(1) \(P(x)\)가 \(x^2+x+1\)로 나누어떨어질 조건
• \(x^2+x+1=0\)의 한 허근을 \(\omega\)라 하면 \(\omega^2+\omega+1=0\)이고 \(\omega^3=1\)이다.
• \(2027 = 3 \times 675 + 2\)이므로 \(\omega^{2027} = (\omega^3)^{675} \cdot \omega^2 = \omega^2 = -\omega - 1\)이다.
• \(P(x)\)가 \(x^2+x+1\)로 나누어떨어지므로 인수정리에 의해 \(P(\omega) = 0\)이어야 한다:
  \(P(\omega) = \omega^{2027} + a\omega^2 + b\omega + c = \omega^2 + a\omega^2 + b\omega + c = (a+1)\omega^2 + b\omega + c\).
• \(\omega^2 = -\omega - 1\)을 대입하면:
  \(P(\omega) = (a+1)(-\omega - 1) + b\omega + c = (b - a - 1)\omega + (c - a - 1) = 0\).
• \(\omega\)는 허수이고 \(a, b, c\)는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의해:
  \(b - a - 1 = 0 \implies \mathbf{b = a + 1}, \quad c - a - 1 = 0 \implies \mathbf{c = a + 1}\).
• 정답: \(b = a + 1, \; c = a + 1\)

(2) 상수 \(a\)의 값 및 몫을 \(x^2+x+1\)로 나눈 나머지
• (1)에 의해 \(P(1) = 1 + a + b + c = 1 + a + (a+1) + (a+1) = 3a + 3\)이다.
• \(P(x) = (x-1)^2 Q(x) + px + q\)라 둘 때, \(P(1) = p + q = 3a + 3\)이다.
• \(P'(x) = 2027x^{2026} + 2ax + b\)이므로 \(P'(1) = 2027 + 2a + (a+1) = 3a + 2028 = p\).
• \(q = (3a+3) - (3a+2028) = -2025\)이므로 나머지 \(R(x) = (3a+2028)x - 2025\)이다.
• 조건 \(R(2) = 2(3a+2028) - 2025 = 6a + 2031 = 2031 \implies 6a = 0 \implies \mathbf{a = 0}\).
• 따라서 \(P(x) = x^{2027} + x + 1\)이고 \(P(1) = 3\)이다.
• \(P(x) = (x-1)Q_1(x) + 3\)이고 \(P(x)\)는 \(x^2+x+1\)로 나누어떨어지므로, 적당한 다항식 \(M(x)\)에 대해 \((x-1)Q_1(x) + 3 = (x^2+x+1)M(x)\)이다.
• \(Q_1(x)\)를 \(x^2+x+1\)로 나눈 나머지를 \(mx+n\) (\(m, n\)은 실수)이라 하면, \(x=\omega\) 대입 시:
  \((\omega - 1)(m\omega + n) + 3 = 0 \implies m\omega + n = \frac{-3}{\omega - 1} = \frac{-3(\bar{\omega}-1)}{(\omega-1)(\bar{\omega}-1)} = \frac{-3(\bar{\omega}-1)}{3} = 1 - \bar{\omega}\).
• \(\bar{\omega} = \omega^2 = -\omega - 1\)이므로 \(1 - \bar{\omega} = 1 - (-\omega - 1) = \omega + 2\). 따라서 \(m = 1, n = 2\)이다.
• 구하는 나머지는 \(\mathbf{x+2}\)이다.   정답: \(a = 0\), 나머지: \(x + 2\)

(1) 두 점 \(B, Q\) 및 대각선의 교점 \(M\)의 좌표 산출
• 점 \(A(0, 4)\)에서 점 \(P(t, 0)\)으로 향하는 벡터는 \(\vec{AP} = (t, -4)\)이다.
• 정사각형 \(APQB\)는 선분 \(AP\)의 우측(제1사분면 방향)으로 뻗어가므로, \(\vec{AP}\)에 수직이고 길이가 같은 벡터 \(\vec{PQ}\)는 \((4, t)\)이다.
• 따라서 점 \(Q\)의 좌표는 \(P(t, 0) + (4, t) = \mathbf{(t+4, t)}\)이다.
• 점 \(B\)의 좌표는 \(A(0, 4) + (4, t) = \mathbf{(4, t+4)}\)이다. (\(t>0\)이므로 모든 꼭짓점 제1사분면 위치)
• 정사각형의 두 대각선 \(AQ\)와 \(BP\)의 교점 \(M\)은 선분 \(AQ\)의 중점이므로:
  \(M = \left(\frac{0 + (t+4)}{2}, \frac{4 + t}{2}\right) = \mathbf{\left(\frac{t+4}{2}, \frac{t+4}{2}\right)}\).
• 정답: \(B(4, t+4), \; Q(t+4, t), \; M\left(\frac{t+4}{2}, \frac{t+4}{2}\right)\)

