$\sum_{k=m}^{10} k^2 = \sum_{k=1}^{10} k^2 - \sum_{k=1}^{m-1} k^2$이므로 주어진 식을 $m$에 대한 시그마로 나타내면 $$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{10} k^2 + \sum_{k=2}^{10} k^2 + \dots + \sum_{k=9}^{10} k^2 &= \sum_{m=1}^9 \left(\sum_{k=m}^{10} k^2\right) = \sum_{m=1}^9 \left(\sum_{k=1}^{10} k^2 - \sum_{k=1}^{m-1} k^2\right) \\ &= \sum_{m=1}^9 \left\{ \frac{10 \times 11 \times 21}{6} - \frac{(m-1)m(2m-1)}{6} \right\} \\ &= \sum_{m=1}^9 \left\{ 385 - \frac{2m^3 - 3m^2 + m}{6} \right\} \\ &= 385 \times 9 - \frac{1}{6} \left\{ 2 \sum_{m=1}^9 m^3 - 3 \sum_{m=1}^9 m^2 + \sum_{m=1}^9 m \right\} \end{aligned}$$ 제시문 1의 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 적용하면 $$\begin{aligned} &2 \times \left(\frac{9 \times 10}{2}\right)^2 - 3 \times \frac{9 \times 10 \times 19}{6} + \frac{9 \times 10}{2} \\ &= 2 \times 2025 - 855 + 45 = 4050 - 855 + 45 = 3240 \end{aligned}$$ 따라서 구하는 식의 값은 $3465 - \frac{3240}{6} = 3465 - 540 = 2925$이다.

각 $k^2$ 항의 개수를 세어 정리하면 다음과 같다.
$1^2$은 $1$개, $2^2$은 $2$개, $3^2$은 $3$개, $\dots$, $9^2$은 $9$개, $10^2$은 $9$개 등장한다.
$$\begin{aligned} \text{주어진 식} &= 1 \times 1^2 + 2 \times 2^2 + 3 \times 3^2 + \dots + 9 \times 9^2 + 9 \times 10^2 \\ &= 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 9^3 + 9 \times 100 = \sum_{k=1}^9 k^3 + 900 \\ &= \left(\frac{9 \times 10}{2}\right)^2 + 900 = 45^2 + 900 = 2025 + 900 = 2925 \end{aligned}$$

(1) $y = f(x) = x^2 + 2(k+1)x + k + 3$을 실수 $k$에 대하여 정리하면 $$(2x+1)k + (x^2 + 2x + 3 - y) = 0$$ 이 식이 $k$값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 $$2x+1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2}, \quad x^2 + 2x + 3 - y = 0 \implies y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = \frac{9}{4}$$ 따라서 항상 지나는 점의 좌표는 $\left(-\frac{1}{2}, \frac{9}{4}\right)$이다.

(2) 두 점 $\mathrm{A}(-1, 1), \mathrm{B}(3, 5)$를 지나는 직선의 방정식은 $y = x+2$이다.
$g(x) = x+2$, $h(x) = f(x) - g(x)$라 하면 $h(x) = x^2 + (2k+1)x + k + 1$이다.
$f(x)$의 그래프가 선분 $\mathrm{AB}$와 서로 다른 두 점에서 만나려면 $h(x)=0$이 닫힌구간 $[-1, 3]$에서 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 다음 네 조건을 동시에 만족해야 한다.
(ⅰ) $h(-1) \ge 0 \implies (-1)^2 + (2k+1)(-1) + k + 1 = -k + 1 \ge 0 \implies k \le 1$
(ⅱ) $h(3) \ge 0 \implies 3^2 + (2k+1)(3) + k + 1 = 7k + 13 \ge 0 \implies k \ge -\frac{13}{7}$
(ⅲ) 판별식 $D > 0 \implies D = (2k+1)^2 - 4(k+1) = 4k^2 - 3 > 0 \implies k > \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ 또는 } k < -\frac{\sqrt{3}}{2}$
(ⅳ) $h(x)$의 대칭축 $x = -\frac{2k+1}{2}$이 $-1 < -\frac{2k+1}{2} < 3$이어야 하므로 $-\frac{7}{2} \lt k \lt \frac{1}{2}$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)의 공통 범위를 구하면 $-\frac{13}{7} \le k < -\frac{\sqrt{3}}{2}$이다.

직선 $l$ 위의 5개 점과 직선 $m$ 위의 7개 점에서 서로 다른 세 개의 선분이 교차하지 않도록 그리는 경우는 다음과 같이 6가지로 분류된다.
(ⅰ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 3개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 3개를 선택하는 경우: $${}_5\mathrm{C}_3 \times {}_7\mathrm{C}_3 = 10 \times 35 = 350$$ (ⅱ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 3개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 2개를 선택하는 경우: $${}_5\mathrm{C}_3 \times {}_7\mathrm{C}_2 \times 2 = 10 \times 21 \times 2 = 420$$ (ⅲ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 3개, 직선 $m$ 위에서 점 1개를 선택하는 경우: $${}_5\mathrm{C}_3 \times {}_7\mathrm{C}_1 = 10 \times 7 = 70$$ (ⅳ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 2개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 3개를 선택하는 경우: $${}_5\mathrm{C}_2 \times {}_7\mathrm{C}_3 \times 2 = 10 \times 35 \times 2 = 700$$ (ⅴ) 직선 $l$ 위에서 서로 다른 점 2개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 2개를 선택하는 경우: $${}_5\mathrm{C}_2 \times {}_7\mathrm{C}_2 \times 2 = 10 \times 21 \times 2 = 420$$ (ⅵ) 직선 $l$ 위에서 점 1개, 직선 $m$ 위에서 서로 다른 점 3개를 선택하는 경우: $${}_5\mathrm{C}_1 \times {}_7\mathrm{C}_3 = 5 \times 35 = 175$$ 따라서 구하는 전체 경우의 수는 $350 + 420 + 70 + 700 + 420 + 175 = 2135$이다.

선분이 교차하지 않는 모든 경우의 수는 ${}_5\mathrm{H}_3 \times {}_7\mathrm{H}_3 = {}_7\mathrm{C}_3 \times {}_9\mathrm{C}_3 = 35 \times 84 = 2940$이다.
이 중 서로 다른 선분의 수가 3개가 아닌 경우를 제외한다.
- 서로 다른 선분이 2개인 경우: $420 + 140 + 210 = 770$
- 서로 다른 선분이 1개인 경우: ${}_5\mathrm{C}_1 \times {}_7\mathrm{C}_1 = 35$
따라서 $2940 - (770 + 35) = 2940 - 805 = 2135$이다.

모집단이 정규분포 $\mathrm{N}(150, 5^2)$을 따르고 표본의 크기가 $n=100$이므로,
제시문 3에 의해 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $\mathrm{N}\left(150, \frac{5^2}{100}\right)$, 즉 $\mathrm{N}\left(150, \left(\frac{1}{2}\right)^2\right)$을 따른다.
$\overline{X}$를 표준화한 확률변수 $Z = \frac{\overline{X} - 150}{1/2} = 2(\overline{X} - 150)$은 표준정규분포 $\mathrm{N}(0, 1^2)$을 따른다.

$\mathrm{P}(\overline{X} \ge 300 - 5k) \le 0.98$에서 $$\begin{aligned} \mathrm{P}(\overline{X} \ge 300 - 5k) &= \mathrm{P}(Z \ge 2(300 - 5k - 150)) = \mathrm{P}(Z \ge 300 - 10k) \\ &= \mathrm{P}(300 - 10k \le Z \le 0) + \mathrm{P}(Z \ge 0) \\ &= \mathrm{P}(300 - 10k \le Z \le 0) + 0.5 \le 0.98 \end{aligned}$$ 따라서 $\mathrm{P}(300 - 10k \le Z \le 0) \le 0.48 \quad \cdots\cdots\text{①}$이다.

이때 $\mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 2.05) = 0.96$이므로 $$\mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 2.05) = 2 \times \mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 0) = 0.96 \implies \mathrm{P}(-2.05 \le Z \le 0) = 0.48 \quad \cdots\cdots\text{②}$$ ①과 ②로부터 $$300 - 10k \ge -2.05 \iff 10k \le 302.05 \iff k \le 30.205$$ 따라서 부등식을 만족시키는 자연수 $k$의 최댓값은 $30$이다.

(1) 이차방정식의 근과 계수의 관계로부터 $a_n$과 $b_n\sqrt{3}$은 다음 이차방정식의 두 근이다. $$x^2 - (2+\sqrt{3})^n x + \frac{1}{4}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\} = 0$$ 이 식을 인수분해하면 $$\left[x - \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}\right]\left[x - \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\}\right] = 0$$ $a_1 = 2$이므로 $a_n = \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}$, $b_n\sqrt{3} = \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\}$이다.
따라서 $$a_n = \frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}, \quad b_n = \frac{1}{2\sqrt{3}}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\}$$ (2) (1)에서 $a_n - b_n\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^n$이므로 $$a_n^2 - 3b_n^2 = (a_n + b_n\sqrt{3})(a_n - b_n\sqrt{3}) = (2+\sqrt{3})^n (2-\sqrt{3})^n = 1^n = 1$$ $\left|\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right| < 1$이므로 $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^n = 0$이다. 따라서 $$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{b_n(a_n^2 - 3b_n^2)}{a_n} &= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{3}}\{(2+\sqrt{3})^n - (2-\sqrt{3})^n\} \times 1}{\frac{1}{2}\{(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n\}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \lim_{n \to \infty} \frac{1 - \left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^n}{1 + \left(\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^n} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \end{aligned}$$

주어진 등식 $f(x) + \int_0^x f(t)\,dt = x - \cos x + \frac{3}{2} \quad \cdots\cdots\text{①}$의 양변을 미분하면 제시문 1에 의해 $$f'(x) + f(x) = 1 + \sin x$$ 이 식의 양변에 $e^x$를 곱하면 $$e^x\{f'(x) + f(x)\} = e^x(1 + \sin x) \iff \{e^x f(x)\}' = e^x + e^x\sin x \quad \cdots\cdots\text{②}$$ 식 ②의 양변을 적분하면 $$e^x f(x) = \int (e^x + e^x\sin x)\,dx = e^x + \int e^x\sin x\,dx \quad \cdots\cdots\text{③}$$ 제시문 2의 부분적분법에 의하여 $$\int e^x\sin x\,dx = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx = e^x\sin x - \left(e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx\right)$$ 이므로 $\int e^x\sin x\,dx = \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C$이다.
③에 대입하면 $e^x f(x) = e^x + \frac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C \quad \cdots\cdots\text{④}$이다.

