1-1 \(y = x^2\)과 \(y = a_n x + 1\)의 교점의 \(x\)좌표를 \(\alpha_n, \beta_n\) (단, \(\alpha_n < \beta_n\))이라 하면, 이차방정식 \(x^2 - a_n x - 1 = 0\)의 두 근이므로 근과 계수와의 관계에 의해: \[\alpha_n + \beta_n = a_n, \quad \alpha_n \beta_n = -1\] 조건 가로부터 둘러싸인 넓이는 다음과 같다. \[\begin{aligned} \int_{\alpha_n}^{\beta_n} (a_n x + 1 - x^2)dx &= \frac{1}{6}(\beta_n - \alpha_n)^3 = \frac{n}{6} \implies (\beta_n - \alpha_n)^3 = n \\ \beta_n - \alpha_n &= \sqrt{(\alpha_n + \beta_n)^2 - 4\alpha_n \beta_n} = \sqrt{a_n^2 + 4} = \sqrt[3]{n} \implies a_n^2 + 4 = n^{2/3} \end{aligned}\] 따라서 \(a_n^2 = n^{2/3} - 4\) 이며, \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n^2}{\sqrt[3]{n^2}-4} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^2}-4}{\sqrt[3]{n^2}-4} = \mathbf{1}\) 이다.

1-2 \(y = x^2\)과 \(y = b_n x + 1\)의 교점을 \(\gamma_n, \delta_n\) (단, \(\gamma_n < \delta_n\))이라 하면 \(x^2 - b_n x - 1 = 0\)의 근이므로 \(\gamma_n + \delta_n = b_n, \gamma_n \delta_n = -1\) 이다.
두 교점 \((\gamma_n, \gamma_n^2)\)과 \((\delta_n, \delta_n^2)\) 사이의 거리는 \(n\)이므로: \[\begin{aligned} n^2 &= (\delta_n - \gamma_n)^2 + (\delta_n^2 - \gamma_n^2)^2 = (\delta_n - \gamma_n)^2 (1 + (\delta_n + \gamma_n)^2) = (b_n^2 + 4)(1 + b_n^2) \\ b_n^4 + 5b_n^2 + 4 = n^2 &\implies b_n^2 = \frac{-5 + \sqrt{25 - 4(4-n^2)}}{2} = \frac{-5 + \sqrt{4n^2 + 9}}{2} \end{aligned}\] 따라서 \(\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{-5+\sqrt{4n^2+9}}{2n}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = \mathbf{1}\) 이다.

1-3 \(a_n = \sqrt{n^{2/3}-4}\) 이고 \(b_n = \sqrt{\frac{\sqrt{4n^2+9}-5}{2}}\) 이다.
\(n \to \infty\)일 때 최고차항을 비교하면 \(a_n \approx n^{1/3}\), \(b_n \approx n^{1/2}\) 이다.
차수가 \(b_n\)이 더 크므로 \(\lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = \lim_{n \to \infty} (n^{1/2} - n^{1/3}) = \mathbf{\infty\text{ (발산)}}\) 이다.

2-1 \(f'(x) = 3x^2 - 3\) 이므로 \(f'(1) = 0\) 이다.
\(g(x) = x^2 + ax + b\) 라 하면 조건 가 \(g(0) = 0 \implies b = 0\) 이다.
\(g'(x) = 2x + a\) 이며, 조건 나 접선의 평행 조건에 의해 \(g'(m) = 2m + a = f'(1) = 0 \implies a = -2m\) 이다.
따라서 \(g(x) = x^2 - 2mx\) 이다.
조건 다에서 \(x^3 - 3x = x^2 - 2mx \implies x(x^2 - x + 2m - 3) = 0\) 이 서로 다른 두 실근만 가지므로 판별식 \(D = 1 - 4(2m-3) = 0 \implies m = \frac{13}{8}\) 이다.
따라서 \(a = -\frac{13}{4}, b = 0\) 이므로 \(\mathbf{g(x) = x^2 - \frac{13}{4}x}\) 이다.

2-2 \(y = f(x)\) 위의 점 \((t, f(t))\)에서의 접선 방정식은 \(y = (3t^2-3)(x-t) + t^3 - 3t = (3t^2-3)x - 2t^3\) 이다.
이 접선이 점 \((1, k)\)를 지나므로 \(k = 3t^2 - 3 - 2t^3 \implies 2t^3 - 3t^2 + 3 + k = 0\) 이다.
접선이 2개 존재하려면 \(h(t) = 2t^3 - 3t^2 + 3\)의 극값 \(h(0)=3, h(1)=2\) 분석에 의해 \(-k = 2\) 또는 \(-k = 3\) 이어야 한다.
따라서 구하는 실수는 \(\mathbf{k = -3}\) 및 \(\mathbf{k = -2}\) 이다.

