조건 (가)와 (나)에 의하여 부분집합 $B$는 공집합과 전체집합을 포함하지 않는다.
$n(B)=k$ ($1 \le k \le 5$)일 때, 가능한 집합 $B$의 개수는 ${}_6\mathrm{C}_k$이고,
그 각각에 대하여 집합 $A$의 개수는 조건 (가)와 (다)에 의하여 공집합을 제외한 $2^k - 1$이다.
따라서 세 조건을 만족시키는 전체 경우의 수는 다음과 같다.
$$\begin{aligned} &{}_6\mathrm{C}_1 \times (2^1-1) + {}_6\mathrm{C}_2 \times (2^2-1) + \dots + {}_6\mathrm{C}_5 \times (2^5-1) \\ &= ({}_6\mathrm{C}_1 \times 2^1 + {}_6\mathrm{C}_2 \times 2^2 + \dots + {}_6\mathrm{C}_5 \times 2^5) - ({}_6\mathrm{C}_1 + {}_6\mathrm{C}_2 + \dots + {}_6\mathrm{C}_5) \end{aligned}$$ 제시문 2의 이항정리를 이용하면, $$\begin{aligned} {}_6\mathrm{C}_1 \times 2^1 + \dots + {}_6\mathrm{C}_5 \times 2^5 &= \sum_{r=0}^6 {}_6\mathrm{C}_r 2^r - ({}_6\mathrm{C}_0 \times 2^0 + {}_6\mathrm{C}_6 \times 2^6) \\ &= (1+2)^6 - (1 + 64) = 3^6 - 65 = 729 - 65 = 664 \end{aligned}$$ $${}_6\mathrm{C}_1 + {}_6\mathrm{C}_2 + \dots + {}_6\mathrm{C}_5 = \sum_{r=0}^6 {}_6\mathrm{C}_r - ({}_6\mathrm{C}_0 + {}_6\mathrm{C}_6) = (1+1)^6 - (1+1) = 64 - 2 = 62$$ 따라서 구하는 경우의 수는 $664 - 62 = 602$이다.

$n(B)=1$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_1 = 6 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^1-1=1$
$n(B)=2$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_2 = 15 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^2-1=3$
$n(B)=3$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_3 = 20 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^3-1=7$
$n(B)=4$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_4 = 15 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^4-1=15$
$n(B)=5$인 집합 $B$의 개수 ${}_6\mathrm{C}_5 = 6 \implies$ 집합 $A$의 개수 $2^5-1=31$
따라서 구하는 경우의 수는 $6 \times 1 + 15 \times 3 + 20 \times 7 + 15 \times 15 + 6 \times 31 = 6 + 45 + 140 + 225 + 186 = 602$이다.

(1) 점 $(a, b)$를 원점에 대하여 대칭이동한 점은 $(-a, -b)$이므로
삼각형 $\mathrm{ABC}$의 세 점을 원점에 대칭이동한 세 점의 좌표는 $\mathrm{A'}(1, 1), \mathrm{B'}(-1, 1), \mathrm{C'}(-1, -3)$이다.
두 삼각형이 겹치는 영역은 밑변의 길이가 $1$, 높이가 $2$인 평행사변형이므로 넓이는 $1 \times 2 = 2$이다.

(2) 삼각형 $\mathrm{ABC}$를 고정하고, 삼각형 $\mathrm{A'B'C'}$을 $x$축 방향으로 평행이동하여 영역의 넓이를 구한다.
점 $\mathrm{A'}$의 좌표를 $\mathrm{A'}(a, 1)$이라 하면, 두 삼각형이 겹치는 경우는 $0 < a < 3$이다.
(ⅰ) $0 < a \le 1$일 때: 그림 (a)에서 평행사변형의 넓이 $S = a \times 2 \le 2$
(ⅱ) $1 < a \le 2$일 때: 그림 (b)에서 겹치는 영역의 넓이 $S$는 점 $\mathrm{A}$와 점 $\mathrm{A'}$을 대각선 양 끝점으로 하는 평행사변형의 넓이에서 양쪽 모서리 삼각형의 넓이를 뺀 것이므로 $$S = (a \times 2) - 2 \times \left\{ \frac{1}{2} \times (a-1) \times 2(a-1) \right\} = -2a^2 + 6a - 2$$ $S' = -4a + 6 = 0$에서 $a = \frac{3}{2}$이다.
이때 최댓값은 $S\left(\frac{3}{2}\right) = -2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 6\left(\frac{3}{2}\right) - 2 = \frac{5}{2}$이다.
(참고: $S = -2\left(a - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{5}{2}$에서 $a = \frac{3}{2}$일 때 최댓값 $\frac{5}{2}$)
(ⅲ) $2 < a < 3$일 때: 그림 (c)에서 직사각형의 넓이 $S = (3-a) \times 2 \le 2$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)으로부터 두 삼각형이 겹치는 영역의 넓이의 최댓값은 $\frac{5}{2}$이다.

