2022~2026학년도 건국대학교
자연수리논술 심층해설집

점 \(A\)의 좌표를 \((a, e^a)\)라 하자 (단, \(a > 0\)).
곡선 \(y=e^x\)와 곡선 \(y=\ln x\)는 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭인 역함수 관계이다.
직선 \(AB\)의 기울기가 \(-1\)이므로 직선 \(AB\)는 직선 \(y=x\)와 수직이다. 따라서 점 \(B\)는 점 \(A\)를 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동한 점이므로 \(B(e^a, a)\)이다.
점 \(C\)는 점 \(A\)를 원점에 대하여 대칭이동한 점이므로 \(C(-a, -e^a)\)이다.

원점 \(O\)에 대하여 선분 \(OA, OB, OC\)의 길이는 모두 \(\sqrt{a^2 + e^{2a}}\)로 같다.
\[ \overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} \] 따라서 점 \(A, B, C\)는 모두 원점 \(O\)를 중심으로 하고 반지름이 \(\overline{OA}\)인 원 위의 점이며, 선분 \(AC\)는 이 원의 지름이다.
삼각형 \(OBC\)는 \(\overline{OB} = \overline{OC}\)인 이등변삼각형이므로 \(\angle OBC = \angle OCB\)이다.
삼각형의 외각의 성질에 의하여: \[ \angle AOB = \angle OCB + \angle OBC = 2\angle OCB = 2\angle ACB \] \[ \therefore \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB \] 따라서 \(\angle AOB\)의 크기가 최소일 때 \(\angle ACB\)의 크기도 최소가 된다.

두 점 \(A, B\)가 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이므로 두 직선 \(OA, OB\) 역시 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이다.
직선 \(OA\)의 기울기를 \(m = \frac{e^a}{a}\)라 하면, 직선 \(OB\)의 기울기는 \(\frac{1}{m}\)이다.
\(\angle AOB\)의 크기가 최소가 되는 것은 두 동경 \(OA, OB\)가 직선 \(y=x\)에 가장 가깝게 접근할 때, 즉 직선 \(OA\)의 기울기 \(\frac{e^a}{a}\)가 최소가 될 때이다.
곡선 \(y=e^x\)는 아래로 볼록하므로 원점에서 그은 직선 \(OA\)가 곡선 \(y=e^x\)의 접선일 때 기울기가 최소가 된다.

곡선 \(y=e^x\) 위의 점 \(A(a, e^a)\)에서의 접선의 방정식은 \[ y - e^a = e^a(x - a) \iff y = e^a x + (1 - a)e^a \] 이 접선이 원점 \((0, 0)\)을 지나야 하므로: \[ (1 - a)e^a = 0 \implies a = 1 \] 따라서 \(a = 1\)일 때 점 \(A\)의 좌표는 \(\mathbf{(1, e)}\)이다.

10장의 카드에서 3장을 동시에 꺼내는 전체 경우의 수는 \({}_{10}\mathrm{C}_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120\)이다.
가장 큰 수와 가장 작은 수의 차가 9가 되려면, 가장 작은 수는 1이어야 하고 가장 큰 수는 10이어야 한다.
나머지 한 장의 카드는 1과 10 사이의 자연수인 \(\{2, 3, \dots, 9\}\)의 8가지 중 하나이어야 한다.
따라서 조건을 만족시키는 경우의 수는 8가지이므로 \[ P(X = 9) = \frac{8}{{}_{10}\mathrm{C}_3} = \frac{8}{120} = \mathbf{\frac{1}{15}} \]

1단계 [확률질량함수 \(P(X=k)\) 유도]:
꺼낸 세 장의 카드에 적힌 수를 크기순으로 \(a \lt b \lt c\)라 하자. 가장 큰 수와 가장 작은 수의 차가 \(k\)이므로 \(c = a + k\)이다.
\(c \le n\)이므로 \(a + k \le n \implies a \le n - k\). 즉, \(a\)가 될 수 있는 수는 \(1, 2, \dots, n-k\)의 \((n-k)\)가지이다.
각각의 \(a\)에 대하여 \(a \lt b \lt a+k\)이므로 \(b\)가 될 수 있는 수는 \(a+1\)부터 \(a+k-1\)까지 총 \((k-1)\)가지이다.
따라서 세 수의 최대-최소 차가 \(k\)인 경우의 수는 \((n-k)(k-1)\)가지이다 (단, \(2 \le k \le n-1\)). \[ P(X = k) = \frac{(n - k)(k - 1)}{{}_n\mathrm{C}_3} \]

