2-1 삼차함수 \(f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d\)에 대하여 역함수의 정의에 따라 \(d = f(0) = 2g(0)\) 이다.
따라서 \(g\left(\frac{d}{2}\right) = 0\) 이므로 역함수 관계에 의해 \(f(0) = \frac{d}{2} \implies f\left(\frac{d}{2}\right) = \mathbf{0}\) 이다.

2-2 조건 (나)에서 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)+f(-x)-2f(0)}{x^2} = 2b = 0 \implies b = 0\) 이다.
2-1에서 \(f\left(\frac{d}{2}\right) = \frac{d^3}{8} + c \frac{d}{2} + d = \frac{d}{8}(d^2 + 4c + 8) = 0\) 이다.
조건 (가)에 의해 \(c = f'(0) > 0\)이므로 \(d^2 + 4c + 8 > 0\) 이 되어 \(d = 0\) 이다.
조건 (다)에서 미분계수의 정의를 적용하면 \(f'(0) - 2g'(0) = f'(0) - \frac{2}{f'(0)} = 1 \implies (f'(0))^2 - f'(0) - 2 = 0\) 이다.
\(f'(0) > 0\)이므로 \(c = f'(0) = 2\) 이다. 따라서 \(\mathbf{f(x) = x^3 + 2x}\) 이다.

2-3 두 함수 \(f(x)\)와 \(g(x)\)는 기함수이므로 \(x f(x) g(x)\)는 우함수이다.
따라서 구하는 적분은 \(\int_{-3}^{3} x g(x) dx\)와 같다.
\(g(x) = t\)로 치환적분하면 \(\int_{-1}^{1} t f(t) f'(t) dt = \mathbf{\frac{706}{105}}\) 이다.

3-1 타원의 접선 기울기 조건에 의해 접점의 \(x\)좌표 \(x_1, x_2\)는 대칭인 두 근이므로 근과 계수와의 관계에 의해 \(x_1+x_2 = \mathbf{0}\) 이다.

3-2 \(x_1 x_2 = -\frac{b^2}{12}\) 조건으로부터 단축 반지름 \(d = \frac{b}{2}\)를 얻는다.
타원은 반지름이 \(\frac{b}{2}\)인 원이 되므로 곡선 둘레 \(\ell = b\pi\) 이다. 따라서 \(\frac{\ell}{b} = \mathbf{\pi}\) 이다.

4-1 자릿수 중복 배제 조건 검토 결과 ①에 올 수 있는 유일한 숫자는 \(\mathbf{1}\) 이다.

4-2 순열 \(_7\text{P}_5 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = \mathbf{2520}\text{일}\) 이며, 가장 가까운 날짜는 \(\mathbf{1345}\text{년 } \mathbf{06}\text{월 } \mathbf{27}\text{일}\) 이다.

1-1 매개변수 미분법 \(\frac{dy}{dx} = \frac{6\sin^2 t \cos t}{-3\cos^2 t \sin t} = -2\tan t\) 이다.
접선의 방정식 \(y = -2\tan t(x - \cos^3 t) + 2\sin^3 t\)의 \(x\)절편은 \(\cos t\) 이다.
\(x\)절편이 \(a = 1/2\)이므로 \(\cos t = 1/2 \implies t = \pi/3\) 이다.
접선 기울기는 \(-2\tan(\pi/3) = -2\sqrt{3}\) 이므로, 구하는 접선의 방정식은 \(\mathbf{y = -2\sqrt{3}x + \sqrt{3}}\) 이다.

1-2 \(a = \cos t\) 이고 접선 예각 \(g(a)\)에 대해 \(\tan(g(a)) = 2\tan t = \frac{2\sqrt{1-a^2}}{a}\) 이다.
함수 \(a^3 \tan(g(a)) = 2a^2 \sqrt{1-a^2}\) 의 극값을 구하기 위해 미분하면 \(a = \sqrt{2/3} = \frac{\sqrt{6}}{3}\) 일 때 최댓값 \(\mathbf{\frac{4\sqrt{3}}{9}}\) 을 갖는다.

1-3 \(S_1(a)+S_2(a)\)가 최소가 되는 조건은 접선과 좌표축으로 둘러싸인 직각삼각형의 넓이 \(\frac{1}{2} \times \cos t \times 2\sin t = \frac{1}{2}\sin 2t\) 가 최대가 되는 경우이다.
\(\sin 2t\)가 최대가 되는 \(t = \pi/4\) 이므로, 이때의 \(a = \cos(\pi/4) = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}\) 이다.

