[5.3 출제 의도]
• 쌍곡선의 정의를 활용하여 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있는지 평가한다.
• 쌍곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있는지 평가한다.
• 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 구할 수 있는지 평가한다.
• 함수가 최솟값을 가질 조건을 구하기 위해 산술평균과 기하평균을 이용한 절대부등식을 활용할 수 있는지 평가한다.
• 삼각함수의 성질을 활용하여 삼각형에서 사인법칙과 코사인법칙을 활용할 수 있는지 평가한다.
• 쌍곡선의 정의를 활용하여 삼각형의 넓이를 함수로 나타낼 수 있는지 평가한다.
• 여러 가지 미분법을 활용하여 도함수를 구할 수 있는지 평가한다.
[5.6 채점 기준]
∎ 문항 【1-1】은 제시문 [가]와 [나]에서 주어진 쌍곡선의 정의를 이용하여, 제시된 조건을 만족시키는 쌍곡선의 방정식을 이끌어 낼 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-2】는 제시문 [다]를 이용하여 쌍곡선 위의 한 점에서 접선의 방정식을 구하고, 접점과 접선이 \(y\)축과 만나는 점의 거리를 식으로 나타낸 후, 거리가 최솟값을 가질 때 조건을 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-3】은 좌표평면 위의 삼각형의 세 각의 크기와 세 변의 길이를 이용하여 삼각함수의 사인법칙, 코사인법칙을 활용하여 \(\cos\alpha\)를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-4】는 제시문 [가]와 [나]에서 주어진 쌍곡선의 정의를 이용하여 삼각형의 넓이를 \(\theta\)에 관한 함수로 나타낸 후, 함수의 도함수를 계산할 수 있는지 평가한다.

【1-1】 세 조건에 의하여 \(\overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{CP}} = 6\) 이고 \(\overline{\mathrm{BP}} + \overline{\mathrm{CP}} = 8\) 이므로 \(\overline{\mathrm{BP}} - \overline{\mathrm{AP}} = 2\) 이다. 따라서 점 \(\mathrm{P}\)는 점 \(\mathrm{A}\)와 점 \(\mathrm{B}\)로부터의 거리의 차가 \(2\)인 쌍곡선 위에 있다. 점 \(\mathrm{A}(5, 0)\)과 점 \(\mathrm{B}(-5, 0)\)은 쌍곡선의 두 초점이고, 거리의 차는 \(2\)이므로 제시문 [나]에 의해 쌍곡선의 방정식은

$$x^2 - \frac{y^2}{24} = 1$$

---

【1-2】 제\(2\)사분면에 있는 쌍곡선 위의 한 점 \(\mathrm{Q}(x_2, y_2)\)에서의 접선의 방정식은

$$x_2 x - \frac{y_2 y}{24} = 1$$

점 \(\mathrm{R}\)의 좌표는 \(\left(0, -\dfrac{24}{y_2}\right)\)이고, \(x_2^2 - \dfrac{y_2^2}{24} = 1\)을 이용하면

$$\overline{\mathrm{QR}}^2 = x_2^2 + \left(y_2 + \frac{24}{y_2}\right)^2 = 49 + \frac{25 y_2^2}{24} + \frac{24^2}{y_2^2}$$

산술평균과 기하평균을 이용하여 절대부등식을 적용하면,

$$\overline{\mathrm{QR}}^2 = 49 + \frac{25 y_2^2}{24} + \frac{24^2}{y_2^2} \ge 49 + 2\sqrt{\frac{25 y_2^2}{24} \times \frac{24^2}{y_2^2}} = 49 + 20\sqrt{6}$$

