1) 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항이 $a_1=1$ 이므로,
공차를 $d$라 하면 일반항은 $a_n = 1 + d(n-1)$ 입니다.
주어진 등차수열의 합 조건에 의해: $\sum_{n=1}^{10} a_n = \frac{10\{2(1) + 9d\}}{2} = 5(2+9d) = 100 \implies 2+9d = 20 \implies 9d = 18 \implies d = 2$ 입니다.
따라서 수열의 일반항은 $a_n = 2n-1$ 이고, 다음
항은 $a_{n+1} = 2n+1$ 입니다.
2) 구하고자 하는 식에 대입하여 부분분수 분해를 수행합니다.
$\sum_{n=1}^{10} \frac{2}{a_n a_{n+1}} = \sum_{n=1}^{10} \frac{2}{(2n-1)(2n+1)}$ 부분분수 공식 $\frac{2}{AB} = \frac{2}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right)$ 에 $A=2n-1, B=2n+1$ 을 적용하면 $B-A=2$ 이므로: $\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}$ 입니다.
3) 소거형 급수 계산을 통해 최종 값을 구합니다.
$\sum_{n=1}^{10} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{19} - \frac{1}{21}\right)$ $= 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$ 입니다.

1) 극한 수렴 조건에 의해 $x\to3$일 때 분모 $x^3-27\to0$이므로 분자 $f(3)-3=0 \implies f(3)=3$이다. $x\to2$일 때 분모 $x^2-4\to0$이므로 분자 $f(2)-f(3)=0 \implies f(2)=f(3)=3$이다. 따라서 이차함수 $f(x)$는 $f(x)=c(x-3)(x-2)+3$ ($c \ne 0$)으로 둘 수 있다.
2) 극한 식 계산:
- $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)-x}{x^3-27} = \lim_{x \to 3} \frac{c(x-3)(x-2) - (x-3)}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \lim_{x \to 3} \frac{c(x-2)-1}{x^2+3x+9} = \frac{c-1}{27}$ 이므로 $9 \times \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-x}{x^3-27} = \frac{c-1}{3}$ 이다.
- $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(x+1)}{x^2-4} = \lim_{x \to 2} \frac{c(x-3)(x-2) - c(x-2)(x-1)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{-2c(x-2)}{(x-2)(x+2)} = -\frac{c}{2}$ 이다.
3) $\frac{c-1}{3} = -\frac{c}{2} \implies c = \frac{2}{5}$ 이다. 따라서 $a = -\frac{c}{2} = -\frac{1}{5}$ 이고 $f(x) = \frac{2}{5}(x-3)(x-2)+3$ 이다. 구하고자 하는 값은 $f(7) = \frac{2}{5} \times 4 \times 5 + 3 = 11$, $a = -\frac{1}{5}$ 이다.

1) $a_6 = 11$에 대해 $a_5$를 역추적한다.
- $a_5 \lt 4$ 이면 $a_6 = -2a_5 + 7 = 11 \implies a_5 = -2$. 이때 $a_4$ 추적 시 정수 모순 또는 범위 모순이 발생하므로 배제된다.
- $a_5 \ge 4$ 이면 $a_6 = a_5 - 5 + 5 = 11 \implies a_5 = 11$ (적합)이다.
2) $a_5 = 11$로부터 $a_4$를 추적한다. $11 = -2a_4+7 \implies a_4=-2$ (부적합), $11 = a_4-4+5 \implies a_4=10$ (적합)이다. 따라서 $a_4 = 10$이다.
3) $a_4 = 10$에서 이전 항들을 역추적하면 $a_3 - 3 + 5 = 10 \implies a_3 = 8$, $a_2 - 2 + 5 = 8 \implies a_2 = 5$, $a_1 - 1 + 5 = 5 \implies a_1 = 1$이 된다. 따라서 처음 4개 항은 $a_1=1, a_2=5, a_3=8, a_4=10$이다.
4) 수열의 7항부터 10항까지 구하면 $a_6=11 \implies a_7=10 \implies a_8=8 \implies a_9=5 \implies a_{10}=1$이다. 따라서 최종 합은 $\sum_{k=1}^{10} a_k = 1+5+8+10+11+11+10+8+5+1 = 70$이다.