2-1 삼차함수 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) (\(a \gt 0\))라 하자.
변곡점 \(x=2/3\)에서 \(f''(2/3) = 4a + 2b = 0 \implies b = -2a\) 이다.
\(x=0\)에서 \(g(x)\)의 연속 조건 및 미분가능성 조건을 적용하면 \(f(0)=2, f'(0)=-1\) 을 얻는다.
접선 개수 조건 (다)로부터 최고차항 계수 \(a=1\)을 구한다.
따라서 구하는 삼차함수는 \(\mathbf{f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2}\) 이다.

2-2 \(f(x) = (x-1)(x+1)(x-2)\) 이므로 \([0, 1]\)에서 \(f(x) \ge 0\), \([1, 2]\)에서 \(f(x) \le 0\) 이다.
\(F'(x) = |f(x)|\) 이므로 치환적분을 적용하면 \(\int_{0}^{2} f(x) e^{F(x)} dx = \mathbf{2e^{13/12} - e^{3/2} - 1}\) 이다.

3-1 \(\vec{OA}+\vec{OB} = (8, 6)\) 이고 \(|\vec{BP}|=1\) 이므로 \(\cos\t\theta = -1\) 일 때 최솟값 \(81\)을 갖는다.
이때 점 \(P\)의 좌표는 \(\mathbf{\left(\frac{21}{5}, \frac{12}{5}\right)}\) 이다.

3-2 \(\vec{A_1 P} + 4\vec{A_2 P} + \vec{A_3 P} = -2(2\vec{OA} - 3\vec{OB} - 3\vec{BP})\) 이다.
내적의 최솟값을 계산하면 \(396 - 72\sqrt{10}\) 이 되므로, 순서쌍 \((a, b) = \mathbf{(396, -72)}\) 이다.

4-1 \(n=2\)일 때 4개의 공을 택하는 중복조합에서 불가능한 경우를 빼면 \(15 - 3 - 1 = \mathbf{11}\) 이다.

4-2 \(a_n = _3\text{H}_{2n} - _3\text{H}_{n-1} - 1 = \mathbf{\frac{1}{2}(3n^2 + 5n)}\) 이다.

4-3 \(a_n + 8n + 15 = \frac{3}{2}(n+2)(n+5)\) 이므로 부분분수망원합을 계산하면 급수 합은 \(\mathbf{\frac{47}{270}}\) 이다.

1-1 \(f(x)\)는 구간별로 다음과 같이 정의된다.
\[f(x) = \begin{cases} 1 & (x \ge c+2) \\ -x+c+3 & (c \le x < c+2) \\ 3 & (b \le x < c) \\ x-b+3 & (b-1 \le x < b) \\ 2 & (x < b-1) \end{cases}\] 미분불가능한 점의 후보는 \(x = b-1, b, c, c+2\)의 4개이다. \(f(x)\)가 3개 점에서만 미분불가능하기 위해서는 \(b=c\) 이어야 한다.
따라서 구하는 조건은 \(\mathbf{b = c}\) 이다.

1-2 \(h(x) = \sigma(g(x))+\sigma(g(-x))-1\)은 \([-2, -1], [-1, 1], [1, 2]\) 구간에서 꺾인 선으로 \(x = -2, -1, 1, 2\)에서 미분불가능하다.
\(f(x) = (x-a)(x-b)h(x)\)가 2개 점에서만 미분불가능하기 위해서는 \((x-a)(x-b)\)가 이들 중 2개의 미분불가능점을 상쇄시켜야 하므로 \((a, b)\)는 \((-2, -1), (-2, 1), (-2, 2), (-1, 1), (-1, 2), (1, 2)\) 및 역순서쌍이다.
이 중 \(f(0) = ab > 0\)을 만족하는 순서쌍은 \(\mathbf{(a,b) \in \{(1,2), (-1,-2), (-2,-1), (2,1)\}}\) 이다.

1-3 \(h(x) = f(x)-ax-b\)의 교점 분석에서 \(a > 0\)일 때 \(b < a+1\) 및 \(b > 2a\), \(a < 0\)일 때 \(b < -a+1\) 및 \(b > -2a\) 조건이 도출된다.
이를 \(a-b\) 평면에 도시하면 밑변 \(1\), 높이 \(1\)인 삼각형 2개가 형성되므로 영역의 면적은 \(\mathbf{1}\) 이다.

2-1 변곡점 \(x = -\frac{p}{3}\)에서 접선의 기울기 조건: \[f'\left(-\frac{p}{3}\right) = -\frac{p^2}{3} + q = -1 \implies p^2 = 3(q+1)\] \(p, q, r\)의 관계 (\(k\)는 \(0\)이 아닌 정수): \[p = 3k, \quad q = 3k^2 - 1, \quad r = k^3\] \(pqr\)의 값과 최솟값 조건: \[pqr = 3k(3k^2-1)k^3 = 3k^4(3k^2-1)\] \(k = \pm 1\)일 때 최솟값 \(6\)을 갖는다.
이때의 삼차함수: \[\mathbf{f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1} \quad \text{및} \quad \mathbf{f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1}\] 이다.

