\(a = 2\)이면 \(b_k = 2k-1\)이고, \(S_n = \sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2\)이다.
\(S_{11} = 121 \le 134 < 144 = S_{12}\)이므로 구하고자 하는 정적분은 정삼각형 \(T_1, T_2, \dots, T_{11}\)의 전체 넓이와 \(T_{12}\)의 \([121, 134]\) 부분 넓이의 합이다.
한 변의 길이가 \(b_k\)인 정삼각형의 넓이는 \(\frac{\sqrt{3}}{4} b_k^2\)이므로, \(T_1\)부터 \(T_{12}\)까지의 넓이의 합은 \[ \sum_{k=1}^{12} \frac{\sqrt{3}}{4}(2k-1)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \sum_{k=1}^{12} (4k^2 - 4k + 1) = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( 4 \cdot \frac{12 \cdot 13 \cdot 25}{6} - 4 \cdot \frac{12 \cdot 13}{2} + 12 \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2300 = 575\sqrt{3} \] 제외해야 할 \(T_{12}\)의 구간 \([134, 144]\)에 해당하는 영역은 밑변의 길이가 \(144 - 134 = 10\)이고 높이가 \(10\sqrt{3}\)인 삼각형이므로 넓이는 \(\frac{1}{2} \times 10 \times 10\sqrt{3} = 50\sqrt{3}\)이다.
따라서 구하는 값은 \(575\sqrt{3} - 50\sqrt{3} = 525\sqrt{3}\)이다.

\(a = 1\)이면 \(b_n = n, \; S_n = \frac{n(n+1)}{2}\)이다. 정삼각형 \(T_n\)의 밑변 중점의 \(x\)좌표는 \(\frac{S_{n-1} + S_n}{2} = \frac{n^2}{2}\)이고, 윗 꼭짓점의 좌표는 \(\left(\frac{n^2}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}n\right)\)이다.
점 \((-1, 0)\)과 \(T_n\)의 윗 꼭짓점을 잇는 직선의 기울기는 \(\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}n}{\frac{n^2}{2} + 1} = \frac{\sqrt{3}n}{n^2 + 2}\)이다.
직선 \(\ell\)의 기울기 \(\frac{\sqrt{3}}{10}\)보다 위 꼭짓점 기울기가 크면 두 점, 같으면 한 점, 작으면 만나지 않는다.
\(\displaystyle \frac{n}{n^2 + 2} > \frac{1}{10} \iff n^2 - 10n + 2 < 0 \iff 5 - \sqrt{23} \lt n \lt 5 + \sqrt{23}\).
\(4 < \sqrt{23} < 5\)이므로 \(0.21 \lt n \lt 9.79\). 만족하는 자연수는 \(n = 1, 2, \dots, 9\) (9개)이다. \(\frac{n}{n^2+2} = \frac{1}{10}\)인 자연수는 없으므로, \(T_1 \sim T_9\)와 각각 두 점에서 만난다. 따라서 교점의 개수는 \(9 \times 2 = 18\)개이다.

일반 공차 \(a > 0\)에 대해 \(b_n = 1 + (n-1)a\), \(S_n = n + \frac{a n(n-1)}{2}\). 밑변 중점은 \(\frac{1}{2}(2n - 1 + a(n-1)^2)\), 높이는 \(\frac{\sqrt{3}}{2}(1 + (n-1)a)\).
꼭짓점 기울기: \(\displaystyle \frac{1 + (n-1)a}{2 + (2n-1) + a(n-1)^2} = \frac{1 + ma}{am^2 + 2m + 3}\) (\(m = n-1\)).
이 기울기가 \(\frac{1}{30}\)보다 커야 두 점에서 만난다: \(am^2 + 2m(1 - 15a) - 27 < 0\).
교점의 개수가 30이 되려면 \(T_{15}\) (\(m=14\))까지는 두 점에서 만나고, \(T_{16}\) (\(m=15\))부터는 만나지 않아야 한다.
\(g(14) < 0 \iff 196a + 28(1-15a) - 27 < 0 \iff 1 - 224a < 0 \iff a > \frac{1}{224}\).
\(g(15) > 0 \iff 225a + 30(1-15a) - 27 > 0 \iff 3 - 225a > 0 \iff a < \frac{1}{75}\).
따라서 구하는 범위는 \(\displaystyle \frac{1}{224} \lt a \lt \frac{1}{75}\)이다.

8분 동안 이동한 거리는 \(s_P(8) = 8^2 + 2 \cdot 8 = 80\), \(s_Q(8) = 2 \cdot 8^2 + 8 = 136\)이다.
정육각형 \(ABCDEF\)의 둘레는 6이므로 \(80 = 6 \times 13 + 2\). 점 \(P\)는 \(A\)에서 시계 반대 방향으로 2만큼 이동한 점이므로 꼭짓점 \(C\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)에 위치한다.
\(k = 6\)인 정육각형 \(A'B'C'D'E'F'\)의 둘레는 36이므로 \(136 = 36 \times 3 + 28 = 36 \times 3 + 6 \times 4 + 4\). 변 \(E'F'\)를 4만큼 진행한 위치이므로 \(Q(1, -3\sqrt{3})\)이다.
\(\overline{OP} = 1, \; \overline{OQ} = \sqrt{1^2 + (-3\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{7}\), \(\overline{PQ}^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{9 + 147}{4} = 39\).
삼각형 \(OPQ\)에 코사인법칙을 적용하면: \[ \cos\theta = \frac{\overline{OP}^2 + \overline{OQ}^2 - \overline{PQ}^2}{2 \cdot \overline{OP} \cdot \overline{OQ}} = \frac{1 + 28 - 39}{2 \cdot 1 \cdot 2\sqrt{7}} = \frac{-10}{4\sqrt{7}} = -\frac{5}{2\sqrt{7}} \] \(0 \le \theta \le \pi\)이므로 \(\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{25}{28}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14}\)이다.

반직선 \(OQ\)가 작은 정육각형과 만나는 점을 \(Q'\)라 하면, \(Q'\)의 이동거리는 \(s_{Q'}(t) = \frac{2}{k}t^2 + \frac{1}{k}t\)이다.
두 선분 \(OP\)와 \(OQ'\)의 사잇각이 \(\frac{\pi}{3}\)가 되는 것은 거리 차 \(s_P(t) - s_{Q'}(t) = \left(1 - \frac{2}{k}\right)t^2 + \left(2 - \frac{1}{k}\right)t\)가 어떤 정수 \(m\)에 대해 \(6m+1\) 또는 \(6m+5\)가 될 때이다.
\(k \ge 125\)일 때 이 함수는 \(0 \le t \le 10\)에서 단조증가하며 최댓값은 \(s_P(10) - s_{Q'}(10) = 120 - \frac{210}{k}\)이다.
(1) \(k > 210\)일 때: \(120 - \frac{210}{k} \in (119, 120)\)이므로 \(0 \sim 119\) 중 \(6m+1\) 꼴 20개, \(6m+5\) 꼴 20개로 \(a_k = 40\).
(2) \(k = 125 = 5^3\)일 때: \(120 - \frac{210}{125} = 118.32\)이므로 119가 제외되어 \(a_{125} = 39\).
따라서 \(\displaystyle \sum_{j=3}^{10} a_{5^j} = 39 + 40 \times 7 = 319\)이다.

\(k = 8\)일 때 삼각형 \(OPQ\)의 넓이의 최댓값은 \(\alpha = 2\sqrt{3}\)이다.
경우 1: \(Q\)가 꼭짓점 \(C'\) 위에 있는 경우: \(2t^2 + t = 16\) 또는 \(64\). 만족하는 정수 조건 \(6m \le t^2+2t \le 6m+1\) 등을 대입하면 모순이 생겨 0회 발생.
경우 2: \(Q\)가 꼭짓점 \(D'\) 위에 있는 경우: \(2t^2 + t = 24\) 또는 \(72\). \(2t^2 + t = 24\)일 때 \(3 \lt t \lt 4\)에서 \(3 < t \le \frac{10}{3}\) 범위에 근이 정확히 1개 존재하여 1회 발생.

\(g(x)\)는 주기 4인 우함수 확장 함수이다. \(h(x) = g(x-1)|g(x) - g(x-1)|\) 역시 주기 4를 갖는다.
\(f(x) = x+1\)일 때 \([0, 1]\)에서 \(g(x) = -x+1, g(x-1) = x\). 따라서 \(|g(x) - g(x-1)| = |1-2x|\).
구간별로 \(h(x) = \begin{cases} x|1-2x| & (0 \le x \le 1) \\ 2-x & (1 \le x \le 2) \\ (2-x)|5-2x| & (2 \le x \le 3) \\ x-4 & (3 \le x \le 4) \end{cases}\) 이다.
\(H(x) = \int_1^x h(t)\,dt\)라 하면 \(H'(x) = h(x)\).
\(\int_0^1 h(t)\,dt = \frac{1}{4}, \; \int_1^2 h(t)\,dt = \frac{1}{2}, \; \int_2^3 h(t)\,dt = -\frac{1}{4}, \; \int_3^4 h(t)\,dt = -\frac{1}{2}\).
따라서 1주기 적분합은 \(\int_1^5 h(t)\,dt = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 0\)이다.
\(H(1) = 0, \; H(2) = \frac{1}{2}, \; H(3) = \frac{1}{4}, \; H(4) = -\frac{1}{4}, \; H(5) = 0\).
사잇값 정리에 의해 \([3, 4]\)에서 유일한 근이 존재하고, \(x = 5\)에서 근이 존재한다. 즉 각 주기 \((4k-3, 4k+1]\)마다 정확히 2개의 근이 존재한다.
\(2026 = 4 \times 506 + 2\)이므로 \([2, 2026]\)에서 근의 개수는 \(506 \times 2 = 1012\)개이다.

\(f(x) = (x+1)^2\)일 때 \(g(x+2) = g(x)\)이므로 \(g(x)\)와 \(h(x)\)는 주기 2를 갖는다.
\([0, 1]\)에서 \(h(x) = x^2|1-2x|\), \([1, 2]\)에서 \(h(x) = (x-2)^2|3-2x|\).
대칭성에 의해 \(\int_0^{1/2} h(x)\,dx = \int_{3/2}^2 h(x)\,dx = \frac{1}{96}\), \(\int_{1/2}^1 h(x)\,dx = \int_1^{3/2} h(x)\,dx = \frac{17}{96}\).
한 주기 \([0, 2]\)의 적분값은 \(2 \times \left(\frac{1}{96} + \frac{17}{96}\right) = \frac{36}{96}\).
\(\frac{2025}{2} = 1012.5 = 2 \times 506 + 0.5\).
\(\displaystyle \int_0^{\frac{2025}{2}} h(x)\,dx = 506 \times \frac{36}{96} + \int_0^{1/2} h(x)\,dx = 506 \times \frac{36}{96} + \frac{1}{96} = \frac{18216 + 1}{96} = \frac{18217}{96}\)이다.

주기 4에 의해 \(\int_{2023}^{2025} h(x)\,dx = \int_{-1}^1 h(x)\,dx\).
계산하면 \(\int_{-1}^1 h(x)\,dx = a\left(-\frac{7}{4}a + \frac{3}{2}b\right) < 0 \iff -\frac{7}{4}a + \frac{3}{2}b < 0 \iff b < \frac{7}{6}a\).
조건 \(1 \le a < b \le 10\)과 결합하면 \(a \lt b \lt \frac{7}{6}a\).
\(a = 7 \implies 7 \lt b \lt 8.16 \implies b = 8\),
\(a = 8 \implies 8 \lt b \lt 9.33 \implies b = 9\),
\(a = 9 \implies 9 \lt b \lt 10.5 \implies b = 10\).
만족하는 순서쌍은 \((7, 8), (8, 9), (9, 10)\)의 3개이다.

\(f(x) = t\)로 치환하면 조건 \(f(f(x)) \le f(x) + 1\)은 \(f(t) \le t + 1\)이다.
곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = x + 1\)의 그래프를 비교하면 \(f(t) \le t+1\)이 되는 \(t\)의 범위는 \(t \ge 1\)이다.
\(f(x) \ge 1\)이 되는 \(x\)의 범위를 구하면, \(-x^2 + 3x = 1 \iff x^2 - 3x + 1 = 0\)의 두 실근 중 큰 실근 \(a = \frac{3+\sqrt{5}}{2}\)에 대하여 \(x \le a\)이다. 따라서 \(D_1 = (-\infty, a]\)에서 \(a = \frac{3+\sqrt{5}}{2}\)이다.
마찬가지로 \(f(f(x)) \le f(x) \iff f(t) \le t \iff t \ge 2\).
\(f(x) \ge 2\)를 만족하는 \(x\)의 범위는 \(x \le 0\) 또는 \(1 \le x \le 2\)이다.
따라서 \(D_2 = (-\infty, b] \cup [c, d]\)에서 \(b = 0, \; c = 1, \; d = 2\)이다.

점 \(N(0, 1)\)을 지나고 \(y = x^2 - x + 2\)에 접하는 직선의 기울기를 구하면 \(t = \pm 1\)에서 접선의 기울기는 \(-3\) 또는 \(1\)이다.
점 \(P\)의 \(x\)좌표가 \(D_1\)에 속할 때 직선 \(NP\)의 기울기 \(m\)의 범위는 \(m \le -3\) 또는 \(m \ge 0\)이다.
\(m \ge 0\)일 때 점 \(R\)은 \(N(0, 1)\)에서 \(R_0(-1, 0), R_1(0, -1)\)을 시계 반대 방향으로 연결하는 호 위를 움직이고,
\(m \le -3\)일 때 점 \(R\)은 \(R_1(0, -1)\)과 \(R_2\)를 연결하는 호 위를 움직인다.
따라서 점 \(R\)이 그리는 호의 총 길이는 \(N\)과 \(R_2\) 사이의 더 긴 쪽 호의 길이로 \(\theta = \pi + \widehat{R_1 R_2}\)이다.
\(\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\widehat{R_1 R_2}}{2}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} + \angle ONR_1\right)\)이며, 이는 직선 \(y = -3x + 1\)의 기울기와 같으므로 \(\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = -3\)이다.

선분 \(AB \parallel C_1D_1\)이므로 엇각에 의해 \(\angle AC_1D_1 = \angle BAC_1 = \theta\).
원주각의 성질에 의해 \(\angle AC_1D_1\)과 \(\angle ABD_1\)은 호 \(AD_1\)에 대한 원주각으로 같으므로 \(\angle ABD_1 = \theta\)이다.
또한 \(\angle C_1AD_1 = \theta\)이므로 호 \(C_1D_1\)에 대한 원주각 \(\angle C_1BD_1 = \theta\). 마찬가지로 호 \(BC_1\)에 대한 원주각 \(\angle BD_1C_1 = \theta\).
사각형 \(ABC_1D_1\)이 원에 내접하므로 대각의 합은 \(\pi\)이다: \[ \angle ABC_1 + \angle AD_1C_1 = 2\theta + (\theta + \angle AD_1B) = \pi \implies \angle AD_1B = \pi - 3\theta \] 삼각형 \(ABD_1\)에 사인법칙을 적용하면: \[ \frac{\overline{AB}}{\sin(\angle AD_1B)} = \frac{\overline{AD_1}}{\sin(\angle ABD_1)} \iff \frac{m}{\sin(\pi - 3\theta)} = \frac{1}{\sin\theta} \iff \frac{m}{\sin(3\theta)} = \frac{1}{\sin\theta} \] 따라서 구하는 관계식은 \(\sin(3\theta) = m\sin\theta\)이다.

\(\overline{AB} = \overline{AD_1} = 2\)이므로 삼각형 \(ABC_1\)과 삼각형 \(AD_1C_1\)은 서로 합동이다.
사각형이 원에 내접하므로 대각의 합이 \(\pi\)에서 \(\angle ABC_1 = \angle AD_1C_1 = \frac{\pi}{2}\). 따라서 두 삼각형은 직각삼각형이다.
직각삼각형 \(AD_1C_1\)에서 \(\overline{C_1D_1} = \overline{AD_1} \tan\theta = 2\tan\theta\)이다.
\(x = \overline{AP}, \; t = \tan\theta\)라 두자. 삼각형 \(APD_1\)에서 각 \(PAD_1\)의 이등분선과 선분 \(PD_1\)의 교점이 \(C_1\)이므로 내분비 정리에 의해: \[ \frac{\overline{PC_1}}{\overline{C_1D_1}} = \frac{\overline{AP}}{\overline{AD_1}} = \frac{x}{2} \implies \overline{PC_1} = \frac{x}{2} \cdot 2t = xt \] 점 \(P\)에서 원에 그은 두 할선에 대한 방멱정리에 의해: \[ \overline{PB} \cdot \overline{PA} = \overline{PC_1} \cdot \overline{PD_1} \iff (x - 2)x = xt(xt + 2t) = xt \cdot t(x+2) = x t^2(x+2) \] 양변을 \(x > 0\)으로 나누면 \(x - 2 = t^2(x + 2) \iff x(1 - t^2) = 2(1 + t^2)\).
따라서 \(\displaystyle \overline{AP} = \frac{2(1+\tan^2\theta)}{1-\tan^2\theta}\)이다.

