주어진 조건으로부터 \(\sin B = 2\sin A\). \(\overline{AB} = c, \overline{CA} = b\)라 하면 사인법칙에 의하여 \(\frac{4}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\) 이므로 대입하여 정리하면 \(b = 8\). 또한, \(\frac{4}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = \frac{c}{\frac{3}{2}\sin A}\) 이므로 \(c = 6\). 코사인법칙에 의하여 \(b^2 = 64 = 36+16-2\times6\times4\times\cos B\)이므로 \(\cos B = -\frac{1}{4}\). 따라서 \(\sin B = \sqrt{1-\cos^2 B} = \frac{\sqrt{15}}{4}\).

\(x = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{k-1}\)라 하고 \(y = a_{k+1} + \dots + a_m\)이라 하자. \(x+y = 84\)이고, \(y-x = 204\)이므로, \(y = 144\)이고, \(x = -60\)이다. \(x = -2k(k-1)\)이므로 \(k = 6\)이다. \(y = 2(m-k+1)(m-k) = 2(m-5)(m-6)\)이므로 \(m = 14\)이다. \(a_1 = -4(k-1) = -20\)이다.

\(f'(1) = 2 \times 1 + 3 \times 2 + 4 \times 3 + \dots + m \times (m-1)\) \(= (1+1) \times 1 + (1+2) \times 2 + (1+3) \times 3 + \dots + \{1+(m-1)\} \times (m-1)\) \(= (1+2+3+4+\dots+m-1) + \{1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+(m-1)^2\}\) \(= \frac{(m-1)m}{2} + \frac{(m-1)m(2m-1)}{6} = \frac{(m-1)m(m+1)}{3}\) 이므로 조건 (나)로부터 \(m=9\)이다. 또한, 조건 (다)로부터 \(f(x) = 1+2x+3x^2+\dots+9x^8\) 따라서 \(f(-1) = 1-2+3-\dots+9 = 5\) \(f'(-1) = \sum_{k=2}^{9} (-1)^{k-2} k(k-1) = -40\) 이다. 따라서 접선의 방정식은 \(y = -40(x-(-1))+5 = -40x-35\)이고 접선의 \(y\)절편은 \(-35\)이다.

두 점 P, Q의 시각 \(t (t \ge 0)\)에서의 위치를 각각 \(x_1(t)\), \(x_2(t)\)라 하면, \(x_1(t) = x_1(0) + \int_0^t v_1(s)ds = p + \int_0^t (3s^2+4s+10)ds = t^3+2t^2+10t+p,\) \(x_2(t) = x_2(0) + \int_0^t v_2(s)ds = q + \int_0^t (18s-5)ds = 9t^2-5t+q\) 이다. \(x_1(t)-x_2(t) = t^3-7t^2+15t+p-q\)이므로 함수 \(f(x) = x^3-7x^2+15x+p-q\)를 생각하자. \(f'(x) = 3x^2-14x+15 = (3x-5)(x-3)\)이므로, 함수 \(f(x)\)는 구간 \((-\infty, 0)\)에서 증가하는데, \(f(0) = p-q < 0\)이므로, 방정식 \(f(x)=0\)은 서로 다른 두 실근을 가진다. ① 함수 \(f(x)\)가 극소에서 \(x\)축에 접하는 경우, \(f(x) = x^3-7x^2+15x-9 = (x-1)(x-3)^2\) 이므로 \(a=1\), \(b=3\)이 되어 \(a>1\)이 성립하지 않는다. ② 함수 \(f(x)\)가 극대에서 \(x\)축에 접하는 경우 \(f(x) = x^3-7x^2+15x-\frac{275}{27} = \left(x-\frac{5}{3}\right)^2\left(x-\frac{11}{3}\right)\) 이므로 \(a=\frac{5}{3}\), \(b=\frac{11}{3}\)이다. 점 P의 시각 \(t (t \ge 0)\)에서의 가속도는 \(v_1'(t) = 6t+4\)이므로, 시각 \(t=a\)에서 점 P의 가속도는 \(v_1'\left(\frac{5}{3}\right) = 14\)이고, 시각 \(t=b\)에서 점 P의 가속도는 \(v_1'\left(\frac{11}{3}\right) = 26\)이다.

\(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2+2x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \times \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1\) 이므로 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2\) 이다.\(\lim_{x \to 0} \left\{ \frac{g(x)+x}{g(x)-x} - 1 \right\} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{g(x)-x} = 1\) 이므로 \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{g(x)-x} = \frac{1}{2}\) 이다.이때 \(\lim_{x \to 0} \frac{x}{g(x)-x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{g(x)}{x}-1} = \frac{1}{2}\) 에서 \(\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} - 1 = 2\) 이므로 \(\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = 3\) 이다.따라서 구하고자 하는 극한값은 다음과 같다.$\lim_{x \to 0} \frac{4f(x)g(x)}{2\{f(x)\}^2+3f(x)g(x)-2\{g(x)\}^2} = \lim_{x \to 0} \frac{4f(x)g(x)}{\left\{2f(x)-g(x)\right\}\left\{f(x)+2g(x)\right\}} = \lim_{x \to 0} \frac{4\frac{f(x)}{x}\frac{g(x)}{x}}{\left(2\frac{f(x)}{x}-\frac{g(x)}{x}\right)\left(\frac{f(x)}{x}+2\frac{g(x)}{x}\right)} = \frac{4 \times 2 \times 3}{(2 \times 2 - 3)(2+2 \times 3)} = \frac{24}{1 \times 8} = 3$

