함수 \(y = f(x)\)는 \(x \ne \alpha,\ x \ne \beta\)인 모든 \(x\)에 대하여 연속이다. 또한 \(0 < \alpha < \beta < 1\)이므로 \(f'(x) = -\left(\dfrac{\alpha^n}{(x-\alpha)^2} + \dfrac{\beta^n}{(x-\beta)^2}\right) < 0\)가 되어, 제시문 [나]에 의해 정의역의 모든 구간에서 감소이다. 그리고 \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0,\ \lim_{x\to -\infty} f(x) = 0\)이므로 \(x\)축이 점근선이 되고, 분모가 \(0\)이 되는 \(x = \alpha,\ x = \beta\)도 점근선이 된다. \(\cdots\cdots \text{ <5점>}\)
오른쪽 <그림 1>을 보면 구간 \((-\infty, \alpha)\)에서는 \(f(x) < 0\)이므로 \(y = k\ (k > 0)\)와 만나지 않는다. 따라서 \(y = f(x)\)와 \(y = k\)는 구간 \((\alpha, \beta)\)와 구간 \((\beta, \infty)\)에서 각각 한 번만 만난다. <그림 2>와 같이 두 교점의 \(x\)좌표를 각각 \(a,\ b\)라 하자. 그러면 \(f(x) > k\)를 만족하는 구간은 \(\alpha \lt x \lt a,\ \beta \lt x \lt b\)가 된다. 따라서 \(L_n = (a - \alpha) + (b - \beta) = (a + b) - (\alpha + \beta)\)이다.
여기에서 \(a\)와 \(b\)는 \(\alpha^n(x - \beta) + \beta^n(x - \alpha) = k(x - \alpha)(x - \beta)\), 즉 \[ kx^2 - \{k(\alpha + \beta) + \alpha^n + \beta^n\}x + k\alpha\beta + \alpha^n\beta + \alpha\beta^n = 0 \] 의 두 근이 된다. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 \(a + b = \dfrac{k(\alpha + \beta) + \alpha^n + \beta^n}{k} = \alpha + \beta + \dfrac{\alpha^n + \beta^n}{k}\)이므로 \(L_n = (a + b) - (\alpha + \beta) = \dfrac{\alpha^n + \beta^n}{k}\)이다. \(\cdots\cdots \text{ <5점>}\)
여기에서 \(0 < \alpha < \beta < 1\)이므로 제시문 [다]에 의해 급수 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} L_n\)은 수렴하고, \(\alpha + \beta = p,\ \alpha\beta = q\)이므로 합은 다음과 같다. \(\cdots\cdots \text{ <5점>}\) \[ \sum_{n=1}^{\infty} L_n = \frac{1}{k}\left(\frac{\alpha}{1 - \alpha} + \frac{\beta}{1 - \beta}\right) = \frac{\alpha + \beta - 2\alpha\beta}{k(1 - \alpha)(1 - \beta)} = \frac{p - 2q}{k(1 - p + q)} \]

① 확률변수 \(X\) (전략 A, 5점): 전략 \(A\)는 첫 번째 카드를 무조건 선택하므로, 첫 번째 카드는 5장 중 무엇이든 동일한 확률 \(\dfrac{1}{5}\)로 1등~5등이 될 수 있다([표 1]). 따라서 기댓값은 \(\mathrm{E}(X) = 1\cdot\dfrac{1}{5} + 2\cdot\dfrac{1}{5} + 3\cdot\dfrac{1}{5} + 4\cdot\dfrac{1}{5} + 5\cdot\dfrac{1}{5} = \dfrac{15}{5} = 3\)이다. \(\cdots\cdots \text{ <5점>}\)
② 확률변수 \(Y\) (전략 B, 8점): 첫 번째 카드를 무조건 패스하고 참고용으로만 사용하므로 첫 번째 카드의 등수(각 확률 \(\dfrac{1}{5}\))에 따라 경우를 나누어 분석한다.
• 경우 1 (첫 카드가 1등): 1등보다 좋은 카드는 없으므로 2~4번째 카드는 선택되지 못하고 마지막 카드를 받는다. 나머지 \(\{2,3,4,5\}\)가 마지막에 올 조건부확률은 각각 \(\dfrac{1}{4}\)이다([표 2]).