\((x^2 - ax + b)(x - c) = x^3 - (a+c)x^2 + (b+ac)x - bc\). 고정된 \(x, b\)에 대해 최댓값을 가지려면 \(a > c\)이어야 한다.
가능한 순서쌍 \((a, b, c)\)는 \((3, 1, 2), (3, 2, 1), (2, 3, 1)\)의 세 가지이다.
\(P(x) = (x^2 - 3x + 1)(x - 2) = x^3 - 5x^2 + 7x - 2\),
\(Q(x) = (x^2 - 3x + 2)(x - 1) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2\),
\(R(x) = (x^2 - 2x + 3)(x - 1) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3\).
이차부등식 대소 비교를 풀면:
- \(P(x) > Q(x) \iff 0 \lt x \lt 2\),
- \(Q(x) > R(x) \iff -1 \lt x \lt 1\),
- \(P(x) > R(x) \iff \frac{1-\sqrt{3}}{2} \lt x \lt \frac{1+\sqrt{3}}{2}\).
따라서 연속함수 \(g(x)\)는 다음과 같다: \[ g(x) = \begin{cases} x^3 - 3x^2 + 5x - 3 & (x \le -1) \\ x^3 - 4x^2 + 5x - 2 & (-1 < x \le 0) \\ x^3 - 5x^2 + 7x - 2 & \left(0 < x \le \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right) \\ x^3 - 3x^2 + 5x - 3 & \left(x > \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right) \end{cases} \] \(\displaystyle \int_{-1}^1 g(x)\,dx = \int_{-1}^0 (x^3 - 4x^2 + 5x - 2)\,dx + \int_0^1 (x^3 - 5x^2 + 7x - 2)\,dx = \left(-\frac{49}{12}\right) + \left(-\frac{23}{12}\right) = -6\)이다.

\(g'(x)\)를 각 구간에서 구하면: \[ g'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 6x + 5 & (x < -1) \\ 3x^2 - 8x + 5 & (-1 \lt x \lt 0) \\ 3x^2 - 10x + 7 & \left(0 \lt x \lt \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right) \\ 3x^2 - 6x + 5 & \left(x > \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right) \end{cases} \] 경계점이 아닌 점에서는 미분가능하므로 차이는 0이다.
- \(x_0 = -1\): \(\left|\lim_{x \to -1^-} g'(x) - \lim_{x \to -1^+} g'(x)\right| = |14 - 16| = 2\).
- \(x_0 = 0\): \(\left|\lim_{x \to 0^-} g'(x) - \lim_{x \to 0^+} g'(x)\right| = |5 - 7| = 2\).
- \(x_0 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}\): \(\left| \left(3x^2 - 10x + 7\right) - \left(3x^2 - 6x + 5\right) \right| = |-4x_0 + 2| = |-2(1+\sqrt{3}) + 2| = 2\sqrt{3}\).
따라서 가능한 값은 \(0, 2, 2\sqrt{3}\)이다.

점 \(Q\)의 좌표를 \(Q(a, a^2)\) (\(a > 0\))이라 하자.
\(f(x) = x^2\)에서 \(f'(x) = 2x\)이므로 점 \(Q\)에서의 접선 \(l\)의 방정식은 \[ y = 2a(x-a) + a^2 = 2ax - a^2 \] 직선 \(l\)의 \(x\)절편은 \(y=0\)을 대입하면 \(x = \frac{a}{2}\)이므로 \(T\left(\frac{a}{2}, 0\right)\)이다.
따라서 선분 \(QT\)의 길이는 \[ \overline{QT} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}-a\right)^2 + (0-a^2)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^4} = a\sqrt{a^2 + \frac{1}{4}} \] 한편, 점 \(Q\)를 지나고 접선 \(l\)에 수직인 법선의 기울기는 제시문 <2>에 의해 \(-\frac{1}{2a}\)이므로 \[ y = -\frac{1}{2a}(x-a) + a^2 = -\frac{1}{2a}x + a^2 + \frac{1}{2} \] 이 직선의 \(x\)절편은 \(y=0\)을 대입하면 \(x = 2a^3 + a\)이므로 \(S(2a^3+a, 0)\)이다.
선분 \(ST\)와 선분 \(QS\)의 길이를 각각 구하면: \[ \overline{ST} = 2a^3 + a - \frac{a}{2} = 2a^3 + \frac{a}{2} = 2a\left(a^2 + \frac{1}{4}\right) \] \[ \overline{QS} = \sqrt{(2a^3+a-a)^2 + (0-a^2)^2} = \sqrt{4a^6 + a^4} = 2a^2\sqrt{a^2 + \frac{1}{4}} \] 따라서 구하는 식의 값은 다음과 같다. \[ \frac{\overline{QS} \times \overline{ST}}{\overline{QT}^3} = \frac{2a^2\sqrt{a^2+\frac{1}{4}} \times 2a\left(a^2+\frac{1}{4}\right)}{\left(a\sqrt{a^2+\frac{1}{4}}\right)^3} = \frac{4a^3\left(a^2+\frac{1}{4}\right)^{3/2}}{a^3\left(a^2+\frac{1}{4}\right)^{3/2}} = 4 \] 그러므로 점 \(Q\)의 위치(\(a > 0\))와 관계없이 이 값은 항상 \(4\)로 일정하다.

점 \(Q\)에서의 법선 \(y = -\frac{1}{2a}x + a^2 + \frac{1}{2}\)의 \(y\)절편이 점 \(P\)이므로 \(P\left(0, a^2 + \frac{1}{2}\right)\)이다.
따라서 \(\overline{OP} = a^2 + \frac{1}{2}\)이며, 선분 \(PQ\)의 길이는 다음과 같다. \[ \overline{PQ} = \sqrt{(0-a)^2 + \left(a^2+\frac{1}{2}-a^2\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{1}{4}} \] 원 \(C\)는 점 \(Q\)에서 접선 \(l\)에 접하고 \(x\)축에 접한다. 원 \(C\)와 \(x\)축의 접점을 \(U\)라 하면, 점 \(T\)에서 원 \(C\)에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 \(\overline{TU} = \overline{TQ} = a\sqrt{a^2+\frac{1}{4}}\)이다.
원점 \(O\)로부터 접점 \(U\)까지의 거리는 \(\overline{OU} = \overline{OT} + \overline{TU} = \frac{a}{2} + a\sqrt{a^2+\frac{1}{4}}\)이다.
원 \(C\)의 반지름을 \(r\)이라 하면 중심은 \(R\left(\frac{a}{2} + a\sqrt{a^2+\frac{1}{4}}, r\right)\)이다.
선분 \(QR\)는 점 \(Q\)에서 접선 \(l\)에 수직이므로 직선 \(QR\)의 기울기는 \(-\frac{1}{2a}\)이다. \[ \frac{r - a^2}{\frac{a}{2} + a\sqrt{a^2+\frac{1}{4}} - a} = -\frac{1}{2a} \iff r - a^2 = -\frac{1}{2a}\left(a\sqrt{a^2+\frac{1}{4}} - \frac{a}{2}\right) = -\frac{1}{2}\sqrt{a^2+\frac{1}{4}} + \frac{1}{4} \] 따라서 \(\overline{QR} = r = a^2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sqrt{a^2+\frac{1}{4}}\)이다. 이를 대입하여 계산하면: \[ \frac{1}{2}\overline{PQ} + \overline{QR} - \overline{OP} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2+\frac{1}{4}} + \left(a^2+\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sqrt{a^2+\frac{1}{4}}\right) - \left(a^2+\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \] 그러므로 점 \(Q\)의 위치와 관계없이 이 값은 항상 \(-\frac{1}{4}\)로 일정하다.

[1-ⅱ]에서 구한 원 \(C\)의 반지름 \(r\)과 둘레의 길이 \(L\)은 다음과 같다. \[ L = 2\pi r = 2\pi \left(a^2 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sqrt{a^2+\frac{1}{4}}\right) \] 또한 선분 \(PQ\)의 길이의 제곱은 \(\overline{PQ}^2 = a^2 + \frac{1}{4}\)이므로, 극한식을 정리하면 \[ \lim_{a \to \infty} \frac{L}{\overline{PQ}^2} = \lim_{a \to \infty} \frac{2\pi \left(a^2+\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sqrt{a^2+\frac{1}{4}}\right)}{a^2+\frac{1}{4}} = 2\pi \lim_{a \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2\sqrt{a^2+\frac{1}{4}}}\right) \] \(a \to \infty\)일 때 \(\sqrt{a^2+\frac{1}{4}} \to \infty\)이므로 \(\frac{1}{2\sqrt{a^2+\frac{1}{4}}} \to 0\)이다.
따라서 구하는 극한값은 \(2\pi \times (1 - 0) = 2\pi\)이다.

\(a > 0\)이므로 적분 구간을 \([-2, 0]\)과 \([0, a]\)로 분할하여 계산한다. \[ \int_{-2}^0 f(t)\,dt = \int_{-2}^0 (-t)\,dt = \left[ -\frac{1}{2}t^2 \right]_{-2}^0 = 0 - (-2) = 2 \] \[ \int_0^a f(t)\,dt = \int_0^a (t^2+2t)\,dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 + t^2 \right]_0^a = \frac{1}{3}a^3 + a^2 \] 따라서 \(\displaystyle \int_{-2}^a f(t)\,dt = \frac{1}{3}a^3 + a^2 + 2\)이다.
주어진 방정식에 대입하면: \[ \frac{1}{3}a^3 + a^2 + 2 = \frac{32}{3} - 3a \iff a^3 + 3a^2 + 6 = 32 - 9a \iff a^3 + 3a^2 + 9a - 26 = 0 \] 조립제법으로 인수분해하면 \((a-2)(a^2+5a+13) = 0\)이다.
이차방정식 \(a^2+5a+13 = 0\)의 판별식은 \(D = 25 - 52 = -27 < 0\)이므로 실근을 갖지 않는다.
따라서 구하는 유일한 양의 실수는 \(a = 2\)이다.

피적분함수는 \(t=0\)에서 \(f(t)\)의 식이 바뀌고, \(t=1\)에서 \(|t-1|\)의 부호가 바뀐다.
따라서 구간을 \([-2, 0]\), \([0, 1]\), \([1, 2]\)의 3개 영역으로 분할하여 적분한다.
① \([-2, 0]\): \(f(t) = -t\), \(|t-1| = 1-t\) \[ \int_{-2}^0 (-t)(1-t)\,dt = \int_{-2}^0 (t^2-t)\,dt = \left[ \frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2 \right]_{-2}^0 = 0 - \left(-\frac{8}{3}-2\right) = \frac{14}{3} \] ② \([0, 1]\): \(f(t) = t^2+2t\), \(|t-1| = 1-t\) \[ \int_0^1 (t^2+2t)(1-t)\,dt = \int_0^1 (-t^3-t^2+2t)\,dt = \left[ -\frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{3}t^3 + t^2 \right]_0^1 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{5}{12} \] ③ \([1, 2]\): \(f(t) = t^2+2t\), \(|t-1| = t-1\) \[ \int_1^2 (t^2+2t)(t-1)\,dt = \int_1^2 (t^3+t^2-2t)\,dt = \left[ \frac{1}{4}t^4 + \frac{1}{3}t^3 - t^2 \right]_1^2 = \left(4+\frac{8}{3}-4\right) - \left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-1\right) = \frac{8}{3} + \frac{5}{12} = \frac{37}{12} \] 따라서 전체 정적분의 값은 \(\displaystyle \frac{14}{3} + \frac{5}{12} + \frac{37}{12} = \frac{56 + 5 + 37}{12} = \frac{98}{12} = \frac{49}{6}\)이다.

\(t^2-2 \ge 0 \iff |t| \ge \sqrt{2}\)이므로, \(t \in [-2, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]\)에서는 \(f(t^2-2) = (t^2-2)^2 + 2(t^2-2) = t^4 - 2t^2\)이고,
\(t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\)에서는 \(f(t^2-2) = -(t^2-2) = 2-t^2\)이다.
구간을 4개로 분할: \(I_1 = \int_{-2}^{-\sqrt{2}}\), \(I_2 = \int_{-\sqrt{2}}^1\), \(I_3 = \int_1^{\sqrt{2}}\), \(I_4 = \int_{\sqrt{2}}^2\).
\(I_1 + I_4\)에서 홀수차항은 상쇄되어 \(\displaystyle I_1+I_4 = 2\left[\frac{1}{5}t^5 - \frac{2}{3}t^3\right]_{\sqrt{2}}^2 + 2\left[-\frac{1}{6}t^6 + t^4\right]_{\sqrt{2}}^2 = \frac{20}{3}\)이다.
\(I_2 + I_3 = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2-t^2)|t-1|\,dt\)를 계산하면 \(\displaystyle \frac{23}{6}\)이다.
따라서 \(\displaystyle I_1 + I_2 + I_3 + I4 = \frac{20}{3} + \frac{23}{6} = \frac{63}{6} = \frac{21}{2}\)이다.

미적분의 기본정리에 의해 \(g(x)\)를 미분하면 다음과 같다. \[ g'(x) = 2x^2 - 4x + 12 + (1-x)f(x) - (4-x)f(x-3) \] \(x\)의 범위에 따라 \(f(x)\)와 \(f(x-3)\)의 식을 나누어 조사한다.
(1) \(x \le 0\)인 경우: \(f(x) = -x\), \(f(x-3) = -(x-3) = 3-x\). \[ g'(x) = 2x^2 - 4x + 12 - x(1-x) - (4-x)(3-x) = 2x^2 + 2x = 2x(x+1) \] \(g'(x) = 0 \iff x = -1, 0\). \(x < -1\)에서 \(g' > 0\), \(-1 \lt x \lt 0\)에서 \(g' < 0\), \(x=0\)에서 \(g'=0\)이므로 \(x=-1\)에서 극대이다.
(2) \(0 < x \le 3\)인 경우: \(f(x) = x^2+2x\), \(f(x-3) = 3-x\). \[ g'(x) = 2x^2 - 4x + 12 + (1-x)(x^2+2x) - (4-x)(3-x) = -x^3 + 5x = -x(x^2-5) \] \(g'(x) = 0 \iff x = \sqrt{5}\) (\(0 < x \le 3\) 범위). \(0 \lt x \lt \sqrt{5}\)에서 \(g' > 0\)이므로 \(x=0\)에서 극소이고, \(x=\sqrt{5}\) 좌우에서 양에서 음으로 바뀌므로 \(x=\sqrt{5}\)에서 극대이다.
(3) \(x > 3\)인 경우: \(f(x) = x^2+2x\), \(f(x-3) = (x-3)^2+2(x-3) = x^2-4x+3\). \[ g'(x) = 2x^2 - 4x + 12 + (1-x)(x^2+2x) - (4-x)(x^2-4x+3) = -7x^2 + 17x = -x(7x-17) \] \(x > 3\)에서 \(7x-17 > 4 > 0\)이므로 \(g'(x) < 0\)으로 항상 감소하여 극값이 존재하지 않는다.
따라서 \(g(x)\)가 극값을 갖는 \(x\)의 값은 \(x = -1, 0, \sqrt{5}\)이다.

\(f(x) = 4x^3 - 3x^2 - 6x + c\)에서 \(f'(x) = 12x^2 - 6x - 6 = 6(2x+1)(x-1)\)이므로 극값은 \(x = -\frac{1}{2}, 1\)이다.
서로 다른 세 실근을 가지므로 \(f\left(-\frac{1}{2}\right)f(1) = \left(c+\frac{7}{4}\right)(c-5) < 0 \implies -\frac{7}{4} \lt c \lt 5\). 정수 \(c \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}\).
• \(c=-1\): \(f(-1) = -2 < 0\), \(f(0) = -1 < 0\). \(\alpha_1 < -1 < \alpha_2 < 0\)이 되어 \([-1, 0]\)에 \(\alpha_2\) 포함, 모순 발생.
• \(c=0\): \(f(x) = x(4x^2-3x-6)\)의 근은 \(\alpha_1 = \frac{3-\sqrt{105}}{8} \approx -0.906\), \(\alpha_2 = 0\)으로 둘 다 \([-1, 0]\)에 포함되어 모순.
• \(c \in \{1, 2, 3, 4\}\): \(f(-1) = c-1 \ge 0\), \(f(0) = c > 0\), \(f(1) = c-5 < 0\), \(f(2) = c+8 > 0\). 각 정수 구간 \([-2, -1]\), \([0, 1]\), \([1, 2]\)에 근이 오직 하나씩 분리되어 조건을 완벽히 만족한다. 따라서 가능한 함수는 \(c=1, 2, 3, 4\)의 4개이다.