\(a \times 3^{5-3} + 2a = 11a = 22\)이므로 \(a=2\) \(y=2 \times 3^{x-3} + 4\)의 점근선의 방정식 \(y=4\)가 \(y\)축과 만나는 점 A의 좌표는 \((0, 4)\)이고, 곡선 \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x-1\)과 만나는 점 B의 좌표는 \((-\log_2 5, 4)\)이다. 따라서, 삼각형 AOB의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \overline{AB} \times \overline{AO} = \frac{1}{2} \times \log_2 5 \times 4 = 2\log_2 5\)

\(\log_a b - \log_b a = 0 \implies \log_a b = \log_b a\) 이다. 밑의 변환 공식에 의해 \(\frac{\log b}{\log a} = \frac{\log a}{\log b}\) 이므로 \((\log b)^2 - (\log a)^2 = 0\), 즉 \((\log b + \log a)(\log b - \log a) = 0\) 이다. \(a \ne b\) 이므로 \(\log b + \log a = 0 \implies \log(ab) = 0 \implies ab = 1\) 이다. \(a, b\)가 \(1\)이 아닌 양수이므로 산술·기하 평균 부등식에 의해 \(9a + 25b \ge 2\sqrt{9a \times 25b} = 2\sqrt{225ab} = 2\sqrt{225} = 30\) (단, 등호는 \(9a = 25b\) 일 때 성립) 이다. 따라서 \(9a+25b\)의 최솟값 \(m = 30\) 이고, 이때 \(9a = 25 \times \frac{1}{a} \implies a^2 = \frac{25}{9} \implies a = \frac{5}{3}\) (\(a>0\)) 이므로 \(\alpha = \frac{5}{3}\) 이다.

첫째항이 \(2\)이고 공차가 \(3\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)의 일반항은 \(a_n = 2 + (n-1) \times 3 = 3n-1\) 이다. 따라서 \(\sum_{k=1}^{6} (a_k)^3 = \sum_{k=1}^{6} (3k-1)^3 = \sum_{k=1}^{6} (27k^3 - 27k^2 + 9k - 1) = 9633\) 이다. 조건 \(13S_n > 9633\) 에서 \(S_n > 741\) 이다. 수열의 합 \(S_n = \frac{n\{2 \times 2 + (n-1) \times 3\}}{2} = \frac{n(3n+1)}{2}\) 이므로, \(\frac{n(3n+1)}{2} > 741 \implies n(3n+1) > 1482\) 이다. \(S_{22} = \frac{22 \times 67}{2} = 737\), \(S_{23} = \frac{23 \times 70}{2} = 805\) 이므로 \(13S_n > \sum_{k=1}^{6} (a_k)^3\) 을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값은 \(23\) 이다.

제1사분면에서 두 함수 \(|2x|+y=t\) 와 \(y=x^2\)의 교점의 \(x\)좌표는 \(x^2+2x-t=0\) 에서 \(x = -1 + \sqrt{1+t}\) 이다. 따라서 두 함수로 둘러싸인 부분의 넓이는 다음과 같다. \[S(t) = 2 \int_{0}^{-1+\sqrt{1+t}} (t-2x-x^2) dx = 2\left[ tx - x^2 - \frac{x^3}{3} ight]_{0}^{-1+\sqrt{1+t}} = 2t(\sqrt{1+t}-1) - 2(\sqrt{1+t}-1)^2 - \frac{2}{3}(\sqrt{1+t}-1)^3\] 이다. 따라서
\[\lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} S(t)}{t^2} = \lim_{t \to \infty} \frac{2t(\sqrt{1+t}-1) - 2(\sqrt{1+t}-1)^2 - \frac{2}{3}(\sqrt{1+t}-1)^3}{t^{3/2}} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\]

