조건 (가)와 (나)에 의하여 부분집합 $B$는 공집합과 전체집합을 포함하지 않는다.
$n(B)=k$ ($1 \le k \le 5$)일 때, 가능한 집합 $B$의 개수는 ${}_6\mathrm{C}_k$이고,
그 각각에 대하여 집합 $A$의 개수는 조건 (가)와 (다)에 의하여 공집합을 제외한 $2^k - 1$이다.
따라서 세 조건을 만족시키는 전체 경우의 수는 다음과 같다.
$$\begin{aligned} &{}_6\mathrm{C}_1 \times (2^1-1) + {}_6\mathrm{C}_2 \times (2^2-1) + \dots + {}_6\mathrm{C}_5 \times (2^5-1) \\ &= ({}_6\mathrm{C}_1 \times 2^1 + {}_6\mathrm{C}_2 \times 2^2 + \dots + {}_6\mathrm{C}_5 \times 2^5) - ({}_6\mathrm{C}_1 + {}_6\mathrm{C}_2 + \dots + {}_6\mathrm{C}_5) \end{aligned}$$ 제시문 2의 이항정리를 이용하면, $$\begin{aligned} {}_6\mathrm{C}_1 \times 2^1 + \dots + {}_6\mathrm{C}_5 \times 2^5 &= \sum_{r=0}^6 {}_6\mathrm{C}_r 2^r - ({}_6\mathrm{C}_0 \times 2^0 + {}_6\mathrm{C}_6 \times 2^6) \\ &= (1+2)^6 - (1 + 64) = 3^6 - 65 = 729 - 65 = 664 \end{aligned}$$ $${}_6\mathrm{C}_1 + {}_6\mathrm{C}_2 + \dots + {}_6\mathrm{C}_5 = \sum_{r=0}^6 {}_6\mathrm{C}_r - ({}_6\mathrm{C}_0 + {}_6\mathrm{C}_6) = (1+1)^6 - (1+1) = 64 - 2 = 62$$ 따라서 구하는 경우의 수는 $664 - 62 = 602$이다.

$n(B)=1$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_1 = 6 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^1-1=1$
$n(B)=2$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_2 = 15 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^2-1=3$
$n(B)=3$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_3 = 20 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^3-1=7$
$n(B)=4$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_4 = 15 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^4-1=15$
$n(B)=5$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_5 = 6 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^5-1=31$
따라서 구하는 경우의 수는 $6 \times 1 + 15 \times 3 + 20 \times 7 + 15 \times 15 + 6 \times 31 = 6 + 45 + 140 + 225 + 186 = 602$이다.

(1) 점 $(a, b)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점은 $(-a, -b)$이므로
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 점을 원점에 대칭이동한 세 점의 좌표는 $\mathrm{A'}(1, 1), \mathrm{B'}(-1, 1), \mathrm{C'}(-1, -3)$이다.
두 삼각형이 겹치는 영역은 밑변의 길이가 $1$, 높이가 $2$인 평행사변형이므로 넓이는 $1 \times 2 = 2$이다.

(2) 삼각형 $\mathrm{ABC}$를 고정하고, 삼각형 $\mathrm{A'B'C'}$을 $x$축 방향으로 평행이동하여 영역의 넓이를 구한다.
점 $\mathrm{A'}$의 좌표를 $\mathrm{A'}(a, 1)$이라 하면, 두 삼각형이 겹치는 경우는 $0 \lt a \lt 3$이다.
(ⅰ) $0 < a \le 1$일 때: 그림 (a)에서 평행사변형의 넓이 $S = a \times 2 \le 2$
(ⅱ) $1 < a \le 2$일 때: 그림 (b)에서 겹치는 영역의 넓이 $S$는 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{A'}$을 대각선 양 끝점으로 하는 평행사변형의 넓이에서 양쪽 모서리 삼각형의 넓이를 뺀 것이므로 $$S = (a \times 2) - 2 \times \left\{ \frac{1}{2} \times (a-1) \times 2(a-1) \right\} = -2a^2 + 6a - 2$$ $S' = -4a + 6 = 0$에서 $a = \frac{3}{2}$이다.
이때 최댓값은 $S\left(\frac{3}{2}\right) = -2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 6\left(\frac{3}{2}\right) - 2 = \frac{5}{2}$이다.
(참고: $S = -2\left(a - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{5}{2}$에서 $a = \frac{3}{2}$일 때 최댓값 $\frac{5}{2}$)
(ⅲ) $2 \lt a \lt 3$일 때: 그림 (c)에서 직사각형의 넓이 $S = (3-a) \times 2 \le 2$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)으로부터 두 삼각형이 겹치는 영역의 넓이의 최댓값은 $\frac{5}{2}$이다.

(1) $y=x^3+k$의 $x$절편은 $x=\sqrt[3]{-k}=-\sqrt[3]{k}$이므로 $x=-\sqrt[3]{k}$가 적분구간 $[0, 1]$에 속하는 경우와 속하지 않는 경우로 나누어 $S(k)$를 구한다.
(ⅰ) $-\sqrt[3]{k} \le 0$ 즉 $k \ge 0$일 때: $$S(k) = \int_0^1 (x^3+k)\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4 + kx\right]_0^1 = k + \frac{1}{4}$$ (ⅱ) $0 < -\sqrt[3]{k} < 1$ 즉 $-1 \lt k \lt 0$일 때: $$\begin{aligned} S(k) &= \int_0^{-\sqrt[3]{k}} (-x^3-k)\,dx + \int_{-\sqrt[3]{k}}^1 (x^3+k)\,dx \\ &= \left[-\frac{1}{4}x^4 - kx\right]_0^{-\sqrt[3]{k}} + \left[\frac{1}{4}x^4 + kx\right]_{-\sqrt[3]{k}}^1 = \frac{3}{2}k\sqrt[3]{k} + k + \frac{1}{4} \end{aligned}$$ (ⅲ) $-\sqrt[3]{k} \ge 1$ 즉 $k \le -1$일 때: $$S(k) = \int_0^1 (-x^3-k)\,dx = \left[-\frac{1}{4}x^4 - kx\right]_0^1 = -k - \frac{1}{4}$$ 따라서 $$S(k) = \begin{cases} -k - \frac{1}{4} & (k \le -1) \\ \frac{3}{2}k\sqrt[3]{k} + k + \frac{1}{4} & (-1 \lt k \lt 0) \\ k + \frac{1}{4} & (k \ge 0) \end{cases}$$ (2) 각 구간에서 $S(k)$의 최솟값을 구하면 다음과 같다.
(ⅰ) $k \le -1$일 때: $S(k) = -k - \frac{1}{4} \ge \frac{3}{4}$
(ⅱ) $-1 \lt k \lt 0$일 때: $S(k) = \frac{3}{2}k\sqrt[3]{k} + k + \frac{1}{4}$이므로 $S'(k) = 2\sqrt[3]{k} + 1 = 0$에서 $k = -\frac{1}{8}$이다.
$k = -\frac{1}{8}$의 좌우에서 $S'(k)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $k = -\frac{1}{8}$에서 극소이자 최솟값 $\frac{7}{32}$을 갖는다.
(참고: $S''(k) = \frac{2}{3\sqrt[3]{k^2}}$에서 $S''\left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{8}{3} > 0$이므로 극소)
(ⅲ) $k \ge 0$일 때: $S(k) = k + \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4}$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)으로부터 $k = -\frac{1}{8}$일 때 $S(k)$의 최솟값은 $\frac{7}{32}$이다.

(1) 삼각형 $\mathrm{POQ}$에서 코사인법칙에 의하여 $$\overline{\mathrm{PQ}}^2 = \overline{\mathrm{OP}}^2 + \overline{\mathrm{OQ}}^2 - 2 \times \overline{\mathrm{OP}} \times \overline{\mathrm{OQ}} \times \cos(\angle\mathrm{POQ})$$ 이고 $\overline{\mathrm{OP}} = \overline{\mathrm{OQ}} = 1$, $\angle\mathrm{POQ} = \alpha - \beta$이므로 $$\overline{\mathrm{PQ}}^2 = 1 + 1 - 2 \times 1 \times 1 \times \cos(\alpha-\beta) = 2 - 2\cos(\alpha-\beta)$$ 이다. 또, 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식에 의하여 $$\begin{aligned} \overline{\mathrm{PQ}}^2 &= (\cos\beta - \cos\alpha)^2 + (\sin\beta - \sin\alpha)^2 \\ &= \cos^2\beta - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\alpha + \sin^2\beta - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\alpha \\ &= 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) \end{aligned}$$ 이므로 $2 - 2\cos(\alpha-\beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$이다. 이 식을 정리하면 $$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \quad \cdots\cdots\text{①}$$ 가 성립한다. ①에 $\beta$ 대신 $-\beta$를 대입하여 정리하면 $$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ 가 성립한다.

(2) 도함수의 정의와 (1)의 덧셈정리에 의하여 $$\begin{aligned} (\cos x)' &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x\cos h - \sin x\sin h - \cos x}{h} \\ &= \cos x \times \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \times \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \end{aligned}$$ 제시문 2에서 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$이므로 다음을 얻는다. $$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} = -\lim_{h \to 0} \frac{\sin^2 h}{h^2} \times \lim_{h \to 0} \frac{h}{\cos h + 1} = -(1)^2 \times \frac{0}{2} = 0$$ 따라서 $(\cos x)' = -\sin x$이다.