이고, \(\dfrac{25 y_2^2}{24} = \dfrac{24^2}{y_2^2}\)일 때 \(\overline{\mathrm{QR}}^2\)이 최소이고 \(\overline{\mathrm{QR}}\)도 최소이다. \(\dfrac{25 y_2^2}{24} = \dfrac{24^2}{y_2^2}\)을 풀면,
\(y_2^2 = \dfrac{48\sqrt{6}}{5}\)이고 \(x_2^2 = 1 + \dfrac{y_2^2}{24} = 1 + \dfrac{2\sqrt{6}}{5}\) 이므로, 구하는 \(\overline{\mathrm{OQ}}^2\)의 값은

$$\overline{\mathrm{OQ}}^2 = x_2^2 + y_2^2 = 1 + 10\sqrt{6}$$

---

【1-3】 점 \(\mathrm{C}\)와 점 \(\mathrm{P}\)가 일치하면, 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)는 \(\overline{\mathrm{AB}} = 10, \overline{\mathrm{BC}} = 8, \overline{\mathrm{CA}} = 6\) 이고 \(\angle\mathrm{C} = \dfrac{\pi}{2}\)인 직각삼각형이다. 원점 \(\mathrm{O}\)가 빗변 \(\mathrm{AB}\)의 중점이므로 세 점 \(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\)는 중심이 원점 \(\mathrm{O}\)이고 선분 \(\mathrm{AB}\)가 지름인 원 위에 있다. 직각삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle\mathrm{B} = \theta\) 라 하면 \(\sin\theta = \dfrac{3}{5}\) 이다. 또한 \(\angle\mathrm{DOC} = \alpha\) 이므로 \(\angle\mathrm{BOC} = \dfrac{\pi}{2} + \alpha\) 이다. 선분 \(\mathrm{OC}\)는 원의 반지름이므로 \(\overline{\mathrm{OC}} = 5\) 이다. 삼각형 \(\mathrm{BOC}\)에 사인법칙을 적용하면

$$\frac{\overline{\mathrm{OC}}}{\sin\theta} = \frac{\overline{\mathrm{BC}}}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right)}$$

이므로

$$\cos\alpha = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \overline{\mathrm{BC}} \times \frac{\sin\theta}{\overline{\mathrm{OC}}} = \frac{24}{25}$$

---

【1-4】 쌍곡선의 정의에 의해 \(\overline{\mathrm{AP}} = x\) 라 하면 \(\overline{\mathrm{BP}} = x + 2\) 이다. 삼각형 \(\mathrm{ABP}\)에서 코사인법칙을 적용하면

$$(x + 2)^2 = x^2 + 10^2 - 20x\cos\theta$$

이므로

$$x = \frac{24}{5\cos\theta + 1}$$

따라서, 삼각형 \(\mathrm{BCP}\)의 넓이 \(f(\theta)\)는

$$f(\theta) = (\text{삼각형 }\mathrm{ABC}\text{의 넓이}) - (\text{삼각형 }\mathrm{ABP}\text{의 넓이}) = \frac{1}{2}\times 6\times 10\times \sin\theta - \frac{1}{2}\times 10\times \frac{24}{5\cos\theta + 1}\times \sin\theta = 30\sin\theta - \frac{120\sin\theta}{5\cos\theta + 1}$$

