[논제 1] \(f'(x) = e^x(x - a)\)이므로, \(f(x)\)는 \(x = a\)에서 극솟값을 갖는다. 따라서
\[ f(x) = \int_{0}^{x} t e^t dt - a\int_{0}^{x} e^t dt = (x - 1 - a)e^x + 1 + a \]
에서 \(f(a) = 1 + a - e^a = g(a)\)이고, 극솟값 \(1 + a - e^a = 3 - e^2\)이므로 \(a = 2\)이다.

[논제 2] \(F'(x) = xe^x\)이고, [논제 1]에 의하여 \(g(x) = 1 + x - e^x\), \(g(2) = 3 - e^2 = m\)이다.
정적분 \(\int_{0}^{m} F'(h(x))dx\)의 값을 구하기 위해서 \(x = g(u)\)로 치환하면, \(h(x) = u\)이고, \(\frac{dx}{du} = g'(u) = 1 - e^u\)이다. 또한 \(x = 0\)일 때 \(u = h(0) = 0\)이고, \(x = m\)일 때 \(u = h(m) = 2\)이므로
\[ \begin{aligned} \int_{0}^{m} F'(h(x))dx &= \int_{0}^{2} F'(u)g'(u)du = \int_{0}^{2} ue^u(1 - e^u)du \\ &= \left[ u\left(e^u - \frac{1}{2}e^{2u}\right) \right]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \left(e^u - \frac{1}{2}e^{2u}\right)du \\ &= 2\left(e^2 - \frac{1}{2}e^4\right) - \left[ e^u - \frac{1}{4}e^{2u} \right]_{0}^{2} = \frac{3}{4} + e^2 - \frac{3}{4}e^4 \end{aligned} \] 이다.

[논제 3] 정삼각형 \(T\)의 높이는 3이고, 무게중심에서 꼭짓점까지의 거리는 2이다. 따라서 정삼각형 \(T\)의 위쪽 꼭짓점의 좌표를 \((x, c(x))\)라 하면, \(c(x) = k(x) + 2\)이다. 정삼각형 \(T\)의 \(x\)축 위쪽에 위치하는 부분의 넓이 \(A(x)\)는 높이가 \(c(x)\)인 정삼각형의 넓이이므로
\[ A(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}c(x)^2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\{k(x) + 2\}^2 \]
이다. 한편 \(A(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}(1 + g(x)) = \frac{\sqrt{3}}{3}(2 + x - e^x)\)이므로
\[ \frac{1}{\sqrt{3}}\{k(x) + 2\}^2 = \frac{1}{\sqrt{3}}(2 + x - e^x) \]
이다. 정삼각형 \(T\)의 위쪽 꼭짓점이 \(x\)축 위에 있으므로 \(c(x) = k(x) + 2 \ge 0\)이다. 따라서
\[ k(x) + 2 = \sqrt{2 + x - e^x} \implies k(x) = -2 + \sqrt{2 + x - e^x} \quad (-1 \le x \le 1) \]
이다. 도함수를 구하면 \(k'(x) = \frac{1 - e^x}{2\sqrt{2 + x - e^x}}\)이므로 \(k'(x) = 0\)에서 \(x = 0\)이다. 구간 \([-1, 1]\)에서 \(x < 0\)일 때 \(k'(x) > 0\), \(x > 0\)일 때 \(k'(x) < 0\)이므로, 함수 \(k(x)\)의 최댓값은 \(x = 0\)에서 \(k(0) = -2 + \sqrt{2 + 0 - 1} = -1\)이다.

[논제 1] \(f(x) = \frac{2x}{1 + x^2}\)의 도함수를 구하면
\[ f'(x) = \frac{2(1 + x^2) - 2x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(1 + x^2)^2} \]
이다. \(f'(x) = 0\)에서 \(x = \pm 1\)이다.
• \(f'(x) > 0\)인 경우: \(1 - x^2 > 0\), 즉 \(-1 \lt x \lt 1\)에서 \(f(x)\)는 증가한다.
• \(f'(x) < 0\)인 경우: \(1 - x^2 < 0\), 즉 \(x < -1\) 또는 \(x > 1\)에서 \(f(x)\)는 감소한다.

따라서 \(f(x)\)는 \(x = -1\)에서 극솟값 \(f(-1) = -1\), \(x = 1\)에서 극댓값 \(f(1) = 1\)을 갖는다.

