로그의 진수의 조건에 의하여 \(x-6 > 0\), \(x^2-16 > 0\), \(x+4 > 0\)이므로 \(x > 6\)이다. \(\log_{\sqrt{3}} (x-6) = \log_3 (x^2-16) + \log_{\frac{1}{3}} (x+4)\)에서 \(\log_3 (x-6)^2 = \log_3 \frac{x^2-16}{x+4}\) 이므로 \(x^2-12x+36 = x-4\), 즉 \((x-8)(x-5)=0\)이다. 따라서 진수 조건을 만족시키는 해는 \(x=8\)이다.

\((x - n^2)\{x - (12n + 13)\} \le 0\) 이고, \(n^2 = 12n + 13\)을 만족하는 자연수는 \(n = 13\)이다. 따라서 \(n=1\)부터 \(n=13\)일 때까지는 \(a_n = 12n + 14 - n^2\)이고, \(n=14\)부터는 \(a_n = n^2 - 12n - 12\)이다. 이를 이용하여 합을 구하면 다음과 같다.\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{13} a_k &= \sum_{k=1}^{13} (12k + 14 - k^2) \\ &= 12 \times \frac{13 \times 14}{2} + 14 \times 13 - \frac{13 \times 14 \times 27}{6} = 455 \end{aligned}\]또한 \(a_{14} = 16\), \(a_{15} = 33\)이므로, 구하고자 하는 값은 \(\sum_{k=1}^{15} a_k = 455 + 16 + 33 = 504\)이다.

1) \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+x^3}{x^2} = 5\)에서 분자의 최고차항 차수와 계수가 분모와 같아야 하므로, \(f(x)\)는 삼차식이고 최고차항 부분이 \(-x^3 + 5x^2\) 이어야 합니다. 즉, \(f(x) = -x^3 + 5x^2 + ax + b\)로 놓을 수 있습니다. 2) \(\lim_{x \to 0} \left\{\left(x^2 - \frac{1}{x}\right) f(x)\right\} = 4\)를 정리합니다. \(\left(x^2 - \frac{1}{x}\right) f(x) = \frac{x^3 - 1}{x} f(x) = (x^3 - 1) \frac{f(x)}{x}\) 이므로, \(\lim_{x \to 0} (x^3 - 1) \frac{f(x)}{x} = -\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 4 \implies \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = -4\) 입니다. \(f(0) = 0\) 이고 \(f'(0) = -4\) 이므로, \(b = 0\), \(a = -4\) 입니다. 따라서 다항함수는 \(f(x) = -x^3 + 5x^2 - 4x\) 입니다. 3) 구하고자 하는 식에 대입해 극한값을 구합니다. \(\lim_{x \to 1} \left\{\left(x^2 - \frac{1}{x}\right) \frac{1}{f(x)}\right\} = \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x \cdot f(x)}\) 여기서 \(f(x) = -x(x^2 - 5x + 4) = -x(x-1)(x-4)\) 이고, \(x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\) 이므로, \(\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{-x^2(x-1)(x-4)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{-x^2(x-4)} = \frac{1+1+1}{-1(1-4)} = \frac{3}{3} = 1\) 입니다. 따라서 최종 구하는 값은 \(1\)입니다.

1) 상수항이 \(0\)이므로 \(f(0) = 0\) 입니다. 곡선 위의 점 \((0,0)\)에서의 접선의 방정식은 \(y = f'(0)x\) 가 되고, 이 접선이 점 \(\left(-\frac{1}{3}, -3\right)\) 을 지나므로: \(-3 = f'(0) \left(-\frac{1}{3}\right) \implies f'(0) = 9\) 입니다. 2) 조건 (나)에 의해 \(f'(x) = 3a(x + 3k)(x - k) = 3ax^2 + 6akx - 9ak^2\) 입니다. \(f'(0) = -9ak^2 = 9 \implies\)a_k\(^2 = -1 \implies a = -\frac{1}{k^2}\) 입니다. \(k\)가 자연수이므로 \(a < 0\) 이며, \(f(x)\)는 \(x = -3k\)에서 극솟값, \(x = k\)에서 극댓값을 가집니다. 3) 적분을 통해 삼차함수식을 구하면 \(f(x) = ax^3 + 3akx^2 - 9ak^2 x\) 이며, 극댓값은: \(f(k) =\)a_k\(^3 + 3ak^3 - 9ak^3 = -5ak^3 = -5\left(-\frac{1}{k^2}\right)k^3 = 5k\) 입니다. 조건 (다)에서 \(t=5\) 주변에서 미분불가능 개수 \(h(t)\)의 좌/우극한과 함숫값의 합이 \(5\)가 되려면 \(5\)가 극댓값이어야 하므로: \(5k = 5 \implies k = 1\) 이고 \(a = -1\) 입니다. 따라서 삼차함수는 \(f(x) = -x^3 - 3x^2 + 9x\) 가 됩니다. 4) 구하고자 하는 함숫값은: \(f(2) = -2^3 - 3(2^2) + 9(2) = -8 - 12 + 18 = -2\) 입니다.