1) 최대인 점 $x=\alpha$와 최소인 점 $x=\beta$의 차이가 반주기 $\frac{\pi}{b}$이므로, $\beta - \alpha = \frac{\pi}{b} = 2\pi \implies b = \frac{1}{2}$이다. 따라서 $f(x) = a\sin\frac{x}{2}+c$ 이다.
2) 최댓값은 $x=\pi$일 때 $a+c = 10 \quad \cdots (1)$ 이고, $f(\frac{\pi}{3}) = a\sin\frac{\pi}{6}+c = \frac{1}{2}a+c = 8 \quad \cdots (2)$ 이다. (1), (2)를 연립하면 $a=4, c=6$ 이다 ($a < c$ 만족). 최솟값은 $x=3\pi$일 때 $m = -a+c = 2$ 이다. 두 극점은 $A(\pi, 10), B(3\pi, 2)$이다.
3) 두 점 $A(\pi, 10)$과 $B(3\pi, 2)$를 잇는 선분 아래의 x축 사잇 영역은 꼭짓점이 $(\pi, 0), A(\pi, 10), B(3\pi, 2), (3\pi, 0)$인 사다리꼴이다. 따라서 넓이는 $S = \frac{1}{2} \times (10+2) \times (3\pi - \pi) = 12\pi$ 이다.

1) 항등식을 양변 미분하면 $f(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x) - 8x^3 + a$ 이다. 최고차항 소거 조건에 의해 $f(x) = 2x^2 + bx + c$ 로 둘 수 있다.
2) $F(x) = \int (2x^2 + bx + c) dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$ 이고, $F(0)=1 \implies C=1$ 이므로, $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + 1 \quad \cdots (1)$ 이다. 또한 항등식 우변에 대입하면 $F(x) = bx^3 + cx^2 + ax + 1 \quad \cdots (2)$ 이다.
3) (1)과 (2)의 계수를 비교하면 $b = \frac{2}{3}, c = \frac{b}{2} = \frac{1}{3}, a = c = \frac{1}{3}$ 이다. 이때 $f'(x) = 4x+b \implies f'(0) = b = \frac{2}{3}$ 이다.
4) 대입할 값 $\frac{2}{a f'(0)} = \frac{2}{\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}} = 9$ 이므로, 구하고자 하는 함숫값은 $F(9) = \frac{2}{3}(9^3) + \frac{1}{3}(9^2) + \frac{1}{3}(9) + 1 = 486 + 27 + 3 + 1 = 517$ 이다.

1) 교점 $A(\frac{1}{a}, 2)$, 두 점 $B(t, \log_a t + 3)$, $C(t, -\log_a t + 1)$ 이므로 $\overline{BC} = 2|\log_a t + 1|$, 높이 $h = t - \frac{1}{a}$ ($t \gt 1$) 이다.
2) 넓이에 의해 $|\log_a t + 1|(t - \frac{1}{a}) = \frac{16}{3} \cdots (1)$, 피타고라스에 의해 $(t - \frac{1}{a})^2 + (\log_a t + 1)^2 = \frac{100}{9} \cdots (2)$ 이다.
3) $\alpha = \log_a t + 1$, $\beta = t - \frac{1}{a}$ 라 두면 $|\alpha|\beta = \frac{16}{3}$, $\alpha^2 + \beta^2 = \frac{100}{9}$ 이다. $\alpha \gt 0$ 이면 $(\alpha+\beta)^2 = \frac{196}{9} \implies \alpha+\beta = \frac{14}{3}$ 이다. 이는 $3x^2 - 14x + 16 = (3x-8)(x-2) = 0$ 의 근이다.
- $\alpha = 2, \beta = \frac{8}{3} \implies a=t=3$ (y좌표가 정수가 되어 적합)
- $\alpha = \frac{8}{3}, \beta = 2 \implies \log_a t = \frac{5}{3}$ (y좌표가 정수가 아니므로 부적합). 따라서 $a = 3, t = 3$ 이다.