\(b \lt a \lt c\)인 어떤 음수 \(b\)와 어떤 양수 \(c\)에 대하여 닫힌구간 \([b, c]\)에서 \(f(x)\)가 일대일함수가 되기 위해서는, 구간 \([b, c]\) 전체에서 함수가 순단조(증가)해야 하므로 \([b, c] \subseteq [-1, 1]\)이어야 한다.
즉, \(b \ge -1\)이고 \(c \le 1\)이다. \(b \lt a \lt c\)이고 \(b < 0 < c\)인 \(b, c\)가 존재하기 위한 \(a\)의 조건은 \(-1 \lt a \lt 1\)이다.
따라서 구하는 실수 \(a\)의 값의 범위는 \(-1 \lt a \lt 1\)이다.

[논제 2] (ⅰ) \(A(x)\) 구하기
실수 \(x\)의 구간을 \(x < 0\), \(0 \le x < 1\), \(x \ge 1\)인 경우로 나누어 각각의 경우에서 조건을 만족시키는 \(A(x)\)를 구한다.
• (경우 1) \(x < 0\): \(0 \le t \le 1\)에서 \(0 \le f(t) \le 1\)이므로 \(|f(t) - x| = f(t) - x\)이다. 따라서
\[ A(x) = \int_{0}^{1} (f(t) - x) dt = \left[ \ln(1 + t^2) - xt \right]_{0}^{1} = \ln 2 - x \]
• (경우 2) \(0 \le x < 1\): 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 \(f(t)\)는 일대일함수이므로 역함수 \(g(t)\)가 존재한다. 따라서
\[ \begin{aligned} A(x) &= \int_{0}^{g(x)} (x - f(t)) dt + \int_{g(x)}^{1} (f(t) - x) dt \\ &= \left[ xt - \ln(1 + t^2) \right]_{0}^{g(x)} + \left[ \ln(1 + t^2) - xt \right]_{g(x)}^{1} \\ &= \ln 2 - 2\ln(1 + [g(x)]^2) - x + 2xg(x) \end{aligned} \] • (경우 3) \(x \ge 1\): \(0 \le t \le 1\)에서 \(0 \le f(t) \le 1\)이므로 \(|f(t) - x| = x - f(t)\)이다. 따라서
\[ A(x) = \int_{0}^{1} (x - f(t)) dt = \left[ xt - \ln(1 + t^2) \right]_{0}^{1} = x - \ln 2 \]

[논제 2 (계속)] (ⅱ) \(c\) 및 \(k\) 구하기
• \(x < 0\)일 때 \(A'(x) = -1 < 0\)이므로 \(A(x)\)는 감소한다.
• \(x > 1\)일 때 \(A'(x) = 1 > 0\)이므로 \(A(x)\)는 증가한다.
• \(0 \le x < 1\)일 때 라이프니츠 적분 법칙 또는 미분법에 의해
\[ A'(x) = 2g(x) - 1 \]
이다. \(A'(x) = 0 \iff g(x) = \frac{1}{2} \iff x = f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2(1/2)}{1 + (1/2)^2} = \frac{4}{5}\)이다.
\(0 \le x < \frac{4}{5}\)에서 \(g(x) < \frac{1}{2}\)이므로 \(A'(x) < 0\) (감소), \(\frac{4}{5} \lt x \lt 1\)에서 \(g(x) > \frac{1}{2}\)이므로 \(A'(x) > 0\) (증가).
따라서 함수 \(A(x)\)는 \(x = \frac{4}{5}\)에서 극솟값을 가지며, 구하는 상수 \(c = \frac{4}{5}\)이다.

조건 \(A(k) = \ln 2\)를 만족시키는 양수 \(k\)의 값을 구하자.
\(A(0) = \ln 2\)이고, \(0 \le x < 1\)에서 \(A(x) < \ln 2\)이므로 양수 해는 \(k \ge 1\)인 구간에서 존재한다.
\(k \ge 1\)일 때 \(A(k) = k - \ln 2 = \ln 2 \implies k = 2\ln 2\)이다.

[논제 1] \(g'(x) = f(x)\)이고 \(g(x)\)는 \(x = -2, 0, 2\)에서 극값을 가지므로
\[ f(x) = ax(x - 2)(x + 2) = a(x^3 - 4x) \quad (a > 0) \]
이다. \(\int_{0}^{2} f(t)dt = \int_{0}^{1} f(t)dt + \int_{1}^{2} f(t)dt = -g(0) + g(2)\)이고, 제시된 조건 \(\int_{0}^{2} f(t)dt = -2 - g(0)\)과 비교하면 \(g(2) = -2\)이다.
함수 \(f(t)\)는 기함수이므로
\[ g(-2) = \int_{1}^{-2} f(t)dt = \int_{1}^{0} f(t)dt + \int_{0}^{-2} f(t)dt = -g(0) - \int_{0}^{2} f(t)dt = -g(0) - (-2 - g(0)) = 2 \]
이다.