• 경우 2 (첫 카드가 2등): 2등보다 좋은 카드는 1등뿐이므로 반드시 1등을 받는다.
• 경우 3 (첫 카드가 3등): 3등보다 좋은 1등, 2등 중 먼저 등장하는 카드가 선택되므로 각각 확률은 \(\dfrac{1}{2}\)이다.
• 경우 4 (첫 카드가 4등): 4등보다 좋은 1, 2, 3등 중 먼저 등장하는 카드가 선택되므로 각각 확률은 \(\dfrac{1}{3}\)이다.
• 경우 5 (첫 카드가 5등): 5등보다 좋은 1, 2, 3, 4등 중 먼저 등장하는 카드가 선택되므로 각각 확률은 \(\dfrac{1}{4}\)이다.
각 경우는 확률 \(\dfrac{1}{5}\)로 발생하므로 전체 확률을 합산하면([표 3]): \[ \mathrm{P}(Y=1) = \frac{1}{5}\left(0 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{5}{12},\quad \mathrm{P}(Y=2) = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{4} + 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{4}{15},\quad \mathrm{P}(Y=3) = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{6} \] \[ \mathrm{P}(Y=4) = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{4} + 0 + 0 + 0 + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{10},\qquad \mathrm{P}(Y=5) = \frac{1}{5}\left(\frac{1}{4} + 0 + 0 + 0 + 0\right) = \frac{1}{20} \quad \cdots\cdots \text{ <8점>} \] ③ \(Y\)의 기댓값 및 \(A, B\) 비교 (6점): \(\mathrm{E}(Y) = 1\cdot\dfrac{5}{12} + 2\cdot\dfrac{4}{15} + 3\cdot\dfrac{1}{6} + 4\cdot\dfrac{1}{10} + 5\cdot\dfrac{1}{20} = \dfrac{25+32+30+24+15}{60} = \dfrac{126}{60} = \dfrac{21}{10} = 2.1\). 등수는 숫자가 작을수록 좋은 카드이므로 \(\mathrm{E}(Y) = 2.1 < 3 = \mathrm{E}(X)\)에서 전략 \(B\)가 평균적으로 더 좋은 등수를 얻는다. \(\cdots\cdots \text{ <6점>}\)

① 확률변수 \(Z\) (전략 C, 8점): 처음 두 카드의 등수 집합은 \({}_5\mathrm{C}_2 = 10\)가지이며 각 집합은 확률 \(\dfrac{1}{10}\)로 나타난다.
• 경우 1 (처음 두 카드가 1등 포함, 확률 \(\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)): 이후 어떤 카드도 선택되지 못해 마지막 카드를 받는다. 처음 두 자리가 \(\{1, x\}\ (x\in\{2,3,4,5\})\)일 때 나머지 세 카드가 균등 등장하므로 합산하면 \(\mathrm{P}(Z=k)\)에 각각 \(\dfrac{1}{10}\ (k=2,3,4,5)\)씩 기여한다.
• 경우 2 (1등 미포함, 2등 포함, 확률 \(\frac{3}{10}\)): 처음 두 카드 중 최고 등수가 2등이므로 반드시 1등을 받는다 (\(\mathrm{P}(Z=1)\)에 \(\dfrac{3}{10}\) 기여).
• 경우 3 (1·2등 미포함, 3등 포함, 확률 \(\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)): 최고 등수가 3등이므로 1, 2등 중 먼저 나오는 카드를 대칭 확률 \(\dfrac{1}{2}\)로 받는다 (\(\mathrm{P}(Z=1), \mathrm{P}(Z=2)\)에 각각 \(\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{10}\) 기여).
• 경우 4 (처음 두 카드가 \(\{4, 5\}\), 확률 \(\frac{1}{10}\)): 1, 2, 3등 중 먼저 나오는 카드를 대칭 확률 \(\dfrac{1}{3}\)로 받는다 (\(\mathrm{P}(Z=1,2,3)\)에 각각 \(\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{30}\) 기여).