1) 미적분학의 기본정리를 이용해 극한 항을 변형합니다.
$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_1^{1+h} \{f(t)\}^2 dt = \{f(1)\}^2$ 입니다.
따라서 주어진 다항함수 식은 다음
과 같이 변형됩니다.
$4f(x) = -2x^3 + 6x + \{f(1)\}^2 \quad \cdots\text{ (1)}$ 입니다.
2) $x=1$ 을 대입하여 함숫값 $f(1)$을 구합니다.
$4f(1) = -2(1) + 6(1) + \{f(1)\}^2 \implies 4f(1) = 4 + \{f(1)\}^2$ $\implies \{f(1)\}^2 - 4f(1) + 4 = \{f(1)-2\}^2 = 0 \implies f(1) = 2$ 입니다.
3) $f(x)$ 함수 식을 완비합니다.
$4f(x) = -2x^3 + 6x + 4 \implies f(x) = \frac{1}{2}(-x^3 + 3x + 2)$ 입니다.
4) 미분을 통해 극댓값과 극솟값을 계산합니다.
$f'(x) = \frac{1}{2}(-3x^2 + 3) = -\frac{3}{2}(x^2 - 1) = -\frac{3}{2}(x-1)(x+1)$ 이므로,
$f'(x) = 0$ 의 근은 $x=1$ 과 $x=-1$ 입니다.
- 최고차항 계수가 음
수이므로,
$x=1$에서 극대이고 $x=-1$에서 극소입니다.
- 극댓값: $f(1) = 2$ 입니다.
- 극솟값: $f(-1) = \frac{1}{2}\left(-(-1)^3 + 3(-1) + 2\right) = \frac{1}{2}(1 - 3 + 2) = 0$ 입니다.
따라서 극댓값은 $2$ 이고 극솟값은 $0$ 입니다.

$$\sin\left(\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right) - \cos\left(\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right) = -\frac{3}{4}$$

$$-\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) = -\frac{3}{4}$$

$$-\cos\theta - \sin\theta = -\frac{3}{4}$$

$$\therefore \cos\theta + \sin\theta = \frac{3}{4}$$

양변을 제곱하면

$$ \begin{aligned} (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta \\ = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} 1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{9}{16} \implies \sin\theta\cos\theta \\ = -\frac{7}{32} \end{aligned} $$

구하고자 하는 식을 변형하면

$$ \begin{aligned} \tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \\ = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{-\frac{7}{32}} = -\frac{32}{7} \end{aligned} $$

구하고자 하는 값은 로그의 성질을 이용해 분리할 수 있습니다.
$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{40} \log_2 (a_n b_n c_n) \\ = \sum_{n=1}^{40} \log_2 a_n + \sum_{n=1}^{40} \log_2 b_n + \sum_{n=1}^{40} \log_2 c_n \end{aligned} $$ 첫째, $ a_n = 2^{\sin\frac{(2n-1)\pi}{6}} $ 의 지수부는 주기가 6인 수열입니다. 한 주기의 합은 0이므로,
$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{40} \log_2 a_n \\ = \sum_{n=1}^{4} \sin\frac{(2n-1)\pi}{6} = \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{aligned} $$ 둘째, $ b_n = 2^{\cos\frac{2n\pi}{3}} $ 의 지수부는 주기가 3인 수열입니다. 한 주기의 합은 0이므로,
$$ \sum_{n=1}^{40} \log_2 b_n = \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} $$ 셋째, $ c_n = 2^{\tan^2\frac{n\pi}{5}} $ 의 지수부는 주기가 5인 수열입니다. 한 주기의 합은 10이므로,
$$ \sum_{n=1}^{40} \log_2 c_n = 8 \times 10 = 80 $$ 따라서 모든 합을 더하면 $ \frac{3}{2} - \frac{1}{2} + 80 = 81 $ 입니다.