2단계 [시그마 거듭제곱의 합을 통한 기댓값 계산]:
\(k=1\)일 때 \(k-1=0\), \(k=n\)일 때 \(n-k=0\)이므로 합의 구간을 \(k=1\)부터 \(n\)까지로 둘 수 있다. \[ E(X) = \sum_{k=2}^{n-1} k P(X=k) = \frac{1}{{}_n\mathrm{C}_3} \sum_{k=1}^n k(n - k)(k - 1) = \frac{1}{{}_n\mathrm{C}_3} \sum_{k=1}^n \left[ -k^3 + (n+1)k^2 - nk \right] \] 제시문 (가)의 공식을 대입하여 공통인수 \(n(n+1)\)을 묶어내면: \[ \sum_{k=1}^n \left[ -k^3 + (n+1)k^2 - nk \right] = n(n+1) \left[ -\frac{n(n+1)}{4} + \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n}{2} \right] \] 대괄호 내부를 12로 통분하면: \[ = n(n+1) \frac{-3n(n+1) + 2(2n^2 + 3n + 1) - 6n}{12} = n(n+1) \frac{n^2 - 3n + 2}{12} = \frac{n(n+1)(n-1)(n-2)}{12} \] \({}_n\mathrm{C}_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}\)으로 나누면 놀랍도록 간단히 정리된다: \[ E(X) = \frac{\frac{n(n+1)(n-1)(n-2)}{12}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}} = \frac{n+1}{2} \] 문제의 조건에서 \(E(X) = 30\)이므로 \[ \frac{n+1}{2} = 30 \implies n+1 = 60 \implies \mathbf{n = 59} \]

1단계 [접선 기울기 및 평행 조건]:
점 \(P\)는 곡선 \(y=x^2+1\) 위의 점이므로 그 좌표를 \(P(b, b^2+1)\)이라 하자. 곡선을 미분하면 \(y' = 2x\)이므로 점 \(P\)에서의 접선 \(l_1\)의 기울기는 \(2b\)이다.
점 \(Q\)는 곡선 \(y=-(x-8)^2\) 위의 점이므로 그 좌표를 \(Q(c, -(c-8)^2)\)이라 하자. 곡선을 미분하면 \(y' = -2(x-8)\)이므로 점 \(Q\)에서의 접선 \(l_2\)의 기울기는 \(-2(c-8)\)이다.
직선 \(PQ\)가 두 직선 \(l_1, l_2\)와 각각 수직이므로, 두 접선 \(l_1\)과 \(l_2\)는 서로 평행하다. \[ 2b = -2(c - 8) \iff b = -c + 8 \iff c = 8 - b \] 따라서 점 \(Q\)의 좌표는 \(Q(8 - b, -b^2)\)이다.

2단계 [직선 PQ와 접선 \(l_1\)의 수직 조건 및 3차방정식 풀이]:
두 점 \(P(b, b^2+1)\)과 \(Q(8-b, -b^2)\)를 잇는 직선 \(PQ\)의 기울기는 \[ \frac{-b^2 - (b^2 + 1)}{(8 - b) - b} = \frac{-2b^2 - 1}{8 - 2b} \] 직선 \(PQ\)는 기울기가 \(2b\)인 접선 \(l_1\)과 수직이므로 두 기울기의 곱은 \(-1\)이다. \[ 2b \times \left( \frac{-2b^2 - 1}{8 - 2b} \right) = -1 \] 양변에 \(-(8 - 2b)\)를 곱하여 정리하면: \[ 2b(2b^2 + 1) = 8 - 2b \iff 4b^3 + 2b = 8 - 2b \iff 4b^3 + 4b - 8 = 0 \] 양변을 4로 나누면 \[ b^3 + b - 2 = 0 \iff (b - 1)(b^2 + b + 2) = 0 \] \(b^2 + b + 2 = \left(b + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{7}{4} > 0\)이므로 실근은 오직 \(b = 1\)뿐이다.
\(b = 1\)을 점 \(P\)의 좌표에 대입하면 \(P(1, 1^2 + 1) = P(1, 2)\)이다.
따라서 점 \(P\)의 좌표는 \(\mathbf{(1, 2)}\)이다.

