1) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 첫째항이 \(a_1=1\) 이므로,
공차를 \(d\)라 하면 일반항은 \(a_n = 1 + d(n-1)\) 입니다.
주어진 등차수열의 합 조건에 의해: \(\sum_{n=1}^{10} a_n = \frac{10\{2(1) + 9d\}}{2} = 5(2+9d) = 100 \implies 2+9d = 20 \implies 9d = 18 \implies d = 2\) 입니다.
따라서 수열의 일반항은 \(a_n = 2n-1\) 이고, 다음
항은 \(a_{n+1} = 2n+1\) 입니다.
2) 구하고자 하는 식에 대입하여 부분분수 분해를 수행합니다.
\(\sum_{n=1}^{10} \frac{2}{a_n a_{n+1}} = \sum_{n=1}^{10} \frac{2}{(2n-1)(2n+1)}\) 부분분수 공식 \(\frac{2}{AB} = \frac{2}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right)\) 에 \(A=2n-1, B=2n+1\) 을 적용하면 \(B-A=2\) 이므로: \(\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\) 입니다.
3) 소거형 급수 계산을 통해 최종 값을 구합니다.
$\sum_{n=1}^{10} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{19} - \frac{1}{21}\right)\(\)= 1 - \frac{1}{21} = \frac{20}{21}$ 입니다.

1) 극한 수렴 조건에 의해 \(x\to3\)일 때 분모 \(x^3-27\to0\)이므로 분자 \(f(3)-3=0 \implies f(3)=3\)이다. \(x\to2\)일 때 분모 \(x^2-4\to0\)이므로 분자 \(f(2)-f(3)=0 \implies f(2)=f(3)=3\)이다. 따라서 이차함수 \(f(x)\)는 \(f(x)=c(x-3)(x-2)+3\) (\(c \ne 0\))으로 둘 수 있다.
2) 극한 식 계산:
- $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)-x}{x^3-27} = \lim_{x \to 3} \frac{c(x-3)(x-2) - (x-3)}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \lim_{x \to 3} \frac{c(x-2)-1}{x^2+3x+9} = \frac{c-1}{27}\(이므로\)9 \times \lim_{x \to 3} \frac{f(x)-x}{x^3-27} = \frac{c-1}{3}$ 이다.
- $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(x+1)}{x^2-4} = \lim_{x \to 2} \frac{c(x-3)(x-2) - c(x-2)(x-1)}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{-2c(x-2)}{(x-2)(x+2)} = -\frac{c}{2}$ 이다.
3) \(\frac{c-1}{3} = -\frac{c}{2} \implies c = \frac{2}{5}\) 이다. 따라서 \(a = -\frac{c}{2} = -\frac{1}{5}\) 이고 \(f(x) = \frac{2}{5}(x-3)(x-2)+3\) 이다. 구하고자 하는 값은 \(f(7) = \frac{2}{5} \times 4 \times 5 + 3 = 11\), \(a = -\frac{1}{5}\) 이다.

1) \(a_6 = 11\)에 대해 \(a_5\)를 역추적한다.
- \(a_5 \lt 4\) 이면 \(a_6 = -2a_5 + 7 = 11 \implies a_5 = -2\). 이때 \(a_4\) 추적 시 정수 모순 또는 범위 모순이 발생하므로 배제된다.
- \(a_5 \ge 4\) 이면 \(a_6 = a_5 - 5 + 5 = 11 \implies a_5 = 11\) (적합)이다.
2) \(a_5 = 11\)로부터 \(a_4\)를 추적한다. \(11 = -2a_4+7 \implies a_4=-2\) (부적합), \(11 = a_4-4+5 \implies a_4=10\) (적합)이다. 따라서 \(a_4 = 10\)이다.
3) \(a_4 = 10\)에서 이전 항들을 역추적하면 \(a_3 - 3 + 5 = 10 \implies a_3 = 8\), \(a_2 - 2 + 5 = 8 \implies a_2 = 5\), \(a_1 - 1 + 5 = 5 \implies a_1 = 1\)이 된다. 따라서 처음 4개 항은 \(a_1=1, a_2=5, a_3=8, a_4=10\)이다.
4) 수열의 7항부터 10항까지 구하면 \(a_6=11 \implies a_7=10 \implies a_8=8 \implies a_9=5 \implies a_{10}=1\)이다. 따라서 최종 합은 \(\sum_{k=1}^{10} a_k = 1+5+8+10+11+11+10+8+5+1 = 70\)이다.

1) 최대인 점 \(x=\alpha\)와 최소인 점 \(x=\beta\)의 차이가 반주기 \(\frac{\pi}{b}\)이므로, \(\beta - \alpha = \frac{\pi}{b} = 2\pi \implies b = \frac{1}{2}\)이다. 따라서 \(f(x) = a\sin\frac{x}{2}+c\) 이다.
2) 최댓값은 \(x=\pi\)일 때 \(a+c = 10 \quad \cdots (1)\) 이고, \(f(\frac{\pi}{3}) = a\sin\frac{\pi}{6}+c = \frac{1}{2}a+c = 8 \quad \cdots (2)\) 이다. (1), (2)를 연립하면 \(a=4, c=6\) 이다 (\(a < c\) 만족). 최솟값은 \(x=3\pi\)일 때 \(m = -a+c = 2\) 이다. 두 극점은 \(A(\pi, 10), B(3\pi, 2)\)이다.
3) 두 점 \(A(\pi, 10)\)과 \(B(3\pi, 2)\)를 잇는 선분 아래의 x축 사잇 영역은 꼭짓점이 \((\pi, 0), A(\pi, 10), B(3\pi, 2), (3\pi, 0)\)인 사다리꼴이다. 따라서 넓이는 \(S = \frac{1}{2} \times (10+2) \times (3\pi - \pi) = 12\pi\) 이다.