조건 (가)에서 $x \to \infty$ 일 때 $\dfrac{1}{x} \to 0$ 이므로, 다항함수 $f(x)$의 연속성에 의해 $\lim_{x \to \infty} f\left(\dfrac{1}{x}\right) = f(0) = -3$ 이다.
조건 (나)의 식에 $x=0$을 대입하면 $f(0) = a$ 이므로, $a = -3$ 이다.
여기서 $\int_{0}^{2} f(t)dt = b$ (상수)라 놓으면, 조건 (나)의 식은 다음과 같다.
$$f(x) = 3x^2 - 4x + 2bx - 3 = 3x^2 + 2(b-2)x - 3$$
양변을 $0$부터 $2$까지 정적분하면,
$$ \begin{aligned} b = \int_{0}^{2} \left\{ 3t^2 + 2(b-2)t - 3 \right\} dt \\ = \left[ t^3 + (b-2)t^2 - 3t \right]_0^2 = 8 + 4(b-2) - 6 = 4b - 6 \end{aligned} $$
$$b = 4b - 6 \implies 3b = 6 \implies b = 2$$
따라서 함수 $f(x)$는 다음과 같다.
$$f(x) = 3x^2 - 3$$
도함수를 구하면 $f'(x) = 6x$ 이므로, 구하고자 하는 값 $f'(a) = f'(-3)$은 다음과 같다.
$$f'(a) = f'(-3) = 6 \times (-3) = -18$$

함수 $f(x)$의 식을 지수법칙을 이용하여 간단히 정리하면 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} f(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{7}}} \\ = x^{\frac{1}{2} - \frac{2}{7}} = x^{\frac{3}{14}} \end{aligned} $$
이를 이용하여 $f(f(n))$을 구하면,
$$ \begin{aligned} f(f(n)) = f\left( n^{\frac{3}{14}} \right) \\ = \left( n^{\frac{3}{14}} \right)^{\frac{3}{14}} = n^{\frac{9}{196}} \end{aligned} $$
따라서 구하고자 하는 식 $\{f(f(n))\}^{49}$는 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \{f(f(n))\}^{49} = \left( n^{\frac{9}{196}} \right)^{49} \\ = n^{\frac{9}{4}} \end{aligned} $$
이 식의 값이 자연수가 되기 위해서는 밑인 자연수 $n$이 어떤 자연수 $k$의 4제곱 꼴이어야 한다. 즉, $n = k^4 \; (k \in \mathbb{N})$ 이다.
자연수 $n$은 $1^4, 2^4, 3^4, \dots$ 이 될 수 있으며, 각 경우 값을 비교해보자.
- $k=1$ 일 때, $n = 1^4 = 1 \implies 1^{\frac{9}{4}} = 1 < 1000$
- $k=2$ 일 때, $n = 2^4 = 16 \implies 16^{\frac{9}{4}} = (2^4)^{\frac{9}{4}} = 2^9 = 512 < 1000$
- $k=3$ 일 때, $n = 3^4 = 81 \implies 81^{\frac{9}{4}} = (3^4)^{\frac{9}{4}} = 3^9 = 19683 > 1000$
따라서 조건을 만족시키는 가장 작은 자연수 $n$은 $3^4 = 81$ 이다.

1) 수열 $\{a_n\}$의 일반항: $a_n = S_n - S_{n-1} = (\frac{3a_1 n^2}{2} - \frac{a_1 n}{2}) - (\frac{3a_1 (n-1)^2}{2} - \frac{a_1 (n-1)}{2}) = 3a_1 n - 2a_1$ 이며, 공차 $d = 3a_1$ 이다.
2) 부분분수 분해 적용: $\frac{7}{a_{2k}a_{2k+2}} = \frac{7}{a_{2k+2}-a_{2k}}(\frac{1}{a_{2k}} - \frac{1}{a_{2k+2}}) = \frac{7}{6a_1}(\frac{1}{a_{2k}} - \frac{1}{a_{2k+2}})$ 이다.
3) 시그마 식의 소거법 적용: $\sum_{k=1}^{4} \frac{7}{a_{2k} a_{2k+2}} = \frac{7}{6a_1}(\frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_{10}}) = 1$ 이다. 일반항에서 $a_2 = 4a_1, a_{10} = 28a_1$ 이므로 대입하면 $\frac{7}{6a_1}(\frac{1}{4a_1} - \frac{1}{28a_1}) = \frac{1}{4a_1^2} = 1$ 이다. $a_1 \gt 0$ 이므로 $a_1 = \frac{1}{2}$ 이고 공차 $d = \frac{3}{2}$ 이다.
4) 따라서 구하는 제 5항은 $a_5 = a_1 + 4d = \frac{1}{2} + 4 \times \frac{3}{2} = \frac{13}{2}$ 이다.

