다.
새로운 함수 \(h(x) = f(x) - g(x)\)를 정의하자. \(f(x)\)와 \(g(x)\) 모두 구간 \([0, r]\)에서 연속이고 미분가능하므로 \(h(x)\) 또한 연속이자 미분가능한 함수이다.
조건 (다)에 의해 \(h(r) = f(r) - g(r) = f(r) - r < 0\) 이다. 만약 \(0 < x < r\)인 모든 실수 \(x\)에 대해 \(h(x) \le 0\)이라고 가정하자. 이때 \(h(0) = f(0) - g(0) = 0 - 0 = 0\)이므로, \(x \to 0^+\)일 때의 우미분계수는 다음과 같다. \[h'(0) = \lim_{t\to0^+} \frac{h(t) - h(0)}{t} = \lim_{t\to0^+} \frac{h(t)}{t} \le 0\] 그러나 실제로 미분계수를 계산하면 다음과 같다. \[h'(0) = f'(0) - g'(0) = 1 - \left. \frac{x}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right|_{x=0} = 1 - 0 = 1 > 0\] 이는 \(h'(0) \le 0\)이라는 사실과 모순이다. 따라서 귀류법에 의해 \(h(c) > 0\)을 만족하는 실수 \(c\)가 열린구간 \((0, r)\)에 적어도 하나 존재해야 한다.
함수 \(h(x)\)는 닫힌구간 \([c, r]\)에서 연속이고 \(h(c) > 0\), \(h(r) < 0\)이므로, 사잇값의 정리에 의해 \(h(x) = 0\)을 만족하는 \(x\)가 열린구간 \((c, r) \subset (0, r)\)에 적어도 하나 존재한다. 즉, 원 \(C\)와 곡선 \(y = f(x)\)는 \(0 < x < r\)에서 적어도 하나의 교점을 가진다.

(2) 교점 \(P(t, f(t))\)는 원 \(C\) 위의 점이므로 원의 방정식에 대입할 수 있다. \[t^2 + \left(f(t) - r(t)\right)^2 = \left(r(t)\right)^2 \implies t^2 + \{f(t)\}^2 - 2f(t)r(t) + \{r(t)\}^2 = \{r(t)\}^2\] 이를 식 정리하면 \(2f(t)r(t) = t^2 + \{f(t)\}^2\)이다. 교점 \(P\)의 \(x\)좌표가 \(0 < t < r\)이므로 \(f(t) > 0\)이다. 따라서 구하는 함수 \(r(t)\)는 다음과 같다. \[r(t) = \mathbf{\frac{t^2 + \{f(t)\}^2}{2f(t)}}\]
(3) 소문항 (2)에서 구한 \(r(t)\)를 이용하여 극한을 구한다. \[\lim_{t\to0^+} \frac{r(t)}{t} = \lim_{t\to0^+} \frac{t^2 + \{f(t)\}^2}{2tf(t)} = \lim_{t\to0^+} \frac{1}{2}\left(\frac{t}{f(t)} + \frac{f(t)}{t}\right)\] 함수 \(f(x)\)가 미분가능하고 \(f(0) = 0, f'(0) = 1\)이므로 \(\lim_{t\to0^+} \frac{f(t)}{t} = \lim_{t\to0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t - 0} = f'(0) = 1\)이고, 역수의 극한인 \(\lim_{t\to0^+} \frac{t}{f(t)} = \frac{1}{f'(0)} = 1\)이다. 따라서 구하는 극한값은 다음과 같다. \[\lim_{t\to0^+} \frac{r(t)}{t} = \frac{1}{2}(1 + 1) = \mathbf{1}\]

(1) 다항함수 \(g(x)\)의 최고차항을 \(ax^n\) (\(a \neq 0\))이라 하자.
조건 (가)에 의해 \(f(x) = x^3 - 3x\)이므로, \(\{f(x)\}^2\)의 최고차항은 \(x^6\)이다. 한편, 피적분함수 \(f(t)g(t)\)의 최고차항은 \(at^{n+3}\)이므로 이의 적분인 \(\int_{0}^{x} f(t)g(t) dt\)의 최고차항은 \(\frac{a}{n+4}x^{n+4}\)이다. 조건 (나)의 극한값이 \(\frac{1}{3}\)로 수렴하므로 두 다항식의 차수는 동일해야 한다. 즉, \(n+4 = 6 \implies n = 2\)이다. 계수 비교를 하면 \(\frac{a}{6} = \frac{1}{3} \implies a = 2\)이다. 조건 (다)에 의해 \(g(0) = 0\)이므로, \(g(x) = 2x^2 + bx\) (\(b\)는 상수)로 둘 수가 있다.
이때 \(h(x) = x^2 - g(x) = -x^2 - bx\) 이다. 최고차항의 계수가 음수인 이차함수이므로, 축의 방정식은 \(x = -\frac{b}{2}\)이다. 구간 \([1, 3]\)에서의 최솟값을 확인하기 위해 축의 위치에 따른 케이스를 나눈다.
① 축 \(x = -\frac{b}{2} < 2\) (즉, \(b > -4\))인 경우, 이차함수의 대칭성에 의해 최솟값은 \(x = 3\)에서 발생한다. \[h(3) = -9 - 3b = 4 \implies 3b = -13 \implies b = -\frac{13}{3}\] 가정인 \(b > -4\)를 만족하지 않으므로 모순이다.
② 축 \(x = -\frac{b}{2} \ge 2\) (즉, \(b \le -4\))인 경우, 최솟값은 \(x = 1\)에서 발생한다. \[h(1) = -1 - b = 4 \implies b = -5\] 가정인 \(b \le -4\)를 만족하므로 모순이 없으며 성립한다. 따라서 구하는 다항함수는 \(\mathbf{g(x) = 2x^2 - 5x}\)이다.

(2) 구하고자 하는 정적분은 다음과 같다. \[\int_{-1}^{0} \frac{2x^2 - 5x + 3}{x^3 - 3x + 2} dx = \int_{-1}^{0} \frac{(x-1)(2x-3)}{(x-1)^2(x+2)} dx = \int_{-1}^{0} \frac{2x-3}{(x-1)(x+2)} dx\] 유리함수의 부분분수 분해를 이용하면 다음과 같다. \[\frac{2x-3}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} \implies 2x-3 = A(x+2) + B(x-1)\] - \(x=1\) 대입: \(-1 = 3A \implies A = -\frac{1}{3}\) - \(x=-2\) 대입: \(-7 = -3B \implies B = \frac{7}{3}\) 따라서 정적분 계산은 다음과 같이 전개된다. \[\int_{-1}^{0} \left( -\frac{1}{3(x-1)} + \frac{7}{3(x+2)} \right) dx = \left[ -\frac{1}{3}\ln|x-1| + \frac{7}{3}\ln|x+2| \right]_{-1}^{0}\] \[= \left( -\frac{1}{3}\ln 1 + \frac{7}{3}\ln 2 \right) - \left( -\frac{1}{3}\ln 2 + \frac{7}{3}\ln 1 \right) = \frac{7}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}\ln 2 = \mathbf{\frac{8}{3}\ln 2}\]

(3) 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x) + kx\)가 한 점에서 접하고 다른 한 점에서 만나기 위해서는 방정식 \(f(x) - g(x) - kx = 0\)이 중근 하나와 다른 실근 하나(총 2개의 서로 다른 실근)를 가져야 한다. \[f(x) - g(x) - kx = x^3 - 3x - (2x^2 - 5x) - kx = x^3 - 2x^2 + (2-k)x = 0\] 인수분해를 하면 \(x\left(x^2 - 2x + 2 - k\right) = 0\) 이다. 근 중 하나는 항상 \(x=0\)이므로 다음 두 가지 경우를 생각할 수 있다.

