$\sum_{k=m}^{10} k^2 = \sum_{k=1}^{10} k^2 - \sum_{k=1}^{m-1} k^2$이므로 주어진 식을 $m$에 대한 시그마로 나타내면 $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{10} k^2 + \sum_{k=2}^{10} k^2 + \dots + \sum_{k=9}^{10} k^2 &= \sum_{m=1}^9 \left(\sum_{k=m}^{10} k^2\right) = \sum_{m=1}^9 \left(\sum_{k=1}^{10} k^2 - \sum_{k=1}^{m-1} k^2\right) \\ &= \sum_{m=1}^9 \left\{ \frac{10 \times 11 \times 21}{6} - \frac{(m-1)m(2m-1)}{6} \right\} \\ &= \sum_{m=1}^9 \left\{ 385 - \frac{2m^3 - 3m^2 + m}{6} \right\} \\ &= 385 \times 9 - \frac{1}{6} \left\{ 2 \sum_{m=1}^9 m^3 - 3 \sum_{m=1}^9 m^2 + \sum_{m=1}^9 m \right\} \end{aligned}$$ 제시문 1의 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 적용하면 $$\begin{aligned} &2 \times \left(\frac{9 \times 10}{2}\right)^2 - 3 \times \frac{9 \times 10 \times 19}{6} + \frac{9 \times 10}{2} \\ &= 2 \times 2025 - 855 + 45 = 4050 - 855 + 45 = 3240 \end{aligned}$$ 따라서 구하는 식의 값은 $3465 - \frac{3240}{6} = 3465 - 540 = 2925$이다.

각 $k^2$ 항의 개수를 세어 정리하면 다음과 같다.
$1^2$은 $1$개, $2^2$은 $2$개, $3^2$은 $3$개, $\dots$, $9^2$은 $9$개, $10^2$은 $9$개 등장한다.
$$\begin{aligned} \text{주어진 식} &= 1 \times 1^2 + 2 \times 2^2 + 3 \times 3^2 + \dots + 9 \times 9^2 + 9 \times 10^2 \\ &= 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 9^3 + 9 \times 100 = \sum_{k=1}^9 k^3 + 900 \\ &= \left(\frac{9 \times 10}{2}\right)^2 + 900 = 45^2 + 900 = 2025 + 900 = 2925 \end{aligned}$$

(1) $y = f(x) = x^2 + 2(k+1)x + k + 3$을 실수 $k$에 대하여 정리하면 $$(2x+1)k + (x^2 + 2x + 3 - y) = 0$$ 이 식이 $k$값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 $$2x+1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}, \quad x^2 + 2x + 3 - y = 0 \implies y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = \frac{9}{4}$$ 따라서 항상 지나는 점의 좌표는 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$이다.

(2) 두 점 $\mathrm{A}(-1, 1), \mathrm{B}(3, 5)$를 지나는 직선의 방정식은 $y = x+2$이다.
$g(x) = x+2$, $h(x) = f(x) - g(x)$라 하면 $h(x) = x^2 + (2k+1)x + k + 1$이다.
$f(x)$의 그래프가 선분 $\mathrm{AB}$와 서로 다른 두 점에서 만나려면 $h(x)=0$이 닫힌구간 $[-1, 3]$에서 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 다음 네 조건을 동시에 만족해야 한다.
(ⅰ) $h(-1) \ge 0 \implies (-1)^2 + (2k+1)(-1) + k + 1 = -k + 1 \ge 0 \implies k \le 1$
(ⅱ) $h(3) \ge 0 \implies 3^2 + (2k+1)(3) + k + 1 = 7k + 13 \ge 0 \implies k \ge -\frac{13}{7}$
(ⅲ) 판별식 $D > 0 \implies D = (2k+1)^2 - 4(k+1) = 4k^2 - 3 > 0 \implies k > \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ 또는 } k < -\frac{\sqrt{3}}{2}$
(ⅳ) $h(x)$의 대칭축 $x = -\frac{2k+1}{2}$이 $-1 < -\frac{2k+1}{2} < 3$이어야 하므로 $-\frac{7}{2} < k < \frac{1}{2}$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)의 공통 범위를 구하면 $-\frac{13}{7} \le k < -\frac{\sqrt{3}}{2}$이다.