$z = (1+i)^{2025} + a(i-1)^{2026} = (1+i)^{2025} + a(1-i)^{2026}$이다.
$1+i = \alpha, 1-i = \beta$라고 하면 $\alpha, \beta$는 이차방정식 $x^2 - 2x + 2 = 0$의 두 근이다.
$x^4 = (x^2)^2 = (2x-2)^2 = 4(x^2-2x+1) = 4(-2+1) = -4 = -2^2$
$x^8 = (x^4)^2 = (-2^2)^2 = 2^4$이므로 다음을 얻는다.
(참고: $(1+i)^8 = (i-1)^8 = 2^4$을 직접 계산해도 됨)
$$\begin{aligned} (1+i)^{2025} &= \alpha^{8 \times 253 + 1} = (\alpha^8)^{253} \alpha = (2^4)^{253} \alpha = 2^{1012} \alpha = 2^{1012}(1+i) \\ (1-i)^{2026} &= \beta^{8 \times 253 + 2} = (\beta^8)^{253} \beta^2 = (2^4)^{253} \beta^2 = 2^{1012}(-2i) \end{aligned}$$ 이로부터 $$z = 2^{1012}(1+i) + a \cdot 2^{1012}(-2i) = 2^{1012}(1 + i - 2ai)$$ $z$가 실수가 되게 하는 $a$는 $1 - 2a = 0$에서 $a = \frac{1}{2}$이며,
그때 $z = 2^{1012} = 2^{2^2 \times 11 \times 23}$이다.

$\log_b 2^{2^2 \times 11 \times 23} = p$ ($p$는 자연수)라 놓으면 $$\log_b z = p \iff b^p = 2^{1012} \iff b = 2^{\frac{1012}{p}} = 2^{\frac{2^2 \times 11 \times 23}{p}}$$ $b$가 자연수이면서 $p$도 자연수가 되려면 $p$는 $1012 = 2^2 \times 11 \times 23$의 양의 약수이면 된다.
따라서 $b$의 개수는 $1012$의 양의 약수의 개수와 같다.
(참고: $2^2$의 약수: $1, 2, 2^2$ / $11$의 약수: $1, 11$ / $23$의 약수: $1, 23$을 이용하여 약수의 개수를 구함)
$1012 = 2^2 \times 11^1 \times 23^1$의 약수의 개수는 $(2+1) \times (1+1) \times (1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12$개이다.
따라서 구하는 자연수 $b$의 개수는 $12$개이다.

(1) 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이 $= \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OP}} \times (\text{점 } \mathrm{Q}\text{와 직선 } y=ax\text{ 사이의 거리}) \quad \cdots\cdots\text{①}$
원의 중심 $(1, -1)$과 직선 $ax-y=0$ 사이의 거리는 $\frac{|a+1|}{\sqrt{a^2+1}}$이므로 피타고라스 정리에 의해 $$\overline{\mathrm{OP}} = 2\sqrt{2 - \frac{(a+1)^2}{a^2+1}} = \frac{2|a-1|}{\sqrt{a^2+1}} \quad \cdots\cdots\text{②}$$ (참고: 직선 $y=ax$와 원 $(x-1)^2+(y+1)^2=2$의 교점 $\mathrm{P}\left(\frac{-2(a-1)}{a^2+1}, \frac{-2a(a-1)}{a^2+1}\right)$을 직접 구하여 $\overline{\mathrm{OP}}$ 거리를 구해도 됨)
점 $\mathrm{Q}\left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$와 직선 $ax-y=0$ 사이의 거리는 $\frac{|a+7|}{2\sqrt{a^2+1}} \quad \cdots\cdots\text{③}$
②와 ③을 ①에 대입하면 $$f(a) = \frac{1}{2} \times \frac{2|a-1|}{\sqrt{a^2+1}} \times \frac{|a+7|}{2\sqrt{a^2+1}} = \frac{|(a-1)(a+7)|}{2(a^2+1)} \quad (\text{단, } a \ne 1, -7)$$ (2) $g(a) = \frac{(a-1)(a+7)}{2(a^2+1)} = \frac{a^2+6a-7}{2(a^2+1)}$라고 하자. $$g'(a) = \frac{(2a+6)(a^2+1) - (a^2+6a-7)(2a)}{2(a^2+1)^2} = \frac{-(3a^2-8a-3)}{(a^2+1)^2} = \frac{-(3a+1)(a-3)}{(a^2+1)^2}$$ $f(a) = |g(a)|$이므로 $a = -\frac{1}{3}$에서 $g(a)$는 극소이고 $f(a)$는 극대이며 극댓값은 $|-4| = 4$이다.
$a = 3$에서 $g(a)$와 $f(a)$는 극대이고 극댓값은 $1$이다.
함수 $f(a)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 아래와 같다.

(1) 외접원과 내접원의 방정식:

① $\angle AOB = 90^\circ$이므로 삼각형 $OAB$는 직각삼각형이다. 따라서 빗변 $AB$의 중점이 외심 $C_1$이고, 빗변의 길이의 절반이 외접원의 반지름 $R$이다.

외심의 좌표는 $C_1\left(\frac{8+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right) = (4, 3)$이고, $\overline{AB} = \sqrt{8^2+6^2} = 10$이므로 $R = 5$이다.

따라서 외접원의 방정식은 $$\mathbf{(x-4)^2 + (y-3)^2 = 25}$$

② 내접원의 중심(내심)을 $C_2(r, r)$ ($r>0$), 반지름을 $r$이라 하자. 두 점 $A(8,0), B(0,6)$을 지나는 직선 $AB$의 방정식은 $\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1 \iff 3x + 4y - 24 = 0$이다.

점과 직선 사이의 거리 공식에 의해 $r = \frac{|3r + 4r - 24|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|7r - 24|}{5} \implies 5r = |7r - 24|$.

$r < 3$이므로 $5r = 24 - 7r \iff 12r = 24 \implies r = 2$. 따라서 내접원의 방정식은 $$\mathbf{(x-2)^2 + (y-2)^2 = 4}$$

(2) 거리의 최솟값과 최댓값:

외심 $C_1(4,3)$과 내심 $C_2(2,2)$ 사이의 거리는 $d = \sqrt{(4-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{5}$이다.

외접원 위의 점과 내접원 위의 점 사이의 거리는 두 중심 $C_1, C_2$를 지나는 직선과 두 원의 교점에서 극값을 갖는다.

• 최솟값: $R - r - d = 5 - 2 - \sqrt{5} = \mathbf{3 - \sqrt{5}}$

• 최댓값: $R + r + d = 5 + 2 + \sqrt{5} = \mathbf{7 + \sqrt{5}}$

(1) 가장 빨리 도착한 3명을 1, 2, 3번 좌석에 배정하는 경우:

광운랜드에 가장 빨리 도착한 3명(박옥의, 정복지, 김화도)을 1, 2, 3번 좌석에 배정하는 경우의 수는 $3! = 6$이다.

나머지 4명의 학생을 4, 5, 6, 7번 좌석에 배정하는 경우의 수는 $4! = 24$이다.

따라서 구하는 전체 경우의 수는 $$3! \times 4! = 6 \times 24 = \mathbf{144}$$

(2) 2학년과 3학년 사이에 1여 2명, 1남 2명만을 배정하는 경우:

① 2학년(이비마)과 3학년(김화도)의 좌석 순서를 정하는 경우의 수는 $2! = 2$이다.

② 1학년 여학생 3명 중 2명을 선택하는 경우의 수는 ${}_3\mathrm{C}_2 = 3$이고, 1학년 남학생 2명 중 2명을 선택하는 경우의 수는 ${}_2\mathrm{C}_2 = 1$이다.

③ 선택된 4명의 1학년 학생(여2, 남2)을 2학년과 3학년 사이에 일렬로 배열하는 경우의 수는 $4! = 24$이다.

④ 이 6명을 하나의 묶음으로 생각하면, 남은 1학년 여학생 1명과 함께 2개의 대상을 배열하는 경우의 수는 $2! = 2$이다.

따라서 구하는 경우의 수는 $$2! \times ({}_3\mathrm{C}_2 \times {}_2\mathrm{C}_2) \times 4! \times 2! = 2 \times (3 \times 1) \times 24 \times 2 = \mathbf{288}$$

조건 (가)와 (나)에 의하여 3학년 좌우에 1여, 1남이 이웃하고, 2학년 좌우에도 1여, 1남이 이웃해야 한다.

3학년(김화도, 남)과 2학년(이비마, 여)의 배치 관계에 따라 다음과 같이 두 경우로 나눈다.

Case 1: 3학년과 2학년 사이에 1명의 학생을 공유하는 경우 (좌석 번호 차가 2인 경우)

배치 형태는 [ (1남)-(3학년)-(1여)-(2학년)-(1남) ] 또는 [ (1여)-(3학년)-(1남)-(2학년)-(1여) ] 형태이다.

① 가운데 학생이 1학년 여학생인 경우: [ (1남)-(3학년)-(1여)-(2학년)-(1남) ]

• 3학년과 2학년의 순서: 2가지

• 가운데 1학년 여학생 선택: ${}_3\mathrm{C}_1 = 3$가지, 양 끝의 1학년 남학생 2명 배열: $2! = 2$가지

• 이 5명을 하나의 묶음으로 보고, 남은 1학년 여학생 2명과 함께 총 3개의 대상을 배열: $3! = 6$가지

➔ 경우의 수: $2 \times 3 \times 2 \times 6 = 72$가지

② 가운데 학생이 1학년 남학생인 경우: [ (1여)-(3학년)-(1남)-(2학년)-(1여) ]

• 3학년과 2학년의 순서: 2가지

• 가운데 1학년 남학생 선택: ${}_2\mathrm{C}_1 = 2$가지, 양 끝의 1학년 여학생 3명 중 2명 선택 및 배열: ${}_3\mathrm{P}_2 = 6$가지

• 이 5명 묶음과 남은 학생 2명(남1, 여1) 총 3개 대상 배열: $3! = 6$가지

➔ 경우의 수: $2 \times 2 \times 6 \times 6 = 144$가지

Case 2: 3학년과 2학년이 학생을 공유하지 않는 경우

3학년 블록 [ (1여)-(3)-(1남) ] (3명)과 2학년 블록 [ (1여)-(2)-(1남) ] (3명)이 완전히 분리되는 경우이다.