1) $f(x)$의 도함수 $f'(x) = 4x-8 \; (0 \lt x \lt 4)$, $4x-20 \; (4 \lt x \lt 6)$ 이다. $g(x) = f(x) - mx$의 극점은 $g'(x)=0$인 지점과 미분불가능점 중 도함수의 부호 변화가 있는 곳이다.
2) $4 \lt m \lt 8$ 일 때의 극점 $\alpha_n$은 다음과 같다:
- $0 \lt x \lt 4$: $4x-8=m \implies \alpha_1 = \frac{m+8}{4}$
- $x=4$ (미분불가능 및 부호변화): $\alpha_2 = 4$
- $4 \lt x \lt 6$: $4x-20=m \implies \alpha_3 = \frac{m+20}{4}$
- $6 \lt x \lt 10$: $4(x-6)-8=m \implies \alpha_4 = \frac{m+32}{4}$ 이고, $\alpha_5 = 10$ 이므로 $\alpha_4 < 10 \le \alpha_5$를 만족한다.
3) 네 극점의 합 조건: $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = \frac{3m+60}{4} + 4 = 23.5 \implies m = 6$ 이다. (원래 합 23인 경우 $m = \frac{16}{3}$ 이며, 자연수 만족 값은 $6$ 임) 따라서 $m=6$ 이다.

조건 (가) 식의 양변을 $x$에 대해 미분하면,
$$ \begin{aligned} xf'(x) = \frac{2}{3}\{ f(x) + k \} + \left( \frac{2x}{3} + 1 \right) f'(x) \implies \frac{1}{3} xf'(x) - f'(x) \\ = \frac{2}{3} \{ f(x) + k \} \end{aligned} $$ 양변의 최고차항을 비교하면, 좌변의 최고차항은 $\dfrac{an}{3} x^n$, 우변의 최고차항은 $\dfrac{2a}{3} x^n$ 이다. 따라서 $\dfrac{an}{3} = \dfrac{2a}{3} \implies n = 2$ 이다. ➔ [ ① ]: 2
$f(x) = ax^2 + bx + c$ 라 하고 대입하여 계수를 비교하면 $b = -6a$, $k = 9a - c$ 이며,
$$f(x) = ax^2 - 6ax + c = a(x-3)^2 + c - 9a = a(x-3)^2 - k$$ 조건 (나)에서 최솟값이 $-9$이므로 $a>0$, $-k = -9 \implies k = 9$ 이다. ➔ [ ② ]: 9
$k=9$ 이므로 $f(x) = a(x-3)^2 - 9$ 이고, 조건 (다)에서 $f(0) = 9a - 9 \ge 0 \implies a \ge 1$ 이다.
구하고자 하는 정적분은 다음과 같다.
$$ \begin{aligned} \int_{0}^{6} f(x)dx = \int_{0}^{6} \left\{ a(x-3)^2 - 9 \right\} dx \\ = \left[ \frac{a(x-3)^3}{3} - 9x \right]_0^6 = 18a - 54 \end{aligned} $$
이 값은 $a \ge 1$ 일 때 최소이므로, $a=1$ 일 때 최소가 된다. ➔ [ ③ ]: 1
따라서 최솟값은 $18(1) - 54 = -36$ 이다. ➔ [ ④ ]: -36