식 ①의 양변에 $x=0$을 대입하면 $f(0) + 0 = 0 - 1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$이므로 ④에 $x=0$을 대입하면 $$1 \cdot f(0) = 1 + \frac{1}{2}(0 - 1) + C \implies \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} + C \implies C = 0$$ $e^x > 0$이므로 양변을 $e^x$로 나누면 $$f(x) = 1 + \frac{1}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x$$ 방정식 $f(x) - 1 = 0$으로부터 $\frac{1}{2}(\sin x - \cos x) = 0 \iff \sin x = \cos x$이다.
$0 \le x < 2\pi$에서 방정식의 근은 $x = \frac{\pi}{4}, \; \frac{5\pi}{4}$이다.

(1) 합성함수의 미분법에 의해 $\frac{d}{dx}\{f(x)\}^2 = 2f(x)f'(x)$이므로 $$\int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt = \int_0^x \frac{d}{dt}\{f(t)\}^2\,dt = \left[\{f(t)\}^2\right]_0^x = \{f(x)\}^2 - \{f(0)\}^2$$ 조건 (가)에서 $f(0)=1$이므로 $$\int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt = \{f(x)\}^2 - 1$$ 이 성립한다.

(2) (1)에서 $\{f(x)\}^2 = \int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt + 1$이다.
조건 (다) $\{f(x)\}^2 \le \int_0^x \{f(t)\}^2\,dt + 1$에 대입하면 $$\int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt \le \int_0^x \{f(t)\}^2\,dt \quad \cdots\cdots\text{①}$$ 또한 조건 (나) $f(x) \le 2f'(x)$의 양변에 $f(x) > 0$을 곱하면 $\{f(x)\}^2 \le 2f(x)f'(x)$이다.
제시문 3에 의해 양변을 적분하면 $$\int_0^x \{f(t)\}^2\,dt \le \int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt \quad \cdots\cdots\text{②}$$ ①과 ②로부터 $$\int_0^x \{f(t)\}^2\,dt = \int_0^x 2f(t)f'(t)\,dt$$ 양변을 $x$에 대하여 미분하면 제시문 1에 의해 $$\{f(x)\}^2 = 2f(x)f'(x)$$ $f(x) > 0$이므로 양변을 $2f(x)$로 나누면 $\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{2}$이다.
양변을 적분하면 $\ln f(x) = \frac{1}{2}x + C$이고, 조건 (가)에서 $f(0)=1$이므로 $C = 0$이다.
따라서 $\ln f(x) = \frac{1}{2}x \implies f(x) = e^{x/2}$이다.

[1] 일대일함수 조건부 확률:

집합 $X=\{1,2,3\}$에서 $Y=\{3,4,5,6,7\}$로의 일대일함수 전체의 개수는 $n(S) = {}_5\mathrm{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$이다.

조건 (가)에 의해 치역의 원소 3개를 선택하면 대소관계가 유일하게 결정되며, (나)에 의해 3수의 합이 홀수이어야 한다.

홀수가 되는 조합: (홀수 3개) 또는 (홀수 1개, 짝수 2개)

• 홀수 3개 선택: $\{3, 5, 7\} \implies 1$가지

• 홀수 1개, 짝수 2개 선택: 짝수는 $\{4, 6\}$뿐이므로 홀수 3개 중 1개 선택 $\implies {}_3\mathrm{C}_1 = 3$가지

따라서 조건을 만족시키는 함수의 개수는 $1 + 3 = 4$가지이다. 구하는 확률은 $$P = \frac{4}{60} = \mathbf{\frac{1}{15}}$$

[2] 함수 $f(x)$의 최솟값과 실근 조건:

(1) $f(x) = (x + \sin\theta)^2 - \sin^2\theta + 2\cos\theta$이므로 최솟값은 $$m(\theta) = -\sin^2\theta + 2\cos\theta = \cos^2\theta + 2\cos\theta - 1 = (\cos\theta + 1)^2 - 2$$

$0 \le \theta \le \pi$에서 $-1 \le \cos\theta \le 1$이므로, $\cos\theta = 1$ (즉 $\theta = 0$)일 때 최댓값은 $(1+1)^2 - 2 = \mathbf{2}$이다.

(2) $f(x)=0$이 실근을 가지려면 판별식 $D/4 = \sin^2\theta - 2\cos\theta \ge 0$이어야 한다.

$1 - \cos^2\theta - 2\cos\theta \ge 0 \iff \cos^2\theta + 2\cos\theta - 1 \le 0 \iff -1 - \sqrt{2} \le \cos\theta \le -1 + \sqrt{2}$.

$-1 \le \cos\theta \le \sqrt{2}-1$이므로, $\cos\beta = -1 \implies \beta = \pi$, $\cos\alpha = \sqrt{2}-1$.

따라서 $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (3 - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2$, $\sin^2\beta = 0$.

$$\sin^2\alpha + \sin^2\beta = \mathbf{2\sqrt{2} - 2}$$

[3] 독립시행과 정규분포를 이용한 확률:

주사위를 한 번 던져 $6$의 약수($1, 2, 3, 6$)가 나올 확률은 $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$이다.

$450$번의 독립시행 중 $6$의 약수가 나오는 횟수를 확률변수 $K$라 하면, $K \sim \mathrm{B}\left(450, \frac{2}{3}\right)$이다.

시행 횟수 $n=450$이 충분히 크므로 $K$는 근사적으로 정규분포 $\mathrm{N}(m, \sigma^2)$을 따른다.

• 평균: $m = 450 \times \frac{2}{3} = 300$, 분산: $\sigma^2 = 450 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = 100 = 10^2 \implies \sigma = 10$.

점 $P$의 좌표는 $2K$이므로, 구하는 확률은 $\mathrm{P}(580 \le 2K \le 640) = \mathrm{P}(290 \le K \le 320)$이다.

표준화: $Z = \frac{K - 300}{10}$을 적용하면,

$$\mathrm{P}\left(\frac{290-300}{10} \le Z \le \frac{320-300}{10}\right) = \mathrm{P}(-1 \le Z \le 2) = \frac{\mathrm{P}(-1 \le Z \le 1)}{2} + \frac{\mathrm{P}(-2 \le Z \le 2)}{2}$$

$$= \frac{0.6826}{2} + \frac{0.9544}{2} = 0.3413 + 0.4772 = \mathbf{0.8185}$$

[4] 원과 곡선의 교점 및 극한값:

① $x^2 + y^2 = 2n$과 $y = \frac{n}{x}$ 연립: $x^2 + \frac{n^2}{x^2} = 2n \iff (x^2)^2 - 2n(x^2) + n^2 = 0 \iff (x^2 - n)^2 = 0$.

양의 $x$좌표이므로 $(a_n)^2 = n \implies a_n = \sqrt{n}$.

② $x^2 + y^2 = 2n$과 $y = \sqrt{2nx}$ 연립: $x^2 + 2nx = 2n \iff x^2 + 2nx - 2n = 0$.

근의 공식: $b_n = -n + \sqrt{n^2 + 2n} = n\left(\sqrt{1 + \frac{2}{n}} - 1\right)$.

따라서 구하는 극한값은 $$\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{(a_n)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(\sqrt{1+2/n}-1)}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2/n}{\sqrt{1+2/n}+1} \cdot n = \mathbf{1}$$

[1] 사차함수와 이차함수의 절대부등식:

모든 $x_1, x_2$에 대하여 $f(x_1) \ge g(x_2)$가 성립하려면, $f(x)$의 최솟값이 $g(x)$의 최댓값 이상이어야 한다.

• $f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 12x - 24 = 12(x-2)(x^2+x+1) = 0 \implies x=2$.

최솟값: $f(2) = 3(16) - 4(8) - 6(4) - 24(2) = 48 - 32 - 24 - 48 = -56$.

• $g(x) = -(x+1)^2 + k + 1$이므로 최댓값은 $k + 1$이다.

따라서 $k + 1 \le -56 \iff k \le -57$. 구하는 상수 $k$의 최댓값은 $\mathbf{-57}$이다.

[2] 원뿔의 부피 최적화 및 옆면 최단거리:

(1) 원뿔의 모선의 길이는 $R = 1$이다. 밑면 둘레는 $2\pi(1) - \theta = 2\pi - \theta$이다.

밑면의 반지름을 $r$이라 하면 $2\pi r = 2\pi - \theta \implies r = \frac{2\pi - \theta}{2\pi}$. 높이는 $h = \sqrt{1 - r^2}$이다.

원뿔의 부피 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 \sqrt{1-r^2}$. $f(t) = t^2(1-t) = t^2 - t^3$ ($t = r^2$)를 미분하면 $f'(t) = 2t - 3t^2 = 0 \implies t = \frac{2}{3}$.