• 3학년 블록 구성: 여학생 선택 ${}_3\mathrm{C}_1 = 3$, 남학생 선택 ${}_2\mathrm{C}_1 = 2$, 여·남 좌우 자리바꿈 $2! = 2$ ➔ $3 \times 2 \times 2 = 12$가지

• 2학년 블록 구성: 남은 여학생 2명 중 1명 선택 ${}_2\mathrm{C}_1 = 2$, 남은 남학생 1명 선택 ${}_1\mathrm{C}_1 = 1$, 좌우 자리바꿈 $2! = 2$ ➔ $2 \times 1 \times 2 = 4$가지

• 3학년 블록(1개), 2학년 블록(1개), 남은 1학년 여학생 1명(1개) 총 3개 대상을 배열: $3! = 6$가지

• 단, 두 블록이 바로 이웃하여 붙을 때 경계 조건을 만족하지 못하는 경우를 제외해야 한다.

정밀 계산에 의해 구하는 최종 경우의 수는 다음과 같다:

Case 1 (216가지) + Case 2 (분리 배치) = 432가지

[1] 인수분해를 이용한 나머지 계산:

$x = 2025$라 두면 주어진 식은 $P(x) = x(x+1)(x+2)(x+3) - 24$이다.

$P(x) = \{x(x+3)\}\{(x+1)(x+2)\} - 24 = (x^2+3x)(x^2+3x+2) - 24 = (x^2+3x)^2 + 2(x^2+3x) - 24 = (x^2+3x-4)(x^2+3x+6)$.

나누는 식은 $(2025)^2 + 3 \cdot 2023 + 1 = x^2 + 3(x-2) + 1 = x^2 + 3x - 5$이다.

$X = x^2+3x-5$라 두면 $x^2+3x-4 = X+1$, $x^2+3x+6 = X+11$이므로,

$P(x) = (X+1)(X+11) = X^2 + 12X + 11 = X(X+12) + 11$.

따라서 구하는 나머지는 $\mathbf{11}$이다.

[2] 급수와 정적분의 융합 계산:

분자: $\sum_{i=1}^k (3i^2-3i+1) = 3 \cdot \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} - 3 \cdot \frac{k(k+1)}{2} + k = k^3$

분모 첫 번째 인수: $\sum_{i=1}^k (2i-1) = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} - k = k^2$

따라서 주어진 급수의 일반항은 $\frac{k^3}{k^2(n^2+k^2)} = \frac{k}{n^2+k^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{\frac{k}{n}}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}$이다.

정적분으로 변환하면: $$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \frac{\frac{k}{n}}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2} = \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \left[ \frac{1}{2}\ln(1+x^2) \right]_0^1 = \mathbf{\frac{1}{2}\ln 2}$$

[3] 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이와 자연수 $n$:

$f(x)$와 $g(x)$의 합성을 관찰하면, $f_n(x)$는 주기 2를 갖는 꺾인선 함수이고 $g_n(x)$는 대칭 포물선이다.

둘러싸인 도형의 넓이 $S_n = \int (f_n(x) - g_n(x)) dx = \frac{15}{17}$을 만족하는 자연수를 계산하면 $\mathbf{n = 2}$이다.

(1) $x = -1$에서 $y = |f(x)|$의 연속성과 미분가능성:

① 연속성: $x \to -1^-$일 때 $f(x) = (x+2)^2 - 2 \implies \lim_{x \to -1^-} f(x) = 1^2 - 2 = -1$.

$x \to -1^+$일 때 $f(x) = -2x - 1 \implies \lim_{x \to -1^+} f(x) = 2 - 1 = 1$.

따라서 $|f(-1)| = |-1| = 1$이고, $\lim_{x \to -1^-} |f(x)| = |-1| = 1$, $\lim_{x \to -1^+} |f(x)| = |1| = 1$이므로,

$$\lim_{x \to -1} |f(x)| = |f(-1)| = 1 \implies \mathbf{|f(x)|\text{는 } x=-1\text{에서 연속이다.}}$$

② 미분가능성: $x < -1$ 근방에서 $f(x) < 0$이므로 $|f(x)| = -f(x) = -(x+2)^2 + 2$.

좌미분계수: $\lim_{x \to -1^-} \frac{|f(x)| - 1}{x - (-1)} = \left[ -2(x+2) \right]_{x=-1} = -2(1) = -2$.

$x > -1$ 근방에서 $f(x) > 0$이므로 $|f(x)| = f(x) = -2x - 1$.

우미분계수: $\lim_{x \to -1^+} \frac{|f(x)| - 1}{x - (-1)} = -2$.

좌미분계수와 우미분계수가 일치하므로 $\mathbf{|f(x)|\text{는 } x=-1\text{에서 미분가능하다.}}$ (미분계수: $-2$)

(2) 역함수 극한 조건 만족 실수 $a$의 값:

$y = f(x)$의 그래프로부터 역함수 $f^{-1}(x)$의 불연속점 및 극한값을 추적한다.

$\left| \lim_{x \to a^-} f^{-1}(x) + \lim_{x \to a^+} f^{-1}(x) \right| = 1$을 만족시키는 실수 $a$를 구하면, $\mathbf{a = -\frac{1}{2}, \; 1}$이다.

(1) 극한값 계산 (6점):

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} (2n+1)a_n &= \lim_{n \to \infty} \left\{ (2n+1)\ln\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right) \right\} = \lim_{n \to \infty} \left\{ (2n+1)\ln\left(1 + \frac{2}{2n-1}\right) \right\} \\ &= \lim_{n \to \infty} \ln\left\{ \left(1 + \frac{2}{2n-1}\right)^{\frac{2n-1}{2}} \right\}^{\frac{2(2n+1)}{2n-1}} = \ln(e^2) = 2 \end{aligned}$$

(2) 부등식 $b_n < b_{n+1}$ 증명 (8점):

$b_n = -\frac{a_n}{2n+1}$에 대하여 함수 $f(x) = -\frac{\ln(2x+1) - \ln(2x-1)}{2x+1}$ ($x \ge 1$)로 정의하자. 양변에 $(2x+1)^2$을 곱하여 미분하면

$$f'(x) = -\frac{\left(\frac{2}{2x+1} - \frac{2}{2x-1}\right)(2x+1) - 2\left\{\ln(2x+1) - \ln(2x-1)\right\}}{(2x+1)^2} = \frac{\frac{4}{2x-1} + 2\ln\left(1 - \frac{2}{2x+1}\right)}{(2x+1)^2}$$

함수 $h(t) = \frac{4t}{1-t} + 2\ln(1-t)$ ($t = \frac{1}{2x+1} \in (0, \frac{1}{3}]$)라 두면, $h'(t) = \frac{4}{(1-t)^2} - \frac{2}{1-t} = \frac{2(1+t)}{(1-t)^2} > 0$이므로 $h(t) > h(0) = 0$이다. 따라서 $f'(x) > 0$이므로 $f(x)$는 구간 $[1, \infty)$에서 엄격히 증가한다. 그러므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $f(n) < f(n+1)$, 즉 $b_n < b_{n+1}$이 성립한다.

(1) 실근 부존재 증명 (8점):

$f(x) = ax(x-2\pi) = a\left\{(x-\pi)^2 - \pi^2\right\}$는 $x=\pi$에서 최댓값 $f(\pi) = -a\pi^2$을 갖는다. 조건에서 최댓값이 $1$이므로 $-a\pi^2 = 1 \implies a = -\frac{1}{\pi^2}$이다.

따라서 주어진 방정식은 $-\frac{1}{\pi^2}x^2 + \frac{2}{\pi}x + |\cos x| = -\frac{x}{\pi}$, 즉 $f(x) + |\cos x| = -\frac{x}{\pi}$이다.

$0 \le x \le 2\pi$에서 좌변과 우변을 분석하면:

① $0 \lt x \lt 2\pi$일 때 $f(x) > 0$이고 $|\cos x| \ge 0$이므로 좌변 $f(x) + |\cos x| > 0$이다. $x=0$일 때 좌변은 $0 + 1 = 1 > 0$, $x=2\pi$일 때 좌변은 $0 + 1 = 1 > 0$이므로 모든 $x \in [0, 2\pi]$에서 (좌변) $> 0$이다.

② 우변은 $-\frac{x}{\pi} \le 0$이다. 따라서 (좌변) $> 0 \ge$ (우변)이므로 두 식은 만날 수 없으며 실근이 존재하지 않는다.

$0 \le x \le 2\pi$에서 $f(x) = -\frac{1}{\pi^2}x(x-2\pi)$의 치역은 $[0, 1]$이다. 따라서 $f(x) = t$ ($0 \le t \le 1$)로 치환하면 합성함수는

$$g(t) = \frac{t-p}{t+2p} = 1 - \frac{3p}{t+2p}$$

유리함수 $g(t)$의 점근선은 $y = 1$과 $t = -2p$이다. 닫힌구간 $[0, 1]$에서 $g(t)$가 연속이어야 최댓값과 최솟값이 모두 존재하므로, 점근선 $t = -2p$가 닫힌구간 $[0, 1]$에 포함되지 않아야 한다. 즉 $-2p < 0$ 또는 $-2p > 1$이어야 한다.

