(1) \(a\)\(:\)\(b=2\)\(:\)\(1\) \(\rightarrow\) \(a=2b\) 이다. 세 점의 \(x\) 좌표는 \(y=3\) 이 되는 점들이므로,
\(x_A\) \(=\) \(2^3\) \(=\) \(8\)\(,\)\(x_B\) \(=\) \(a^3\) \(=\) \(8b^3\)\(,\)\(x_C\) \(=\) \(b^3\) 이다.
\(\overline{\text{AC}}\) \(=\) \(|b^3\) \(-\) \(8|\)\(,\)\(\overline{\text{BC}}\) \(=\) \(|a^3\) \(-\) \(b^3|\) \(=\) \(|8b^3\) \(-\) \(b^3|\) \(=\) \(7b^3\) \((\)자연수이므로 \(b>2\) \()\)\(.\)
\(\overline{\text{AC}}\)\(:\)\(\overline{\text{BC}}\) \(=\) \(1\)\(:\)\(8\) \(\rightarrow\) \(8|b^3\) \(-\) \(8|\) \(=\) \(7b^3\) \(\rightarrow\) \(8(b^3-8)\) \(=\) \(7b^3\) \(\rightarrow\) \(b^3\) \(=\) \(64\) \(\rightarrow\) \(b=4\) 이다.
\(b=4\) 이므로 \(a=8\) 이다.
\(\sqrt{a^3+b^3}\) \(=\) \(\sqrt{512+64}\) \(=\) \(\sqrt{576}\) \(=\) \(24\)이다.

(2) \(x_A\) \(=\) \(8\)\(,\)\(x_B\) \(=\) \(8^3\) \(=\) \(512\) 이므로 \(\overline{\text{AB}}\) \(=\) \(512\) \(-\) \(8\) \(=\) \(504\)이다.

(3) 점 \(\text{C}\) 의 \(x\) 좌표는 \(b^3\) \(=\) \(64\) 이므로 \(\text{C}(64\)\(,\)\(3)\)이다.

(1) \(a\)\(:\)\(b=2\)\(:\)\(1\) \(\rightarrow\) \(a=2b\) 이다. 세 점의 \(x\) 좌표는 \(y=3\) 이 되는 점들이므로,
\(x_A\) \(=\) \(2^3\) \(=\) \(8\)\(,\)\(x_B\) \(=\) \(a^3\) \(=\) \(8b^3\)\(,\)\(x_C\) \(=\) \(b^3\) 이다.
\(\overline{\text{AC}}\) \(=\) \(|b^3\) \(-\) \(8|\)\(,\)\(\overline{\text{BC}}\) \(=\) \(|a^3\) \(-\) \(b^3|\) \(=\) \(|8b^3\) \(-\) \(b^3|\) \(=\) \(7b^3\) \((\)자연수이므로 \(b>2\) \()\)\(.\)
\(\overline{\text{AC}}\)\(:\)\(\overline{\text{BC}}\) \(=\) \(1\)\(:\)\(8\) \(\rightarrow\) \(8|b^3\) \(-\) \(8|\) \(=\) \(7b^3\) \(\rightarrow\) \(8(b^3-8)\) \(=\) \(7b^3\) \(\rightarrow\) \(b^3\) \(=\) \(64\) \(\rightarrow\) \(b=4\) 이다.
\(b=4\) 이므로 \(a=8\) 이다.
\(\sqrt{a^3+b^3}\) \(=\) \(\sqrt{512+64}\) \(=\) \(\sqrt{576}\) \(=\) \(24\)이다.

(2) \(x_A\) \(=\) \(8\)\(,\)\(x_B\) \(=\) \(8^3\) \(=\) \(512\) 이므로 \(\overline{\text{AB}}\) \(=\) \(512\) \(-\) \(8\) \(=\) \(504\)이다.

(3) 점 \(\text{C}\) 의 \(x\) 좌표는 \(b^3\) \(=\) \(64\) 이므로 \(\text{C}(64\)\(,\)\(3)\)이다.

(1) \(g(x)\) 의 주기는 \(h(\alpha)\) \(=\) \(2\pi\) \(\alpha\) 이다.
\(f(\alpha)\) \(=\) \(5\cos(-2\pi\) \(+\) \(2/3\pi)\) \(-\) \(2\sin\left(\frac{2\pi\alpha}{12}+\frac{17}{6}\pi\right)\) \(=\) \(-\frac{5}{2}\) \(-\) \(2\sin\left(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi\right)\) 이다.
최대일 때는 \(\sin\) 부분이 최소인 \(-1\) 일 때이므로, \(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi\) \(=\) \(\frac{3}{2}\pi\) \(+\) \(2\pi\) \(k\) \(\rightarrow\) \(\frac{\pi\alpha}{6}\) \(=\) \(-\frac{8}{6}\pi\) \(+\) \(2\pi\) \(k\) \(=\) \(-\frac{4}{3}\pi\) \(+\) \(2\pi\) \(k\)
양수 \(\alpha\) 의 최솟값 \(m\) 은 \(k=1\) 일 때이므로 \(\alpha\) \(=\) \(6\) \(\times\) \((2/3)\) \(=\) \(4\) . 즉, \(m=4\)이다.