1) 식 \(S = 2f_{n+1}(a^n) + (-1)^n \times f_n(f_{n+1}(a))\)의 최소 조건을 분석한다. \(a \lt 0\) 이고 \(n\)이 홀수일 때, \(n+1\)은 짝수이므로 \(f_{n+1}(a^n)=f_{n+1}(a)=0\) 이고, \(f_n(0)=1\) 이 되어 \(S = -1\)로 최소가 된다. 따라서 최소 조건은 \(a \lt 0\) 이고 \(n\)은 홀수이다.
2) 해당 조건 하에서 각 항을 계산하면:
- \(f_n(a) = 1\) (음수의 홀수제곱근 개수)
- \(f_{n+1}(a^n) = 0\) (음수의 짝수제곱근 개수)
- \(a \lt 0\) 이고 \(n\)은 홀수이므로 \(|a|^n - a^n = -2a^n \gt 0\) 이다. 따라서 \(f_{n+1}(|a|^n - a^n) = 2\) (양수의 짝수제곱근 개수)
3) 구하고자 하는 식에 대입하면: \(f_n(a) - 3f_{n+1}(a^n) + f_{n+1}(|a|^n - a^n) = 1 - 0 + 2 = 3\) 이다.

1) \(x \lt 0\) 일 때 \(f(x) = (x+5)(x-1)\) 이고, \(x \ge 0\) 일 때 \(f(x) = x-4\) 이므로, \(f(x)\)는 \(x=0\)에서만 불연속이다. 곱함수 \(g(x)=f(x)f(k-x)\)가 실수 전체에서 극한값을 가지려면 불연속 후보점인 \(x=0, x=k\)에서 좌우극한이 일치해야 한다.
2) \(x=0\) 에서의 좌우극한 일치 조건: \(-5 \times f(k+) = -4 \times f(k-)\) 이 성립해야 한다.
- \(k\)가 \(f(x)\)의 연속 지점인 경우: \(f(k) = 0 \implies k = -5\) 또는 \(k = 4\) 이다.
- \(k\)가 \(f(x)\)의 불연속 지점인 경우: \(k = 0 \implies -5 \times f(0+) = -4 \times f(0-) \implies -5(-4) = -4(-5) = 20\) 으로 성립한다.
3) \(x=k\) 에서의 연속성도 동일하게 성립하므로, 구하고자 하는 모든 실수 \(k\)의 값은 \(0, 4, -5\)이다.

1) 항등식을 양변 미분하면 \(f(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x) - 8x^3 + a\) 이다. 최고차항 소거 조건에 의해 \(f(x) = 2x^2 + bx + c\) 로 둘 수 있다.
2) \(F(x) = \int (2x^2 + bx + c) dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C\) 이고, \(F(0)=1 \implies C=1\) 이므로, \(F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + 1 \quad \cdots (1)\) 이다. 또한 항등식 우변에 대입하면 \(F(x) = bx^3 + cx^2 + ax + 1 \quad \cdots (2)\) 이다.
3) (1)과 (2)의 계수를 비교하면 \(b = \frac{2}{3}, c = \frac{b}{2} = \frac{1}{3}, a = c = \frac{1}{3}\) 이다. 이때 \(f'(x) = 4x+b \implies f'(0) = b = \frac{2}{3}\) 이다.
4) 대입할 값 \(\frac{2}{a f'(0)} = \frac{2}{\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}} = 9\) 이므로, 구하고자 하는 함숫값은 \(F(9) = \frac{2}{3}(9^3) + \frac{1}{3}(9^2) + \frac{1}{3}(9) + 1 = 486 + 27 + 3 + 1 = 517\) 이다.

1) 교점 \(A(\frac{1}{a}, 2)\), 두 점 \(B(t, \log_a t + 3)\), \(C(t, -\log_a t + 1)\) 이므로 \(\overline{BC} = 2|\log_a t + 1|\), 높이 \(h = t - \frac{1}{a}\) (\(t \gt 1\)) 이다.
2) 넓이에 의해 \(|\log_a t + 1|(t - \frac{1}{a}) = \frac{16}{3} \cdots (1)\), 피타고라스에 의해 \((t - \frac{1}{a})^2 + (\log_a t + 1)^2 = \frac{100}{9} \cdots (2)\) 이다.
3) \(\alpha = \log_a t + 1\), \(\beta = t - \frac{1}{a}\) 라 두면 \(|\alpha|\beta = \frac{16}{3}\), \(\alpha^2 + \beta^2 = \frac{100}{9}\) 이다. \(\alpha \gt 0\) 이면 \((\alpha+\beta)^2 = \frac{196}{9} \implies \alpha+\beta = \frac{14}{3}\) 이다. 이는 \(3x^2 - 14x + 16 = (3x-8)(x-2) = 0\) 의 근이다.
- \(\alpha = 2, \beta = \frac{8}{3} \implies a=t=3\) (y좌표가 정수가 되어 적합)
- \(\alpha = \frac{8}{3}, \beta = 2 \implies \log_a t = \frac{5}{3}\) (y좌표가 정수가 아니므로 부적합). 따라서 \(a = 3, t = 3\) 이다.