1) 삼각형의 변을 \(a = \overline{BC}\), \(b = \overline{AC}\), \(c = \overline{AB}\)라 하면, 조건 (가)는 \(a \cos C - c \cos A = b\) 입니다. 삼각형의 제일사인법칙 \(b = a \cos C + c \cos A\) 를 대입하면: \(a \cos C - c \cos A = a \cos C + c \cos A \implies -2c \cos A = 0\) 이고, \(c > 0\) 이므로 \(\cos A = 0\) 입니다. 따라서 \(0 \lt A \lt \pi\) 이므로 \(\angle A = 90^\circ\) 입니다. 2) 삼각형 내각의 합 \(A + B + C = \pi \implies A + C = \pi - B\) 이므로, \(\frac{A-B+C}{2} = \frac{\pi - 2B}{2} = \frac{\pi}{2} - B\) 입니다. 이를 조건 (나)에 대입하면: \(\frac{1}{2} \sin A = \sin\left(\frac{\pi}{2} - B\right) \sin C = \cos B \sin C\) 입니다. \(A = 90^\circ\) 이므로 \(\sin A = 1\) 이고, \(C = 90^\circ - B \implies \sin C = \cos B\) 가 성립하므로: \(\frac{1}{2} = \cos^2 B \implies \cos B = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \angle B = 45^\circ\) 입니다. 따라서 \(\angle C = 45^\circ\) 이며, 삼각형 \(ABC\)는 직각이등변삼각형입니다. 3) 빗변의 길이 \(a = 7\) 이므로, 구하고자 하는 변의 길이는: \(\overline{AB} = c = 7 \sin 45^\circ = \frac{7\sqrt{2}}{2}\) 입니다. 따라서 \(\angle A = 90^\circ\), \(\overline{AB} = \frac{7\sqrt{2}}{2}\) 입니다.

1) 부분적분법 \(\int_0^x t f'(t) dt = x f(x) - \int_0^x f(t) dt\) 와 적분 성질 \(x \int_0^x f'(t) dt = x f(x) - x f(0)\) 을 좌변에 대입하여 식을 정리합니다. \(f(x) + (x f(x) - x f(0)) - \left(x f(x) - \int_0^x f(t) dt\right) = g(x) \implies f(x) - x f(0) + \int_0^x f(t) dt = g(x)\) 이며, \(x=0\)을 대입하면 \(f(0) = g(0) = 0\) 임을 알 수 있습니다. 따라서 \(f(x) + \int_0^x f(t) dt = g(x)\) 가 성립합니다. 2) 양변을 미분하면: \(f'(x) + f(x) = g'(x)\) 가 됩니다. \(g(x)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)이고 원점 대칭인 삼차함수이므로 \(g(x) = x^3 + cx \implies g'(x) = 3x^2 + c\) 입니다. \(f'(x) + f(x) = 3x^2 + c\) 이므로 \(f(x)\)는 최고차항 계수가 3인 이차함수여야 합니다. \(f(x) = 3x^2 + qx\) 로 두면 (\(f(0)=0\)이므로 r=0), \(f'(x) = 6x + q\) 입니다. 대입하면: \((6x + q) + (3x^2 + qx) = 3x^2 + (6 + q)x + q = 3x^2 + c\) 입니다. 계수비교에 의해: \(6 + q = 0 \implies q = -6\) 이고 \(c = q = -6\) 입니다. 따라서 \(f(x) = 3x^2 - 6x\), \(g(x) = x^3 - 6x\) 가 됩니다. 3) 구하고자 하는 값은: \(f(1) = 3 - 6 = -3\)g(1) = 1 - 6 = -5\(f(1) + g(1) = -3 + (-5) = -8\) 입니다.

\(y = (5^x)^2 - 75 \times 5^x + 10\) 에서 \(5^x = A\) (\(A > 0\))라 하면, \(y = A^2 - 75A + 10 = \left(A - \frac{75}{2}\right)^2 - \frac{5585}{4}\) 이다. 이때 \(-1 \le x \le 2\) 이므로 \(\frac{1}{3} \le A \le 25\) 이다. 따라서 \(A = \frac{1}{3}\) 일 때, 즉 \(x = \alpha = \log_5 \frac{1}{3}\) 에서 최댓값 \(M = -\frac{134}{9}\) 이고, \(A = 25\) 일 때, 즉 \(x = \beta = 2\) 에서 최솟값 \(m = -1240\) 이다.