2-3 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} (k^3 - 3k) = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - 3 \frac{n(n+1)}{2}\) 이다.
분자 최고차항은 \(\frac{1}{4}n^4\) 이므로: \[\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^4} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{4}n^4 + \cdots}{n^4} = \mathbf{\frac{1}{4}}\] 이다.

3-1 구의 중심 \(C(0,0,2)\), 반지름 \(R=2\) 이다.
\(P(0,0,4)\)이고, 점 \(Q\)는 \(xy\)평면 위 원 \(x^2+y^2=4\) 상의 점이므로 \(Q(2\cos\theta, 2\sin\theta, 0)\) 이다.
선분 \(PQ\)의 중점 \(M\)의 좌표는: \[M\left(\cos\theta, \sin\theta, 2\right)\] 이므로 \(M\)의 자취는 중심 \((0,0,2)\), 반지름 \(1\)인 평면 \(z=2\) 상의 원이다.
따라서 자취의 길이는 \(2\pi \times 1 = \mathbf{2\pi}\) 이다.

3-2 직선 \(PQ\)의 방향벡터는 \(\vec{u} = (2\cos\theta, 2\sin\theta, -4)\) 이다.
구 \(x^2+y^2+(z-2)^2=4\)와 직선 \(PQ\)가 만나는 다른 한 점 \(R\)에 대해: \[|PQ| = \sqrt{4\cos^2\theta + 4\sin^2\theta + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\] 구의 중심 \(C(0,0,2)\)에서 직선 \(PQ\)까지의 거리는 \(h = \frac{4}{\sqrt{5}}\) 이다.
현 \(QR\)의 길이는 \(2\sqrt{R^2 - h^2} = 2\sqrt{4 - \frac{16}{5}} = \mathbf{\frac{4\sqrt{5}}{5}}\) 이다.

3-3 삼각형 \(CQR\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times |QR| \times h = \frac{1}{2} \times \frac{4\sqrt{5}}{5} \times \frac{4}{\sqrt{5}} = \mathbf{\frac{8}{5}}\) 이다.

4-1 전체 경우의 수는 \(6^4 = 1296\) 이다.
네 수의 곱이 \(4\)의 배수가 아닌 경우는 (i) 모두 홀수인 경우 (\(3^4 = 81\)) 및 (ii) 짝수가 \(2\) 또는 \(6\)으로 단 하나만 포함된 경우 (\(4 \times 2 \times 3^3 = 216\)) 이다.
따라서 \(4\)의 배수가 아닌 경우의 수는 \(81 + 216 = 297\) 이다.
구하는 확률은 \(P = 1 - \frac{297}{1296} = 1 - \frac{11}{48} = \mathbf{\frac{37}{48}}\) 이다.

4-2 네 수의 합이 짝수인 사건 \(E\), 곱이 \(4\)의 배수인 사건 \(F\) 라 하자.
합이 짝수인 경우의 수: (i) 짝수 4개 (\(3^4=81\)), (ii) 짝수 2개+홀수 2개 (\(_4\mathrm{C}_2 \times 3^2 \times 3^2 = 486\)), (iii) 홀수 4개 (\(3^4=81\)) 이므로 총 \(n(E) = 648\) 이다.
합이 짝수이면서 곱이 \(4\)의 배수가 아닌 사건 \(E \cap F^c\): (i) 홀수 4개 (\(81\)), (ii) 짝수가 \(2\) 또는 \(6\) 1개 포함된 홀수 3개 (\(_4\mathrm{C}_1 \times 2 \times 3^3 = 216\)) 이므로 \(n(E \cap F^c) = 297\) 이다.
따라서 \(n(E \cap F) = 648 - 297 = 351\) 이다.
구하는 조건부확률은 \(P(F|E) = \frac{351}{648} = \mathbf{\frac{13}{24}}\) 이다.

1-1 조건 (마)에서 정적분으로 정의된 함수 \(g(x)\)를 미분하면 \(g'(x) = 1 - 4f(x)\) 이다.
\(x=\frac{1}{2}\)에서 극값을 가지므로 \(g'\left(\frac{1}{2}\right) = 1 - 4f\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \implies f\left(\frac{1}{2}\right) = \mathbf{\frac{1}{4}}\) 이다.