(2) 최소일 때는 \(\sin\) 부분이 최대인 \(1\) 일 때이므로, \(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi\) \(=\) \(\frac{1}{2}\pi\) \(+\) \(2\pi\) \(k\) \(\rightarrow\) \(\frac{\pi\alpha}{6}\) \(=\) \(-\frac{14}{6}\pi\) \(+\) \(2\pi\) \(k\)
양수 \(\alpha\) 의 최솟값 \(n\) 은 \(k=2\) 일 때이므로 \(\alpha\) \(=\) \(6\) \(\times\) \((10/6)\) \(=\) \(10\) . 즉, \(n=10\)이다.

(3) \(h(m)\) \(=\) \(8\pi\)\(,\)\(h(n)\) \(=\) \(20\pi\) 이므로 차이는 \(12\pi\)이다.

(1) \(g(x)\) 의 주기는 \(h(\alpha)\) \(=\) \(2\pi\) \(\alpha\) 이다.
\(f(\alpha)\) \(=\) \(5\cos(-2\pi\) \(+\) \(2/3\pi)\) \(-\) \(2\sin\left(\frac{2\pi\alpha}{12}+\frac{17}{6}\pi\right)\) \(=\) \(-\frac{5}{2}\) \(-\) \(2\sin\left(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi\right)\) 이다.
최대일 때는 \(\sin\) 부분이 최소인 \(-1\) 일 때이므로, \(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi\) \(=\) \(\frac{3}{2}\pi\) \(+\) \(2\pi\) \(k\) \(\rightarrow\) \(\frac{\pi\alpha}{6}\) \(=\) \(-\frac{8}{6}\pi\) \(+\) \(2\pi\) \(k\) \(=\) \(-\frac{4}{3}\pi\) \(+\) \(2\pi\) \(k\)
양수 \(\alpha\) 의 최솟값 \(m\) 은 \(k=1\) 일 때이므로 \(\alpha\) \(=\) \(6\) \(\times\) \((2/3)\) \(=\) \(4\) . 즉, \(m=4\)이다.

(2) 최소일 때는 \(\sin\) 부분이 최대인 \(1\) 일 때이므로, \(\frac{\pi\alpha}{6}+\frac{17}{6}\pi\) \(=\) \(\frac{1}{2}\pi\) \(+\) \(2\pi\) \(k\) \(\rightarrow\) \(\frac{\pi\alpha}{6}\) \(=\) \(-\frac{14}{6}\pi\) \(+\) \(2\pi\) \(k\)
양수 \(\alpha\) 의 최솟값 \(n\) 은 \(k=2\) 일 때이므로 \(\alpha\) \(=\) \(6\) \(\times\) \((10/6)\) \(=\) \(10\) . 즉, \(n=10\)이다.

(3) \(h(m)\) \(=\) \(8\pi\)\(,\)\(h(n)\) \(=\) \(20\pi\) 이므로 차이는 \(12\pi\)이다.

(1) 조건 (가)는 \(\frac{f(p)}{p-1}\) \(>\) \(\frac{f(q)}{q-1}\) 을 의미하므로 원점과 곡선 위의 점을 잇는 평균변화율이 감소하는 형태\((\)위로 볼록한 지수로그 형태\()\)로 \(a>1\)임을 의미한다.
조건 (나)에서 \(|\log_a 8| = 3 \rightarrow a=2\)이다.

(2) \(f(x)\) \(=\) \(\log_2\) \(x\) \(\rightarrow\) \(\text{A}(1\)\(,\)\(0)\)\(.\)
\(g(x)\) \(=\) \(-\log_2\) \(x\) \(+\) \(4\) \(\rightarrow\) \(\text{B}(16\)\(,\)\(0)\) . 밑변 \(\overline{\text{AB}}\) \(=\) \(15\).
교점 \(\text{C}\) 는 \(\log_2\) \(x\) \(=\) \(-\log_2\) \(x\) \(+\) \(4\) \(\rightarrow\) \(\log_2\) \(x\) \(=\) \(2\) \(\rightarrow\) \(x=4\) . 높이 \(y\) \(=\) \(2\)이다.
넓이는 \(\frac{1}{2} \times 15 \times 2 = 15\)이다.