\(f(\theta)\)의 도함수를 구하면,

$$f'(\theta) = 30\cos\theta - 120\frac{\cos\theta + 5}{(5\cos\theta + 1)^2}$$

\(\cos\beta = \dfrac{4}{5}\)이므로

$$f'(\beta) = -\frac{96}{25}$$

[6.3 출제 의도]
고등학교 필수 교육과정에 나오는 삼각함수와 이차함수의 최대·최소 문제 및 함수의 연속성과 미분가능성에 대한 기본적인 내용을 이해하고 있는지 평가한다. 구체적인 출제 의도는 다음과 같다.
• 주어진 삼각함수의 최대·최소 문제를 간단한 치환을 통하여 이차함수의 최대·최소 문제로 바꿀 수 있는지 평가한다. 또한 이차함수의 최대·최소 문제를 해결하기 위하여 제시문의 내용을 올바르게 활용하는지 평가한다.
• 구간에서의 이차함수의 최솟값을 구하기 위하여 꼭짓점의 \(x\)좌표에 따라서 이차함수의 그래프가 어떻게 변하는지 정확하게 이해하고 있는지 평가한다.
• 함수의 연속성과 미분가능성의 개념을 정확하게 이해하고 있는지 평가한다. 이를 위해서 제시문에 주어진 함수의 극한, 연속성 및 미분가능성의 정의를 적절하게 활용할 수 있는지 평가한다.
[6.6 채점 기준]
∎ 문항 【2-1】은 주어진 삼각함수의 최대·최소 문제를 간단한 치환을 통하여 이차함수의 최대·최소 문제로 바꿀 수 있는지를 평가하는 문항이다. 또한 가장 쉬운 경우에 대한 문제를 해결하기 위하여 제시문 [가]의 내용을 올바르게 활용하는지를 평가한다.
∎ 문항 【2-2】에서도 삼각함수의 최대·최소 문제를 치환을 통하여 이차함수의 최대·최소 문제로 바꿀 수 있는지 평가한다. 문항 【2-1】보다는 조금 더 일반적인 상황에서도 제시문 [가]를 활용하여 구간에서의 이차함수의 최솟값을 올바르게 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-3】은 구간에서의 이차함수의 최솟값을 구하기 위하여 꼭짓점의 \(x\)좌표에 따라 이차함수의 그래프가 어떻게 변하는지 정확하게 이해하고 있는지 평가하는 문항이다. 역시 제시문 [가]를 활용하여 꼭짓점의 \(x\)좌표에 따른 구간에서의 이차함수의 최솟값을 올바르게 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-4】는 문항 【2-1】~【2-3】의 결과로 주어지는 함수에 대하여 함수의 연속성과 미분가능성의 개념을 정확하게 이해하고 있는지 평가하는 문항이다. 이를 위해서 제시문 [나]~[라]의 함수의 극한, 연속성 및 미분가능성의 정의를 적절하게 활용할 수 있는지 평가한다.

\(x = \cos\theta\) (\(0 \le \theta \lt 2\pi\)), \(h(x) = \{g(\theta)\}^2\)이라 하면, \(-1 \le x \le 1\)이고

$$h(x) = (4x - 3t)^2 + 4t^2(1 - x^2) = 4(4 - t^2)x^2 - 24tx + 13t^2$$

이므로 구간 \([-1, 1]\)에서 함수 \(h(x)\)의 최솟값의 양의 제곱근이 \(f(t)\)가 된다. 제시문 [가]를 이용하여, 아래 【2-1】, 【2-2】, 【2-3】의 예시답안에서 \(t = 1\), \(0 \lt t \lt 1\), \(t \gt 1\)인 경우에 대하여 \(f(t)\)를 각각 구한다.

【2-1】 \(t = 1\)이라고 하면,

$$h(x) = 12x^2 - 24x + 13 = 12(x - 1)^2 + 1$$

이므로 함수 \(h(x)\)는 꼭짓점의 \(x\)좌표가 \(1\)이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다. 따라서 구간 \([-1, 1]\)에서 함수 \(h(x)\)는 최솟값 \(h(1) = 1\)을 가진다. 그러므로

$$f(1) = \sqrt{1} = 1$$

【2-2】 \(0 \lt t \lt 1\)이라고 하자. 그러면 \(4 - t^2 \gt 0\)이고

$$h(x) = 4(4 - t^2)\left(x - \frac{3t}{4 - t^2}\right)^2 + \frac{t^2(16 - 13t^2)}{4 - t^2}$$

이므로 함수 \(h(x)\)는 꼭짓점의 \(x\)좌표가 \(\dfrac{3t}{4 - t^2}\)이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다. 또한 \(t^2 + 3t - 4 = (t - 1)(t + 4) \lt 0\)이므로 \(0 \lt \dfrac{3t}{4 - t^2} \lt 1\)이다. 따라서 구간 \([-1, 1]\)에서 함수 \(h(x)\)의 최솟값은 \(h\left(\dfrac{3t}{4 - t^2}\right) = \dfrac{t^2(16 - 13t^2)}{4 - t^2}\) 따라서