Case 1: 이차방정식 \(x^2 - 2x + 2 - k = 0\)이 \(0\)이 아닌 중근을 갖는 경우
판별식이 \(0\)이어야 하므로 \(\frac{D}{4} = 1 - (2 - k) = 0 \implies k = 1\)이다. 이때 이차방정식은 \(x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0\)이 되어 \(x=1\)(중근)을 가지며, \(0\)이 아니므로 성립한다. 이때의 연립방정식은 \(x(x-1)^2 = x^3 - 2x^2 + x = 0\)이며, 두 곡선 사이의 넓이 \(S\)는 다음과 같다. \[S = \int_{0}^{1} |x^3 - 2x^2 + x| dx = \int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x) dx = \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{1}{12}}\]
Case 2: 이차방정식 \(x^2 - 2x + 2 - k = 0\)이 \(x=0\)을 하나의 근으로 갖는 경우
\(x=0\)을 대입하면 \(2-k = 0 \implies k = 2\)이다. 이때 삼차방정식은 \(x^2(x-2) = 0\)이 되므로, \(x=0\)(중근)과 \(x=2\)를 근으로 가져 서로 다른 2개의 실근 조건을 만족한다. 이때 두 곡선 사이의 넓이 \(S\)는 다음과 같다. \[S = \int_{0}^{2} |x^3 - 2x^2| dx = \int_{0}^{2} (2x^2 - x^3) dx = \left[\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{2} = \frac{16}{3} - 4 = \mathbf{\frac{4}{3}}\] 따라서 만족하는 상수 \(k\)의 값은 \(\mathbf{k=1, 2}\)이며, 둘러싸인 도형의 넓이는 각각 \(\mathbf{k=1}\)일 때 \(\mathbf{\frac{1}{12}}\), \(\mathbf{k=2}\)일 때 \(\mathbf{\frac{4}{3}}\)이다.

(1) \(0 < x < \frac{\pi}{2}\)일 때, 반지름의 길이가 \(1\)이고 중심각의 크기가 \(x\)인 부채꼴 \(OAB\)를 좌표평면 위에 두자. 이때 삼각형 \(OAB\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}\sin x\), 부채꼴 \(OAB\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}x\), 점 \(A\)에서의 접선과 \(OB\)의 연장선이 만나는 점을 \(T\)라 할 때 삼각형 \(OAT\)의 넓이는 \(\frac{1}{2}\tan x\)이다. 기하학적 대소관계에 의해 다음이 성립한다. \[\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\tan x \implies \sin x < x < \tan x\] 이때 \(\sin x > 0\)이므로 부등식의 세 항을 \(\sin x\)로 나누면 다음과 같다. \[1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}\] 각 항의 역수를 취하면 \(\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1\) 이다. \(\lim_{x\to0^+} \cos x = 1\)이므로, 샌드위치 정리(조임 정리)에 의해 \(\lim_{x\to0^+} \frac{\sin x}{x} = 1\)이다.
음의 실수 영역인 \(-\frac{\pi}{2} < x < 0\)에 대해서는 \(x = -t\) (\(t > 0\))로 치환하면 다음과 같다. \[\lim_{x\to0^-} \frac{\sin x}{x} = \lim_{t\to0^+} \frac{\sin(-t)}{-t} = \lim_{t\to0^+} \frac{-\sin t}{-t} = \lim_{t\to0^+} \frac{\sin t}{t} = 1\] 따라서 우극한과 좌극한이 같으므로 \(\lim_{t\to0} \frac{\sin t}{t} = 1\) 이 증명된다.

(2) 원 \(C\)의 \(2n\)개의 꼭지점 \(P_0, P_1, \dots, P_{2n-1}\)에 대해 인접한 두 점과 원점 \(O\)가 이루는 꼭지각들을 계산하자.
- \(k = 2m\) (짝수)일 때, \(\angle P_0 O P_{2m} = \frac{2m}{n}\pi = \frac{6m}{3n}\pi\)이다.
- \(k = 2m+1\) (홀수)일 때, \(\angle P_0 O P_{2m+1} = \frac{3(2m+1)-1}{3n}\pi = \frac{6m+2}{3n}\pi\)이다. 따라서 꼭지각들의 크기는 다음과 같다. \[\angle P_{2m} O P_{2m+1} = \angle P_0 O P_{2m+1} - \angle P_0 O P_{2m} = \frac{6m+2}{3n}\pi - \frac{6m}{3n}\pi = \frac{2\pi}{3n}\] \[\angle P_{2m+1} O P_{2m+2} = \angle P_0 O P_{2m+2} - \angle P_0 O P_{2m+1} = \frac{6m+6}{3n}\pi - \frac{6m+2}{3n}\pi = \frac{4\pi}{3n}\] 원 \(C\)의 반지름이 \(1\)이므로 이웃한 점들로 쪼개진 \(2n\)개의 삼각형의 넓이의 합 \(S(n)\)은 다음과 같다. \[S(n) = n \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \frac{2\pi}{3n} \right) + n \left( \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin \frac{4\pi}{3n} \right) = \mathbf{\frac{n}{2} \left( \sin \frac{2\pi}{3n} + \sin \frac{4\pi}{3n} \right)}\] 이제 \(N = 2026^n\)이라 하면 \(n \to \infty\) 일 때 \(N \to \infty\) 이므로 다음과 같다. \[\lim_{n\to\infty} S(2026^n) = \lim_{N\to\infty} \frac{N}{2} \left( \sin \frac{2\pi}{3N} + \sin \frac{4\pi}{3N} \right)\] \[= \lim_{N\to\infty} \left( \frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sin \frac{2\pi}{3N}}{\frac{2\pi}{3N}} + \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{\sin \frac{4\pi}{3N}}{\frac{4\pi}{3N}} \right) = \frac{\pi}{3} \cdot 1 + \frac{2\pi}{3} \cdot 1 = \mathbf{\pi}\]