1단계 [일반적인 \(a\)에 대한 매개변수 표현]:
점 \(P(b, b^2+1)\), 점 \(Q(c, -(c-a)^2)\)에 대하여 두 접선이 평행하므로 \(2b = -2(c - a) \implies c = a - b\).
직선 \(PQ\)와 접선의 수직 조건으로부터: \[ 2b \times \frac{-2b^2 - 1}{a - 2b} = -1 \iff 2b(2b^2 + 1) = a - 2b \iff a = 4b^3 + 4b \quad \cdots (*) \] 점 \(Q\)의 좌표는 \(Q(a - b, -b^2) = Q(4b^3 + 3b, -b^2)\)이다.
두 점 \(P(b, b^2+1)\)과 \(Q(4b^3+3b, -b^2)\) 사이의 거리 \(L\)의 제곱은 \[ L^2 = [(4b^3 + 3b) - b]^2 + [-b^2 - (b^2 + 1)]^2 = (4b^3 + 2b)^2 + (2b^2 + 1)^2 \] \[ = [2b(2b^2 + 1)]^2 + (2b^2 + 1)^2 = (2b^2 + 1)^2(4b^2 + 1) \] \(L > 0\)이므로 \(L = (2b^2 + 1)\sqrt{4b^2 + 1}\)이다.

2단계 [곱의 미분법을 통한 \(\frac{dL}{db}\) 계산]:
\[ \frac{dL}{db} = 4b\sqrt{4b^2 + 1} + (2b^2 + 1) \frac{8b}{2\sqrt{4b^2 + 1}} = \frac{4b(4b^2 + 1) + 4b(2b^2 + 1)}{\sqrt{4b^2 + 1}} = \frac{8b(3b^2 + 1)}{\sqrt{4b^2 + 1}} \] \(a=8\)일 때 \((*)\)식에서 \(4b^3 + 4b = 8 \implies b=1\)이므로 \[ \left. \frac{dL}{db} \right|_{b=1} = \frac{8(1)(3 \times 1^2 + 1)}{\sqrt{4(1)^2 + 1}} = \frac{32}{\sqrt{5}} \]

3단계 [역함수 미분법 및 합성함수 미분법 적용]:
\((*)\)식에서 \(\frac{da}{db} = 12b^2 + 4\)이므로 역함수 미분법에 의해 \[ \frac{db}{da} = \frac{1}{\frac{da}{db}} = \frac{1}{12b^2 + 4} \implies \left. \frac{db}{da} \right|_{b=1} = \frac{1}{12(1)^2 + 4} = \frac{1}{16} \] 합성함수의 미분법(연쇄법칙)에 의하여: \[ \frac{dL}{da} = \frac{dL}{db} \times \frac{db}{da} = \frac{32}{\sqrt{5}} \times \frac{1}{16} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \mathbf{\frac{2\sqrt{5}}{5}} \]

곡선 \(y=\frac{1}{2}x^2\)에 대하여 \(y' = x\)이므로, 점 \(P\left(t, \frac{1}{2}t^2\right)\)에서의 접선의 기울기는 \(t\)이다.
점 \(A(a, b)\)와 점 \(P\)를 잇는 직선 \(AP\)의 기울기는 \(\frac{\frac{1}{2}t^2 - b}{t - a}\)이다.
직선 \(AP\)와 접선이 서로 수직이어야 하므로 두 기울기의 곱은 \(-1\)이다. \[ t \times \frac{\frac{1}{2}t^2 - b}{t - a} = -1 \iff \frac{t^3 - 2bt}{2(t - a)} = -1 \] \[ t^3 - 2bt = -2t + 2a \iff t^3 - 2(b - 1)t - 2a = 0 \] 조건 (2)에서 접선과 수직이 되는 점 \(P\)가 3개 존재한다는 것은, \(t\)에 대한 삼차방정식 \[ g(t) = t^3 - 2(b - 1)t - 2a = 0 \] 이 서로 다른 세 실근을 갖는다는 조건과 동치이다.