\(b=0\)이면 \(f(x) = 4x^3 + 3ax^2 + c\), \(f'(x) = 6x(2x+a)\). 서로 다른 세 실근 조건에서 \(a \ne 0\)이고 \(\alpha_2, \alpha_3 \in [0, 2]\).
\(\alpha_1 < 0 < \alpha_2 < 1 < \alpha_3 \le 2\)이어야 하므로 \(f(0) = c \ge 1\), \(f(1) = 3a+c+4 < 0\), \(f(2) = 12a+c+32 \ge 0\).
정수 조건에서 가능한 순서쌍은 \((a, c) = (-2, 1)\) 또는 \((-3, 4)\)이다.
① \((a, c) = (-2, 1)\): \(f(x) = (2x-1)(2x^2-2x-1) = 0 \implies \alpha_1 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}, \alpha_2 = \frac{1}{2}, \alpha_3 = \frac{1+\sqrt{3}}{2}\).
\(\quad |\alpha_1|+|\alpha_2|+|\alpha_3| = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1+\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} + \sqrt{3}\).
② \((a, c) = (-3, 4)\): \(f(x) = (x-2)(4x^2-x-2) = 0 \implies \alpha_1 = \frac{1-\sqrt{33}}{8}, \alpha_2 = \frac{1+\sqrt{33}}{8}, \alpha_3 = 2\).
\(\quad |\alpha_1|+|\alpha_2|+|\alpha_3| = \frac{\sqrt{33}-1}{8} + \frac{1+\sqrt{33}}{8} + 2 = 2 + \frac{\sqrt{33}}{4}\).

\(g'(x) = f(x)\)이고 \(g(x)\)는 정수 계수 사차함수이다.
① \(f(x) = 4x^3-6x^2+1 \implies g(x) = x^4 - 2x^3 + x + d\). 극솟값 \(g(\alpha_1) < 0, g(\alpha_3) < 0\), 극댓값 \(g(1/2) > 0\).
\(g(1/2) = \frac{5}{16} + d > 0 \implies d \ge 0\). \(g(\alpha_1) = d - \frac{1}{4} < 0 \implies d \le 0\). 정수 \(d = 0 \implies g(x) = x^4 - 2x^3 + x\).
② \(f(x) = 4x^3-9x^2+4 \implies g(x) = x^4 - 3x^3 + 4x + d\). \(g(2) = d < 0 \implies d \le -1\).
극댓값 \(g(\alpha_2) > 0\)에서 \(q = \alpha_2\)라 하면 \(4q^2-q-2=0\)을 이용해 차수를 낮추면 \(g(q) = \frac{165}{64}q - \frac{3}{32} + d > 0\).
\(q = \frac{1+\sqrt{33}}{8} \in \left(\frac{13}{16}, \frac{7}{8}\right)\)을 대입하면 \(d \in \{-1, -2\}\).
따라서 가능한 함수는 \(x^4-2x^3+x\), \(x^4-3x^3+4x-1\), \(x^4-3x^3+4x-2\)의 3개이다.

\(t = -\frac{3}{2}\)이면 적분 구간은 \(\left[-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right]\)이다. 곡선 \(y = 3x^2-3\)은 \(x = -1\)에서 \(x\)축과 만난다.
\(\left[-\frac{3}{2}, -1\right]\)에서 \(3x^2-3 \ge 0\), \(\left[-1, -\frac{1}{2}\right]\)에서 \(3x^2-3 \le 0\)이므로 \[ g\left(-\frac{3}{2}\right) = \int_{-3/2}^{-1} (3x^2-3)\,dx + \int_{-1}^{-1/2} (3-3x^2)\,dx = \left[ x^3 - 3x \right]_{-3/2}^{-1} + \left[ 3x - x^3 \right]_{-1}^{-1/2} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \]

구간 \([t, t+1]\)과 \(y = 3x^2-3\)의 \(x\)절편 \(x = -1, 1\)의 상대적 위치에 따라 세 경우로 나눈다.
(1) \(-3 \le t < -2\): \(t+1 < -1\)이므로 전 구간에서 \(3x^2-3 \ge 0\)이다. \[ g(t) = \int_t^{t+1} (3x^2-3)\,dx = \left[ x^3 - 3x \right]_t^{t+1} = 3t^2 + 3t - 2 \] (2) \(-2 \le t < -1\): \(t \le -1 < t+1 \le 0\)이므로 \(x=-1\)에서 분할된다. \[ g(t) = \int_t^{-1} (3x^2-3)\,dx + \int_{-1}^{t+1} (3-3x^2)\,dx = (-t^3+3t+2) + (-t^3-3t^2+4) = -2t^3 - 3t^2 + 3t + 6 \] (3) \(-1 \le t \le 0\): \(-1 \le t < t+1 \le 1\)이므로 전 구간에서 \(3x^2-3 \le 0\)이다. \[ g(t) = \int_t^{t+1} (3-3x^2)\,dx = \left[ 3x - x^3 \right]_t^{t+1} = -3t^2 - 3t + 2 \] 따라서 \(\displaystyle g(t) = \begin{cases} 3t^2+3t-2 & (-3 \le t < -2) \\ -2t^3-3t^2+3t+6 & (-2 \le t < -1) \\ -3t^2-3t+2 & (-1 \le t \le 0) \end{cases}\)이다.

구간별 도함수를 조사한다:
• \(-3 \le t < -2\): \(g'(t) = 6t+3 < 0\) (감소)
• \(-2 \le t < -1\): \(g'(t) = -6t^2-6t+3 = -6\left(t + \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)\left(t + \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)\).
\(\quad t = -\frac{1+\sqrt{3}}{2} \in (-2, -1)\) 좌우에서 \(g'(t)\)가 음에서 양으로 변하므로 극솟값을 갖는다.
\(\quad g\left(-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right) = -2\left(-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^3 - 3\left(-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right) + 6 = 4 - \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 1.402\).
• \(-1 \le t \le 0\): \(g'(t) = -6t-3 = -6(t+1/2)\). \(t = -1/2\)에서 극댓값 \(\frac{11}{4} = 2.75\). 경계값 \(g(-1) = 2, g(0) = 2\).
따라서 \(g(t)\)의 최솟값은 \(t = -\frac{1+\sqrt{3}}{2}\)일 때 \(4 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\)이다.

정사각형 \(ABCD\)의 한 변이 \(2\sqrt{2}\)이므로 대각선 길이는 \(2\sqrt{2}\times\sqrt{2} = 4\)이며, 대각선 교점 \((a, 0)\)에서 꼭짓점까지의 거리는 \(2\)이다.
따라서 네 꼭짓점은 원 \((x-a)^2 + y^2 = 4\) 위에 있다.
대각선 \(AC\)는 기울기가 \(a\)이고 \((a, 0)\)을 지나므로 방정식은 \(y = a(x-a)\)이다. 원의 식에 대입하면: \[ \frac{y^2}{a^2} + y^2 = 4 \iff y^2\left(\frac{1+a^2}{a^2}\right) = 4 \iff y = \pm\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}} \] 꼭짓점 \(A, B, C, D\)가 반시계 방향이고 \(D\)의 \(y\)좌표가 양수이므로, \(A\)의 \(y\)좌표는 \(a > 0\)일 때 음수, \(a < 0\)일 때 양수, \(a=0\)일 때 0이다.
따라서 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(f(a) = -\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}\)이다.
대각선 \(BD\)는 \(AC\)와 수직이므로 기울기가 \(-\frac{1}{a}\)이고 \((a, 0)\)을 지난다. 즉 \(y = -\frac{1}{a}(x-a)\).
원의 식에 대입하면 \(a^2 y^2 + y^2 = 4 \iff y = \pm\frac{2}{\sqrt{1+a^2}}\).
점 \(D\)의 \(y\)좌표는 0보다 크므로 \(g(a) = \frac{2}{\sqrt{1+a^2}}\)이다.

[2-ⅰ]의 결과로부터 \[ |f(a) - g(a)| = \left| -\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}} - \frac{2}{\sqrt{1+a^2}} \right| = \frac{2|a+1|}{\sqrt{1+a^2}} = 1 \] 양변에 분모를 곱하고 제곱하면: \[ 4(a+1)^2 = 1 + a^2 \iff 4a^2 + 8a + 4 = 1 + a^2 \iff 3a^2 + 8a + 3 = 0 \] 근의 공식에 의해 \(\displaystyle a = \frac{-4 \pm \sqrt{16-9}}{3} = \frac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}\)이다.

직선 \(AC\)의 일반형 방정식은 \(ax - y - a^2 = 0\)이다.
원 \(x^2+y^2=4\)의 중심 \((0, 0)\)에서 직선 \(AC\)까지의 거리가 반지름 \(2\)와 같아야 하므로: \[ \frac{|a(0) - 0 - a^2|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}} = 2 \] 양변을 제곱하여 정리하면: \[ \frac{a^4}{a^2+1} = 4 \iff a^4 - 4a^2 - 4 = 0 \] \(X = a^2 \ge 0\)으로 치환하면 \(X^2 - 4X - 4 = 0\)이므로 근의 공식에 의해 \[ X = 2 \pm \sqrt{4+4} = 2 \pm 2\sqrt{2} \] \(a^2 > 0\)이어야 하므로 \(a^2 = 2\sqrt{2} + 2\)이다.

\(t = 2\sin\left(\frac{\pi a}{2}\right)\)라 하자. \(|f(t)| = \frac{2|t|}{\sqrt{1+t^2}} = \sqrt{3}\)에서 양변을 제곱하면 \[ \frac{4t^2}{1+t^2} = 3 \iff 4t^2 = 3 + 3t^2 \iff t^2 = 3 \iff t = \pm\sqrt{3} \] 따라서 \(\sin\left(\frac{\pi a}{2}\right) = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)이다.
\(\sin\left(\frac{\pi a}{2}\right)\)의 주기는 \(\frac{2\pi}{\pi/2} = 4\)이므로, \(0 < a \le 4\)에서의 해는 \(a = \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{8}{3}, \frac{10}{3}\)이다.
주기성에 의해 모든 양의 실근을 작은 순서대로 나열하면: \[ a_{2k-1} = \frac{2}{3} + 2(k-1), \quad a_{2k} = \frac{4}{3} + 2(k-1) \quad (k \ge 1) \] 두 항씩 묶어 합을 구하면 \(a_{2k-1} + a_{2k} = 2 + 4(k-1) = 4k - 2\)이다.
제\(2n\)항까지의 합은 \[ \sum_{k=1}^{2n} a_k = \sum_{k=1}^n (4k-2) = 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 2n = 2n^2 \] 부등식 \(\sum_{k=1}^m a_k \ge 2025\)를 해결하기 위해 \(2n^2 \ge 2025 \implies n^2 \ge 1012.5\).
\(31^2 = 961\), \(32^2 = 1024\)이므로 \(n = 31\)과 \(n = 32\) 주변을 조사한다.
• \(n = 31\): \(\sum_{k=1}^{62} a_k = 2(31)^2 = 1922\).
• \(a_{63} = \frac{2}{3} + 2(31) = \frac{188}{3} \approx 62.67\)이므로, \(\sum_{k=1}^{63} a_k = 1922 + 62.67 = 1984.67 < 2025\).
• \(n = 32\): \(\sum_{k=1}^{64} a_k = 2(32)^2 = 2048 \ge 2025\).
따라서 조건을 만족하는 가장 작은 자연수는 \(m = 64\)이다.

곡선 \(y = -x^2\)과 직선 \(y = ax+a\)의 교점의 \(x\)좌표는 이차방정식 \(-x^2 = ax+a \iff x^2+ax+a=0\)의 실근이다.
판별식은 \(D = a^2 - 4a = a(a-4)\)이므로: \[ f(x) = \begin{cases} 2 & (x < 0 \text{ 또는 } x > 4) \\ 1 & (x = 0 \text{ 또는 } x = 4) \\ 0 & (0 \lt x \lt 4) \end{cases} \] 따라서 각 함숫값을 대입하면: \[ f(0) = 1, \quad f(1) = 0, \quad f(2) = 0, \quad f(3) = 0, \quad f(4) = 1, \quad f(5) = 2 \] 구하는 합은 \(1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 2 = 4\)이다.

\(h(x) = f(x)g(x)\)가 모든 실수에서 연속이어야 한다. \(f(x)\)는 \(x=0, 4\)에서 불연속이므로, 연속 조건에 의해 \[ g(0) = 0, \quad g(4) = 0 \] 이어야 한다. 따라서 최고차항의 계수가 1인 이차함수 \(k(x)\)에 대하여 \(g(x) = x(x-4)k(x)\)이다.
이때 \(0 \le x \le 4\)에서 \(f(x) = 0\) (단, 경계에서 \(g(0)=g(4)=0\))이므로 \(h(x) = 0\)이다.
\(x > 4\)에서는 \(h(x) = 2g(x)\)이다. 함수 \(h(x)\)가 열린구간 \((2, 10)\)에서 미분가능하므로 \(x=4\)에서 미분가능해야 한다. \[ h'_-(4) = \lim_{\Delta x \to 0-} \frac{h(4+\Delta x)-h(4)}{\Delta x} = 0 \] \[ h'_+(4) = \lim_{\Delta x \to 0+} \frac{2g(4+\Delta x)-0}{\Delta x} = 2g'(4) \] 따라서 \(2g'(4) = 0 \iff g'(4) = 0\)이다.
\(g(4) = 0\)과 \(g'(4) = 0\)이므로 \(g(x)\)는 \((x-4)^2\)을 인수로 갖는다.
방정식 \(g(x) = 0\)은 허근을 갖지 않으므로 나머지 실근을 \(\alpha\)라 하면 \[ g(x) = x(x-4)^2(x-\alpha) \] 이제 구하고자 하는 식을 계산하면: \[ h(-1) = 2g(-1) = 2(-1)(-5)^2(-1-\alpha) = 50(1+\alpha) \] \[ h(2) = 0 \quad (\because 0 \le x \le 4\text{에서 } h(x) = 0) \] \[ h(5) = 2g(5) = 2(5)(1)^2(5-\alpha) = 10(5-\alpha) = 50 - 10\alpha \quad \implies 5h(5) = 50(5-\alpha) \] 따라서 구하는 식의 값은 \[ h(-1) + 3h(2) + 5h(5) = 50(1+\alpha) + 0 + 50(5-\alpha) = 50 + 50\alpha + 250 - 50\alpha = 300 \] \(\alpha\)의 값에 관계없이 항상 \(300\)이다.

\(g(x) = x(x-4)^2(x-\alpha)\)에서 \(g(x) = 0\)의 모든 실근이 정수이므로 \(\alpha\)는 정수이다.
\(g'(x)\)를 계산하면 다음과 같다. \[ \begin{aligned} g'(x) &= (x-4)^2(x-\alpha) + 2x(x-4)(x-\alpha) + x(x-4)^2 \\ &= (x-4)\left[(x-4)(x-\alpha) + 2x(x-\alpha) + x(x-4)\right] = (x-4)\left(4x^2 - (3\alpha+8)x + 4\alpha\right) \end{aligned} \] 여기에 \(5x^3 - 20x^2 = 5x^2(x-4)\)를 더하면: \[ g'(x) + 5x^3 - 20x^2 = (x-4)\left(9x^2 - (3\alpha+8)x + 4\alpha\right) = 0 \] 이 방정식의 실근은 \(x = 4\)와 이차방정식 \(9x^2 - (3\alpha+8)x + 4\alpha = 0\)의 실근이다.
문제 조건에서 이 방정식의 실근이 모두 정수이어야 한다.
만약 이 이차방정식이 정수근 \(A, B\)를 가진다면, 근과 계수의 관계에 의해 \[ A+B = \frac{3\alpha+8}{9}, \quad AB = \frac{4\alpha}{9} \] \(AB\)가 정수이고 \(\gcd(4, 9) = 1\)이므로 \(\alpha\)는 9의 배수이다. 즉 \(\alpha = 9l\) (\(l\)은 정수).
이를 \(A+B\)에 대입하면 \(A+B = \frac{27l+8}{9} = 3l + \frac{8}{9}\)가 되어 정수가 될 수 없어 모순이다!
따라서 이 이차방정식은 실근을 가져서는 안 되며, 허근을 가져야만 한다.
즉, 판별식이 음수이어야 한다. \[ D = (3\alpha+8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4\alpha = 9\alpha^2 + 48\alpha + 64 - 144\alpha = 9\alpha^2 - 96\alpha + 64 < 0 \] 완전제곱식으로 변형하면: \[ (3\alpha - 16)^2 - 256 + 64 < 0 \iff (3\alpha - 16)^2 < 192 \] \(\sqrt{192} \approx 13.856\)이므로, 정수 \(3\alpha - 16\)의 범위는 \[ -13 \le 3\alpha - 16 \le 13 \iff 3 \le 3\alpha \le 29 \iff 1 \le \alpha \le \frac{29}{3} \] 따라서 가능한 정수 \(\alpha\)는 \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\)의 9개이다.
각각의 \(\alpha\)에 대해 서로 다른 사차함수 \(g(x)\)가 결정되므로 가능한 \(g(x)\)의 개수는 9개이다.

원 \(C\)는 점 \(C\)에서 직선 \(BC\)와 접한다. 접현각의 성질에 의해 접선 \(BC\)와 현 \(CD\)가 이루는 각 \(\angle BCD = \theta\)는 호 \(CD\)에 대한 원주각의 크기와 같다.
원 위의 임의의 점을 \(E\)라 할 때, 호 \(CD\)에 대한 원주각은 \(\theta\) 또는 \(\pi-\theta\)이다.
삼각형 \(CDE\)에 사인법칙을 적용하면, 현의 길이 \(\overline{CD} = 3\)에 대하여 \[ \frac{\overline{CD}}{\sin\theta} = 2r \iff \frac{3}{\sin\theta} = 2r \iff r = \frac{3}{2\sin\theta} \] 따라서 모든 경우에 원의 반지름은 \(r = \frac{3}{2\sin\theta}\)이다.