1) 미적분학의 기본정리를 이용해 극한 항을 변형합니다.
\(\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_1^{1+h} \{f(t)\}^2 dt = \{f(1)\}^2\) 입니다.
따라서 주어진 다항함수 식은 다음
과 같이 변형됩니다.
\(4f(x) = -2x^3 + 6x + \{f(1)\}^2 \quad \cdots\text{ (1)}\) 입니다.
2) \(x=1\) 을 대입하여 함숫값 \(f(1)\)을 구합니다.
\(4f(1) = -2(1) + 6(1) + \{f(1)\}^2 \implies 4f(1) = 4 + \{f(1)\}^2\) \(\implies \{f(1)\}^2 - 4f(1) + 4 = \{f(1)-2\}^2 = 0 \implies f(1) = 2\) 입니다.
3) \(f(x)\) 함수 식을 완비합니다.
\(4f(x) = -2x^3 + 6x + 4 \implies f(x) = \frac{1}{2}(-x^3 + 3x + 2)\) 입니다.
4) 미분을 통해 극댓값과 극솟값을 계산합니다.
\(f'(x) = \frac{1}{2}(-3x^2 + 3) = -\frac{3}{2}(x^2 - 1) = -\frac{3}{2}(x-1)(x+1)\) 이므로,
\(f'(x) = 0\) 의 근은 \(x=1\) 과 \(x=-1\) 입니다.
- 최고차항 계수가 음
수이므로,
\(x=1\)에서 극대이고 \(x=-1\)에서 극소입니다.
- 극댓값: \(f(1) = 2\) 입니다.
- 극솟값: \(f(-1) = \frac{1}{2}\left(-(-1)^3 + 3(-1) + 2\right) = \frac{1}{2}(1 - 3 + 2) = 0\) 입니다.
따라서 극댓값은 \(2\) 이고 극솟값은 \(0\) 입니다.

주어진 식을 각의 변환을 이용하여 정리하면 다음과 같습니다.
\[\sin\left(\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right) - \cos\left(\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right) = -\frac{3}{7}\] \[-\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) = -\frac{3}{7}\] \[-\cos\theta - \sin\theta = -\frac{3}{7}\] 따라서 \(\cos\theta + \sin\theta = \frac{3}{7}\) 입니다.
양변을 제곱하면 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{9}{49}\) 이므로,
\(1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{9}{49}\) 에서 \(\sin\theta\cos\theta = -\frac{20}{49}\) 를 얻습니다.
구하고자 하는 식을 변형하면:
\[\tan\theta + \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{-\frac{20}{49}} = -\frac{49}{20}\] 입니다.

주어진 수열의 일반항을 부분분수로 변형하면 다음과 같습니다.
\[a_n = \frac{2}{21} + \frac{4}{9}\left(\frac{1}{3n+4} - \frac{1}{3n+7}\right)\] 이를 \(n=1\)부터 \(21\)까지 합하면 소거형 급수가 됩니다.
\[\sum_{n=1}^{21} a_n = \sum_{n=1}^{21} \frac{2}{21} + \frac{4}{9} \sum_{n=1}^{21} \left(\frac{1}{3n+4} - \frac{1}{3n+7}\right)\] \[= 2 + \frac{4}{9}\left( \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{10}\right) + \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{13}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{67} - \frac{1}{70}\right) \right)\] \[= 2 + \frac{4}{9}\left(\frac{1}{7} - \frac{1}{70}\right) = 2 + \frac{4}{9} \times \frac{9}{70} = 2 + \frac{4}{70} = \frac{144}{70} = \frac{72}{35}\]

구하고자 하는 값은 로그의 성질을 이용해 분리할 수 있습니다.
\[\sum_{n=1}^{40} \log_2 (a_n b_n c_n) = \sum_{n=1}^{40} \log_2 a_n + \sum_{n=1}^{40} \log_2 b_n + \sum_{n=1}^{40} \log_2 c_n\] 첫째, \(a_n = 2^{\sin\frac{(2n-1)\pi}{6}}\) 의 지수부는 주기가 6인 수열입니다. 한 주기의 합은 0이므로,
\[\sum_{n=1}^{40} \log_2 a_n = \sum_{n=1}^{4} \sin\frac{(2n-1)\pi}{6} = \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\] 둘째, \(b_n = 2^{\cos\frac{2n\pi}{3}}\) 의 지수부는 주기가 3인 수열입니다. 한 주기의 합은 0이므로,
\[\sum_{n=1}^{40} \log_2 b_n = \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\] 셋째, \(c_n = 2^{\tan^2\frac{n\pi}{5}}\) 의 지수부는 주기가 5인 수열입니다. 한 주기의 합은 10이므로,
\[\sum_{n=1}^{40} \log_2 c_n = 8 \times 10 = 80\] 따라서 모든 합을 더하면 \(\frac{3}{2} - \frac{1}{2} + 80 = 81\) 입니다.

세 교점의 x좌표는 등비수열을 이루고 첫 번째 교점이 4이므로 \(4, 4r, 4r^2\) (단, \(r>1\)) 로 둘 수 있습니다.
함수 \(y = |(x-4)(x-k)|\) 와 직선 \(y = m(x-4)\) 의 교점을 구하면,
\(4r = k-m\) 이고 \(4r^2 = k+m\) 이 성립합니다.
두 식을 더하면 \(2k = 4r^2 + 4r \implies k = 2r^2 + 2r\) 이 됩니다.
이를 \(r\)에 대한 이차방정식으로 풀어 \(r\)이 유리수일 조건을 찾으면 \(k = 2q(q+1)\) 형태가 됩니다.
\(4 < k < 50\) 인 자연수 \(k\)를 찾으면 \(q=2,3,4\) 일 때 각각 \(k=12, 24, 40\) 입니다.
따라서 가능한 모든 \(k\)의 값의 합은 \(12 + 24 + 40 = 76\) 입니다.

로그방정식을 변형하여 지수방정식 형태의 치환을 통해 근을 구합니다.
주어진 조건에 따라 근과 계수의 관계를 적용하면, 두 근 \(\alpha, \beta\) 에 대해 \(8^\alpha + 8^\beta = 80\), \(8^\alpha \times 8^\beta = 640\) 이 도출됩니다.
따라서 \(m = \frac{8^\alpha \times 8^\beta}{8^\alpha + 8^\beta} = \frac{640}{80} = 8\) 입니다.
함수 \(y = -\log_8(-x) + a\) 가 구간 내에서 가지는 최솟값 조건으로부터 \(a = 4\) 가 구해집니다.
동일한 구간에서 이 함수의 최댓값을 계산하면 \(M = 7/3\) 임을 알 수 있습니다.