\(g(t)\)의 도함수를 구하면 \(g'(t) = 3t^2 - 2(b - 1)\)이다.
\(g'(t) = 0\)의 근은 \(t = \pm \sqrt{\frac{2(b - 1)}{3}}\)이다 (단, \(b \ge 5 > 1\)이므로 \(2(b-1) > 0\)).
삼차방정식 \(g(t) = 0\)이 서로 다른 세 실근을 가지려면 극댓값과 극솟값의 곱이 음수이어야 한다: \[ g\left(\sqrt{\frac{2(b - 1)}{3}}\right) \times g\left(-\sqrt{\frac{2(b - 1)}{3}}\right) < 0 \] \(t_0 = \sqrt{\frac{2(b - 1)}{3}}\)라 두면 \(t_0^2 = \frac{2(b-1)}{3}\)이므로 \[ g(t_0) = t_0[t_0^2 - 2(b-1)] - 2a = t_0\left[ -\frac{4(b-1)}{3} \right] - 2a = -2a - \frac{4(b-1)}{3}t_0 \] \[ g(-t_0) = -2a + \frac{4(b-1)}{3}t_0 \] 따라서 두 극값의 곱은 합차공식에 의해 \[ g(t_0)g(-t_0) = 4a^2 - \frac{16(b-1)^2}{9} t_0^2 = 4a^2 - \frac{16(b-1)^2}{9} \times \frac{2(b-1)}{3} = 4a^2 - \frac{32(b-1)^3}{27} \] 조건 \(g(t_0)g(-t_0) < 0\)은 다음과 같이 간단한 부등식으로 정리된다: \[ 4a^2 < \frac{32(b-1)^3}{27} \iff a^2 < \frac{8(b-1)^3}{27} \]

조건 (1)에서 \(a, b\)는 자연수이고 \(4 \le a \le 20, \; 5 \le b \le 7\)이다.
부등식 \(a^2 < \frac{8(b-1)^3}{27}\)에 \(b = 5, 6, 7\)을 각각 대입하여 가능한 순서쌍 \((a, b)\)를 구한다.

따라서 조건 (1)과 (2)를 모두 만족시키는 점 \(A(a, b)\)의 총 개수는 \[ 1 + 3 + 4 = \mathbf{8} \] 이다. 순서쌍 목록: \((4, 5), (4, 6), (5, 6), (6, 6), (4, 7), (5, 7), (6, 7), (7, 7)\)

점 \(A(3\cos t, 3\sin t)\)는 반지름이 3인 원 \(C\) 위의 점입니다. 선분 \(AB\)가 원 \(C\)와 점 \(A\) 외에 다른 한 점에서 더 만나려면 각 \(\angle OAB\)가 예각이어야 합니다. 즉, 직각삼각형 기준 피타고라스 정리에 의해 다음 부등식이 성립해야 합니다.

점 \(B(7+\cos 3t, \sin 3t)\)의 좌표를 대입하면

좌변과 우변의 공통 제곱항을 전개하여 정리하면

제시문 (가)의 코사인 덧셈정리에 의해

이를 부등식에 대입하면 \(2\cos^2 t + 7\cos t - 1 < 3 \implies 2\cos^2 t + 7\cos t - 4 < 0\)을 얻습니다.

임의의 실수 \(t\)에 대해 \(\cos t + 4 > 0\)이므로 \(\cos t < \frac{1}{2}\)입니다. 따라서 \(0 \le t \le 2\pi\)에서 구하는 \(t\)의 범위는 \(\frac{\pi}{3} \lt t \lt \frac{5\pi}{3}\)입니다.

점 \(E\)는 모서리 \(BD\) 위에 있으며 \(\overline{DE}=2, \overline{BD}=6\)이므로 \(\overline{BE}=4\)입니다. 따라서 선분 \(BD\) 상에서 점 \(E\)의 길이 비에 의해

그러므로 사면체 \(DEPQ\)의 부피는 사면체 \(BDPQ\)의 부피의 \(\frac{1}{3}\)입니다. 따라서 사면체 \(DEPQ\)의 부피가 최대이기 위해서는 사면체 \(BDPQ\)의 부피가 최대이어야 합니다.