[논제 2] \(f(1) = -3a\), \(f'(x) = a(3x^2 - 4)\)에서 \(f'(1) = -a\)이다. 점 \(A(1, -3a)\)에서의 접선 \(l\)의 기울기는 \(-a\)이므로, 이에 수직인 직선 \(m\)의 기울기는 \(\frac{1}{a}\)이다.
직선 \(m\)의 방정식은 \(y = \frac{1}{a}(x - 1) - 3a\)이고, \(x\)절편이 13이므로
\[ 0 = \frac{1}{a}(13 - 1) - 3a \implies 3a = \frac{12}{a} \implies a^2 = 4 \implies a = 2 \quad (\because a > 0) \]

[논제 3] 곡선 \(y = f(x)\) 위의 각 점에서 접선을 그어서 \(x\)절편을 살펴보면, 곡선 \(y = f(x)\)의 변곡점이 \(x\)축 위에 있으므로, 주어진 조건 (2)를 만족시키는 점 \(P\)는 오로지 \(P(2, 0)\)뿐이고 이 경우 두 접선 중 하나는 점 \(P\)에서 곡선 \(y = f(x)\)에 접한다.
곡선 \(y = f(x)\)와 점 \(P\)에서 접하는 직선을 \(l'\)이라 하고, 점 \(P\)를 지나고 곡선 \(y = f(x)\)와 점 \(P\)가 아닌 점 \(B(b, f(b))\)에서 접하는 직선을 \(m'\)이라 하자. 직선 \(m'\)의 방정식은
\[ y = f'(b)(x - b) + f(b) = (3ab^2 - 4a)(x - b) + ab^3 - 4ab \]
이고, 직선 \(m'\)은 점 \(P(2, 0)\)을 지나므로
\[ 6ab^2 - 2ab^3 - 8a = 0 \implies -2a(b + 1)(b - 2)^2 = 0 \]
이다. \((b + 1)(b - 2)^2 = 0\)에서 \(b = -1\), \(b = 2\). \(b \ne 2\)이므로 \(b = -1\). 즉, 점 \(B(-1, f(-1))\)에서 직선 \(m'\)과 곡선 \(y = f(x)\)는 접한다. 두 접선 \(l', m'\)은 서로 수직이므로
\[ -1 = f'(-1)f'(2) = (3a - 4a)(12a - 4a) = (-a)(8a) = -8a^2 \]
이고 \(a\)가 양수이므로 \(a = \frac{\sqrt{2}}{4}\)이다.

[논제 1] 치환적분법에 의하여
\[ \begin{aligned} 1 &= \int_{0}^{a} \frac{2\cos x + \sin x \cos x}{2\sin x + 1} dx = \int_{0}^{a} \frac{(2 + \sin x)^2}{2\sin x + 1} \times \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx \\ &= -\int_{0}^{a} \frac{f'(x)}{f(x)} dx = [-\ln|f(x)|]_{0}^{a} = \ln\frac{|f(0)|}{|f(a)|} \end{aligned} \] 이다. (\(f(0) = \frac{1}{2}\)) 따라서
\[ \ln\frac{1}{2f(a)} = 1 \implies \frac{1}{2f(a)} = e \implies f(a) = \frac{1}{2e} \]
이다.

[별해 1]
\[ 1 = \int_{0}^{a} \frac{2\cos x + \sin x \cos x}{\sin x(2 + \sin x) + 1 - \sin^2 x} dx = \int_{0}^{a} \tan x dx + \int_{0}^{a} \frac{\cos x}{2 + \sin x} dx = \ln\frac{1}{2f(a)} \]
[별해 2] \(1 = \int_{0}^{a} \frac{(2\sin x + 1)\cos x}{\cos^2 x(2 + \sin x)} dx\)에서 \(\sin x = t\)로 치환하면 \(\ln\frac{1}{2f(a)} = 1\)이다.