직선 $l$ 위의 5개 점과 직선 $m$ 위의 7개 점에서 서로 다른 세 개의 선분이 교차하지 않도록 그리는 경우는 다음과 같이 6가지로 분류된다.
(ⅰ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 3개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 3개를 선택하는 경우: $${}_5\mathrm{C}_3 \times {}_7\mathrm{C}_3 = 10 \times 35 = 350$$ (ⅱ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 3개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 2개를 선택하는 경우: $${}_5\mathrm{C}_3 \times {}_7\mathrm{C}_2 \times 2 = 10 \times 21 \times 2 = 420$$ (ⅲ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 3개, 직선 $m$ 위에서 점 1개를 선택하는 경우: $${}_5\mathrm{C}_3 \times {}_7\mathrm{C}_1 = 10 \times 7 = 70$$ (ⅳ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 2개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 3개를 선택하는 경우: $${}_5\mathrm{C}_2 \times {}_7\mathrm{C}_3 \times 2 = 10 \times 35 \times 2 = 700$$ (ⅴ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 2개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 2개를 선택하는 경우: $${}_5\mathrm{C}_2 \times {}_7\mathrm{C}_2 \times 2 = 10 \times 21 \times 2 = 420$$ (ⅵ) 직선 $l$ 위에서 점 1개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 3개를 선택하는 경우: $${}_5\mathrm{C}_1 \times {}_7\mathrm{C}_3 = 5 \times 35 = 175$$ 따라서 구하는 전체 경우의 수는 $350 + 420 + 70 + 700 + 420 + 175 = 2135$이다.

선분이 교차하지 않는 모든 경우의 수는 ${}_5\mathrm{H}_3 \times {}_7\mathrm{H}_3 = {}_7\mathrm{C}_3 \times {}_9\mathrm{C}_3 = 35 \times 84 = 2940$이다.
이 중 서로 다른 선분의 수가 3개가 아닌 경우를 제외한다.
- 서로 다른 선분이 2개인 경우: $420 + 140 + 210 = 770$
- 서로 다른 선분이 1개인 경우: ${}_5\mathrm{C}_1 \times {}_7\mathrm{C}_1 = 35$
따라서 $2940 - (770 + 35) = 2940 - 805 = 2135$이다.

모집단이 정규분포 $\mathrm{N}(150, 5^2)$을 따르고 표본의 크기가 $n=100$이므로,
제시문 3에 의해 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $\mathrm{N}\left(150, \frac{5^2}{100}\right)$, 즉 $\mathrm{N}\left(150, \left(\frac{1}{2}\right)^2\right)$을 따른다.
$\overline{X}$를 표준화한 확률변수 $Z = \frac{\overline{X} - 150}{1/2} = 2(\overline{X} - 150)$은 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1^2)$을 따른다.

$\mathrm{P}(\overline{X} \ge 300 - 5k) \le 0.98$에서 $$\begin{aligned} \mathrm{P}(\overline{X} \ge 300 - 5k) &= \mathrm{P}(Z \ge 2(300 - 5k - 150)) = \mathrm{P}(Z \ge 300 - 10k) \\ &= \mathrm{P}(300 - 10k \le Z \le 0) + \mathrm{P}(Z \ge 0) \\ &= \mathrm{P}(300 - 10k \le Z \le 0) + 0.5 \le 0.98 \end{aligned}$$ 따라서 $\mathrm{P}(300 - 10k \le Z \le 0) \le 0.48 \quad \cdots\cdots\text{①}$이다.

이때 $\mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 2.05) = 0.96$이므로 $$\mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 2.05) = 2 \times \mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 0) = 0.96 \implies \mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 0) = 0.48 \quad \cdots\cdots\text{②}$$ ①과 ②로부터 $$300 - 10k \ge -2.05 \iff 10k \le 302.05 \iff k \le 30.205$$ 따라서 부등식을 만족시키는 자연수 $k$의 최댓값은 $30$이다.