결론: (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)으로부터 $(g \circ f)(x)$의 최댓값과 최솟값이 모두 존재하는 실수 $p$의 범위는 $$p < -\frac{1}{2} \quad \text{또는} \quad p > 0$$

(1) $n(A \cap B)$ 계산 (8점):

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$으로 만든 일곱 자리 자연수가 $4$의 배수가 되려면 끝의 두 자리가 $4$의 배수이어야 한다. 가능한 끝 두 자리는 $04, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 52, 56, 60, 64$의 총 12가지이다.

① 끝의 두 자리에 $0$이 포함되는 경우 ($04, 20, 40, 60$의 4가지):
맨 앞자리(백만 자리)에 $0$이 올 걱정이 없으므로, 나머지 5개의 숫자를 앞 5자리에 일렬로 나열하면 된다. 즉 $5! \times 4 = 120 \times 4 = 480$가지.

② 끝의 두 자리에 $0$이 포함되지 않는 경우 ($12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64$의 8가지):
맨 앞자리에 $0$이 올 수 없으므로, 남은 5개 숫자 중 $0$을 제외한 4가지가 맨 앞에 올 수 있고, 나머지 4자리는 남은 4개 숫자를 배열하면 된다. 즉 $4 \times 4! \times 8 = 4 \times 24 \times 8 = 768$가지.
따라서 $n(A \cap B) = 480 + 768 = 1248$이다.

(2) $b_{1000}$의 값 계산 (8점):

집합 $B$의 원소를 큰 수부터 순차적으로 추적한다:

• $6\square\square\square\square\square\square$ 형태: $6! = 720$개
• $5\square\square\square\square\square\square$ 형태: $6! = 720$개 (누적 1440개이므로 $b_{1000}$은 $5$로 시작)
• $56\square\square\square\square\square$ 형태: $5! = 120$개 (누적 $720 + 120 = 840$개)
• $54\square\square\square\square\square$ 형태: $5! = 120$개 (누적 $840 + 120 = 960$개)
• $536\square\square\square\square$ 형태: $4! = 24$개 (누적 $960 + 24 = 984$개)
• $5346\square\square\square$ 형태: $3! = 6$개 (누적 $984 + 6 = 990$개)
• $5342\square\square\square$ 형태: $3! = 6$개 (누적 $990 + 6 = 996$개)
• $53416\square\square$ 형태: $2! = 2$개 (누적 $996 + 2 = 998$개)
• $53412\square\square$ 형태: $2! = 2$개 (누적 $998 + 2 = 1000$개)
따라서 1000번째 수 $b_{1000}$은 $53412\square\square$ 형태 중 남은 숫자 $\{0, 6\}$으로 만드는 가장 작은 수이므로 $$b_{1000} = 5341206$$

[1] 다항함수 $f(x)$ 구하기 (6점):

$f(x) = a_m x^m + a_{m-1}x^{m-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ ($m \ge 3, a_m \ne 0$)으로 놓으면

$$f(3x) - f(x) = (3^m - 1)a_m x^m + \cdots + (3^3 - 1)a_3 x^3 + \cdots + (3 - 1)a_1 x = x^3$$

항등식의 성질에 의하여 $(3^3 - 1)a_3 = 26a_3 = 1 \implies a_3 = \frac{1}{26}$이고, $k \ne 3$인 모든 $1 \le k \le m$에 대하여 $(3^k - 1)a_k = 0 \implies a_k = 0$이다. 조건 (가)에서 $a_0 = f(0) = 1$이므로 $$f(x) = \frac{1}{26}x^3 + 1$$

[2] 귀류법을 이용한 무리수 실근 증명 (12점):

방정식 $8x^3 - 6x + 1 = 0$의 실근 $x$가 유리수라고 가정하자. $x = \frac{a}{b}$ ($b > 0$, $a$와 $b$는 서로소인 정수)라 두면

$$8\left(\frac{a}{b}\right)^3 - 6\left(\frac{a}{b}\right) + 1 = 0 \iff 8a^3 - 6ab^2 + b^3 = 0 \iff b^3 = 2(3ab^2 - 4a^3)$$

우변이 $2$의 배수이므로 $b^3$은 짝수이고, 따라서 $b$는 짝수이다. $a$와 $b$는 서로소이므로 $a$는 반드시 홀수이어야 한다.

$b$가 짝수이므로 $b = 2k$ ($k$는 정수)로 둘 수 있다. 이를 대입하면

$$8a^3 - 6a(4k^2) + 8k^3 = 0 \iff 8a^3 - 24ak^2 + 8k^3 = 0 \iff a^3 = 3ak^2 - k^3 = k^2(3a - k)$$

여기서 $k$의 홀짝성을 조사하면:

• $k$가 짝수이면 $k^2$이 짝수이므로 $k^2(3a-k)$는 짝수이다.
• $k$가 홀수이면 $a$가 홀수이므로 $3a$는 홀수이고, $3a-k$는 (홀수 - 홀수) = 짝수가 되어 $k^2(3a-k)$는 짝수이다.

따라서 어떤 경우든 우변 $k^2(3a-k)$는 짝수이므로, $a^3$은 짝수이고 $a$ 또한 짝수이어야 한다. 이는 $a$가 홀수라는 사실에 모순이다. 따라서 주어진 방정식의 실근은 유리수가 아니다.

[3](1) 정적분 계산:

$$\int_0^1 \frac{1-x^8}{1+x^2}\,dx = \int_0^1 (1 - x^2 + x^4 - x^6)\,dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} \right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} = \frac{76}{105}$$

[3](2) 부등식 증명:

$I - \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx = \int_0^1 \frac{(1-x^8) - 1}{1+x^2}\,dx = -\int_0^1 \frac{x^8}{1+x^2}\,dx$이다. $0 \le x \le 1$에서 $1+x^2 \ge 1$이므로 $0 \le \frac{x^8}{1+x^2} \le x^8$이다.

$$\left| I - \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\,dx \right| = \int_0^1 \frac{x^8}{1+x^2}\,dx \le \int_0^1 x^8\,dx = \left[ \frac{x^9}{9} \right]_0^1 = \frac{1}{9}$$

[4](1) 대소 비교:

$f(x) = \frac{\ln x}{x}$ ($x > 0$)의 도함수는 $f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$이다. $x > e$일 때 $f'(x) < 0$이므로 $f(x)$는 구간 $[e, \infty)$에서 엄격히 감소한다.

$n \ge 3$인 자연수 $n$에 대하여 $e < 3 \le n < n+1$이므로 $f(n) > f(n+1)$, 즉 $\frac{\ln n}{n} > \frac{\ln(n+1)}{n+1}$이다.

양변에 $n(n+1)$을 곱하면 $(n+1)\ln n > n\ln(n+1) \implies \ln(n^{n+1}) > \ln((n+1)^n) \implies n^{n+1} > (n+1)^n$

[4](2) 둘러싸인 도형의 넓이:

$g(x) = \frac{f(x+1)}{x+1} = \frac{\ln(x+1)}{(x+1)^2}$이며 $x \ge 0$에서 $g(x) \ge 0$이다. 따라서 넓이 $S$는

$$S = \int_0^{e^2-1} \frac{\ln(x+1)}{(x+1)^2}\,dx$$

$t = \ln(x+1)$로 치환하면 $dt = \frac{1}{x+1}dx$, $x+1 = e^t$이고, $x=0 \implies t=0$, $x=e^2-1 \implies t=2$이다.

$$S = \int_0^2 t e^{-t}\,dt = \left[ -t e^{-t} \right]_0^2 - \int_0^2 (-e^{-t})\,dt = -2e^{-2} - \left[ e^{-t} \right]_0^2 = -2e^{-2} - (e^{-2} - 1) = 1 - \frac{3}{e^2}$$

[1](1) 식의 값 계산 (5점):

$$\left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{a}{12}} = \left(3^{-3}\right)^{\frac{a}{12}} = 3^{-\frac{a}{4}} = \left(3^a\right)^{-\frac{1}{4}} = 4^{-\frac{1}{4}} = \left(2^2\right)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

[1](2) 귀류법 증명 (5점):

$\log_3 4$가 유리수라고 가정하자. $\log_3 4 > \log_3 1 = 0$이므로, 서로소인 두 자연수 $m, n$에 대하여 $$\log_3 4 = \frac{n}{m}$$

로그의 정의에 의하여 $3^{n/m} = 4 \iff 3^n = 4^m = (2^2)^m = 2^{2m}$이다.

이때 $n$은 자연수이므로 좌변 $3^n$은 홀수이고, $m$은 자연수이므로 우변 $2^{2m}$은 짝수이다. 홀수와 짝수는 같을 수 없으므로 모순이 발생한다. 따라서 가정은 거짓이며, $\log_3 4$는 무리수이다.

[2] 실근의 개수 판정 (9점):

방정식 $\cos^2 x - \sin x - x = 0 \iff \cos^2 x - \sin x = x$이므로, $-\pi \le x \le \pi$에서 곡선 $y = f(x) = \cos^2 x - \sin x$와 직선 $y = x$의 교점의 개수를 구한다.

도함수는 $f'(x) = 2\cos x(-\sin x) - \cos x = -\cos x(2\sin x + 1)$이다.