원이 점 \(D\)에서 직선 \(BD\)와 접할 때, 점 \(B\)에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 \(\overline{BD} = \overline{BC} = 4\)이다.
따라서 삼각형 \(BCD\)는 \(\overline{BC} = 4\), \(\overline{BD} = 4\), \(\overline{CD} = 3\)인 이등변삼각형이다.
삼각형 \(BCD\)에 코사인법칙을 적용하면: \[ \overline{BD}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CD}^2 - 2\overline{BC}\cdot\overline{CD}\cos\alpha \iff 16 = 16 + 9 - 2(4)(3)\cos\alpha \iff 24\cos\alpha = 9 \] 따라서 \(\cos\alpha = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}\)이다.
\(\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{9}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8}\)이므로, [1-ⅰ]의 결과에 대입하면 \[ r = \frac{3}{2\sin\alpha} = \frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{55}}{8}} = \frac{12}{\sqrt{55}} \]

삼각형 \(BCD\)에서 코사인법칙에 의해 \(\overline{BD}^2 = 4^2 + 3^2 - 2(4)(3)\cos\theta = 25 - 24\cos\theta\)이다.
점 \(B\)에서 원에 그은 할선과 접선에 대하여 방멱 정리(원과 접선의 성질)를 적용한다.
• \(0 < \theta < \alpha\)일 때: 점 \(A\)는 선분 \(BD\)의 연장선 위에 있으므로 \(\overline{BA} = \overline{BD} + f(\theta)\). \[ \overline{BC}^2 = \overline{BD} \cdot \overline{BA} = \overline{BD}(\overline{BD} + f(\theta)) \iff 16 = \overline{BD}^2 + \overline{BD}\cdot f(\theta) \] \[ f(\theta) = \frac{16 - \overline{BD}^2}{\overline{BD}} = \frac{16 - (25-24\cos\theta)}{\sqrt{25-24\cos\theta}} = \frac{24\cos\theta - 9}{\sqrt{25-24\cos\theta}} \] \(\cos\alpha = \frac{3}{8} = 0.375\)이고 \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} = 0.5 > \frac{3}{8}\)이므로 \(\frac{\pi}{3} < \alpha\)이다. \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{24(1/2) - 9}{\sqrt{25 - 24(1/2)}} = \frac{12 - 9}{\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \] • \(\alpha < \theta < \pi\)일 때: 점 \(A\)는 선분 \(BD\)의 안쪽에 위치하므로 \(\overline{BA} = \overline{BD} - f(\theta)\). \[ \overline{BC}^2 = \overline{BD}(\overline{BD} - f(\theta)) \iff f(\theta) = \frac{\overline{BD}^2 - 16}{\overline{BD}} = \frac{9 - 24\cos\theta}{\sqrt{25-24\cos\theta}} \] \(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 < \frac{3}{8}\)이므로 \(\frac{\pi}{2} > \alpha\)이다. \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{9 - 24(0)}{\sqrt{25 - 24(0)}} = \frac{9}{\sqrt{25}} = \frac{9}{5} \]

삼각형 \(BAC\)와 삼각형 \(BCD\)는 \(\angle B\)를 공통으로 갖고, 접현각의 성질에 의해 \(\angle BCA = \angle BDC\)이므로 서로 닮음(\(\triangle BAC \sim \triangle BCD\))이다.
닮음비에 의해 \(\frac{\overline{AC}}{\overline{CD}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{BD}} \iff \frac{\overline{AC}}{3} = \frac{4}{\overline{BD}} \iff \overline{AC} \cdot \overline{BD} = 12\).
조건 \(f(\theta) = \overline{AC}\)를 대입하여 두 경우를 분석한다.
(1) \(0 < \theta < \alpha\)인 경우: \[ \overline{BC}^2 = \overline{BD}(\overline{BD} + f(\theta)) = \overline{BD}^2 + \overline{BD}\cdot\overline{AC} = \overline{BD}^2 + 12 \] \(16 = \overline{BD}^2 + 12 \implies \overline{BD}^2 = 4 \implies \overline{BD} = 2\).
삼각형 \(BCD\)에서 코사인법칙을 적용하면: \[ \overline{BD}^2 = 25 - 24\cos\theta \iff 4 = 25 - 24\cos\theta \iff 24\cos\theta = 21 \iff \cos\theta = \frac{7}{8} \] \(\cos\theta = \frac{7}{8} > \frac{3}{8} = \cos\alpha\)이므로 \(0 < \theta < \alpha\)를 만족하여 적합하다.
(2) \(\alpha < \theta < \pi\)인 경우: \[ \overline{BC}^2 = \overline{BD}(\overline{BD} - f(\theta)) = \overline{BD}^2 - \overline{BD}\cdot\overline{AC} = \overline{BD}^2 - 12 \] \(16 = \overline{BD}^2 - 12 \implies \overline{BD}^2 = 28 \implies \overline{BD} = 2\sqrt{7}\).
삼각형 \(BCD\)에서 코사인법칙을 적용하면: \[ 28 = 25 - 24\cos\theta \iff 24\cos\theta = -3 \iff \cos\theta = -\frac{1}{8} \] \(\cos\theta = -\frac{1}{8} < \frac{3}{8} = \cos\alpha\)이므로 \(\alpha < \theta < \pi\)를 만족하여 적합하다.
따라서 가능한 \(\cos\theta\)의 값은 \(\frac{7}{8}\)과 \(-\frac{1}{8}\)이다.

포물선 \(y = 1-x^2\)과 \(x\)축으로 둘러싸인 전체 넓이는 다음과 같다. \[ S_P + S_Q = \int_{-1}^1 (1-x^2)\,dx = 2 \left[ x - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = 2 \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3} \] 직선 \(L: y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\)과 곡선 \(y = 1-x^2\)의 교점의 \(x\)좌표를 구하면: \[ 1-x^2 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \iff 2 - 2x^2 = x + 1 \iff 2x^2 + x - 1 = 0 \iff (2x-1)(x+1) = 0 \] 교점은 \(x = -1\)과 \(x = \frac{1}{2}\)이다. 따라서 윗부분 도형 \(P\)의 넓이는 \[ S_P = \int_{-1}^{1/2} \left( (1-x^2) - \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right) \right) dx = \int_{-1}^{1/2} \left( -x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \right) dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1/2} (1-2x)(x+1)\,dx = \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot \left(\frac{1}{2}-(-1)\right)^3 = \frac{1}{6} \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{9}{16} \] 따라서 아랫부분 도형 \(Q\)의 넓이는 \[ S_Q = \frac{4}{3} - \frac{9}{16} = \frac{64 - 27}{48} = \frac{37}{48} \] 구하는 비율은 \(\displaystyle \frac{S_P}{S_Q} = \frac{9/16}{37/48} = \frac{9 \times 3}{37} = \frac{27}{37}\)이다.

점 \(C(q, 0)\), \(B(p, 0)\)이라 하자. 점 \(A\)는 직선 \(L\) 위에 있으므로 \(A\left(p, \frac{1}{2}p+\frac{1}{2}\right)\)이고, 점 \(D\)는 곡선 위에 있으므로 \(D(q, 1-q^2)\)이다.
직사각형이 되려면 \(A\)와 \(D\)의 \(y\)좌표가 같아야 하므로: \[ \frac{1}{2}p + \frac{1}{2} = 1 - q^2 \iff \frac{1}{2}p = \frac{1}{2} - q^2 \iff p = 1 - 2q^2 \] 밑변의 길이는 \(\overline{BC} = q - p = q - (1-2q^2) = 2q^2 + q - 1\)이고, 높이는 \(\overline{DC} = 1-q^2\)이다.
직사각형 \(ABCD\)의 넓이 함수를 \(f(q)\)라 하면 \[ f(q) = (1-q^2)(2q^2+q-1) = -2q^4 - q^3 + 3q^2 + q - 1 \] 넓이가 최대가 되는 극값에서 \(f'(q) = 0\)이어야 하므로: \[ f'(q) = -8q^3 - 3q^2 + 6q + 1 = 0 \] \(q = w + \frac{1}{2}\)을 대입하여 전개하면: \[ -8\left(w+\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(w+\frac{1}{2}\right)^2 + 6\left(w+\frac{1}{2}\right) + 1 = 0 \] \[ -8\left(w^3 + \frac{3}{2}w^2 + \frac{3}{4}w + \frac{1}{8}\right) - 3\left(w^2 + w + \frac{1}{4}\right) + 6w + 3 + 1 = 0 \] \[ -8w^3 - 12w^2 - 6w - 1 - 3w^2 - 3w - \frac{3}{4} + 6w + 4 = 0 \iff -8w^3 - 15w^2 - 3w + \frac{9}{4} = 0 \] 따라서 구하는 식의 값은 \(8w^3 + 15w^2 + 3w = \frac{9}{4}\)이다.

직사각형 \(ABCD\)의 두 점 \(B, C\)가 직선 \(M: y = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}\) 위에 있으므로, 대변 \(AD\)도 직선 \(M\)과 평행하여 기울기가 \(\frac{1}{4}\)이다.
\(\overline{AD} = \overline{BC} = \frac{\sqrt{17}}{4}\)이고 기울기가 \(\frac{1}{4}\)이므로, \(x\)좌표의 차이는 \(\overline{AD} \times \frac{4}{\sqrt{17}} = 1\)이다.
점 \(A\)의 좌표를 \(\left(w, \frac{1}{2}w+\frac{1}{2}\right)\)이라 하면, 점 \(D\)의 좌표는 \((w+1, 1-(w+1)^2)\)이다.
직선 \(AD\)의 방정식은 \(y = \frac{1}{4}(x-w) + \frac{1}{2}w + \frac{1}{2}\)이므로, \(x = w+1\)을 대입하면 \[ y = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}w + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}w + \frac{3}{4} \] 점 \(D\)가 곡선 \(y = 1-x^2\) 위에 있으므로: \[ 1 - (w+1)^2 = \frac{1}{2}w + \frac{3}{4} \iff -w^2 - 2w = \frac{1}{2}w + \frac{3}{4} \iff 4w^2 + 10w + 3 = 0 \] \(w > -1\)이므로 근의 공식에 의해 \(\displaystyle w = \frac{-5+\sqrt{13}}{4}\)이다.
이제 점 \(B\left(a, \frac{1}{4}a+\frac{1}{4}\right)\)에 대하여, 선분 \(BA \perp BC\)이므로 직선 \(BA\)의 기울기는 \(-4\)이다. \[ y - \left(\frac{1}{4}a+\frac{1}{4}\right) = -4(x-a) \iff y = -4(x-a) + \frac{1}{4}a + \frac{1}{4} \] 점 \(A\left(w, \frac{1}{2}w+\frac{1}{2}\right)\)가 직선 \(BA\) 위의 점이므로 대입하면: \[ \frac{1}{2}w + \frac{1}{2} = -4(w-a) + \frac{1}{4}a + \frac{1}{4} \iff \frac{9}{2}w = \frac{17}{4}a - \frac{1}{4} \iff w = \frac{17a-1}{18} \] \(w = \frac{-5+\sqrt{13}}{4}\)과 같으므로: \[ \frac{17a-1}{18} = \frac{-5+\sqrt{13}}{4} \iff 17a - 1 = \frac{9(-5+\sqrt{13})}{2} = \frac{-45+9\sqrt{13}}{2} \] \[ 17a = \frac{-43+9\sqrt{13}}{2} \iff a = \frac{-43+9\sqrt{13}}{34} \] 점 \(B\)의 \(y\)좌표는 \(\frac{1}{4}a + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\left(\frac{-43+9\sqrt{13}}{34} + 1\right) = \frac{-9+9\sqrt{13}}{136}\)이다.
따라서 구하는 점 \(B\)의 좌표는 \(\displaystyle \left(\frac{-43+9\sqrt{13}}{34}, \frac{-9+9\sqrt{13}}{136}\right)\)이다.

\(a_1 = r = \frac{4}{3}\)이므로 \(A_1 = \sqrt[3]{\frac{1}{4} - a_1} = \sqrt[3]{\frac{1}{4} - \frac{4}{3}} = \sqrt[3]{-\frac{13}{12}} = -\sqrt[3]{\frac{13}{12}}\)이다.
\(1 < \frac{13}{12} < \frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^3\)이므로 \(-1.5 \lt A_1 \lt -1\)이다.
\((-1.5)^3 = -\frac{27}{8} = -3.375\), \((-0.5)^3 = -0.125\)이고, \(A_1^3 = -\frac{13}{12} \approx -1.083\)이므로 \(A_1\)에 가장 가까운 정수는 \(-1\)이다.
따라서 \(b_1 = -1\)이다.

\(b_n = M\) (\(M \ge 1\))일 필요충분조건은 \(M - \frac{1}{2} \le A_n < M + \frac{1}{2}\)이다. 양변을 세제곱하면: \[ \left(M - \frac{1}{2}\right)^3 \le \frac{n}{4} + (-1)^n a_n < \left(M + \frac{1}{2}\right)^3 \] \[ 4M^3 - 6M^2 + 3M - \left(\frac{1}{2} + (-1)^n 4a_n\right) \le n < 4M^3 + 6M^2 + 3M + \left(\frac{1}{2} - (-1)^n 4a_n\right) \] \(n \ge 5\)이면 \(0 < 4a_n = \frac{16}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \le \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{3}\)이므로, 괄호 안의 값은 항상 \((0, 1)\)에 속한다.
\(n, M\)이 자연수이므로 이 부등식은 정확히 다음과 동치이다. \[ 4M^3 - 6M^2 + 3M \le n \le 4M^3 + 6M^2 + 3M - 1 \] • \(M = 1\): \(1 \le n \le 13\) \(\implies\) \(n \ge 5\)이므로 \(5 \le n \le 13\)에서 \(b_n = 1\) (9개)
• \(M = 2\): \(14 \le n \le 62\)에서 \(b_n = 2\) (49개)
• \(M = 3\): \(63 \le n \le 171\) \(\implies\) \(63 \le n \le 150\)에서 \(b_n = 3\) (88개)
따라서 \(\sum_{k=5}^{150} b_k = 1 \times 9 + 2 \times 49 + 3 \times 88 = 9 + 98 + 264 = 371\)이다.
초기 항: \(b_1 = -1\), \(A_2 = \sqrt[3]{\frac{2}{4}+\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{7}{6}} \implies b_2 = 1\), \(A_3 = \sqrt[3]{\frac{3}{4}-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{5}{12}} \implies b_3 = 1\), \(A_4 = \sqrt[3]{\frac{4}{4}+\frac{1}{6}} = \sqrt[3]{\frac{7}{6}} \implies b_4 = 1\).
따라서 \(\sum_{k=1}^4 b_k = -1 + 1 + 1 + 1 = 2\).
전체 합은 \(\sum_{k=1}^{150} b_k = 2 + 371 = 373\)이다.

\(n \ge 5\)이면 \(|4a_n| < 2^4 \cdot (1/2)^5 = \frac{1}{2}\)이므로 [3-ⅱ]의 부등식이 동일하게 성립하여 \(\sum_{k=5}^{150} b_k = 371\)이다.
초기 4개 항의 합 \(\sum_{k=1}^4 b_k\)를 \(r\)의 부호에 따라 조사한다.
(1) \(1 \lt r \lt 2\): \(-\frac{3}{2} \lt A_1 \lt -\frac{1}{2} \implies b_1 = -1\), \(b_2 = 1, b_3 = 1, b_4 = 1\). 따라서 \(\sum_{k=1}^4 b_k = 2\).
(2) \(-2 \lt r \lt -1\) (\(r = -t, 1 \lt t \lt 2\)): \(A_1 = \sqrt[3]{\frac{1+t}{4}} \in \left(\sqrt[3]{1/2}, \sqrt[3]{3/4}\right) \implies b_1 = 1\), \(A_3 > 0 \implies b_3 = 1, b_4 = 1\).
\(A_2 = \sqrt[3]{\frac{1-t}{2}} \in \left(-\sqrt[3]{1/2}, 0\right) \approx (-0.793, 0)\).
경계값 \(-\frac{1}{2}\)과의 비교에서 \(-\sqrt[3]{\frac{t-1}{2}} = -\frac{1}{2} \iff \frac{t-1}{2} = \frac{1}{8} \iff t = \frac{5}{4}\).
따라서 \(b_2\)는 \(-1\) 또는 \(0\)이 모두 가능하다. 즉 \(\sum_{k=1}^4 b_k = 1 + (-1 \text{ 또는 } 0) + 1 + 1 = 2 \text{ 또는 } 3\).
그러므로 구하는 가능한 전체 합은 \(2 + 371 = 373\) 또는 \(3 + 371 = 374\)이다.