$f(x) = \sum_{k=1}^{45} \frac{\sqrt{x+k+45} - \sqrt{x+k}}{x \sqrt{x}} = \sum_{k=1}^{45} \frac{45}{x \sqrt{x} (\sqrt{x+k+45} + \sqrt{x+k})} = \sum_{k=1}^{45} \frac{1}{x \sqrt{x}} \left( \frac{45}{\sqrt{x+k+45} + \sqrt{x+k}} \right)\(이므로,\)g(x) = ax^2 + bx + c$ 라 놓으면 \[\lim_{x\to\infty} f(x)g(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{ax^2+bx+c}{x^2} \left( \sum_{k=1}^{45} \frac{45\sqrt{x}}{\sqrt{x+k+45} + \sqrt{x+k}} \right) = \frac{2025}{2}a\]이다. 조건에서 \(\lim_{x\to\infty} f(x)g(x) = 2025\) 이므로 \(\frac{2025}{2}a = 2025 \implies a = 2\) 이다. 또한 \(\alpha, \beta\) 가 방정식 \(g(x) = 0\) 의 서로 다른 두 실근이므로 근과 계수의 관계로부터 \(\alpha+\beta = -\frac{b}{2} = 25\), \(\alpha\beta = \frac{c}{2} = 5\) 이고, \(b = -50\), \(c = 10\) 이다. 따라서 \(g(x) = 2x^2 - 50x + 10 = 2\left(x - \frac{25}{2}\right)^2 - \frac{605}{2}\) 이므로 최솟값은 \(g\left(\frac{25}{2}\right) = -\frac{605}{2}\) 이다.

다항함수 \(f(x)\) 는 \(f(-x) = f(x)\) 이므로 \(y\)축 대칭이고, \(\int_0^1 f(t) \, dt = a\) (\(a\) 는 상수)라 하면 \(\int_{-1}^1 f(t) \, dt = 2a\) 이다. 따라서 \(f(x) = 5x^4 + 2ax^2 - |a|\) 로 나타내어지며, \[a = \int_0^1 (5t^4 + 2at^2 - |a|) \, dt = \left[ t^5 + \frac{2}{3}at^3 - |a|t \right]_0^1 = 1 + \frac{2}{3}a - |a|\]를 만족한다. 이때 \(a\) 의 부호에 따라 다음과 같이 분류하여 해결한다. (1) \(a \ge 0\) 인 경우, \(a = 1 + \frac{2}{3}a - a \implies a = \frac{3}{4}\) 이고, \(f(x) = 5x^4 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{4}\) 이므로 \(f(1) = \frac{23}{4}\) 이다. (2) \(a < 0\) 인 경우, \(a = 1 + \frac{2}{3}a - (-a) \implies a = -\frac{3}{2}\) 이고, \(f(x) = 5x^4 - 3x^2 - \frac{3}{2}\) 이므로 \(f(1) = \frac{1}{2}\) 이다. 따라서 모든 \(f(1)\)의 값의 합은 \(\frac{23}{4} + \frac{1}{2} = \frac{25}{4}\) 이다.

\[\sum_{k=1}^{21} \frac{a_{k+1}-a_k}{\sqrt{a_{k+1}} + \sqrt{a_k}} = \sum_{k=1}^{21} (\sqrt{a_{k+1}} - \sqrt{a_k}) = \sqrt{a_{22}} - \sqrt{a_1} = \sqrt{a_{22}} - 1\]이다. 이 값이 \(50\) 이하의 자연수 \(m\) 이 되어야 하므로 \(\sqrt{a_{22}} - 1 = m \implies a_{22} = (m+1)^2 = m^2 + 2m + 1\) 이다. 공차를 \(d\) 라 하면, \(a_{22} = a_1 + 21d = 1 + 21d\) 이므로, \(1 + 21d = m^2 + 2m + 1 \implies 21d = m(m+2) \implies d = \frac{m(m+2)}{21}\) 이다. 즉, 집합 \(A = \left\{ d \;\middle|\; d = \frac{m(m+2)}{21} \text{인 자연수}, m = 1, 2, \cdots, 50 \right\}\) 이다. 공차 \(d = \frac{m(m+2)}{21}\) 가 자연수인 경우는 다음과 같다. (1) \(m\) 이 \(21\)의 배수인 경우: \(m = 21, 42\) (2) \(m+2\) 가 \(21\)의 배수인 경우: \(m = 19, 40\) (3) \(m\) 이 \(7\)의 배수인 경우: \(m = 7, 28, 49\) (4) \(m+2\) 가 \(7\)의 배수인 경우: \(m = 12, 33\) 따라서 자연수 \(m\) 은 \(7, 12, 19, 21, 28, 33, 40, 42, 49\) 의 \(9\)개 이다. 이를 통해 집합 \(A = \{3, 8, 19, 23, 40, 55, 80, 88, 119\}\) 이므로 원소의 개수 \(\alpha = 9\) 이고, 모든 원소의 합 \(\beta = 3+8+19+23+40+55+80+88+119 = 435\) 이다.