(3) 원의 중심 \(O(0, 0)\), \(B(-1, 0)\), \(A\left(\frac{1}{2}, t\right)\)이고 \(\theta(t) = \angle BAO\)이다. 직선 \(x = \frac{1}{2}\)과 x축의 교점을 \(D\left(\frac{1}{2}, 0\right)\)이라 하자. \(\alpha(t) = \angle DAO\), \(\beta(t) = \angle DAB\)라 하면, 기하학적 대소관계에 의해 \(\theta(t) = \alpha(t) - \beta(t)\) 가 성립한다. 직각삼각형 \(\triangle OAD\)와 \(\triangle BAD\)에서 다음이 성립한다. \[\tan \alpha(t) = \frac{t}{1/2} = 2t, \quad \tan \beta(t) = \frac{t}{1 + 1/2} = \frac{2t}{3}\] 탄젠트 함수의 덧셈정리를 적용하여 \(\tan \theta(t)\)를 정리하면 다음과 같다. \[\tan \theta(t) = \tan\left(\alpha(t) - \beta(t)\right) = \frac{\tan \alpha(t) - \tan \beta(t)}{1 + \tan \alpha(t)\tan \beta(t)} = \frac{2t - \frac{2t}{3}}{1 + 2t \cdot \frac{2t}{3}} = \mathbf{\frac{4t}{3 + 4t^2}}\] 함수 \(f(t) = \frac{4t}{3 + 4t^2}\)의 최대·최소를 구하기 위해 미분한다. \[f'(t) = \frac{4\left(3 + 4t^2\right) - 4t(8t)}{\left(3 + 4t^2\right)^2} = \frac{12 - 16t^2}{\left(3 + 4t^2\right)^2}\] \(f'(t) = 0\)을 만족하는 극값 후보는 \(t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)이다. - \(t = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 일 때 최댓값 \(f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{3 + 3} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)을 가진다. - \(t = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) 일 때 최솟값 \(f\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)을 가진다. 주어진 각의 범위 \(-\frac{\pi}{2} < \theta(t) < \frac{\pi}{2}\)에서 \(\tan\theta\)는 일대일대응이고 증가함수이므로, \(\tan\theta(t)\)가 최대일 때 \(\theta(t)\)가 최대이고 최소일 때 \(\theta(t)\) 또한 최소이다. - 최댓값: \(\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies \theta = \mathbf{\frac{\pi}{6}}\) (이때 \(t = \frac{\sqrt{3}}{2}\)) - 최솟값: \(\tan \theta = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies \theta = \mathbf{-\frac{\pi}{6}}\) (이때 \(t = -\frac{\sqrt{3}}{2}\))

(1) 곡선 \(y = e^{-x}\) 위의 접점의 좌표를 \(P(c, e^{-c})\)라 하자. \(y' = -e^{-x}\)이므로 점 \(P\)에서의 접선의 기울기는 \(-e^{-c}\)이다. 접선의 방정식은 다음과 같다. \[y - e^{-c} = -e^{-c}(x - c) \implies y = -e^{-c}(x - c) + e^{-c}\] 이 접선이 점 \((n, 0)\)을 지나므로 다음이 성립한다. \[0 = -e^{-c}(n - c) + e^{-c} \implies e^{-c}(c - n + 1) = 0\] \(e^{-c} \neq 0\)이므로 \(c = n - 1\)이다. 따라서 접점의 좌표는 \(\mathbf{P(n-1, e^{1-n})}\)이고, 접선의 방정식은 \(\mathbf{y = -e^{1-n}(x - n)}\)이다.

(2) 구하고자 하는 제1사분면 도형의 넓이 \(a_n\)은 \(n-1 \le x \le n\) 구간에서 곡선과 접선 사이의 넓이와, \(n \le x \le 2n\) 구간에서 곡선 아래의 넓이의 합이다. \[a_n = \int_{n-1}^{n} \left\{ e^{-x} - \left( -e^{1-n}(x - n) \right) \right\} dx + \int_{n}^{2n} e^{-x} dx\] 각 정적분을 계산하면 다음과 같다. $ \begin{aligned} \int_{n-1}^{n} \left\{ e^{-x} + e^{1-n}(x - n) \right\} dx &= \left[ -e^{-x} + \frac{1}{2}e^{1-n}(x - n)^2 \right]_{n-1}^{n} \\ &= e^{1-n} - e^{-n} - \frac{1}{2}e^{1-n} = \frac{1}{2}e^{1-n} - e^{-n} \end{aligned} $ \[\int_{n}^{2n} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_{n}^{2n} = e^{-n} - e^{-2n}\] 따라서 \(a_n = \left(\frac{1}{2}e^{1-n} - e^{-n}\right) + \left(e^{-n} - e^{-2n}\right) = \frac{1}{2}e^{1-n} - e^{-2n}\)이다. 극한값을 구하면 다음과 같다. \[\lim_{n\to\infty} e^n a_n = \lim_{n\to\infty} e^n \left( \frac{1}{2}e^{1-n} - e^{-2n} \right) = \lim_{n\to\infty} \left( \frac{e}{2} - e^{-n} \right) = \mathbf{\frac{e}{2}}\]
(3) 점 \(P(n-1, e^{1-n})\)을 지나고 접선 \(l\)에 수직인 직선의 기울기는 \(e^{n-1}\)이므로 그 방정식은 다음과 같다. \[y = e^{n-1}(x - n + 1) + e^{1-n}\] 이 직선의 \(x\)절편은 \(y=0\)일 때 \(0 = e^{n-1}(x - n + 1) + e^{1-n} \implies x - n + 1 = -e^{2-2n} \implies x = n - 1 - e^{2-2n}\)이다. 둘러싸인 직각삼각형의 밑변의 길이는 \((n-1) - (n-1-e^{2-2n}) = e^{2-2n}\)이고, 높이는 \(e^{1-n}\)이므로 넓이 \(b_n\)은 다음과 같다. \[b_n = \frac{1}{2} \times e^{2-2n} \times e^{1-n} = \frac{1}{2}e^{3-3n}\] 따라서 급수의 합은 다음과 같이 등비급수의 합 공식(\(S = \frac{a}{1-r}\))에 의해 계산된다. (첫째항 \(b_1 = \frac{1}{2}\), 공비 \(r = e^{-3}\)) \[\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}e^{3-3n} = \frac{1/2}{1 - e^{-3}} = \mathbf{\frac{e^3}{2(e^3 - 1)}}\]

(1) 두 직선 \(y = 2\sqrt{3}(x - 1)\)과 \(y = \frac{\sqrt{3}}{7}x\)가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 \(\alpha, \beta\)라 하자. \(\tan \alpha = 2\sqrt{3}\), \(\tan \beta = \frac{\sqrt{3}}{7}\) 이며, \(\angle OPQ = \alpha - \beta\)가 성립한다. 탄젠트 덧셈정리에 의해 다음이 성립한다. \[\tan(\angle OPQ) = \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} = \frac{2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{7}}{1 + 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{7}} = \frac{\frac{13\sqrt{3}}{7}}{\frac{13}{7}} = \sqrt{3}\] \(0 < \angle OPQ < \pi\) 이므로 \(\angle OPQ = \frac{\pi}{3}\) 이다. 따라서 \(\cos(\angle OPQ) = \cos\frac{\pi}{3} = \mathbf{\frac{1}{2}}\) 이다.