(3) \(f(x)\) \(=\) \(\log_2\) \(x\) 의 역함수는 \(y\) \(=\) \(2^x\)이다.
원점 대칭이동: \(y = -2^{-x}\).
직선 \(y=x\) 대칭이동: \(x\) \(=\) \(-2^{-y}\) \(\rightarrow\) \(y\) \(=\) \(-\log_2(-x)\)\(.\)
\(x\) 축으로 \(k\) 평행이동: \(y\) \(=\) \(-\log_2(-(x-k))\).
점 \((-6\)\(,\)\(-1)\) 대입: \(-1\) \(=\) \(-\log_2(6+k)\) \(\rightarrow\) \(6+k=2\) \(\rightarrow\) \(k=-4\)이다.

(1) 조건 (가)는 \(\frac{f(p)}{p-1}\) \(>\) \(\frac{f(q)}{q-1}\) 을 의미하므로 원점과 곡선 위의 점을 잇는 평균변화율이 감소하는 형태\((\)위로 볼록한 지수로그 형태\()\)로 \(a>1\)임을 의미한다.
조건 (나)에서 \(|\log_a 8| = 3 \rightarrow a=2\)이다.

(2) \(f(x)\) \(=\) \(\log_2\) \(x\) \(\rightarrow\) \(\text{A}(1\)\(,\)\(0)\)\(.\)
\(g(x)\) \(=\) \(-\log_2\) \(x\) \(+\) \(4\) \(\rightarrow\) \(\text{B}(16\)\(,\)\(0)\) . 밑변 \(\overline{\text{AB}}\) \(=\) \(15\).
교점 \(\text{C}\) 는 \(\log_2\) \(x\) \(=\) \(-\log_2\) \(x\) \(+\) \(4\) \(\rightarrow\) \(\log_2\) \(x\) \(=\) \(2\) \(\rightarrow\) \(x=4\) . 높이 \(y\) \(=\) \(2\)이다.
넓이는 \(\frac{1}{2} \times 15 \times 2 = 15\)이다.

(3) \(f(x)\) \(=\) \(\log_2\) \(x\) 의 역함수는 \(y\) \(=\) \(2^x\)이다.
원점 대칭이동: \(y = -2^{-x}\).
직선 \(y=x\) 대칭이동: \(x\) \(=\) \(-2^{-y}\) \(\rightarrow\) \(y\) \(=\) \(-\log_2(-x)\)\(.\)
\(x\) 축으로 \(k\) 평행이동: \(y\) \(=\) \(-\log_2(-(x-k))\).
점 \((-6\)\(,\)\(-1)\) 대입: \(-1\) \(=\) \(-\log_2(6+k)\) \(\rightarrow\) \(6+k=2\) \(\rightarrow\) \(k=-4\)이다.

(1) \(a_{2n+1} = (n+1)^3+1 = n^3+3n^2+3n+2\) 이다.
조건 (다)에서 \(a_{2n-1}\) \(<\) \(a_{2n}\) \(<\) \(a_{2n+1}\) 이므로 \(n^3+1\) \(<\) \(n^3+1+d\) \(<\) \(n^3+3n^2+3n+2\) 이다.
\(0\) \(<\) \(d\) \(<\) \(3n^2+3n+1\) 이 모든 자연수 \(n\) 에 대해 성립해야 하므로 \(n=1\) 일 때 \(d\) \(<\) \(7\) 이다. 따라서 자연수 \(d\) 는 \(1\) \(\le\) \(d\) \(\le\) \(6\) 이다.
\(\sum_{n=1}^{13}\) \(a_n\) \(=\) \(a_1\) \(+\) \(\sum_{k=1}^6\) \((a_{2k}\) \(+\) \(a_{2k+1})\) \(=\) \(1238\) \(+\) \(6d\)로 유도된다.
최댓값 (\(d=6\) \()\)\(:\)\(1238+36=1274\) . 최솟값 \((\) \(d=1\) \()\)\(:\)\(1238+6=1244\). 차이는 30이다.

(2) 최소인 경우는 \(d=1\) 일 때이므로, \(a_{16}\) \(=\) \(a_{15}\) \(+\) \(1\) \(=\) \((8^3+1)\) \(+\) \(1\) \(=\) \(514\)이다.

(1) \(a_{2n+1} = (n+1)^3+1 = n^3+3n^2+3n+2\) 이다.
조건 (다)에서 \(a_{2n-1}\) \(<\) \(a_{2n}\) \(<\) \(a_{2n+1}\) 이므로 \(n^3+1\) \(<\) \(n^3+1+d\) \(<\) \(n^3+3n^2+3n+2\) 이다.
\(0\) \(<\) \(d\) \(<\) \(3n^2+3n+1\) 이 모든 자연수 \(n\) 에 대해 성립해야 하므로 \(n=1\) 일 때 \(d\) \(<\) \(7\) 이다. 따라서 자연수 \(d\) 는 \(1\) \(\le\) \(d\) \(\le\) \(6\) 이다.
\(\sum_{n=1}^{13}\) \(a_n\) \(=\) \(a_1\) \(+\) \(\sum_{k=1}^6\) \((a_{2k}\) \(+\) \(a_{2k+1})\) \(=\) \(1238\) \(+\) \(6d\)로 유도된다.
최댓값 (\(d=6\) \()\)\(:\)\(1238+36=1274\) . 최솟값 \((\) \(d=1\) \()\)\(:\)\(1238+6=1244\). 차이는 30이다.