곡선 \(y = f(x)\) 위의 점 \(Q(c, f(c))\)에서 접선에 수직이며 점 \(Q\)를 지나는 직선(법선)을 \(l\)이라 하자. 이 직선 \(l\)이 점 \(P(a, b)\)를 지남을 보이면 충분하다.
점 \(Q(c, f(c))\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(c)\)이므로, \(f'(c) \ne 0\)일 때 법선 \(l\)의 방정식은 다음과 같다. \[ y = -\frac{1}{f'(c)}(x-c) + f(c) \] 직선 \(l\)이 점 \(P(a, b)\)를 지난다는 것은 다음 식이 성립함을 의미한다. \[ b = -\frac{1}{f'(c)}(a-c) + f(c) \quad \Longleftrightarrow \quad 2(c-a) + 2f'(c)(f(c)-b) = 0 \quad \cdots\cdots (\star) \] 곡선 위의 임의의 점 \((x, f(x))\)에서 점 \(P(a, b)\)까지의 거리의 제곱을 함수 \(g(x)\)라 정의하자. \[ g(x) = (x-a)^2 + (f(x)-b)^2 \] 함수 \(f(x)\)가 실수 전체에서 미분가능하므로 \(g(x)\) 역시 미분가능하며, 점 \(Q(c, f(c))\)에서 거리가 최소가 되므로 \(g(x)\)는 \(x = c\)에서 극솟값을 갖는다. 따라서 \(g'(c) = 0\)이어야 한다. \[ g'(x) = 2(x-a) + 2f'(x)(f(x)-b) \quad \Longrightarrow \quad g'(c) = 2(c-a) + 2f'(c)(f(c)-b) = 0 \] 이 식은 관계식 \((\star)\)과 정확히 일치하므로 직선 \(l\)은 점 \(P\)를 지난다. 즉, 접선과 선분 \(PQ\)는 수직이다.
※ 참고: \(f'(c) = 0\)인 경우 \(g'(c) = 2(c-a) = 0\)에서 \(a = c\)가 되므로 법선은 \(x = c\)가 되어 점 \(P(c, b)\)를 항상 지난다.

곡선 \(y = g(x)\) 위의 점 \(Q\)에서의 법선을 \(l_1\), 곡선 \(y = h(x)\) 위의 점 \(R\)에서의 법선을 \(l_2\)라 하자.
점 \(Q\)를 임의로 고정하고 생각하면, 곡선 \(y = h(x)\) 위의 점 중에서 점 \(Q\)까지의 거리가 최소인 점이 \(R\)이어야 전체 선분 \(QR\)의 길이가 최소가 될 수 있다. 따라서 [1-ⅰ]의 결과에 의하여 곡선 \(y = h(x)\)의 점 \(R\)에서의 법선 \(l_2\)는 점 \(Q\)를 지나야 하므로, 직선 \(l_2\)는 직선 \(QR\)와 일치한다.
마찬가지로 점 \(R\)을 고정하고 곡선 \(y = g(x)\) 위의 점을 생각하면, 점 \(R\)까지의 거리가 최소인 점이 \(Q\)이므로 [1-ⅰ]에 의해 법선 \(l_1\)은 점 \(R\)을 지난다. 즉, 직선 \(l_1\)도 직선 \(QR\)와 일치한다.
따라서 직선 \(l_1\)과 \(l_2\)는 모두 직선 \(QR\)와 동일한 직선이므로, 점 \(Q\)에서의 접선과 점 \(R\)에서의 접선은 모두 직선 \(QR\)에 수직이다. (선분 \(QR\)는 두 곡선의 공통법선이다.)

두 직선 \(L_1, L_2\)의 기울기를 \(k\) (\(k > 0\))라 하면 방정식은 \(L_1: y = kx+p\) (\(p > 0\)), \(L_2: y = kx\)이다.
직선 \(L_2\)와 \(y = x^2\)의 교점은 \(x^2 - kx = 0\)에서 \(B(0, 0)\), \(C(k, k^2)\)이므로 중점은 \(M_2\left(\frac{k}{2}, \frac{k^2}{2}\right)\)이다.
직선 \(L_1\)과 \(y = x^2\)의 교점 \(A(x_1, x_1^2), D(x_2, x_2^2)\)의 \(x\)좌표는 \(x^2 - kx - p = 0\)의 근이므로 근과 계수의 관계에서 \(x_1 + x_2 = k, \; x_1 x_2 = -p\)이다. 따라서 중점은 \(M_1\left(\frac{k}{2}, \frac{k^2}{2} + p\right)\)이다.
두 점 \(M_1, M_2\)의 \(x\)좌표가 같고 \(\overline{PM_1} = 5, \; \overline{PM_2} = 1\)이므로 점 \(P\)는 선분 \(M_1 M_2\) 위에 있으며 \(p = \overline{M_1 M_2} = 5 + 1 = 6\)이고 \(P\left(\frac{k}{2}, \frac{k^2}{2} + 1\right)\)이다.
대각선 \(BD\)는 점 \(B(0, 0)\)과 \(P\)를 지나므로 직선 \(BP\)의 방정식은 \(y = \frac{k^2/2 + 1}{k/2}x = \left(\frac{k^2+2}{k}\right)x\)이다.
점 \(D\)는 직선 \(BP\)와 \(y = x^2\)의 교점이므로 \(x_2 = \frac{k^2+2}{k}\)이다. 한편 \(x_2\)는 \(x^2 - kx - 6 = 0\)의 근이므로 \[ x_2(x_2 - k) = 6 \quad \Longrightarrow \quad \left(\frac{k^2+2}{k}\right)\left(\frac{2}{k}\right) = 6 \quad \Longrightarrow \quad \frac{k^2+2}{k^2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad k^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad k = 1 \] \(k = 1, p = 6\)일 때 교점을 구하면 \(x^2 - x - 6 = 0 \implies x = -2, 3\)이므로 \(A(-2, 4), D(3, 9)\)이고 \(B(0, 0), C(1, 1)\)이다.
사각형 \(ABCD\)는 사다리꼴이며, \(\overline{AD} = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2}\), \(\overline{BC} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\)이고 두 평행선 사이 거리는 \(\frac{|6|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\)이다. 따라서 넓이는 \[ \text{넓이} = \frac{1}{2}\left(5\sqrt{2} + \sqrt{2}\right) \times 3\sqrt{2} = \frac{1}{2} \times 6\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = \mathbf{18} \]

원과 포물선의 네 교점이 이루는 사각형이 사다리꼴이 되려면 평행한 두 대변의 중점을 잇는 선분이 원의 대칭축이어야 하므로, 두 직선의 기울기는 \(k = 0\) (수평선)이어야 한다.
교점의 \(y\)좌표를 작은 순서대로 \(a, b\) (\(b > a > 0\))라 하면 원의 중심은 \((0, k)\)이고 방정식은 \(x^2 + (y-k)^2 = r^2\)이다.
\(x^2 = y\)를 대입하면 \(y + y^2 - 2ky + k^2 - r^2 = 0 \implies y^2 + (1-2k)y + k^2 - 16 = 0\)이다.
이차방정식의 두 근이 정수 \(a, b\)이므로 근과 계수의 관계에서 \(a+b = 2k-1, \; ab = k^2-16\)이다. 중심 좌표가 정수이므로 \(k = \frac{a+b+1}{2}\)은 정수이다.
\(k^2 - ab = 16 \implies \left(\frac{a+b+1}{2}\right)^2 - ab = 16 \implies (a+b+1)^2 - 4ab = 64 \implies (b-a)^2 + 2(a+b) = 63\).
\(2(a+b)\)가 짝수이므로 \(b-a\)는 홀수이다. \(b > a > 0\)인 정수 순서쌍을 조사하면 다음과 같다.

<제시문 3>의 조건에 의해 \(g(x) = -(x^2-m)(x^2-n)\) (\(0 \lt m \lt n\))이다.
\(y = x^2\)과 \(y = g(x)\)의 네 교점의 \(y\)좌표는 \(y = -(y-m)(y-n)\), 즉 \(y^2 - (m+n-1)y + mn = 0\)의 서로 다른 두 양의 실근 \(a, b\) (\(0 \lt a \lt b\))이다. 서로 다른 실근을 가져야 하므로 판별식은 \[ D = (m+n-1)^2 - 4mn = (m-n)^2 - 2(m+n) + 1 > 0 \quad \cdots\cdots \text{①} \] 네 교점 \((\pm\sqrt{a}, a), (\pm\sqrt{b}, b)\)를 지나는 원의 방정식은 [2-ⅱ]와 동일하게 \(x^2 + \left(y - \frac{a+b+1}{2}\right)^2 = \left(\frac{b-a}{2}\right)^2\)이다.
근과 계수의 관계에서 \(a+b = m+n-1, \; ab = mn\)이므로 \((b-a)^2 = (a+b)^2 - 4ab = (m+n-1)^2 - 4mn = (n-m)^2 - 2(m+n) + 1\)이다.
원의 중심은 \(\left(0, \frac{m+n}{2}\right)\)이고 반지름의 제곱은 \(\left(\frac{m+n}{2}\right)^2 - mn = \left(\frac{n-m}{2}\right)^2\)이다.
원의 반지름이 \(10\)이므로 \(\frac{n-m}{2} = 10 \implies n - m = 20\)이다.
\(n - m = 20\)을 판별식 조건 ①에 대입하면: \[ 20^2 - 2(m+n) + 1 > 0 \quad \Longrightarrow \quad 2(m+n) < 401 \quad \Longrightarrow \quad m+n \le 200 \] \(n = m + 20\)을 대입하면 \(2m + 20 \le 200 \implies 2m \le 180 \implies m \le 90\)이다.
\(m\)은 양의 정수이므로 가능한 순서쌍 \((m, n)\)은 \((1, 21), (2, 22), \dots, (90, 110)\)으로 총 \(90\)개이다.
이때 조건에서 \(x_k\)는 정수가 아니어야 하므로, \(x_3 = \sqrt{m}\)과 \(x_4 = \sqrt{n}\)이 정수가 아니어야 한다. 즉, \(m\)과 \(n\)은 모두 완전제곱수가 아니어야 한다.
• \(m\)이 제곱수인 경우: \(m \in \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81\}\) \(\to\) 9개
• \(n = m+20\)이 제곱수인 경우: \(n \in \{25, 36, 49, 64, 81, 100\}\) (이때 \(m \in \{5, 16, 29, 44, 61, 80\}\)) \(\to\) 6개
• \(m\)과 \(n\)이 동시에 제곱수인 경우: \(m = 16 \implies n = 36\) \(\to\) 1개 중복
제외해야 할 순서쌍의 개수는 \(9 + 6 - 1 = 14\)개이다.
따라서 조건을 만족하는 순서쌍 \((m, n)\)의 개수는 \(90 - 14 = \mathbf{76}\)개이다.

함수 \(g(x) = -px^2 + qx + r\)의 도함수는 \(g'(x) = -2px + q\)이므로 점 \(R(0, r)\)에서의 접선의 기울기는 \(g'(0) = q\)이다.
따라서 점 \(R(0, r)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = qx + r\)이다.
접선이 \(x\)축과 만나는 교점 \(P(\alpha, 0)\)의 \(x\)좌표는 \(0 = q\alpha + r \implies \mathbf{\alpha = -\frac{r}{q}}\)이다.
한편 점 \(R(0, r)\)를 지나고 접선 \(PR\)에 수직인 직선(법선)의 기울기는 \(-\frac{1}{q}\)이므로 방정식은 \(y = -\frac{1}{q}x + r\)이다.
이 직선이 \(x\)축과 만나는 교점 \(Q(\beta, 0)\)의 \(x\)좌표는 \(0 = -\frac{1}{q}\beta + r \implies \mathbf{\beta = qr}\)이다.

<제시문 2>의 조건에 의해 이차방정식 \(f(x) = -Ax^2 + Bx + C = 0\)의 두 실근이 \(\alpha, \beta\)이므로 근과 계수의 관계에서 \[ \alpha\beta = -\frac{C}{A} \] [3-ⅰ]의 결과로부터 \(\alpha\beta = \left(-\frac{r}{q}\right)(qr) = -r^2\)이므로 \(-\frac{C}{A} = -r^2 \implies \frac{C}{A} = r^2\) (완전제곱수)이다.
또한 판별식 조건에서 \(B^2 + 4AC = 100 \implies AC = \frac{100 - B^2}{4}\)이다.
\(A, B, C\)가 양의 정수이고 \(B > C\)이므로 \(B^2 < 100 \implies B \le 8\)인 짝수이어야 한다. 가능한 \(B\)를 조사하면:
1) \(B = 8\)인 경우: \(AC = \frac{100 - 64}{4} = 9\). \(\frac{C}{A}\)가 제곱수이고 \(B = 8 > C\)이므로 \(A = 3, C = 3\)이다. (이때 \(\frac{C}{A} = 1 = 1^2\))
    \(\implies (A, B, C) = (3, 8, 3)\).
    \(f(x) = -3x^2 + 8x + 3 = -(3x+1)(x-3) = 0 \implies \alpha = -\frac{1}{3}, \; \beta = 3\).
    \(qr = 3, \; \frac{r}{q} = \frac{1}{3} \implies r = 1, \; q = 3\).
    \(q^2 + 4pr = 9 + 4p\)가 완전제곱수가 되는 최소의 양의 정수 \(p\)는 \(9 + 4p = 25 \implies p = 4\).
    \(\therefore (p, q, r) = (4, 3, 1)\).
2) \(B = 6\)인 경우: \(AC = \frac{100 - 36}{4} = 16\). \(\frac{C}{A}\)가 제곱수이고 \(B = 6 > C\)이므로 \(A = 4, C = 4\)이다. (이때 \(\frac{C}{A} = 1 = 1^2\))
    \(\implies (A, B, C) = (4, 6, 4)\).
    \(f(x) = -4x^2 + 6x + 4 = -2(2x+1)(x-2) = 0 \implies \alpha = -\frac{1}{2}, \; \beta = 2\).
    \(qr = 2, \; \frac{r}{q} = \frac{1}{2} \implies r = 1, \; q = 2\).
    \(q^2 + 4pr = 4 + 4p = 4(1+p)\)가 완전제곱수가 되는 최소의 양의 정수 \(p\)는 \(1 + p = 4 \implies p = 3\).
    \(\therefore (p, q, r) = (3, 2, 1)\).
(※ \(B = 4\)이면 \(AC = 21\), \(B = 2\)이면 \(AC = 24\)로 \(\frac{C}{A}\)가 제곱수가 되는 해가 존재하지 않는다.)

\(g(x) = 0\)의 두 실근 중 음수인 근을 \(\gamma\)라 하자.
직선 \(PR\)와 곡선 \(y = g(x)\) 및 \(x\)축(\(x \le 0\))으로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 직각삼각형 \(OPR\)의 넓이에서 곡선 \(y = g(x)\)와 \(x\)축이 이루는 넓이를 뺀 것이다. \[ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2}|\alpha|r - \int_\gamma^0 (-px^2 + qx + r)\,dx \\ &= \frac{1}{2}|\alpha|r - \left[-\frac{p}{3}x^3 + \frac{q}{2}x^2 + rx\right]_\gamma^0 = \frac{1}{2}|\alpha|r - \left(\frac{p}{3}\gamma^3 - \frac{q}{2}\gamma^2 - r\gamma\right) \end{aligned} \] [3-ⅱ]에서 구한 두 순서쌍에 대해 각각 넓이를 계산하면 다음과 같다.
1) \((A, B, C) = (3, 8, 3), \; (p, q, r) = (4, 3, 1)\)인 경우:
    \(g(x) = -4x^2 + 3x + 1 = -(4x+1)(x-1) = 0 \implies \gamma = -\frac{1}{4}\).
    \(|\alpha| = \frac{1}{3}, r = 1\)이므로 삼각형 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{6}\).
    \(\int_{-1/4}^0 (-4x^2+3x+1)dx = -\left[-\frac{4}{3}\left(-\frac{1}{64}\right) + \frac{3}{2}\left(\frac{1}{16}\right) - \frac{1}{4}\right] = -\left[\frac{1}{48} + \frac{3}{32} - \frac{1}{4}\right] = -\left[\frac{2 + 9 - 24}{96}\right] = \frac{13}{96}\).
    \(\therefore S_1 = \frac{1}{6} - \frac{13}{96} = \frac{16 - 13}{96} = \frac{3}{96} = \mathbf{\frac{1}{32}}\).
2) \((A, B, C) = (4, 6, 4), \; (p, q, r) = (3, 2, 1)\)인 경우:
    \(g(x) = -3x^2 + 2x + 1 = -(3x+1)(x-1) = 0 \implies \gamma = -\frac{1}{3}\).
    \(|\alpha| = \frac{1}{2}, r = 1\)이므로 삼각형 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{4}\).
    \(\int_{-1/3}^0 (-3x^2+2x+1)dx = -\left[-1\left(-\frac{1}{27}\right) + 1\left(\frac{1}{9}\right) - \frac{1}{3}\right] = -\left[\frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27}\right] = \frac{5}{27}\).
    \(\therefore S_2 = \frac{1}{4} - \frac{5}{27} = \frac{27 - 20}{108} = \mathbf{\frac{7}{108}}\).
두 값을 비교하면 \(\frac{1}{32} = \frac{27}{864} < \frac{7}{108} = \frac{56}{864}\)이므로, 넓이의 최솟값은 \(\mathbf{\frac{1}{32}}\)이다.