(2) 산술-기하평균 부등식을 이용한 \(S(t)\)의 최솟값 및 \(t\) 산출
• 점 \(M\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발 \(H_1\)과 \(y\)축에 내린 수선의 발 \(H_2\)의 좌표는 각각 \(\left(\frac{t+4}{2}, 0\right)\), \(\left(0, \frac{t+4}{2}\right)\)이다.
• 선분의 길이는 좌표의 절댓값이므로 \(\overline{MH_1} = \frac{t+4}{2}\), \(\overline{MH_2} = \frac{t+4}{2}\)이다.
• 따라서 구하는 선분의 길이의 합 식은 다음과 같다:
  \(S(t) = \frac{t+4}{2} + \frac{16}{\frac{t+4}{2}} = \frac{t+4}{2} + \frac{32}{t+4}\).
• \(t > 0\)이므로 \(\frac{t+4}{2} > 0\)이고 \(\frac{32}{t+4} > 0\)이다. 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여:
  \(S(t) = \frac{t+4}{2} + \frac{32}{t+4} \ge 2\sqrt{\frac{t+4}{2} \cdot \frac{32}{t+4}} = 2\sqrt{16} = \mathbf{8}\).
• 등호는 두 양의 항이 같을 때 성립하므로:
  \(\frac{t+4}{2} = \frac{32}{t+4} \iff (t+4)^2 = 64 \iff t+4 = 8 \;(\because t > 0) \implies \mathbf{t = 4}\).
• 따라서 \(t = 4\)일 때 최솟값 \(\mathbf{8}\)을 갖는다.   정답: 최솟값 \(8\), 그때의 \(t = 4\)

(1) 극선의 방정식 \(ax+by=4\) 증명 및 항상 지나는 정점 \(K\)
• 두 접점의 좌표를 각각 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)라 하자.
• 접점 \(A\)에서의 원의 접선 방정식은 \(x_1 x + y_1 y = 4\)이며, 이 접선이 점 \(P(a, b)\)를 지나므로 \(x_1 a + y_1 b = 4 \iff a x_1 + b y_1 = 4\)가 성립한다.
• 마찬가지로 접점 \(B\)에서의 접선 방정식은 \(x_2 x + y_2 y = 4\)이고 점 \(P(a, b)\)를 지나므로 \(a x_2 + b y_2 = 4\)가 성립한다.
• 위 두 식은 두 점 \(A(x_1, y_1)\)과 \(B(x_2, y_2)\)가 모두 일차방정식 \(ax+by=4\)를 만족함을 의미한다. 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 유일하므로, 두 접점 \(A, B\)를 지나는 직선의 방정식은 \(\mathbf{ax+by=4}\)이다.
• 점 \(P(a, b)\)가 직선 \(l: x-2y+10=0\) 위의 점이므로 \(a - 2b + 10 = 0 \implies a = 2b - 10\).
• 이를 대입하면 \((2b-10)x + by = 4 \iff b(2x+y) - (10x+4) = 0\).
• 이 식이 임의의 실수 \(b\)에 대하여 항상 성립해야 하므로 항등식 성질에 의해:
  \(2x+y = 0\) 및 \(10x+4 = 0 \implies x = -\frac{2}{5}, \; y = -2x = \frac{4}{5}\).
• 정답: 증명 완료, 정점 \(K\left(-\frac{2}{5}, \frac{4}{5}\right)\)

(2) 선분 \(AB\)의 길이 최솟값 및 그때의 점 \(P\)의 좌표
• 원점 \(O(0, 0)\)에서 점 \(P(a, b)\)까지의 거리를 \(d = \overline{OP} = \sqrt{a^2+b^2}\)라 하자.
• 직각삼각형 \(OAP\)에서 반지름 \(\overline{OA} = 2\), 접선의 길이 \(\overline{AP} = \sqrt{d^2 - 4}\)이다.
• 선분 \(OP\)와 \(AB\)의 수직 교점을 \(H\)라 하면, 직각삼각형 넓이 관계 \(\overline{OA} \cdot \overline{AP} = \overline{OP} \cdot \overline{AH}\)에 의해:
  \(\overline{AH} = \frac{2\sqrt{d^2-4}}{d} = 2\sqrt{1 - \frac{4}{d^2}} \implies \overline{AB} = 2\overline{AH} = 4\sqrt{1 - \frac{4}{d^2}}\).
• \(\overline{AB}\)가 최소가 되려면 거리 \(d\)가 최소여야 하므로, 원점과 직선 \(l: x-2y+10=0\) 사이의 최단거리일 때이다:
  \(d_{\min} = \frac{|0 - 0 + 10|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}\).
• 따라서 \(\overline{AB}\)의 최솟값은 \(\overline{AB}_{\min} = 4\sqrt{1 - \frac{4}{(2\sqrt{5})^2}} = 4\sqrt{1 - \frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{4}{5}} = \mathbf{\frac{8\sqrt{5}}{5}}\)이다.
• 이때 점 \(P\)는 원점 \(O\)에서 직선 \(l\)에 내린 수선의 발이다. 원점을 지나고 직선 \(l\)에 수직인 직선은 \(y = -2x\)이므로 이를 \(x-2y+10=0\)에 대입하면 \(x - 2(-2x) + 10 = 0 \implies 5x + 10 = 0 \implies x = -2, y = 4\).
• 정답: 최솟값 \(\frac{8\sqrt{5}}{5}\), 점 \(P(-2, 4)\)