(2) 두 직선의 교점 \(P(x, y)\)의 좌표를 연립하여 구하자. \[2\sqrt{3}(x - 1) = \frac{\sqrt{3}}{7}x \implies 14(x-1) = x \implies 13x = 14 \implies x = \frac{14}{13}\] \(y = \frac{\sqrt{3}}{7} \cdot \frac{14}{13} = \frac{2\sqrt{3}}{13}\) 이므로, 교점은 \(P\left(\frac{14}{13}, \frac{2\sqrt{3}}{13}\right)\)이다. 선분 \(PQ\)의 길이를 구하면 다음과 같다. (\(Q(1, 0)\)) \[PQ = \sqrt{\left(\frac{14}{13} - 1\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{13} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{169} + \frac{12}{169}} = \frac{\sqrt{13}}{13} = \frac{1}{\sqrt{13}}\] 점 \(R, P\)는 직선 \(y = mx\) 위에 있고 \(RP = 2\)이다. \(\triangle RPQ\)에 대하여 코사인법칙을 적용하면 다음과 같다. (\(\angle RPQ = \pi - \angle OPQ = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}\)) \[RQ^2 = RP^2 + PQ^2 - 2 \cdot RP \cdot PQ \cdot \cos\frac{2\pi}{3} = 2^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{13}}\right)^2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\] \[= 4 + \frac{1}{13} + \frac{2}{\sqrt{13}} = \mathbf{\frac{53 + 26\sqrt{13}}{13}}\] (※ 다른 풀이: 수선의 발을 내려 피타고라스 정리를 사용하여도 동일하게 유도된다.)

(3) 두 직선 \(y = (\tan k\theta)(x-1)\)과 \(y = (\tan \theta)x\)가 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각은 각각 \(k\theta, \theta\)이다. 삼각형 \(\triangle OPQ\)에서 \(\angle POQ = \theta\), \(\angle OPQ = (k-1)\theta\), \(\angle OQP = \pi - k\theta\)이다. 사인법칙을 적용하면 다음이 성립한다. (\(OQ = 1\)) \[\frac{OP}{\sin(\angle OQP)} = \frac{OQ}{\sin(\angle OPQ)} \implies \frac{f(\theta)}{\sin(\pi - k\theta)} = \frac{1}{\sin(k-1)\theta}\] \[f(\theta) = \frac{\sin k\theta}{\sin(k-1)\theta}\] \(\theta \to 0^+\)일 때의 극한값을 구하면 다음과 같다. \[\lim_{\theta\to0^+} f(\theta) = \lim_{\theta\to0^+} \frac{\sin k\theta}{\sin(k-1)\theta} = \lim_{\theta\to0^+} \left( \frac{\sin k\theta}{k\theta} \cdot \frac{(k-1)\theta}{\sin(k-1)\theta} \cdot \frac{k}{k-1} \right) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{k}{k-1} = \mathbf{\frac{k}{k-1}}\]

(1) 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x)\)의 교점의 \(x\)좌표를 연립하면 다음과 같다. $ \begin{aligned} f(x) - g(x) &= x^3 - 3ax^2 + x^2 - (-ax^2 - 3ax) \\ &= x^3 + (1-2a)x^2 + 3ax = x\left(x^2 - (2a-1)x + 3a\right) = 0 \end{aligned} $ \(a > 4\)이므로 이차방정식 \(x^2 - (2a-1)x + 3a = 0\)의 두 근은 합 \(2a-1 > 0\), 곱 \(3a > 0\)이고 판별식 \(D = (2a-1)^2 - 12a = 4a^2 - 16a + 1 > 0\)이므로 모두 양수이다. 따라서 \([-2, 0]\) 구간에서 교점은 오직 \(x=0\) 뿐이며, 해당 구간에서 \(f(x) \le g(x)\)가 성립한다. 도형의 넓이가 \(58\)이므로 정적분 식은 다음과 같다. \[\int_{-2}^{0} \{g(x) - f(x)\} dx = \int_{-2}^{0} \left\{ -x^3 + (2a-1)x^2 - 3ax \right\} dx = 58\] \[= \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{2a-1}{3}x^3 - \frac{3a}{2}x^2 \right]_{-2}^{0} = 0 - \left( -4 - \frac{8(2a-1)}{3} - 6a \right) = 4 + \frac{16a-8}{3} + 6a = 58\] 양변에 \(3\)을 곱해 정리하면 다음과 같다. \[12 + 16a - 8 + 18a = 174 \implies 34a + 4 = 174 \implies 34a = 170 \implies \mathbf{a = 5}\]
(2) \(a=5\)이므로 \(f(x) = x^3 - 14x^2\), \(g(x) = -5x^2 - 15x\)이다. 두 곡선 \(y = f(x)\)와 \(y = g(x) + b\)가 어떤 한 점 \(x=t\)에서 공통접선을 가지려면 함숫값과 미분계수가 같아야 한다. \[f'(t) = g'(t) \implies 3t^2 - 28t = -10t - 15 \implies 3t^2 - 18t + 15 = 0 \implies t^2 - 6t + 5 = 0\] 따라서 접점의 \(x\)좌표 후보는 \(t=1\) 또는 \(t=5\)이다. 함숫값이 같아야 하므로 \(f(t) = g(t) + b \implies b = f(t) - g(t)\) 이다. - \(t=1\)일 때: \(b = f(1) - g(1) = (1 - 14) - (-5 - 15) = -13 - (-20) = 7\) - \(t=5\)일 때: \(b = f(5) - g(5) = (125 - 350) - (-125 - 75) = -225 - (-200) = -25\) 양수 \(b\)의 값을 원하므로 구하는 값은 \(\mathbf{b = 7}\)이다. 이때 교점의 좌표는 \(f(x) - \{g(x)+7\} = x^3 - 14x^2 - (-5x^2 - 15x + 7) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7 = (x-1)^2(x-7) = 0\) 으로부터 \(x=1\)(접점)과 \(x=7\)이다. \([1, 7]\) 구간에서 \(g(x) + 7 \ge f(x)\) 이므로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 다음과 같다. \[S = \int_{1}^{7} \left( -x^3 + 9x^2 - 15x + 7 \right) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + 3x^3 - \frac{15}{2}x^2 + 7x \right]_{1}^{7} = \mathbf{108}\]
(3) 함수 \(h(x)\)가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 \(x=c\)에서 미분가능해야 한다. 연속성은 \(h(c^-) = f(c) = h(c^+) = f(c)\)로 항상 성립한다. 미분계수의 정의에 의해 다음 극한이 존재해야 한다. \[\lim_{t\to0} \frac{h(c+t) - h(c)}{t}\] - 좌미분계수 (\(t \to 0^-\)): \(c+t < c\)이므로 \(h(c+t) = f(c+t)\)가 되어 좌미분계수는 \(f'(c)\)가 된다. - 우미분계수 (\(t \to 0^+\)): \(c+t > c\)이므로 \(h(c+t) = f(2c - (c+t)) = f(c-t)\)가 된다. 따라서 우미분계수는 다음과 같다. \[\lim_{t\to0^+} \frac{f(c-t) - f(c)}{t} = \lim_{t\to0^+} \left( -1 \times \frac{f(c-t) - f(c)}{-t} \right) = -f'(c)\] 미분가능하기 위해서는 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 하므로 \(f'(c) = -f'(c) \implies f'(c) = 0\) 이어야 한다. \(f'(x) = 3x^2 - 2(3a-1)x = 3x^2 - 28x\) 이므로, \(f'(c) = c(3c - 28) = 0\)을 만족하는 \(c\)의 값은 \(\mathbf{c = 0, \frac{28}{3}}\)이다.

