(1) \(f(x) = p\sin x + q\)의 최댓값은 \(|p|+q\), 최솟값은 \(-|p|+q\)이다.
두 값의 차가 20이므로 \((|p|+q) - (-|p|+q) = 2|p| = 20 \rightarrow |p|=10 \rightarrow p = \pm 10\)이다. 곱은 \(-100\)이다.

(2) \(p=10\)일 때, \(f(\pi/6) = 10\sin(\pi/6)+q = 5+q=3 \rightarrow q=-2\)이다.
\(p=-10\)일 때, \(f(\pi/6) = -10\sin(\pi/6)+q = -5+q=3 \rightarrow q=8\)이다.
따라서 모든 가능한 \(q\)의 합은 \(-2+8=6\)이다.

(3) \(f(x)\)의 주기는 \(2\pi\)이다. \(g(x) = |\cos(rx)|\)의 주기는 \(\frac{\pi}{|r|}\)이다.
두 주기가 같으므로 \(2pi = \frac{\pi}{|r|} \rightarrow |r| = \frac{1}{2} \rightarrow r = \pm \frac{1}{2}\)이다.
\(pr\)의 값은 \((\pm 10) \times (\pm 1/2) = \pm 5\)이다. 따라서 최솟값은 \(-5\)이다.

(1) \(\lim_{x\to0} \frac{f(x)}{x} = 6\)에서 분모가 0으로 가므로 분자 \(f(0)=0\)이다. \(f'(0)=6\)이다.
\(g(x)\)가 \(x=0\)에서 연속이어야 하므로, \(\lim_{x\to0} g(x) = g(0) = c\)가 성립한다.
\(\lim_{x\to0} \frac{x(x+2)}{f(x)} = \lim_{x\to0} \frac{x+2}{f(x)/x} = \frac{0+2}{6} = \frac{1}{3}\)이므로 \(c = \frac{1}{3}\)이다.

(2) \(f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + 6x\)로 표현된다. (\(f(0)=0, f'(0)=6\))
\(f(x) = x(x^3 + ax^2 + bx + 6)\) 이며 \(h(x) = x^3+ax^2+bx+6\)이라 하면 \(h(0) \ne 0\)이다.
\(f(x)=0\)인 실근 중 \(x \ne 0\)인 실근을 \(\alpha\)라 하면 \(h(\alpha)=0\)이다.
\(g(x)\)가 \(x=\alpha\)에서도 연속이어야 하므로, \(\lim_{x\to\alpha} g(x) = \lim_{x\to\alpha} \frac{x(x+2)}{x h(x)} = \frac{\alpha+2}{h(\alpha)}\)가 유한한 값으로 수렴해야 한다.
분모가 \(h(\alpha)=0\)이므로 분자인 \(\alpha+2=0 \rightarrow \alpha = -2\)이어야만 수렴한다.
즉 \(h(-2) = -8 + 4a - 2b + 6 = 0 \rightarrow b = 2a-1\)이다.
또한 \(\lim_{x\to-2} g(x) = \lim_{x\to-2} \frac{x+2}{(x+2)(x^2+(a-2)x+3)} = \frac{1}{4 - 2(a-2) + 3} = \frac{1}{11-2a}\) 이고, 이 값이 \(c = 1/3\)이 되어야 하므로 \(11-2a = 3 \rightarrow a=4\)이다.
\(b=2a-1=7\)이므로 \(f(x) = x^4 + 4x^3 + 7x^2 + 6x\)이다.