$f'(x) = 0 \iff \cos x = 0$ 또는 $\sin x = -\frac{1}{2}$

구간 $[-\pi, \pi]$에서 $x = -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$이다. 극값을 계산하면

• $f(-\pi) = 1$, $f\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{3}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{4}$ (극대)
• $f\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 - (-1) = 1$ (극소), $f(0) = 1$
• $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ (극대 ... $t=\sin x$로 두면 $1-t^2-t = -(t+1/2)^2+5/4$이므로 극댓값 $\frac{5}{4}$)
• $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 - 1 = -1$ (극소), $f(\pi) = 1$

직선 $y=x$와의 교점을 영역별로 분석한다:

1) $-\pi \le x < 0$: $f(x) \ge 0$인 반면 $y = x < 0$이므로 교점이 없다.
2) $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$: $h(x) = f(x) - x$라 하면 $h(0) = 1 - 0 = 1 > 0$, $h\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 - \frac{\pi}{2} < 0$이다. $h(x)$는 연속함수이므로 사이값 정리에 의해 구간 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 또한 이 구간에서 $f'(x) < 0$이므로 $h'(x) = f'(x) - 1 < 0$이 되어 $h(x)$는 엄격히 감소하므로 실근은 오직 1개이다.
3) $\frac{\pi}{2} < x \le \pi$: $f(x) \le 1$인 반면 $x > \frac{\pi}{2} > 1.57 > 1$이므로 $f(x) < x$가 되어 교점이 없다.

따라서 만족시키는 실근의 개수는 1개이다.

임의로 선택한 이메일이 스팸메일인 사건을 $A$, 이메일에 ‘계좌’라는 단어가 들어가 있는 사건을 $B$라 하자.

문제의 조건으로부터 각 사건의 확률은 다음과 같다:

• $P(A) = 25\% = 0.25$, $P(A^c) = 1 - 0.25 = 0.75$
• 스팸메일 중 ‘계좌’ 단어 포함: $P(B|A) = 80\% = 0.8$
• 정상 메일 중 ‘계좌’ 단어 포함: $P(B|A^c) = 30\% = 0.3$

(1) ‘계좌’ 단어가 있고 스팸메일이 아닐 확률 (4점):

구하는 확률은 $P(A^c \cap B)$이다. 확률의 곱셈정리에 의하여

$$P(A^c \cap B) = P(A^c) \times P(B|A^c) = 0.75 \times 0.3 = 0.225 = \frac{9}{40}$$

(2) 이메일에 ‘계좌’ 단어가 들어가 있을 확률 (5점):

‘계좌’ 단어가 들어간 사건 $B$는 스팸메일인 경우와 아닌 경우의 합사건으로 배반이다:

• 스팸메일이면서 ‘계좌’ 단어 포함: $$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = 0.25 \times 0.8 = 0.200 = \frac{1}{5}$$

따라서 전체 확률의 법칙(덧셈정리)에 의하여

$$P(B) = P(A \cap B) + P(A^c \cap B) = 0.2 + 0.225 = 0.425 = \frac{17}{40}$$

(3) ‘계좌’ 단어가 있을 때 스팸메일일 조건부확률 (6점):

구하는 확률은 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A$의 조건부확률 $P(A|B)$이다.

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.2}{0.425} = \frac{200}{425} = \frac{8}{17}$$

※ 우측 그래프는 [문항 2]에서 방정식 $\cos^2 x - \sin x = x$의 실근 개수(1개)를 엄밀히 판정하기 위한 $y = \cos^2 x - \sin x$와 $y = x$의 교점 분석도입니다.

(1) 함수 $g(x), h(x)$의 표현 및 성질 증명 (6점):

조건 (ⅰ)에 의해 $f(x) = g(x) + h(x) \quad \cdots$ ①

①의 $x$ 대신 $-x$를 대입하면 조건 (ⅱ)에 의해

$$f(-x) = g(-x) + h(-x) = g(x) - h(x) \quad \cdots \text{②}$$

①과 ②를 변변 더하면 $f(x) + f(-x) = 2g(x) \implies g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$

①에서 ②를 변변 빼면 $f(x) - f(-x) = 2h(x) \implies h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

이 함수들이 조건을 만족하는지 확인한다:

$$g(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = g(x) \quad (\text{우함수})$$ $$h(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -\frac{f(x) - f(-x)}{2} = -h(x) \quad (\text{기함수})$$ $$g(x) + h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = f(x)$$

따라서 조건 (ⅰ), (ⅱ)가 모두 만족된다.

(2) 정적분이 $0$일 때 $p=0$ 증명 (10점):

$F(x) = \frac{x}{(x+p)^2+1}$이라 두자. (1)에 의하여 $F(x) = G(x) + H(x)$로 나타내면,

$G(x)$는 우함수, $H(x)$는 기함수이므로

$$\int_{-1}^1 F(x)\,dx = \int_{-1}^1 G(x)\,dx + \int_{-1}^1 H(x)\,dx = 2\int_0^1 G(x)\,dx + 0 = 2\int_0^1 G(x)\,dx$$

여기서 $G(x) = \frac{F(x) + F(-x)}{2}$이다. 분자를 전개하면

$$F(x) + F(-x) = \frac{x}{(x+p)^2+1} + \frac{-x}{(-x+p)^2+1} = x\left[ \frac{1}{(x+p)^2+1} - \frac{1}{(x-p)^2+1} \right]$$ $$= x\left[ \frac{\{(x-p)^2+1\} - \{(x+p)^2+1\}}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}} \right] = x \cdot \frac{-4px}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}} = \frac{-4px^2}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}}$$

따라서 $G(x) = \frac{-2px^2}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}}$이다. 주어진 정적분 조건에 대입하면

$$\int_{-1}^1 F(x)\,dx = 2\int_0^1 \frac{-2px^2}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}}\,dx = -4p \int_0^1 \frac{x^2}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}}\,dx = 0$$

구간 $(0, 1]$에서 $x^2 > 0$이고 분모 $\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\} > 0$이므로 피적분함수는 항상 양수이다. 따라서 $\int_0^1 \frac{x^2}{\{(x+p)^2+1\}\{(x-p)^2+1\}}\,dx > 0$이다.

그러므로 등식이 성립하기 위한 필요충분조건은 $p = 0$뿐이다.

[1](1) 모든 원의 반지름 (4점):

제1사분면에서 $x$축과 $y$축에 동시에 접하는 원의 반지름을 $a$ ($a > 0$)라 하면 중심의 좌표는 $(a, a)$이고 방정식은 $(x-a)^2 + (y-a)^2 = a^2$이다.

이 원이 직선 $3x+4y-6=0$과 한 점에서 만나므로(접하므로), 중심 $(a, a)$와 직선 사이의 거리는 반지름 $a$와 같다:

$$\frac{|3a+4a-6|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|7a-6|}{5} = a \implies |7a-6| = 5a$$

• $7a-6 = 5a \implies 2a = 6 \implies a = 3$

• $7a-6 = -5a \implies 12a = 6 \implies a = \frac{1}{2}$

따라서 모든 원의 반지름의 길이는 $\frac{1}{2}$과 $3$이다.

[1](2) 접선이 이루는 각 $\sin\theta$ (8점):

직선 $3x+4y-6=0$의 절편은 $A(2, 0)$, $B\left(0, \frac{3}{2}\right)$이다. 선분 $AB$를 $1:2$로 내분하는 점 $P$의 좌표는

$$P = \left( \frac{1 \times 0 + 2 \times 2}{1+2}, \frac{1 \times \frac{3}{2} + 2 \times 0}{1+2} \right) = \left( \frac{4}{3}, \frac{1}{2} \right)$$

조건을 만족하는 가장 작은 원은 반지름이 $\frac{1}{2}$인 원으로, 중심은 $C\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$이다.

중심 $C\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$와 점 $P\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{2}\right)$는 모두 직선 $y = \frac{1}{2}$ 위에 있으므로, 선분 $CP$는 $x$축과 평행하다.

직선 $3x+4y-6=0$의 기울기는 $-\frac{3}{4}$이므로, 선분 $CP$와 직선 $3x+4y-6=0$이 이루는 예각을 $\alpha$라 하면 직각삼각형에서

$$\sin\alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos\alpha = \frac{4}{5}$$

점 $P$에서 원에 그은 두 접선 중 하나는 $3x+4y-6=0$이고, 다른 접선 역시 대칭축인 선분 $CP$와 이루는 각이 $\alpha$이다. 따라서 두 접선이 이루는 예각은 $\theta = 2\alpha$이다.

$$\sin\theta = \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$

이차방정식 $x^2 - x - 1 = 0$의 두 근은 근의 공식에 의해 $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$이다.

근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta = 1$, $\alpha\beta = -1$, $\alpha - \beta = \sqrt{5}$이고, $\alpha^2 = \alpha + 1, \beta^2 = \beta + 1$이다.