$$f(t) = \frac{t\sqrt{16 - 13t^2}}{\sqrt{4 - t^2}}$$

【2-3】 \(t \gt 1\)이라고 하자. 이때 \(t^2 + 3t - 4 = (t - 1)(t + 4) \gt 0\)이다.
(i) \(t = 2\)인 경우: \(h(x) = -48x + 52\)이므로 함수 \(h(x)\)는 기울기가 \(-48\)인 일차함수이다. 따라서 구간 \([-1, 1]\)에서의 함수 \(h(x)\)는 최솟값 \(h(1) = 4\)를 가진다. 따라서 \(f(2) = \sqrt{4} = 2\)
(ii) \(1 \lt t \lt 2\)인 경우: \(h(x) = 4(4 - t^2)\left(x - \dfrac{3t}{4 - t^2}\right)^2 + \dfrac{t^2(16 - 13t^2)}{4 - t^2}\) 이므로 함수 \(h(x)\)는 꼭짓점의 \(x\)좌표가 \(\dfrac{3t}{4 - t^2}\)이고 최고차항의 계수가 양인 이차함수이다. \(\dfrac{3t}{4 - t^2} \gt 1\)이므로 구간 \([-1, 1]\)에서 함수 \(h(x)\)의 최솟값은 \(h(1) = (4 - 3t)^2\)이다. 따라서 \(f(t) = \sqrt{(4 - 3t)^2} = |4 - 3t|\)
(iii) \(t \gt 2\)인 경우: 함수 \(h(x)\)는 꼭짓점의 \(x\)좌표가 \(\dfrac{3t}{4 - t^2}\)이고 최고차항의 계수가 음인 이차함수이다. \(\dfrac{3t}{4 - t^2} \lt 0\)이므로 구간 \([-1, 1]\)에서 함수 \(h(x)\)의 최솟값은 \(h(1) = (4 - 3t)^2\)이다. 그러므로 \(f(t) = \sqrt{(4 - 3t)^2} = |4 - 3t|\)
(i), (ii), (iii)을 종합하면, \(t \gt 1\)일 때, \(f(t) = |4 - 3t|\)

【2-4】 문항 【2-1】~【2-3】의 예시답안으로부터 \(f(t) = \begin{cases} \dfrac{t\sqrt{16 - 13t^2}}{\sqrt{4 - t^2}} & (0 \lt t \lt 1) \\[5pt] 4 - 3t & \left(1 \le t \lt \dfrac{4}{3}\right) \end{cases}\)
(i) \(t = 1\)에서의 연속성을 조사하면, \(\lim\limits_{t \to 1-} f(t) = \lim\limits_{t \to 1-} \dfrac{t\sqrt{16 - 13t^2}}{\sqrt{4 - t^2}} = 1, \quad \lim\limits_{t \to 1+} f(t) = \lim\limits_{t \to 1+} (4 - 3t) = 1, \quad f(1) = 1\) 이므로 제시문 [나]와 [다]에 의해, 함수 \(f(t)\)는 \(t = 1\)에서 연속이다.
(ii) 함수 \(f(t)\)의 \(t = 1\)에서의 미분가능성을 조사한다. 우선 \(\lim\limits_{t \to 1+} \dfrac{f(t) - f(1)}{t - 1} = \lim\limits_{t \to 1+} \dfrac{(4 - 3t) - 1}{t - 1} = -3\)
또한, \(0 \lt t \lt 1\)일 때

$$\frac{f(t) - f(1)}{t - 1} = \frac{1}{t - 1}\left(\frac{t\sqrt{16 - 13t^2}}{\sqrt{4 - t^2}} - 1\right) = \frac{t\sqrt{16 - 13t^2} - \sqrt{4 - t^2}}{(t - 1)\sqrt{4 - t^2}} = \frac{t^2(16 - 13t^2) - (4 - t^2)}{(t - 1)\sqrt{4 - t^2}\left(t\sqrt{16 - 13t^2} + \sqrt{4 - t^2}\right)} = \frac{(4 - 13t^2)(t + 1)}{\sqrt{4 - t^2}\left(t\sqrt{16 - 13t^2} + \sqrt{4 - t^2}\right)}$$

이므로 \(\lim\limits_{t \to 1-} \dfrac{f(t) - f(1)}{t - 1} = \lim\limits_{t \to 1-} \dfrac{(4 - 13t^2)(t + 1)}{\sqrt{4 - t^2}\left(t\sqrt{16 - 13t^2} + \sqrt{4 - t^2}\right)} = -3\) 따라서 제시문 [나]와 [라]에 의하여, 함수 \(f(t)\)는 \(t = 1\)에서 미분가능하다.