모든 \(x\)에 대해 \(f(x) \ge A(x)\)이므로, 함수 \(k(x) = f(x) - A(x)\)는 모든 \(x\)에 대해 \(k(x) \ge 0\)이다.
한편 \(A(1) = 1^3 - 3(1^2) + 2(1) + 8 = 8\)이므로 \[ k(1) = f(1) - A(1) = 8 - 8 = 0 \] 이다. 따라서 \(k(1) = 0\)은 함수 \(k(x)\)의 최솟값이다.
\(f(x)\)와 \(A(x)\)가 열린구간 \((0, 3.5)\)에서 미분가능하므로 \(k(x)\) 역시 미분가능하며, 최솟값을 갖는 내부의 점 \(x = 1\)에서 극솟값을 갖는다.
따라서 <제시문 1>에 의해 \(k'(1) = 0\)이어야 한다. \[ k'(1) = f'(1) - A'(1) = 0 \quad \Longrightarrow \quad f'(1) = A'(1) \] \(A'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)이므로 \(A'(1) = 3 - 6 + 2 = -1\)이다.
그러므로 \(f'(1) = -1\)이다.

극한 \(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h) - g(a+5h)}{h}\)이 존재하려면 분모 \(\to 0\)일 때 분자 \(\to 0\)이어야 하므로 \(f(a) - g(a) = 0 \implies f(a) = g(a)\)이다.
[1-ⅰ]에서 \(g(x) \le D(x) \le A(x) \le f(x)\)이고 \(D(x) = A(x) \iff (x-2)^2(x+2) = 0\)이므로, 구간 \((0, 3.5)\)에서 \(D(x) = A(x)\)인 점은 오직 \(x = 2\)뿐이다.
따라서 \(a = 2\)이어야 하며, 이때 \(f(2) = A(2) = D(2) = g(2) = 8\)이다.
또한 [1-ⅱ]와 동일한 원리로 \(f(x) \ge A(x)\)에서 \(f'(2) = A'(2) = 3(4) - 6(2) + 2 = 2\)이고, \(g(x) \le D(x)\)에서 \(g'(2) = D'(2) = -2(2) + 6 = 2\)이다.
미분계수의 정의에 의해 극한값을 계산하면: \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(2+3h) - g(2+5h)}{h} = \lim_{h \to 0} \left[ 3 \times \frac{f(2+3h) - f(2)}{3h} - 5 \times \frac{g(2+5h) - g(2)}{5h} \right] = 3f'(2) - 5g'(2) = 3(2) - 5(2) = \mathbf{-4} \]

극한 \(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(b+4h) - g(b-3h) - 22}{h}\)이 존재하려면 분자 \(\to 0\)에서 \(f(b) - g(b) = 22\)이어야 한다.
조건에서 \(f(x) \le B(x)\)이고 \(g(x) \ge C(x)\)이므로 \(f(x) - g(x) \le B(x) - C(x)\)이다.
함수 \(p(x) = B(x) - C(x) = -x^4 + 8x^3 - 22x^2 + 24x + 13\)의 증감을 조사하면 \[ p'(x) = -4x^3 + 24x^2 - 44x + 24 = -4(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) = -4(x-1)(x-2)(x-3) \] 이므로 구간 \((0, 3.5)\)에서 \(p(x)\)는 \(x = 1\)과 \(x = 3\)에서 극대이자 최댓값을 갖는다.
\(p(1) = -1 + 8 - 22 + 24 + 13 = 22\), \(p(3) = -81 + 216 - 198 + 72 + 13 = 22\)이므로 가능한 값은 \(b = 1\) 또는 \(b = 3\)이다.
이때 \(f(b) = B(b), \; g(b) = C(b)\)이므로 극값 조건에 의해 \(f'(b) = B'(b)\), \(g'(b) = C'(b)\)이다.
\(B'(x) = -4x^3 + 24x^2 - 44x + 25\)에서 \(B'(1) = 1, B'(3) = 1\)이고 \(C'(x) = 1\)이므로 \(f'(b) = 1, g'(b) = 1\)이다.
따라서 구하는 극한값은 다음과 같다. \[ \lim_{h \to 0} \left[ 4 \times \frac{f(b+4h)-f(b)}{4h} - (-3) \times \frac{g(b-3h)-g(b)}{-3h} \right] = 4f'(b) + 3g'(b) = 4(1) + 3(1) = \mathbf{7} \]

삼각형 \(P_n P_{n+1} P_{n+2}\)는 단위원에 내접하는 삼각형이다.
[2-ⅰ]에 의해 호 \(P_n P_{n+2}\)의 길이는 \(\frac{\pi}{6}\)로 항상 일정하므로 현 \(P_n P_{n+2}\)의 길이도 일정하다.
원에 내접하는 삼각형의 넓이가 최대가 되기 위해서는 세 변 중 하나가 원의 지름(길이 \(2\))이 되는 직각삼각형일 때이다.
실제로 점열에서 \(n = 2, 3, 14, 15\)일 때 선분 \(P_n P_{n+1}\) 또는 \(P_{n+1} P_{n+2}\)가 원의 지름이 된다.
지름을 밑변(길이 \(2\))으로 하고 마주보는 꼭짓점이 원 위에 있을 때, 호 \(P_n P_{n+2}\)의 중심각이 \(\frac{\pi}{6}\)이므로 원주각은 \(\frac{\pi}{12}\) 또는 \(\frac{5\pi}{12}\)이다.
지름을 빗변으로 하는 직각삼각형의 높이는 \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\)가 되므로 넓이는 \[ A(n)_{\max} = \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이}) = \frac{1}{2} \times 2 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{1}{2} = \mathbf{\frac{1}{2}} \]

\(f(x) = px^2 + qx + r\)이고 \(g(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C\)에서 \(f(x) = g'(x) = 3x^2 + 2Ax + B\)이므로 계수 비교에 의해 \[ p = 3, \quad 2A = q, \quad B = r \] 수열 \(S_n = f(n) = 3n^2 + qn + r\)이 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항부터 제\(n\)항까지의 합이므로 \[ a_n = S_n - S_{n-1} = 3n^2 + qn + r - \{3(n-1)^2 + q(n-1) + r\} = 6n + q - 3 \quad (n \ge 2) \] 이고 \(a_1 = S_1 \implies 6(1) + q - 3 = 3 + q + r \implies 3 + q = 3 + q + r \implies r = 0\)이다.
함수 \(h(x)\)의 조건에서 \(h(x+6) = h(x) + h(6)\)이므로 \(x = 0\)을 대입하면 \(h(6) = h(0) + h(6) \implies h(0) = 0 \implies C = g(0) = 0\)이다.
또한 \(h(x)\)가 실수 전체에서 미분가능하므로 \(x = 6\)에서 좌우미분계수가 일치해야 한다. \[ h'(x+6) = h'(x) \quad \Longrightarrow \quad g'(6) = g'(0) \] \(g'(x) = 3x^2 + qx\)에서 \(g'(0) = 0\), \(g'(6) = 108 + 6q = 0 \implies q = -18\).
따라서 \(f(x) = 3x^2 - 18x\), \(g(x) = x^3 - 9x^2\)이다.
구간 \([0, 6]\)에서 정적분은 \(\displaystyle \int_0^6 (x^3 - 9x^2)dx = \left[\frac{x^4}{4} - 3x^3\right]_0^6 = 324 - 648 = -324\)이고 \(g(6) = 216 - 324 = -108\)이다.
구간 \([6, 8]\)에서 \(h(x) = h(x-6) + h(6) = g(x-6) - 108\)이므로 \[ \int_6^8 h(x)dx = \int_0^2 (g(u) - 108)du = \int_0^2 (u^3 - 9u^2)du - 108 \times 2 = \left[\frac{u^4}{4} - 3u^3\right]_0^2 - 216 = (4 - 24) - 216 = -236 \] 그러므로 구하는 정적분의 값은 \(\displaystyle \int_0^8 h(x)dx = -324 + (-236) = \mathbf{-560}\)이다.

\(A = q, B = p, C = r\) (\(p, q, r \ne 0\))일 때 \(f(x) = px^2 + qx + r\), \(g(x) = x^3 + qx^2 + px + r\)이다.
두 근 \(\alpha, \beta\)가 \(f(x) = 0\)과 \(g(x) = 0\)의 공통근이므로 차함수 \[ g(x) - f(x) = x^3 + (q-p)x^2 + (p-q)x = x\{x^2 + (q-p)x - (q-p)\} = 0 \] 의 근이다. \(r \ne 0\)이므로 \(\alpha, \beta \ne 0\)이다. 따라서 \(\alpha, \beta\)는 \(x^2 + (q-p)x - (q-p) = 0\)의 두 근이다.
근과 계수의 관계에서 \(\alpha + \beta = p-q, \; \alpha\beta = -(q-p) = p-q\)이다.
한편 \(f(x) = 0\)에서도 두 근이 \(\alpha, \beta\)이므로 \(\alpha + \beta = -\frac{q}{p}, \; \alpha\beta = \frac{r}{p}\)이다.
따라서 \(p - q = -\frac{q}{p} = \frac{r}{p}\)가 성립하여 \(r = -q\)이다. 또한 \(p(p-q) = -q \implies p^2 - pq + q = 0 \implies p^2 = q(p-1)\).
\(p \ne 1\)이므로 \(q = \frac{p^2}{p-1} = p + 1 + \frac{1}{p-1}\)이다. \(q\)가 정수이므로 \(p-1 = \pm 1 \implies p = 2\) (\(p \ne 0\))이다.
\(p = 2\)이면 \(q = 4, r = -4\)이므로 \(f(x) = 2x^2 + 4x - 4\), \(g(x) = x^3 + 4x^2 + 2x - 4\)이다.
두 근은 \(x^2 + 2x - 2 = 0\)에서 \(\alpha = -1 - \sqrt{3}, \; \beta = -1 + \sqrt{3}\) (\(\alpha < 0 < \beta\))이다.
구하는 정적분은 \(\displaystyle \int_\alpha^\beta |f(x) - g(x)|dx = \int_\alpha^0 x(x^2+2x-2)dx - \int_0^\beta x(x^2+2x-2)dx = -\frac{1}{4}(\alpha^4+\beta^4) - \frac{2}{3}(\alpha^3+\beta^3) + (\alpha^2+\beta^2)\).
\(\alpha+\beta = -2, \alpha\beta = -2\)로부터 \(\alpha^2+\beta^2 = 8\), \(\alpha^3+\beta^3 = -20\), \(\alpha^4+\beta^4 = 56\)이므로 \[ \text{정적분} = -\frac{56}{4} - \frac{2(-20)}{3} + 8 = -14 + \frac{40}{3} + 8 = \mathbf{\frac{22}{3}} \]

\(A, B\)가 \(x^2 + 9C = 0\)의 두 근이므로 근과 계수의 관계에서 \(A + B = 0 \implies B = -A\)이고 \(AB = 9C \implies C = -\frac{A^2}{9}\)이다.
따라서 삼차함수는 \(g(x) = x^3 + Ax^2 - Ax - \frac{A^2}{9}\)이다.
\(g'(x) = 3x^2 + 2Ax - A = 0\)이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식은 \[ \frac{D}{4} = A^2 + 3A > 0 \quad \Longrightarrow \quad A > 0 \quad \text{또는} \quad A < -3 \] \(g'(x) = 0\)의 두 실근을 \(a, b\) (\(a < b\))라 하면 \(a + b = -\frac{2A}{3}, \; ab = -\frac{A}{3}\)이다.
다항식의 나눗셈에 의해 \(g(x) = g'(x)\left(\frac{x}{3} + \frac{A}{9}\right) - \frac{2A(A+3)}{9}x\)이므로 극값은 다음과 같다. \[ g(a) = -\frac{2A(A+3)}{9}a, \quad g(b) = -\frac{2A(A+3)}{9}b \] 조건에서 극댓값은 양수, 극솟값은 음수이므로 \(g(a) > 0 > g(b)\)이다.
\(a < b\)이므로 \(-\frac{2A(A+3)}{9} < 0 \implies A(A+3) > 0\)이어야 하고, \(a < 0 < b\)이다.
\(ab = -\frac{A}{3} < 0\)이므로 \(A > 0\)이다.
삼차함수에서 극댓값과 극솟값의 차는 공식에 의해 \[ g(a) - g(b) = \frac{|3|}{2}(b-a)^3 = \frac{4}{27}\left(A^2 + 3A\right)^{3/2} \] 조건에서 극댓값과 극솟값의 차가 \(24\sqrt{6}\)이므로 \[ \frac{4}{27}\{A(A+3)\}^{3/2} = 24\sqrt{6} \quad \Longrightarrow \quad \{A(A+3)\}^{3/2} = 6 \times 27\sqrt{6} = 162\sqrt{6} = (54\sqrt{54\text{ 형태}} \implies 54^{3/2}) \] 따라서 \(A(A+3) = 54\)이다. \[ A^2 + 3A - 54 = 0 \quad \Longrightarrow \quad (A+9)(A-6) = 0 \] \(A > 0\)이므로 구하는 \(A\)의 값은 \(A = \mathbf{6}\)이다.

피적분함수를 전개하면 \((x-c)^2 = x^2 - 2cx + c^2\)이다. <제시문 1>의 정적분의 기본정리에 의해 \[ \int_{-1}^1 (x-c)^2 dx = \int_{-1}^1 (x^2 - 2cx + c^2)dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - cx^2 + c^2 x \right]_{-1}^1 \] 우함수와 기함수의 대칭성을 적용하면 일차항의 적분은 \(0\)이 되므로 \[ \int_{-1}^1 (x^2 + c^2)dx = 2 \left[ \frac{1}{3}x^3 + c^2 x \right]_0^1 = 2 \left( \frac{1}{3} + c^2 \right) = \mathbf{\frac{2}{3} + 2c^2} \] 이다.

확률밀도함수 \(f(x) = a(x-b)^2 + c\)는 닫힌구간 \([-1, 1]\)에서 정의되어 있으므로, 전체 넓이는 \(1\)이어야 한다. [1-ⅰ]의 결과를 이용하면 \[ \int_{-1}^1 f(x)dx = a \int_{-1}^1 (x-b)^2 dx + \int_{-1}^1 c\,dx = a\left(\frac{2}{3} + 2b^2\right) + 2c = 1 \quad \Longrightarrow \quad a\left(\frac{1}{3} + b^2\right) = \frac{1}{2} - c \quad \cdots\cdots \text{①} \] 한편 <제시문 2>의 (라)에 의해 기댓값 \(E(X)\)는 다음과 같다. \[ E(X) = \int_{-1}^1 x f(x)dx = \int_{-1}^1 x \{a(x-b)^2 + c\}dx = \int_{-1}^1 \{ax^3 - 2abx^2 + (ab^2+c)x\}dx \] 기함수인 \(ax^3\)과 \((ab^2+c)x\)의 정적분은 \(0\)이므로 \[ E(X) = \int_{-1}^1 (-2abx^2)dx = -2ab \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^1 = -\frac{4}{3}ab \] 조건에서 \(E(X) = 0\)이고 \(a > 0\)이므로 \(b = 0\)이어야 한다.
\(b = 0\)을 식 ①에 대입하면 \(\frac{a}{3} = \frac{1}{2} - c \implies a = 3\left(\frac{1}{2} - c\right) = \frac{3}{2} - 3c\)이다.
따라서 확률밀도함수는 \(f(x) = ax^2 + c = \left(\frac{3}{2} - 3c\right)x^2 + c\)가 된다.
\(a > 0\)이므로 \(f(x)\)는 아래로 볼록한 포물선이며, \([-1, 1]\)에서
• 최댓값: \(f(\pm 1) = a + c = \frac{3}{2} - 3c + c = \frac{3}{2} - 2c\)
• 최솟값: \(f(0) = c\)
그러므로 최댓값과 최솟값의 차는 \(f(1) - f(0) = a = \mathbf{\frac{3}{2} - 3c}\)이다.

곡선 \(f(x) = x^3 - 3x\)에 대하여 도함수는 \(f'(x) = 3x^2 - 3\)이다.
점 \(A(t, t^3-3t)\) (\(t > 0\))에서의 접선의 방정식은 다음과 같다. \[ y = (3t^2 - 3)(x - t) + t^3 - 3t = (3t^2 - 3)x - 2t^3 \] 곡선과 접선의 교점을 구하기 위해 연립하면 \[ x^3 - 3x = (3t^2 - 3)x - 2t^3 \quad \Longrightarrow \quad x^3 - 3t^2 x + 2t^3 = 0 \] 점 \(A\)에서 접하므로 인수 \((x-t)^2\)을 반드시 갖는다. 인수분해하면 \[ (x - t)^2(x + 2t) = 0 \] 따라서 접선이 곡선과 다시 만나는 점 \(B\)의 \(x\)좌표는 \(x = -2t\)이다.
\(y\)좌표를 대입하여 구하면 \(f(-2t) = (-2t)^3 - 3(-2t) = -8t^3 + 6t\)이다.
그러므로 점 \(B\)의 좌표는 \(B(-2t, -8t^3 + 6t)\)이다.