(1) 사각형 \(ABCD\)가 한 원에 내접하므로 \(\angle DCB = \pi - \angle BAD = \pi - \frac{2}{3}\pi = \frac{\pi}{3}\) 이다. (2) 삼각형 \(BCD\)에서 코사인법칙에 의해 \(\overline{BD}^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \times 3 \times 8 \times \cos\frac{\pi}{3} = 9 + 64 - 48 \times \frac{1}{2} = 49\) 이므로, \(\overline{BD}^2 = 49 \quad \cdots\cdots \text{①}\) 이다. (3) 삼각형 \(ABD\)에서 코사인법칙에 의해 $\overline{BD}^2 = \overline{AB}^2 + 3^2 - 2 \times \overline{AB} \times 3 \times \cos\frac{2}{3}\pi = \overline{AB}^2 + 9 - 6\overline{AB} \times \left(-\frac{1}{2}\right) = \overline{AB}^2 + 3\overline{AB} + 9 \quad \cdots\cdots \text{②}\(이다. ①과 ②에 의해,\)49 = \overline{AB}^2 + 3\overline{AB} + 9 \implies \overline{AB}^2 + 3\overline{AB} - 40 = 0 \implies (\overline{AB} + 8)(\overline{AB} - 5) = 0\(이다. 이때\)\overline{AB} > 0\(이므로\)\overline{AB} = 5\(이다. (4) 사각형\)ABCD\(의 넓이는 두 삼각형\)ABD\(,\)BCD\(의 넓이의 합과 같으므로,\)\Box ABCD = \triangle ABD + \triangle BCD = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 \times \sin\frac{2}{3}\pi + \frac{1}{2} \times 3 \times 8 \times \sin\frac{\pi}{3} = \frac{15\sqrt{3}}{4} + \frac{24\sqrt{3}}{4} = \frac{39}{4}\sqrt{3} \quad \cdots\cdots \text{③}\(이다. (5)\)\angle ADC = \theta\(,\)\angle ABC = \pi - \theta\(라 하면,\)\Box ABCD = \triangle ABC + \triangle ADC = \frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin(\pi-\theta) + \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \times \sin\theta = 20\sin\theta + \frac{9}{2}\sin\theta = \frac{49}{2}\sin\theta \quad \cdots\cdots \text{④}\(이다. ③과 ④에 의해,\)\frac{39}{4}\sqrt{3} = \frac{49}{2}\sin\theta \implies \sin\theta = \frac{39}{98}\sqrt{3}\(이다. 따라서\)\sin(\angle ADC) = \frac{39}{98}\sqrt{3}$ 이다.

함수 \(f(x)\) 는 \(x=-1\) 과 \(x=3\) 에서 연속이고 미분가능하다. (1) \(x = -1\) 에서 연속조건에 의해 \(-a+b = \lim_{x\to-1^-} f(x) = \lim_{x\to-1^+} f(x) = f(-1) = 5\) 이고, 미분가능조건에 의해 \(a = \lim_{x\to-1^-} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \lim_{x\to-1^+} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = -4\) 이므로, \(a = -4\), \(b = 1\) 이다. (2) \(x = 3\) 에서 연속조건에 의해 \(5 = \lim_{x\to3^-} f(x) = \lim_{x\to3^+} f(x) = f(3) = 3c+d\) 이고, 미분가능조건에 의해 \(4 = \lim_{x\to3^-} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = \lim_{x\to3^+} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = 9+c\) 이므로, \(c = -5\), \(d = 20\) 이다. (3) 따라서 \(g'(x) = 3ax^2 + 2(b+t)x + c = -12x^2 + 2(t+1)x - 5\) 이다. 삼차함수 \(g(x)\) 가 극값을 가지려면 이차방정식 \(g'(x) = 0\) 이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로, 판별식 \(D/4 = (t+1)^2 - (-12) \times (-5) = (t+1)^2 - 60 > 0\) 을 만족해야 한다. 이를 정리하면 \((t+1)^2 > 60 \implies t+1 < -2\sqrt{15}\) 또는 \(t+1 > 2\sqrt{15}\) 이므로, 구하는 실수 \(t\) 의 범위는 \(t < -1-2\sqrt{15}\) 또는 \(t > -1+2\sqrt{15}\) 이다. (또는 \((-\infty, -1-2\sqrt{15}) \cup (-1+2\sqrt{15}, \infty)\))

\(\frac{\log_{a} c}{\log_{a} b} = \frac{6}{7}\) 이므로 밑변환 공식에 의해 \(\frac{\log_{a} b}{\log_{a} c} = \log_{b} c = \frac{6}{7}\) 이다. 한편, \(\log_{c} b = \frac{1}{\log_{b} c} = \frac{7}{6}\) 이므로 \(64^{\log_{c} b} = 64^{\frac{7}{6}} = (2^6)^{\frac{7}{6}} = 2^7 = 128\) 이다. 또한 \(c^{\log_{b} 128} = k\) 라 하면 양변에 밑이 \(c\) 인 로그를 취하여 \(\log_{c} c^{\log_{b} 128} = \log_{b} 128 \implies \log_{b} 128 = \log_{c} k\) 이다. 밑변환 공식에 의해 \(\log_{b} 128 = \frac{\log_{c} 128}{\log_{c} b} = \frac{\log_{c} 2^7}{\log_{c} b} = \log_{c} k\) 이므로, \(\log_{c} b = \frac{7}{6}\) 을 대입하면 $\frac{\log_{c} 2^7}{\frac{7}{6}} = \log_{c} k \implies \frac{6}{7} \log_{c} 2^7 = \log_{c} k \implies 6 \log_{c} 2 = \log_{c} k \implies \log_{c} 2^6 = \log_{c} k \implies \log_{c} 64 = \log_{c} k\(이다. 따라서\)c^{\log_{b} 128} = k = 64$ 이다.