함수 \(y = |x^2-2x|+x = \begin{cases} x^2-x & (x \le 0) \\ -x^2+3x & (0 < x \le 2) \\ x^2-x & (x > 2) \end{cases}\) 이고, \(y = -x^2+3x = -\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}\) 이므로 \(x=\frac{3}{2}\) 일 때 극대점의 \(y\)좌표는 \(\frac{9}{4}\) 이다.
따라서 직선 \(y=t\) 와 만나는 점의 개수 함수 \(f(t)\)는 다음과 같다.$f(t) = \begin{cases} 0 & (t < 0) \\ 1 & (t = 0) \\ 2 & (0 \lt t \lt 2) \\ 3 & (t = 2) \\ 4 & \left(2 \lt t \lt \frac{9}{4}\right) \\ 3 & \left(t = \frac{9}{4}\right) \\ 2 & \left(t > \frac{9}{4}\right) \end{cases}$
함수 \(f(t)\)는 \(t=0, 2, \frac{9}{4}\) 에서 불연속이다. 삼차함수 \(g(t)\)에 대하여 \(f(t)g(t)\)가 실수 전체에서 연속일 때 \(g(t)\)는 \(t=0, 2, \frac{9}{4}\) 에서 \(0\)이어야 하므로, \(g(t)\)는 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수이고 \(g(t) = t(t-2)\left(t - \frac{9}{4}\right)\) 이다.따라서 \(f(1)=2\) 이고, \(g(1) = 1 \times (-1) \times \left(1 - \frac{9}{4}\right) = \frac{5}{4}\) 이므로, \(f(1)+g(1)=2+\frac{5}{4} = \frac{13}{4}\) 이다.

이차함수 \(f(x)\)의 최고차항의 계수가 \(-\frac{1}{2}\) 이고 \(x=8\) 에서 최댓값을 가지므로, 대칭축이 \(x=8\) 이다. 따라서 \(f(x) = -\frac{1}{2}(x-8)^2 + c' = -\frac{1}{2}x^2 + 8x + c' - 32\) 로 놓을 수 있다. (상수항을 \(c\)라 하면 \(f(x) = -\frac{1}{2}x^2+8x+c\)) \(f(x+1) - f(x) = \left\{-\frac{1}{2}(x+1)^2+8(x+1)+c\right\} - \left\{-\frac{1}{2}x^2+8x+c\right\} = -x + \frac{15}{2}\) 이므로, \(|f(x+1) - f(x) - \frac{7}{2}| = \left|-x + \frac{15}{2} - \frac{7}{2}\right| = |-x + 4| = |x-4|\) 이다. 따라서 함수 \(g(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2+8x+c & (x \le a) \\ |x-4| & (x > a) \end{cases}\) 이다. 만일 \(a < 4\) 이면 \(g(x)\)는 \(x=4\) 에서 꺾인 점이 되어 미분 불가능해지므로 미분가능 조건에 모순된다. 따라서 \(a \ge 4\) 이어야 한다. \(g(x)\)가 \(x=a\) 에서 미분가능하려면 연속이어야 하므로, \(-\frac{1}{2}a^2+8a+c = a-4\) 이다. 또한, \(x=a\) 에서 미분계수가 일치해야 하므로, 좌미분계수 \(-a+8\) 과 우미분계수 \(1\)이 같아야 한다. 즉, \(-a+8 = 1 \implies a=7\) 이다. 이를 연속 조건 식에 대입하면, \(-\frac{1}{2}(7)^2+8(7)+c = 7-4 \implies -\frac{49}{2} + 56 + c = 3 \implies c = -\frac{57}{2}\) 이다. 따라서 \(f(a) = f(7) = 3\) 이다.

\(f(x) = 2\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-x\right) - 2\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) + 5\) 에서 각변환 공식에 의해 \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right) = -\cos x\), \(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin x\) 이므로, \(f(x) = 2(-\cos x)^2 - 2\sin x + 5 = 2(1-\sin^2 x) - 2\sin x + 5 = -2\sin^2 x - 2\sin x + 7\) 이다. \(\sin x = t\)라 치환하면, \(-1 \le t \le 1\) 이고, \(f(t) = -2t^2 - 2t + 7 = -2\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{15}{2}\) 이다. 따라서, 최댓값은 \(t = -\frac{1}{2}\) 일 때 \(\alpha = \frac{15}{2}\) 이고, 최솟값은 대칭축에서 가장 먼 \(t = 1\) 일 때 \(\beta = -2(1)^2 - 2(1) + 7 = 3\) 이다. 따라서 최댓값과 최솟값의 곱은 \(\alpha\beta = \frac{15}{2} \times 3 = \frac{45}{2}\) 이다.

부등식의 로그 항을 정리하면 다음과 같습니다. \[\log_3 \left( \sqrt[3]{9}n \right) = \log_3 \left( 3^{\frac{2}{3}}n \right) = \frac{2}{3} + \log_3 n\] \[\log_3 \sqrt[3]{n^2} = \log_3 n^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}\log_3 n\] 이를 원래 부등식에 대입하면, \[x^2 - x\left( \frac{2}{3} + \log_3 n \right) + \frac{2}{3}\log_3 n < 0\] 이 식은 다음과 같이 완벽하게 인수분해됩니다. \[\left(x - \frac{2}{3}\right)\left(x - \log_3 n\right) < 0\] 따라서 이 부등식의 해는 다음과 같습니다. \[\frac{2}{3} \lt x \lt \log_3 n\] i) 이 구간을 만족시키는 정수 \(x\)가 오직 \(1\)개 존재하기 위해서는 정수 \(x = 1\)이어야 합니다. 따라서 \(\log_3 n\)은 다음과 같은 범위를 가집니다. \[1 < \log_3 n \le 2\] 각 변에 밑이 3인 지수를 취하면, \[3 < n \le 9\] 자연수 \(n\)은 \(n = 4, 5, 6, 7, 8, 9\) 이므로 총 \(6\)개입니다. ii) \(\log_3 n \lt x \lt \frac{2}{3}\) 인 경우, 정수 \(x\)가 존재하지 않으므로 조건을 만족하지 않습니다. 따라서 만족시키는 자연수 \(n\)의 개수는 \(6\)개입니다.