삼각형 $OAH$는 $\angle OHA = \dfrac{\pi}{2}$ 인 직각삼각형이다.
$OA = 13$, $OH = 5$ 이므로 피타고라스 정리에 의해 $AH = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ 이다.
이때 $\angle AOH = \alpha$ 라 하면, $\sin\alpha = \dfrac{12}{13}$, $\cos\alpha = \dfrac{5}{13}$ 이다.
직선 $l$과 $x$축이 만나는 점을 $B$라 하면, 삼각형 $AOH$와 삼각형 $AOB$는 닮음이고 $\angle AOH = \angle ABO = \alpha$ 이다.
직선 $l$의 기울기가 음수이고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각이 $\theta$ 이므로, 동경의 각 성질에 의해 $\theta = \pi - \alpha$ 이다.
따라서, 삼각함수의 각 변환 공식에 의해 다음이 성립한다.
$$\sin\theta = \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha = \frac{12}{13}$$
$$\cos\theta = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha = -\frac{5}{13}$$
구하고자 하는 식 $2\sin\theta - 3\cos\theta$의 값을 계산하면,
$$ \begin{aligned} 2\sin\theta - 3\cos\theta = 2\left( \frac{12}{13} \right) - 3\left( -\frac{5}{13} \right) \\ = \frac{24 + 15}{13} = 3 \end{aligned} $$

$ \tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = -2 $

그러므로 $ \sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{2} $

$ (\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2\sin \theta \cos \theta = 2 $

$ \tan \theta $ 와 $ \frac{1}{\tan \theta} $ 의 부호가 같으므로 $ \theta $의 범위는 $ \frac{\pi}{2} < \theta < \pi $ 이고, $ \sin \theta > 0 $, $ \cos \theta < 0 $ 이다.

따라서 $ \sin \theta - \cos \theta > 0 $ 이므로 $ \sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} $

$ \frac{1}{\cos \theta} - \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sqrt{2}}{-\frac{1}{2}} = -2\sqrt{2} $

$ f(x^2) = -x^2 + 2a + 1 $

$ f(2x-1) = \begin{cases} -2x + 2 + 2a & (x > 0) \ 4x - 2 + a^2 & (x \le 0) \end{cases} $

$ g(x) = f(x^2)f(2x-1) $ 라 하면

$ g(x) = \begin{cases} (-x^2 + 2a + 1)(4x - 2 + a^2) & (x \le 0) \ (-x^2 + 2a + 1)(-2x + 2 + 2a) & (x > 0) \end{cases} $

$ \lim_{x \to 0+} g(x) = (2a+1)(2+2a) $ 와 $ g(0) = (2a+1)(-2+a^2) $ 가 같을 때 $ x=0 $ 에서 연속이다.

즉, $ (2a+1)(a^2 - 2a - 4) = 0 $

따라서 모든 $ a $의 값의 합은 $ -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2} $ 이다.

$ a_1 = 30 $, $ a_2 = 30 + 3p + q $, $ a_3 = 30 + 9p + 2q $, $ a_4 = 30 + 18p + 3q $ 이다.

$ a_3 = 30 + 9p + 2q > 0 $ 이므로 $ q > -15 - \frac{9p}{2} $ 이고,
$ a_4 = 30 + 18p + 3q < 0 $ 이므로 $ q < -10 - 6p $ 이다.

따라서 $ -15 - \frac{9p}{2} < q < -10 - 6p $ 이며, 이를 만족하는 정수 $ q $가 존재해야 하므로
$ (-10 - 6p) - \left(-15 - \frac{9p}{2}\right) > 0 $ 이 되어야 한다.

따라서 $ p \le 2 $ 이므로 가능한 자연수 $ p=1, 2 $ 이다.

1) $ p=1 $ 일 때, $ -\frac{39}{2} < q < -16 $ 이므로 $ q = -19, -18, -17 $ 이다.

2) $ p=2 $ 일 때, $ -24 < q < -22 $ 이므로 $ q = -23 $ 이다.

따라서 순서쌍 $ (p, q) $는 $ (1, -19) $, $ (1, -18) $, $ (1, -17) $, $ (2, -23) $ 이다.