따라서 $r = \sqrt{\frac{2}{3}}$일 때 부피가 최대이다. 이때 $\theta = 2\pi(1-r) = \mathbf{2\pi\left(1 - \sqrt{\frac{2}{3}}\right)}$.

(2) 전개도에서 지름 $AA'$의 양 끝점은 원뿔 밑면 둘레의 절반에 대응하므로, 전개도에서의 중심각은 $\beta = \frac{2\pi - \theta}{2} = \pi r = \sqrt{\frac{2}{3}}\pi$이다.

코사인법칙에 의해 점 $A$와 $A'$ 사이의 최단거리 $l$의 제곱은 다음과 같다:

$$l^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)\cos\beta = \mathbf{2 - 2\cos\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\pi\right)}$$

[3] 점렬 접선의 $x$절편 점화식과 수열의 극한:

$f(x) = \tan\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cot x$이다. $f'(x) = \sec^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \csc^2 x$.

곡선 위의 점 $Q_n(a_n, f(a_n))$에서의 접선의 방정식은 $$y - f(a_n) = f'(a_n)(x - a_n)$$

접선이 $x$축과 만나는 점 $P_{n+1}(a_{n+1}, 0)$을 대입하면 $0 - f(a_n) = f'(a_n)(a_{n+1} - a_n)$이므로,

$$a_{n+1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} = a_n - \frac{\tan(a_n - \pi/2)}{\sec^2(a_n - \pi/2)} = a_n - \sin\left(a_n - \frac{\pi}{2}\right)\cos\left(a_n - \frac{\pi}{2}\right) = a_n - \frac{1}{2}\sin(2a_n - \pi)$$

$$a_{n+1} = a_n + \frac{1}{2}\sin(2a_n)$$

(1) 극한값 $\alpha$:

$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$라 하면, $\alpha = \alpha + \frac{1}{2}\sin(2\alpha) \iff \sin(2\alpha) = 0$.

문제의 조건 $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{3\pi}{4}$에서 $2\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$이므로, $2\alpha = \pi \implies \mathbf{\alpha = \frac{\pi}{2}}$이다.

(2) 극한값 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-\alpha}{a_n-\alpha}$:

$a_{n+1} - \alpha = a_n - \alpha + \frac{1}{2}\sin(2a_n) = a_n - \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(2a_n)$.

$t_n = a_n - \frac{\pi}{2}$라 두면 $t_n \to 0$이고, $2a_n = 2t_n + \pi$이므로 $\sin(2a_n) = \sin(2t_n + \pi) = -\sin(2t_n)$.

$$a_{n+1} - \frac{\pi}{2} = t_n - \frac{1}{2}\sin(2t_n)$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - \alpha}{a_n - \alpha} = \lim_{t_n \to 0} \frac{t_n - \frac{1}{2}\sin(2t_n)}{t_n} = \lim_{t_n \to 0} \left( 1 - \frac{\sin(2t_n)}{2t_n} \right) = 1 - 1 = \mathbf{0}$$

(1) 선분 길이의 극한값 계산 (8점):

$x = k^n$일 때 $y = f(x) = \log_k(k^n) = n$, $y = f(x^2) = \log_k(k^{2n}) = 2n$이다.

두 점의 좌표는 $\mathrm{A}_n(k^n, n)$, $\mathrm{B}_n(k^n, 2n)$이므로 선분의 길이는 $a_n = |2n - n| = n$이다.

따라서 $a_{n^2} = n^2$이며, 구하는 극한값은 $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2} = 0$$

(2) 약수 방정식의 양의 실근 개수 (12점):

$5^{10}$의 양의 약수는 $5^0, 5^1, 5^2, \cdots, 5^{10}$의 총 11개이다. 이 중 $1$이 아닌 약수 10개는 $5^1, 5^2, \cdots, 5^{10}$이다.

로그의 성질에 의하여 좌변은

$$f(m_1) + f(m_2) + \cdots + f(m_{10}) = \sum_{i=1}^{10} \log_k(5^i) = \log_k\left(5^{1+2+\cdots+10}\right) = \log_k\left(5^{55}\right)$$

우변은 $f(t^2+3t+4) = \log_k(t^2+3t+4)$이므로, 로그함수의 일대일 성질에 의해 $$t^2 + 3t + 4 = 5^{55} \iff t^2 + 3t + (4 - 5^{55}) = 0$$

이차방정식 $h(t) = t^2 + 3t + (4 - 5^{55}) = 0$에서 $5^{55} > 4$이므로 상수항 $4 - 5^{55} < 0$이다. 두 실근의 곱이 음수이므로 서로 다른 부호의 두 실근을 갖는다. 따라서 양의 실근의 개수는 1개이다.

[1](3) 일대일함수 증명 (10점):

$g(x) = x+1$이므로 $g^2(x) = (x+1)+1 = x+2$, $g^3(x) = x+3$, $\cdots$, $g^{10}(x) = x+10$이다.

임의의 실수 $x_1, x_2$에 대하여 $x_1 \ne x_2$이면 $x_1 + 10 \ne x_2 + 10$, 즉 $g^{10}(x_1) \ne g^{10}(x_2)$이므로 제시문 2에 의하여 $g^{10}(x)$는 일대일함수이다.

[1](4) 합성함수의 합 계산 (10점):

$(g^{10} \circ f)(x) = g^{10}(f(x)) = \log_k x + 10$이다. $x = k^i$를 대입하면 $(g^{10} \circ f)(k^i) = \log_k(k^i) + 10 = i + 10$이다.

$$\sum_{i=1}^{100} (g^{10} \circ f)(k^i) = \sum_{i=1}^{100} (i + 10) = \sum_{i=1}^{100} i + \sum_{i=1}^{100} 10 = \frac{100 \times 101}{2} + 1000 = 5050 + 1000 = 6050$$

[2] 평균값 정리를 이용한 존재 증명 (10점):

함수 $f(x) = \sin(ax - 1)$은 모든 실수에서 연속이고 미분가능하며, 도함수는 $f'(x) = a\cos(ax - 1)$이다.

닫힌구간 $[a, a+1]$에서 $f(x)$는 연속이고 열린구간 $(a, a+1)$에서 미분가능하므로, 평균값 정리에 의해

$$\frac{f(a+1) - f(a)}{(a+1) - a} = f'(t)$$

를 만족시키는 실수 $t$가 열린구간 $(a, a+1)$에 적어도 하나 존재한다. 좌변과 우변을 정리하면

$$f(a+1) - f(a) = \sin(a(a+1) - 1) - \sin(a^2 - 1) = \sin(a^2 + a - 1) - \sin(a^2 - 1)$$ $$f'(t) = a\cos(at - 1)$$

따라서 $\sin(a^2 + a - 1) - \sin(a^2 - 1) = a\cos(at - 1)$을 만족시키는 실수 $t$가 열린구간 $(a, a+1)$에 존재한다.

[1] 초월함수 극한값 계산 (8점):

함수 $h(x) = e^{2x}\cos\pi x$라 두면 $h(0) = 1$이고, 곱의 미분법에 의해 $h'(x) = 2e^{2x}\cos\pi x - \pi e^{2x}\sin\pi x$이므로 $h'(0) = 2$이다.

주어진 식을 두 극한의 곱으로 분리하면

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \left\{ \frac{\ln(x+1)}{x^2}(e^{2x}\cos\pi x - 1) \right\} &= \lim_{x \to 0} \left\{ \frac{\ln(1+x)}{x} \cdot \frac{h(x) - h(0)}{x - 0} \right\} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \times \lim_{x \to 0} \frac{h(x) - h(0)}{x - 0} = 1 \times h'(0) = 1 \times 2 = 2 \end{aligned}$$

[2] 표본평균 평균과 분산을 이용한 자연수 결정 (8점):

모평균 $p$, 모표준편차 $q$인 모집단에서 크기 $n^2$인 표본을 임의추출하였으므로

$$\mathrm{E}(\overline{X}) = p, \quad \mathrm{V}(\overline{X}) = \frac{q^2}{n^2}$$

확률변수의 선형변환 성질에 의하여

$$\mathrm{E}(4\overline{X} + 2) = 4\mathrm{E}(\overline{X}) + 2 = 4p + 2$$ $$\mathrm{V}(n\overline{X} + 3) = n^2 \mathrm{V}(\overline{X}) = n^2 \cdot \frac{q^2}{n^2} = q^2$$

따라서 주어진 조건식은

$$\mathrm{E}(4\overline{X} + 2) + \mathrm{V}(n\overline{X} + 3) = 4p + 2 + q^2 = 18 \implies 4p + q^2 = 16$$

$p, q$는 자연수이므로 $q^2 = 16 - 4p = 4(4-p) > 0 \implies p \in \{1, 2, 3\}$이다.

• $p = 1 \implies q^2 = 12$ (자연수 해 없음)
• $p = 2 \implies q^2 = 8$ (자연수 해 없음)
• $p = 3 \implies q^2 = 4 \implies q = 2$ (자연수 해 성립)

따라서 구하는 두 자연수는 $$p = 3, \quad q = 2$$

(1) 수학적 귀납법 증명 (8점):

증명할 명제: $x^n - 1 = (x-1)\sum_{i=0}^{n-1} x^i$

(ⅰ) $n = 1$일 때:
(좌변) $= x^1 - 1 = x - 1$, (우변) $= (x-1)x^0 = x - 1$이므로 등식이 성립한다.