2-2 극한값 계산: \[\lim_{p \to \infty} \frac{pq}{r} = \lim_{k \to \infty} \frac{3k(3k^2-1)}{k^3} = \mathbf{9}\] 이다.

2-3 \(f(x) = x^3+3kx^2+(3k^2-1)x+k^3\)에 대해 점 \((-3, 0)\)에서 그은 접선이 3개일 조건은 방정식 \(g(t)=(t+3)f'(t)-f(t)=0\)이 서로 다른 3개 실근을 가질 조건이다.
\(g'(-3)\)과 \(g'(-k)\)의 부호 분석을 수행하면 자연수 \(k=1\) 일 때만 조건이 성립하므로 구하는 자연수는 \(\mathbf{p = 3k = 3}\) 이다.

3-1 두 벡터의 크기와 사이각 조건: \[|\vec{b_i}| = 2\sin\left(\frac{\pi i}{n+1}\right), \quad \angle(\vec{b_i}, \vec{b_j}) = \frac{\pi(i-j)}{n+1}\] 두 벡터의 내적 공식: \[\vec{b_i} \cdot \vec{b_j} = \left(2\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)\left(2\sin\frac{\pi j}{n+1}\right)\cos\frac{\pi(i-j)}{n+1}\] \(n=7\)일 때 \(i=2, j=5\)를 대입하면: \[\begin{aligned} \vec{b_2} \cdot \vec{b_5} &= \left(2\sin\frac{2\pi}{8}\right)\left(2\sin\frac{5\pi}{8}\right)\cos\frac{3\pi}{8} \\ &= \left(2\sin\frac{\pi}{4}\right)\left(2\cos\frac{\pi}{8}\right)\sin\frac{\pi}{8} \\ &= \left(2\sin\frac{\pi}{4}\right)\sin\frac{\pi}{4} = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \mathbf{1} \end{aligned}\] 를 얻는다.

3-2 3-1에서 구한 공식에 \(i=1\)을 대입하면: \[\vec{b_1} \cdot \vec{b_i} = \left(2\sin\frac{\pi}{n+1}\right)\left(2\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)\left(\cos\frac{\pi}{n+1}\cos\frac{\pi i}{n+1} + \sin\frac{\pi}{n+1}\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)\] 이므로, \(i=1\)부터 \(n\)까지 합을 구하면: \[\vec{b_1} \cdot \left(\sum_{i=1}^n \vec{b_i}\right) = \sum_{i=1}^n \left(\sin\frac{2\pi}{n+1}\right)\sin\frac{2\pi i}{n+1} + 4\sum_{i=1}^n \left(\sin\frac{\pi}{n+1}\right)^2 \left(\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)^2\] 를 얻는다. 여기에 \(n \to \infty\)의 극한을 취하면: \[\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \vec{b_1} \cdot \left(\sum_{i=1}^n \vec{b_i}\right) &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(\sin\frac{2\pi}{n+1}\right)\sin\frac{2\pi i}{n+1} + 4\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(\sin\frac{\pi}{n+1}\right)^2 \left(\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)^2 \end{aligned}\] 첫 번째 항은 정적분의 정의에 의해: \[\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left(\sin\frac{2\pi}{n+1}\right)\sin\frac{2\pi i}{n+1} = 2\pi \int_0^1 \sin(2\pi x)dx = 2\pi \left[-\frac{1}{2\pi}\cos(2\pi x)\right]_0^1 = 0\] 두 번째 항은 \(0 \le \left(\sin\frac{\pi i}{n+1}\right)^2 \le 1\)이므로 조임정리(샌드위치 정리)에 의해 \(0\)으로 수렴한다.
따라서 구하는 극한값은 \mathbf{0} 이다.

4-1 비복원추출에서 네 번째 기회에 진홍색 공을 뽑을 확률은 전체 공 중 진홍색 공의 비율과 같으므로 \(\mathbf{\frac{4}{9}}\) 이다.

4-2 확률변수 \(X\)의 확률분포는 \(P(X=100) = \frac{20}{72}\), \(P(X=200) = \frac{20}{72}\), \(P(X=300) = \frac{12}{72}\) 이다.
기댓값 \(E[X] = 100 \times \frac{20}{72} + 200 \times \frac{20}{72} + 300 \times \frac{12}{72} = \mathbf{\frac{400}{3}}\text{ (만 원)}\) 이다.

1-1 조건 (가) \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2} = 1 \implies f(x) = x^2 + cx + d\) 이다.
조건 (나) \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2 \implies d = 0, c = 2\) 이다.
따라서 구하는 이차함수는 \(\mathbf{f(x) = x^2 + 2x}\) 이다.

