1-(1) 수열 $\{a_n\}$은 첫째항이 $3$이고 공비가 $3$인 등비수열이므로 $a_n = 3^n$이다.
꼭짓점의 좌표는 $(a_n, f(a_n)) = (3^n, \log_3 3^n) = (3^n, n)$이다.
밑변이 $x$축 위의 선분이므로 점 $(3^n, n)$에서 $x$축까지의 거리가 높이가 된다. 따라서 $h_n = n$이다.
$$\sum_{k=2}^n h_k^2 = \sum_{k=2}^n k^2 = \sum_{k=1}^n k^2 - 1^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 1 = \mathbf{\frac{2n^3+3n^2+n-6}{6}}$$

1-(2) 밑변의 길이는 $a_{n+1}-a_{n-1} = 3^{n+1}-3^{n-1} = 3^{n-1}(3^2-1) = 8 \cdot 3^{n-1}$이다.
삼각형 $T_n$의 넓이 $A_n$은: $$A_n = \frac{1}{2} \times (8 \cdot 3^{n-1}) \times n = 4n \cdot 3^{n-1}$$ 따라서 $\frac{A_k}{k} = 4 \cdot 3^{k-1}$이므로, 구하는 합은: $$\sum_{k=2}^n \frac{A_k}{k} = \sum_{k=2}^n 4 \cdot 3^{k-1} = \frac{4 \cdot 3(3^{n-1}-1)}{3-1} = 6(3^{n-1}-1) = \mathbf{2 \cdot 3^n - 6}$$

2-(1) 시침 길이 $a=10$, 분침 길이 $b=20$, 사이각 $\theta$에 대하여 삼각형의 넓이는: $$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 20 \times \sin\theta = 100\sin\theta$$ $S \ge 50$ 이므로 $100\sin\theta \ge 50 \iff \sin\theta \ge \frac{1}{2}$.
$0 \le \theta \le 4\pi$ 범위에서 $\sin\theta \ge \frac{1}{2}$을 만족하는 $\theta$의 범위는 다음과 같다: $$\mathbf{\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{5\pi}{6} \quad \text{또는} \quad \frac{13\pi}{6} \le \theta \le \frac{17\pi}{6}}$$

2-(2) 분침의 각속도 $\omega_m = 2\pi\text{ rad/h}$, 시침의 각속도 $\omega_h = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\text{ rad/h}$.
시침에 대한 분침의 상대 각속도는 $\omega = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\text{ rad/h}$이다.
오후 1시부터 6시까지 5시간 동안 증가하는 총 각도 변화량은 $\Delta\theta = \frac{11\pi}{6} \times 5 = \frac{55\pi}{6} = 9\pi + \frac{\pi}{6}$이다.
분침이 시침을 1회 추월하는 1주기($2\pi$) 중 넓이가 $50\text{cm}^2$ 이상인 구간의 각도 길이는 $\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$이다.
1주기당 넓이가 $50\text{cm}^2$ 이상이 되는 시간은 $\frac{2\pi/3}{11\pi/6} = \frac{4}{11}$시간이다.
5시간 동안의 총 유효 시간은 4회의 완전 구간과 경계 구간을 정밀 적산하여 $\mathbf{\frac{20}{11}\text{시간}}$ (즉, $1$시간 $49$분 $5.45$초)이다.

$B$지점을 원점 $(0,0)$, $A$지점을 $(-1,0)$이라 놓으면, $n$번째 파편이 지나는 두 점은 $(-1, (n+1)^2)$과 $(0, 1)$이다.
파편 직선의 기울기는 $m_n = \frac{1 - (n+1)^2}{0 - (-1)} = 1 - (n+1)^2 = -(n^2+2n)$이다.

1-(1) 파편이 지면과 이루는 예각 $\theta_n$에 대하여 $\tan\theta_n$은 기울기의 절댓값이므로: $$\tan\theta_n = |m_n| = n^2+2n$$ 따라서 구하는 합은: $$\sum_{n=1}^8 \tan\theta_n = \sum_{n=1}^8 (n^2+2n) = \frac{8 \times 9 \times 17}{6} + 2 \times \frac{8 \times 9}{2} = 204 + 72 = \mathbf{276}$$

1-(2) 파편의 직선의 방정식은 $y - 1 = -(n^2+2n)x \iff y = -n(n+2)x + 1$이다.
지면 도달 지점($y=0$)의 $x$좌표는 $x_n = \frac{1}{n(n+2)}$이다.
지면 도달 지점에서 $B$지점(원점)까지의 거리 $a_n = x_n = \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)$이므로: $$\sum_{n=1}^8 a_n = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^8 \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} - \frac{19}{90}\right) = \mathbf{\frac{29}{45}}$$

도로의 $A$지점을 $x=0$, $B$지점을 $x=4$로 놓자. 비행경로 3차함수를 $f(x)$라 하면,
$x=0$에서 극댓값 $2$, $x=4$에서 극솟값 $1$을 가지므로 $f'(0)=0, f'(4)=0$이다.
따라서 $f'(x) = 3ax(x-4) = 3ax^2-12ax$ 이며, $f(x) = ax^3 - 6ax^2 + b$ 꼴이다.

$f(0) = b = 2$ 이고, $f(4) = 64a - 96a + 2 = -32a + 2 = 1 \implies a = \frac{1}{32}$ 이다.
따라서 비행 궤적 함수와 도함수는 다음과 같다: $$f(x) = \frac{1}{32}x^3 - \frac{3}{16}x^2 + 2, \quad f'(x) = \frac{3}{32}x(x-4)$$

$A$로부터 $2\text{km}$ 지난 지점($x=2$)에서의 드론 위치와 진행방향(접선 기울기)은: $$f(2) = \frac{1}{32}(8) - \frac{3}{16}(4) + 2 = \frac{3}{2}, \quad f'(2) = \frac{3}{32}(2)(-2) = -\frac{3}{8}$$ 점 $\left(2, \frac{3}{2}\right)$에서의 접선의 방정식은 다음과 같다: $$y - \frac{3}{2} = -\frac{3}{8}(x - 2) \iff y = -\frac{3}{8}x + \frac{9}{4}$$ 드론이 지면에 충돌하는 지점은 $y=0$일 때이므로: $$0 = -\frac{3}{8}x + \frac{9}{4} \implies \frac{3}{8}x = \frac{9}{4} \implies x = \mathbf{6}$$ 따라서 드론이 지면에 충돌한 지점은 도로의 $A$지점에서 $\mathbf{6\text{km}}$ 지난 지점이다.