첫째항이 \(a_1\)이고 공차가 \(d\)인 등차수열에 대하여, \(a_2 = a_1 + d\), \(a_4 = a_1 + 3d\), \(a_6 = a_1 + 5d\) 입니다. 조건 \(a_2 - 1 = 1 - a_4\) 에서, \(a_2 + a_4 = 2 \Rightarrow (a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 2a_1 + 4d = 2 \Rightarrow a_1 + 2d = 1 \quad \cdots\) (①) (즉, 등차중항 성질에 의해 \(2a_3 = 2 \Rightarrow a_3 = 1\) 입니다.) 조건 \(|a_4 + 5| = |-5 - a_6|\) 에서, \(|-5 - a_6| = |-(5 + a_6)| = |a_6 + 5|\) 이므로, \(|a_4 + 5| = |a_6 + 5|\) 입니다. 이때 두 식의 부호가 같은 경우와 다른 경우로 나눕니다. i) 부호가 같은 경우 (\(a_4 + 5 = a_6 + 5\)) \(a_4 = a_6\) 이 되어 공차 \(d = 0\) 이 됩니다. 이는 공차가 \(0\)이 아니라는 조건에 모순이므로 성립하지 않습니다. ii) 부호가 다른 경우 (\(a_4 + 5 = -(a_6 + 5)\)) \(a_4 + a_6 + 10 = 0\) 이므로, \((a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) + 10 = 0 \Rightarrow 2a_1 + 8d = -10 \Rightarrow a_1 + 4d = -5 \quad \cdots\) (②) ①번 식과 ②번 식을 연립하여 풀어줍니다. ② - ①: \(2d = -6 \Rightarrow d = -3\) 이를 ①에 대입하면, \(a_1 + 2(-3) = 1 \Rightarrow a_1 = 7\) 따라서 구하고자 하는 \(a_7\)의 값은 다음과 같습니다. \(a_7 = a_1 + 6d = 7 + 6(-3) = -11\)

다항함수 \(f(x)\)는 실수 전체에서 연속이므로 \(f(\frac{1}{2}) = \lim_{x \to \frac{1}{2}} f(x) = a\) (\(a\)는 정수)라 하자.조건 (나)에서 \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - 2x^3}{x^2} = a\) 이므로 \(f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c\) 이다. 조건 (가)에서 \(f(0)=0 \implies c=0\) 이고, 모든 계수가 정수이므로 \(a, b\)는 정수이다.\(f(\frac{1}{2}) = a\) 에서 \(a = 2(\frac{1}{2})^3 + a(\frac{1}{2})^2 + b(\frac{1}{2}) \implies 3a = 2b + 1 \quad \cdots \text{(①)}\) 이 성립한다.조건 (다)에서 \(f(x)\)가 실수 전체에서 증가하므로 모든 실수 \(x\)에 대해 \(f'(x) = 6x^2 + 2ax + b \ge 0\) 이다. 판별식 \(D/4 = a^2 - 6b \le 0 \quad \cdots \text{(②)}\) 이어야 한다.①에서 \(6b = 9a - 3\) 이므로 ②에 대입하면 \(a^2 - 9a + 3 \le 0\) 이다.이차방정식 \(a^2-9a+3=0\)의 해는 \(a = \frac{9 \pm \sqrt{69}}{2}\) 이므로 \(\frac{9-\sqrt{69}}{2} \le a \le \frac{9+\sqrt{69}}{2}\) 이다.\(\sqrt{69} \approx 8.3\) 이므로 \(0.35 \le a \le 8.65\) 이며, 정수 \(a\)의 최댓값은 \(8\)이다. 따라서 \(f\left(\frac{1}{2}\right)\)의 최댓값은 \(8\)이다.

로그함수 \(f(x) = \frac{1}{3}\log_2(x-2)\)의 진수 조건 \(x-2 > 0\)에 의해 점근선은 \(x = 2\)이다. [ ① = \(x=2\) ]탄젠트함수 \(g(x) = \tan\left(\frac{\pi x}{a}\right)\)의 점근선은 \(\frac{\pi x}{a} = n\pi + \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{2n+1}{2}a\) (\(n\)은 정수)이다.두 그래프가 만나지 않으려면 로그함수의 점근선 \(x=2\)가 탄젠트함수의 점근선과 일치해야 하므로, \(\frac{2n-1}{2}a = 2 \implies a = \frac{4}{2n-1}\) 이다. \(a\)가 자연수이므로 홀수 \(2n-1\)은 \(4\)의 약수인 \(1\)이어야 한다. 따라서 \(n=1, a=4\) 이다. [ ② = \(4\) ]정의역 \(\frac{17}{8} \le x \le 6\)에서 증가함수 \(f(x)\)의 범위는 \(f\left(\frac{17}{8}\right) = -1 \le f(x) \le f(6) = \frac{2}{3}\) 이다.합성함수 \((g \circ f)(x) = g(t)\) (단, \(t = f(x)\))에서 \(-1 \le t \le \frac{2}{3}\) 이고, 증가함수 \(g(t) = \tan\left(\frac{\pi t}{4}\right)\)는 양 끝값에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.최솟값 \(m = g(-1) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1\) 이다. [ ③ = \(-1\) ]최댓값 \(M = g\left(\frac{2}{3}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\) 이다. [ ④ = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) ]