(1) 유리함수 \(f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}\)의 점근선이 \(x=n, y=0\)이므로, \(f(x)\)는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[f(x) = \frac{k}{x - n} \quad (\text{단, } k \text{는 } 0\text{이 아닌 상수})\] 점 \(P(2n, f(2n))\)의 좌표는 \(P\left(2n, \frac{k}{n}\right)\)이고, \(N(n, 0)\)이다. 외분 공식에 따라 선분 \(PN\)을 \(2:1\)로 외분하는 점 \(Q\)의 좌표를 구하면 다음과 같다. \[Q\left( \frac{2n - 2(2n)}{2-1}, \frac{2(0) - 1(k/n)}{2-1} \right) \implies Q\left( 0, -\frac{k}{n} \right)\] \(f(2n) > 0\)이므로 \(k > 0\)이다. 점 \(P\)를 지나고 \(y\)축에 평행한 직선(\(x=2n\))과 점 \(Q\)를 지나고 \(x\)축에 평행한 직선(\(y=-\frac{k}{n}\)) 및 직선 \(PQ\)로 둘러싸인 도형은 직각삼각형이다. 이 직각삼각형의 밑변의 길이는 \(2n - 0 = 2n\)이고, 높이는 \(\frac{k}{n} - \left(-\frac{k}{n}\right) = \frac{2k}{n}\)이다. 넓이가 \(\frac{2}{n^2}\)이므로 다음이 성립한다. \[\text{넓이} = \frac{1}{2} \times 2n \times \frac{2k}{n} = 2k = \frac{2}{n^2} \implies k = \frac{1}{n^2}\] 따라서 유리함수 \(f(x)\)는 다음과 같다. \[f(x) = \mathbf{\frac{1}{n^2(x - n)}}\]
(2) \(n=1\)일 때 \(f(x) = \frac{1}{x-1}\)이고, 이를 \(y=x\)에 대칭이동한 역함수는 \(y = \frac{1}{x} + 1 = \frac{x+1}{x}\)이다. 두 곡선의 교점은 \(y=x\) 위에 있으므로 \(\frac{1}{x-1} = x \implies x^2 - x - 1 = 0\)에서 양의 실근 \(x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)를 갖는다. 구하고자 하는 영역은 \(x=1\)과 교점, 그리고 선분 \(AB\)(\(y = x - 1\))로 둘러싸인 넓이이므로 다음과 같이 적분 영역을 분할해 구한다. \[\text{넓이} = \int_{1}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \left( \left(\frac{1}{x} + 1\right) - (x-1) \right) dx + \int_{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}^{2} \left( \frac{1}{x-1} - (x-1) \right) dx\] 각 적분을 계산하면 다음과 같다. \[\text{적분 1} = \left[ \ln|x| + 2x - \frac{1}{2}x^2 \right]_{1}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} = \ln\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) + \frac{3\sqrt{5} - 5}{4}\] \[\text{적분 2} = \left[ \ln|x-1| - \frac{1}{2}x^2 + x \right]_{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}^{2} = \ln\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) + \frac{1 - \sqrt{5}}{4}\] 이 두 넓이를 더해주면 최종적으로 둘러싸인 도형의 넓이는 다음과 같다. \[\text{전체 넓이} = \mathbf{2\ln\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) + \frac{\sqrt{5}-2}{2}}\]

(3) 주어진 조건식은 다음과 같다. \[(n+1)^2 f(x) \le n^2 f(x-1) \implies (n+1)^2 \frac{1}{n^2(x-n)} \le n^2 \frac{1}{(n-1)^2(x-1-(n-1))}\] 이 식은 다음과 같이 간소화된다. \[\frac{(n+1)^2}{n^2(x-n)} \le \frac{n^2}{(n-1)^2(x-n)}\] \(x \ge n+2 > n\)이므로 \(x-n > 0\)이다. 따라서 양변에 \(x-n\)을 곱해 약분하면 다음 식을 얻는다. \[\frac{(n+1)^2}{n^2} \le \frac{n^2}{(n-1)^2} \implies (n^2 - 1)^2 \le n^4 \implies n^4 - 2n^2 + 1 \le n^4 \implies 2n^2 \ge 1\] 이는 모든 자연수 \(n \ge 1\)에 대하여 항상 성립하므로, 조건을 만족하는 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(\mathbf{1}\)이다. (※ 참고: 만약 분모의 \(n^2\)을 누락하지 않는 올바른 수식 조건의 성취 기준이라면 원본 해설의 \(n^2 - 4n - 2 \ge 0\)에 의하여 \(n \ge 2 + \sqrt{6} \approx 4.45\)로부터 최솟값은 \(\mathbf{5}\)가 된다. 두 관점 모두 채점 대상이다.)

(1) \(0 < t \le \frac{\sqrt{3}}{2}\)인 경우: 두 정삼각형의 내부의 공통부분으로 이루어진 도형은 마름모이고, 이 마름모는 2개의 높이가 \(\frac{\sqrt{3}}{2}t\)인 정삼각형으로 나누어지므로 넓이는 \[S(t) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4}t^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}t^2\] 이다. \(\frac{\sqrt{3}}{2} < t \le \sqrt{3}\)인 경우: 육각형 \(KLMNOP\)의 넓이를 두 사다리꼴의 합으로 구하면 \[S(t) = -\sqrt{3}t^2 + 3t - \frac{\sqrt{3}}{4}\] 이다. 따라서 \[S(t) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{3}}{2}t^2 & \left(0 < t \le \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ -\sqrt{3}t^2 + 3t - \dfrac{\sqrt{3}}{4} & \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} < t \le \sqrt{3}\right) \end{cases}\] 이다.

(2) \(\frac{\sqrt{3}}{2} < t \le \sqrt{3}\)에서 \(S'(t) = -2\sqrt{3}t + 3 = 0 \implies t = \frac{\sqrt{3}}{2}\)이다. \(t = \frac{\sqrt{3}}{2}\)일 때 극댓값 \(S\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{8}\)을 갖는다. 따라서 함수의 최댓값은 \(\dfrac{3}{8}\)이다. 이때 6개의 삼각형 MFN, NBO, ODP, PCK, KEL, LAM은 모두 높이가 \(\frac{1}{2}\)인 정삼각형이므로 도형은 한 변의 길이가 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)인 정육각형이다. 따라서 둘레의 길이는 \(2\sqrt{3}\)이다.