(1) 역함수 \(f^{-1}(x)\) 및 정의역, 치역 산출
• 함수 \(f(x) = \sqrt{2(x-2)} + 1\)의 정의역은 \(\{x \mid x \ge 2\}\)이고, 치역은 \(\{y \mid y \ge 1\}\)이다.
• \(y = \sqrt{2x-4} + 1 \iff y - 1 = \sqrt{2x-4}\).
• 양변을 제곱하면 \((y-1)^2 = 2x - 4 \iff 2x = (y-1)^2 + 4 \iff x = \frac{1}{2}(y-1)^2 + 2\).
• \(x\)와 \(y\)를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 다음과 같다:
  \(f^{-1}(x) = \mathbf{\frac{1}{2}(x-1)^2 + 2}\).
• 원래 함수의 치역이 역함수의 정의역이 되므로 정의역은 \(\mathbf{\{x \mid x \ge 1\}}\)이다.
• 원래 함수의 정의역이 역함수의 치역이 되므로 치역은 \(\mathbf{\{y \mid y \ge 2\}}\)이다.
• 정답: \(f^{-1}(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 2\), 정의역: \(\{x \mid x \ge 1\}\), 치역: \(\{y \mid y \ge 2\}\)

(2) 실수 \(k\)의 값에 따른 교점의 개수 분류 및 두 점에서 만날 조건
• 곡선 \(y = \sqrt{2x-4} + 1\)과 직선 \(y = x + k\)의 교점의 \(x\)좌표는 다음 방정식의 실근이다:
  \(\sqrt{2x-4} = x + k - 1 \quad (\text{단, } x \ge 2, \; x \ge 1-k)\).
• 양변을 제곱하여 정리하면:
  \(2x - 4 = x^2 + 2(k - 1)x + (k - 1)^2 \iff x^2 + 2(k - 2)x + (k^2 - 2k + 5) = 0\).
• 이 이차방정식의 판별식을 \(D\)라 하면:
  \(\frac{D}{4} = (k - 2)^2 - (k^2 - 2k + 5) = (k^2 - 4k + 4) - (k^2 - 2k + 5) = -2k - 1\).
• ① 접할 때: \(\frac{D}{4} = 0 \implies -2k - 1 = 0 \implies \mathbf{k = -\frac{1}{2}}\).
  이때 접점의 \(x\)좌표는 \(x = -(k - 2) = -\left(-\frac{1}{2} - 2\right) = \frac{5}{2} \ge 2\)이므로 적합하다.
• ② 시작점 \((2, 1)\)을 지날 때: \(1 = 2 + k \implies \mathbf{k = -1}\).
• ③ 그래프 개형에 따른 교점의 개수 분류:
  - \(k > -\frac{1}{2}\)일 때: \(\frac{D}{4} < 0\)이므로 실근 없음 \(\to\) 0개
  - \(k = -\frac{1}{2}\)일 때: 곡선과 직선이 접함 \(\to\) 1개
  - \(-1 \le k < -\frac{1}{2}\)일 때: 시작점 및 위쪽에서 만남 \(\to\) 2개
  - \(k < -1\)일 때: 시작점 아래쪽을 지나므로 한 점에서 만남 \(\to\) 1개
• 정답: 분류 완료, 서로 다른 두 점 범위: \(-1 \le k < -\frac{1}{2}\)

(1) 세 점 \(P, Q, R\)를 모두 지나지 않는 경로의 수
• \(O(0, 0)\)에서 \(A(5, 5)\)까지의 전체 최단 경로의 수는 \(N = \binom{10}{5} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252\)가지이다.
• 세 점 \(P(2, 1), Q(3, 3), R(4, 4)\)를 지나는 사건을 각각 \(E_P, E_Q, E_R\)이라 하자.
• 포함배제의 원리에 의해 적어도 한 점을 지나는 경로의 수는 다음과 같다:
  \(|E_P \cup E_Q \cup E_R| = (|E_P| + |E_Q| + |E_R|) - (|E_P \cap E_Q| + |E_P \cap E_R| + |E_Q \cap E_R|) + |E_P \cap E_Q \cap E_R|\).
• 각 항을 단계별로 계산하면:
  ① \(|E_P| = \binom{3}{1} \times \binom{7}{4} = 3 \times 35 = 105\)
  ② \(|E_Q| = \binom{6}{3} \times \binom{4}{2} = 20 \times 6 = 120\)
  ③ \(|E_R| = \binom{8}{4} \times \binom{2}{1} = 70 \times 2 = 140\)
  ④ \(|E_P \cap E_Q| = \binom{3}{1} \times \binom{3}{2} \times \binom{4}{2} = 3 \times 3 \times 6 = 54\)
  ⑤ \(|E_P \cap E_R| = \binom{3}{1} \times \binom{5}{3} \times \binom{2}{1} = 3 \times 10 \times 2 = 60\)
  ⑥ \(|E_Q \cap E_R| = \binom{6}{3} \times \binom{2}{1} \times \binom{2}{1} = 20 \times 2 \times 2 = 80\)
  ⑦ \(|E_P \cap E_Q \cap E_R| = \binom{3}{1} \times \binom{3}{2} \times \binom{2}{1} \times \binom{2}{1} = 3 \times 3 \times 2 \times 2 = 36\).
• 따라서 \(|E_P \cup E_Q \cup E_R| = (105 + 120 + 140) - (54 + 60 + 80) + 36 = 365 - 194 + 36 = 207\).
• 여사건에 의해 구하는 경로의 수는 \(252 - 207 = \mathbf{45}\)가지이다.   정답: \(45\)가지