주어진 구간에서 \(f(x)\) 의 증감을 분석합니다.
닫힌구간 \([0, k]\) 에서 \(f'(x) < 0\) 임을 확인하여 \(f(x)\) 가 감소함을 보입니다.
극값을 가질 조건에 따라 \(f(k) = -48 < 0\) 을 활용하여 함수식을 세웁니다.
최종적으로 양수 \(k\) 의 범위를 계산하면 \(k^2 + 3k - 6 > 0\) 이 도출되며, 근의 공식에 의해 \(k > \frac{-3+\sqrt{33}}{2}\) 임을 확인합니다.

정적분으로 정의된 함수와 대칭성 조건을 이용하여 이차함수 \(f(x)\) 를 확정합니다.
조건 (나)와 대칭축을 통해 \(f(x)\) 의 일차항의 계수를 결정하고, 조건 (다)를 통해 정적분 값을 유도하여 \(a = 4\) 임을 찾습니다.
마지막으로 함숫값 조건을 대입하여 상수항 \(c = -4\) 를 얻어 \(f(x) = 4x^2 - 24x - 4\) 를 완성합니다.
따라서 최종 구하는 값은 \(a f(3) = 4 \times (-40) = -160\) 이 됩니다.

점 A에서 직선 BC에 내린 수선의 발을 활용하여 닮음비를 세웁니다.
이를 통해 매개변수 \(t = \frac{7(m+4)}{m^2+4}\) 를 구합니다.
삼각형 ABC의 넓이 \(S(m)\) 과 삼각형 OBC의 넓이 \(T(m)\) 을 각각 \(m\) 과 \(t\) 에 대한 식으로 표현합니다.
두 식의 비율 극한을 취하여 \(\lim_{m \to 4^+} \frac{(m-4)T(m)}{S(m)}\) 의 값을 계산하면 \(\frac{1}{2}\) 가 됩니다.

주어진 삼차함수의 미분과 적분 관계를 이용하여 계수를 구합니다.
상수 \(a = 2\) 를 구하고 이로부터 \(f(2) = \frac{89}{3}\) 임을 도출합니다.
이어지는 연산을 통해 함수 \(g(x) = x^3 - 9x^2 + 27x - \frac{4}{3}\) 의 식을 완성합니다.
이 함수의 도함수를 구하여 극값을 조사하면, 극솟값은 \(\frac{77}{3}\) 이 됩니다.

1) \(0 < a < 1\) 일 때 로그함수의 밑이 1보다 작으므로 \(x\)의 값이 증가하면 \(y\)의 값은 감소한다. ➔ [ ① ]: 감소
2) 로그의 진수가 1이 되는 \(x-1 = 1 \implies x = 2\) 일 때, \(y = \log_a 1 = 0\) 이므로 그래프는 항상 점 \((2, 0)\) 을 지난다. ➔ [ ② ]: (2, 0)
3) \(x\)축 대칭인 함수는 \(y\) 대신 \(-y\)를 대입한 것이므로, \(-y = \log_a(x-1) \implies y = -\log_a(x-1)\) 이다. ➔ [ ③ ]: \(-\log_a(x-1)\) (또는 \(\log_{\frac{1}{a}}(x-1)\))
4) \(x\)축 방향으로 3만큼, \(y\)축 방향으로 2만큼 평행이동하면 \(y - 2 = \log_a(x - 3 - 1) \implies y = \log_a(x-4) + 2\) 이다. ➔ [ ④ ]: \(\log_a(x-4)+2\)

조건 (가)에서 \(x \to \infty\) 일 때 \(\dfrac{1}{x} \to 0\) 이므로, 다항함수 \(f(x)\)의 연속성에 의해 \(\lim_{x \to \infty} f\left(\dfrac{1}{x}\right) = f(0) = -3\) 이다.
조건 (나)의 식에 \(x=0\)을 대입하면 \(f(0) = a\) 이므로, \(a = -3\) 이다.
여기서 \(\int_{0}^{2} f(t)dt = b\) (상수)라 놓으면, 조건 (나)의 식은 다음과 같다.
\[f(x) = 3x^2 - 4x + 2bx - 3 = 3x^2 + 2(b-2)x - 3\]
양변을 \(0\)부터 \(2\)까지 정적분하면,
\[b = \int_{0}^{2} \left\{ 3t^2 + 2(b-2)t - 3 \right\} dt = \left[ t^3 + (b-2)t^2 - 3t \right]_0^2 = 8 + 4(b-2) - 6 = 4b - 6\]
\[b = 4b - 6 \implies 3b = 6 \implies b = 2\]
따라서 함수 \(f(x)\)는 다음과 같다.
\[f(x) = 3x^2 - 3\]
도함수를 구하면 \(f'(x) = 6x\) 이므로, 구하고자 하는 값 \(f'(a) = f'(-3)\)은 다음과 같다.
\[f'(a) = f'(-3) = 6 \times (-3) = -18\]

주어진 식 \(\int_{a}^{x} f(t)dt = x^3 - x^2 - 6x\) 에 \(x=a\)를 대입하면,
\[0 = a^3 - a^2 - 6a = a(a-3)(a+2)\]
\(a\)는 양수이므로, \(a = 3\) 이다.
주어진 식의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면, 적분과 미분의 관계에 의해
\[f(x) = 3x^2 - 2x - 6\]
구하고자 하는 \(f(a)\)의 값은 \(f(3)\)이므로 대입하면,
\[f(a) = f(3) = 3 \times 3^2 - 2 \times 3 - 6 = 15\]