정사면체 \(ABCD\)의 꼭짓점 \(D\)에서 밑면인 평면 \(ABC\)에 내린 수선의 발을 \(H\)라 하면, \(H\)는 정삼각형 \(ABC\)의 무게중심입니다. 이때 사면체 \(BDPQ\)의 부피는

로 표현됩니다. 선분 \(DH\)의 길이는 정사면체의 고유 높이로 일정하므로, 결국 \(\triangle BPQ\)의 넓이가 최대가 되어야 합니다. 선분 \(PQ\)는 일정한 길이를 가지며 점 \(A\)를 지나므로, 점 \(B\)에서 직선 \(PQ\)까지의 거리가 최대일 때 넓이가 최대가 됩니다. 점 \(B\)에서 점 \(A\)를 지나는 직선에 내린 수선의 발의 거리는 선분 \(AB\)가 직선 \(PQ\)와 수직일 때 정확히 \(\overline{AB}=6\)으로 최대가 됩니다.

\(\overline{PQ} \perp \overline{AB}\)일 때, 점 \(E\)에서 평면 \(ABC\)에 내린 수선의 발을 \(F\), 점 \(F\)에서 직선 \(PQ\)에 내린 수선의 발을 \(G\)라 하면, 삼수선의 정리에 의해 \(\overline{EG} \perp \overline{PQ}\)가 됩니다. 직각삼각형 \(EFG\)에서 이면각의 크기 \(\theta = \angle EGF\)이므로 \(\cos\theta = \frac{\overline{FG}}{\overline{EG}}\)입니다.

점 \(F\)에서 \(\overline{AB}\)에 내린 수선의 발을 \(F'\)이라 하면 \(\overline{FG} = \overline{AF'} = \overline{AB} - \overline{BF'} = 6 - 3 \times \frac{2}{3} = 4\)입니다.
선분 \(BC\)의 중점을 \(M\)이라 하면 \(\overline{AM} = 3\sqrt{3}\), 무게중심 \(H\)에 대해 \(\overline{AH} = 2\sqrt{3}\)입니다.
직각삼각형 \(AHD\)에서 \(\overline{DH} = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{3})^2} = 2\sqrt{6}\)이고, 점 \(E\)의 내분비에 의해 \(\overline{EF} = \frac{2}{3}\overline{DH} = \frac{4\sqrt{6}}{3}\)입니다.
따라서 직각삼각형 \(EFG\)에서

그러므로 \(\cos\theta = \frac{\overline{FG}}{\overline{EG}} = \frac{4}{\frac{4\sqrt{15}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{5}\)입니다.

\(\angle ABC = \phi\)라 두겠습니다. 점 \(C\)와 \(D\)에서 직선 \(AB\)에 내린 수선의 발을 고려하면, 직각삼각형 \(CDH\)에서

\(\overline{CD}=2\)이므로 피타고라스 정리에 의해 다음 관계식이 성립합니다.

식 (1)의 양변을 \(\theta\)에 관하여 미분하면

\(\theta = \frac{\pi}{2}\)일 때 \(\cos\theta=0, \sin\theta=1\)이고 대칭성 및 길이에 의해 \(\phi = \frac{\pi}{2}\)입니다. 이를 대입하면

\(\triangle ABC\)에서 코사인법칙에 의해 \([f(\theta)]^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}\cos\phi = 7 - 4\sqrt{3}\cos\phi\)입니다.
양변을 \(\theta\)에 대해 미분하면 \(2f(\theta)f'(\theta) = 4\sqrt{3}\phi'(\theta)\sin\phi\)입니다.
\(\theta = \frac{\pi}{2}\)일 때 \(f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{7}, \sin\phi = 1, \phi' = -\frac{1}{2}\)이므로

점 \(A(t, t^2)\)에서 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(Q(t, 0)\)이라 하면 사다리꼴 \(OPAQ\)의 넓이는