1-2 \(y = x^2 + 2x\)와 \(y = ax + b\)의 교점의 \(x\)좌표를 \(\a\alpha, \beta\) (단, \(\a\alpha < \beta\))라 하자.
이차방정식 \(x^2 + (2-a)x - b = 0\)의 두 근이므로 \(\a\alpha + \beta = a - 2, \a\alpha \beta = -b\) 이다.
둘러싸인 넓이가 \(\frac{1}{6}\)이므로: \[\int_{\a\alpha}^{\beta} (ax + b - x^2 - 2x)dx = \frac{1}{6}(\beta - \a\alpha)^3 = \frac{1}{6} \implies \beta - \a\alpha = 1\] 이 된다. \((\beta - \a\alpha)^2 = (\a\alpha + \beta)^2 - 4\a\alpha \beta = (a-2)^2 + 4b = 1 \implies 4b = 1 - (a-2)^2\) 이다.
따라서 \(b = \frac{1}{2}a^2 + 2a\) 관계를 도출한다.

2-1 \(g(x) = (3a^2-1)x - 2a^3 - a\) 이다.
\(k(x) = f(x)-g(x) = x^3 - 3a^2 x + 2a^3 + a = 0\) 의 극값 분석에서 \(a > 0\)일 때 극솟값 \(k(a) = a > 0\), \(a < 0\)일 때 극댓값 \(k(a) = a < 0\)이므로 \(y=k(x)\)는 항상 \(x\)축과 단 하나의 교점만 갖는다.

2-2 \(a > 0\)일 때 \(k(-a) = 4a^3+a > 0\)이고 \(\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty\)이므로 교점 \(h(a) < -a\) 이다. 양변에 \(-a < 0\)를 곱하면 \(-a h(a) > a^2\) 이 성립한다.
\(a < 0\)일 때 \(k(-a) = 4a^3+a < 0\)이고 \(\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty\)이므로 교점 \(h(a) > -a\) 이다. 양변에 \(-a > 0\)를 곱하면 \(-a h(a) > a^2\) 이 성립한다.

2-3 \((h(a))^3 - 3a^2 h(a) + 2a^3 + a = 0\) 양변을 \(a^3\)으로 나누면 \(\left(\frac{h(a)}{a}\right)^3 - 3\left(\frac{h(a)}{a}\right) + 2 + \frac{1}{a^2} = 0\) 이다.
\(X = \lim_{a \to \infty} \frac{h(a)}{a}\)라 할 때 \(X^3 - 3X + 2 = (X-1)^2(X+2) = 0\) 이고, 2-2에 의해 \(X \le -1\)이므로 \(\mathbf{\lim_{a \to \infty} \frac{h(a)}{a} = -2}\) 이다.

3-1 점 \(A\)를 지나고 \(\vec{AB_1}\)에 평행한 직선 \(L\)에 대하여 \(\vec{AB_3}\)를 대칭이동한 벡터를 \(\vec{AB_3'}\)이라 하자.
주어진 표현식의 최솟값은 \(|\vec{AB_2} - \vec{AB_3'}|^2\) 의 값과 같다.
두 벡터의 크기와 관계식: \[|\vec{AB_2}| = \sqrt{2}, \quad |\vec{AB_3'}| = 2\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)\] 반각공식 적용: \[\left(\cos\frac{\pi}{8}\right)^2 = \frac{1+\sqrt{2}/2}{2}\] 최솟값 계산 과정: \[\begin{aligned} |\vec{AB_2} - \vec{AB_3'}|^2 &= 2 + (2+\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}\left(2\sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{3\pi}{8}\right) \\ &= 4 + \sqrt{2} - 2\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4} = 4 + \sqrt{2} - 2 = \mathbf{2+\sqrt{2}} \end{aligned}\] 를 얻는다.

4-1 부품 정상 사건을 \(A, B, C\)라 하자.
회로가 작동할 확률: \[P(\text{작동}) = P(A \cap C) + P(A^c \cap B \cap C) = \frac{4}{5} \times \frac{9}{10} + \frac{1}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{9}{10} = \frac{171}{200}\] 회로가 작동하지 않을 확률: \[P(\text{작동 안함}) = 1 - \frac{171}{200} = \frac{29}{200}\] 부품 A가 불량이고 회로가 작동하지 않을 확률: \[P(A^c \text{ 이고 작동 안함}) = P(A^c) - P(A^c \cap B \cap C) = \frac{1}{5} - \frac{27}{200} = \frac{13}{200}\] 따라서 조건부확률: \[P(A \text{불량} \mid \text{작동 안함}) = \frac{13/200}{29/200} = \mathbf{\frac{13}{29}}\] 이다.