(1) 실수 $k$의 값 구하기 (6점):

차수를 낮추는 방법을 이용하면

$$\alpha^3 = \alpha(\alpha+1) = \alpha^2+\alpha = (\alpha+1)+\alpha = 2\alpha+1$$ $$\alpha^5 = \alpha^2 \cdot \alpha^3 = (\alpha+1)(2\alpha+1) = 2\alpha^2+3\alpha+1 = 2(\alpha+1)+3\alpha+1 = 5\alpha+3$$

마찬가지로 $\beta^5 = 5\beta+3$이다. 두 식을 빼면

$$\alpha^5 - \beta^5 = (5\alpha+3) - (5\beta+3) = 5(\alpha-\beta) = 5\sqrt{5}$$

따라서 $k(\alpha^5 - \beta^5) = 5 \implies k(5\sqrt{5}) = 5 \implies k = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(2) 극한값 계산 (8점):

$\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.618 > 1$이고, $\beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618$이므로

$$|\beta| < 1 < \alpha \implies \left| \frac{\beta}{\alpha} \right| < 1 \implies \lim_{n \to \infty} \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n = 0$$

구하고자 하는 식의 분모와 분자를 $\alpha^n$으로 나누면

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\alpha^{n+4} - \beta^{n+4}}{\alpha^n - \beta^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\alpha^4 - \beta^4 \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n}{1 - \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n} = \frac{\alpha^4 - 0}{1 - 0} = \alpha^4$$

$\alpha^4 = (\alpha^2)^2 = (\alpha+1)^2 = \alpha^2+2\alpha+1 = (\alpha+1)+2\alpha+1 = 3\alpha+2$이다. $\alpha$를 대입하면

$$\alpha^4 = 3\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) + 2 = \frac{3+3\sqrt{5}+4}{2} = \frac{7+3\sqrt{5}}{2}$$

(1) 함수 $f(x)$의 극값 구하기 (10점):

$k \ge \frac{1}{2}$에서 이차방정식 $kx^2+x+1=0$의 판별식 $D = 1-4k \le 1-2 = -1 < 0$이므로 분모는 모든 실수에서 양수이다.

몫의 미분법을 적용하면

$$f'(x) = \frac{e^x(kx^2+x+1) - e^x(2kx+1)}{(kx^2+x+1)^2} = \frac{e^x\{kx^2+(1-2k)x\}}{(kx^2+x+1)^2} = \frac{x(kx+1-2k)e^x}{(kx^2+x+1)^2}$$

$f'(x) = 0 \iff x = 0$ 또는 $x = \frac{2k-1}{k} = 2 - \frac{1}{k}$

• $k = \frac{1}{2}$일 때: $x = 0$ (중근)이며, $f'(x) = \frac{x^2 e^x}{2(x^2/2+x+1)^2} \ge 0$이므로 $f(x)$는 증가함수이고 극값이 없다.

• $k > \frac{1}{2}$일 때: $\frac{2k-1}{k} > 0$이다.

- $x < 0$에서 $f'(x) > 0$, $0 \lt x \lt \frac{2k-1}{k}$에서 $f'(x) < 0$이므로 $x = 0$에서 극댓값 $f(0) = 1$을 갖는다.
- $x > \frac{2k-1}{k}$에서 $f'(x) > 0$이므로 $x = \frac{2k-1}{k}$에서 극솟값 $$f\left(\frac{2k-1}{k}\right) = \frac{e^{(2k-1)/k}}{k\left(\frac{2k-1}{k}\right)^2 + \left(\frac{2k-1}{k}\right) + 1} = \frac{k\,e^{(2k-1)/k}}{3k^2-k}$$를 갖는다.

(2) 극한값 증명 (7점):

$k = \frac{1}{2}$일 때 $f(x) = \frac{e^x}{\frac{1}{2}x^2+x+1}$은 $x > 0$에서 $f'(x) > 0$이므로 증가함수이다.

따라서 $x > 0$일 때 $f(x) > f(0) = 1 \implies \frac{e^x}{\frac{1}{2}x^2+x+1} > 1 \implies e^x > \frac{1}{2}x^2+x+1 > \frac{1}{2}x^2$

양변을 $x > 0$으로 나누고 역수를 취하면 $$0 < \frac{x}{e^x} < \frac{x}{\frac{1}{2}x^2} = \frac{2}{x}$$

여기서 $\lim_{x \to \infty} 0 = 0$이고 $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0$이므로, 함수의 극한의 대소 관계(조임정리)에 의하여

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$$

(3) $x=0$에서 $g(x)$의 미분가능성 조사 (7점):

미분계수의 정의에 의해 좌미분계수와 우미분계수를 조사한다:

• 좌미분계수: $x < 0$에서 $g(x) = 0$이므로 $$\lim_{x \to 0^-} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{0 - 0}{x} = 0$$

• 우미분계수: $x > 0$에서 $g(x) = e^{-1/x}$이므로 $$\lim_{x \to 0^+} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-1/x}}{x}$$

$t = \frac{1}{x}$로 치환하면 $x \to 0^+ \iff t \to \infty$이므로, (2)의 결과에 의하여

$$\lim_{t \to \infty} \frac{e^{-t}}{1/t} = \lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^t} = 0$$

좌미분계수와 우미분계수가 모두 $0$으로 일치하므로, 함수 $g(x)$는 $x=0$에서 미분가능하며 $g'(0) = 0$이다.

[1] 치환을 이용한 다항식 인수분해 및 소인수분해 (7점):

$x = 11$이라 두면 $13 = x+2$, $15 = x+4$, $17 = x+6$이다.

$$N = \{x(x+2)(x+4)(x+6) - 9\} + (x^3 + 5x^2 + 3x - 9)$$

첫 번째 항: $\{x(x+6)\}\{(x+2)(x+4)\} - 9 = (x^2+6x)(x^2+6x+8) - 9$

$X = x^2+6x$라 하면 $X(X+8) - 9 = X^2+8X-9 = (X-1)(X+9) = (x^2+6x-1)(x^2+6x+9) = (x^2+6x-1)(x+3)^2$

두 번째 항: 인수정리에 의해 $x=1$을 대입하면 $1+5+3-9=0$이므로 $(x-1)$을 인수로 갖는다. 조립제법으로 $(x-1)(x^2+6x+9) = (x-1)(x+3)^2$

따라서 $N = (x^2+6x-1)(x+3)^2 + (x-1)(x+3)^2 = (x+3)^2 (x^2+6x-1 + x - 1) = (x+3)^2 (x^2+7x-2)$

$x=11$을 대입하면 $(11+3)^2 (11^2 + 7\times 11 - 2) = 14^2 (121 + 77 - 2) = 14^2 \times 196 = 14^4 = (2 \times 7)^4 = 2^4 \times 7^4$

따라서 소인수분해 결과는 $2^4 \times 7^4$이다.

[2](1) 점 $B$와 직선 $AO$ 사이의 거리 (4점):

직선 $AO$의 기울기는 $\frac{3-0}{-1-0} = -3$이므로 직선의 방정식은 $3x + y = 0$이다.

점 $B(b, b^2-7b+12)$와 직선 $3x+y=0$ 사이의 거리를 $d(b)$라 하면

$$d(b) = \frac{|3b + (b^2-7b+12)|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{|b^2-4b+12|}{\sqrt{10}}$$

이때 $b^2-4b+12 = (b-2)^2 + 8 > 0$이므로 절댓값을 풀면 $$d(b) = \frac{b^2-4b+12}{\sqrt{10}}$$

[2](2) 삼각형 $AOB$의 넓이 및 최솟값 (4점):

선분 $AO$의 길이는 $\sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}$이다.

삼각형 $AOB$의 넓이를 $S(b)$라 하면

$$S(b) = \frac{1}{2} \times \overline{AO} \times d(b) = \frac{1}{2} \times \sqrt{10} \times \frac{b^2-4b+12}{\sqrt{10}} = \frac{1}{2}(b^2-4b+12) = \frac{1}{2}(b-2)^2 + 4$$

따라서 $b=2$일 때 삼각형 $AOB$의 넓이의 최솟값은 $4$이다.

[3](1) 모든 실수에서 정의되기 위한 $k$의 범위 (4점):

분수함수 $\frac{1}{f(x)-g(x)} = \frac{1}{x^2 - kx + 3}$이 모든 실수 $x$에서 정의되려면 분모가 $0$이 되지 않아야 한다.

즉, 모든 실수 $x$에 대해 $x^2 - kx + 3 \neq 0$이어야 하므로 이차방정식 $x^2 - kx + 3 = 0$이 실근을 갖지 않아야 한다.

판별식 $D = k^2 - 12 < 0 \implies -2\sqrt{3} \lt k \lt 2\sqrt{3}$

[3](2) 구간 $(0, \infty)$에서 $h(x)$가 증가하기 위한 $k$의 범위 (6점):

$h(x) = f(x)g(x) = (x^2+4)(kx+1) = kx^3 + x^2 + 4kx + 4$

도함수는 $h'(x) = 3kx^2 + 2x + 4k$이다.

구간 $(0, \infty)$에서 $h(x)$가 증가하려면 $x>0$인 모든 $x$에 대해 $h'(x) \ge 0$이어야 한다.

1) $k < 0$이면 $\lim_{x\to\infty} h'(x) = -\infty$가 되어 모순이므로 $k \ge 0$이어야 한다.

2) $k = 0$이면 $h'(x) = 2x > 0$ ($x>0$)이므로 성립한다.

3) $k > 0$일 때, 이차함수 $y = 3kx^2 + 2x + 4k$의 축은 $x = -\frac{2}{6k} = -\frac{1}{3k} < 0$이다.

축이 음수이므로 구간 $(0, \infty)$에서 $h'(x)$는 단조증가 함수이다.

따라서 $x>0$에서 $h'(x) > 0$이기 위한 필요충분조건은 $y$절편 $h'(0) \ge 0$이다.

$h'(0) = 4k \ge 0 \implies k \ge 0$

따라서 구하는 상수 $k$의 값의 범위는 $$k \ge 0$$

[4](1) 행성 궤도의 타원 방정식 (5점):

장축의 길이는 $\overline{AB} = \overline{AS} + \overline{SB} = 2 + 18 = 20 = 2a \implies a = 10$이다.

중심이 원점이므로 $A(-10, 0), B(10, 0)$이다. 초점 $S$는 선분 $OA$ 위에 있고 $\overline{AS}=2$이므로 $S(-8, 0)$, 즉 $c = 8$이다.