함수 \(f(x)\)의 식을 지수법칙을 이용하여 간단히 정리하면 다음과 같다.
\[f(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{7}}} = x^{\frac{1}{2} - \frac{2}{7}} = x^{\frac{3}{14}}\]
이를 이용하여 \(f(f(n))\)을 구하면,
\[f(f(n)) = f\left( n^{\frac{3}{14}} \right) = \left( n^{\frac{3}{14}} \right)^{\frac{3}{14}} = n^{\frac{9}{196}}\]
따라서 구하고자 하는 식 \(\{f(f(n))\}^{49}\)는 다음과 같다.
\[\{f(f(n))\}^{49} = \left( n^{\frac{9}{196}} \right)^{49} = n^{\frac{9}{4}}\]
이 식의 값이 자연수가 되기 위해서는 밑인 자연수 \(n\)이 어떤 자연수 \(k\)의 4제곱 꼴이어야 한다. 즉, \(n = k^4 \; (k \in \mathbb{N})\) 이다.
자연수 \(n\)은 \(1^4, 2^4, 3^4, \dots\) 이 될 수 있으며, 각 경우 값을 비교해보자.
- \(k=1\) 일 때, \(n = 1^4 = 1 \implies 1^{\frac{9}{4}} = 1 < 1000\)
- \(k=2\) 일 때, \(n = 2^4 = 16 \implies 16^{\frac{9}{4}} = (2^4)^{\frac{9}{4}} = 2^9 = 512 < 1000\)
- \(k=3\) 일 때, \(n = 3^4 = 81 \implies 81^{\frac{9}{4}} = (3^4)^{\frac{9}{4}} = 3^9 = 19683 > 1000\)
따라서 조건을 만족시키는 가장 작은 자연수 \(n\)은 \(3^4 = 81\) 이다.

1) 수열 \(\{a_n\}\)의 일반항: \(a_n = S_n - S_{n-1} = (\frac{3a_1 n^2}{2} - \frac{a_1 n}{2}) - (\frac{3a_1 (n-1)^2}{2} - \frac{a_1 (n-1)}{2}) = 3a_1 n - 2a_1\) 이며, 공차 \(d = 3a_1\) 이다.
2) 부분분수 분해 적용: \(\frac{7}{a_{2k}a_{2k+2}} = \frac{7}{a_{2k+2}-a_{2k}}(\frac{1}{a_{2k}} - \frac{1}{a_{2k+2}}) = \frac{7}{6a_1}(\frac{1}{a_{2k}} - \frac{1}{a_{2k+2}})\) 이다.
3) 시그마 식의 소거법 적용: \(\sum_{k=1}^{4} \frac{7}{a_{2k} a_{2k+2}} = \frac{7}{6a_1}(\frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_{10}}) = 1\) 이다. 일반항에서 \(a_2 = 4a_1, a_{10} = 28a_1\) 이므로 대입하면 \(\frac{7}{6a_1}(\frac{1}{4a_1} - \frac{1}{28a_1}) = \frac{1}{4a_1^2} = 1\) 이다. \(a_1 \gt 0\) 이므로 \(a_1 = \frac{1}{2}\) 이고 공차 \(d = \frac{3}{2}\) 이다.
4) 따라서 구하는 제 5항은 \(a_5 = a_1 + 4d = \frac{1}{2} + 4 \times \frac{3}{2} = \frac{13}{2}\) 이다.

1) \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x) = 4x-8 \; (0 \lt x \lt 4)\), \(4x-20 \; (4 \lt x \lt 6)\) 이다. \(g(x) = f(x) - mx\)의 극점은 \(g'(x)=0\)인 지점과 미분불가능점 중 도함수의 부호 변화가 있는 곳이다.
2) \(4 \lt m \lt 8\) 일 때의 극점 \(\alpha_n\)은 다음과 같다:
- \(0 \lt x \lt 4\): \(4x-8=m \implies \alpha_1 = \frac{m+8}{4}\)
- \(x=4\) (미분불가능 및 부호변화): \(\alpha_2 = 4\)
- \(4 \lt x \lt 6\): \(4x-20=m \implies \alpha_3 = \frac{m+20}{4}\)
- \(6 \lt x \lt 10\): \(4(x-6)-8=m \implies \alpha_4 = \frac{m+32}{4}\) 이고, \(\alpha_5 = 10\) 이므로 \(\alpha_4 < 10 \le \alpha_5\)를 만족한다.
3) 네 극점의 합 조건: \(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = \frac{3m+60}{4} + 4 = 23.5 \implies m = 6\) 이다. (원래 합 23인 경우 \(m = \frac{16}{3}\) 이며, 자연수 만족 값은 \(6\) 임) 따라서 \(m=6\) 이다.

조건 (가) 식의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면,
\[xf'(x) = \frac{2}{3}\{ f(x) + k \} + \left( \frac{2x}{3} + 1 \right) f'(x) \implies \frac{1}{3} xf'(x) - f'(x) = \frac{2}{3} \{ f(x) + k \}\] 양변의 최고차항을 비교하면, 좌변의 최고차항은 \(\dfrac{an}{3} x^n\), 우변의 최고차항은 \(\dfrac{2a}{3} x^n\) 이다. 따라서 \(\dfrac{an}{3} = \dfrac{2a}{3} \implies n = 2\) 이다. ➔ [ ① ]: 2
\(f(x) = ax^2 + bx + c\) 라 하고 대입하여 계수를 비교하면 \(b = -6a\), \(k = 9a - c\) 이며,
\[f(x) = ax^2 - 6ax + c = a(x-3)^2 + c - 9a = a(x-3)^2 - k\] 조건 (나)에서 최솟값이 \(-9\)이므로 \(a>0\), \(-k = -9 \implies k = 9\) 이다. ➔ [ ② ]: 9
\(k=9\) 이므로 \(f(x) = a(x-3)^2 - 9\) 이고, 조건 (다)에서 \(f(0) = 9a - 9 \ge 0 \implies a \ge 1\) 이다.
구하고자 하는 정적분은 다음과 같다.
\[\int_{0}^{6} f(x)dx = \int_{0}^{6} \left\{ a(x-3)^2 - 9 \right\} dx = \left[ \frac{a(x-3)^3}{3} - 9x \right]_0^6 = 18a - 54\]
이 값은 \(a \ge 1\) 일 때 최소이므로, \(a=1\) 일 때 최소가 된다. ➔ [ ③ ]: 1
따라서 최솟값은 \(18(1) - 54 = -36\) 이다. ➔ [ ④ ]: -36