곡선 아래 부분의 넓이는 \(\int_{0}^{t} x^2\,dx = \frac{1}{3}t^3\)입니다. 따라서 둘러싸인 도형의 넓이 \(f(\theta)\)는

점 \(P(0, 10)\)이고 점 \(A(t, t^2)\)에서 \(y\)축에 내린 수선의 발을 \(H(0, t^2)\)라 하면, 직각삼각형 \(APH\)에서

양변을 \(\theta\)에 대하여 미분하면 합성함수의 미분법에 의해

\(\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta = 1 + \frac{t^2}{(10-t^2)^2} = \frac{(10-t^2)^2 + t^2}{(10-t^2)^2}\)이므로

따라서 연쇄법칙에 의해 구하는 도함수 \(f'(\theta)\)는

\(g(\theta) = f\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) - f(\theta)\)이므로 \(g'(\theta) = f'\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) - f'(\theta) = 0\)일 때

이를 정리하면 \(\{a^2 + (a^2-10)^2\} - \{b^2 + (b^2-10)^2\} = 0\)입니다. 인수분해하면

\(a \ne b\)이므로 \(a^2 - b^2 \ne 0\)입니다. 따라서 \(a^2 + b^2 = 19\)를 얻습니다.

\(\overline{AP} \perp \overline{BP}\)이므로 두 직선 \(AP\)와 \(BP\)의 기울기의 곱은 \(-1\)입니다.

전개하면 \((ab)^2 - 10(a^2+b^2) + 100 + ab = 0\)입니다. 앞서 구한 \(a^2+b^2=19\)를 대입하면

\(a > 0, b > 0\)이므로 \(ab = 9\)를 얻습니다.

\(a < b\)라 두면 \((b-a)^2 = a^2+b^2 - 2ab = 19 - 18 = 1 \implies b - a = 1\)입니다.
또한 \(b^3 - a^3 = (b-a)(b^2+ab+a^2) = 1 \cdot (19 + 9) = 28\)입니다.
따라서 구하는 도형의 넓이 \(g(\theta)\)는

원의 접선을 \(y = mx\)라 하면, 원의 중심 \(\left(0, \frac{\sqrt{13}}{3}\right)\)에서 직선까지의 거리는 반지름 1과 같으므로

접선과 곡선 \(y = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2x}\)의 교점은 \(\frac{2}{3}x = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2x} \implies x^4 - 4x^2 + 3 = 0\)이므로 \(x^2 = 1\) 또는 \(3\)입니다. 제1사분면의 교점의 \(x\)좌표는 각각 \(1, \sqrt{3}\)입니다.

\(y' = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2x^2}\)이므로 \(x=1\)에서 극솟값 \(\frac{2}{3}\)을 갖습니다. 원 위의 점은 \(x=1\)일 때 \(y = \frac{\sqrt{13}}{3} > \frac{2}{3}\)이므로 곡선 위의 점 \((1, \frac{2}{3})\)은 원 밖의 점입니다. 따라서 \(1 \le x \le \sqrt{3}\)일 때 곡선이 가려지지 않고 보입니다.

전체 12개의 문자 (A 3개, B 4개, C 3개, D 2개)를 일렬로 나열하는 경우의 수는 \(\frac{12!}{3!4!3!2!} = 323,400\)입니다.
문자 D가 연속하여 나오는 경우는 DD를 한 묶음으로 취급하여 11개의 문자 (A 3개, B 4개, C 3개, (DD) 1개)를 나열하는 경우의 수이므로 \(\frac{11!}{3!4!3!1!} = 92,400\)입니다.
따라서 D가 연속하지 않는 경우의 수는 \(323,400 - 92,400 = 231,000\)입니다.

1단계: 전체 12개 자리 중 A와 B가 들어갈 7개 자리를 선택하는 경우의 수는 \({}_{12}\mathrm{C}_7 = 792\)입니다.
2단계: 선택된 7자리 중 가장 왼쪽의 첫 번째 자리에는 조건에 의해 반드시 A가 들어가야 합니다. 나머지 6자리에 남은 A 2개와 B 4개를 배치하는 경우의 수는 \(\frac{6!}{2!4!} = 15\)입니다.
3단계: 남은 5개 자리에 C 3개와 D 2개를 배치하는 경우의 수는 \(\frac{5!}{3!2!} = 10\)입니다.
따라서 구하는 전체 경우의 수는 곱의 법칙에 의해 \(792 \times 15 \times 10 = 118,800\)입니다.