[7.3 출제 의도]
• 주어진 조건에 맞는 타원을 좌표평면 위에 그릴 수 있는지 평가한다.
• 타원에 대한 기본적인 성질을 이용하고 이를 이용하여 타원 위의 점들과의 거리를 구할 수 있는지 평가한다.
• 수직인 두 직선의 기울기의 곱을 알고 있는지 평가한다.
• 삼각함수의 덧셈정리를 이해하고 이를 적절히 구할 수 있는지 평가한다.
[7.6 채점 기준]
∎ 문항 【1-1】은 제시문 [가]의 타원의 정의로부터 타원 위의 점 \(\mathrm{P}\)에서 두 초점까지의 거리의 합을 구하고 직각삼각형의 피타고라스 정리를 이용하여 두 거리의 곱을 구할 수 있는지 평가한다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터 각 거리를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-2】는 두 직선이 수직일 때 두 직선의 기울기의 곱이 \(-1\)임을 이용하여 점 \(\mathrm{P}\)의 좌표를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-3】은 점 \(\mathrm{Q}\)와 두 초점으로 이루어진 삼각형에 대하여 코사인법칙을 적용하여 점 \(\mathrm{Q}\)에서 두 초점까지의 거리를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【1-4】는 제시문 [나]의 공식을 이용하여 점 \(\mathrm{Q}\)에서 접선의 방정식을 구하고, 이 접선이 \(x\)축과 만나는 점, 초점 \(\mathrm{F}\), 점 \(\mathrm{Q}\)로 이루어진 삼각형에 대하여 제시문 [다]의 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 탄젠트 값을 구할 수 있는지 평가한다.

【1-1】 삼각형 \(\mathrm{F}'\mathrm{PF}\)가 직각 삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 \(l_1^2 + l_2^2 = (2\sqrt{3}b)^2 = 12b^2\)이다. 따라서

$$(l_1 + l_2)^2 - 2l_1 l_2 = l_1^2 + l_2^2 = 12b^2$$

이다. 타원의 정의에 의하여 \(l_1 + l_2 = 4b\)이므로, \((4b)^2 - 2l_1 l_2 = 12b^2\)이고 \(l_1 l_2 = 2b^2\)이다. 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 \(l_1\)과 \(l_2\)는 \(t\)에 관한 이차방정식 \(t^2 - (4b)t + 2b^2 = 0\)의 근이다. 이를 풀면, \(t = 2b \pm \sqrt{2}b\)이고 \(l_1 \gt l_2\)이므로

$$l_1 = (2 + \sqrt{2})b, \qquad l_2 = (2 - \sqrt{2})b$$

---

【1-2】 점 \(\mathrm{P}(x_1, y_1)\)가 타원 \(\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 위에 있으므로

$$\frac{x_1^2}{4b^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \quad \text{--- (a)}$$

\(\angle\mathrm{F}'\mathrm{PF} = 90^\circ\)이므로 두 점 \(\mathrm{F}'\)와 \(\mathrm{P}\)를 지나는 직선의 기울기 \(\dfrac{y_1}{x_1 + \sqrt{3}b}\)과 두 점 \(\mathrm{F}\)와 \(\mathrm{P}\)를 지나는 직선의 기울기 \(\dfrac{y_1}{x_1 - \sqrt{3}b}\)은 \(\dfrac{y_1}{x_1 + \sqrt{3}b} \times \dfrac{y_1}{x_1 - \sqrt{3}b} = -1\)을 만족시킨다. 따라서

$$x_1^2 = 3b^2 - y_1^2 \quad \text{--- (b)}$$

식 (b)를 식 (a)에 대입하면 \(\dfrac{3b^2 - y_1^2}{4b^2} + \dfrac{y_1^2}{b^2} = 1\)이므로 \(3y_1^2 = b^2\)이다. \(y_1 \gt 0\)이므로 \(y_1 = \dfrac{\sqrt{3}}{3}b\)이고 식 (b)에 대입하면 \(x_1^2 = 3b^2 - y_1^2 = 3b^2 - \dfrac{1}{3}b^2 = \dfrac{8}{3}b^2\)이다. \(x_1 \gt 0\)이므로 \(x_1 = \sqrt{\dfrac{8}{3}}b = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}b\) 이다. 따라서

$$(x_1, y_1) = \left(\frac{2\sqrt{6}}{3}b, \; \frac{\sqrt{3}}{3}b\right)$$

---

【1-3】 \(\angle\mathrm{F}'\mathrm{FQ} = 135^\circ\)이다. 삼각형 \(\mathrm{QF}'\mathrm{F}\)에 코사인법칙을 적용하면

$$l_3^2 = l_4^2 + (2\sqrt{3}b)^2 - 2l_4(2\sqrt{3}b)\cos 135^\circ = l_4^2 + 12b^2 + 2\sqrt{6}b l_4$$