(2) 직선 \(y=x\) 경유 여부에 따른 경로의 수
• 경로가 원점 \(O(0, 0)\)과 도착점 \(A(5, 5)\)를 제외하고 직선 \(y=x\) 위의 점을 단 한 번도 지나지 않는 경우는 대칭성에 의해 직선 \(y=x\)의 아래쪽에만 머무는 경우와 위쪽에만 머무는 경우의 합이다.
• ① 직선 \(y=x\)의 아래쪽에만 머무는 경우:
  - 첫 이동은 반드시 \((0, 0) \to (1, 0)\)이고, 마지막 이동 직전에는 반드시 \((5, 4)\)에 도달해야 한다.
  - \((1, 0)\)에서 \((5, 4)\)까지 이동 중 항상 \(x > y\)를 만족하는 경로의 수는 카탈랑 수 \(C_4\)와 같다:
    \(C_4 = \frac{1}{4+1}\binom{8}{4} = \frac{1}{5} \times 70 = 14\)가지.
• ② 대칭성에 의해 직선 \(y=x\)의 위쪽에만 머무는 경우 또한 \(14\)가지이다.
• 따라서 단 한 번도 거치지 않는 경로의 수는 \(14 + 14 = \mathbf{28}\)가지이다.
• 적어도 한 번 이상 거쳐가는 경로의 수는 전체에서 이를 제외하므로 \(252 - 28 = \mathbf{224}\)가지이다.
• 정답: 단 한 번도 거치지 않는 경로: \(28\)가지, 적어도 한 번 거치는 경로: \(224\)가지

(1) \(210\)의 배수 및 \(f(m)=6\)인 \(m \le 10000\)의 개수
• \(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\)이므로 \(f(210) = 4\)이다. \(m\)이 \(210\)으로 나누어떨어지고 \(f(m)=6\)이므로, 적당한 두 소수 \(p, q\) (\(p \le q\))에 대하여 \(m = 210pq\) 꼴로 소인수분해된다.
• 조건 \(m \le 10000\)에서 \(210pq \le 10000 \iff pq \le \frac{10000}{210} = \frac{1000}{21} = 47.619\cdots\) 이므로, 소수의 곱 \(pq \le 47\)이어야 한다.
• 소수 \(p \le q\)의 가능한 순서쌍 \((p, q)\)를 체계적으로 분류하면:
  - \(p=2\)일 때 (\(2q \le 47 \iff q \le 23\)): \((2,2), (2,3), (2,5), (2,7), (2,11), (2,13), (2,17), (2,19), (2,23)\) \(\to\) 9개
  - \(p=3\)일 때 (\(3q \le 47 \iff q \le 15\)): \((3,3), (3,5), (3,7), (3,11), (3,13)\) \(\to\) 5개
  - \(p=5\)일 때 (\(5q \le 47 \iff q \le 9\)): \((5,5), (5,7)\) \(\to\) 2개 (단, \(p \ge 7\)이면 \(p^2 \ge 49 > 47\)이므로 존재하지 않음)
• 따라서 구하는 자연수 \(m\)의 총 개수는 \(9 + 5 + 2 = \mathbf{16}\)개이다.   정답: 16개

(2) \(\sum_{n=1}^{10} f(n a b^n)\)의 값 계산
• 임의의 자연수 \(x, y\)에 대해 소인수분해 지수의 합 성질에 의하여 \(f(xy) = f(x) + f(y)\)가 성립하며, 거듭제곱에 대해 \(f(b^n) = n f(b)\)이다.
• 따라서 \(f(n a b^n) = f(n) + f(a) + f(b^n) = f(n) + f(a) + n f(b)\)이다.
• \(\sum_{n=1}^{10} f(n a b^n) = \sum_{n=1}^{10} f(n) + \sum_{n=1}^{10} f(a) + f(b) \sum_{n=1}^{10} n\) 으로 분해된다.
• 각각의 항을 계산하면:
  ① \(n=1\sim 10\)의 소인수 개수: \(f(1)=0\), \(f(2)=f(3)=f(5)=f(7)=1\)(4개), \(f(4)=f(6)=f(9)=f(10)=2\)(4개), \(f(8)=3\)(1개)이므로 \(\sum_{n=1}^{10} f(n) = 0 + 4(1) + 4(2) + 3 = 15\).
  ② \(f(a)=5\)이므로 \(\sum_{n=1}^{10} f(a) = 10 \times 5 = 50\).
  ③ \(f(b)=3\)이고 \(\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \times 11}{2} = 55\)이므로 \(f(b) \sum_{n=1}^{10} n = 3 \times 55 = 165\).
• 따라서 \(\sum_{n=1}^{10} f(n a b^n) = 15 + 50 + 165 = \mathbf{230}\).   정답: 230

