$$y = 25^x - 3 \times 5^{x+2} + 10 = (5^x)^2 - 75 \times 5^x + 10$$

$5^x = A \ (A > 0)$이라 하자. $x \in [-1, 2]$이므로 $\frac{1}{3} \le A \le 25$이다.

$$y = \left(A - \frac{75}{2}\right)^2 - \frac{5585}{4}$$

이때 $\frac{1}{3} \le A \le 25$에서 이차함수의 대칭축은 $A = \frac{75}{2} = 37.5$이므로 주어진 구간의 양 끝점에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.

$A = \frac{1}{3}$일 때, $x = \alpha = \log_5 \frac{1}{3}$에서 최댓값 $M = \left(\frac{1}{3}\right)^2 - 75\left(\frac{1}{3}\right) + 10 = -\frac{134}{9}$이다.

$A = 25$일 때, $x = \beta = 2$에서 최솟값 $m = (25)^2 - 75(25) + 10 = -1240$이다.

$$f(x) = \sum_{k=1}^{45} \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x+k+45} - \sqrt{x+k}} = \sum_{k=1}^{45} \frac{x\sqrt{x}(\sqrt{x+k+45} + \sqrt{x+k})}{45}$$

$g(x) = ax^2 + bx + c$라 놓으면

$$\lim_{x \to \infty} f(x)g(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + c}{x^2} \sum_{k=1}^{45} \frac{\sqrt{x+k+45} + \sqrt{x+k}}{45\sqrt{x}} \times x^2 = \frac{2025}{2}a$$

이므로 $\frac{2025}{2}a = 2025 \implies a = 2$이다.

또한 $\alpha, \beta$가 방정식 $g(x) = 0$의 서로 다른 두 실근이므로 근과 계수의 관계로부터

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{2} = 25 \implies b = -50, \quad \alpha \beta = \frac{c}{2} = 5 \implies c = 10$$

$$g(x) = 2x^2 - 50x + 10 = 2\left(x - \frac{25}{2}\right)^2 - \frac{605}{2}$$

따라서 최솟값은 $g\left(\frac{25}{2}\right) = -\frac{605}{2}$이다.

다항함수 $f(x)$는 $f(-x) = f(x)$이므로 $y$축 대칭(우함수)이고 $\int_0^1 f(t) dt = a \ (a\text{는 상수})$라 하면 $\int_{-1}^1 f(t) dt = 2a$이다.

따라서 $f(x) = 5x^4 + 2ax^2 - |a|$로 나타내어지며

$$a = \int_0^1 (5t^4 + 2at^2 - |a|) dt = \left[ t^5 + \frac{2}{3}at^3 - |a|t \right]_0^1 = 1 + \frac{2}{3}a - |a|$$

1) $a \ge 0$인 경우: $a = 1 + \frac{2}{3}a - a \implies a = \frac{3}{4}$

$$f(x) = 5x^4 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{4} \implies f(1) = \frac{23}{4}$$

2) $a < 0$인 경우: $a = 1 + \frac{2}{3}a + a \implies a = -\frac{3}{2}$

$$f(x) = 5x^4 - 3x^2 - \frac{3}{2} \implies f(1) = \frac{1}{2}$$

따라서 모든 $f(1)$의 값의 합은 $\frac{23}{4} + \frac{1}{2} = \frac{25}{4}$이다.

$$\sum_{k=1}^{21} \frac{a_{k+1} - a_k}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}} = \sum_{k=1}^{21} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = \sqrt{a_{22}} - \sqrt{a_1} = \sqrt{a_{22}} - 1$$

$50$ 이하의 자연수 $m$에 대하여 $\sqrt{a_{22}} - 1 = m \implies a_{22} = (m+1)^2 = m^2 + 2m + 1$

공차를 $d$라 하면 $a_{22} = 1 + 21d$이므로

$$1 + 21d = m^2 + 2m + 1 \implies d = \frac{m(m+2)}{21}$$

공차 $d = \frac{m(m+2)}{21}$가 자연수인 $m$ ($1 \le m \le 50$)은

$$m = 7, 12, 19, 21, 28, 33, 40, 42, 49 \quad (\text{총 } 9\text{개})$$

따라서 $A = \{3, 8, 19, 23, 40, 55, 80, 88, 119\}$이므로 원소의 개수 $\alpha = 9$, 원소의 합 $\beta = 435$이다.

사각형 $ABCD$가 원에 내접하므로 $\angle DCB = \pi - \frac{2}{3}\pi = \frac{\pi}{3}$이다.

$\Delta BCD$에서 코사인법칙에 의해

$$\overline{BD}^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \times 3 \times 8 \times \cos \frac{\pi}{3} = 49 \implies \overline{BD} = 7$$

$\Delta ABD$에서 코사인법칙에 의해

$$\overline{BD}^2 = \overline{AB}^2 + 3^2 - 2 \times \overline{AB} \times 3 \times \cos \frac{2\pi}{3} = \overline{AB}^2 + 3\overline{AB} + 9 = 49$$

$$(\overline{AB}+8)(\overline{AB}-5) = 0 \implies \overline{AB} = 5$$

$$\square ABCD = \Delta BAD + \Delta BCD = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 \times \sin \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2} \times 3 \times 8 \times \sin \frac{\pi}{3} = \frac{39\sqrt{3}}{4}$$

또한 $\angle ADC = \theta$라 두면

$$\square ABCD = \Delta ABC + \Delta ADC = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin(\pi-\theta) + \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \sin\theta = \frac{49}{2}\sin\theta$$

$$\frac{39\sqrt{3}}{4} = \frac{49}{2}\sin\theta \implies \sin(\angle ADC) = \frac{39\sqrt{3}}{98}$$

$f(x)$는 $x = -1$과 $x = 3$에서 연속이고 미분가능하다.

$$x = -1\text{에서 연속 및 미분가능성: } -a + b = 5, \ a = -4 \implies a = -4, \ b = 1$$

$$x = 3\text{에서 연속 및 미분가능성: } 3c + d = 5, \ 9 + c = 4 \implies c = -5, \ d = 20$$

$$g'(x) = 3ax^2 + 2(b+t)x + c = -12x^2 + 2(t+1)x - 5$$

$g(x)$가 극값을 가지려면 이차방정식 $g'(x) = 0$이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 판별식 $D/4 > 0$이어야 한다.

$$\frac{D}{4} = (t+1)^2 - (-12)(-5) = (t+1)^2 - 60 > 0$$

따라서 $t$의 범위는 $t < -1 - 2\sqrt{15}$ 또는 $t > -1 + 2\sqrt{15}$이다.