\(l_3 + l_4 = 4b\)이므로 \(l_3 = 4b - l_4\)를 위의 식에 대입하면 \((4b - l_4)^2 = l_4^2 + 12b^2 + 2\sqrt{6}b l_4\)이고 좌변을 전개한 후 계산하면 \(l_4 = \dfrac{4}{8 + 2\sqrt{6}}b = \dfrac{4 - \sqrt{6}}{5}b\)이고 \(l_3 = \dfrac{16 + \sqrt{6}}{5}b\)이다.

---

【1-4】 두 점 \(\mathrm{Q}(x_2, y_2)\)와 \(\mathrm{F}(c, 0)\)을 지나는 직선은 기울기가 \(\tan 45^\circ = 1\)이므로 \(y = x - \sqrt{3}b\)이다. 따라서 \(y_2 = x_2 - \sqrt{3}b \text{ --- (c)}\)
또한 \(\mathrm{Q}(x_2, y_2)\)는 타원 \(\dfrac{x^2}{4b^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) 위에 있으므로 \(\dfrac{x_2^2}{4b^2} + \dfrac{y_2^2}{b^2} = 1 \text{ --- (d)}\)을 만족시킨다. 식 (c)를 (d)에 대입하여 정리하면 \(5x_2^2 - 8\sqrt{3}b x_2 + 8b^2 = 0\)이므로 이차방정식의 근의 공식에 의해 \(x_2 = \dfrac{1}{5}(4\sqrt{3} \pm 2\sqrt{2})b\)이다. \(x_2 \gt \sqrt{3}b\)이어야 하므로 \(x_2 = \dfrac{2\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{5}b\)이고 식 (c)에 대입하면 \(y_2 = \dfrac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5}b\)이다. 따라서 \(\mathrm{Q}(x_2, y_2) = \mathrm{Q}\left(\dfrac{2\sqrt{2} + 4\sqrt{3}}{5}b, \dfrac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5}b\right)\)
제시문 [나]에 의하여 점 \(\mathrm{Q}\)에서 접선의 방정식은 \(\dfrac{\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{10b}x + \dfrac{2\sqrt{2} - \sqrt{3}}{5b}y = 1\)
\(y = 0\)일 때 \(x = (2\sqrt{3} - \sqrt{2})b\)이므로 점 \(\mathrm{R}\)의 \(x\)좌표는 \(x_3 = (2\sqrt{3} - \sqrt{2})b\)이다. 점 \(\mathrm{Q}\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 점 \(\mathrm{S}(x_2, 0)\)라 하고 \(\angle\mathrm{QRS} = \alpha\)라고 하면 \(\tan\alpha = \dfrac{y_2}{x_3 - x_2} = \dfrac{2 + \sqrt{6}}{2}\)이다. \(\theta = 135^\circ - \alpha\)이므로 제시문 [다]로부터

$$\tan\theta = \tan(135^\circ - \alpha) = \frac{\tan 135^\circ - \tan\alpha}{1 + \tan 135^\circ \tan\alpha} = \frac{-1 - \tan\alpha}{1 - \tan\alpha} = \frac{3 + 2\sqrt{6}}{3}$$