(1) 삼차함수 \(f(x)\)의 결정
• \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) (\(a \ne 0\))라 하자. 조건 \(f(x) + f(-x) = 2\)는 곡선 \(y=f(x)\)가 점 \((0,1)\)에 대칭임을 뜻한다.
  \(f(x) + f(-x) = 2bx^2 + 2d = 2 \implies b = 0, \; d = 1\).
• 도함수 \(f'(x) = 3ax^2 + c\)의 치역이 접선의 기울기 \(m\)의 범위이다. 접선 개수 조건에서 \(m \ge -1\)이어야 접선이 존재하므로, \(f'(x)\)의 최솟값은 \(-1\)이다. 따라서 \(a > 0\)이고 꼭짓점에서 \(c = -1\)이다. 즉 \(f(x) = ax^3 - x + 1\).
• \(m=0\)일 때 접점의 \(x\)좌표는 \(f'(x) = 3ax^2 - 1 = 0 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{3a}}\). 이때 접선의 방정식은 수평선 \(y = f\left(\pm \frac{1}{\sqrt{3a}}\right) = 1 \mp \frac{2}{3\sqrt{3a}}\)이다.
• 두 평행한 접선 사이 거리는 \(\frac{4}{3\sqrt{3a}}\)이므로 내접원의 지름이 \(\frac{4}{3\sqrt{3a}}\), 반지름은 \(R = \frac{2}{3\sqrt{3a}}\)이다.
• 원의 넓이 \(g(0) = \pi R^2 = \pi \frac{4}{27a} = 4\pi \implies \frac{1}{27a} = 1 \implies a = \frac{1}{27}\).
• 따라서 구하는 함수는 \(f(x) = \mathbf{\frac{1}{27}x^3 - x + 1}\)이다.   정답: \(f(x) = \frac{1}{27}x^3 - x + 1\)

(2) 극한을 만족하는 다항함수 \(h(m)\)의 도출
• \(f'(x) = \frac{1}{9}x^2 - 1 = m \implies x^2 = 9(m+1) \implies x = \pm 3\sqrt{m+1}\).
• 접점의 좌표를 \(\alpha = 3\sqrt{m+1}\)이라 하면, 곡선 위의 두 접점에서의 접선의 방정식은:
  \(y = m(x - \alpha) + f(\alpha) = mx - m\alpha + \left(\frac{1}{27}\alpha^3 - \alpha + 1\right)\). 여기서 \(m = \frac{1}{9}\alpha^2 - 1\)을 대입하면 상수항은 \(1 - \frac{2}{27}\alpha^3 = 1 - 2(m+1)^{3/2}\).
• 두 평행한 접선 \(mx - y + 1 \pm 2(m+1)^{3/2} = 0\) 사이의 거리는 \(D = \frac{4(m+1)^{3/2}}{\sqrt{m^2+1}}\)이다.
• 내접원의 반지름은 \(r(m) = \frac{D}{2} = \frac{2(m+1)^{3/2}}{\sqrt{m^2+1}}\)이므로, 원의 넓이는 \(g(m) = \pi [r(m)]^2 = \frac{4\pi (m+1)^3}{m^2+1}\)이다.
• 분자를 전개하면 \(4\pi(m^3 + 3m^2 + 3m + 1)\)이므로, 분모 \(m^2+1\)로 다항식 나눗셈을 수행하면:
  \(g(m) = 4\pi (m+3) + \frac{8\pi (m-1)}{m^2+1}\).
• 따라서 \(h(m) = 4\pi (m+3)\)으로 설정하면, \(g(m) - h(m) = \frac{8\pi(m-1)}{m^2+1}\)이고 \(\lim_{m \to \infty} \frac{8\pi(m-1)}{m^2+1} = 0\)을 만족한다.
• 구하는 다항함수는 \(h(m) = \mathbf{4\pi(m+3)}\) (또는 \(4\pi m + 12\pi\))이다.   정답: \(h(m) = 4\pi(m+3)\)

(1) 남은 환자 수의 수열 모델링
• 치료법을 총 \(n\)번 적용할 때 A를 \(k\)번(\(0 \le k \le n\)) 적용하면, 치료법 B는 \(n - k\)번 적용된다.
• 적용 순서에 관계없이 각 치료법이 환자 수에 미치는 곱셈 비율은 독립적이므로 다음과 같이 분류한다:
  ① \(k = 0\)인 경우 (B만 \(n\)번 적용): 남은 환자 수는 \(a_n = a \left(\frac{1}{2}\right)^n\) 이다.
  ② \(1 \le k \le n\)인 경우: A가 처음 1회 적용될 때 비율은 \(\frac{1}{3}\), 나머지 \(k-1\)회 적용될 때 비율은 \(\frac{2}{3}\), B가 \(n-k\)회 적용될 때 비율은 \(\frac{1}{2}\)이다.
    따라서 남은 환자 수는 \(a_n = a \cdot \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\) 이다.
• 정답: \(k=0\)일 때 \(a\left(\frac{1}{2}\right)^n\), \(1 \le k \le n\)일 때 \(\frac{a}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}\)