(1) $y=x^3+k$의 $x$절편은 $x=\sqrt[3]{-k}=-\sqrt[3]{k}$이므로 $x=-\sqrt[3]{k}$가 적분구간 $[0, 1]$에 속하는 경우와 속하지 않는 경우로 나누어 $S(k)$를 구한다.
(ⅰ) $-\sqrt[3]{k} \le 0$ 즉 $k \ge 0$일 때: $$S(k) = \int_0^1 (x^3+k)\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4 + kx\right]_0^1 = k + \frac{1}{4}$$ (ⅱ) $0 < -\sqrt[3]{k} < 1$ 즉 $-1 < k < 0$일 때: $$\begin{aligned} S(k) &= \int_0^{-\sqrt[3]{k}} (-x^3-k)\,dx + \int_{-\sqrt[3]{k}}^1 (x^3+k)\,dx \\ &= \left[-\frac{1}{4}x^4 - kx\right]_0^{-\sqrt[3]{k}} + \left[\frac{1}{4}x^4 + kx\right]_{-\sqrt[3]{k}}^1 = \frac{3}{2}k\sqrt[3]{k} + k + \frac{1}{4} \end{aligned}$$ (ⅲ) $-\sqrt[3]{k} \ge 1$ 즉 $k \le -1$일 때: $$S(k) = \int_0^1 (-x^3-k)\,dx = \left[-\frac{1}{4}x^4 - kx\right]_0^1 = -k - \frac{1}{4}$$ 따라서 $$S(k) = \begin{cases} -k - \frac{1}{4} & (k \le -1) \\ \frac{3}{2}k\sqrt[3]{k} + k + \frac{1}{4} & (-1 < k < 0) \\ k + \frac{1}{4} & (k \ge 0) \end{cases}$$ (2) 각 구간에서 $S(k)$의 최솟값을 구하면 다음과 같다.
(ⅰ) $k \le -1$일 때: $S(k) = -k - \frac{1}{4} \ge \frac{3}{4}$
(ⅱ) $-1 < k < 0$일 때: $S(k) = \frac{3}{2}k\sqrt[3]{k} + k + \frac{1}{4}$이므로 $S'(k) = 2\sqrt[3]{k} + 1 = 0$에서 $k = -\frac{1}{8}$이다.
$k = -\frac{1}{8}$의 좌우에서 $S'(k)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $k = -\frac{1}{8}$에서 극소이자 최솟값 $\frac{7}{32}$을 갖는다.
(참고: $S''(k) = \frac{2}{3\sqrt[3]{k^2}}$에서 $S''\left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{8}{3} > 0$이므로 극소)
(ⅲ) $k \ge 0$일 때: $S(k) = k + \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4}$
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)으로부터 $k = -\frac{1}{8}$일 때 $S(k)$의 최솟값은 $\frac{7}{32}$이다.

(1) 삼각형 $\mathrm{POQ}$에서 코사인법칙에 의하여 $$\overline{\mathrm{PQ}}^2 = \overline{\mathrm{OP}}^2 + \overline{\mathrm{OQ}}^2 - 2 \times \overline{\mathrm{OP}} \times \overline{\mathrm{OQ}} \times \cos(\angle\mathrm{POQ})$$ 이고 $\overline{\mathrm{OP}} = \overline{\mathrm{OQ}} = 1$, $\angle\mathrm{POQ} = \alpha - \beta$이므로 $$\overline{\mathrm{PQ}}^2 = 1 + 1 - 2 \times 1 \times 1 \times \cos(\alpha-\beta) = 2 - 2\cos(\alpha-\beta)$$ 이다. 또, 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 공식에 의하여 $$\begin{aligned} \overline{\mathrm{PQ}}^2 &= (\cos\beta - \cos\alpha)^2 + (\sin\beta - \sin\alpha)^2 \\ &= \cos^2\beta - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\alpha + \sin^2\beta - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\alpha \\ &= 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta) \end{aligned}$$ 이므로 $2 - 2\cos(\alpha-\beta) = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)$이다. 이 식을 정리하면 $$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \quad \cdots\cdots\text{①}$$ 가 성립한다. ①에 $\beta$ 대신 $-\beta$를 대입하여 정리하면 $$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$$ 가 성립한다.

(2) 도함수의 정의와 (1)의 덧셈정리에 의하여 $$\begin{aligned} (\cos x)' &= \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x\cos h - \sin x\sin h - \cos x}{h} \\ &= \cos x \times \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \times \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \end{aligned}$$ 제시문 2에서 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$이므로 다음을 얻는다. $$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)} = -\lim_{h \to 0} \frac{\sin^2 h}{h^2} \times \lim_{h \to 0} \frac{h}{\cos h + 1} = -(1)^2 \times \frac{0}{2} = 0$$ 따라서 $(\cos x)' = -\sin x$이다.