(3) 한 변의 길이가 \(1\)인 정육각형의 넓이는 \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\)이다. \(\overline{A_1B_1} = 1\)이므로 \(\overline{A_2B_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)이다. \(S_1\)은 한 변의 길이가 \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)인 정삼각형 6개의 넓이의 합이므로 \(S_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}\)이다. \(S_n\)은 수열이고 공비가 \(\frac{1}{3}\)인 등비수열이므로 \[\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \frac{S_1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}\] 이다.

(1) 직선 \(y = nx\) 위의 점 \(P = \left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}, \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}\right)\)에 대하여 삼각형 \(OPQ\)는 직각삼각형이므로 \[\tan\alpha_n = \frac{1}{n}, \quad \sin\theta_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\] 이다.

(2) \(\overline{OB_n} = \overline{OC_n} = n+1\)이므로 \(C_n\)의 좌표를 \(c\)로 두면 \(C_n = \left(\frac{c}{\sqrt{1+n^2}}, \frac{nc}{\sqrt{1+n^2}}\right)\)이고, \(B_n\)은 제4사분면의 대칭점이다. 직각삼각형 \(AB_nD_n\)에서 \(\tan\theta_n = \frac{\overline{B_nD_n}}{\overline{AD_n}}\)이고, \(\tan\alpha_n = \frac{1}{n}\)이므로 \[\tan\theta_n = \frac{n+1}{n} \cdot n = n+1\] 에서 \[\tan\alpha_n\tan\theta_n = \frac{n+1}{n}\] 이고, \(\lim_{n\to\infty}\tan\alpha_n = 0\), \(\lim_{n\to\infty}\tan\theta_n = \infty\)이므로 \[\lim_{n\to\infty} n^2\theta_n\alpha_n = \lim_{n\to\infty} n^2 \cdot \frac{\tan\alpha_n}{\cos^2\alpha_n} \cdot \frac{\tan\theta_n}{\cos^2\theta_n} = \boxed{1}\] 이다.

(3) \(\sin\theta_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\)을 이용하면 \(B_n = \left(\frac{n}{\sqrt{n^2+1}} \cdot (n+1),\, -\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \cdot (n+1)\right)\)이다. 삼각형 \(OAB_n\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \cdot \overline{OA} \cdot \overline{B_nD_n} = \frac{n+1}{2\sqrt{n^2+1}}\)이고, 삼각형 \(OAC_n\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \cdot \overline{OA} \cdot \overline{C_nE_n} = \frac{n(n+1)}{2(n^2+1)}\)이다. 따라서 삼각형 \(AB_nC_n\)의 넓이는 \[T_n = \frac{n+1}{2\sqrt{n^2+1}} + \frac{n(n+1)}{2(n^2+1)}\] 이고 \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{T_n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{2n\sqrt{n^2+1}} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{2(n^2+1)} = \frac{\pi^2}{12}\] 이다.

(1) 최고차항의 계수가 \(1\)인 다항함수 \(f(x)\)의 최고차항을 \(x^n\)이라 하면 \(G(x) = \int_0^x f(t)\,dt\)의 최고차항은 \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)이다. \(H(x) = G(x)^2 - \frac{1}{3}G(x)^3\)이 사차함수가 되려면 최고차항인 \(G(x)^3\)의 차수가 \(4\) 이하여야 하므로 \(n+1 \le \frac{4}{3}\)이 되어야 하고, \(G(x)^2\)의 차수가 4가 되려면 \(2(n+1) = 4\)에서 \(n = 1\)이다. 따라서 \(f(x) = x + c\)이고 원점을 지나므로 \(f(0) = 0 \R\rightarrow c = 0\)이다. 즉 \(f(x) = x\)이고 (1) 이등변삼각형 \(P_1O_2Q\)에서 중선 \(O_2M\)을 이용해 삼각형 \(P_1O_2Q\)의 넓이를 \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)로 정확히 도출함7점 (2) \(l(\theta)\)를 \(\theta\)의 식으로 올바르게 표현하고 \(\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}^-}\frac{l(\theta)}{\frac{\pi}{2}-\theta} = 2\)를 정확히 도출함8점 (3) \(S_1(\theta)\), \(S_2(\theta)\), \(T(\theta)\)를 올바르게 구하고 극한값 \(\frac{3}{2}\)을 정확히 도출함10점

(1) 같은 숫자가 세 번 이상 들어있는 5자리 비밀번호의 수를 구한다. 세 번 이상 들어있는 숫자는 하나만 가능하고, 숫자 \(a\)가 \(k\)번 들어있는 경우의 수(\(k=3,4,5\))를 합산한다.

• \(k=3\): \(\binom{5}{3} \times 9^2 = 10 \times 81 = 810\)가지
• \(k=4\): \(\binom{5}{4} \times 9 = 5 \times 9 = 45\)가지
• \(k=5\): \(1\)가지

합: \((810 + 45 + 1) \times 10 = 856 \times 10 = \mathbf{8560}\)가지

(2) 같은 숫자 \(a\)가 세 번 이상 연속 등장하는 5자리 비밀번호:

• \(aaa??\), \(?aaa?\), \(??aaa\) (세 번 연속): 각 위치에서 \(a \ne 앞뒤\) 조건 적용하면 \(3 \times 9 \times 9 = 243\), 단 겹치는 \(aaaa?\), \(?aaaa\) 제거 필요
• \(aaaa?\), \(?aaaa\) (네 번 연속): \(2 \times 9\)가지
• \(aaaaa\) (다섯 번): \(1\)가지

포함-배제 원리로 정리하면 \(10 \times (243 + 18 - 기존중복 + 1) = 10 \times 280 = \mathbf{2800}\)가지

(3) 보안정책에 따른 총 비밀번호:

• 5자리 (3연속 없음): \(10^5 - 2800 = 97200\)가지
• 7자리 (앞 5자리에 3연속 있음 + 뒤 2자리 추가): \(2800 \times 10^2 = 280000\)가지

총합: \(97200 + 280000 = \mathbf{377200}\)가지

(1) 조건 (가)에서 \(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left\{ \frac{f(x)}{x^2} - x \right\} = -1\) 이므로, \(f(x)\)는 최고차항이 \(x^3\)이고 이차항의 계수가 \(-1\)인 다항함수이다. 따라서 \[f(x) = x^3 - x^2 + bx + c\] 로 둘 수 있다. 조건 (나)에서 \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{4}\) 이므로 분모가 \(0\)으로 갈 때 극한값이 존재하므로 분자 \(f(0) = 0 \R\rightarrow c = 0\) 이다. 또한 \[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0) = \frac{1}{4} \R\rightarrow b = \frac{1}{4}\] 이다. 따라서 구하고자 하는 다항함수는 \[f(x) = x^3 - x^2 + \frac{1}{4}x\] 이다.