따라서 \(\mathrm{P}(Z=1) = \dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{30} = \dfrac{13}{30},\ \mathrm{P}(Z=2) = \dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{30} = \dfrac{7}{30},\ \mathrm{P}(Z=3) = \dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{30} = \dfrac{2}{15},\ \mathrm{P}(Z=4) = \dfrac{1}{10},\ \mathrm{P}(Z=5) = \dfrac{1}{10}\)이다([표 4]). \(\cdots\cdots \text{ <8점>}\)
② \(Z\)의 기댓값 및 \(A, B, C\) 비교 (6점): \(\mathrm{E}(Z) = 1\cdot\dfrac{13}{30} + 2\cdot\dfrac{7}{30} + 3\cdot\dfrac{2}{15} + 4\cdot\dfrac{1}{10} + 5\cdot\dfrac{1}{10} = \dfrac{13+14+12+12+15}{30} = \dfrac{66}{30} = \dfrac{11}{5} = 2.2\).
\(\mathrm{E}(Y) = 2.1 < \mathrm{E}(Z) = 2.2 < \mathrm{E}(X) = 3\)이고 등수는 작을수록 좋으므로, 기댓값 기준에서 전략 \(B\)가 가장 좋고, 그 다음 \(C\), 가장 나쁜 것은 \(A\)이다. \(\cdots\cdots \text{ <6점>}\)

점 \(\mathrm{E}\)가 선분 \(\mathrm{AD}\)의 중점이므로 \(\overline{\mathrm{AE}} = \overline{\mathrm{ED}} = \sqrt{3}\)이다. 직각삼각형 \(\mathrm{ABE}\)에서 피타고라스 정리에 의해 \(\overline{\mathrm{BE}} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}\)이다. 직사각형 \(\mathrm{ABCD}\)를 접은 후 \(\mathrm{A} = \mathrm{D} = \mathrm{P}\)이므로 \(\overline{\mathrm{PB}} = \overline{\mathrm{PC}} = 2\)이고 \(\overline{\mathrm{PE}} = \sqrt{3}\)이다.
오른쪽 그림과 같이 점 \(\mathrm{P}\)에서 선분 \(\mathrm{EB}\)와 평면 \(\mathrm{EBC}\)에 내린 수선의 발을 각각 \(\mathrm{H}\)와 \(\mathrm{O}\)라 하자. \(\overline{\mathrm{PH}} \perp \overline{\mathrm{EB}}\)이고 직선 \(\mathrm{PO}\)는 평면 \(\mathrm{EBC}\)와 수직이므로, 제시문 [가]의 삼수선의 정리에 의하여 \(\overline{\mathrm{HO}} \perp \overline{\mathrm{EB}}\)이다. 따라서 직각삼각형 \(\mathrm{POH}\)에서 \[ \cos\theta = \frac{\overline{\mathrm{HO}}}{\overline{\mathrm{PH}}} \quad \cdots\cdots \text{ <6점>} \] 이다. 접기 전 평면도형에서 점 \(\mathrm{A}\)에서 선분 \(\mathrm{EB}\)에 내린 수선의 발이 \(\mathrm{H}\)이고 대칭성에 의해 점 \(\mathrm{O}\)는 선분 \(\mathrm{EE'}\) 위에 놓인다. 직각삼각형 \(\mathrm{AEO}\)와 \(\mathrm{BAE}\)는 닮음이므로 \[ \overline{\mathrm{AE}} : \overline{\mathrm{EO}} = \overline{\mathrm{BA}} : \overline{\mathrm{AE}} \implies \sqrt{3} : \overline{\mathrm{EO}} = 2 : \sqrt{3} \implies \overline{\mathrm{EO}} = \frac{3}{2} \] 이다. 또한 직각삼각형 \(\mathrm{AHB}\)와 \(\mathrm{OHE}\)도 닮음이므로 \[ \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{EO}} : \overline{\mathrm{HO}} \implies 2 : \overline{\mathrm{AH}} = \frac{3}{2} : \overline{\mathrm{HO}} \implies \frac{\overline{\mathrm{HO}}}{\overline{\mathrm{AH}}} = \frac{3}{4} \] 이다. 이때 \(\overline{\mathrm{PH}} = \overline{\mathrm{AH}}\)이므로 \(\cos\theta = \dfrac{\overline{\mathrm{HO}}}{\overline{\mathrm{PH}}} = \dfrac{3}{4}\)이다. \(\cdots\cdots \text{ <8점>}\)

두 반원의 지름이 \(\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{CD}} = 2\)이므로 반지름은 \(\left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\right| = \left|\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right| = 1\)이다. \(\left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}} + \overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right|\)의 최솟값 \(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)은 \(\left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}} + \overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right|^2\)이 최소일 때 얻어진다. 즉, \[ \left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}} + \overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right|^2 = \left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\right|^2 + 2\left(\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right) + \left|\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right|^2 = 2 + 2\left(\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\right) = \frac{4}{3} \] 이므로 두 벡터의 내적 \(\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\)의 최솟값이 \(-\dfrac{1}{3}\)이 되도록 하는 점 \(\mathrm{M}\)과 점 \(\mathrm{N}\)의 위치를 찾는다.