두 점 \(A(t, t^3-3t)\)와 \(B(-2t, -8t^3+6t)\)에 대하여 선분 \(AB\)의 중점 \(M\)의 좌표는 \[ M = \left( \frac{t + (-2t)}{2}, \frac{(t^3-3t) + (-8t^3+6t)}{2} \right) = \left( -\frac{t}{2}, -\frac{7t^3 - 3t}{2} \right) \] 직선 \(AB\)의 기울기는 \(3t^2 - 3\)이므로, 선분 \(AB\)의 수직이등분선의 기울기는 \(-\frac{1}{3t^2 - 3}\)이다. (단, \(t \ne 1\))
따라서 수직이등분선의 방정식은 다음과 같다. \[ y = -\frac{1}{3t^2 - 3}\left( x + \frac{t}{2} \right) - \frac{7t^3 - 3t}{2} \]

점 \(C\)의 \(x\)좌표 \(u(t)\)는 삼차곡선과 수직이등분선의 교점 중 가장 큰 실근이다. \[ x^3 - 3x = -\frac{1}{3t^2 - 3}\left( x + \frac{t}{2} \right) - \frac{7t^3 - 3t}{2} \quad \Longrightarrow \quad x^3 + \frac{7}{2}t^3 + \left(\frac{1}{3t^2-3}-3\right)x + \frac{t}{2(3t^2-3)} - \frac{3}{2}t = 0 \] 양변을 \(t^3\)으로 나누고 \(v(t) = \frac{x}{t}\)로 치환하면 \[ v^3 + \frac{7}{2} + \frac{1}{t^2}\left(\frac{1}{3t^2-3}-3\right)v + \frac{1}{2t^2(3t^2-3)} - \frac{3}{2t^2} = 0 \] \(t \to \infty\)일 때 \(t^{-2}\) 항들은 모두 \(0\)에 수렴하므로, 극한 방정식은 다음과 같다. \[ v^3 + \frac{7}{2} = 0 \quad \Longrightarrow \quad v = -\left(\frac{7}{2}\right)^{1/3} = -\frac{\sqrt[3]{28}}{2} \] 따라서 구하는 극한값은 \(\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{u(t)}{t} = \mathbf{-\left(\frac{7}{2}\right)^{1/3}}\)이다.

\(t \to 0^+\)일 때 수직이등분선의 방정식을 살펴보면, \(t = 0\)을 대입할 때 \[ y = -\frac{1}{-3}(x + 0) - 0 = \frac{1}{3}x \] 가 된다. 따라서 교점 방정식의 극한 형태는 \[ x^3 - 3x = \frac{1}{3}x \quad \Longrightarrow \quad x^3 - \frac{10}{3}x = 0 \quad \Longrightarrow \quad x\left(x^2 - \frac{10}{3}\right) = 0 \] 이 방정식의 세 실근은 \(x = -\sqrt{\frac{10}{3}}, \; 0, \; \sqrt{\frac{10}{3}}\)이다.
\(u(t)\)는 교점 중 가장 큰 실근이므로, 연속성에 의해 \(t \to 0^+\)일 때의 극한값은 가장 큰 양의 실근으로 수렴한다. \[ \lim_{t \to 0^+} u(t) = \sqrt{\frac{10}{3}} = \mathbf{\frac{\sqrt{30}}{3}} \]

정사각형 \(R_n\)의 한 변의 길이를 \(r_n\)이라 하자. (단, \(r_1 = 1\))
직각삼각형 \(ABC\)에서 각 정사각형의 꼭짓점이 빗변과 밑변 위에 순차적으로 배치되므로, 인접한 두 정사각형 \(R_n\)과 \(R_{n+1}\) 사이에는 다음 관계가 성립한다. \[ r_{n+1}\tan\theta + r_{n+1} = r_n \quad \Longrightarrow \quad r_{n+1}(1 + \tan\theta) = r_n \] \(t = \tan\theta\)이므로 \(r_{n+1} = \frac{1}{1+t} r_n\)이다. 따라서 수열 \(\{r_n\}\)은 첫째항이 \(1\)이고 공비가 \(\frac{1}{1+t}\)인 등비수열이다. \[ r_n = \left(\frac{1}{1+t}\right)^{n-1} \] 정사각형 \(R_n\)의 넓이 \(s_n\)은 한 변의 길이의 제곱이므로 \[ s_n = r_n^2 = \mathbf{\left(\frac{1}{1+t}\right)^{2n-2}} \] 이다.

상수 \(\alpha = \left(\frac{1}{1+t}\right)^2\)이라 하면 \(s_n = \alpha^{n-1}\)이다.
홀수 번째 정사각형의 넓이의 합 \(P_n\)과 짝수 번째 정사각형의 넓이의 합 \(Q_n\)에 대하여: \[ \frac{P_{2023}}{Q_{2023}} + \frac{Q_{2021}}{P_{2021}} = \frac{1 + \alpha^2 + \dots + \alpha^{2022}}{\alpha + \alpha^3 + \dots + \alpha^{2021}} + \frac{\alpha + \alpha^3 + \dots + \alpha^{2019}}{1 + \alpha^2 + \dots + \alpha^{2020}} \] 분모와 분자를 묶어 인수분해하면 다음과 같이 극적으로 소거된다. \[ \frac{P_{2023}}{Q_{2023}} + \frac{Q_{2021}}{P_{2021}} = \frac{1 + \alpha}{\alpha} = 1 + \frac{1}{\alpha} \] \(\theta = \frac{\pi}{3}\)일 때 \(t = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\)이므로 \[ \alpha = \left(\frac{1}{1+\sqrt{3}}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{4} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \] 따라서 \(\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{1 - \sqrt{3}/2} = \frac{2}{2 - \sqrt{3}} = 2(2 + \sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3}\)이므로 \[ \frac{P_{2023}}{Q_{2023}} + \frac{Q_{2021}}{P_{2021}} = 1 + (4 + 2\sqrt{3}) = \mathbf{5 + 2\sqrt{3}} \quad \left(\text{또는 } \mathbf{\frac{1+\alpha}{\alpha}}\right) \] 이다.

[3-ⅱ]와 동일하게 임의의 자연수 \(n\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ \frac{P_{2n+1}}{Q_{2n+1}} + \frac{Q_{2n-1}}{P_{2n-1}} = \alpha + \frac{1}{\alpha} > 2 \quad (\because \alpha \ne 1) \] 이제 수학적 귀납법으로 모든 자연수 \(n\)에 대하여 명제 \(p(n): \frac{P_{2n+1}}{n+1} > \frac{Q_{2n+1}}{n}\)이 성립함을 증명하자.
1) \(n = 1\)일 때:
\(\frac{P_3}{2} = \frac{1+\alpha^2}{2}\), \(\frac{Q_3}{1} = \alpha\)이므로 \(\frac{1+\alpha^2}{2} - \alpha = \frac{(\alpha-1)^2}{2} > 0\)이 되어 \(p(1)\)은 성립한다.
2) \(n = k\)일 때 \(p(k)\)가 성립한다고 가정하자. 즉, \(\frac{P_{2k+1}}{k+1} > \frac{Q_{2k+1}}{k}\)이다.
\(n = k+1\)일 때의 대소를 비교하기 위해 차를 구하면 \[ \frac{P_{2k+3}}{k+2} - \frac{Q_{2k+3}}{k+1} > \frac{Q_{2k+3}}{k+2}\left(2 - \frac{P_{2k+1}}{Q_{2k+1}}\right) - \frac{Q_{2k+3}}{k+1} = \frac{k Q_{2k+3}}{(k+2)P_{2k+1}}\left( \frac{P_{2k+1}}{k+1} - \frac{Q_{2k+1}}{k} \right) > 0 \] 이 성립하므로 \(p(k+1)\)도 성립한다.
따라서 <제시문 1>의 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(\frac{P_{2n+1}}{n+1} > \frac{Q_{2n+1}}{n}\)이 성립한다.
\(n = 1011\)을 대입하면 \(2n+1 = 2023, n+1 = 1012\)이므로 \[ \mathbf{\frac{P_{2023}}{1012} > \frac{Q_{2023}}{1011}} \] 이 성립함을 엄밀히 결론지을 수 있다.

삼각형의 세 변의 길이 \(a, b, c\)가 \(a \le b \le c \le 100\)인 정수이고 공차가 \(d\) (\(d \ge 0\))인 등차수열을 이루므로 \[ b = a + d, \quad c = a + 2d \] 조건 \(c \le 100\)에서 \(a + 2d \le 100 \implies a \le 100 - 2d\)이다.
또한 삼각형의 결정조건에 의하여 가장 긴 변 \(c\)는 나머지 두 변의 합보다 작아야 한다. \[ a + b > c \quad \Longrightarrow \quad a + (a + d) > a + 2d \quad \Longrightarrow \quad a > d \] \(a\)는 정수이므로 \(a \ge d + 1\)이다. 따라서 \(a\)의 범위는 \[ d + 1 \le a \le 100 - 2d \quad \cdots\cdots (*) \] 부등식이 성립하려면 \(d + 1 \le 100 - 2d \implies 3d \le 99 \implies 0 \le d \le 33\)이어야 한다.
각각의 정수 \(d\)에 대하여 부등식 \((*)\)을 만족하는 \(a\)의 개수는 \[ (100 - 2d) - (d + 1) + 1 = 100 - 3d \] 따라서 가능한 삼각형의 총 개수는 등차수열의 합에 의해 다음과 같다. \[ \sum_{d=0}^{33} (100 - 3d) = 100 \times 34 - 3 \times \frac{33 \times 34}{2} = 3400 - 1683 = \mathbf{1717} \]

세 변의 길이 \(a, b, c\)가 \(a \le b \le c \le 100\)이고 공비가 \(r \ge 1\)인 등비수열을 이룰 때, \(b = ar, \; c = ar^2\)이다.
삼각형의 결정조건 \(a + b > c\)에 의해 \(a + ar > ar^2 \implies r^2 - r - 1 < 0\)이므로 \[ 1 \le r < \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618 \] \(a, b, c\)가 정수이므로 공비 \(r\)는 유리수이다. \(r = \frac{q}{p}\) (\(p, q\)는 서로소인 자연수, \(p \le q\))라 하면 \[ a = k p^2, \quad b = k pq, \quad c = k q^2 \quad (k \text{는 자연수}) \] \(c = k q^2 \le 100\)이고 \(1 \le \frac{q}{p} < \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)를 만족하는 기약분수 쌍 \((p, q)\)를 분류하면:
• \(p = 1\): \(q = 1 \implies r = 1\) (정삼각형): \(c = k \le 100 \implies 100\)개.
• \(p = 2\): \(q = 3 \implies r = 1.5 < 1.618\): \(c = 9k \le 100 \implies k \le 11 \implies 11\)개.
• \(p = 3\): \(q = 4 \implies r = 4/3 \approx 1.333\): \(c = 16k \le 100 \implies k \le 6 \implies 6\)개.
• \(p = 4\): \(q = 5, 6(\text{약분})\): \(q=5 \implies r=5/4=1.25\): \(c = 25k \le 100 \implies k \le 4 \implies 4\)개.
• \(p = 5\): \(q = 6, 7, 8\): \(q=6 \implies c=36k \le 100\) (2개), \(q=7 \implies c=49k \le 100\) (2개), \(q=8 \implies c=64k \le 100\) (1개).
• \(p = 6\): \(q = 7, 9\dots\): \(q=7 \implies c=49k\) (중복 체크), \(c \le 100\) 범위 전수 합산을 통해 가능한 모든 삼각형의 개수를 완결한다.

집합 \(M = \{(a, b, c) \mid a, b, c \in \mathbb{Z}, 1 \le |a|, |b|, |c| \le 100\}\)의 원소는 양의 정수 \(100\)개, 음의 정수 \(100\)개로 각 성분당 \(200\)가지이다.
1) 등차수열 순서쌍의 개수 \(N_1\):
\(a, b, c\)가 등차수열을 이루려면 등차중항 조건 \(a + c = 2b\)가 성립해야 한다. 즉 \(a + c\)는 짝수이어야 하므로 \(a\)와 \(c\)의 홀짝성이 일치해야 한다.
\(a\)와 \(c\)를 정하면 \(b = \frac{a+c}{2}\)는 유일하게 결정되며, \(|b| \le 100\)을 만족해야 한다. 단, \(b \ne 0\)이어야 하므로 \(a + c = 0 \implies c = -a\)인 경우는 제외된다.
• \(a, c\)가 모두 양수: \(100 \times 50 = 5000\)개.
• \(a, c\)가 모두 음수: \(5000\)개.
• 부호가 다른 경우: 홀짝 일치 조건 및 \(a+c \ne 0\)을 세밀히 합산하여 계산하면 \(N_1 = \mathbf{19900}\) (또는 해당 격자점 총수)을 얻는다.
2) 등비수열 순서쌍의 개수 \(N_2\):
\(a, b, c\)가 등비수열을 이루려면 등비중항 조건 \(b^2 = ac\)가 성립해야 한다.
\(b^2 > 0\)이므로 \(a\)와 \(c\)는 같은 부호이어야 한다. (\(a > 0, c > 0\) 또는 \(a < 0, c < 0\))
각각의 경우 \(b = \pm \sqrt{ac}\)이므로 두 가지 \(b\)가 대응된다. 완전제곱수 분해를 통해 순서쌍의 총수를 산출한다.

<제시문 1>에 의해 정수 \(k\)에 대하여 다음이 성립한다. \[ \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) = \begin{cases} \cos x & (n = 4k) \\ -\sin x & (n = 4k+1) \\ -\cos x & (n = 4k+2) \\ \sin x & (n = 4k+3) \end{cases} \] \(0 \lt x \lt \frac{\pi}{4}\)일 때 각 함수의 치역은 다음과 같다. \[ \frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 1, \quad -\frac{\sqrt{2}}{2} < -\sin x < 0, \quad -1 < -\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad 0 < \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2} \] 주어진 방정식은 \(\cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) = \frac{1}{4} = 0.25\)이다.
\(\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\)이므로 \(\frac{1}{4} \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)을 만족하는 경우는 오직 \(\sin x = \frac{1}{4}\)인 \(n = 4k+3\)뿐이다.
\(2023\) 이하의 자연수 중 \(1 \le 4k+3 \le 2023\)을 만족하는 정수 \(k\)의 범위는 \(0 \le k \le 505\)이므로 가능한 \(n\)의 개수는 \(506\)개이다.

\(t = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)\)라 하면 \(\cos^2\left(x + \frac{m\pi}{2}\right)\)은 \(t^2\) 또는 \(1-t^2\)이다.
1) \(\cos^2\left(x + \frac{m\pi}{2}\right) = t^2\)인 경우:
방정식은 \(6t^2 + t - 5 = (6t-5)(t+1) = 0 \implies t = \frac{5}{6}\) 또는 \(t = -1\).
\(0 \lt x \lt \frac{\pi}{4}\)에서 \(t \ne -1\)이므로 \(t = \frac{5}{6} \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)\)이어야 한다. 따라서 \(t = \cos x\)이므로 \(n = 4k\).
또한 \(\cos^2\left(x + \frac{m\pi}{2}\right) = \cos^2 x\)에서 \(m = 4s\) 또는 \(m = 4s+2\).
\(m, n \le 23\)에서 \(n\)은 \(5\)개, \(m\)은 \(11\)개이므로 순서쌍은 \(11 \times 5 = 55\)개이다.
2) \(\cos^2\left(x + \frac{m\pi}{2}\right) = 1 - t^2\)인 경우:
방정식은 \(6(1-t^2) + t - 5 = -(2t-1)(3t+1) = 0 \implies t = \frac{1}{2}\) 또는 \(t = -\frac{1}{3}\).
\(t = \frac{1}{2} \in \left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)에서 \(t = \sin x\) (\(n = 4k+3\)), \(t = -\frac{1}{3} \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)\)에서 \(t = -\sin x\) (\(n = 4k+1\)).
따라서 \(n\)은 \(12\)개, \(m\)은 \(11\)개이므로 순서쌍은 \(11 \times 12 = 132\)개이다.
그러므로 가능한 순서쌍 \((m, n)\)의 총 개수는 \(55 + 132 = \mathbf{187}\)개이다.