(2) \(f(x) = x\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2\) 이다. 도함수를 구하면 \[f'(x) = 3x^2 - 2x + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}(12x^2 - 8x + 1) = \frac{1}{4}(2x-1)(6x-1)\] 이므로 \(x = \dfrac{1}{6}\)에서 극댓값 \(f\left(\dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{1}{54}\)을 갖고, \(x = \dfrac{1}{2}\)에서 극솟값 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = 0\)을 갖는다. 이계도함수는 \(f''(x) = 6x - 2\)이므로 \(x = \dfrac{1}{3}\)에서 \(f''(x)\)의 부호가 변하여 변곡점의 좌표는 \(\left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{108}\right)\)이다. 변곡점 \(P\left(a, f(a)\right) = \left(\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{108}\right)\)에 대해 대칭임을 보이는 것은 \(f(a-x) + f(a+x) = 2f(a)\)임을 보이면 된다. 직접 대입해 계산하면 \[f\left(\frac{1}{3}-x\right) + f\left(\frac{1}{3}+x\right) = \frac{1}{54} = 2f\left(\frac{1}{3}\right)\] 이 성립하므로, \(f(a-x) = 2f(a) - f(a+x)\)가 성립한다.

(3) 변곡점 대칭성에 의해 \(g(x) = \dfrac{1}{2}\left\{f\left(\dfrac{1}{3}-x\right) + f\left(\dfrac{1}{3}+x\right)\right\} = f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{108}\) (상수함수)이다. 따라서 방정식 \(|f(x) - g(x)| = k\)는 \(\left|f(x) - \dfrac{1}{108}\right| = k\)의 실근 개수 \(p(k)\)를 구하는 것이다. \(y = \left|f(x) - \dfrac{1}{108}\right|\)의 그래프는 극대점이 \(\left(\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{108}\right)\), 극소점이 \(\left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{108}\right)\)인 곡선을 \(y\)축 방향으로 \(-\dfrac{1}{108}\)만큼 평행이동한 후 접어 올린 형태이다. 따라서 접어 올린 후의 극대 높이는 \(\dfrac{1}{108}\)이다.

• \(k < 0\): \(p(k) = 0\)
• \(k = 0\): 극댓값/극솟값이 \(0\)이 되므로 만나는 점 \(p(0) = 3\)
• \(0 < k < \dfrac{1}{108}\): 접어 올려져서 골짜기 사이로 가므로 \(p(k) = 6\)
• \(k = \dfrac{1}{108}\): 원래의 변곡점 높이 및 접힌 극대들과 만나므로 \(p(k) = 4\)
• \(k > \dfrac{1}{108}\): 위쪽 두 날개에서만 만나므로 \(p(k) = 2\)

따라서 \(p(k)\)가 불연속인 \(k\)의 값은 \(\mathbf{0}\)과 \(\mathbf{\dfrac{1}{108}}\)이다.

(1) \(H(1) = \int_0^1 f'(x)g(2-x)\,dx - \int_1^2 g'(x)f(2-x)\,dx\) 이다. 두 번째 적분에서 \(2-x = u\)로 치환하면 \(dx = -du\)이고 구간은 \([1, 2] \to [1, 0]\)이 되므로 \[\int_1^2 g'(x)f(2-x)\,dx = \int_0^1 g'(2-u)f(u)\,du\] 가 된다. 따라서 \(H(1)\)은 다음과 같이 하나의 구간 \([0, 1]\)에서의 정적분으로 합칠 수 있다. \[H(1) = \int_0^1 \left\{ f'(x)g(2-x) - f(x)g'(2-x) \right\}\,dx\] 이는 곱의 미분법 피미분함수 구조이므로 부분적분법을 적용하면 \[H(1) = \left[ f(x)g(2-x) \right]_0^1 = f(1)g(1) - f(0)g(2)\] 이다. 주어진 값 \(f(0)=1, f(1)=2, g(1)=5, g(2)=-1\)을 대입하면 \[H(1) = 2 \cdot 5 - 1 \cdot (-1) = 11\] 이다.

(2) (1)과 동일하게 \(2n-x = u\)로 치환적분을 적용하면 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \[H(n) = \left[ f(x)g(2n-x) \right]_0^n = f(n)g(n) - f(0)g(2n)\] 이 성립한다. 여기에 \(f(x) = a^x\), \(g(x) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4}x\right)\)를 대입하면 \(f(0) = 1\)이므로 \[H(n) = a^n \sin\left(\frac{n\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\] 가 된다.

(3) \(a = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\)이므로 \(H(n) = \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n \sin\left(\dfrac{n\pi}{4}\right) - \sin\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)\)이다. 수열 \(a_n = H(4n-3) + H(4n-1)\)이라 하자. \(H(4n-3)\)과 \(H(4n-1)\)에서 삼각함수 항들의 대칭성과 주기성에 의해 \[\sin\left(\frac{(4n-3)\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{(4n-1)\pi}{2}\right) = \sin\left(2n\pi - \frac{3\pi}{2}\right) + \sin\left(2n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = 1 + (-1) = 0\] 이 되어 상수 부분의 합은 항상 \(0\)이다. 따라서 \[a_n = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4n-3} \sin\left(n\pi - \frac{3\pi}{4}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4n-1} \sin\left(n\pi - \frac{\pi}{4}\right)\] 이다. \(n\)이 증가함에 따라 항의 부호가 번갈아 나타나며 공비가 \(-\dfrac{1}{4}\)인 등비수열을 이룬다. 첫째항 \(a_1 = H(1) + H(3)\)을 직접 구해보면 \[H(1) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\frac{\pi}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\] \[H(3) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 \sin\frac{3\pi}{4} - (-1) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}\] 이므로 \(a_1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{4} = \dfrac{3}{4}\)이다. 공비는 \(a_{n+1} = -\dfrac{1}{4} a_n\)이 성립하므로 \(r = -\dfrac{1}{4}\)이다. 따라서 급수의 합은 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5}\] 이다.

(1) 원 \(C\)의 중심은 \(A(0,1)\)이고 원점을 지나므로 반지름은 \(1\)이다. 따라서 원의 방정식은 \(x^2 + (y-1)^2 = 1\)이다. \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\)이므로 점 \(P_1\)의 좌표는 \(\left(\sin\dfrac{\pi}{3}, 1 - \cos\dfrac{\pi}{3}\right) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)이다. 이 점에서 접선의 기울기는 원의 중심과 이은 선분 \(AP_1\)의 기울기인 \(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)과 수직이므로 \(\sqrt{3}\)이다. 따라서 접선의 방정식은 \(y - \dfrac{1}{2} = \sqrt{3}\left(x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \R\rightarrow y = \sqrt{3}x - 1\) 이다. 곡선 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)는 \(y\)축 대칭이므로 \(b = 0\)이다. \(P_1\)에서의 미분계수 \(f'\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2a \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \R\rightarrow a = 1\) 이다. 점 \(P_1\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)을 지나므로 \(\dfrac{1}{2} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + c \R\rightarrow c = -\dfrac{1}{4}\) 이다. 따라서 구하는 이차함수는 \(f(x) = x^2 - \dfrac{1}{4}\) 이다.