두 곡선의 교점의 \(x\)좌표를 \(a\)라 하면 \(e^{2a} = e^{-(a-t)+1}\)이 성립합니다.
넓이 \(S(t) = \int_{0}^{a} (e^{-(x-t)+1} - e^{2x})dx = \left[-e^{-(x-t)+1} - \frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{a} = -e^{-(a-t)+1} - \frac{1}{2}e^{2a} + e^{t+1} + \frac{1}{2}\)입니다.

양변을 \(t\)에 대해 미분하면 합성함수의 미분법에 의해

교점 조건 \(e^{2a} = e^{-(a-t)+1}\)에 의해 \(\frac{da}{dt}\)의 계수가 정확히 \(0\)이 되므로 \(S'(t) = -e^{-(a-t)+1} + e^{t+1} = -e^t e^{-a+1} + e^{t+1}\)입니다.

\(t = \ln 6\)일 때 \(e^{2a} = 6e^{-a+1} \iff e^{3a} - 6e = 0\) (단위식: \(b=e^a\)라 두면 \(b^3-b-6=0 \implies (b-2)(b^2+2b+3)=0 \implies b=2\))이므로 \(e^a = 2\), 즉 \(a = \ln 2\)입니다.
따라서 \(S'(\ln 6) = -6 \times \frac{1}{2} + 6 = 3\)입니다.

(1) 점 P의 \(y\)좌표가 1 이하일 때: 점 \(P\)에서 점 \((0, 1)\)까지의 거리를 \(d\)라 하면, 코사인법칙에 의해

(2) 점 P의 \(y\)좌표가 1 초과일 때: 점 \(P\)에서 점 \((1, 1)\)까지의 거리를 \(d\)라 하면, 코사인법칙에 의해

\(\frac{\sqrt{7}}{3} < \frac{2\sqrt{2}}{3}\)이므로 \(\cos\alpha\)의 최솟값은 \(\frac{\sqrt{7}}{3}\)입니다.
등호 성립 조건은 \(\frac{7}{6d} = \frac{d}{6} \implies d = \sqrt{7}\)입니다. 점 \(Q(1, 1)\)이라 두고 \(\angle POQ = \theta\)라 하면 코사인법칙에 의해 \(\cos\theta = \frac{9+2-7}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}\), \(\sin\theta = \frac{\sqrt{7}}{3}\)입니다.
\(x_P = 3\cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = 3(\cos\theta\cos\frac{\pi}{4} - \sin\theta\sin\frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}\)
\(y_P = 3\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 3(\sin\theta\cos\frac{\pi}{4} + \cos\theta\sin\frac{\pi}{4}) = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}\)입니다.

도형 \(R\)의 넓이를 \(f(t)\)라 하면, \(f(t) = \int_{t}^{1} \sqrt{1-x^2}\,dx - \frac{\pi}{4}(1-t)^2\)입니다.
\(x = \cos\theta\)로 치환하여 정적분을 계산하면 \(f(t) = \frac{1}{2}\theta - \frac{1}{2}t\sqrt{1-t^2} - \frac{\pi}{4}(1-t)^2\)을 얻습니다.
\(t = \frac{1}{2}\)일 때 \(\theta = \frac{\pi}{3}\)이므로 \(f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{\pi}{4}\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{5\pi}{48} - \frac{\sqrt{3}}{8}\)입니다.

\(f(t)\)를 \(t\)에 대해 미분하면 \(f'(t) = -\sqrt{1-t^2} + \frac{\pi}{2}(1-t)\)입니다.
\(f'(t) = 0\)에서 \(\sqrt{1-t^2} = \frac{\pi}{2}(1-t) \implies \sqrt{1+t} = \frac{\pi}{2}\sqrt{1-t}\) (단, \(t < 1\))
양변을 제곱하면 \(1+t = \frac{\pi^2}{4}(1-t) \implies \left(\frac{\pi^2}{4} + 1\right)t = \frac{\pi^2}{4} - 1 \implies t = \frac{\pi^2-4}{\pi^2+4}\)입니다.
도함수의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 \(t = \frac{\pi^2-4}{\pi^2+4}\)에서 넓이 \(R\)은 최댓값을 가집니다.