제시문 [가]에 따라 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}}\)을 시점이 \(\mathrm{O}_1\)이 되도록 평행이동한 벡터를 \(\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{N'}}\)이라 하면 \(\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}} = \overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{N'}}\)이고, 두 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\)과 \(\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{N'}}\)이 이루는 각을 \(\theta\)라 할 때 제시문 [나]에 의하여 \(\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{O}_2\mathrm{N}} = \left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{M}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{N'}}\right|\cos\theta = \cos\theta\)이다.
따라서 \(\cos\theta\)가 최소(\(-\dfrac{1}{3}\))가 되려면 둔각 \(\theta\)가 최대일 때이므로, 호 \(\mathrm{AP}\) 위의 점 \(\mathrm{M}\)이 점 \(\mathrm{P}\)와 일치하고, 점 \(\mathrm{N'}\)이 점 \(\mathrm{A}\)와 일치할 때(즉, 호 \(\mathrm{QP}\) 위의 점 \(\mathrm{N}\)이 점 \(\mathrm{Q}\)와 일치할 때)이다. \(\cdots\cdots \text{ <8점>}\)
이때 두 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{P}}\)와 \(\overrightarrow{\mathrm{O}_1\mathrm{A}}\)가 이루는 각이 \(\theta\)이고 \(\cos\theta = -\dfrac{1}{3}\)을 만족한다. 점 \(\mathrm{P}\)에서 선분 \(\mathrm{AB}\)에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\)라 하면 \(\angle\mathrm{PO}_1\mathrm{H} = \pi - \theta\)이므로 \(\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{H}} = \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta = \dfrac{1}{3}\)이다. 두 반원의 대칭성(\(\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{P}} = \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{P}} = 1\))에 의하여 \(\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{H}} = \overline{\mathrm{HO}_2}\)이므로 \[ \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2} = \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{H}} + \overline{\mathrm{HO}_2} = \frac{2}{3} \quad \cdots\cdots \text{ <8점>} \] 오른쪽 그림과 같이 선분 \(\mathrm{AB}\)를 \(x\)축, 선분 \(\mathrm{CD}\)를 \(y\)축으로 하는 좌표평면을 잡으면 점 \(\mathrm{O}_2\)는 원점 \((0, 0)\)이다. \(\cdots\cdots \text{ <2점>}\)
(1)에 의해 직각삼각형 \(\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2\mathrm{R}\)에서 \(\mathrm{O}_1\left(-\dfrac{2}{3}, 0\right),\ \mathrm{O}_2(0, 0)\)이고 \(\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{R}} = 1\)이므로 \[ \overline{\mathrm{O}_2\mathrm{R}} = \sqrt{1 - \overline{\mathrm{O}_1\mathrm{O}_2}^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \implies \mathrm{R}\left(0,\ \frac{\sqrt{5}}{3}\right) \] 이다. 또한 (1)에서 점 \(\mathrm{M}\)은 점 \(\mathrm{P}\)와 일치하고 \(\overline{\mathrm{O}_1\mathrm{H}} = \overline{\mathrm{HO}_2} = \dfrac{1}{3}\)이므로 \(\mathrm{H}\left(-\dfrac{1}{3}, 0\right)\)이며, \[ \overline{\mathrm{MH}} = \sin(\pi - \theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\pi - \theta)} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \implies \mathrm{M}\left(-\frac{1}{3},\ \frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \quad \cdots\cdots \text{ <6점>} \] 이다. 따라서 제시문 [다]에 의하여 \[ \overline{\mathrm{MR}}^2 = \left(-\frac{1}{3} - 0\right)^2 + \left(\frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{13 - 4\sqrt{10}}{9} = \frac{14 - 4\sqrt{10}}{9} \quad \cdots\cdots \text{ <4점>} \]

정사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 꼭짓점은 \(\mathrm{A}(1,1),\ \mathrm{B}(3,1),\ \mathrm{C}(3,3),\ \mathrm{D}(1,3)\)이고, 중심이 \(\mathrm{M}(t, -t^2+3t)\)인 정사각형 \(\mathrm{PQRS}\)의 꼭짓점은 \(\mathrm{P}(t-1, -t^2+3t-1),\ \mathrm{Q}(t+1, -t^2+3t-1),\ \mathrm{R}(t+1, -t^2+3t+1),\ \mathrm{S}(t-1, -t^2+3t+1)\)이다.