[8.3 출제 의도]
• 삼각함수의 주기성을 이용하여 정적분을 구할 수 있는지 평가한다.
• 미분계수의 정의를 이용하여 함수의 미분가능성을 조사할 수 있는지, 도함수를 활용하여 함수의 증가 또는 감소를 판단할 수 있는지 평가한다.
• 도함수를 활용하여 방정식의 실근의 개수를 구할 수 있는지 평가한다.
• 합성함수의 미분법 및 삼각함수 미분을 활용하여 함수 \(f(x)\)의 미분계수가 특정한 값이 되는 \(x\)의 값을 구할 수 있는지 평가한다.
[8.6 채점 기준]
∎ 문항 【2-1】은 조건을 만족하는 함수 \(g(x)\)를 구하고 다항함수 및 삼각함수의 적분법 및 삼각함수의 주기성을 이용하여 정적분을 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-2】는 제시문 [다]를 바탕으로 미분계수의 정의로부터 구간에서의 함수의 미분가능성을 조사하고 제시문 [나]를 이용하여 함수 \(g(x)\)가 증가함수임을 보일 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-3】은 도함수를 활용하여 주어진 구간에서 방정식이 오직 하나의 실근을 갖도록 하는 양의 실수 \(k\)의 범위를 구할 수 있는지 평가한다.
∎ 문항 【2-4】는 조건을 만족하는 함수 \(f(x)\)에 대하여 합성함수의 미분법을 활용하여 미분계수 \(f'(a)\)가 \(\dfrac{2}{3}\)가 되는 실수 \(a\)의 값을 구할 수 있는지 평가하는 문항이다. 특히, 함수 \(f(x)\)를 직접 구하지 않고 합성함수 미분법을 이용하여 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)를 구하고 \(f'(a) = \dfrac{2}{3}\)의 값을 갖는 \(a\)의 값을 주어진 범위에서 찾을 수 있는지 평가한다.

【2-3】 \(h(x) = g(x) - kx + \dfrac{\pi}{2}(k - 1)\)이라고 하자. \(h\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = g\left(\dfrac{\pi}{2}\right) - \dfrac{\pi}{2} = 0\)이므로 \(x = \dfrac{\pi}{2}\)는 방정식 \(h(x) = 0\)의 근이다. 따라서 구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)와 \(\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 방정식 \(h(x) = 0\)의 근이 존재하지 않는 양의 실수 \(k\)의 범위를 구하면 된다.

(1) 구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)의 경우: \(0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\)이면 \(h'(x) = 1 - \sin x - k\)이다.
(1-1) \(k \ge 1\)일 때, 구간 \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)에서 \(h'(x) \lt 0\)이므로 함수 \(h(x)\)는 구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 감소한다. 따라서 \(0 \le x \lt \dfrac{\pi}{2}\)일 때, \(h(x) \gt h\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0\)이므로 방정식 \(h(x) = 0\)은 구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)에서 근을 갖지 않는다.
(1-2) \(0 \lt k \lt 1\)일 때, \(h'(\alpha) = 1 - \sin\alpha - k = 0\)이 되는 \(\alpha\)가 구간 \(\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)에 존재하고 구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]\)에서 함수 \(h(x)\)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

\(x\)	\(0\)	\(\cdots\)	\(\alpha\)	\(\cdots\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)
\(h'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(h(x)\)	\(1 + \dfrac{\pi}{2}(k-1)\)	\(\nearrow\)	\(h(\alpha)\)	\(\searrow\)	\(0\)

\(0 \lt k \le 1 - \dfrac{2}{\pi}\)이면 \(h(0) \le 0\)이므로 방정식 \(h(x) = 0\)이 구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)에서 근을 갖는다. \(1 - \dfrac{2}{\pi} \lt k \lt 1\)이면 \(h(0) \gt 0\)이므로 방정식 \(h(x) = 0\)이 구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)에서 근을 갖지 않는다. 따라서 (1-1)과 (1-2)에 의해 \(k \gt 1 - \dfrac{2}{\pi}\)일 때, 방정식 \(h(x) = 0\)은 구간 \(\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right)\)에서 근을 갖지 않는다.