각변환 공식에 의해 \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta\), \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\) 이므로, 준 식은 \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) - \sin(\pi - \theta) = -\sin\theta - \sin\theta = -2\sin\theta\) 이다. 조건에서 \(-2\sin\theta = \frac{4}{5}\) 이므로 \(\sin\theta = -\frac{2}{5}\) 이다. 구하고자 하는 식을 삼각함수의 음각공식과 관계식을 통해 정리하면, $\frac{\cos(-\theta)}{\sin\theta} - \frac{\sin(-\theta)}{1 + \cos\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} + \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{\cos\theta(1 + \cos\theta) + \sin^2\theta}{\sin\theta(1 + \cos\theta)} = \frac{\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta}{\sin\theta(1 + \cos\theta)} = \frac{1 + \cos\theta}{\sin\theta(1 + \cos\theta)} = \frac{1}{\sin\theta}\(이다. 여기에 구한\)\sin\theta = -\frac{2}{5}\(의 값을 대입하면 최종\)\frac{1}{-\frac{2}{5}} = -\frac{5}{2}$ 이다.

\(g(t) = \begin{cases} 0 & (t < 0) \\ 2 & (t = 0) \\ 4 & (0 \lt t \lt 2) \\ 3 & (t = 2) \\ 2 & (2 \lt t \lt 6) \\ 1 & (t = 6) \\ 0 & (t > 6) \end{cases}\) 이다. 함수 \(g(t)\)는 \(0, 2, 6\)에서 불연속이므로 \(a_1 = 0\), \(a_2 = 2\), \(a_3 = 6\) 이다. 따라서 \(f(x) = |4\cos x - 2| = a_1 = 0\) 을 만족하는 \(x\) 는 \(4\cos x - 2 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}\) 이다. \(0 \le x < 2\pi\) 이므로 \(x = \frac{\pi}{3}\) 또는 \(x = \frac{5\pi}{3}\) 이다.

$\frac{S_{10}-S_8}{S_6-S_4} = \frac{\frac{a_1(r^{10}-1)}{r-1} - \frac{a_1(r^8-1)}{r-1}}{\frac{a_1(r^6-1)}{r-1} - \frac{a_1(r^4-1)}{r-1}} = \frac{r^{10}-r^8}{r^6-r^4} = \frac{r^8(r^2-1)}{r^4(r^2-1)} = r^4 = 3\(이다. 또한\)(S_3 - S_2)^2 = a_3^2 = (a_1 r^2)^2 = a_1^2 r^4 = 75\(이고\)r^4 = 3\(이므로\)a_1^2 \times 3 = 75 \implies a_1^2 = 25\(이다. 첫째항이 양수이므로\)a_1 = 5\(이다. 따라서\)a_2 \times a_8 = (a_1 r) \times (a_1 r^7) = a_1^2 r^8 = 25 \times (r^4)^2 = 25 \times 3^2 = 225$ 이다.

점 P의 시각 \(t\) (\(t > 0\))에서의 속도를 \(v(t)\)라 하면 \(v(t) = x'(t) = 6t^4 - 20t^3 + 12t^2 + (6-m)\) 이다. 점 P가 출발한 후 운동 방향이 두 번만 바뀌려면 \(t > 0\) 에서 \(v(t) = 0\) 이 중근이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. \(v'(t) = 24t^3 - 60t^2 + 24t = 12t(t-2)(2t-1) = 0\) 에서 극값을 가질 수 있는 시각은 \(t = 0\), \(t = \frac{1}{2}\), \(t = 2\) 이다. \(v(0) = 6-m\), $v\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{16}\right) - 20\left(\frac{1}{8}\right) + 12\left(\frac{1}{4}\right) + 6 - m = \frac{3}{8} - \frac{5}{2} + 3 + 6 - m = \frac{55}{8} - m\(,\)v(2) = 6(16) - 20(8) + 12(4) + 6 - m = 96 - 160 + 48 + 6 - m = -10 - m\(이다. \)v(0) > v(2)\(이므로\)v(t)\(는\)t = \frac{1}{2}\(에서 극댓값을 갖고,\)t = 2\(에서 극솟값이자 최솟값을 갖는다.\)t > 0\(에서\)v(t) = 0\(이 중근이 아닌 서로 다른 두 실근을 가지려면 극솟값(최솟값)은\)0\(보다 작고 극댓값(또는\)t=0\(에서의 속도)은\)0\(보다 크거나 같아야 한다. 즉,\)v(2) = -10 - m < 0 \implies m > -10\(이고,\)v(0) = 6 - m \ge 0 \implies m \le 6\(이어야 한다. 따라서 구하고자 하는\)m\(의 범위는\)-10 < m \le 6\((또는\)(-10, 6]$)이다.