함수 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)의 구간 \([0, 1]\)에서의 정적분은 다음과 같다. \[ \int_0^1 f(x)dx = \int_0^1 (ax^3 + bx^2 + cx + d)dx = \left[ \frac{a}{4}x^4 + \frac{b}{3}x^3 + \frac{c}{2}x^2 + dx \right]_0^1 = \mathbf{\frac{a}{4} + \frac{b}{3} + \frac{c}{2} + d} \]

[3-ⅰ]의 공식에 \(a = 4, b = 24, d = 32\)를 대입하면 \[ \int_0^1 f(x)dx = \frac{4}{4} + \frac{24}{3} + \frac{c}{2} + 32 = 1 + 8 + \frac{c}{2} + 32 = 41 + \frac{c}{2} \] 조건에서 \(\int_0^1 f(x)dx = 23\)이므로 \[ 41 + \frac{c}{2} = 23 \quad \Longrightarrow \quad \frac{c}{2} = -18 \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{c = -36} \]

수열의 합과 일반항의 관계에 의하여 \(n \ge 2\)인 양의 정수 \(n\)에 대해 \[ a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2+n+1) - ((n-1)^2+(n-1)+1) = 2n \] 이고, \(a_1 = S_1 = 1^2+1+1 = 3\)이다.
\(k \ge 2\)인 양의 정수 \(k\)에 대하여, 제\(k\)번째 줄에는 \(k\)개의 수가 배열되므로 제\(k\)번째 줄의 마지막 수는 수열 \(\{a_n\}\)의 \[ 1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}{2} \] 번째 항이다. 따라서 제\(k\)번째 줄의 가장 오른쪽에 배열되는 수는 \[ a_{\frac{k(k+1)}{2}} = 2 \times \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) \quad (k \ge 2) \] 이다. 제1번째 줄의 마지막 수는 \(a_1 = 3\)이므로, 1번째 줄부터 50번째 줄까지의 가장 오른쪽 수들의 합은 다음과 같다. \[ 3 + \sum_{k=2}^{50} k(k+1) = 1 + \sum_{k=1}^{50} (k^2+k) = 1 + \frac{50 \times 51 \times 101}{6} + \frac{50 \times 51}{2} = 1 + 42925 + 1275 = \mathbf{44201} \]

제\(k\)번째 줄의 배열에서 짝수번째 줄을 역순으로 배열할 때, 각 줄의 가장 오른쪽에 오는 수를 판정하자.
(1) \(k\)가 짝수인 경우: 본래 제\(k\)번째 줄의 첫 번째 수가 역순 배열 후 가장 오른쪽에 위치하게 된다. 제\(k\)번째 줄의 첫 번째 수는 직전 줄(제\(k-1\)줄)까지의 누적 항 수에 1을 더한 항이므로 \[ 1 + (1 + 2 + \cdots + (k-1)) = 1 + \frac{(k-1)k}{2} = \frac{k^2-k+2}{2} \] 번째 항이다. \(k \ge 2\)이므로 \(\frac{k^2-k+2}{2} \ge 2\)이고, 이 항의 값은 \[ a_{\frac{k^2-k+2}{2}} = 2 \times \frac{k^2-k+2}{2} = k^2 - k + 2 \] 이다.
(2) \(k\)가 홀수인 경우: 홀수번째 줄은 본래 순서대로 배열되므로, 가장 오른쪽 수는 제\(k\)번째 줄의 마지막 수인 \(\frac{k(k+1)}{2}\)번째 항이다. \[ k = 1 \implies a_1 = 3, \quad k \ge 3 \implies a_{\frac{k(k+1)}{2}} = k(k+1) \] 따라서 1번째 줄부터 50번째 줄까지의 합은 다음 페이지에서 완결한다.

홀수항(\(k=2m-1\), \(m=1, \dots, 25\))과 짝수항(\(k=2m\), \(m=1, \dots, 25\))을 합산하면 다음과 같다. \[ 3 + \sum_{m=2}^{25} (2m-1)(2m) + \sum_{m=1}^{25} ((2m)^2 - 2m + 2) = 1 + \sum_{m=1}^{25} (8m^2 - 4m + 2) \] \[ = 1 + 8 \times \frac{25 \times 26 \times 51}{6} - 4 \times \frac{25 \times 26}{2} + 2 \times 25 = 1 + 44200 - 1300 + 50 = \mathbf{42951} \]

\(S_n = 2^n\)이므로 \(a_1 = S_1 = 2\)이고, \(n \ge 2\)일 때 \(a_n = S_n - S_{n-1} = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}\)이다.
[1-ⅱ]의 항 번호 분석을 적용하면, 각 줄의 가장 오른쪽에 오는 수는 다음과 같다.
• \(k=1\): \(a_1 = 2 = 2^1\)
• \(k\)가 짝수(\(k=2m\)): \(\frac{k^2-k+2}{2}\)번째 항이므로 값은 \(2^{\frac{k^2-k+2}{2} - 1} = 2^{\frac{k^2-k}{2}}\)
• \(k\)가 홀수(\(k=2m-1, m \ge 2\)): \(\frac{k(k+1)}{2}\)번째 항이므로 값은 \(2^{\frac{k(k+1)}{2} - 1} = 2^{\frac{k^2+k-2}{2}}\)
따라서 1번째 줄부터 50번째 줄까지의 모든 수들의 곱은 \(2^N\) 형태이며, 지수 \(N\)은 다음과 같다. \[ N = 1 + \sum_{m=1}^{25} \frac{(2m)^2-2m}{2} + \sum_{m=2}^{25} \frac{(2m-1)^2+(2m-1)-2}{2} = 1 + \sum_{m=1}^{25} (4m^2 - 2m - 1) \] \[ = 1 + 4 \times \frac{25 \times 26 \times 51}{6} - 2 \times \frac{25 \times 26}{2} - 25 = 1 + 22100 - 650 - 25 = 21426 \] 따라서 구하는 곱은 \(\mathbf{2^{21426}}\)이다.

(1) \(b > 0\)인 경우: 곡선은 \(y = x^2 - x\)이므로 \(f'(b) = 2b-1\)이다. 점 \((b, b^2-b)\)에서의 접선의 방정식은 \[ y = (2b-1)(x-b) + (b^2-b) = (2b-1)x - b^2 \] 이 접선이 접점을 제외한 다른 곡선 \(y = -x^2 - x\) (\(x \le 0\))와 만나는 점의 \(x\)좌표를 구하기 위해 연립하면 \[ -x^2 - x = (2b-1)x - b^2 \iff x^2 + 2bx - b^2 = 0 \iff x = -b \pm \sqrt{2}b \] \(b > 0\)이고 \(x \le 0\)이어야 하므로 \(x = (-1-\sqrt{2})b\)이다. 따라서 \(g(b) = (-1-\sqrt{2})b\).
(2) \(b < 0\)인 경우: 점 \((b, -b^2-b)\)에서의 접선 \(y = (-2b-1)x + b^2\)과 곡선 \(y = x^2-x\) (\(x > 0\))를 연립하면 \(x^2 + 2bx - b^2 = 0\)에서 \(x = (-1-\sqrt{2})b > 0\)이다.
따라서 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(g(x) = (-1-\sqrt{2})x\)이다.
\(g(x)\)의 역함수 \(h(x)\)는 \(y = (-1-\sqrt{2})x\)에서 \(x = \frac{1}{-1-\sqrt{2}}y = (1-\sqrt{2})y\)이므로 \[ \mathbf{g(x) = (-1-\sqrt{2})x}, \quad \mathbf{h(x) = (1-\sqrt{2})x} \] 이다.

\(b = x_{2m+1} = \alpha^{2m+1}\)이라 두면, \(x_{2m} = \frac{b}{\alpha}\)이다. 직선 \(L_{2m}(x)\)와 곡선 \(y=f(x)\) 사이의 넓이 \(A_{2m}\)은 원점 \(x=0\)을 기준으로 적분 구간을 분할한다. \[ A_{2m} = \int_b^0 ((-2b-1)x+b^2 - (-x^2-x))dx + \int_0^{\frac{b}{\alpha}} ((-2b-1)x+b^2 - (x^2-x))dx \] \[ = \left[ \frac{1}{3}x^3 - bx^2 + b^2 x \right]_b^0 + \left[ -\frac{1}{3}x^3 - bx^2 + b^2 x \right]_0^{\frac{b}{\alpha}} = -\frac{1}{3}b^3 - \left( \frac{1}{3\alpha^3} + \frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{\alpha} \right)b^3 \] \(\alpha = 1-\sqrt{2}\)의 성질 \(\alpha^2 - 2\alpha - 1 = 0\)을 적용하여 정리하면 \[ A_{2m} = -\frac{2}{3\alpha^3}b^3 = -\frac{2}{3\alpha^3}\alpha^{6m+3} = \mathbf{-\frac{2}{3}\alpha^{6m+1}} \] 동일한 방식으로 \(c = x_{2m+2} = \alpha^{2m+2}\)에 대하여 계산하면 \[ A_{2m+1} = \int_0^c (x^2-2cx+c^2)dx + \int_{\frac{c}{\alpha}}^0 (-x^2-2cx+c^2)dx = \mathbf{\frac{2}{3}\alpha^{6m+4}} \] 이다.

[2-ⅲ]의 결과로부터 넓이의 비율을 구하면 \[ \frac{A_{2m+1}}{A_{2m}} = \frac{\frac{2}{3}\alpha^{6m+4}}{-\frac{2}{3}\alpha^{6m+1}} = -\alpha^3 = -(1-\sqrt{2})^3 = \mathbf{(\sqrt{2}-1)^3 = 5\sqrt{2} - 7} \] 이 값은 \(m\)에 무관한 상수이므로, \(m\)에 관계없이 항상 일정하다.

직선 \(L\)의 방정식을 \(y = mx\) (단, \(m > 0\))라 하자. 최고차항의 계수가 \(-1\)인 사차함수 \(f(x)\)와 직선 \(L\)이 \(x=a, x=b\)에서 접하므로, 차분함수 \(g(x) = f(x) - mx\)는 다음과 같이 인수분해된다. \[ g(x) = -(x-a)^2(x-b)^2 \implies f(x) = mx - (x-a)^2(x-b)^2 \] 직선 \(L\)과 평행한 접선이 \(x=c\)에서 접하므로 \(f'(c) = m\)이다. \[ f'(x) = m + g'(x) \implies g'(c) = 0 \] \(g'(x) = -2(x-a)(x-b)^2 - 2(x-a)^2(x-b) = -4(x-a)(x-b)\left(x - \frac{a+b}{2}\right)\)이므로, \(a \lt c \lt b\)를 만족하는 \(g'(c)=0\)의 유일한 실근은 \[ \mathbf{c = \frac{a+b}{2}} \] 이다.

\(c \lt x \lt b\)에서 \(f'(x)\)가 최대가 되는 점에서는 이계도함수가 \(0\)이어야 한다. \(f'(x) = m - 4(x-a)(x-b)(x-c)\)를 한 번 더 미분하면 \[ f''(x) = -4\left( 3x^2 - 3(a+b)x + \frac{a^2+4ab+b^2}{2} \right) = 0 \] 이차방정식의 근의 공식에 의해 \[ x = \frac{3(a+b) \pm \sqrt{9(a+b)^2 - 6(a^2+4ab+b^2)}}{6} = \frac{3(a+b) \pm \sqrt{3}(b-a)}{6} \] \(c = \frac{a+b}{2} \lt d \lt b\)를 만족해야 하므로 양의 부호를 택하면 \[ \mathbf{d = \frac{3(a+b) + \sqrt{3}(b-a)}{6} = \frac{(3-\sqrt{3})a + (3+\sqrt{3})b}{6}} \] 이다.

[1-ⅱ]와 [1-ⅲ]에서 구한 \(d\)와 \(e\)의 차를 구하면 \[ e - d = \left( \frac{3a+b+\sqrt{5}(b-a)}{4} \right) - \left( \frac{3(a+b)+\sqrt{3}(b-a)}{6} \right) \] \[ = \left( \frac{3a+b}{4} - \frac{a+b}{2} \right) + \left( \frac{\sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{6} \right)(b-a) = -\frac{1}{4}(b-a) + \frac{3\sqrt{5}-2\sqrt{3}}{12}(b-a) \] \[ = \frac{3\sqrt{5} - 2\sqrt{3} - 3}{12}(b-a) \] 따라서 구하는 비율은 다음과 같다. \[ \mathbf{\frac{e-d}{b-a} = \frac{3\sqrt{5} - 2\sqrt{3} - 3}{12}} \]

두 곡선을 \(x\)축 방향으로 \(-1\)만큼 평행이동해도 둘러싸인 넓이는 변하지 않는다. 두 함수는 모두 직선 \(x=1\)에 대칭이므로, 평행이동 후의 함수 \[ y = 2(x+1)(x-1)|x| = 2(x^2-1)|x|, \quad y = -|x| + c \] 는 \(y\)축 대칭이다. 따라서 \(x \ge 0\)인 구간에서 접선 조건을 구하자.
\(x \ge 0\)일 때 \(y = 2(x^3-x)\)이므로 도함수는 \(y' = 6x^2 - 2\)이다. 직선 \(y = -x+c\)의 기울기가 \(-1\)이므로 \[ 6x^2 - 2 = -1 \iff x^2 = \frac{1}{6} \iff x = \frac{\sqrt{6}}{6} \] 이 접점에서의 \(y\)좌표는 \(2\left(\frac{\sqrt{6}}{36} - \frac{\sqrt{6}}{6}\right) = -\frac{5\sqrt{6}}{18}\)이다.
직선 \(y = -x+c\)가 점 \((\frac{\sqrt{6}}{6}, -\frac{5\sqrt{6}}{18})\)을 지나야 하므로 \[ c = -\frac{5\sqrt{6}}{18} + \frac{\sqrt{6}}{6} = -\frac{\sqrt{6}}{9} \] 대칭성에 의해 구하는 전체 넓이는 \(x \ge 0\) 영역 넓이의 2배이다. \[ S = 2 \int_0^{\frac{\sqrt{6}}{6}} \left( -x - \frac{\sqrt{6}}{9} - 2(x^3-x) \right) dx = 2 \int_0^{\frac{\sqrt{6}}{6}} \left( -2x^3 + x - \frac{\sqrt{6}}{9} \right) dx \] \[ = 2 \left[ -\frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{\sqrt{6}}{9}x \right]_0^{\frac{\sqrt{6}}{6}} = 2 \left( -\frac{1}{72} + \frac{1}{12} - \frac{1}{9} \right) = 2 \times \left( -\frac{1}{24} \right) = \mathbf{\frac{1}{12}} \] (피적분함수의 상하 부호를 고려한 면적의 절댓값은 \(\frac{1}{12}\)이다.)

곡선 \(y = (x-a)|x-a|\)와 그 역함수 \(y=w(x)\)는 직선 \(y=x\)에 대칭이다. 따라서 \(y=(x-a)|x-a|\) 및 두 직선 \(y=x, y=-x\)로 둘러싸인 넓이를 구한 뒤 2배를 하면 된다.
• \(y=x\)와의 교점 \(t_2\): \((t_2-a)^2 = t_2\)의 양의 근
• \(y=-x\)와의 교점 \(t_1\): \(-(t_1-a)^2 = -t_1 \iff (t_1-a)^2 = t_1\)
근과 계수의 관계 및 정적분을 계산하여 정리하면 \[ S(k) = 2k^2 + 2k + \frac{1}{3} \] 따라서 1부터 12까지의 합은 다음과 같다. \[ \sum_{k=1}^{12} S(k) = 2 \times \frac{12 \times 13 \times 25}{6} + 2 \times \frac{12 \times 13}{2} + \frac{1}{3} \times 12 = 1300 + 156 + 4 = \mathbf{1460} \]

주어진 정적분 등식 \(\int_0^b (x-a)^2 |x-a|dx = \int_0^a (x-b)^2 |x-b|dx\)에서 먼저 \(a=b\)는 자명하게 성립한다.
\(a > 0\)이고 \(b > a\)인 경우, 절댓값 기호를 풀고 적분하면 \[ \int_0^b (x-a)^2 |x-a|dx = \int_0^a -(x-a)^3 dx + \int_a^b (x-a)^3 dx = \frac{1}{4}a^4 + \frac{1}{4}(b-a)^4 \] \[ \int_0^a (x-b)^2 |x-b|dx = \int_0^a -(x-b)^3 dx = \frac{1}{4}b^4 - \frac{1}{4}(a-b)^4 \] 두 식이 같으므로 \(a^4 + (b-a)^4 = b^4 - (a-b)^4 \iff a^4 + 2(b-a)^4 = b^4\)이다.
\(t = \frac{a}{b}\) (단, \(0 \lt t \lt 1\))로 두어 양변을 \(b^4\)으로 나누면 \[ t^4 + 2(1-t)^4 = 1 \iff 3t^4 - 8t^3 + 12t^2 - 8t + 1 = 0 \] 인수분해하면 \((t-1)(3t^3 - 5t^2 + 7t - 1) = 0\)이다.
함수 \(p(t) = 3t^3 - 5t^2 + 7t - 1\)에 대해 \(p'(t) = 9t^2 - 10t + 7 > 0\) (판별식 \(D < 0\))이므로 \(p(t)\)는 강증가함수이다.
\(p(0) = -1 < 0, p(1) = 4 > 0\)이므로 사잇값 정리에 의해 \((0, 1)\)에서 유일한 실근 \(t_0\)을 갖는다. 즉 \(b = \frac{1}{t_0}a\)이다.
대칭성에 의해 \(0 \lt b \lt a\)일 때는 \(b = t_0 a\)이다. (\(b \le 0\)일 때는 좌변 \(\le 0\), 우변 \(> 0\)으로 모순)
따라서 주어진 \(a\)에 대해 가능한 \(b\)의 값은 \(t_0 a\), \(a\), \(\frac{1}{t_0}a\)의 3개이다.
이 세 값의 곱은 다음과 같다. \[ (t_0 a) \times a \times \left(\frac{1}{t_0}a\right) = \mathbf{a^3} \] (\(a < 0\)인 경우도 대칭성에 의해 곱은 \(a^3\)으로 동일하다.)