• [경우 1] \(0 \le t < 1\): 두 변의 길이가 \(t\)와 \(-t^2+3t\)인 직사각형이므로 \(f(t) = -t^3 + 3t^2\)이다.
• [경우 2] \(1 \le t < 2\): 두 변의 길이가 \(t\)와 \(3 - (-t^2+3t-1) = t^2-3t+4\)이므로 \(f(t) = t^3 - 3t^2 + 4t\)이다.
• [경우 3] \(2 \le t \le 3\): 두 변의 길이가 \(3 - (t-1) = -t+4\)와 \(-t^2+3t\)이므로 \(f(t) = t^3 - 7t^2 + 12t\)이다.
따라서 \(f(t) = \begin{cases} -t^3 + 3t^2 & (0 \le t < 1) \\ t^3 - 3t^2 + 4t & (1 \le t < 2) \\ t^3 - 7t^2 + 12t & (2 \le t \le 3) \end{cases}\)이다. \(\cdots\cdots \text{ <8점>}\)
각 구간에서 \(f(t) - g(t)\)를 계산하면 \([0,1)\)에서 \(-t(t-1)(t-2) \le 0\), \([1,2)\)에서 \(t(t-1)(t-2) \le 0\), \([2,3]\)에서 \((t-2)^2(t-3) \le 0\)이므로 모든 \(0 \le t \le 3\)에서 \(f(t) - g(t) \le 0\)이다. 따라서 제시문 [가]에 의하여 \[ \int_0^3 |f(t) - g(t)|\,dt = \int_0^1 (t^3 - 3t^2 + 2t)\,dt + \int_1^2 (-t^3 + 3t^2 - 2t)\,dt + \int_2^3 (-t^3 + 7t^2 - 16t + 12)\,dt = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12} \quad \cdots\cdots \text{ <8점>} \] \(2 \lt t \lt 3\)일 때 \(f(t) = t^3 - 7t^2 + 12t\)이고 \(f'(t) = 3t^2 - 14t + 12\)이다. 이때 \(f'(2) = -4 < 0,\ f'(3) = -3 < 0\)이므로 \(2 \lt t \lt 3\)에서 \(f'(t) < 0\)이고, 제시문 [다]에 의해 \(f(t)\)는 닫힌구간 \([2, 3]\)에서 감소한다. 따라서 제시문 [가]에 의하여 \[ S(a) = \int_2^3 |f(t) - f(a)|\,dt = \int_2^a \{f(t) - f(a)\}\,dt + \int_a^3 \{f(a) - f(t)\}\,dt = -(2a - 5)f(a) + \int_2^a f(t)\,dt - \int_a^3 f(t)\,dt \quad \cdots\cdots \text{ <6점>} \] 이다. 제시문 [나]에 의하여 \(S(a)\)를 \(a\)에 대하여 미분하면 \[ S'(a) = -2f(a) - (2a - 5)f'(a) + f(a) + f(a) = -(2a - 5)f'(a) \] 이다. \(2 \lt a \lt 3\)에서 \(f'(a) < 0\)이므로 \(S'(a) = 0 \iff a = \dfrac{5}{2}\)이고, \(a = \dfrac{5}{2}\)의 좌우에서 \(S'(a)\)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 제시문 [라]에 의해 \(S(a)\)는 \(a = \dfrac{5}{2}\)에서 극소이자 최소이다. \(\cdots\cdots \text{ <6점>}\)

\(20 \le X \le 28\)인 사건 \(A\)는 \(X = 20,\ 22,\ 24,\ 26,\ 28\)인 경우이다. 제시문 [바]의 독립시행의 확률에 의하여:
• \(X = 20\)인 경우: 첫 번째 분기점에서 \(4\)갈래, 두 번째 분기점에서 \(4, 4, 6, 6\)갈래로 갈라지는 확률은 \(\dfrac{1}{2}\times {}_4\mathrm{C}_2\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{3}{16}\)이다.