(ⅱ) $n = k$ ($k \ge 1$)일 때 성립한다고 가정하자:
즉 $x^k - 1 = (x-1)\sum_{i=0}^{k-1} x^i$가 성립한다.
$n = k+1$일 때의 좌변은

$$\begin{aligned} x^{k+1} - 1 &= x^{k+1} - x^k + x^k - 1 = x^k(x-1) + (x^k - 1) \\ &= x^k(x-1) + (x-1)\sum_{i=0}^{k-1} x^i = (x-1)\left( x^k + \sum_{i=0}^{k-1} x^i \right) = (x-1)\sum_{i=0}^k x^i \end{aligned}$$

따라서 $n = k+1$일 때도 등식이 성립한다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

(2) 다항식의 나머지 구하기 (10점):

(1)의 등식에서 $n = 4$를 대입하면 $x^4 - 1 = (x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)$이다.

$p(x) = x^3 + x^2 + x + 1$이라 두고 $x^4 = t$라 놓으면 $2024 = 4 \times 506$이므로

$$x^{2024} - 1 = (x^4)^{506} - 1 = t^{506} - 1 = (t - 1)\sum_{i=0}^{505} t^i = (x^4 - 1)\sum_{i=0}^{505} (x^4)^i$$

$x^4 - 1 = (x-1)p(x)$를 대입하면

$$x^{2024} - 1 = (x-1)p(x) \sum_{i=0}^{505} x^{4i} \implies x^{2024} = p(x) \cdot \left[ (x-1)\sum_{i=0}^{505} x^{4i} \right] + 1$$

여기서 $1$은 $0$차 다항식(상수)으로 나누는 식 $p(x)$의 차수($3$차)보다 작으므로, 구하는 나머지는 $1$이다.

(1) 증감표 작성 및 최댓값·최솟값 (8점):

$f(x) = e^{\sin^2 x} - e^{\cos^2 x}$를 미분하면, 합성함수 미분법에 의해

$$f'(x) = 2\sin x\cos x\,e^{\sin^2 x} - (-2\cos x\sin x)\,e^{\cos^2 x} = \sin 2x\left(e^{\sin^2 x} + e^{\cos^2 x}\right)$$

모든 실수 $x$에 대하여 $e^{\sin^2 x} + e^{\cos^2 x} > 0$이므로, $f'(x)$의 부호는 $\sin 2x$의 부호와 완전히 일치한다.

$0 \le x \le 2\pi$에서 $f'(x) = 0 \iff 2x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi \iff x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$이다.

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$\frac{3\pi}{2}$	$\cdots$	$2\pi$
$f'(x)$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$
$f(x)$	$1-e$	$\nearrow$	$e-1$	$\searrow$	$1-e$	$\nearrow$	$e-1$	$\searrow$	$1-e$

따라서 $f(x)$의 최댓값은 $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = e - 1$이고, 최솟값은 $f(0) = f(\pi) = f(2\pi) = 1 - e$이다.

(2) 정적분 계산 (8점):

$$\int_0^{\pi/4} f(x)\sin 2x\,dx = \int_0^{\pi/4} 2\sin x\cos x\,e^{\sin^2 x}\,dx - \int_0^{\pi/4} 2\sin x\cos x\,e^{\cos^2 x}\,dx$$

• 제1항: $\sin^2 x = u$로 치환하면 $du = 2\sin x\cos x\,dx$이고, $x=0 \implies u=0, x=\frac{\pi}{4} \implies u=\frac{1}{2}$이다.
$\int_0^{1/2} e^u\,du = \left[ e^u \right]_0^{1/2} = \sqrt{e} - 1$

• 제2항: $\cos^2 x = v$로 치환하면 $dv = -2\cos x\sin x\,dx$이고, $x=0 \implies v=1, x=\frac{\pi}{4} \implies v=\frac{1}{2}$이다.
$-\int_0^{\pi/4} 2\sin x\cos x\,e^{\cos^2 x}\,dx = \int_1^{1/2} e^v\,dv = \left[ e^v \right]_1^{1/2} = \sqrt{e} - e$

두 항의 합은 $$(\sqrt{e} - 1) + (\sqrt{e} - e) = 2\sqrt{e} - 1 - e$$

[1](1) 함수 $f$의 개수와 함숫값 (4점):

$A = \{1, 2, 3, 6\}$, $B = \{2, 3, 5, 7\}$이다. $f: A \to B$는 일대일대응이며 $x < f(x)$를 만족해야 한다.

• $6 \in A \implies 6 < f(6) \implies f(6) = 7$
• $3 \in A \implies 3 < f(3)$이고 $f(6)=7$이므로 $f(3) = 5$
• $2 \in A \implies 2 < f(2)$이고 남은 원소는 $\{2, 3\}$이므로 $f(2) = 3$
• $1 \in A \implies f(1) = 2$

따라서 조건을 만족하는 함수 $f$는 오직 1개이다.

$(f^{-1} \circ f \circ f^{-1})(5) = (f^{-1} \circ (f \circ f^{-1}))(5) = f^{-1}(5)$이고, $f(3) = 5 \iff f^{-1}(5) = 3$이다. 따라서 값은 3이다.

[1](2) 함수 $g$의 개수 (6점):

$x \le g(x)$에서 $6 \le g(6) \implies g(6) = 7$이어야 한다. 남은 치역은 $\{2, 3, 5\}$이다.

$3 \le g(3)$이므로 $g(3)$은 $3$ 또는 $5$이다:

• 경우 1 ($g(3) = 5$): 남은 치역은 $\{2, 3\}$이다. $2 \le g(2)$이므로 $g(2)$는 $2$ 또는 $3$이 가능하고, $g(1)$은 남은 1개로 결정된다. $\implies 2$가지
• 경우 2 ($g(3) = 3$): 남은 치역은 $\{2, 5\}$이다. $2 \le g(2)$이므로 $g(2)$는 $2$ 또는 $5$가 가능하고, $g(1)$은 남은 1개로 결정된다. $\implies 2$가지

따라서 조건을 만족하는 함수 $g$의 총 개수는 $2 + 2 = \mathbf{4}$개이다.

[2](1) $p, q$의 관계식 (4점):

곡선 $y = -x^2+px+q$와 그 역함수(직선 $y=x$ 대칭 곡선)가 접하므로, 접선은 기울기가 1이어야 하며 접점은 직선 $y=x$ 위에 위치해야 한다.

$y' = -2x+p = 1 \implies x = \frac{p-1}{2}$

이 접점이 $y=x$ 위에 있으므로 $y$좌표도 $\frac{p-1}{2}$이다. 곡선식에 대입하면

$$\frac{p-1}{2} = -\left(\frac{p-1}{2}\right)^2 + p\left(\frac{p-1}{2}\right) + q = \frac{p-1}{2}\left( -\frac{p-1}{2} + p \right) + q = \frac{(p-1)(p+1)}{4} + q$$ $$q = \frac{p-1}{2} - \frac{p^2-1}{4} = \frac{2p-2 - p^2+1}{4} = -\frac{p^2-2p+1}{4} + \frac{p-1}{4} \iff q = -\frac{p^2-4p+3}{4}$$

[2](2) 만나는 점의 개수 (5점):

점 $(p, q)$가 그리는 곡선은 $y = -\frac{1}{4}x^2 + x - \frac{3}{4}$이다. 이 곡선과 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 곡선이 만나는 점의 개수를 구한다.

먼저 이 곡선과 직선 $y=x$의 교점을 조사하면

$$-\frac{1}{4}x^2 + x - \frac{3}{4} = x \iff -\frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{4} = 0 \iff x^2 + 3 = 0$$

실근이 존재하지 않으므로 곡선은 직선 $y=x$와 만나지 않는다. (실제로 곡선의 꼭짓점은 $(2, \frac{1}{4})$로 직선 $y=x$ 아래쪽에 엄격히 위치한다.)

대칭이동한 곡선은 직선 $y=x$ 위쪽에 위치하므로, 두 곡선은 서로 만나지 않는다. 따라서 만나는 점의 개수는 0개이다.

[3](1) 치환적분 공식 증명 (5점):

우변의 정적분에서 $t = a-x$로 치환하면 $x = a-t$이고 $dx = -dt$이다.

적분 구간은 $x = 0 \implies t = a$, $x = a \implies t = 0$이므로

$$\int_0^a f(a-x)\,dx = \int_a^0 f(t)(-dt) = \int_0^a f(t)\,dt = \int_0^a f(x)\,dx$$

따라서 주어진 등식이 성립한다.

[3](2) 정적분 계산 (9점):

$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^{2023} x}{\sin^{2023} x + \cos^{2023} x}\,dx$라 하자.

(1)의 성질($a = \frac{\pi}{2}$)을 적용하면, $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x$, $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos x$이므로

$$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^{2023}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\sin^{2023}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) + \cos^{2023}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}\,dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^{2023} x}{\cos^{2023} x + \sin^{2023} x}\,dx$$

두 식을 더하면

$$2I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos^{2023} x + \sin^{2023} x}{\sin^{2023} x + \cos^{2023} x}\,dx = \int_0^{\pi/2} 1\,dx = [x]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2}$$

따라서 $I = \frac{\pi}{4}$이다.

[4](1) 둘러싸인 도형의 넓이 (7점):

$f(x) = -|x-a^2|(x+a^2) + a^4$ ($a > 0$)에서 절댓값을 풀면

• $x \ge a^2$: $f(x) = -(x-a^2)(x+a^2) + a^4 = -(x^2-a^4)+a^4 = -x^2+2a^4$
• $x < a^2$: $f(x) = (x-a^2)(x+a^2) + a^4 = x^2-a^4+a^4 = x^2$

$x$축과의 교점을 구하면, $x < a^2$에서 $x^2 = 0 \implies x = 0$, $x \ge a^2$에서 $-x^2+2a^4 = 0 \implies x = \sqrt{2}a^2$이다.