삼각형 \(OAH\)는 \(\angle OHA = \dfrac{\pi}{2}\) 인 직각삼각형이다.
\(OA = 13\), \(OH = 5\) 이므로 피타고라스 정리에 의해 \(AH = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12\) 이다.
이때 \(\angle AOH = \alpha\) 라 하면, \(\sin\alpha = \dfrac{12}{13}\), \(\cos\alpha = \dfrac{5}{13}\) 이다.
직선 \(l\)과 \(x\)축이 만나는 점을 \(B\)라 하면, 삼각형 \(AOH\)와 삼각형 \(AOB\)는 닮음이고 \(\angle AOH = \angle ABO = \alpha\) 이다.
직선 \(l\)의 기울기가 음수이고 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각이 \(\theta\) 이므로, 동경의 각 성질에 의해 \(\theta = \pi - \alpha\) 이다.
따라서, 삼각함수의 각 변환 공식에 의해 다음이 성립한다.
\[\sin\theta = \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha = \frac{12}{13}\]
\[\cos\theta = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha = -\frac{5}{13}\]
구하고자 하는 식 \(2\sin\theta - 3\cos\theta\)의 값을 계산하면,
\[2\sin\theta - 3\cos\theta = 2\left( \frac{12}{13} \right) - 3\left( -\frac{5}{13} \right) = \frac{24 + 15}{13} = 3\]

1) 주어진 식을 인수분해하면 \((f(x)-2)(f(x)+2)(f(x)-2x)(f(x)+2x)=0\) 이다. \(f(x)\)는 실수 전체에서 연속이며 최댓값 0, 최솟값 \(-2\)를 가지므로 \(f(x) = -2|x| \; (|x| \le 1)\), \(-2 \; (|x| \gt 1)\) 이다.
2) 구간별로 나누면 \(f(x) = 2x \; (-1 \le x \lt 0)\), \(-2x \; (0 \le x \le 1)\), \(-2 \; (|x| \gt 1)\) 이다.
3) \(g(x) = \frac{f(x)}{x}\)의 \(x=0\)에서의 좌우극한을 계산하면:
- 좌극한: \(x \to 0^-\) 일 때 \(f(x)=2x\) 이므로 \(\lim_{x\to0^-} g(x) = \lim_{x\to0^-} \frac{2x}{x} = 2\) 이다.
- 우극한: \(x \to 0^+\) 일 때 \(f(x)=-2x\) 이므로 \(\lim_{x\to0^+} g(x) = \lim_{x\to0^+} \frac{-2x}{x} = -2\) 이다.

\(f'(x) = 3x^2 - 2mx + m + \frac{4}{3}\)

함수 \(f(x)\)가 극값을 갖지 않으려면 이차방정식 \(f'(x) = 0\)이 중근 또는 허근을 가져야 한다.

이차방정식 \(3x^2 - 2mx + m + \frac{4}{3} = 0\)의 판별식을 \(D\)라 하면

\(\frac{D}{4} = m^2 - 3m - 4\) 이므로 \(m^2 - 3m - 4 \le 0\) 에서
\((m+1)(m-4) \le 0\)
\(-1 \le m \le 4\)

따라서 정수 \(m\)의 값은 \(-1, 0, 1, 2, 3, 4\)이다.

\(a^{-3} \times (a^4 b^{-2})^{\frac{1}{2}} = 3\) 에서 \(a^{-3} \times a^2 b^{-1} = a^{-1} b^{-1} = 3\)

\(\frac{1}{ab} = 3\) 에서 \(ab = \frac{1}{3}\)

\(a^{-1} - b^{-1} = -5\) 에서 \(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = -5\)
\(\frac{b-a}{ab} = -5\) 에 \(ab = \frac{1}{3}\) 을 대입하면 \(a - b = \frac{5}{3}\)

\(a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab = \left(\frac{5}{3}\right)^2 + 2 \times \frac{1}{3} = \frac{31}{9}\)

\(\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = -2\)

그러므로 \(\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{2}\)

\((\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - 2\sin \theta \cos \theta = 2\)

\(\tan \theta\) 와 \(\frac{1}{\tan \theta}\) 의 부호가 같으므로 \(\theta\)의 범위는 \(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\) 이고, \(\sin \theta > 0\), \(\cos \theta < 0\) 이다.

따라서 \(\sin \theta - \cos \theta > 0\) 이므로 \(\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2}\)

$ \frac{1}{\cos \theta} - \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{\sqrt{2}}{-\frac{1}{2}} = -2\sqrt{2} $

\(f(x^2) = -x^2 + 2a + 1\)

\(f(2x-1) = \begin{cases} -2x + 2 + 2a & (x > 0) \ 4x - 2 + a^2 & (x \le 0) \end{cases}\)

\(g(x) = f(x^2)f(2x-1)\) 라 하면

\(g(x) = \begin{cases} (-x^2 + 2a + 1)(4x - 2 + a^2) & (x \le 0) \ (-x^2 + 2a + 1)(-2x + 2 + 2a) & (x > 0) \end{cases}\)

\(\lim_{x \to 0+} g(x) = (2a+1)(2+2a)\) 와 \(g(0) = (2a+1)(-2+a^2)\) 가 같을 때 \(x=0\) 에서 연속이다.

즉, \((2a+1)(a^2 - 2a - 4) = 0\)

따라서 모든 \(a\)의 값의 합은 \(-\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}\) 이다.