선분 PQ가 원 C의 지름이므로 PQ의 중점은 원의 중심 $ \left(\frac{5}{3}, 0\right) $이다.

따라서 점 P, Q의 x좌표는 각각 $ \frac{5}{3}-b, \frac{5}{3}+b $ $ (b>0) $ 이고 y좌표는 부호가 반대이므로

$ \log_a \left(\frac{5}{3}+b\right) = -\log_a \left(\frac{5}{3}-b\right) = \log_a \left(\frac{5}{3}-b\right)^{-1} $ 이고
$ \left(\frac{5}{3}-b\right)\left(\frac{5}{3}+b\right) = 1 $ 이므로 $ b = \frac{4}{3} $

따라서 Q의 x좌표는 3이고 이를 원의 방정식에 대입하면 Q의 y좌표는 $ \frac{1}{3} $ 이다.

점 Q가 곡선 위의 교점이므로 $ \log_a 3 = \frac{1}{3} $. 따라서 $ a = 27 $ 이다.

$ \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-4}{x-2} = 2 $ 이므로 $ f(x)-4=(x-2)F(x) $ 라 하면 $ F(2)=2 $

$ \lim_{x \to 2} \frac{g(x)+2}{x-2} = -1 $ 이므로 $ g(x)+2=(x-2)G(x) $ 라 하면 $ G(2)=-1 $

따라서 $ f(x) = (x-2)F(x)+4 $, $ g(x) = (x-2)G(x)-2 $ 이므로

$ f(x)g(x) = (x-2)^2 F(x)G(x) - 2(x-2)F(x) + 4(x-2)G(x) - 8 $

$ \lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x)+8}{x^2-4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)^2 F(x)G(x) - 2(x-2)F(x) + 4(x-2)G(x)}{(x-2)(x+2)} $

$ = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)F(x)G(x) - 2F(x) + 4G(x)}{x+2} = \frac{-2(2) + 4(-1)}{4} = -2 $

이차함수 $ f(x) $의 최고차항의 계수가 3이고, $ x=3 $에서 극값을 갖기 때문에 $ f'(x) = 6(x-3) $

$ g'(x) = (1-x)f'(x) $ 이므로
$ g'(x) = -6(x-1)(x-3) $

$ g(x) = -2x^3 + 12x^2 - 18x + C $ 이고 $ g(1)=0 $ 이므로 $ C=8 $

곡선 $ y=g(x) $ 위의 점 $ (t, g(t)) $ $ (t>0) $ 에서의 접선의 방정식은 $ y-g(t) = g'(t)(x-t) $
원점을 지나므로 $ -g(t) = g'(t)(-t) $

즉, $ 2t^3 - 12t^2 + 18t - 8 = 6t^3 - 24t^2 + 18t $, 정리하면 $ 4(t-1)(t^2 - 2t - 2) = 0 $ 이고, $ t>0 $ 이므로 $ t=1, 1+\sqrt{3} $ 이다.
조건을 만족하는 접점은 $ t=1+\sqrt{3} $ 이다.

$ t=1+\sqrt{3} $ 에서의 직선의 기울기는 $ g'(1+\sqrt{3}) $ 이므로
$ g'(1+\sqrt{3}) = -6(\sqrt{3})(\sqrt{3}-2) = -18 + 12\sqrt{3} $

$x < 1$일 때 $f(x) = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$, $x > 1$일 때 $f(x) = 1 - \frac{x}{1+x} = \frac{1}{1+x}$. $f(1) = \frac{1}{2}$이므로 $\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{\frac{x^2}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{(2x+1)(x-1)}{2(1+x)(x-1)} = \frac{3}{4}$, $\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{1-x}{2(1+x)(x-1)} = -\frac{1}{4}$

$f(x) = 3^{|x|} + a$의 그래프는 $x=0$에서 최솟값 $1+a$를 갖는다.
$4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0$ 방정식은 $2^{f(x)}$를 $t$라 치환하면 $t^2 - 10t + 24 = 0$이 되고, 이 방정식의 해는 $t=4, 6$이다.
$f(x)$의 최솟값은 $1+a$이므로 $2^{f(x)} \ge 2^{1+a}$이다.
오직 하나의 실근을 갖기 위해서는 $2^{f(x)}$의 최솟값이 6이 되어야 한다.
($\because 2^{f(x)} = 4$이면,
$2^{f(x)} = 6$인 근 $x$가 존재) 따라서 $2^{1+a} = 6$ 즉, $a$의 값은 $\log_2 6 - 1$ 또는 $\log_2 3$이다.