조건 (가)에서 \(|f(1)| \ge 0\), \(|f(-1)| \ge 0\) 이므로 두 값의 합이 \(0\)이 되려면, \(f(1) = 0\) 이고 \(f(-1) = 0\) 이어야 한다. 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)는 인수로 \((x-1)\)과 \((x+1)\)을 가진다. 따라서 \(f(x) = (x-a)(x-1)(x+1) = (x-a)(x^2-1) = x^3 - ax^2 - x + a\) (단, \(a\)는 상수) 로 수립할 수 있다.조건 (나)에 대입하여 식을 정리하면 다음과 같다.$\int_{0}^{1} f(x)dx = \int_{0}^{1} (x^3 - ax^2 - x + a)dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{a}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + ax \right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{a}{3} - \frac{1}{2} + a = \frac{2}{3}a - \frac{1}{4}\(
조건 (나)가\)-1 \le \int_{0}^{1} f(x)dx \le 1\(이므로,\)-1 \le \frac{2}{3}a - \frac{1}{4} \le 1 \implies -\frac{3}{4} \le \frac{2}{3}a \le \frac{5}{4}\(에서\)-\frac{9}{8} \le a \le \frac{15}{8} \quad \cdots \text{(①)}\(이다.이제 구하고자 하는 정적분 값을\)a\(의 식으로 표현하면 다음과 같다.\)\int_{-1}^{3} f(x)dx = \int_{-1}^{3} (x^3 - ax^2 - x + a)dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{a}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + ax \right]_{-1}^3 = \left( \frac{81}{4} - 9a - \frac{9}{2} + 3a \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{a}{3} - \frac{1}{2} - a \right) = \left( \frac{63}{4} - 6a \right) - \left( -\frac{1}{4} - \frac{2}{3}a \right) = 16 - \frac{16}{3}a\(①번 범위에 따라\)16 - \frac{16}{3}a\(의 범위를 구하면,\)a = -\frac{9}{8}\(일 때 최댓값\)M = 16 - \frac{16}{3}\left(-\frac{9}{8}\right) = 16 + 6 = 22\(이고,
\)a = \frac{15}{8}\(일 때 최솟값\)m = 16 - \frac{16}{3}\left(\frac{15}{8}\right) = 16 - 10 = 6\(이다.따라서 최댓값과 최솟값의 합은\)M + m = 22 + 6 = 28$ 이다.

곡선 위의 점 \((t, t^3-3t^2-9t+2)\)에서의 접선의 방정식은 \(y - (t^3-3t^2-9t+2) = (3t^2-6t-9)(x-t)\) 이다.이 접선이 외부의 점 \((-2, a)\)를 지나므로 대입하여 정리하면 \(a = -2t^3 - 3t^2 + 12t + 20\) 이다.이 방정식이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로, \(g(t) = 2t^3 + 3t^2 - 12t - 20\) 이라 할 때 \(g(t) = -a\) 가 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.\(g'(t) = 6t^2 + 6t - 12 = 6(t+2)(t-1) = 0 \implies t = -2\) 또는 \(t = 1\) 이다.극댓값 \(g(-2) = 0\), 극솟값 \(g(1) = -27\) 이므로, 서로 다른 세 실근을 가질 조건은 \(\text{극솟값} < -a < \text{극댓값} \implies -27 < -a < 0\) 이다.양변에 \(-1\)을 곱하면 \(0 \lt a \lt 27\) 이므로 만족하는 정수 \(a\)의 개수는 \(1, 2, \dots, 26\)으로 총 \(26\)개이다.

첫째항이 \(a\)이고 공비가 \(r\)인 등비수열 \(\{a_n\}\)의 제 \(n\)항까지의 합 \(S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}\) 이므로, \(\frac{S_6}{S_3} = \frac{\frac{a(r^6-1)}{r-1}}{\frac{a(r^3-1)}{r-1}} = r^3 + 1 = \frac{18}{6} = 3\) 에서 \(r^3 = 2\) 이다. 이때 \(S_3 = \frac{a(r^3-1)}{r-1} = 6\) 이다. \(S_{15}\)의 값을 구하면, \(S_{15} = \frac{a(r^{15}-1)}{r-1} = \frac{a(r^3-1)}{r-1} \cdot \frac{(r^3)^5-1}{r^3-1} = S_3 \cdot \frac{2^5-1}{2-1} = 6 \cdot 31 = 186\) 이다. 따라서, 구하고자 하는 식에 대입하면, \(\log_2 \left( 1 + \frac{S_{15}}{6} \right) = \log_2 \left( 1 + \frac{186}{6} \right) = \log_2 (1 + 31) = \log_2 32 = 5\) 이다.