[논제 2] 구간 \(\left[\frac{\pi}{2}, 2\pi\right]\)에서 \(y = f(x)\)의 그래프의 개형을 구하자.
\[ f'(x) = \frac{-\sin x(2 + \sin x) - \cos^2 x}{(2 + \sin x)^2} = -\frac{2\sin x + 1}{(2 + \sin x)^2} = 0 \]
으로부터 \(x = \frac{7\pi}{6}\)일 때 극솟값 \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)을 갖고, \(x = \frac{11\pi}{6}\)일 때 극댓값 \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)을 갖는다. 또한
• \(f'(x) > 0\)인 경우: \(2\sin x + 1 < 0\), 즉 \(\frac{7\pi}{6} \lt x \lt \frac{11\pi}{6}\)에서 \(f(x)\)는 증가
• \(f'(x) < 0\)인 경우: \(2\sin x + 1 > 0\), 즉 \(\frac{\pi}{2} \le x < \frac{7\pi}{6}\) 또는 \(\frac{11\pi}{6} < x \le 2\pi\)에서 \(f(x)\)는 감소한다. 이를 이용하여 \(y = f(x)\)의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

[논제 2 (계속)]
\(|3f(x) - k| = 1\)은 \(f(x) = \frac{k-1}{3}\), \(f(x) = \frac{k+1}{3}\)이므로 곡선 \(y = |3f(x) - k|\)와 직선 \(y = 1\)의 교점의 개수가 2인 경우는 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = \frac{k-1}{3}\)의 교점과 곡선 \(y = f(x)\)와 직선 \(y = \frac{k+1}{3}\)의 교점의 합이 2인 경우와 같다.
두 직선 \(y = \frac{k-1}{3}\)와 \(y = \frac{k+1}{3}\)의 거리 \(d\)가 \(\frac{2}{3}\)이고 \(d = \frac{2}{3} > \frac{\sqrt{3}}{3}\), \(d = \frac{2}{3} > \frac{1}{2}\)임에 주목하여 두 직선 \(y = \frac{k-1}{3}\)와 \(y = \frac{k+1}{3}\)을 동시에 움직이면서 교점의 개수의 합이 2인 경우를 살펴보면 구하는 \(k\)의 값의 범위는
(ⅰ) \(-\frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{k+1}{3} \le 0\)인 경우: \(-1 - \sqrt{3} < k \le -1\)
(ⅱ) \(\frac{k-1}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)인 경우: \(k = 1 - \sqrt{3}\)
(ⅲ) \(\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{2}{3} < \frac{k-1}{3} \le 0\)인 경우: \(-1 + \sqrt{3} < k \le 1\)
(ⅳ) \(\frac{1}{2} \le \frac{k-1}{3} < \frac{\sqrt{3}}{3}\)인 경우: \(\frac{5}{2} \le k < 1 + \sqrt{3}\)
이다. 요약하면
\[ -1 - \sqrt{3} < k \le -1, \quad k = 1 - \sqrt{3}, \quad -1 + \sqrt{3} < k \le 1, \quad \frac{5}{2} \le k < 1 + \sqrt{3} \]

[논제 1] 열린구간 \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)에서 곡선 \(y = f(x)\)와 \(x\)축의 교점의 \(x\)좌표는 \(x = \pm \frac{\pi}{4}\)이다.
함수 \(f(x)\)는 우함수(\(f(-x) = f(x)\))이므로, 구하는 넓이 \(S\)는 대칭성에 의해
\[ S = 2\int_{0}^{\pi/4} (1 - \tan x) dx = 2\left[ x + \ln|\cos x| \right]_{0}^{\pi/4} = 2\left( \frac{\pi}{4} + \ln\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\pi}{2} - \ln 2 \]
이다.

[논제 2] \(g(x) = f(x)p(x)\)가 \(x = \pm\frac{\pi}{4}\)에서 미분가능하려면 \(p\left(\pm\frac{\pi}{4}\right) = 0\)이어야 한다.
또한 \(h(x) = |\tan x + p(x)|\)가 \(x = 0\)에서 미분가능하려면 \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x + p(x)}{x} = 0\)이어야 하므로 \(p(0) = 0\)이고 \(p'(0) = -1\)이다.
삼차함수 \(p(x) = cx\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = cx\left(x^2 - \frac{\pi^2}{16}\right)\)에서
\[ p'(0) = -c\frac{\pi^2}{16} = -1 \implies c = \frac{16}{\pi^2} \]
따라서 삼차함수는 \(p(x) = \frac{16}{\pi^2}x^3 - x\)이다.

[논제 1] \(f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\)의 도함수를 구하면
\[ f'(x) = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2} > 0 \]
이므로 함수 \(f(x)\)는 모든 실수에서 단조증가한다.
또한 \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1\), \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 1\)이므로 점근선은 \(y = \pm 1\)이다. 따라서 실수 \(t\)에 대하여 직선 \(y = t\)와 곡선 \(y = f(x)\)의 교점의 개수 함수 \(g(t)\)는
\[ g(t) = \begin{cases} 1 & (-1 \lt t \lt 1) \\ 0 & (t \le -1 \text{ 또는 } t \ge 1) \end{cases} \]
이다.