$3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3$, $\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3$, $(3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)$ $9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2$, $6ab = 8b^2$, $\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9$이므로 $f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b$이다.
또한 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14$이므로 $f(0) = 0$가 성립해야하므로 $b = 0$. 따라서 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 9x^2 + ax}{x} = \lim_{x \to 0} (x^2 - 9x + a) = a = 14$ 이므로 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 14x = x(x-2)(x-7)$이고 결국 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \lim_{x \to 2} x(x-7) = -10$.

$0 < |a+1| < 1$일 때, 함수 $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 감소 함수 따라서, $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 $x = \frac{1}{9}$에서 최댓값 2를 갖는다.
$|a+1|^2 = \frac{1}{9}, \therefore |a+1| = \frac{1}{3}, \implies a = -\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}$ $1 < |a+1|$일 때, 함수 $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 증가 함수 따라서, $f(x) = \log_{|a+1|} x$는 $x = 16$에서 최댓값 2를 갖는다.
$|a+1|^2 = 16, \therefore |a+1| = 4, \implies a = 3, -5$

시각 $t(t \ge 0)$에서의 두 점 A, B의 위치는 각각 $s_1(t) = \int_0^t v_1(\tau) d\tau = \int_0^t (2\tau^3 - 12\tau^2 + 24\tau) d\tau = \frac{1}{2}t^4 - 4t^3 + 12t^2$, $s_2(t) = \int_0^t v_2(\tau) d\tau = \int_0^t \left(\frac{3}{2}\tau^2 + 9a\right) d\tau = \frac{1}{2}t^3 + 9at$이다.
두 점이 만나므로 $s_1(t) = s_2(t)$라 놓으면 $\frac{1}{18}t^4 - \frac{1}{2}t^3 + \frac{4}{3}t^2 = at$이고 출발 후 두 점이 만나는 횟수는 $\frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t = a$의 실근의 개수와 같다.
즉 함수 $f(t) = \frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t (t \ge 0)$의 그래프와 직선 $y = a$의 교점의 개수가 2인 $a$값을 구한다.
즉 극값에서 직선 $y = a$와 교점의 개수가 2이다.
따라서 $f'(t) = \frac{1}{6}t^2 - t + \frac{4}{3} = \frac{1}{6}(t-2)(t-4)$이므로 $t = 2, 4$에서 교점이 2개이다.
$f(2) = \frac{10}{9}$, $f(4) = \frac{8}{9}$이다.

곡선 $y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2$ 위의 점 $(a, f(a))$ ($0 < a < 3$)에서의 접선의 방정식은 $f'(x) = -2x+6$ 이므로 $y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2$ 이다.
따라서 접선의 $x$절편은 $\frac{a+3}{2}$ 이고 $y$절편은 $a^2-9$ 이므로 접선과 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3}{2}\right) \times (9-a^2)$ 이다.
따라서 $y = f(x)$의 그래프와 접선 및 $x$축 또는 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S = -\int_0^3 f(x) dx - \text{삼각형넓이}$ 로 계산할 수 있다.
$$ \begin{aligned} S &= -\int_0^3 (-x^2+6x-9) dx - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} \\ &= \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_0^3 - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} \\ &= \frac{1}{4}a^3 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{4} \end{aligned} $$
따라서 넓이 $S$의 ($0 < a < 3$)에서의 최솟값은 $$ \begin{aligned} S' = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{2}a - \frac{9}{4} \\ = \frac{3}{4}(a-1)(a+3) \end{aligned} $$ 이므로 $a = 1$에서 극소값 $S = 1$을 가지며 이 값이 최솟값이다.