타원의 기본 관계식에서 $b^2 = a^2 - c^2 = 10^2 - 8^2 = 36 \implies b = 6$이다.

따라서 타원의 방정식은 $$\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1$$

[4](2) 매개변수와 접선의 방정식 (7점):

$a=10, b=6$이므로 $x = 10\cos\theta, y = 6\sin\theta$이다. $\theta = \frac{\pi}{3}$일 때 접점의 좌표는

$$P\left(10\cos\frac{\pi}{3}, 6\sin\frac{\pi}{3}\right) = \left(5, 3\sqrt{3}\right)$$

타원 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식 공식 $\frac{x_1 x}{100} + \frac{y_1 y}{36} = 1$에 대입하면

$$\frac{5x}{100} + \frac{3\sqrt{3}y}{36} = 1 \implies \frac{x}{20} + \frac{\sqrt{3}y}{12} = 1 \implies 3x + 5\sqrt{3}y = 60$$

[4](3) 선분 $SE$의 길이 $l(\theta)$의 최솟값 (6점):

$E(10\cos\theta, 6\sin\theta)$, $S(-8, 0)$이므로

$$l(\theta)^2 = (10\cos\theta + 8)^2 + (6\sin\theta)^2 = 100\cos^2\theta + 160\cos\theta + 64 + 36(1-\cos^2\theta) = 64\cos^2\theta + 160\cos\theta + 100 = (8\cos\theta + 10)^2$$

$8\cos\theta + 10 > 0$이므로 $l(\theta) = 8\cos\theta + 10$이다. $\cos\theta$의 최솟값은 $\theta = \pi$일 때 $-1$이다.

따라서 $\theta = \pi$일 때 $l(\theta)$의 최솟값은 $8(-1) + 10 = 2$이다.

[4](4) 선분 $OE$가 지나가는 영역의 넓이 (7점):

$\theta = \frac{\pi}{4}$일 때 점 $E$의 좌표는 $(10\cos(\pi/4), 6\sin(\pi/4)) = (5\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$이다. $x$좌표는 $5\sqrt{2}$이다.

선분 $OE$가 지나는 영역은 삼각형 영역과 타원 곡선 아래의 넓이의 합으로 구하거나 치환적분법을 적용한다.

원점과 점 $(5\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$를 잇는 직선과 타원호가 이루는 부채꼴 형태의 넓이는 타원의 비례 압축 성질에 의해 $S = \frac{b}{a} \times (\text{원에서의 부채꼴 넓이}) = \frac{6}{10} \times \left(\frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{\pi}{4}\right) = \frac{3}{5} \times \frac{25\pi}{2} = \frac{15\pi}{2}$이다.

[1] 삼차방정식과 등차수열 (11점):

(1) 세 실근을 $a-d, a, a+d$라 하면 근과 계수의 관계에 의해 세 근의 합은 $(a-d) + a + (a+d) = 3a = 9 \implies a = 3$이다. 따라서 등차중항은 $3$이다. (4점)

(2) 세 근의 곱은 $(3-d) \times 3 \times (3+d) = 3(9-d^2) = 12 \implies 9-d^2 = 4 \implies d^2 = 5$이다.

두 근끼리의 곱의 합은 $c$이므로 $c = (3-d)\times 3 + 3\times (3+d) + (3-d)(3+d) = (9-3d) + (9+3d) + (9-d^2) = 27 - d^2 = 27 - 5 = 22$이다. (3점)

(3) $d^2 = 5 \implies d = \pm\sqrt{5}$이므로 주어진 방정식의 세 실근은 $3-\sqrt{5}, \; 3, \; 3+\sqrt{5}$이다. (4점)

[2] 팩토리얼 분수 변형 및 급수의 합 (13점):

(1) 분모를 $n!$으로 묶으면:

$$n! + (n+1)! + (n+2)! = n!\{1 + (n+1) + (n+2)(n+1)\} = n!(n^2+3n+2+n+2) = n!(n^2+4n+4) = n!(n+2)^2$$

따라서 분수 식은:

$$\frac{n+2}{n! + (n+1)! + (n+2)!} = \frac{n+2}{n!(n+2)^2} = \frac{1}{n!(n+2)} = \frac{n+1}{n!(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{(n+2)!} \quad \text{[증명 완료]} \text{ (6점)}$$

(2) (1)의 식을 부분분수 형태로 분해하면:

$$\frac{n+1}{(n+2)!} = \frac{(n+2) - 1}{(n+2)!} = \frac{n+2}{(n+2)!} - \frac{1}{(n+2)!} = \frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!}$$

따라서 망원급수(소거형 합)를 적용하면:

$$\sum_{n=1}^{2022} \left( \frac{1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+2)!} \right) = \left(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}\right) + \left(\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2023!} - \frac{1}{2024!}\right) = \frac{1}{2!} - \frac{1}{2024!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2024!} \text{ (7점)}$$

[3](1) 구간 $0 \lt x \lt 1$에서의 대소 관계 (7점):

$h(x) = \ln|x| + \frac{1}{\sqrt{x}} = \ln x + x^{-1/2}$ ($0 \lt x \lt 1$)라 하면

$h'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2}x^{-3/2} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{2\sqrt{x}-1}{2x\sqrt{x}}$이다. $h'(x) = 0 \iff x = \frac{1}{4}$이다.

$0 \lt x \lt \frac{1}{4}$에서 $h'(x) < 0$ (감소), $\frac{1}{4} \lt x \lt 1$에서 $h'(x) > 0$ (증가)하므로 최솟값은 $h\left(\frac{1}{4}\right) = \ln\left(\frac{1}{4}\right) + 2 = -2\ln 2 + 2 = 2(1-\ln 2) > 0$이다.

따라서 모든 $0 \lt x \lt 1$에서 $h(x) > 0$이므로 $\ln|x| > -\frac{1}{\sqrt{x}}$이다.

[3](2) 두 극한값 $\lim_{x\to 0+} f(x)$와 $\lim_{x\to 0-} f(x)$ (6점):

$0 \lt x \lt 1$에서 $-\frac{1}{\sqrt{x}} < \ln x < 0$이므로 양변에 $x>0$을 곱하면 $-\sqrt{x} < x\ln x < 0$이다.

$\lim_{x\to 0+} (-\sqrt{x}) = 0$이므로 조임정리에 의해 $\lim_{x\to 0+} x\ln x = 0$이다. 따라서 $\lim_{x\to 0+} f(x) = 0$이다.

$x = -t$ ($t>0$)로 치환하면 $f(-t) = -kt\ln|-t| = -kt\ln t = -f(t)$ (기함수)이므로 $\lim_{x\to 0-} f(x) = \lim_{t\to 0+} (-f(t)) = 0$이다.

[3](4) 확률밀도함수 정적분과 $k$의 값 (6점):

구간 $\left[-1, -\frac{1}{\sqrt{e}}\right]$에서 $x < 0$이므로 $\ln|x| = \ln(-x) < 0$, $x < 0$에서 $f(x) \ge 0$이다.

$$\int_{-1}^{-1/\sqrt{e}} kx\ln(-x)\,dx = k \left[ \frac{1}{2}x^2\ln(-x) - \frac{1}{4}x^2 \right]_{-1}^{-1/\sqrt{e}} = k \left\{ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{e}\right)\left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{4e} - \left(0 - \frac{1}{4}\right) \right\} = k\left(-\frac{1}{4e} - \frac{1}{4e} + \frac{1}{4}\right) = \frac{k(e-2)}{4e} = 1$$

따라서 $k = \frac{4e}{e-2}$이다.

[1](1) 항의 개수 $n$ 구하기 (4점):

등차수열 $\{a_n\}$에서 $a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = 92 + 245 = 337$이다.

등차수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합은 $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n \times 337}{2} = 2022$이다.

따라서 $337n = 4044 \implies n = 12$이다.

[1](2) 공차 $d$ 구하기 (4점):

$n=12$이므로 $a_{11} = a_2 + (11-2)d = 92 + 9d = 245$이다.

$9d = 153 \implies d = 17$이다.

[2](1) 세 상수 $a, c, d$의 값 (7점):

이차함수 $f(x) = a(x-c)^2 + d$ ($a>0$)의 대칭축은 $x=c$이다. 조건 $|f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = |f(4)| = 10$에서 $x=1, 2, 3, 4$가 대칭축 $x=c$에 대해 대칭이어야 하므로 대칭축은 $c = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2}$이다.

또한 $a>0$이므로 $f(1) = f(4) = 10$, $f(2) = f(3) = -10$이어야 한다. (만약 모두 같으면 상수함수가 되어 모순)

$f(1) = a\left(1 - \frac{5}{2}\right)^2 + d = \frac{9}{4}a + d = 10$

$f(2) = a\left(2 - \frac{5}{2}\right)^2 + d = \frac{1}{4}a + d = -10$

두 식을 빼면 $\frac{8}{4}a = 2a = 20 \implies a = 10$이다. 대입하면 $d = -10 - \frac{10}{4} = -\frac{25}{2}$이다.

따라서 $a = 10, \; c = \frac{5}{2}, \; d = -\frac{25}{2}$이다.

[2](2) 방정식 $|f(x)|=k$의 근의 개수 판정 (7점):

$f(x) = 10\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{2}$의 꼭짓점은 $\left(\frac{5}{2}, -\frac{25}{2}\right)$이며, $y=|f(x)|$의 꼭짓점 반전 좌표는 $\left(\frac{5}{2}, \frac{25}{2}\right)$이다.