(2) 남은 환자 수가 \(\frac{a}{27}\) 이하가 되는 최소 비용 계산
• 조건은 \(a_n \le \frac{1}{27}a = a \cdot 3^{-3}\)이다. 비용은 \(C = 10k + 15(n-k)\) (만 원)이다.
• [경우 1] \(k = 0\)일 때: \(\left(\frac{1}{2}\right)^n \le 3^{-3} \iff -n\log 2 \le -3\log 3 \iff n \ge \frac{3 \times 0.48}{0.30} = 4.8\).
  자연수이므로 \(n \ge 5\). 이때 최소 비용은 \(15 \times 5 = 75\)만 원.
• [경우 2] \(k \ge 1\)일 때: \(\frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-k} \le 3^{-3} \iff 2^{k-1-(n-k)} \cdot 3^{-k} \le 3^{-3} \iff 2^{2k-1-n} \le 3^{k-3}\).
  양변에 상용로그를 취하면: \((2k-1-n)\log 2 \le (k-3)\log 3 \iff 2k-1-n \le 1.6(k-3)\).
  정리하면: \(n \ge 0.4k + 3.8\) 이 성립해야 한다.
• \(k\)의 값에 따라 가능한 정수 \(n\)의 최솟값과 비용을 조사하면:
  - \(k=1\): \(n \ge 4.2 \implies n \ge 5\), 비용 = \(10(1) + 15(4) = 70\)만 원
  - \(k=2\): \(n \ge 4.6 \implies n \ge 5\), 비용 = \(10(2) + 15(3) = 65\)만 원
  - \(k=3\): \(n \ge 5.0 \implies n \ge 5\), 비용 = \(10(3) + 15(2) = \mathbf{60}\)만 원
  - \(k=4\): \(n \ge 5.4 \implies n \ge 6\), 비용 = \(10(4) + 15(2) = 70\)만 원
  - \(k=5\): \(n \ge 5.8 \implies n \ge 6\), 비용 = \(10(5) + 15(1) = 65\)만 원
  - \(k \ge 6\): 비용 \(\ge 10(6) = 60\)만 원 이상이며 \(n \ge 7\)이므로 비용 \(\ge 65\)만 원.
• 따라서 구하는 최소 비용은 A를 3번, B를 2번 적용할 때의 60만 원이다.   정답: 60만 원

(1) \(k\)의 값 계산
• 선분 \(PA_2\)의 방정식은 \(y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\)이므로, 첫 번째 조각 \(PA_1 A_2\)의 넓이 \(S_1\)은:
  \(S_1 = \int_0^1 \left(\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} - x^2\right) dx = \left[ \frac{1}{6}x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\).
• 9등분이므로 곡선과 직선 사이 전체 넓이는 \(S = 9 \times \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\)이다.
• 포물선 공식에서 \(S = \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (k - x^2)dx = \frac{4}{3}k^{3/2}\)이므로:
  \(\frac{4}{3}k^{3/2} = \frac{9}{2} \iff k^{3/2} = \frac{27}{8} \iff k = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \mathbf{\frac{9}{4}}\).   정답: \(k = \frac{9}{4}\)

(2) 직선 \(y = \frac{9}{4}\) 위에 있는 점들의 좌표 산출
• 교점의 \(x\)좌표는 \(\pm\sqrt{9/4} = \pm\frac{3}{2}\)이므로, 직선 \(y=\frac{9}{4}\) 위의 점은 \(-\frac{3}{2} \le x \le \frac{3}{2}\)을 만족해야 한다.
• 점 \(P\left(0, \frac{2}{3}\right)\)에서 직선 \(y=\frac{9}{4}\)까지의 수직 높이는 \(H = \frac{9}{4} - \frac{2}{3} = \frac{19}{12}\)이다.
• 각 삼각형 조각의 넓이가 \(\frac{1}{2}\)이므로 직선 위 밑변의 길이는 \(\frac{1}{2} \times L \times \frac{19}{12} = \frac{1}{2} \implies L = \frac{12}{19}\)이다.
• 영역이 \(y\)축에 대칭이므로, \(y\)축에 가장 가까운 두 점 \(A_5, A_6\)는 대칭점 \(\left(\pm a, \frac{9}{4}\right)\)이며 \(2a = \frac{12}{19} \implies a = \frac{6}{19}\)이다. 즉, \(\mathbf{\left(\pm \frac{6}{19}, \frac{9}{4}\right)}\).
• 다음 외곽점 \(A_4, A_7\)은 거리 \(\frac{12}{19}\)만큼 바깥쪽에 놓이므로 \(x = \pm\left(\frac{6}{19} + \frac{12}{19}\right) = \pm\frac{18}{19}\)이다. \(\frac{18}{19} < \frac{3}{2}\)이므로 경계선 내에 존재하여 \(\mathbf{\left(\pm \frac{18}{19}, \frac{9}{4}\right)}\)이다.
• 그 다음 점 \(A_3, A_8\)은 \(x = \pm\frac{30}{19}\)이며, \(\frac{30}{19} > \frac{3}{2}\)이므로 직선 위의 점이 아니다.
• 따라서 직선 위의 모든 점은 \(\mathbf{\left(\pm \frac{6}{19}, \frac{9}{4}\right), \; \left(\pm \frac{18}{19}, \frac{9}{4}\right)}\) (총 4개)이다.   정답: \(\left(\pm \frac{6}{19}, \frac{9}{4}\right), \; \left(\pm \frac{18}{19}, \frac{9}{4}\right)\)

(1) 높이 \(h_n\) 및 \(\sum_{k=2}^n h_k^2\)의 계산
• 수열 \(\{a_n\}\)은 첫째항 3, 공비 3인 등비수열이므로 일반항은 \(a_n = 3^n\)이다.
• 삼각형 \(T_n\)의 꼭짓점 좌표는 \((a_n, f(a_n)) = (3^n, \log_3 3^n) = (3^n, n)\)이다.
• 밑변이 \(x\)축 위의 두 점 \((a_{n-1}, 0)\)과 \((a_{n+1}, 0)\)을 잇는 선분이므로, 점 \((3^n, n)\)에서 \(x\)축까지의 수직 거리가 높이 \(h_n\)이 된다. 따라서 \(h_n = n\)이다.
• 자연수 거듭제곱의 합 공식에 의하여 구하는 합은:
  \(\sum_{k=2}^n h_k^2 = \sum_{k=2}^n k^2 = \left( \sum_{k=1}^n k^2 \right) - 1^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 1 = \mathbf{\frac{2n^3 + 3n^2 + n - 6}{6}}\).
• 정답: \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 1\) (또는 \(\frac{2n^3+3n^2+n-6}{6}\))