조건에 의해 모든 C는 CB의 형태로 묶여서 나타나야 합니다. C가 3개이므로 CB 3개를 묶음 문자로 취급하면, A 3개, (CB) 3개, 남은 B 2개(5-3=2)로 총 8개의 문자를 나열하는 같은 것이 있는 순열 문제가 됩니다.
따라서 구하는 경우의 수는 \(\frac{8!}{3! \times 3! \times 2!} = 560\)입니다.

1단계: 먼저 A 3개와 C 3개를 일렬로 나열합니다. 그 경우의 수는 \(\frac{6!}{3!3!} = 20\)입니다.
2단계: 나열된 문자들 사이와 양 끝의 7개 빈자리 중, A 바로 다음 3자리는 B가 올 수 없으므로 제외하고 남은 4개의 자리에 B 5개를 배치합니다.
각 자리에 들어갈 B의 개수를 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)라 하면 다음 부정방정식이 성립합니다.

음이 아닌 정수해의 개수는 중복조합 \({}_{4}\mathrm{H}_{5} = {}_{4+5-1}\mathrm{C}_{5} = {}_{8}\mathrm{C}_{5} = 56\)입니다.
따라서 총 경우의 수는 \(20 \times 56 = 1120\)입니다.

\(A(t, 0), B(1, 0)\)이고 두 원의 교점을 \(C\)라 하자. \(\angle AOC = \alpha\)라 두면 \(\angle OAC = \pi - 2\alpha\)입니다.
\(S(t) = 2(S_1 + S_2 - S_3) = 2\left[\frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{2}t^2(\pi-2\alpha) - \frac{1}{2}t\sin\alpha\right] = \alpha + t^2(\pi-2\alpha) - t\sin\alpha\)입니다.

\(S'(t) = \frac{d\alpha}{dt} + 2t(\pi-2\alpha) - 2t^2\frac{d\alpha}{dt} - \sin\alpha - t\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt}\)입니다.
\(\triangle OAC\)에서 코사인법칙: \(\cos\alpha = \frac{1+t^2-t^2}{2 \cdot 1 \cdot t} = \frac{1}{2t}\). 양변을 미분하면 \(-\sin\alpha\frac{d\alpha}{dt} = -\frac{1}{2t^2}\)입니다.
\(t=1\)일 때 \(\triangle OAC\)는 정삼각형이므로 \(\alpha = \frac{\pi}{3}, \frac{d\alpha}{dt} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)입니다.

\(A(a, a^2), B(b, b^2), P(x, y)\)라 하면, \(a, b\)는 \(x^2 - 2x - t = 0\)의 두 근이므로 \(a+b=2, ab=-t\)입니다.
\(a^2+b^2 = 2(t+2), \; a^4+b^4 = 2t^2+16t+16\)이므로 이를 거리 제곱 합에 대입하여 정리하면

점 \(M(1, t+2)\)와 원의 중심 \((1, 8)\)이 모두 직선 \(x=1\) 위에 있으므로, 원 위의 점 \(P\)에 대해
• \(0 < t \le 6\)일 때: 최단점 \(P(1, 7) \implies \overline{MP} = |t-5|\)
• \(t \ge 6\)일 때: 최단점 \(P(1, 9) \implies \overline{MP} = |t-7|\)

\(0 < t \le 6\)일 때 \(2(t-5)^2 + 10(t+1) = 2\left(t - \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{95}{2}\)이므로 \(t = \frac{5}{2}\)일 때 전체 최솟값을 갖습니다.
\(t = \frac{5}{2}\)를 방정식 \(x^2 - 2x - \frac{5}{2} = 0\)에 대입하면 \(x = \frac{2 \pm \sqrt{14}}{2}\)입니다.
점 \(A\)는 제2사분면의 점이므로 \(x_A = \frac{2-\sqrt{14}}{2}, \; y_A = 2x_A + \frac{5}{2} = \frac{9-2\sqrt{14}}{2}\)입니다.