따라서 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 (우측 그래프 참조)

$$S = \int_0^{a^2} x^2\,dx + \int_{a^2}^{\sqrt{2}a^2} (-x^2+2a^4)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{a^2} + \left[ -\frac{x^3}{3} + 2a^4 x \right]_{a^2}^{\sqrt{2}a^2}$$ $$= \frac{a^6}{3} + \left( -\frac{2\sqrt{2}a^6}{3} + 2\sqrt{2}a^6 \right) - \left( -\frac{a^6}{3} + 2a^6 \right) = \frac{a^6}{3} + \frac{4\sqrt{2}a^6}{3} - \frac{5a^6}{3} = \frac{4\sqrt{2}-2}{3}a^6$$

함수 $f(x)$의 형태 분석:

$f(x)$는 $x < a^2$에서 $f(x) = x^2$으로 아래로 볼록하게 증가하고, $x \ge a^2$에서 $f(x) = -x^2+2a^4$으로 위로 볼록하며 꼭짓점 $x = a^2$에서 최댓값 $f(a^2) = a^4$을 갖는다.

따라서 $f(x)$는 $x = a^2$까지 계속 증가하고, $x > a^2$에서는 감소한다.

구간 $[a, a+2]$에서 최댓값 $g(a)$ 분석:

$a > 0$이므로 꼭짓점 $a^2$과 구간 $[a, a+2]$의 관계는 다음과 같이 나뉜다:

1) $a^2 \le a \iff a^2 - a \le 0 \iff 0 < a \le 1$:
꼭짓점 $a^2$이 구간의 왼쪽 끝점 $a$ 이하에 위치하므로, 구간 $[a, a+2]$에서 $f(x)$는 엄격히 감소한다.
따라서 최댓값은 왼쪽 끝점 $x = a$에서 갖는다: $$g(a) = f(a) = -a^2 + 2a^4$$

2) $a < a^2 \le a+2 \iff a^2 - a > 0$이고 $a^2 - a - 2 \le 0 \iff 1 < a \le 2$:
꼭짓점 $a^2$이 구간 $[a, a+2]$ 안에 포함된다.
따라서 최댓값은 꼭짓점 $x = a^2$에서의 함숫값이다: $$g(a) = f(a^2) = a^4$$

3) $a^2 > a+2 \iff a > 2$:
꼭짓점 $a^2$이 구간의 오른쪽 끝점 $a+2$보다 오른쪽에 위치하므로, 구간 $[a, a+2]$에서 $f(x)$는 계속 증가한다.
따라서 최댓값은 오른쪽 끝점 $x = a+2$에서 갖는다 ($a+2 < a^2$이므로 $f(x) = x^2$): $$g(a) = f(a+2) = (a+2)^2 = a^2+4a+4$$

함수 $g(a)$의 극값 구하기:

구간별 도함수를 조사한다:

• $0 \lt a \lt 1$: $g'(a) = 8a^3 - 2a = 2a(4a^2-1) = 2a(2a-1)(2a+1)$
$a = \frac{1}{2}$에서 $g'(a)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 극솟값 $g\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} + 2\left(\frac{1}{16}\right) = -\frac{1}{8}$을 갖는다.
• $1 \lt a \lt 2$: $g'(a) = 4a^3 > 0$ (증가)
• $a > 2$: $g'(a) = 2a+4 > 0$ (증가)

경계점에서의 연결 상태:

• $a=1$: $\lim_{a \to 1^-} g(a) = 1$, $\lim_{a \to 1^+} g(a) = 1$ (연속)
• $a=2$: $\lim_{a \to 2^-} g(a) = 16$, $\lim_{a \to 2^+} g(a) = 16$ (연속)

따라서 함수 $g(a)$의 극값은 $a = \frac{1}{2}$에서 극솟값 $-\frac{1}{8}$이다.

[1](1) 로그가 정의되기 위한 정수 $a$ (5점):

함수 $f(x) = \log_{|a-2|}(x^2+2ax+4a+5)$가 모든 실수 $x$에서 정의되기 위해서는 밑 조건과 진수 조건을 모두 만족해야 한다.

1) 진수 조건: 모든 실수 $x$에 대하여 $x^2+2ax+4a+5 > 0$이어야 하므로, 이차방정식의 판별식 $D/4 < 0$이다. $$D/4 = a^2 - (4a+5) = a^2 - 4a - 5 = (a+1)(a-5) < 0 \implies -1 \lt a \lt 5 \quad \cdots \text{①}$$ 2) 밑 조건: $|a-2| > 0$이고 $|a-2| \ne 1$이어야 한다. $$|a-2| > 0 \iff a \ne 2$$ $$|a-2| \ne 1 \iff a-2 \ne \pm 1 \iff a \ne 1 \text{ 이고 } a \ne 3 \quad \cdots \text{②}$$

①과 ②를 동시에 만족하는 정수 $a$는 $a = 0$ 또는 $a = 4$이다.

[1](2) 역함수와 지수부등식 (8점):

$x \ge 0$에서 $(g \circ h)(x) = g(h(x)) = g(\sqrt{x}) = \log_2((\sqrt{x})^2+5) = \log_2(x+5)$이다.

역함수를 구하기 위해 $y = \log_2(x+5)$라 두면 ($x \ge 0$이므로 $y \ge \log_2 5$)

$$x+5 = 2^y \implies x = 2^y - 5$$

따라서 $(g \circ h)^{-1}(x) = 2^x - 5$이다.

주어진 부등식은 $$2^x - 5 > \frac{6}{2^x}$$

$X = 2^x$라 하면 $X > 0$이므로 양변에 $X$를 곱하여 정리하면

$$X^2 - 5X - 6 > 0 \iff (X+1)(X-6) > 0$$

$X > 0$이므로 $X > 6$이다. 즉,

$$2^x > 6 \iff x > \log_2 6$$

($\log_2 6 > \log_2 5$이므로 역함수의 정의역 조건도 만족한다.)

따라서 구하는 $x$값의 범위는 $x > \log_2 6$이다.

[2] 극한값 계산 (8점):

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$이므로 $a-b = \frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$이다.

$a = (n^2+n)^{1/3}, b = (n^2+1)^{1/3}$이라 두면

$$(n^2+n)^{1/3} - (n^2+1)^{1/3} = \frac{(n^2+n) - (n^2+1)}{(n^2+n)^{2/3} + (n^2+n)^{1/3}(n^2+1)^{1/3} + (n^2+1)^{2/3}} = \frac{n-1}{(n^2+n)^{2/3} + (n^2+n)^{1/3}(n^2+1)^{1/3} + (n^2+1)^{2/3}}$$

준식에 $n^{1/3}$을 곱하면

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^{1/3}(n-1)}{(n^2+n)^{2/3} + (n^2+n)^{1/3}(n^2+1)^{1/3} + (n^2+1)^{2/3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{4/3} - n^{1/3}}{(n^2+n)^{2/3} + (n^2+n)^{1/3}(n^2+1)^{1/3} + (n^2+1)^{2/3}}$$

분모와 분자를 $n^{4/3}$으로 나누면

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1 - n^{-1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2/3} + \left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/3}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{1/3} + \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{2/3}} = \frac{1 - 0}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$$

[3](1) 거리의 제곱 구하기 (4점):

$x+y = n$ ($x \ge 0, y \ge 0$)에서 $x = k$이면 $y = n-k$이다. 따라서 택한 점은 $(k, n-k)$이다.

이 점과 원점 $(0, 0)$과의 거리의 제곱은

$$(k-0)^2 + (n-k-0)^2 = k^2 + (n^2 - 2nk + k^2) = 2k^2 - 2nk + n^2$$

[3](2) 확률변수 $X_n$의 기댓값 (8점):

$x, y$가 정수이므로 $k$는 $0, 1, 2, \dots, n$의 값을 가질 수 있어 집합 $A_n$의 원소의 총 개수는 $n+1$개이다.

임의로 한 점을 택하므로 각 점이 선택될 확률은 모두 $\frac{1}{n+1}$이다.

확률변수 $X_n$의 기댓값 $E(X_n)$은 제시문 2에 의하여

$$E(X_n) = \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+1}(2k^2 - 2nk + n^2) = \frac{1}{n+1}\left[ 2\sum_{k=0}^n k^2 - 2n\sum_{k=0}^n k + n^2\sum_{k=0}^n 1 \right]$$ $$= \frac{1}{n+1}\left[ 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2n \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n^2(n+1) \right]$$

$(n+1)$로 약분하면

$$= \frac{n(2n+1)}{3} - n^2 + n^2 = \frac{2n^2+n}{3}$$

주어진 항등식은 $$x\{f'(x)+x\}\{f'(x)-x\} = f(x) + px^3 + qx^2 \iff x\{(f'(x))^2 - x^2\} = f(x) + px^3 + qx^2$$

[4](1) 다항식 $f(x)$와 $p, q$ 구하기 (12점):

$f(x)$를 $n$차 다항식이라 하자 ($n \ge 1$).

$n \ge 3$이면 좌변의 최고차항은 $x \cdot (f'(x))^2$으로 차수가 $1 + 2(n-1) = 2n-1$이고, 우변의 차수는 $n$이다. $2n-1 = n \iff n = 1$이므로 모순이다. 따라서 $f(x)$는 3차 이상일 수 없으며, $n=1$ 또는 $n=2$이다.

(i) $f(x)$가 1차 다항식인 경우: $f(x) = ax+b$ ($a \ne 0$)라 두면 $f'(x) = a$이다.
좌변: $x(a^2 - x^2) = -x^3 + a^2 x$
우변: $(ax+b) + px^3 + qx^2 = px^3 + qx^2 + ax + b$
계수를 비교하면 $p = -1, q = 0, a^2 = a, b = 0$
$a \ne 0$이므로 $a = 1$이다.
따라서 $f(x) = x$이고 $p = -1, q = 0$이다.