주어진 식에서 \(\log_3(ab) = \log_3 a + \log_3 b = 6\) 이고, \(\log_3 a = 4\log_b 3 = \frac{4}{\log_3 b}\) 이므로 \(\log_3 a \cdot \log_3 b = 4\) 이다. 구하고자 하는 값 \(\log_a b + \log_b a\)는 밑의 변환 공식에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다. \(\log_a b + \log_b a = \frac{\log_3 b}{\log_3 a} + \frac{\log_3 a}{\log_3 b} = \frac{(\log_3 a)^2 + (\log_3 b)^2}{\log_3 a \cdot \log_3 b}\) 곱셈 공식의 변형에 의해 분자를 계산하면, \((\log_3 a)^2 + (\log_3 b)^2 = (\log_3 a + \log_3 b)^2 - 2\log_3 a \cdot \log_3 b = 6^2 - 2 \times 4 = 36 - 8 = 28\) 이다. 따라서, 구하는 값은 \(\frac{28}{4} = 7\) 이다.

\(f(x) = x^2 - 4x + 4\)에서 \(f'(x) = 2x - 4\)이다. 점 \((a, f(a))\)에서의 접선의 방정식은 다음과 같다. \(y - (a^2 - 4a + 4) = (2a - 4)(x - a) \implies y = (2a - 4)x - a^2 + 4\) 이 접선이 \(x\)축과 만나는 점 \(P\)의 \(x\)좌표는 \(y=0\)을 대입하면, \((2a-4)x = a^2-4 \implies x = \frac{a+2}{2}\) 이므로 \(P\left(\frac{a+2}{2}, 0\right)\) 이다. \(y\)축과 만나는 점 \(Q\)의 좌표는 \(x=0\)을 대입하면 \(Q(0, -a^2+4)\) 이다. \(0 \lt a \lt 2\)이므로 \(\frac{a+2}{2} > 0\) 이고 \(-a^2+4 > 0\) 이다. 따라서 삼각형 \(OPQ\)의 넓이를 \(S(a)\)라 하면, \(S(a) = \frac{1}{2} \times \frac{a+2}{2} \times (4-a^2) = -\frac{1}{4}(a^3 + 2a^2 - 4a - 8)\) 이다. 미분하면 \(S'(a) = -\frac{1}{4}(3a^2 + 4a - 4) = -\frac{1}{4}(3a-2)(a+2)\) 이다. \(0 \lt a \lt 2\)이므로 \(S'(a) = 0\)이 되는 \(a\)의 value는 \(a = \frac{2}{3}\) 뿐이다. 증감표를 통해 극대이자 최대임을 확인할 수 있으므로, 넓이가 최대가 될 때의 \(a\)의 값은 \(a = \frac{2}{3}\) 이다.

원의 반지름 \(R=2\)이므로 외접원의 지름은 \(2R = 4\)이다. \(\overline{AB} = 4\)이므로 선분 \(AB\)는 외접원의 지름이다. 따라서 \(\angle ACB\)와 \(\angle ADB\)는 지름에 대한 원주각이므로 직각(\(90^\circ\))이다. 직각삼각형 \(ABC\)에서 피타고라스 정리에 의해, \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}\) 이다. 한편, 현의 길이 \(\overline{BC} = \overline{CD} = 1\)이므로 원주각 \(\angle BAC = \angle CAD = \theta\) 라 할 수 있다. 직각삼각형 \(ABC\)에서 \(\sin\theta = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{4}\), \(\cos\theta = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{15}}{4}\) 이다. 삼각형 \(ACD\)에서 코사인 법칙을 적용하면 (단, \(AD = x\)), \(CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2\cdot AC\cdot AD\cdot\cos\theta\) \(1^2 = (\sqrt{15})^2 + x^2 - 2\sqrt{15}x\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) \implies 2x^2 - 15x + 28 = 0\) 인수분해하면 \((2x-7)(x-4) = 0\) 이므로 \(x = \frac{7}{2}\) 또는 \(x = 4\) 이다. 지름보다 작아야 하므로 \(x < 4\)에서 \(AD = \frac{7}{2}\) 이다. 따라서 사각형 \(ABCD\)의 넓이는 삼각형 \(ABC\)와 \(ACD\)의 넓이의 합이므로, $\text{넓이} = \frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC + \frac{1}{2}\cdot AC\cdot AD\cdot\sin\theta = \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{1}{2}\cdot\sqrt{15}\cdot\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{7\sqrt{15}}{16} = \frac{15\sqrt{15}}{16}$ 이다.