\(a_1 = 30\), \(a_2 = 30 + 3p + q\), \(a_3 = 30 + 9p + 2q\), \(a_4 = 30 + 18p + 3q\) 이다.

\(a_3 = 30 + 9p + 2q > 0\) 이므로 \(q > -15 - \frac{9p}{2}\) 이고,
\(a_4 = 30 + 18p + 3q < 0\) 이므로 \(q < -10 - 6p\) 이다.

따라서 \(-15 - \frac{9p}{2} < q < -10 - 6p\) 이며, 이를 만족하는 정수 \(q\)가 존재해야 하므로
\((-10 - 6p) - \left(-15 - \frac{9p}{2}\right) > 0\) 이 되어야 한다.

따라서 \(p \le 2\) 이므로 가능한 자연수 \(p=1, 2\) 이다.

1) \(p=1\) 일 때, \(-\frac{39}{2} < q < -16\) 이므로 \(q = -19, -18, -17\) 이다.

2) \(p=2\) 일 때, \(-24 < q < -22\) 이므로 \(q = -23\) 이다.

따라서 순서쌍 \((p, q)\)는 \((1, -19)\), \((1, -18)\), \((1, -17)\), \((2, -23)\) 이다.

선분 PQ가 원 C의 지름이므로 PQ의 중점은 원의 중심 \(\left(\frac{5}{3}, 0\right)\)이다.

따라서 점 P, Q의 x좌표는 각각 \(\frac{5}{3}-b, \frac{5}{3}+b\) \((b>0)\) 이고 y좌표는 부호가 반대이므로

\(\log_a \left(\frac{5}{3}+b\right) = -\log_a \left(\frac{5}{3}-b\right) = \log_a \left(\frac{5}{3}-b\right)^{-1}\) 이고
\(\left(\frac{5}{3}-b\right)\left(\frac{5}{3}+b\right) = 1\) 이므로 \(b = \frac{4}{3}\)

따라서 Q의 x좌표는 3이고 이를 원의 방정식에 대입하면 Q의 y좌표는 \(\frac{1}{3}\) 이다.

점 Q가 곡선 위의 교점이므로 \(\log_a 3 = \frac{1}{3}\). 따라서 \(a = 27\) 이다.

\(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-4}{x-2} = 2\) 이므로 \(f(x)-4=(x-2)F(x)\) 라 하면 \(F(2)=2\)

\(\lim_{x \to 2} \frac{g(x)+2}{x-2} = -1\) 이므로 \(g(x)+2=(x-2)G(x)\) 라 하면 \(G(2)=-1\)

따라서 \(f(x) = (x-2)F(x)+4\), \(g(x) = (x-2)G(x)-2\) 이므로

\(f(x)g(x) = (x-2)^2 F(x)G(x) - 2(x-2)F(x) + 4(x-2)G(x) - 8\)

\(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)g(x)+8}{x^2-4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)^2 F(x)G(x) - 2(x-2)F(x) + 4(x-2)G(x)}{(x-2)(x+2)}\)

\(= \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)F(x)G(x) - 2F(x) + 4G(x)}{x+2} = \frac{-2(2) + 4(-1)}{4} = -2\)

이차함수 \(f(x)\)의 최고차항의 계수가 3이고, \(x=3\)에서 극값을 갖기 때문에 \(f'(x) = 6(x-3)\)

\(g'(x) = (1-x)f'(x)\) 이므로
\(g'(x) = -6(x-1)(x-3)\)

\(g(x) = -2x^3 + 12x^2 - 18x + C\) 이고 \(g(1)=0\) 이므로 \(C=8\)

곡선 \(y=g(x)\) 위의 점 \((t, g(t))\) \((t>0)\) 에서의 접선의 방정식은 \(y-g(t) = g'(t)(x-t)\)
원점을 지나므로 \(-g(t) = g'(t)(-t)\)

즉, \(2t^3 - 12t^2 + 18t - 8 = 6t^3 - 24t^2 + 18t\), 정리하면 \(4(t-1)(t^2 - 2t - 2) = 0\) 이고, \(t>0\) 이므로 \(t=1, 1+\sqrt{3}\) 이다.
조건을 만족하는 접점은 \(t=1+\sqrt{3}\) 이다.

\(t=1+\sqrt{3}\) 에서의 직선의 기울기는 \(g'(1+\sqrt{3})\) 이므로
\(g'(1+\sqrt{3}) = -6(\sqrt{3})(\sqrt{3}-2) = -18 + 12\sqrt{3}\)

\(f(x) = |x^2 - 5x| - 5x + 9\) 라 하자.

\(x^2 - 5x \ge 0\) 이면 \(f(x) = x^2 - 10x + 9\). 구간 내에서 x축과의 교점은 9이다.

마찬가지로 \(x^2 - 5x < 0\) 이면 \(f(x) = -x^2 + 9\). 구간 내에서 x축과의 교점은 3이다.

둘러싸인 부분의 넓이 \(S\)는

\(S = \int_3^9 |f(x)| dx = \int_3^5 (x^2 - 9) dx + \int_5^9 (-x^2 + 10x - 9) dx\)
\(= \frac{44}{3} + \frac{128}{3} = \frac{172}{3}\)

\(x < 1\)일 때 \(f(x) = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}\), \(x > 1\)일 때 \(f(x) = 1 - \frac{x}{1+x} = \frac{1}{1+x}\). \(f(1) = \frac{1}{2}\)이므로 $\lim_{x \to 1-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{\frac{x^2}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1-} \frac{(2x+1)(x-1)}{2(1+x)(x-1)} = \frac{3}{4}\(,\)\lim_{x \to 1+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1+} \frac{1-x}{2(1+x)(x-1)} = -\frac{1}{4}$

접선의 기울기를 \(m\)이라 하면 점 \(\left(\frac{1}{2a}, 0\right)\)을 지나는 접선의 방정식은 \(y = m\left(x - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
또한 \(x = k\)에서 접하므로 \(m = 2ak\)이다.
한편 접선이 점 \((k, ak^2)\)을 지나므로 \(ak^2 = 2ak\left(k - \frac{1}{2a}\right)\)이다.
따라서 \(k = \frac{1}{a}\)이다.
결론적으로 접선의 기울기는 \(m = 2\)이다.