• \(X = 22\)인 경우: 첫 번째 분기점에서 \(4\)갈래, 두 번째 분기점에서 \(4, 6, 6, 6\)갈래로 갈라지는 확률은 \(\dfrac{1}{2}\times {}_4\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{8}\)이다.
• \(X = 24\)인 경우:
  (i) 첫 번째 분기점에서 \(4\)갈래, 두 번째 분기점에서 \(6, 6, 6, 6\)갈래로 갈라지는 확률은 \(\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = \dfrac{1}{32}\)이다. \(\cdots\cdots \text{ <6점>}\)
  (ii) 첫 번째 분기점에서 \(6\)갈래(사건 \(B\)), 두 번째 분기점에서 \(4, 4, 4, 4, 4, 4\)갈래로 갈라지는 확률은 \(\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{1}{128}\)이다.
• \(X = 26\)인 경우: 첫 번째 분기점에서 \(6\)갈래(사건 \(B\)), 두 번째 분기점에서 \(4, 4, 4, 4, 4, 6\)갈래로 갈라지는 확률은 \(\dfrac{1}{2}\times {}_6\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{3}{64}\)이다.
• \(X = 28\)인 경우: 첫 번째 분기점에서 \(6\)갈래(사건 \(B\)), 두 번째 분기점에서 \(4, 4, 4, 4, 6, 6\)갈래로 갈라지는 확률은 \(\dfrac{1}{2}\times {}_6\mathrm{C}_2\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{15}{128}\)이다. \(\cdots\cdots \text{ <6점>}\)
따라서 \(\mathrm{P}(A\cap B) = \dfrac{1}{128} + \dfrac{3}{64} + \dfrac{15}{128} = \dfrac{11}{64}\)이고, \(\mathrm{P}(A) = \left(\dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{32}\right) + \dfrac{11}{64} = \dfrac{22}{64} + \dfrac{11}{64} = \dfrac{33}{64}\)이므로 제시문 [마]에 의하여 \[ \mathrm{P}(B\mid A) = \frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A)} = \frac{11/64}{33/64} = \frac{1}{3} \quad \cdots\cdots \text{ <4점>} \] 한 분기점에서 갈라지는 두 점 사이의 최소 거리는 \(2t\)이고, 서로 다른 분기점에서 갈라지는 두 점 사이의 최소 거리는 \(10 - 2\sqrt{3}t\)이다.
\(2t \le 10 - 2\sqrt{3}t \iff 2(\sqrt{3}+1)t \le 10 \iff t \le \dfrac{5}{\sqrt{3}+1} = \dfrac{5(\sqrt{3}-1)}{2}\)이므로 \(t_0 = \dfrac{5(\sqrt{3}-1)}{2}\)라 하면 \[ f(t) = \begin{cases} 2t & (0 < t \le t_0) \\ 10 - 2\sqrt{3}t & \left(t_0 \lt t \lt \dfrac{5}{2}\right) \end{cases} \quad \cdots\cdots \text{ <8점>} \] 이다. 이때 \(\displaystyle\lim_{t\to t_0-}\frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} = 2,\ \lim_{t\to t_0+}\frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} = -2\sqrt{3}\)이므로 \(f'(t_0)\)가 존재하지 않는다.
즉, 함수 \(f(t)\)는 \(t = t_0 = \dfrac{5(\sqrt{3}-1)}{2}\)에서 미분가능하지 않으며, 이때의 함숫값은 \(f(t_0) = 2t_0 = 5(\sqrt{3}-1)\)이다. \(\cdots\cdots \text{ <8점>}\)

오른쪽 도식과 같이 유리창 1로 빛이 들어오는 구역을 A, 유리창 2에서 빛이 통과하여 나가는 구역을 B라 하자.