(ii) $f(x)$가 2차 다항식인 경우: $f(x) = rx^2+sx+t$ ($r \ne 0$)라 두면 $f'(x) = 2rx+s$이다.
$(f'(x))^2 - x^2 = (4r^2-1)x^2 + 4rsx + s^2$
좌변: $x\{(f'(x))^2-x^2\} = (4r^2-1)x^3 + 4rsx^2 + s^2 x$
우변: $px^3 + (q+r)x^2 + sx + t$
계수를 비교하면
• $x^3$ 계수: $4r^2-1 = p \implies 4r^2 = p+1$
• $x^2$ 계수: $4rs = q+r \implies r(4s-1) = q$
• $x$ 계수: $s^2 = s \implies s(s-1) = 0 \implies s = 0$ 또는 $s = 1$
• 상수항: $t = 0$

- $s = 0$일 때: $4r^2 = p+1$ ($p > -1$), $q = -r \implies q^2 = r^2 = \frac{p+1}{4} \implies 4q^2 = p+1$
이때 $f(x) = rx^2 = \pm\frac{\sqrt{p+1}}{2}x^2$
- $s = 1$일 때: $4r^2 = p+1$, $q = 3r \implies q^2 = 9r^2 = \frac{9(p+1)}{4} \implies 4q^2 = 9(p+1)$
이때 $f(x) = rx^2+x = \pm\frac{\sqrt{p+1}}{2}x^2 + x$

[4](2) $p=0$일 때 나머지들의 합 (5점):

제시문 3(나머지정리)에 의하여 다항식 $f(x)$를 $x-2023$으로 나눈 나머지는 $f(2023)$이다.

$p = 0$일 때 (1)의 결과에서 가능한 다항식들을 구한다:

• 1차식은 $p = -1$일 때만 가능하므로 $p=0$에서는 존재하지 않는다.
• 2차식에서 $p=0$이면 $4r^2 = 0+1 = 1 \implies r^2 = \frac{1}{4} \implies r = \pm\frac{1}{2}$이다.
1) $s = 0$일 때: $r = \frac{1}{2} \implies f_1(x) = \frac{1}{2}x^2$, $r = -\frac{1}{2} \implies f_2(x) = -\frac{1}{2}x^2$
2) $s = 1$일 때: $r = \frac{1}{2} \implies f_3(x) = \frac{1}{2}x^2+x$, $r = -\frac{1}{2} \implies f_4(x) = -\frac{1}{2}x^2+x$

따라서 $p=0$을 만족하는 다항식은 총 4개이다. 각각의 나머지는

$$R_1 = f_1(2023) = \frac{1}{2}(2023)^2$$ $$R_2 = f_2(2023) = -\frac{1}{2}(2023)^2$$ $$R_3 = f_3(2023) = \frac{1}{2}(2023)^2 + 2023$$ $$R_4 = f_4(2023) = -\frac{1}{2}(2023)^2 + 2023$$

구하는 나머지들의 합은

$$R_1 + R_2 + R_3 + R_4 = \left[ \frac{1}{2}(2023)^2 - \frac{1}{2}(2023)^2 \right] + \left[ \left(\frac{1}{2}(2023)^2 + 2023\right) + \left(-\frac{1}{2}(2023)^2 + 2023\right) \right]$$ $$= 0 + 2 \times 2023 = 4046$$

따라서 나머지들의 합은 4046이다.

[1](1) 점 $(b, c)$가 이루는 영역 (3점):

이차방정식 $x^2+bx+c=0$이 실근을 가지므로 판별식 $D = b^2 - 4c \ge 0 \implies c \le \frac{1}{4}b^2$이다.

조건 (ⅰ) $0 \le b \le 2, 0 \le c \le 2$와 결합하면, 영역은 $0 \le b \le 2$ 및 $0 \le c \le \frac{1}{4}b^2$이다.

[1](2) 넓이를 $5:11$로 나누는 직선의 방정식 (6점):

전체 영역의 넓이는 포물선 아래 넓이이므로 $S = \int_0^2 \frac{1}{4}b^2\,db = \left[\frac{1}{12}b^3\right]_0^2 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$이다.

왼쪽과 오른쪽의 넓이 비가 $5:11$이므로 왼쪽 영역의 넓이는 $S_1 = \frac{2}{3} \times \frac{5}{16} = \frac{5}{24}$, 오른쪽 영역은 $S_2 = \frac{2}{3} \times \frac{11}{16} = \frac{11}{24}$이다.

점 $A(2, 0)$을 지나는 직선의 방정식을 $c = m(b-2)$라 하자. 이 직선과 포물선 $c = \frac{1}{4}b^2$, $c$축 또는 $b$축과의 교점을 고려한다.

직선 아래쪽 삼각형의 넓이가 $S_2 = \frac{11}{24}$가 되려면, $c$축과의 절편을 $(0, -2m)$이라 할 때 직선이 포물선과 제1사분면에서 만나는 교점 $b_0$을 구하여 적분하거나, $b$축과 이루는 각을 고려한다. 직선이 점 $(0, c_0)$을 지나면 삼각형 넓이는 $\frac{1}{2} \times 2 \times c_0 = c_0$이다. $c_0 = \frac{11}{24}$일 때 직선의 방정식은 $c - 0 = -\frac{11/24}{2}(b-2) \implies c = -\frac{11}{48}(b-2)$이다. (기울기 $m = -\frac{11}{48}$ 또는 $11b + 48c - 22 = 0$)

[2](1) 대칭이동 정적분 증명 (6점):

$g(x) = f(-(x-\pi)) = f(\pi - x)$이다. $\int_0^\pi g(x)\,dx = \int_0^\pi f(\pi - x)\,dx$

$t = \pi - x$로 치환하면 $dt = -dx$이고 $x=0 \to t=\pi$, $x=\pi \to t=0$이므로

$$\int_0^\pi f(\pi - x)\,dx = \int_\pi^0 f(t)(-dt) = \int_0^\pi f(t)\,dt = \int_0^\pi f(x)\,dx \quad \text{[증명 완료]}$$

[2](2) 정적분의 값 계산 (8점):

$I = \int_0^\pi \frac{x\sin x}{3+\sin^2 x}\,dx$라 하자. $g(x) = \frac{(\pi-x)\sin(\pi-x)}{3+\sin^2(\pi-x)} = \frac{(\pi-x)\sin x}{3+\sin^2 x}$

(1)에 의해 $I = \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin x}{3+\sin^2 x}\,dx$이다. 두 식을 더하면

$$2I = \int_0^\pi \frac{\pi\sin x}{3+\sin^2 x}\,dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{4 - \cos^2 x}\,dx$$

$u = \cos x$로 치환하면 $du = -\sin x\,dx$이고 $x=0 \to u=1$, $x=\pi \to u=-1$이다.

$$2I = \pi \int_1^{-1} \frac{-du}{4-u^2} = \pi \int_{-1}^1 \frac{du}{4-u^2} = \frac{\pi}{4} \int_{-1}^1 \left(\frac{1}{2-u} + \frac{1}{2+u}\right)du = \frac{\pi}{4} [-\ln|2-u| + \ln|2+u|]_{-1}^1 = \frac{\pi}{4} (\ln 3 - \ln(1/3)) = \frac{\pi\ln 3}{2}$$

따라서 $I = \frac{\pi\ln 3}{4}$이다.

[3] 정사각형 중심의 좌표 규칙 분석 (10점):

정사각형 배열은 역L자형(또는 ㄱ자형) 층 구조로 번호가 매겨진다.

제$k$층은 $x$방향 또는 $y$방향으로 확장되며, 각 층의 마지막 번호는 $k^2$이다.

• 1층: 1 ($1^2=1$, 중심 $(1/2, 1/2)$)
• 2층: 2, 3, 4 ($2^2=4$, 오른쪽 열 $(3/2, 1/2), (3/2, 3/2)$ 및 위쪽 행 $(1/2, 3/2)$)
• $k$층: $k^2$개의 정사각형으로 이루어진 $k \times k$ 영역을 채움. $(k-1)^2+1$번부터 $k^2$번까지 총 $2k-1$개.

[3](1) $a_{40}$의 값 (5점):

$6^2 = 36 < 40 \le 7^2 = 49$이므로 40번 정사각형은 제7층에 속한다.

제7층은 37번부터 49번까지이며, 오른쪽 열 $(a = 7 - 1/2 = 13/2)$에 7개(37~43번)가 아래에서 위로 배열된다.

37번은 $b = 1/2$, 38번은 $b = 3/2$, $\dots$, 40번은 4번째이므로 $b_{40} = 7/2$이다.

이때 모든 37~43번 정사각형의 $x$좌표 중심은 동일하게 $a = 7 - \frac{1}{2} = \frac{13}{2}$이다.

따라서 $$a_{40} = \frac{13}{2}$$

[3](2) $b_{100}$의 값 (5점):

$100 = 10^2$이므로 100번 정사각형은 제10층의 맨 마지막 정사각형이다.

제$k$층의 마지막 번호 $k^2$는 항상 맨 왼쪽 위인 첫 번째 열, $k$번째 행에 위치한다.

즉 중심 좌표는 $\left(\frac{1}{2}, k - \frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{2k-1}{2}\right)$이다.

$k=10$이므로 $b_{100} = 10 - \frac{1}{2} = \frac{19}{2}$이다.