1-2 \(A = \int_{0}^{1/2} f(x)dx\), \(B = \int_{1/2}^{1} f(x)dx\)라 하자.
조건 (라)에서 부분적분법을 적용하면: \[\int_{0}^{1/2} x f'(x) dx = \left[ x f(x) \right]_{0}^{1/2} - \int_{0}^{1/2} f(x) dx = \frac{1}{8} - A = \frac{13}{192} \implies A = \frac{11}{192}\] 조건 (마)에서: \[g\left(\frac{1}{2}\right) = \int_{0}^{1/2} (1-f(t))dt + 3 \int_{1/2}^{1} f(t)dt = \frac{1}{2} - A + 3B = \frac{61}{48} \implies B = \frac{53}{192}\] 조건 (다)에 따라 \(f(x)\)는 증가함수이므로 \(x \in [0, 1/2]\)에서 \(f(x) \le 1/4\), \(x \in [1/2, 1]\)에서 \(f(x) \ge 1/4\) 이다.
따라서 \(\int_{0}^{1} |f(x)-\frac{1}{4}| dx = (\frac{1}{8}-A) + (B-\frac{1}{8}) = B - A = \frac{53-11}{192} = \mathbf{\frac{7}{32}}\) 이다.

1-3 정적분과 급수의 합 관계 및 \(f(x)=t\) 치환적분을 적용하면: \[\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \left|f\left(f\left(\frac{k}{n}\right)\right)-\frac{k}{n}\right| f'\left(\frac{k}{n}\right) &= \int_{0}^{1} |f(f(x))-x| f'(x) dx \\ &= \int_{0}^{1} |f(t)-f^{-1}(t)| dt = 2 \int_{0}^{1} (x-f(x)) dx \\ &= 1 - 2(A+B) = 1 - 2\left(\frac{64}{192}\right) = \mathbf{\frac{1}{3}} \end{aligned}\] 이다.

2-1 \(f(x)\)가 기함수이므로 이계도함수 \(f''(x)\)도 기함수이다.
\(g(x) = f''(x)\sin(\pi x)\)라 하면 \(g(-x) = f''(-x)\sin(-\pi x) = (-f''(x))(-\sin(\pi x)) = g(x)\) 이므로 \(g(x)\)는 우함수이다.
따라서 \(\int_{-1}^{1} g(x) dx = \mathbf{2 \int_{0}^{1} f''(x)\sin(\pi x) dx}\) 가 성립한다.

2-2 부분적분법을 2회 연속 적용하면: \[\begin{aligned} \int_{-1}^{1} g(x)(h'(x)+h'(-x))dx &= \int_{-1}^{1} g(x)h'(x)dx = [g(x)h(x)]_{-1}^{1} - \int_{-1}^{1} g'(x)h(x)dx \\ &= \pi(2\pi-1) - [f'(x)h(x)]_{-1}^{1} + \int_{-1}^{1} f'(x)h'(x)dx \\ &= \pi(2\pi-1) - (-\pi) = \mathbf{2\pi^2} \end{aligned}\] 이다.

3-1 \(\vec{OM} = \frac{1}{3}\vec{a}\), \(\vec{ON} = \frac{2\vec{a}+\vec{b}}{3}\) 이므로 \(\vec{MN} = \vec{ON} - \vec{OM} = \mathbf{\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}}\) 이다.
\(|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3, \vec{a}\cdot\vec{b} = 2 \times 3 \times \cos(\frac{\pi}{3}) = 3\) 이므로: \[|\vec{MN}|^2 = \frac{1}{9}(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b}) = \frac{1}{9}(4 + 9 + 6) = \frac{19}{9} \implies |\vec{MN}| = \mathbf{\frac{\sqrt{19}}{3}}\] 이다.

3-2 점 \(B'\)은 선분 \(OB\)를 \(2:1\) 내분하므로 \(\vec{OB'} = \frac{2}{3}\vec{b}\) 이다.
\(\vec{MB'} = \vec{OB'} - \vec{OM} = -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}\) 이며 \(\vec{MH}\)는 \(\vec{MB'}\)의 \(\vec{MN}\) 방향 정사영 벡터이므로: \[MH = \frac{\vec{MB'}\cdot\vec{MN}}{|\vec{MN}|} = \frac{\frac{1}{9}(-\vec{a}+2\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})}{\sqrt{19}/3} = \frac{17/9}{\sqrt{19}/3} = \mathbf{\frac{17\sqrt{19}}{57}}\] 이다.