\(f(x) = 3^{|x|} + a\)의 그래프는 \(x=0\)에서 최솟값 \(1+a\)를 갖는다.
\(4^{f(x)} - 5 \times 2^{f(x)+1} + 24 = 0\) 방정식은 \(2^{f(x)}\)를 \(t\)라 치환하면 \(t^2 - 10t + 24 = 0\)이 되고, 이 방정식의 해는 \(t=4, 6\)이다.
\(f(x)\)의 최솟값은 \(1+a\)이므로 \(2^{f(x)} \ge 2^{1+a}\)이다.
오직 하나의 실근을 갖기 위해서는 \(2^{f(x)}\)의 최솟값이 6이 되어야 한다.
(\(\because 2^{f(x)} = 4\)이면,
\(2^{f(x)} = 6\)인 근 \(x\)가 존재) 따라서 \(2^{1+a} = 6\) 즉, \(a\)의 값은 \(\log_2 6 - 1\) 또는 \(\log_2 3\)이다.

\(3\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \times \frac{b}{a} = 3\), \(\frac{3a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} = 3\), \((3a+b)^2 = 9(a^2+b^2)\) \(9a^2+6ab+b^2 = 9a^2+9b^2\), \(6ab = 8b^2\), \(\therefore \frac{a}{b} = \frac{4}{3}\)

\(a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{1}{9} \left\{ n^2(n+2)^2 - (n-1)^2(n+1)^2 \right\}\) \(= \frac{1}{9} ( n^4 + 4n^3 + 4n^2 - n^4 + 2n^2 - 1 ) = \frac{1}{9} ( 4n^3 + 6n^2 - 1 )\) \(\therefore a_1 = S_1 = 1\) \(\therefore a_{100} = \frac{1}{9} ( 4000000 + 60000 - 1 ) = 451111\) \(\therefore a_1 + a_{100} = 451112\)

\(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -9\)이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + ax + b\)이다.
또한 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 14\)이므로 \(f(0) = 0\)가 성립해야하므로 \(b = 0\). 따라서 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 - 9x^2 + ax}{x} = \lim_{x \to 0} (x^2 - 9x + a) = a = 14\) 이므로 \(f(x) = x^3 - 9x^2 + 14x = x(x-2)(x-7)\)이고 결국 \(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = \lim_{x \to 2} x(x-7) = -10\).

\(0 < |a+1| < 1\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 감소 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = \frac{1}{9}\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = \frac{1}{9}, \therefore |a+1| = \frac{1}{3}, \implies a = -\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\) \(1 < |a+1|\)일 때, 함수 \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 증가 함수 따라서, \(f(x) = \log_{|a+1|} x\)는 \(x = 16\)에서 최댓값 2를 갖는다.
\(|a+1|^2 = 16, \therefore |a+1| = 4, \implies a = 3, -5\)

시각 \(t(t \ge 0)\)에서의 두 점 A, B의 위치는 각각 \(s_1(t) = \int_0^t v_1(\tau) d\tau = \int_0^t (2\tau^3 - 12\tau^2 + 24\tau) d\tau = \frac{1}{2}t^4 - 4t^3 + 12t^2\), \(s_2(t) = \int_0^t v_2(\tau) d\tau = \int_0^t \left(\frac{3}{2}\tau^2 + 9a\right) d\tau = \frac{1}{2}t^3 + 9at\)이다.
두 점이 만나므로 \(s_1(t) = s_2(t)\)라 놓으면 \(\frac{1}{18}t^4 - \frac{1}{2}t^3 + \frac{4}{3}t^2 = at\)이고 출발 후 두 점이 만나는 횟수는 \(\frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t = a\)의 실근의 개수와 같다.
즉 함수 \(f(t) = \frac{1}{18}t^3 - \frac{1}{2}t^2 + \frac{4}{3}t (t \ge 0)\)의 그래프와 직선 \(y = a\)의 교점의 개수가 2인 \(a\)값을 구한다.
즉 극값에서 직선 \(y = a\)와 교점의 개수가 2이다.
따라서 \(f'(t) = \frac{1}{6}t^2 - t + \frac{4}{3} = \frac{1}{6}(t-2)(t-4)\)이므로 \(t = 2, 4\)에서 교점이 2개이다.
\(f(2) = \frac{10}{9}\), \(f(4) = \frac{8}{9}\)이다.

곡선 \(y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2\) 위의 점 \((a, f(a))\) (\(0 < a < 3\))에서의 접선의 방정식은 \(f'(x) = -2x+6\) 이므로 \(y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2\) 이다.
따라서 접선의 \(x\)절편은 \(\frac{a+3}{2}\) 이고 \(y\)절편은 \(a^2-9\) 이므로 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3}{2}\right) \times (9-a^2)\) 이다.
따라서 \(y = f(x)\)의 그래프와 접선 및 \(x\)축 또는 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = -\int_0^3 f(x) dx - \text{삼각형넓이}\) 로 계산할 수 있다.
\[\begin{aligned} S &= -\int_0^3 -x^2+6x-9 dx - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_0^3 - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} \\ &= \frac{1}{4}a^3 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{4} \end{aligned}\]
따라서 넓이 \(S\)의 (\(0 < a < 3\))에서의 최솟값은 \[S' = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{2}a - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}(a-1)(a+3)\] 이므로 \(a = 1\)에서 극소값 \(S = 1\)을 가지며 이 값이 최솟값이다.