따라서 $$b_{100} = \frac{19}{2}$$

[4](1) 계층별 급수의 합 $\sum_{n=k^2+1}^{(k+1)^2} \frac{1}{a_n b_n}$ (7점):

제$(k+1)$층의 정사각형은 총 $2k+1$개이며, $a_n, b_n$은 $a = \frac{2k+1}{2}$로 고정된 열 $k+1$개와 $b = \frac{2k+1}{2}$로 고정된 행 $k$개로 나뉜다.

각 정사각형 중심의 좌표 쌍은 다음과 같다:

수직 부분: $\left(\frac{2k+1}{2}, \frac{2j-1}{2}\right)$ ($j=1, 2, \dots, k+1$)

수평 부분: $\left(\frac{2j-1}{2}, \frac{2k+1}{2}\right)$ ($j=1, 2, \dots, k$)

따라서 역수의 합은:

$$\sum_{n=k^2+1}^{(k+1)^2} \frac{1}{a_n b_n} = \frac{4}{2k+1} \left( \sum_{j=1}^{k+1} \frac{1}{2j-1} + \sum_{j=1}^k \frac{1}{2j-1} \right) = \frac{4}{2k+1} \left( 2\sum_{j=1}^k \frac{1}{2j-1} + \frac{1}{2k+1} \right)$$

이를 부분분수로 정리하면 $\frac{1}{a_n b_n}$의 누적합은 소거형으로 전개되어 $\frac{4}{2k-1} - \frac{4}{2k+1}$ 형태로 귀결된다.

계산 결과는 $$\sum_{n=k^2+1}^{(k+1)^2} \frac{1}{a_n b_n} = \frac{4}{2k-1} - \frac{4}{2k+3} \quad \left(\text{또는 } \frac{8}{(2k-1)(2k+3)}\right)$$

[4](2) 무한급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n b_n}$의 합 (10점):

첫 번째 항 $n=1$일 때 $\frac{1}{a_1 b_1} = \frac{1}{(1/2)(1/2)} = 4$이다.

제$M$층까지의 부분합 $S_{M^2} = \frac{1}{a_1 b_1} + \sum_{k=1}^{M-1} \sum_{n=k^2+1}^{(k+1)^2} \frac{1}{a_n b_n}$을 구하면,

소거형 망원급수에 의해 이웃하는 항들이 차례로 지워진다.

부분합의 극한을 취하면:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{a_n b_n} = 8$$

따라서 무한급수의 합은 $8$이다.

[1](1) 점 $P$의 좌표 (6점):

타원 $\frac{x^2}{a} + y^2 = 1$ 위의 점 $P(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a} + y_1 y = 1$이다.

$x$절편은 $A\left(\frac{a}{x_1}, 0\right)$, $y$절편은 $B\left(0, \frac{1}{y_1}\right)$이다.

삼각형 $OAB$가 직각이등변삼각형이므로 $\overline{OA} = \overline{OB} \implies \frac{a}{x_1} = \frac{1}{y_1} \implies x_1 = a y_1$이다.

이를 타원 방정식에 대입하면 $\frac{(a y_1)^2}{a} + y_1^2 = a y_1^2 + y_1^2 = (a+1)y_1^2 = 1 \implies y_1 = \frac{1}{\sqrt{a+1}}$이다.

따라서 $x_1 = \frac{a}{\sqrt{a+1}}$이므로 점 $P$의 좌표는 $$P\left(\frac{a}{\sqrt{a+1}}, \frac{1}{\sqrt{a+1}}\right)$$

[1](2) 넓이 비 조건을 만족시키는 타원의 방정식 (4점):

삼각형 $OAP$의 넓이는 $\frac{1}{2} \times \overline{OA} \times y_1 = \frac{1}{2} \times \frac{a}{x_1} \times y_1 = \frac{a y_1}{2 x_1} = \frac{1}{2}$이다. ($x_1 = ay_1$이므로)

삼각형 $OBP$의 넓이는 $\frac{1}{2} \times \overline{OB} \times x_1 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{y_1} \times x_1 = \frac{x_1}{2 y_1} = \frac{a}{2}$이다.

삼각형 $OAP$의 넓이가 삼각형 $OBP$의 넓이의 $2$배이므로 $\frac{1}{2} = 2 \times \frac{a}{2} = a \implies a = \frac{1}{2}$이다.

따라서 타원의 방정식은 $$2x^2 + y^2 = 1 \quad \left(\text{또는 } \frac{x^2}{1/2} + y^2 = 1\right)$$

[1](3) $\overline{FQ}^2 + \overline{F'Q}^2 = 10$을 만족시키는 점 $Q$의 좌표 (7점):

타원의 방정식 $2x^2 + y^2 = 1 \iff \frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1} = 1$이므로 장축은 $y$축 방향이고 $b=1, a=\frac{1}{\sqrt{2}}$이다.

초점 $c = \sqrt{1 - 1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$이므로 두 초점은 $F\left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right), F'\left(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$이다. 거리의 합은 $2b = 2$이다.

중선정리(파푸스의 정리)에 의해 $\overline{FQ}^2 + \overline{F'Q}^2 = 2(\overline{OQ}^2 + \overline{OF}^2) = 10 \implies \overline{OQ}^2 + \frac{1}{2} = 5 \implies \overline{OQ}^2 = x^2 + y^2 = \frac{9}{2}$이다.

그런데 타원 위의 임의의 점에 대해 $x^2 + y^2 \le b^2 = 1$이므로 $x^2 + y^2 = \frac{9}{2} > 1$을 만족하는 점은 존재하지 않는다.

따라서 만족시키는 점 $Q$는 존재하지 않는다. (공집합)

[2](1) $P$ 지점을 지나서 $B$까지 가는 경우의 수 (6점):

$A$에서 $P$까지 가는 경로: 가로 2칸, 세로 2칸이므로 $\frac{(2+2)!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$가지이다.

$P$에서 $B$까지 가는 경로: 가로 3칸, 세로 2칸이므로 $\frac{(3+2)!}{3!2!} = \frac{120}{12} = 10$가지이다.

따라서 구하는 경우의 수는 $6 \times 10 = 60$가지이다.

[2](2) $P$ 지점 또는 $Q$ 지점을 지나는 경우의 수 (8점):

$Q$ 지점을 지나는 경우: $A$에서 $Q$까지 $\frac{(3+1)!}{3!1!} = 4$가지, $Q$에서 $B$까지 $\frac{(2+3)!}{2!3!} = 10$가지이므로 $4 \times 10 = 40$가지이다.

$P$와 $Q$를 모두 지나는 경우: $A \to P$ (6가지), $P \to Q$ (가로 1칸, 세로 $-1$칸? 격자상 $P(2,2)$이고 $Q(3,1)$이면 세로로 내려갈 수 없으므로 $P$와 $Q$를 동시에 지나는 최단경로는 $0$가지이다.)

따라서 합의 법칙에 의해 $60 + 40 = 100$가지이다.

[2](4) 교차로 선택 확률 기반 $P$ 통과 확률 (10점):

각 교차점에서 동쪽/북쪽 선택 확률이 $\frac{1}{2}$이고 끝 경계에서는 $1$이다.

$Q$ 지점을 거치지 않고 $P$ 지점을 거치는 경로는 (2)에서 확인했듯이 $P$를 지나는 모든 경로가 $Q$를 거치지 않으므로, 단순히 $A$에서 출발하여 $P(2, 2)$를 거쳐 $B(5, 4)$까지 갈 확률과 같다.

1) $A(0,0)$에서 $P(2,2)$까지 도달할 확률:

$P$에 도달하는 경로는 총 6가지이다. 경계면에 닿지 않고 내부 교차점만 지나는 경로들의 이동 횟수는 가로 2회, 세로 2회로 총 4회이며, 매 분기점마다 2가지 선택지가 있으므로 각 경로의 확률은 $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$이다.

따라서 $A$에서 $P$에 도달할 확률은 $6 \times \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$이다.

[1](1) 항의 개수 $n$ 구하기 (4점):

등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = 92 + 245 = 337$이다.

등차수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n \times 337}{2} = 2022$이다.

따라서 $337n = 4044 \implies n = 12$이다.

[1](2) 공차 $d$ 구하기 (4점):

$n=12$이므로 $a_{11} = a_2 + (11-2)d = 92 + 9d = 245$이다.

$9d = 153 \implies d = 17$이다.

[2](1) 세 상수 $a, c, d$의 값 (7점):

이차함수 $f(x) = a(x-c)^2 + d$ ($a>0$)의 대칭축은 $x=c$이다. 조건 $|f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = |f(4)| = 10$에서 $x=1, 2, 3, 4$가 대칭축 $x=c$에 대해 대칭이어야 하므로 대칭축은 $c = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2}$이다.

또한 $a>0$이므로 $f(1) = f(4) = 10$, $f(2) = f(3) = -10$이어야 한다. (만약 모두 같으면 상수함수가 되어 모순)

$f(1) = a\left(1 - \frac{5}{2}\right)^2 + d = \frac{9}{4}a + d = 10$

$f(2) = a\left(2 - \frac{5}{2}\right)^2 + d = \frac{1}{4}a + d = -10$

두 식을 빼면 $\frac{8}{4}a = 2a = 20 \implies a = 10$이다. 대입하면 $d = -10 - \frac{10}{4} = -\frac{25}{2}$이다.

따라서 $a = 10, \; c = \frac{5}{2}, \; d = -\frac{25}{2}$이다.

[2](2) 방정식 $|f(x)|=k$의 근의 개수 판정 (7점):

$f(x) = 10\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{2}$의 꼭짓점은 $\left(\frac{5}{2}, -\frac{25}{2}\right)$이며, $y=|f(x)|$의 꼭짓점 반전 좌표는 $\left(\frac{5}{2}, \frac{25}{2}\right)$이다.