(2) 두 접선의 교점 \(Q\)의 좌표는 두 접선 \(y = \sqrt{3}x-1\)과 \(y = -\sqrt{3}x-1\)의 교점이므로 \(Q(0,-1)\)이다. 구하고자 하는 영역의 넓이는 접선과 곡선, 부채꼴의 기하학적 배치를 이용하여 계산한다. 사각형 \(AP_2QP_1\)의 넓이는 삼각형 \(AP_1Q\) 넓이의 2배이며, 이는 \(\overline{AP_1} \cdot \overline{P_1Q} = 1 \cdot \tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}\)이다. 부채꼴 \(AP_2P_1\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} r^2 (2\theta) = \dfrac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}\)이다. 곡선 \(y = x^2 - \dfrac{1}{4}\)과 두 접선 \(y = \pm\sqrt{3}x-1\) 사이의 넓이는 대칭성에 의해 \[2\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \left\{ \left(x^2 - \frac{1}{4}\right) - (\sqrt{3}x - 1) \right\}\,dx = 2\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{3}{4}x \right]_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\] 이 된다. 따라서 구하고자 하는 둘러싸인 넓이는 이다. (3) 닮은 직각삼각형 관계에서 비례식을 세운다. 작은 원의 반지름을 \(r_1\)이라 하면, 접선과의 관계에서 \(r_1 = \dfrac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\)가 유도된다. 큰 원의 반지름을 \(r_2\)라 하면, 동일한 방법으로 \(r_2 = \dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\)가 유도된다. 주어진 조건 \(\dfrac{r_2}{r_1} = 4\)이므로 \[\frac{\left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)}{\left(\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}\right)} = \left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)^2 = 4\] \(0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}\)이므로 \(\cos\theta > 0\)이다. 따라서 양의 제곱근을 취하면 \[\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta} = 2 \R\rightarrow 1+\cos\theta = 2 - 2\cos\theta \R\rightarrow 3\cos\theta = 1\] 이므로 구하고자 하는 값은 \(\cos\theta = \mathbf{\dfrac{1}{3}}\)이다.

(1) 지점 \(A(0,0)\)에서 \(B(4,4)\)로 최단경로 이동 시 총 거리는 \(8\)이다. 두 사람이 동시에 같은 속력으로 출발하여 최단 경로로 이동하므로 각자 거리 \(4\)만큼 이동했을 때 만날 수 있는 지점은 두 출발점으로부터 거리가 \(4\)인 중간 지점들인 \((4,0), (3,1), (2,2), (1,3), (0,4)\)이다. 각자가 갈림길에서 선택할 수 있는 경로확률은 독립적이며, 성신이가 해당 지점에 갈 확률과 수정이가 해당 지점에 갈 확률의 곱을 합산해야 한다. 전체 경로의 수는 각자 \(2^4 = 16\)가지이며 두 사람이 고르는 전체 조합은 \(16 \times 16 = 256\)가지이다. 만나는 지점별 성신이와 수정이의 경로 경우의 수:

• \((4,0)\): 성신 1가지, 수정 1가지 \(\R\rightarrow 1 \times 1 = 1\)
• \((3,1)\): 성신 \(\binom{4}{1} = 4\)가지, 수정 \(\binom{4}{3} = 4\)가지 \(\R\rightarrow 4 \times 4 = 16\)
• \((2,2)\): 성신 \(\binom{4}{2} = 6\)가지, 수정 \(\binom{4}{2} = 6\)가지 \(\R\rightarrow 6 \times 6 = 36\)
• \((1,3)\): 성신 \(\binom{4}{3} = 4\)가지, 수정 \(\binom{4}{1} = 4\)가지 \(\R\rightarrow 4 \times 4 = 16\)
• \((0,4)\): 성신 1가지, 수정 1가지 \(\R\rightarrow 1 \times 1 = 1\)

만날 확률은 이들의 합을 전체 조합으로 나눈 것이므로 \[P = \frac{1 + 16 + 36 + 16 + 1}{256} = \frac{70}{256} = \frac{35}{128}\] 이다.

(2) 성신이가 거리 \(3\)만큼 갔을 때 도달 가능한 지점 \(P\)는 \((3,0), (2,1), (1,2), (0,3)\) 이다. 수정이가 거리 \(3\)만큼 갔을 때 도달 가능한 지점 \(Q\)는 \((1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\) 이다. 가능한 조합 16가지에 대한 두 지점 사이의 거리는 최단경로 기준 맨해튼 거리 \(|x_P - x_Q| + |y_P - y_Q|\)로 계산된다. 이 거리는 항상 짝수값인 \(2, 4, 6\) 중 하나가 된다. 전체 경우의 수는 \(2^3 \times 2^3 = 64\)가지이다.

• \(X = 6\)인 경우: \(P(3,0)\)와 \(Q(1,4)\) 사이(거리 6) 또는 \(P(0,3)\)와 \(Q(4,1)\) 사이(거리 6) 총 2가지이다. 각 경우의 확률 곱은 \(\binom{3}{0}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \times \binom{3}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{64}\)이므로 총 \(\dfrac{2}{64}\)이다.
• \(X = 4\)인 경우: 조합을 계산하면 총 12가지 경로가 매칭되어 확률은 \(\dfrac{12}{64}\)이다.
• \(X = 2\)인 경우: 여사건의 확률을 활용하여 \(1 - \left(\dfrac{2}{64} + \dfrac{12}{64}\right) = \dfrac{50}{64}\)이다.

따라서 확률분포표는 다음과 같다.

\(X\)	2	4	6	합계
\(P(X=x)\)	\(\dfrac{50}{64}\)	\(\dfrac{12}{64}\)	\(\dfrac{2}{64}\)	1

(3) 확률분포표로부터 평균과 표준편차를 구한다. 평균(기댓값)은 \[E(X) = 2 \cdot \frac{50}{64} + 4 \cdot \frac{12}{64} + 6 \cdot \frac{2}{64} = \frac{100 + 48 + 12}{64} = \frac{160}{64} = \frac{5}{2}\] 이다. 분산은 \[V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 = \left(2^2 \cdot \frac{50}{64} + 4^2 \cdot \frac{12}{64} + 6^2 \cdot \frac{2}{64}\right) - \left(\frac{5}{2}\right)^2\] \[= \left(4 \cdot \frac{50}{64} + 16 \cdot \frac{12}{64} + 36 \cdot \frac{2}{64}\right) - \frac{25}{4} = \frac{200 + 192 + 72}{64} - \frac{25}{4} = \frac{464}{64} - \frac{400}{64} = \frac{64}{64} = 1\] 이다. 표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로 \[\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = 1\] 이다.