극값의 존재 조건에 따라 분모가 \(0\)으로 갈 때 분자도 \(0\)으로 가야 하므로, \(\lim_{x \to -1} \frac{f(x)}{(x+1)g(x)}\)가 존재하려면 \(f(-1) = 0\) 이어야 한다. 따라서 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(f(x)\)는 \((x+1)\)을 인수로 가지므로 \(f(x) = (x+1)(x^2+ax+b)\)로 놓을 수 있다. 이때 평행이동한 함수 \(g(x) = f(x-5) = (x-4)((x-5)^2+a(x-5)+b)\) 이다. 또한, \(\lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{(x+1)g(x)} = k\) 가 존재하므로 \(x \to 4\)일 때 분모 \(g(x)\)가 \((x-4)\)를 인수로 가져서 \(0\)으로 가기 때문에, 분자 \(f(x)\)도 \((x-4)\)를 인수로 가져야 한다. 따라서 \(f(x) = (x+1)(x-4)(x+d)\)로 설정할 수 있다. 그러면 \(g(x) = f(x-5) = (x-4)(x-9)(x-5+d)\) 이다. 첫 번째 극한 식에 대입하면, \(\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x-4)(x+d)}{(x+1)(x-4)(x-9)(x-5+d)} = \lim_{x \to -1} \frac{x+d}{(x-9)(x-5+d)} = \frac{-1+d}{-10(-6+d)} = -\frac{1}{5}\) 이다. 이를 정리하면 \(\frac{d-1}{10(d-6)} = \frac{1}{5} \implies d - 1 = 2d - 12 \implies d = 11\) 이 된다. 따라서 \(f(x) = (x+1)(x-4)(x+11)\) 이고, \(g(x) = (x-4)(x-9)(x+6)\) 이다. 상수 \(k\)의 값을 계산하면, \(k = \lim_{x \to 4} \frac{(x+1)(x-4)(x+11)}{(x+1)(x-4)(x-9)(x+6)} = \lim_{x \to 4} \frac{x+11}{(x-9)(x+6)} = \frac{15}{-5 \times 10} = -\frac{3}{10}\) 이다.

곡선 \(y = -x^2+6x-9 = -(x-3)^2\) 위의 점 \((a, f(a))\) \((0 \lt a \lt 3)\)에서의 접선의 방정식은 \(f'(x) = -2x+6\)이므로 \(y = -2(a-3)(x-a) - (a-3)^2\) 이다. 따라서 접선의 \(x\)절편은 \(\frac{a+3}{2}\) 이고 \(y\)절편은 \(a^2 - 9\) 이므로 접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 \(\frac{1}{2} \times \left(\frac{a+3}{2}\right) \times (9-a^2)\) 이다. 따라서 \(y = f(x)\)의 그래프와 접선 및 \(x\)축 또는 \(y\)축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 \(S = -\int_0^3 f(x)dx - \text{(삼각형의 넓이)}\)로 계산할 수 있다.$S = -\int_0^3 (-x^2 + 6x - 9) dx - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} = \left[\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x \right]_0^3 - \frac{(a+3)(9-a^2)}{4} = \frac{1}{4}a^3 + \frac{3}{4}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{4}\(이다.따라서 넓이\)S\(의\)(0 \lt a \lt 3)\(에서의 최솟값을 구하기 위해 미분하면,\)S' = \frac{3}{4}a^2 + \frac{3}{2}a - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}(a-1)(a+3)\(이므로,\)a=1\(에서 극소이자 최솟값\)S=1$을 가진다.

두 곡선 \(y=f(x)\), \(y=g(x)\)는 역함수 관계이므로 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이다. 따라서 두 곡선의 교점은 \(f(x) = x\)인 방정식 \(ax^2 = x\)의 해와 같으므로, \(x \ge 0\) 범위에서 교점의 \(x\)좌표는 \(x=0\)과 \(x = \frac{1}{a}\) 이다. ([①]) 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 \(S\)는 \(y=x\)와의 대칭성에 의해 다음의 정적분으로 나타낼 수 있다. \(S = 2 \int_{0}^{\frac{1}{a}} (x - ax^2) \, dx\) ([②]) 정적분을 실제로 계산하면 다음과 같다. $S = 2 \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{a}{3}x^3 \right]_{0}^{\frac{1}{a}} = 2 \left( \frac{1}{2a^2} - \frac{1}{3a^2} \right) = 2 \left( \frac{1}{6a^2} \right) = \frac{1}{3a^2}\(([③]) 넓이\)S = \frac{3}{4}\(이므로,\)\frac{1}{3a^2} = \frac{3}{4} \implies a^2 = \frac{4}{9} \implies a = \frac{2}{3}\((\)0\lt a \lt 1$) 이다. ([④])