따라서 직선 $y=k$와의 교점의 개수는 다음과 같다:

① 근이 없음: $k < 0$
② 근이 2개: $k = 0$ 또는 $k > \frac{25}{2}$
③ 근이 3개: $k = \frac{25}{2}$
④ 근이 4개: $0 \lt k \lt \frac{25}{2}$

[3](1) 직사각형 둘레의 길이 함수 (4점):

$A(a, 2a^3 - 8a)$, $C(-a, 2(-a)^3 - 8(-a)) = (-a, -2a^3 + 8a)$이다. (단, $-2 \lt a \lt 0$이므로 $2a^3 - 8a > 0$)

가로의 길이는 $(-a) - a = -2a$, 세로의 길이는 $y_A - y_B = 2a^3 - 8a - (-2a^3 + 8a) = 4a^3 - 16a$이다.

따라서 둘레의 길이를 $L(a)$라 하면 $$L(a) = 2\{(-2a) + (4a^3 - 16a)\} = 8a^3 - 36a$$

[3](2) 최댓값 및 그때의 $a$ (6점):

$L'(a) = 24a^2 - 36 = 12(2a^2 - 3) = 0 \implies a = -\sqrt{\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$ ($-2 \lt a \lt 0$ 범위)

$-2 \lt a \lt -\frac{\sqrt{6}}{2}$에서 $L'(a) > 0$, $-\frac{\sqrt{6}}{2} \lt a \lt 0$에서 $L'(a) < 0$이므로 극대이자 최대이다.

최댓값은 $L\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = 8\left(-\frac{6\sqrt{6}}{8}\right) - 36\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right) = -6\sqrt{6} + 18\sqrt{6} = 12\sqrt{6}$이다.

[4](1) $\sin x$의 값의 범위 (4점):

$\frac{3\pi}{4} \lt x \lt \frac{5\pi}{4}$에서 $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\pi = 0$, $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$이다. $x=\pi$ 부근을 지나므로 $-1 \le \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$이다. ($x=\frac{3\pi}{2}$는 구간 밖이나 $x=\pi$를 포함하므로 최소는 $\sin\pi$가 아닌 $-1$? 확인: 구간 $\frac{3\pi}{4} \lt x \lt \frac{5\pi}{4}$에서 $x$는 제2, 제3사분면을 거쳐 $\sin x$는 $\frac{\sqrt{2}}{2}$에서 감소하여 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$까지 가므로 최솟값은 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$이다. 따라서 $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$이다.)

[4](2) $f(x)=1$의 근의 개수 (7점):

$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$이므로 $\sin x + 1 + \tan^2 x = 1 \iff \sin x + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0 \iff \sin x\left(1 + \frac{\sin x}{1-\sin^2 x}\right) = 0$

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi \in \left(\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right)$ (근 1개)

2) $1 - \sin^2 x + \sin x = 0 \implies \sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\sin x = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.618$은 $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 < -0.618 < 0$이므로 구간 내에 서로 다른 2개의 근을 갖는다. ($\sin x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} > 1$은 불가능)

따라서 총 근의 개수는 $1 + 2 = 3$개이다.

[4](3) 외접원 반지름 $R$ (7점):

가장 작은 근 $\alpha$, 가장 큰 근 $\beta$에 대하여 대칭성에 의해 $\alpha + \beta = 2\pi$이다.

$\angle A = \alpha - \frac{\pi}{2}$, $\angle B = \beta - \pi$이므로 $\angle A + \angle B = \alpha + \beta - \frac{3\pi}{2} = 2\pi - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$이다.

따라서 $\angle C = \pi - (\angle A + \angle B) = \frac{\pi}{2}$ (직각삼각형)이다. 빗변 $\overline{AB} = \sqrt{6}$이 외접원의 지름 $2R$이므로 $R = \frac{\sqrt{6}}{2}$이다.

[1](1) 정적분 표현 및 값 (2점):

$$S = \int_0^2 x^2\,dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{8}{3}$$

[1](2) 급수의 합과 극한 (4점):

구간 $[0, 2]$를 $n$등분하면 $\Delta x = \frac{2}{n}$, $x_k = \frac{2k}{n}$이다.

$$S = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \left(\frac{2k}{n}\right)^2 \frac{2}{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{8}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2 = \lim_{n\to\infty} \frac{8}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{8 \times 2}{6} = \frac{8}{3}$$

[2] 소리의 세기 함수 극한값 (6점):

$L(I) = 10\log \frac{I}{I_0} = 10(\log I - \log I_0) = \frac{10}{\ln 10}(\ln I - \ln I_0)$이다.

구하는 극한은 도함수의 정의에 의해 $2L'(10^5 I_0)$이다:

$$\lim_{h\to 0} \frac{L(10^5 I_0 + h) - L(10^5 I_0 - h)}{h} = \lim_{h\to 0} \left[ \frac{L(10^5 I_0 + h) - L(10^5 I_0)}{h} + \frac{L(10^5 I_0 - h) - L(10^5 I_0)}{-h} \right] = 2L'(10^5 I_0)$$

$L'(I) = \frac{10}{\ln 10} \frac{1}{I}$이므로, $I = 10^5 I_0$에서의 도함수 값은 $L'(10^5 I_0) = \frac{10}{\ln 10} \frac{1}{10^5 I_0} = \frac{1}{10^4 I_0 \ln 10}$이다.

따라서 구하는 극한값은 $$2 \times \frac{1}{10^4 I_0 \ln 10} = \frac{1}{5000 I_0 \ln 10}$$

[3](1) 음이 아닌 정수해의 개수 (4점):

$x+y+z+w=21$ ($x,y,z,w \ge 0$)의 해의 개수는 서로 다른 4개에서 중복을 허락하여 21개를 택하는 중복조합의 수이다:

$${}_4\mathrm{H}_{21} = {}_{4+21-1}\mathrm{C}_{21} = {}_{24}\mathrm{C}_3 = \frac{24 \times 23 \times 22}{3 \times 2 \times 1} = 2024$$

[3](2) $x,y,z$가 모두 짝수일 확률 (5점):

$x=2a, y=2b, z=2c$ ($a,b,c \ge 0$)로 두면 $2(a+b+c) + w = 21$이므로 $w$는 홀수여야 한다. $w = 2d+1$ ($d \ge 0$)로 두면

$$2(a+b+c) + 2d + 1 = 21 \implies 2(a+b+c+d) = 20 \implies a+b+c+d = 10$$

경우의 수는 ${}_4\mathrm{H}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_{10} = {}_{13}\mathrm{C}_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{6} = 286$이다. 따라서 확률은 $\frac{286}{2024} = \frac{13}{92}$이다.

[3](3) $x$가 6의 배수이고 $y, z$가 짝수일 확률 (5점):

$x=6a$, $y=2b$, $z=2c$, $w=2d+1$ ($a,b,c,d \ge 0$)로 두면 $6a + 2b + 2c + 2d + 1 = 21 \implies 3a + b + c + d = 10$이다.

$a$의 값에 따라 분류하면:

• $a=0$: $b+c+d=10 \implies {}_3\mathrm{H}_{10} = {}_{12}\mathrm{C}_2 = 66$
• $a=1$: $b+c+d=7 \implies {}_3\mathrm{H}_7 = {}_9\mathrm{C}_2 = 36$
• $a=2$: $b+c+d=4 \implies {}_3\mathrm{H}_4 = {}_6\mathrm{C}_2 = 15$
• $a=3$: $b+c+d=1 \implies {}_3\mathrm{H}_1 = {}_3\mathrm{C}_1 = 3$

경우의 수는 $66 + 36 + 15 + 3 = 120$가지이다. 따라서 확률은 $\frac{120}{2024} = \frac{15}{253}$이다.

[3](4) 조건부확률 $P(B|A)$ (5점):

$A$: $x,y,z$가 모두 짝수, $B$: $x$가 3의 배수. $A \cap B$는 $x$가 6의 배수이고 $y,z$가 짝수인 사건이다.

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{120/2024}{286/2024} = \frac{120}{286} = \frac{60}{143}$$

[4](1) 점 $P_n$의 극한점 $P$의 좌표 (3점):

$\vec{p}_n = \sum_{k=1}^n \left(\left(\frac{1}{2}\right)^k, \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1}\right) = \left( \frac{\frac{1}{2}(1 - (1/2)^n)}{1 - 1/2}, \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} \right) = \left( 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n, 2 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right)$

따라서 $n \to \infty$일 때 점 $P_n$의 극한점은 $P(1, 2)$이다.

[4](2) 내분비 $\frac{\alpha}{\beta}$ (5점):

$P_n$이 $P_{n-1}P_{n+1}$을 $\alpha : \beta$로 내분하므로 $x$좌표에 대해:

$$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{x_n - x_{n-1}}{x_{n+1} - x_n} = \frac{\left(1 - (1/2)^n\right) - \left(1 - (1/2)^{n-1}\right)}{\left(1 - (1/2)^{n+1}\right) - \left(1 - (1/2)^n\right)} = \frac{(1/2)^{n-1} - (1/2)^n}{(1/2)^n - (1/2)^{n+1}} = \frac{(1/2)^n}{(1/2)^{n+1}} = 2$$

[4](3) 점 $Q$가 나타내는 도형의 방정식 (5점):

$Q(x, y)$라 하면 $\vec{QA} = (1-x, -y)$, $\vec{QP} = (1-x, 2-y)$이다.

$\vec{QA} + \vec{QP} = (2-2x, 2-2y) = 2(1-x, 1-y)$이므로 $|\vec{QA} + \vec{QP}| = 2\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = 1$이다.

양변을 2로 나누고 제곱하면 $$(x-1)^2 + (y-1)^2 = \frac{1}{4}$$