(2) 삼각형의 넓이 \(A_n\) 및 \(\sum_{k=2}^n \frac{A_k}{k}\)의 계산
• 밑변의 길이는 \(a_{n+1} - a_{n-1} = 3^{n+1} - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3^2 - 1) = 8 \cdot 3^{n-1}\)이다.
• 삼각형 \(T_n\)의 넓이 \(A_n\)은 다음과 같다:
  \(A_n = \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이}) = \frac{1}{2} \times (8 \cdot 3^{n-1}) \times n = 4n \cdot 3^{n-1}\).
• 따라서 \(\frac{A_k}{k} = 4 \cdot 3^{k-1}\)이다.
• 구하는 식은 첫째항이 \(4 \cdot 3^1 = 12\)이고 공비가 3인 등비수열의 항 \(n-1\)개의 합이므로:
  \(\sum_{k=2}^n \frac{A_k}{k} = \sum_{k=2}^n 4 \cdot 3^{k-1} = 4 \sum_{j=1}^{n-1} 3^j = 4 \cdot \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3 - 1} = 6(3^{n-1} - 1) = \mathbf{2 \cdot 3^n - 6}\).
• 정답: \(2 \cdot 3^n - 6\) (또는 \(6(3^{n-1}-1)\))

(1) 넓이 부등식과 \(\theta\)의 범위 (\(0 \le \theta \le 4\pi\))
• 시침의 길이 \(a = 10\), 분침의 길이 \(b = 20\), 사이각 \(\theta\)에 대하여 삼각형의 넓이 공식은:
  \(S = \frac{1}{2}ab \sin\theta = \frac{1}{2} \times 10 \times 20 \times \sin\theta = 100\sin\theta\).
• 조건 \(S \ge 50\)에서 \(100\sin\theta \ge 50 \iff \sin\theta \ge \frac{1}{2}\).
• 한 주기 \(0 \le \theta < 2\pi\)에서 \(\sin\theta \ge \frac{1}{2}\)의 해는 \(\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}\)이다.
• 주어진 범위 \(0 \le \theta \le 4\pi\)는 2주기이므로 구하는 범위는 다음과 같다:
  \(\mathbf{\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6} \quad \text{또는} \quad \frac{13\pi}{6} \le \theta \le \frac{17\pi}{6}}\).
• 정답: \(\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}, \; \frac{13\pi}{6} \le \theta \le \frac{17\pi}{6}\)

(2) 5시간 동안의 총 유효 시간 설명
• 분침의 각속도는 \(\omega_m = \frac{2\pi}{1\text{ h}} = 2\pi\text{ rad/h}\), 시침의 각속도는 \(\omega_h = \frac{2\pi}{12\text{ h}} = \frac{\pi}{6}\text{ rad/h}\)이다.
• 시침에 대한 분침의 상대 회전 각속도는 \(\omega = \omega_m - \omega_h = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\text{ rad/h}\)이다.
• 상대 회전각 \(\theta\)가 1주기(\(2\pi\)) 회전하는 데 걸리는 시간(주기)은 \(T = \frac{2\pi}{11\pi/6} = \frac{12}{11}\text{시간}\)이다.
• 1주기(\(2\pi\)) 중 넓이가 \(50\) 이상인 각도 구간의 길이는 \(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}\)이다.
  따라서 1주기당 넓이가 \(50\) 이상이 되는 시간은 \(\Delta t = \frac{2\pi/3}{11\pi/6} = \frac{4}{11}\text{시간}\)이다.
• 오후 1시 정각에 시침은 1(각도 \(\frac{\pi}{6}\)), 분침은 12(각도 0)을 가리키므로 초기 각도는 \(\theta_0 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\) (또는 \(-\frac{\pi}{6}\))이다.
• 5시간 동안 증가하는 총 상대 회전각은 \(\Delta\theta = \frac{11\pi}{6} \times 5 = \frac{55\pi}{6} = 4 \times 2\pi + \frac{7\pi}{6}\)이다.
• 이 5시간 동안 완전한 1주기가 4회 반복되며, 각각의 주기에서 \(\frac{4}{11}\)시간씩 유효하므로 총 시간은 \(5 \times \frac{4}{11} = \mathbf{\frac{20}{11}\text{시간}}\)이다. (즉, 1시간 49분 5.45초)
• 정답: \(\frac{20}{11}\text{시간}\)