(2) 구간 \(\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]\)의 경우: \(\dfrac{\pi}{2} \lt x \lt \pi\)에서 \(h'(x) = 1 + \sin x - k\)이다.
(2-1) \(0 \lt k \le 1\)일 때, 함수 \(h(x)\)는 구간 \(\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 증가하므로 방정식 \(h(x) = 0\)은 구간 \(\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 근을 갖지 않는다.
(2-2) \(k \ge 2\)일 때, 함수 \(h(x)\)는 구간 \(\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 감소하므로 방정식 \(h(x) = 0\)은 구간 \(\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 근을 갖지 않는다.
(2-3) \(1 \lt k \lt 2\)일 때, \(h'(\beta) = 1 + \sin\beta - k = 0\)이 되는 \(\beta\)가 구간 \(\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\)에 존재하고 구간 \(\left[\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 함수 \(h(x)\)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

\(x\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\cdots\)	\(\beta\)	\(\cdots\)	\(\pi\)
\(h'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(h(x)\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(h(\beta)\)	\(\searrow\)	\(1 + \dfrac{\pi}{2}(1-k)\)

\(1 + \dfrac{2}{\pi} \le k \lt 2\)이면 \(h(\pi) \le 0\)이므로 방정식 \(h(x) = 0\)은 구간 \(\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 근을 갖는다. \(1 \lt k \lt 1 + \dfrac{2}{\pi}\)이면 \(h(\pi) \gt 0\)이므로 방정식 \(h(x) = 0\)은 구간 \(\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 근을 갖지 않는다. 따라서 (2-1), (2-2), (2-3)에 의해 \(0 \lt k \lt 1 + \dfrac{2}{\pi}\) 또는 \(k \ge 2\)일 때, 방정식 \(h(x) = 0\)은 구간 \(\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right]\)에서 근을 갖지 않는다.
경우 (1)과 (2)에 의해 방정식 \(h(x) = 0\)이 구간 \([0, \pi]\)에서 오직 한 개의 근을 갖는 양의 실수 \(k\)의 값의 범위는

$$1 - \frac{2}{\pi} \lt k \lt 1 + \frac{2}{\pi} \quad \text{또는} \quad k \ge 2$$

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【2-4】 \(g(x) = x\)이므로 \(x = f(x) + |\cos f(x)|\)이다. \(\{x - f(x)\}^2 + \sin^2 f(x) = 1\)의 양변을 \(x\)로 미분하면 \(2\{x - f(x)\}\{1 - f'(x)\} + 2f'(x)\sin f(x)\cos f(x) = 0\)이고, \(x - f(x) = |\cos f(x)|\)이므로 \(|\cos f(x)|\{1 - f'(x)\} + f'(x)\sin f(x)\cos f(x) = 0\)이다. 따라서 \(x = a\)와 \(f'(a) = \dfrac{2}{3}\)를 대입하면 \(|\cos f(a)| + 2\sin f(a)\cos f(a) = 0\)이고 만약 \(\cos f(x)\)가 \(0\)이 아니면 \(f'(x) = \dfrac{|\cos f(x)|}{|\cos f(x)| - \sin f(x)\cos f(x)}\)이다.
(1) \(\cos f(a) = 0\)이면 \(f(a) = a - |\cos f(a)| = a\)이므로 \(\cos a = 0\)이 된다. 하지만 \(\dfrac{\pi}{2} \lt a \lt \pi + 1\)에서 \(\cos a = 0\)이 되는 \(a\)는 존재하지 않는다.
(2) \(\cos f(a) \gt 0\)이면 \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{1 - \sin f(a)}\)이므로 \(\sin f(a) = -\dfrac{1}{2}\)이고 \(\cos f(a) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이다. 한편 \(\dfrac{\pi}{2} \lt a \lt \pi + 1\)이고 \(f(a) = a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이므로 \(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \lt f(a) \lt \pi + 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이다. 하지만 이 범위에서 \(\sin f(a) = -\dfrac{1}{2}\)과 \(\cos f(a) \gt 0\)을 모두 만족시키는 \(f(a)\)는 존재하지 않는다.
(3) \(\cos f(a) \lt 0\)일 때, \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{1 + \sin f(a)}\)이므로 \(\sin f(a) = \dfrac{1}{2}\)이고 \(\cos f(a) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이다. 한편 \(\dfrac{\pi}{2} \lt a \lt \pi + 1\)이고 \(f(a) = a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이므로 \(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} \lt f(a) \lt \pi + 1 - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)이다. 따라서 \(f(a) = \dfrac{5\pi}{6}\)이고

$$a = f(a) + |\cos f(a)| = \frac{5\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$