\(G(t) = \int tf'(t)\, dt = \int t(3t^2 + 2at + b)\, dt = \int (3t^3 + 2at^2 + bt)\, dt = \frac{3}{4}t^4 + \frac{2}{3}at^3 + \frac{b}{2}t^2 + C\) (\(C\)는 적분상수)라 하자. \(\lim_{x\to 2} \frac{1}{x-2} \int_1^x tf'(t)\, dt = \lim_{x\to 2} \frac{G(x)-G(1)}{x-2} = 20\) 이고, \(G(x)\)는 다항함수이므로 \(x \to 2\) 일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하면 분자도 \(0\)으로 수렴해야 한다. 즉 \(\lim_{x\to 2} (G(x) - G(1)) = G(2) - G(1) = 0 \implies G(2) = G(1)\) 이다. \(G(2) = \frac{3}{4}(16) + \frac{2}{3}a(8) + \frac{b}{2}(4) + C = 12 + \frac{16}{3}a + 2b + C\) 이고, \(G(1) = \frac{3}{4} + \frac{2}{3}a + \frac{b}{2} + C\) 이다. 두 식이 같으므로 \(12 + \frac{16}{3}a + 2b = \frac{3}{4} + \frac{2}{3}a + \frac{b}{2} \implies \frac{14}{3}a + \frac{3}{2}b = -\frac{45}{4} \quad \cdots\cdots \text{①}\) 이다. 또한 \(G(1) = G(2)\) 이므로 구하는 식은 \(\lim_{x\to 2} \frac{G(x)-G(2)}{x-2} = G'(2) = G'(2) = 2(12 + 4a + b) = 20 \implies 4a + b = -2 \quad \cdots\cdots \text{②}\) 이다. ①, ②를 연립하면 \(a = \frac{99}{16}\), \(b = -\frac{107}{4}\) 이다. 따라서 \(f(x) = x^3 + \frac{99}{16}x^2 - \frac{107}{4}x\) 이고, \(f(4) = 64 + \frac{99}{16}(16) - \frac{107}{4}(4) = 64 + 99 - 107 = 56\) 이다.

\(y=x^3\) 과 \(y=\sqrt{2x}\) 의 교점의 \(x\)좌표는 다음을 만족한다. \(x^3 = \sqrt{2x}\). 따라서 \(A\)점의 \(x\)좌표는 \(2^{\frac{1}{5}}\) 이다. 따라서 \(A\)점의 \(y\)좌표는 \(2^{\frac{3}{5}}\) 이다. 삼각형 \(AOH\)의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \overline{OH} \times \overline{AH} = \frac{1}{2} 2^{\frac{1}{5}} 2^{\frac{3}{5}} = 2^{-\frac{1}{5}}\) 이다. 따라서, \(a^2+b^2 = 1+25 = 26\) 이다.

\(6\cos\theta - \frac{1}{\cos\theta} = 1\) 로부터 \(6\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0\) 이다. 따라서 \(\cos\theta = \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}\) 이다. 주어진 범위를 만족하는 것은 \(\cos\theta = \frac{1}{2}\) 이다. 따라서 \(\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) 이므로, \(\sin\theta \cos\theta = -\frac{\sqrt{3}}{4}\) 이다.

\(a_7 = 4\) 이므로 홀짝수에 따라 \(a_6 = 1, 8\) 이다. 1. \(a_6 = 1\) 의 경우, 짝수만 가능하므로 \(a_5 = 2\) 이다. \(a_5 = 2\) 의 경우, \(a_4 = 4\) 인 짝수 경우만 존재. \(a_4 = 4\) 는 \(a_3 = 1, 8\) 홀수, 짝수 2가지 경우 존재. 1) \(a_3 = 1\) 일 때, \(a_2 = 2\) 짝수 경우만 존재. \(a_1 = 4\) 이다. 합: \(4+2+1+4+2+1=14\), \(S_6 = 14\) 이다. 2) \(a_3 = 8\) 일 때, \(a_2 = 16\) 짝수 경우만 존재. \(a_1 = 5\) 또는 \(a_1 = 32\) 는 2가지 중 \(5\)가 최소. 합: \(5+16+8+4+2+1=36\), \(S_6 = 36\) 이다. 따라서, \(S_6\)의 최솟값은 ① \(14\) 이다. 2. \(a_6 = 8\) 의 경우, \(a_5 = 16\)만 존재하고, \(a_4 = 5, 32\) 이다. \(a_6 = 8\) 일 때, \(a_5+a_4 \ge 24 >\) ① \(14\) 이므로 \(a_6 = 1\) 일 때의 \(S_6\)이 최솟값을 갖는다. 따라서 \(S_6\)이 최솟값을 갖는 수열 \(\{a_n\}\)은 \(4, 2, 1, 4, 2, 1...\) 이므로 ③ \(4, 2, 1\) 이다. 따라서 \(S_{20}\)의 최솟값은 \((4+2+1) \times 6 + (4+2) =\) ④ \(48\) 이다.