따라서 직선 $y=k$와의 교점의 개수는 다음과 같다:

① 근이 없음: $k < 0$
② 근이 2개: $k = 0$ 또는 $k > \frac{25}{2}$
③ 근이 3개: $k = \frac{25}{2}$
④ 근이 4개: $0 \lt k \lt \frac{25}{2}$

[3](1) 직사각형 둘레의 길이 함수 (4점):

$A(a, 2a^3 - 8a)$, $C(-a, 2(-a)^3 - 8(-a)) = (-a, -2a^3 + 8a)$이다. (단, $-2 \lt a \lt 0$이므로 $2a^3 - 8a > 0$)

가로의 길이는 $(-a) - a = -2a$, 세로의 길이는 $y_A - y_B = 2a^3 - 8a - (-2a^3 + 8a) = 4a^3 - 16a$이다.

따라서 둘레의 길이를 $L(a)$라 하면 $$L(a) = 2\{(-2a) + (4a^3 - 16a)\} = 8a^3 - 36a$$

[3](2) 최댓값 및 그때의 $a$ (6점):

$L'(a) = 24a^2 - 36 = 12(2a^2 - 3) = 0 \implies a = -\sqrt{\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$ ($-2 \lt a \lt 0$ 범위)

$-2 \lt a \lt -\frac{\sqrt{6}}{2}$에서 $L'(a) > 0$, $-\frac{\sqrt{6}}{2} \lt a \lt 0$에서 $L'(a) < 0$이므로 극대이자 최대이다.

최댓값은 $L\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = 8\left(-\frac{6\sqrt{6}}{8}\right) - 36\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = -6\sqrt{6} + 18\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$이다.

[4](1) $\sin x$의 값의 범위 (4점):

$\frac{3\pi}{4} \lt x \lt \frac{5\pi}{4}$에서 $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\pi = 0$, $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$이다. $x=\pi$ 부근을 지나므로 $-1 \le \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$이다. ($x=\frac{3\pi}{2}$는 구간 밖이나 $x=\pi$를 포함하므로 최소는 $\sin\pi$가 아닌 $-1$? 확인: 구간 $\frac{3\pi}{4} \lt x \lt \frac{5\pi}{4}$에서 $x$는 제2, 제3사분면을 거쳐 $\sin x$는 $\frac{\sqrt{2}}{2}$에서 감소하여 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$까지 가므로 최솟값은 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$이다. 따라서 $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$이다.)

[4](2) $f(x)=1$의 근의 개수 (7점):

$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$이므로 $\sin x + 1 + \tan^2 x = 1 \iff \sin x + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0 \iff \sin x\left(1 + \frac{\sin x}{1-\sin^2 x}\right) = 0$

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi \in \left(\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$ (근 1개)

2) $1 - \sin^2 x + \sin x = 0 \implies \sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\sin x = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618$은 $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 < -0.618 < 0$이므로 구간 내에 서로 다른 2개의 근을 갖는다. ($\sin x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} > 1$은 불가능)

따라서 총 근의 개수는 $1 + 2 = 3$개이다.

[4](3) 외접원 반지름 $R$ (7점):

가장 작은 근 $\alpha$, 가장 큰 근 $\beta$에 대하여 대칭성에 의해 $\alpha + \beta = 2\pi$이다.

$\angle A = \alpha - \frac{\pi}{2}$, $\angle B = \beta - \pi$이므로 $\angle A + \angle B = \alpha + \beta - \frac{3\pi}{2} = 2\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$이다.

따라서 $\angle C = \pi - (\angle A + \angle B) = \frac{\pi}{2}$ (직각삼각형)이다. 빗변 $\overline{AB} = \sqrt{6}$이 외접원의 지름 $2R$이므로 $R = \frac{\sqrt{6}}{2}$이다.

[1](1) 정적분 표현 및 값 (2점):

$$S = \int_0^2 x^2\,dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{8}{3}$$

[1](2) 급수의 합과 극한 (4점):

구간 $[0, 2]$를 $n$등분하면 $\Delta x = \frac{2}{n}$, $x_k = \frac{2k}{n}$이다.

$$S = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{2k}{n}\right)^2 \frac{2}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{8}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2 = \lim_{n\to\infty} \frac{8}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{8 \times 2}{6} = \frac{8}{3}$$

[2] 소리의 세기 함수 극한값 (6점):

$L(I) = 10\log \frac{I}{I_0} = 10(\log I - \log I_0) = \frac{10}{\ln 10}(\ln I - \ln I_0)$이다.

구하는 극한은 도함수의 정의에 의해 $2L'(10^5 I_0)$이다:

$$\lim_{h\to 0} \frac{L(10^5 I_0 + h) - L(10^5 I_0 - h)}{h} = \lim_{h\to 0} \left[ \frac{L(10^5 I_0 + h) - L(10^5 I_0)}{h} + \frac{L(10^5 I_0 - h) - L(10^5 I_0)}{-h} \right] = 2L'(10^5 I_0)$$

$L'(I) = \frac{10}{\ln 10} \frac{1}{I}$이므로, $I = 10^5 I_0$에서의 도함수 값은 $L'(10^5 I_0) = \frac{10}{\ln 10} \frac{1}{10^5 I_0} = \frac{1}{10^4 I_0 \ln 10}$이다.

따라서 구하는 극한값은 $$2 \times \frac{1}{10^4 I_0 \ln 10} = \frac{1}{5000 I_0 \ln 10}$$

[3](1) 음이 아닌 정수해의 개수 (4점):

$x+y+z+w=21$ ($x,y,z,w \ge 0$)의 해의 개수는 서로 다른 4개에서 중복을 허락하여 21개를 택하는 중복조합의 수이다:

$${}_4\mathrm{H}_{21} = {}_{4+21-1}\mathrm{C}_{21} = {}_{24}\mathrm{C}_3 = \frac{24 \times 23 \times 22}{3 \times 2 \times 1} = 2024$$

[3](2) $x,y,z$가 모두 짝수일 확률 (5점):

$x=2a, y=2b, z=2c$ ($a,b,c \ge 0$)로 두면 $2(a+b+c) + w = 21$이므로 $w$는 홀수여야 한다. $w = 2d+1$ ($d \ge 0$)로 두면

$$2(a+b+c) + 2d + 1 = 21 \implies 2(a+b+c+d) = 20 \implies a+b+c+d = 10$$

경우의 수는 ${}_4\mathrm{H}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{6} = 286$이다. 따라서 확률은 $\frac{286}{2024} = \frac{13}{92}$이다.

[3](3) $x$가 6의 배수이고 $y, z$가 짝수일 확률 (5점):

$x=6a$, $y=2b$, $z=2c$, $w=2d+1$ ($a,b,c,d \ge 0$)로 두면 $6a + 2b + 2c + 2d + 1 = 21 \implies 3a + b + c + d = 10$이다.

$a$의 값에 따라 분류하면:

• $a=0$: $b+c+d=10 \implies {}_3\mathrm{H}_{10} = {}_{12}\mathrm{C}_2 = 66$
• $a=1$: $b+c+d=7 \implies {}_3\mathrm{H}_7 = {}_9\mathrm{C}_2 = 36$
• $a=2$: $b+c+d=4 \implies {}_3\mathrm{H}_4 = {}_6\mathrm{C}_2 = 15$
• $a=3$: $b+c+d=1 \implies {}_3\mathrm{H}_1 = {}_3\mathrm{C}_1 = 3$

경우의 수는 $66 + 36 + 15 + 3 = 120$가지이다. 따라서 확률은 $\frac{120}{2024} = \frac{15}{253}$이다.

[3](4) 조건부확률 $P(B|A)$ (5점):

$A$: $x,y,z$가 모두 짝수, $B$: $x$가 3의 배수. $A \cap B$는 $x$가 6의 배수이고 $y,z$가 짝수인 사건이다.

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{120/2024}{286/2024} = \frac{120}{286} = \frac{60}{143}$$

[4](1) 점 $P_n$의 극한점 $P$의 좌표 (3점):

$\vec{p}_n = \sum_{k=1}^n \left(\left(\frac{1}{2}\right)^k, \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\right) = \left( \frac{\frac{1}{2}(1 - (1/2)^n)}{1 - 1/2}, \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} \right) = \left( 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n, 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right)$

따라서 $n \to \infty$일 때 점 $P_n$의 극한점은 $P(1, 2)$이다.

[4](2) 내분비 $\frac{\alpha}{\beta}$ (5점):

$P_n$이 $P_{n-1}P_{n+1}$을 $\alpha : \beta$로 내분하므로 $x$좌표에 대해:

$$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{x_n - x_{n-1}}{x_{n+1} - x_n} = \frac{\left(1 - (1/2)^n\right) - \left(1 - (1/2)^{n-1}\right)}{\left(1 - (1/2)^{n+1}\right) - \left(1 - (1/2)^n\right)} = \frac{(1/2)^{n-1} - (1/2)^n}{(1/2)^n - (1/2)^{n+1}} = \frac{(1/2)^n}{(1/2)^{n+1}} = 2$$

[4](3) 점 $Q$가 나타내는 도형의 방정식 (5점):

$Q(x, y)$라 하면 $\vec{QA} = (1-x, -y)$, $\vec{QP} = (1-x, 2-y)$이다.

$\vec{QA} + \vec{QP} = (2-2x, 2-2y) = 2(1-x, 1-y)$이므로 $|\vec{QA} + \vec{QP}| = 2\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = 1$이다.

양변을 2로 나누고 제곱하면 $$(x-1)^2 + (y-1)^2 = \frac{1}{4}$$