4-1 첫째 날 한 경기 이상 이기는 사건 \(A\)의 확률은 \(P(A) = x + y - xy\) 이다.
럭비 승리 사건 \(B_1\)에 대해 확률의 곱셈정리를 쓰면: \[P(B_1) = P(A)P(B_1|A) + P(A^c)P(B_1|A^c) = \mathbf{x(x+y-xy) + (x \wedge y)(1-x-y+xy)}\] 이다.

4-2 \(x=1/3\)이고 \(x \le y\)이므로 \(x \wedge y = 1/3\) 이다.
\(P(B_1) = \frac{1}{3}\) 이며, 축구 승리 확률 \(P(B_2) = \frac{2}{3}y^2 + \frac{1}{9}y + \frac{2}{9}\) 이다.
축구 패배 확률은 \(1 - P(B_2)\) 이므로 조건 \(P(B_1) \le 1 - P(B_2)\)는: \[\frac{1}{3} \le 1 - \left(\frac{2}{3}y^2 + \frac{1}{9}y + \frac{2}{9}\right) \implies 6y^2 + y - 4 \le 0\] 이 부등식을 풀고 \(y \ge 1/3\) 조건을 만족하는 범위는 \(\mathbf{\frac{1}{3} \le y \le \frac{-1+\sqrt{97}}{12}}\) 이다.

1-1 \(f(x)\)는 구간별로 다음과 같이 정의된다.
\[f(x) = \begin{cases} 1 & (x \ge c+2) \\ -x+c+3 & (c \le x < c+2) \\ 3 & (b \le x < c) \\ x-b+3 & (b-1 \le x < b) \\ 2 & (x < b-1) \end{cases}\] 미분불가능한 점의 후보는 \(x = b-1, b, c, c+2\)의 4개이다. \(f(x)\)가 3개 점에서만 미분불가능하기 위해서는 \(b=c\) 이어야 한다.
따라서 구하는 조건은 \(\mathbf{b = c}\) 이다.

1-2 \(h(x) = \sigma(g(x))+\sigma(g(-x))-1\)은 \([-2, -1], [-1, 1], [1, 2]\) 구간에서 꺾인 선으로 \(x = -2, -1, 1, 2\)에서 미분불가능하다.
\(f(x) = (x-a)(x-b)h(x)\)가 2개 점에서만 미분불가능하기 위해서는 \((x-a)(x-b)\)가 이들 중 2개의 미분불가능점을 상쇄시켜야 하므로 \((a, b)\)는 \((-2, -1), (-2, 1), (-2, 2), (-1, 1), (-1, 2), (1, 2)\) 및 역순서쌍이다.
이 중 \(f(0) = ab > 0\)을 만족하는 순서쌍은 \(\mathbf{(a,b) \in \{(1,2), (-1,-2), (-2,-1), (2,1)\}}\) 이다.

1-3 \(h(x) = f(x)-ax-b\)의 교점 분석에서 \(a > 0\)일 때 \(b < a+1\) 및 \(b > 2a\), \(a < 0\)일 때 \(b < -a+1\) 및 \(b > -2a\) 조건이 도출된다.
이를 \(a-b\) 평면에 도시하면 밑변 \(1\), 높이 \(1\)인 삼각형 2개가 형성되므로 영역의 면적은 \(\mathbf{1}\) 이다.

2-1 변곡점 \(x = -\frac{p}{3}\)에서 접선의 기울기 조건: \[f'\left(-\frac{p}{3}\right) = -\frac{p^2}{3} + q = -1 \implies p^2 = 3(q+1)\] \(p, q, r\)의 관계 (\(k\)는 \(0\)이 아닌 정수): \[p = 3k, \quad q = 3k^2 - 1, \quad r = k^3\] \(pqr\)의 값과 최솟값 조건: \[pqr = 3k(3k^2-1)k^3 = 3k^4(3k^2-1)\] \(k = \pm 1\)일 때 최솟값 \(6\)을 갖는다.
이때의 삼차함수: \[\mathbf{f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1} \quad \text{및} \quad \mathbf{f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1}\] 이다.

2-2 극한값 계산: \[\lim_{p \to \infty} \frac{pq}{r} = \lim_{k \to \infty} \frac{3k(3k^2-1)}{k^3} = \mathbf{9}\] 이다.