\(A \subset B\) 이므로 \(3\log_2 a - 2\log_2 b = 1\) 이다. 이를 정리하면 \(\log_2 \frac{a^3}{b^2} = 1 \implies a^3 = 2b^2 \quad \cdots \text{(①)}\) 이다.또한 주어진 조건에서 \(\log_a b = \frac{3}{2}\) 또는 \(\log_a b = 2\) 이다.1) \(\log_a b = \frac{3}{2}\) 일 때, \(b = a^{\frac{3}{2}}\) 이다. 이를 ①에 대입하면 \(a^3 = 2\left(a^{\frac{3}{2}}\right)^2 = 2a^3\) 이므로 \(a = 0\) 이 되어 \(a > 0, a \ne 1\) 조건을 만족하지 않는다.2) \(\log_a b = 2\) 일 때, \(b = a^2\) 이다. 이를 ①에 대입하면 \(a^3 = 2\left(a^2\right)^2 = 2a^4\) 이다. \(a \ne 0\) 이므로 양변을 \(a^3\)으로 나누면 \(1 = 2a \implies a = \frac{1}{2}\) 이다. 이때 \(b = a^2 = \frac{1}{4}\) 이다.따라서 구하고자 하는 값은 \(ab^2 = a \cdot a^4 = a^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}\) 이다.(참고: \(2\log_a 2 + 2\log_a b = 3\) 을 계산하여 \(\log_a b = \frac{3}{2}\) 또는 \(\log_a b = 2\) 의 결과를 도출할 수도 있다.)

\((\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta\) 이고, 이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터 \(\sin\theta + \cos\theta = \frac{k+2}{k}\), \(\sin\theta\cos\theta = \frac{k+1}{k}\) 이다. 이를 관계식에 대입하면 다음과 같다.\[\left(\frac{k+2}{k}\right)^2 = 1 + 2\left(\frac{k+1}{k}\right) \implies \frac{k^2+4k+4}{k^2} = \frac{3k+2}{k}\]양변에 \(k^2\)을 곱하여 정리하면, \(k^2+4k+4 = 3k^2+2k \implies 2k^2-2k-4 = 0 \implies (k-2)(k+1) = 0\) 이므로, \(k=2\) 또는 \(k=-1\) 이다.1) \(k=2\) 이면 \(\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{2} > 1\) 이 되어 존재할 수 없으므로 부적합하다.2) \(k=-1\) 이면 \(\sin\theta + \cos\theta = -1\) 이고 \(\sin\theta\cos\theta = 0\) 이다.\(0 \le \theta \le \pi\) 에서 이를 만족하는 \(\theta\)는 \(\theta = \pi\) 이다.

수열 \{a_n\}의 \(a_4 = \alpha, a_5 = -\alpha\)라 할 경우 다음과 같다.\(a_3 = a_4 - a_5 = \alpha - (-\alpha) = 2\alpha\)\(a_2 = a_3 - a_4 = 2\alpha - \alpha = \alpha\)\(a_1 = a_2 - a_3 = \alpha - 2\alpha = -\alpha\)\(a_6 = a_5 - a_4 = -\alpha - \alpha = -2\alpha\)\(a_7 = a_6 - a_5 = -2\alpha - (-\alpha) = -\alpha\)결국 \(a_n = a_{n+6}\) 이며, 수열의 6개 항의 합은 \(\sum_{k=1}^6 a_k = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = -\alpha + \alpha + 2\alpha + \alpha - \alpha - 2\alpha = 0\) 이다.이때 \(S_1 = -\alpha < 0\) 이고 (단, 첫째항조건에서 \(S_1 > 0\) 이므로 \alpha < 0), \(S_1 > 0, S_2 = 0, S_3 < 0, S_4 < 0, S_5 < 0, S_6 = 0\) 이므로, \(S_n < 0\)을 만족시키는 \(300\) 이하의 자연수 \(n\)은 한 주기(6개)마다 3개(\(n=3, 4, 5\))씩 존재한다. 따라서 구하고자 하는 \(n\)의 개수는 \(50 \times 3 = 150\) 이다.

\(x=1\)에서 함수 \(f(x)\)가 연속이 되기 위해서는 \(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1} = f(1) = \frac{1+b}{\sqrt{2}}\) 가 성립해야 한다.극한값 \(\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-a}{x-1}\)가 존재하므로, \(x \to 1^+\)일 때 (분자) \(\to 0\) 이어야 한다. 즉, \(\sqrt{2}-a=0 \implies a=\sqrt{2}\) 이다.따라서 극한값을 구하면 다음과 같다.$\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\(이때\)\frac{1+b}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\(이므로,\)1+b = \frac{1}{2} \implies b = -\frac{1}{2}$ 이다.

두 점 P, Q의 위치의 차는 \(x_1(t) - x_2(t) = t^3 - 6t^2 + 9t = t(t-3)^2\) 이므로, 두 점이 만나는 시각은 \(t=0\) 또는 \(t=3\) 이다. 따라서 \(t_b = 3\) 이다.한편, 두 점 P, Q의 시각 \(t\)에서의 속도는 각각 다음과 같다.\(v_1(t) = \frac{d}{dt}x_1(t) = 9t^2 - 6t + 7\)\(v_2(t) = \frac{d}{dt}x_2(t) = 6t^2 + 6t - 2\)두 점 of 속도가 같아지는 조건 \(v_1(t) - v_2(t) = 0\) 에서,\(v_1(t) - v_2(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3) = 0\)이를 만족하는 시각은 \(t=1\) 또는 \(t=3\) 이다. 따라서 \(t_a = 1\) 이다.