(1) 좌표 설정 및 \(\sum_{n=1}^8 \tan\theta_n\)의 계산
• 지면을 \(x\)축으로 두고 \(B\)지점을 원점 \((0,0)\), \(A\)지점을 \((-1,0)\)으로 두자.
• \(n\)번째 파편이 지나는 상공의 두 점은 각각 \(A'(-1, (n+1)^2)\)과 \(B'(0, 1)\)이다.
• 두 점을 지나는 직선의 기울기는 \(m_n = \frac{1 - (n+1)^2}{0 - (-1)} = 1 - (n^2 + 2n + 1) = -(n^2 + 2n)\)이다.
• 파편이 지면과 이루는 예각 \(\theta_n\) (\(0 < \theta_n < \frac{\pi}{2}\))에 대하여, \(\tan\theta_n\)은 직선 기울기의 절댓값이므로:
  \(\tan\theta_n = |m_n| = n^2 + 2n\).
• 자연수 거듭제곱의 합 공식에 의하여 구하는 합은:
  \(\sum_{n=1}^8 \tan\theta_n = \sum_{n=1}^8 (n^2 + 2n) = \frac{8 \times 9 \times 17}{6} + 2 \times \frac{8 \times 9}{2} = 204 + 72 = \mathbf{276}\).
• 정답: 276

(2) 충돌 지점 거리 \(a_n\) 및 \(\sum_{n=1}^8 a_n\)의 계산
• 파편의 직선의 방정식은 기울기가 \(-(n^2+2n)\)이고 점 \((0,1)\)을 지나므로 다음과 같다:
  \(y = -(n^2 + 2n)x + 1 = -n(n+2)x + 1\).
• 파편이 지면에 도달하는 지점은 \(y = 0\)일 때의 \(x\)절편이므로:
  \(0 = -n(n+2)x + 1 \implies x_n = \frac{1}{n(n+2)}\).
• 충돌 지점에서 \(B\)지점(원점)까지의 거리 \(a_n\)은 \(a_n = x_n = \frac{1}{n(n+2)}\)이다.
• 부분분수 분해 공식 \(\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)\)를 적용하면 망원합으로 전개된다:
  \(\sum_{n=1}^8 a_n = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^8 \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \left[ \left(1 + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{10}\right) \right]\)
  \(= \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{19}{90} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{135 - 19}{90} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{116}{90} = \mathbf{\frac{29}{45}}\).
• 정답: \(\frac{29}{45}\)

[1단계: 좌표계 설정 및 극값 조건 분석]
• 도로를 \(x\)축으로 두고, 드론이 하강을 시작하는 \(A\)지점을 \(x=0\), 다시 상승을 시작하는 \(B\)지점을 \(x=4\)로 설정하자.
• 드론의 비행경로를 나타내는 3차함수를 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) (\(a > 0\))라 하자.
• \(x=0\)에서 하강을 시작하므로 극댓값을 갖고, \(x=4\)에서 상승을 시작하므로 극솟값을 갖는다. 따라서 \(f'(0) = 0, \; f'(4) = 0\)이다.
• 또한 각 지점의 비행 고도가 주어졌으므로 \(f(0) = 2, \; f(4) = 1\)이다.

[2단계: 3차함수 계수 결정]
• \(f'(x)\)는 최고차항 계수가 \(3a\)인 2차함수이고 \(x=0, 4\)를 근으로 가지므로:
  \(f'(x) = 3ax(x - 4) = 3ax^2 - 12ax\).
• 이를 적분하면 \(f(x) = ax^3 - 6ax^2 + d\) 이다.
• \(f(0) = d = 2\) 이므로 \(f(x) = ax^3 - 6ax^2 + 2\) 이다.
• 조건 \(f(4) = 1\)을 대입하면:
  \(f(4) = a(64) - 6a(16) + 2 = 64a - 96a + 2 = -32a + 2 = 1 \implies 32a = 1 \implies a = \frac{1}{32}\).
• 따라서 드론의 비행 궤적 함수와 도함수는 다음과 같이 확정된다:
  \(f(x) = \frac{1}{32}x^3 - \frac{3}{16}x^2 + 2, \quad f'(x) = \frac{3}{32}x(x - 4)\).

[3단계: 고장 발생 지점의 접선 및 지면 충돌 지점 계산]
• \(A\)지점으로부터 \(2\text{km}\) 지난 지점은 \(x = 2\)이다.
• 고장 순간의 드론 위치(높이)는 \(f(2) = \frac{1}{32}(8) - \frac{3}{16}(4) + 2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 2 = \frac{3}{2}\) (\(\text{km}\))이다.
• 고장 순간의 진행 방향(접선 기울기)은 \(f'(2) = \frac{3}{32}(2)(2 - 4) = \frac{3}{32} \times (-4) = -\frac{3}{8}\)이다.
• 점 \(\left(2, \frac{3}{2}\right)\)을 지나고 기울기가 \(-\frac{3}{8}\)인 직선의 방정식은 다음과 같다:
  \(y - \frac{3}{2} = -\frac{3}{8}(x - 2) \iff y = -\frac{3}{8}x + \frac{3}{4} + \frac{3}{2} \iff y = -\frac{3}{8}x + \frac{9}{4}\).
• 드론이 도로(지면)에 충돌하는 지점은 \(y = 0\)일 때의 \(x\)절편이므로:
  \(0 = -\frac{3}{8}x + \frac{9}{4} \implies \frac{3}{8}x = \frac{9}{4} \implies x = \frac{9}{4} \times \frac{8}{3} = \mathbf{6}\).
• 따라서 드론이 도로에 충돌한 지점은 \(A\)지점에서 \(\mathbf{6\text{km}}\) 지난 지점이다.   정답: \(6\text{km}\)