2-3 \(f(x) = x^3+3kx^2+(3k^2-1)x+k^3\)에 대해 점 \((-3, 0)\)에서 그은 접선이 3개일 조건은 방정식 \(g(t)=(t+3)f'(t)-f(t)=0\)이 서로 다른 3개 실근을 가질 조건이다.
\(g'(-3)\)과 \(g'(-k)\)의 부호 분석을 수행하면 자연수 \(k=1\) 일 때만 조건이 성립하므로 구하는 자연수는 \(\mathbf{p = 3k = 3}\) 이다.

3-1 두 벡터의 크기와 사이각 조건: \[|\vec{b_i}| = 2\sin\left(\frac{\pi i}{n+1}\right), \quad \angle(\vec{b_i}, \vec{b_j}) = \frac{\pi(i-j)}{n+1}\] 두 벡터의 내적 공식: \[\vec{b_i} \cdot \vec{b_j} = \left(2\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)\left(2\sin\frac{\pi j}{n+1}\right)\cos\frac{\pi(i-j)}{n+1}\] \(n=7\)일 때 \(i=2, j=5\)를 대입하면: \[\begin{aligned} \vec{b_2} \cdot \vec{b_5} &= \left(2\sin\frac{2\pi}{8}\right)\left(2\sin\frac{5\pi}{8}\right)\cos\frac{3\pi}{8} \\ &= \left(2\sin\frac{\pi}{4}\right)\left(2\cos\frac{\pi}{8}\right)\sin\frac{\pi}{8} \\ &= \left(2\sin\frac{\pi}{4}\right)\sin\frac{\pi}{4} = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \mathbf{1} \end{aligned}\] 를 얻는다.

3-2 3-1에서 구한 공식에 \(i=1\)을 대입하면: \[\vec{b_1} \cdot \vec{b_i} = \left(2\sin\frac{\pi}{n+1}\right)\left(2\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)\left(\cos\frac{\pi}{n+1}\cos\frac{\pi i}{n+1} + \sin\frac{\pi}{n+1}\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)\] 이므로, \(i=1\)부터 \(n\)까지 합을 구하면: \[\vec{b_1} \cdot \left(\sum_{i=1}^n \vec{b_i}\right) = \sum_{i=1}^n \left(\sin\frac{2\pi}{n+1}\right)\sin\frac{2\pi i}{n+1} + 4\sum_{i=1}^n \left(\sin\frac{\pi}{n+1}\right)^2 \left(\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)^2\] 를 얻는다. 여기에 \(n \to \infty\)의 극한을 취하면: \[\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \vec{b_1} \cdot \left(\sum_{i=1}^n \vec{b_i}\right) &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(\sin\frac{2\pi}{n+1}\right)\sin\frac{2\pi i}{n+1} + 4\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(\sin\frac{\pi}{n+1}\right)^2 \left(\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)^2 \end{aligned}\] 첫 번째 항은 정적분의 정의에 의해: \[\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(\sin\frac{2\pi}{n+1}\right)\sin\frac{2\pi i}{n+1} = 2\pi \int_0^1 \sin(2\pi x)dx = 2\pi \left[-\frac{1}{2\pi}\cos(2\pi x)\right]_0^1 = 0\] 두 번째 항은 \(0 \le \left(\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)^2 \le 1\)이므로 조임정리(샌드위치 정리)에 의해 \(0\)으로 수렴한다.
따라서 구하는 극한값은 \mathbf{0} 이다.

4-1 비복원추출에서 네 번째 기회에 진홍색 공을 뽑을 확률은 전체 공 중 진홍색 공의 비율과 같으므로 \(\mathbf{\frac{4}{9}}\) 이다.

4-2 확률변수 \(X\)의 확률분포는 \(P(X=100) = \frac{20}{72}\), \(P(X=200) = \frac{20}{72}\), \(P(X=300) = \frac{12}{72}\) 이다.
기댓값 \(E[X] = 100 \times \frac{20}{72} + 200 \times \frac{20}{72} + 300 \times \frac{12}{72} = \mathbf{\frac{400}{3}}\text{ (만 원)}\) 이다.

1-1 조건 (가) \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2} = 1 \implies f(x) = x^2 + cx + d\) 이다.
조건 (나) \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2 \implies d = 0, c = 2\) 이다.
따라서 구하는 이차함수는 \(\mathbf{f(x) = x^2 + 2x}\) 이다.