유리창 1로 들어오는 빛의 양 \(a\) 중 \((1-r)a\)는 A로 반사되고, \(ra\)는 유리창 1을 통과한다. 유리창 2에 \(ra\)가 도달하면 \((1-r)ra\)는 반사되고 \(r^2a\)는 통과하여 B로 나간다.
유리창 2에서 반사된 \((1-r)ra\)는 유리창 1로 들어가 \((1-r)r^2a\)는 A로 나가고, \((1-r)^2ra\)는 다시 유리창 2를 향해 반사된다. 이 빛이 다시 유리창 2에 도달하면 \((1-r)^2r^2a\)가 통과하여 B로 나간다.
이 과정을 무한히 반복하면 B로 나가는 총 빛의 양 \(S\)는 첫째항이 \(r^2a\)이고 공비가 \((1-r)^2\)인 등비급수의 합이 된다. \(\cdots\cdots \text{<5점>}\)
\(0 \lt r \lt 1\)에서 공비 \(0 < (1-r)^2 < 1\)이므로 제시문 [가]에 의해 \[ S = \frac{r^2a}{1 - (1-r)^2} = \frac{r^2a}{2r - r^2} = \frac{r}{2 - r}a \] 문제의 조건에서 \(S = \dfrac{1}{2}a\)이므로 \[ \frac{r}{2 - r} = \frac{1}{2} \iff 2r = 2 - r \iff 3r = 2 \iff r = \frac{2}{3} \quad \cdots\cdots \text{<5점>} \] 빛을 통과시키는 비율이 각각 \(q_1, q_2\)인 두 장의 유리창을 하나로 보았을 때, B로 도달하는 빛의 양은 첫째항 \(q_1q_2a\), 공비 \((1-q_1)(1-q_2)\)인 등비급수의 합이 된다. 따라서 두 창을 합친 유효 통과 비율 \(R(q_1, q_2)\)는 \[ R(q_1, q_2) = \frac{q_1q_2}{1 - (1-q_1)(1-q_2)} = \frac{q_1q_2}{q_1 + q_2 - q_1q_2} \quad \cdots\cdots \text{<6점>} \] 이제 동일한 유리창 \(n\)개가 있을 때, 첫 번째 유리창의 비율을 \(q_1 = r_1 = \dfrac{2}{3}\)이라 하고, 2번째부터 \(n\)번째까지 \((n-1)\)개의 유리창을 하나로 합친 비율을 \(q_2 = r_{n-1}\)이라 하면, \(n\)장의 합성 통과 비율 \(r_n\)은 \[ r_n = \frac{\frac{2}{3}r_{n-1}}{\frac{2}{3} + r_{n-1} - \frac{2}{3}r_{n-1}} = \frac{2r_{n-1}}{2 + r_{n-1}} \quad \cdots\cdots \text{<6점>} \] 양변의 역수를 취하면 \[ \frac{1}{r_n} = \frac{2 + r_{n-1}}{2r_{n-1}} = \frac{1}{r_{n-1}} + \frac{1}{2} \] 따라서 수열 \(\left\{ \dfrac{1}{r_n} \right\}\)은 첫째항이 \(\dfrac{1}{r_1} = \dfrac{3}{2}\)이고 공차가 \(\dfrac{1}{2}\)인 등차수열이다. \[ \frac{1}{r_n} = \frac{3}{2} + (n - 1)\frac{1}{2} = \frac{n + 2}{2} \iff r_n = \frac{2}{n + 2} \] 따라서 \(n\)장의 유리창을 통과한 총 빛의 양 \(p_n\)은 \(p_n = r_n a = \dfrac{2}{n+2}a\)이다. \(\cdots\cdots \text{<6점>}\)

\(\theta = \dfrac{2\pi}{n}\)이라 하자. \(\mathrm{P}_1(r\cos t, r\sin t)\), \(\mathrm{P}_2(r\cos(t+\theta), r\sin(t+\theta))\)이다.