$z = (1+i)^{2025} + a(i-1)^{2026} = (1+i)^{2025} + a(1-i)^{2026}$이다.
$1+i = \alpha, 1-i = \beta$라고 하면 $\alpha, \beta$는 이차방정식 $x^2 - 2x + 2 = 0$의 두 근이다.
$x^4 = (x^2)^2 = (2x-2)^2 = 4(x^2-2x+1) = 4(-2+1) = -4 = -2^2$
$x^8 = (x^4)^2 = (-2^2)^2 = 2^4$이므로 다음을 얻는다.
(참고: $(1+i)^8 = (i-1)^8 = 2^4$을 직접 계산해도 됨)
$$\begin{aligned} (1+i)^{2025} &= \alpha^{8 \times 253 + 1} = (\alpha^8)^{253} \alpha = (2^4)^{253} \alpha = 2^{1012} \alpha = 2^{1012}(1+i) \\ (1-i)^{2026} &= \beta^{8 \times 253 + 2} = (\beta^8)^{253} \beta^2 = (2^4)^{253} \beta^2 = 2^{1012}(-2i) \end{aligned}$$ 이로부터 $$z = 2^{1012}(1+i) + a \cdot 2^{1012}(-2i) = 2^{1012}(1 + i - 2ai)$$ $z$가 실수가 되게 하는 $a$는 $1 - 2a = 0$에서 $a = \frac{1}{2}$이며,
그때 $z = 2^{1012} = 2^{2^2 \times 11 \times 23}$이다.

$\log_b 2^{2^2 \times 11 \times 23} = p$ ($p$는 자연수)라 놓으면 $$\log_b z = p \iff b^p = 2^{1012} \iff b = 2^{\frac{1012}{p}} = 2^{\frac{2^2 \times 11 \times 23}{p}}$$ $b$가 자연수이면서 $p$도 자연수가 되려면 $p$는 $1012 = 2^2 \times 11 \times 23$의 양의 약수이면 된다.
따라서 $b$의 개수는 $1012$의 양의 약수의 개수와 같다.
(참고: $2^2$의 약수: $1, 2, 2^2$ / $11$의 약수: $1, 11$ / $23$의 약수: $1, 23$을 이용하여 약수의 개수를 구함)
$1012 = 2^2 \times 11^1 \times 23^1$의 약수의 개수는 $(2+1) \times (1+1) \times (1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12$개이다.
따라서 구하는 자연수 $b$의 개수는 $12$개이다.

(1) 삼각형 $\mathrm{OPQ}$의 넓이 $= \frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OP}} \times (\text{점 } \mathrm{Q}\text{와 직선 } y=ax\text{ 사이의 거리}) \quad \cdots\cdots\text{①}$
원의 중심 $(1, -1)$과 직선 $ax-y=0$ 사이의 거리는 $\frac{|a+1|}{\sqrt{a^2+1}}$이므로 피타고라스 정리에 의해 $$\overline{\mathrm{OP}} = 2\sqrt{2 - \frac{(a+1)^2}{a^2+1}} = \frac{2|a-1|}{\sqrt{a^2+1}} \quad \cdots\cdots\text{②}$$ (참고: 직선 $y=ax$와 원 $(x-1)^2+(y+1)^2=2$의 교점 $\mathrm{P}\left(\frac{-2(a-1)}{a^2+1}, \frac{-2a(a-1)}{a^2+1}\right)$을 직접 구하여 $\overline{\mathrm{OP}}$ 거리를 구해도 됨)
점 $\mathrm{Q}\left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$와 직선 $ax-y=0$ 사이의 거리는 $\frac{|a+7|}{2\sqrt{a^2+1}} \quad \cdots\cdots\text{③}$
②와 ③을 ①에 대입하면 $$f(a) = \frac{1}{2} \times \frac{2|a-1|}{\sqrt{a^2+1}} \times \frac{|a+7|}{2\sqrt{a^2+1}} = \frac{|(a-1)(a+7)|}{2(a^2+1)} \quad (\text{단, } a \ne 1, -7)$$ (2) $g(a) = \frac{(a-1)(a+7)}{2(a^2+1)} = \frac{a^2+6a-7}{2(a^2+1)}$라고 하자. $$g'(a) = \frac{(2a+6)(a^2+1) - (a^2+6a-7)(2a)}{2(a^2+1)^2} = \frac{-(3a^2-8a-3)}{(a^2+1)^2} = \frac{-(3a+1)(a-3)}{(a^2+1)^2}$$ $f(a) = |g(a)|$이므로 $a = -\frac{1}{3}$에서 $g(a)$는 극소이고 $f(a)$는 극대이며 극댓값은 $|-4| = 4$이다.
$a = 3$에서 $g(a)$와 $f(a)$는 극대이고 극댓값은 $1$이다.
함수 $f(a)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 아래와 같다.