(1) 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터 $a_n$과 $b_n\sqrt{3}$은 다음 이차방정식의 두 근이다. $$x^2 - (2+\sqrt{3})^n x + \frac{1}{4}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\} = 0$$ 이 식을 인수분해하면 $$\left[x - \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}\right]\left[x - \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\}\right] = 0$$ $a_1 = 2$이므로 $a_n = \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}$, $b_n\sqrt{3} = \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\}$이다.
따라서 $$a_n = \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}, \quad b_n = \frac{1}{2\sqrt{3}}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\}$$ (2) (1)에서 $a_n - b_n\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^n$이므로 $$a_n^2 - 3b_n^2 = (a_n + b_n\sqrt{3})(a_n - b_n\sqrt{3}) = (2+\sqrt{3})^n (2-\sqrt{3})^n = 1^n = 1$$ $\left|\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right| < 1$이므로 $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^n = 0$이다. 따라서 $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{b_n(a_n^2 - 3b_n^2)}{a_n} &= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\} \times 1}{\frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^n}{1 + \left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^n} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned}$$

주어진 등식 $f(x) + \int_0^x f(t)\,dt = x - \cos x + \frac{3}{2} \quad \cdots\cdots\text{①}$의 양변을 미분하면 제시문 1에 의해 $$f'(x) + f(x) = 1 + \sin x$$ 이 식의 양변에 $e^x$를 곱하면 $$e^x\{f'(x) + f(x)\} = e^x(1 + \sin x) \iff \{e^x f(x)\}' = e^x + e^x\sin x \quad \cdots\cdots\text{②}$$ 식 ②의 양변을 적분하면 $$e^x f(x) = \int (e^x + e^x\sin x)\,dx = e^x + \int e^x\sin x\,dx \quad \cdots\cdots\text{③}$$ 제시문 2의 부분적분법에 의하여 $$\int e^x\sin x\,dx = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx = e^x\sin x - \left(e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx\right)$$ 이므로 $\int e^x\sin x\,dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$이다.
③에 대입하면 $e^x f(x) = e^x + \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C \quad \cdots\cdots\text{④}$이다.

식 ①의 양변에 $x=0$을 대입하면 $f(0) + 0 = 0 - 1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$이므로 ④에 $x=0$을 대입하면 $$1 \cdot f(0) = 1 + \frac{1}{2}(0 - 1) + C \implies \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} + C \implies C = 0$$ $e^x > 0$이므로 양변을 $e^x$로 나누면 $$f(x) = 1 + \frac{1}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x$$ 방정식 $f(x) - 1 = 0$으로부터 $\frac{1}{2}(\sin x - \cos x) = 0 \iff \sin x = \cos x$이다.
$0 \le x < 2\pi$에서 방정식의 근은 $x = \frac{\pi}{4}, \; \frac{5\pi}{4}$이다.

(1) 합성함수의 미분법에 의해 $\frac{d}{dx}\{f(x)\}^2 = 2f(x)f'(x)$이므로 $$\int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt = \int_0^x \frac{d}{dt}\{f(t)\}^2\,dt = \left[\{f(t)\}^2\right]_0^x = \{f(x)\}^2 - \{f(0)\}^2$$ 조건 (가)에서 $f(0)=1$이므로 $$\int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt = \{f(x)\}^2 - 1$$ 이 성립한다.

(2) (1)에서 $\{f(x)\}^2 = \int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt + 1$이다.
조건 (다) $\{f(x)\}^2 \le \int_0^x \{f(t)\}^2\,dt + 1$에 대입하면 $$\int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt \le \int_0^x \{f(t)\}^2\,dt \quad \cdots\cdots\text{①}$$ 또한 조건 (나) $f(x) \le 2f'(x)$의 양변에 $f(x) > 0$을 곱하면 $\{f(x)\}^2 \le 2f(x)f'(x)$이다.
제시문 3에 의해 양변을 적분하면 $$\int_0^x \{f(t)\}^2\,dt \le \int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt \quad \cdots\cdots\text{②}$$ ①과 ②로부터 $$\int_0^x \{f(t)\}^2\,dt = \int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt$$ 양변을 $x$에 대하여 미분하면 제시문 1에 의해 $$\{f(x)\}^2 = 2f(x)f'(x)$$ $f(x) > 0$이므로 양변을 $2f(x)$로 나누면 $\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$이다.
양변을 적분하면 $\ln f(x) = \frac{1}{2}x + C$이고, 조건 (가)에서 $f(0)=1$이므로 $C = 0$이다.
따라서 $\ln f(x) = \frac{1}{2}x \implies f(x) = e^{x/2}$이다.