[논제 2] \(u = e^x + e^{-x}\)라 하면 \(du = (e^x - e^{-x})dx\)이다. \(x = 0\)일 때 \(u = 2\), \(x = 1\)일 때 \(u = e + e^{-1}\)이므로
\[ \int_{0}^{1} \frac{e^x - e^{-x}}{(e^x + e^{-x})^2} dx = \int_{2}^{e+e^{-1}} \frac{1}{u^2} du = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{2}^{e+e^{-1}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{e + e^{-1}} = \frac{e - 1}{2(e + 1)} \]

[논제 1] 조건 \((f(x) - 3)(f(x) + 3)(2f(x) - x^3 + a^2 x) = 0\)에서 연속함수 \(f(x)\)의 최댓값이 3, 최솟값이 -3이 되기 위해 삼차함수 \(y = \frac{1}{2}(x^3 - a^2 x)\)의 극댓값이 3 이상, 극솟값이 -3 이하이어야 한다.
도함수 \(y' = \frac{1}{2}(3x^2 - a^2) = 0\)에서 극값은 \(x = \pm \frac{a}{\sqrt{3}}\)에서 발생한다.
극댓값은 \(y\left(-\frac{a}{\sqrt{3}}\right) = \frac{a^3}{3\sqrt{3}}\)이다.
최댓값이 3 이상이어야 하므로 \(\frac{a^3}{3\sqrt{3}} \ge 3 \implies a^3 \ge 27 \implies a \ge 3\)이다. 따라서 양수 \(a\)의 최솟값은 3이다.

[논제 2] \(a = 3\)일 때 \(f(x) = \begin{cases} 3 & (x \ge 3) \\ \frac{1}{2}(x^3 - 9x) & (-3 \le x \le 3) \\ -3 & (x \le -3) \end{cases}\)이다.
함수 \(f(x)\)는 기함수(\(f(-x) = -f(x)\))이므로 대칭성에 의하여 정적분 값은 \(\int_{-3}^{3} f(x)dx = 0\)이다.

[논제 1] \(k(x) = f(g(x))\)에서 연쇄법칙에 의하여
\[ k'(x) = f'(g(x))g'(x) = 2\cos(2x)f'(\sin 2x) \]
이다. 구간 \([0, \pi]\)에서 \(k'(x) = 0\)인 점들을 분석하여 극대와 극소를 판정하면 극댓값은 2, 극솟값은 -1이다.

[논제 2] 정적분 \(\int_{0}^{pi} |k'(x)| dx\)는 함수의 총 변동량을 나타내므로 각 증가/감소 구간별 함숫값의 차의 합으로 계산하면
\[ \int_{0}^{\pi} |k'(x)| dx = 4 + 2 = 6 \]

[논제 1] 자연수 \(n\)에 대하여 함수 \(f(x) = nx^2 e^{-x}\)의 도함수는 곱의 미분법에 의하여
\[ f'(x) = 2nxe^{-x} - nx^2 e^{-x} = nx(2 - x)e^{-x} \]
\(f'(x) = 0\)에서 \(x = 0\) 또는 \(x = 2\)이다.
\(x = 0\)에서 극솟값 \(f(0) = 0\), \(x = 2\)에서 극댓값 \(f(2) = 4ne^{-2}\)을 갖는다.
방정식 \(f(x) = k\)의 서로 다른 실근의 개수가 2개가 되도록 하는 양수 \(k\)의 값은 극댓값이므로 \(k = \frac{4n}{e^2}\)이다.

[논제 2] 부분적분법을 2회 적용하여 정적분을 계산하면
\[ \int_{0}^{2} nx^2 e^{-x} dx = n(2 - 10e^{-2}) \]
이 값이 자연수가 되도록 하는 최소의 자연수 \(n\)의 조건을 구하면 된다.

[논제 1] 함수 \(h(x) = e^x - |x^2 - ex|\)에서 절댓값 안의 식 \(x^2 - ex = x(x - e)\)의 부호에 따라 구간을 나눈다.
(i) \(x \le 0\) 또는 \(x \ge e\)일 때: \(h(x) = e^x - x^2 + ex\)
(ii) \(0 \lt x \lt e\)일 때: \(h(x) = e^x + x^2 - ex\)
각 구간의 도함수를 구하여 그래프 개형을 그리면 \(x = 0\)에서 극솟값 \(h(0) = 1\), \(x = e\)에서 극솟값 \(h(e) = e^e\)를 갖는다.

[논제 2] 직선 \(y = k\)와의 교점의 개수는 \(k\)의 값의 범위에 따라 최대 4개의 실근을 가질 수 있다.