1-2 \(y = x^2 + 2x\)와 \(y = ax + b\)의 교점의 \(x\)좌표를 \(\alpha, \beta\) (단, \(\alpha < \beta\))라 하자.
이차방정식 \(x^2 + (2-a)x - b = 0\)의 두 근이므로 \(\alpha + \beta = a - 2, \alpha \beta = -b\) 이다.
둘러싸인 넓이가 \(\frac{1}{6}\)이므로: \[\int_{\alpha}^{\beta} (ax + b - x^2 - 2x)dx = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{6} \implies \beta - \alpha = 1\] 이 된다. \((\beta - \alpha)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (a-2)^2 + 4b = 1 \implies 4b = 1 - (a-2)^2\) 이다.
따라서 \(b = \frac{1}{2}a^2 + 2a\) 관계를 도출한다.

2-1 \(g(x) = (3a^2-1)x - 2a^3 - a\) 이다.
\(k(x) = f(x)-g(x) = x^3 - 3a^2 x + 2a^3 + a = 0\) 의 극값 분석에서 \(a > 0\)일 때 극솟값 \(k(a) = a > 0\), \(a < 0\)일 때 극댓값 \(k(a) = a < 0\)이므로 \(y=k(x)\)는 항상 \(x\)축과 단 하나의 교점만 갖는다.

2-2 \(a > 0\)일 때 \(k(-a) = 4a^3+a > 0\)이고 \(\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty\)이므로 교점 \(h(a) < -a\) 이다. 양변에 \(-a < 0\)를 곱하면 \(-a h(a) > a^2\) 이 성립한다.
\(a < 0\)일 때 \(k(-a) = 4a^3+a < 0\)이고 \(\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty\)이므로 교점 \(h(a) > -a\) 이다. 양변에 \(-a > 0\)를 곱하면 \(-a h(a) > a^2\) 이 성립한다.

2-3 \((h(a))^3 - 3a^2 h(a) + 2a^3 + a = 0\) 양변을 \(a^3\)으로 나누면 \(\left(\frac{h(a)}{a}\right)^3 - 3\left(\frac{h(a)}{a}\right) + 2 + \frac{1}{a^2} = 0\) 이다.
\(X = \lim_{a \to \infty} \frac{h(a)}{a}\)라 할 때 \(X^3 - 3X + 2 = (X-1)^2(X+2) = 0\) 이고, 2-2에 의해 \(X \le -1\)이므로 \(\mathbf{\lim_{a \to \infty} \frac{h(a)}{a} = -2}\) 이다.

3-1 점 \(A\)를 지나고 \(\vec{AB_1}\)에 평행한 직선 \(L\)에 대하여 \(\vec{AB_3}\)를 대칭이동한 벡터를 \(\vec{AB_3'}\)이라 하자.
주어진 표현식의 최솟값은 \(|\vec{AB_2} - \vec{AB_3'}|^2\) 의 값과 같다.
두 벡터의 크기와 관계식: \[|\vec{AB_2}| = \sqrt{2}, \quad |\vec{AB_3'}| = 2\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\] 반각공식 적용: \[\left(\cos\frac{\pi}{8}\right)^2 = \frac{1+\sqrt{2}/2}{2}\] 최솟값 계산 과정: \[\begin{aligned} |\vec{AB_2} - \vec{AB_3'}|^2 &= 2 + (2+\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}\left(2\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8}\right) \\ &= 4 + \sqrt{2} - 2\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4} = 4 + \sqrt{2} - 2 = \mathbf{2+\sqrt{2}} \end{aligned}\] 를 얻는다.

4-1 부품 정상 사건을 \(A, B, C\)라 하자.
회로가 작동할 확률: \[P(\text{작동}) = P(A \cap C) + P(A^c \cap B \cap C) = \frac{4}{5} \times \frac{9}{10} + \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{9}{10} = \frac{171}{200}\] 회로가 작동하지 않을 확률: \[P(\text{작동 안함}) = 1 - \frac{171}{200} = \frac{29}{200}\] 부품 A가 불량이고 회로가 작동하지 않을 확률: \[P(A^c \text{ 이고 작동 안함}) = P(A^c) - P(A^c \cap B \cap C) = \frac{1}{5} - \frac{27}{200} = \frac{13}{200}\] 따라서 조건부확률: \[P(A \text{불량} \mid \text{작동 안함}) = \frac{13/200}{29/200} = \mathbf{\frac{13}{29}}\] 이다.