\(g(x) = -6x + \int_0^1 f(t)\, dt\) 에서 \(\int_0^1 f(t)\, dt = a\) 라 하면, \(g(x) = -6x + a\) 이다. \(f(x) = 3x^2 + 2x \int_0^1 tg(t)\, dt = 3x^2 + 2x \int_0^1 t(-6t+a)\, dt = 3x^2 + 2x\left(-2+\frac{1}{2}a\right)\) 이다. \(\int_0^1 f(t)\, dt = \int_0^1 \left(3t^2 + 2t\left(-2+\frac{1}{2}a\right)\right)\, dt = 1 + \left(-2+\frac{1}{2}a\right) = -1 + \frac{1}{2}a\) 이다. 따라서, \(-1 + \frac{1}{2}a = a \implies a = -2\) 이다. \(f(x) = 3x^2 - 6x\), \(g(x) = -6x - 2\) 이다. 따라서 \(f(x)+g(x) = 3x^2 - 12x - 2 = 0\) 이고, 판별식 \(D > 0\) 이므로 두 실근의 합은 \(4\)이다.

함수 \(f(x)g(x)\) 가 \(x=1\) 에서 연속이 되려면 \(\lim_{x\to 1^+} f(x)g(x) = \lim_{x\to 1^-} f(x)g(x) = f(1)g(1)\) 이어야 한다. \(\lim_{x\to 1^-} f(x)g(x) = \lim_{x\to 1^-} (x^3 + a^2x^2 - 2x)(x^2 - ax) = (1 - a)(a^2 - 1)\) 이고, \(\lim_{x\to 1^+} f(x)g(x) = \lim_{x\to 1^+} (2x+1)(x^2 - ax) = 3(1 - a)\) 이다. \(f(1)g(1) = 3(1-a)\) 이므로, \((1-a)(a^2-1) = 3(1-a) \implies (1-a)(a^2-1) - 3(1-a) = 0 \implies (1-a)(a^2-4) = 0\) 이다. 따라서 \(a = -2\), \(a = 1\), \(a = 2\) 이다.

\(f(t) = x_1 - x_2 = 3t^4 - 8t^3 - 30t^2 + 72t + d\) 라 하면 \(f'(t) = 12t^3 - 24t^2 - 60t + 72 = 12(t-1)(t-3)(t+2)\) 이므로 \(t=-2, 1, 3\) 에서 극값을 갖는다. \(f(0)=d\), \(f(1)=37+d\), \(f(3)=-27+d\), \(f(4)=64+d\) \(d \le 0\) 이고 \(|f(t)|\)의 최솟값이 \(0\)이 아니므로 닫힌구간 \([0, 4]\)에서 \(f(t) < 0\) 이다. 그러므로 \(|f(t)|\)는 \(t=4\)에서 최솟값을 갖고 \(t=3\)에서 최댓값을 갖는다. \(64+d = -3\) 에서 \(d=-67\) 이므로 최댓값은 \(|d-27| = |-67-27| = 94\) 이다. 이 때 \(Q\)의 속도는 \(24t^2 + 12t - 21\) 이므로 \(24 \times 3^2 + 12 \times 3 - 21 = 231\) 이다.

두 곡선 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\)는 역함수 관계이므로 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이다. 따라서 두 곡선의 교점은 \(f(x) = x\)인 방정식 \(ax^2 = x\)의 해와 같으므로, \(x \ge 0\) 범위에서 교점의 \(x\)좌표는 \(x=0\)과 \(x = \frac{1}{a}\) 이다. ([①]) 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 \(S\)는 \(y=x\)와의 대칭성에 의해 다음의 정적분으로 나타낼 수 있다. \(S = 2 \int_{0}^{\frac{1}{a}} (x - ax^2) \, dx\) ([②]) 정적분을 실제로 계산하면 다음과 같다. $S = 2 \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{a}{3}x^3 \right]_{0}^{\frac{1}{a}} = 2 \left( \frac{1}{2a^2} - \frac{1}{3a^2} \right) = 2 \left( \frac{1}{6a^2} \right) = \frac{1}{3a^2}\(([③]) 넓이\)S = \frac{3}{4}\(이므로,\)\frac{1}{3a^2} = \frac{3}{4} \implies a^2 = \frac{4}{9} \implies a = \frac{2}{3}\((\)0\lt a \lt 1$) 이다. ([④])