제시문 [다]의 삼각함수 덧셈정리에 의해 \(\mathrm{P}_2\)의 좌표는 \[ x_2 = x_1\cos\theta - y_1\sin\theta, \quad y_2 = y_1\cos\theta + x_1\sin\theta \] 제시문 [라]에 의해 점 \(\mathrm{P}_1\)의 접선의 기울기 \(\dfrac{dy_1}{dx_1} = \dfrac{y_1'}{x_1'}\)은 직선 \(\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2\)의 기울기와 같으므로 \[ \frac{y_1'}{x_1'} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \implies (x_1'y_1 - x_1y_1')(1-\cos\theta) = (x_1'x_1 + y_1'y_1)\sin\theta \] \(x_1'y_1 - x_1y_1' = -r^2\), \(x_1'x_1 + y_1'y_1 = rr'\)이므로 \[ -r^2(1 - \cos\theta) = rr'\sin\theta \implies \frac{r'}{r} = -\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = -\alpha \quad \cdots\cdots \text{<5점>} \] \(r(0) = 1\)이므로 \(r(t) = e^{-\alpha t}\)이다. 속력은 \(\sqrt{(x_1')^2 + (y_1')^2} = \sqrt{\alpha^2+1}\,e^{-\alpha t}\)이다.
점 \(\mathrm{P}_1\)이 \(y\)축과 처음 만나는 시각은 \(t = \dfrac{\pi}{2}\)이므로 이동거리는 \[ L_1 = \int_0^{\pi/2} \sqrt{\alpha^2+1}\,e^{-\alpha t}\,dt = \left[ -\frac{\sqrt{\alpha^2+1}}{\alpha}e^{-\alpha t} \right]_0^{\pi/2} = \frac{\sqrt{\alpha^2+1}}{\alpha}(1 - e^{-\alpha\pi/2}) \quad \cdots\cdots \text{<5점>} \] 점 \(\mathrm{B}\!\left(b, \dfrac{1}{b}\right)\)에 대하여 직선 \(\mathrm{AB}\)의 방정식은 \(y = -\dfrac{1}{ab}x + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\)이다.
절편은 \(\mathrm{P}\!\left(0, \dfrac{a+b}{ab}\right), \mathrm{Q}(a+b, 0)\)이므로 삼각형 \(\mathrm{OPQ}\)의 넓이는 \[ S(a) = \frac{1}{2}(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = \frac{(a+b)^2}{2ab} = \frac{(1 + b/a)^2}{2(b/a)} \quad \cdots\cdots \text{<6점>} \] 조건 \(\overline{\mathrm{AB}} = 1\)에서 \(\sqrt{(a-b)^2 + (1/a - 1/b)^2} = \dfrac{|a-b|\sqrt{1+a^2b^2}}{ab} = 1\)이므로 \[ |a - b| = \frac{ab}{\sqrt{1 + a^2b^2}} \] \(a > b\)일 때 \(a - b = \dfrac{ab}{\sqrt{1+a^2b^2}} \implies \dfrac{b}{a} = 1 - \dfrac{b}{\sqrt{1+a^2b^2}}\)이다.
여기서 \(0 < \dfrac{b}{\sqrt{1+a^2b^2}} < \dfrac{b}{ab} = \dfrac{1}{a}\)이므로, \(a \to \infty\)일 때 조임정리에 의해 \(\lim_{a\to\infty} \dfrac{b}{\sqrt{1+a^2b^2}} = 0\)이다.
따라서 \(\lim_{a\to\infty} \dfrac{b}{a} = 1\)이므로 \[ \lim_{a\to\infty} S(a) = \frac{(1 + 1)^2}{2(1)} = 2 \quad \cdots\cdots \text{<6점>} \] 또한 \(\dfrac{a}{b} = 1 + \dfrac{a}{\sqrt{1+a^2b^2}}\)에서 \(0 < \dfrac{a}{\sqrt{1+a^2b^2}} < a\)이므로 \(a \to 0^+\)일 때 \(\lim_{a\to 0^+} \dfrac{a}{b} = 1\)이다.
\[ \lim_{a\to 0^+} S(a) = \lim_{a\to 0^+} \frac{(a/b + 1)^2}{2(a/b)} = \frac{(1 + 1)^2}{2(1)} = 2 \quad \cdots\cdots \text{<5점>} \]