\(A \subset B\) 이므로 \(3\log_2 a - 2\log_2 b = 1\) 이다. 이를 정리하면 \(\log_2 \frac{a^3}{b^2} = 1 \implies a^3 = 2b^2 \quad \cdots \text{(①)}\) 이다.또한 주어진 조건에서 \(\log_a b = \frac{3}{2}\) 또는 \(\log_a b = 2\) 이다.1) \(\log_a b = \frac{3}{2}\) 일 때, \(b = a^{\frac{3}{2}}\) 이다. 이를 ①에 대입하면 \(a^3 = 2\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^2 = 2a^3\) 이므로 \(a = 0\) 이 되어 \(a > 0, a \ne 1\) 조건을 만족하지 않는다.2) \(\log_a b = 2\) 일 때, \(b = a^2\) 이다. 이를 ①에 대입하면 \(a^3 = 2\left(a^2\right)^2 = 2a^4\) 이다. \(a \ne 0\) 이므로 양변을 \(a^3\)으로 나누면 \(1 = 2a \implies a = \frac{1}{2}\) 이다. 이때 \(b = a^2 = \frac{1}{4}\) 이다.따라서 구하고자 하는 값은 \(ab^2 = a \cdot b^2 = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{32}\) 이다.

\((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta\) 이고, 이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터 \(\sin\theta + \cos\theta = \frac{k+2}{k}\), \(\sin\theta\cos\theta = \frac{k+1}{k}\) 이다. 이를 관계식에 대입하면 다음과 같다.\[\left(\frac{k+2}{k}\right)^2 = 1 + 2\left(\frac{k+1}{k}\right) \implies \frac{k^2+4k+4}{k^2} = \frac{3k+2}{k}\]양변에 \(k^2\)을 곱하여 정리하면, \(k^2+4k+4 = 3k^2+2k \implies 2k^2-2k-4 = 0 \implies (k-2)(k+1) = 0\) 이므로, \(k=2\) 또는 \(k=-1\) 이다.1) \(k=2\) 이면 \(\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{2} > 1\) 이 되어 존재할 수 없으므로 부적합하다.2) \(k=-1\) 이면 \(\sin\theta + \cos\theta = -1\) 이고 \(\sin\theta\cos\theta = 0\) 이다.\(0 \le \theta \le \pi\) 에서 이를 만족하는 \(\theta\)는 \(\theta = \pi\) 이다.

수열 \{a_n\}의 \(a_4 = \alpha, a_5 = -\alpha\)라 할 경우 다음과 같다.\(a_3 = a_4 - a_5 = \alpha - (-\alpha) = 2\alpha\)\(a_2 = a_3 - a_4 = 2\alpha - \alpha = \alpha\)\(a_1 = a_2 - a_3 = \alpha - 2\alpha = -\alpha\)\(a_6 = a_5 - a_4 = -\alpha - \alpha = -2\alpha\)\(a_7 = a_6 - a_5 = -2\alpha - (-\alpha) = -\alpha\)결국 \(a_n = a_{n+6}\) 이며, 수열의 6개 항의 합은 \(\sum_{k=1}^6 a_k = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = -\alpha + \alpha + 2\alpha + \alpha - \alpha - 2\alpha = 0\) 이다.이때 \(S_1 = -\alpha < 0\) 이고 (단, 첫째항조건에서 \(S_1 > 0\) 이므로 \alpha < 0), \(S_1 > 0, S_2 = 0, S_3 < 0, S_4 < 0, S_5 < 0, S_6 = 0\) 이므로, \(S_n < 0\)을 만족시키는 \(300\) 이하의 자연수 \(n\)은 한 주기(6개)마다 3개(\(n=3, 4, 5\))씩 존재한다. 따라서 구하고자 하는 \(n\)의 개수는 \(50 \times 3 = 150\) 이다.

\(x=1\)에서 함수 \(f(x)\)가 연속이 되기 위해서는 \(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} = f(1) = \frac{1+b}{\sqrt{2}}\) 가 성립해야 한다.극한값 \(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1}\)가 존재하므로, \(x \to 1^+\)일 때 (분자) \(\to 0\) 이어야 한다. 즉, \(\sqrt{2}-a=0 \implies a=\sqrt{2}\) 이다.따라서 극한값을 구하면 다음과 같다.$\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\(이때\)\frac{1+b}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\(이므로,\)1+b = \frac{1}{2} \implies b = -\frac{1}{2}$ 이다.

두 점 \(P, Q\)의 위치의 차는 \(x_1(t) - x_2(t) = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t-3)^2\) 이므로, 두 점이 만나는 시각은 \(t=0\) 또는 \(t=3\) 이다. 따라서 처음으로 만나는 순간 \(t_b = 3\) 이다.한편, 두 점 \(P, Q\)의 시각 \(t\)에서의 속도는 각각 다음과 같다.\(v_1(t) = \frac{d}{dt}x_1(t) = 9t^2 - 6t + 7\)\(v_2(t) = \frac{d}{dt}x_2(t) = 6t^2 + 6t - 2\)두 점의 속도가 같아지는 조건 \(v_1(t) - v_2(t) = 0\) 에서,\(3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3) = 0\)이를 만족하는 시각은 \(t=1\) 또는 \(t=3\) 이므로, 처음으로 속도가 같아지는 순간 \(t_a = 1\) 이다.