(2) 최소인 경우는 \(d=1\) 일 때이므로, \(a_{16}\) \(=\) \(a_{15}\) \(+\) \(1\) \(=\) \((8^3+1)\) \(+\) \(1\) \(=\) \(514\)이다.

(1) \(\lim_{x\to2}\) \(\frac{(x^2-2x+k-1)f(x)}{x-2}\) \(=\) \(0\) 에서 수렴하므로 분자가 \(0\)으로 가야 한다. 즉, \(k=1\) 또는 \(f(2)=0\) 이다. 분석 결과 \(k=1\)\(,\)\(f(2)=0\) 이 성립한다. 이 경우 \(f(x)=(x-2)(x+a+2)\)이다.
조건 (나)에서 \(f(t)=f'(t)\) \(\rightarrow\) \((t-2)(t+a+2)\) \(=\) \(2t+a\) 이다. 또한 곱의 미분법을 이용해 \(g'(t)\) \(=\) \((2t-2)f(t)+(t^2-2t+1)f'(t)\) 에서 \(f(t)=f'(t)\) 를 대입하면 \(g'(t)\) \(=\) \((t^2-1)f'(t)\) \(=\) \(3f'(t)\) \(\rightarrow\) \(t^2-1=3\) \(\rightarrow\) \(t\) \(=\) \(\pm\) \(2\)이다.
검토 결과 \(t=2\) 이면 모순이 생기므로 \(t=-2\)이다.

(2) \(t=-2\) 일 때 조건에 대입하면 \(f(-2)=f'(-2)\) \(\rightarrow\) \(-4(a)\) \(=\) \(-4+a\) \(\rightarrow\) \(a\) \(=\) \(4/5\) 이다.
\(b\) \(=\) \(-2(a+2)\) \(=\) \(-28/5\) 이므로, \(\frac{b}{a}\) \(=\) \(-7\)이다.

(3) \(g(x)\) \(=\) \((x-1)^2(x-2)(x+14/5)\) 이므로 \(g(3)\) \(=\) \(4\) \(\times\) \(1\) \(\times\) \(29/5\) \(=\) \(116/5\) 이다. \(m=116\)\(,\)\(n=5\) \(\rightarrow\) \(m+n=121\)이다.

(1) \(\lim_{x\to2}\) \(\frac{(x^2-2x+k-1)f(x)}{x-2}\) \(=\) \(0\) 에서 수렴하므로 분자가 \(0\)으로 가야 한다. 즉, \(k=1\) 또는 \(f(2)=0\) 이다. 분석 결과 \(k=1\)\(,\)\(f(2)=0\) 이 성립한다. 이 경우 \(f(x)=(x-2)(x+a+2)\)이다.
조건 (나)에서 \(f(t)=f'(t)\) \(\rightarrow\) \((t-2)(t+a+2)\) \(=\) \(2t+a\) 이다. 또한 곱의 미분법을 이용해 \(g'(t)\) \(=\) \((2t-2)f(t)+(t^2-2t+1)f'(t)\) 에서 \(f(t)=f'(t)\) 를 대입하면 \(g'(t)\) \(=\) \((t^2-1)f'(t)\) \(=\) \(3f'(t)\) \(\rightarrow\) \(t^2-1=3\) \(\rightarrow\) \(t\) \(=\) \(\pm\) \(2\)이다.
검토 결과 \(t=2\) 이면 모순이 생기므로 \(t=-2\)이다.

(2) \(t=-2\) 일 때 조건에 대입하면 \(f(-2)=f'(-2)\) \(\rightarrow\) \(-4(a)\) \(=\) \(-4+a\) \(\rightarrow\) \(a\) \(=\) \(4/5\) 이다.
\(b\) \(=\) \(-2(a+2)\) \(=\) \(-28/5\) 이므로, \(\frac{b}{a}\) \(=\) \(-7\)이다.

(3) \(g(x)\) \(=\) \((x-1)^2(x-2)(x+14/5)\) 이므로 \(g(3)\) \(=\) \(4\) \(\times\) \(1\) \(\times\) \(29/5\) \(=\) \(116/5\) 이다. \(m=116\)\(,\)\(n=5\) \(\rightarrow\) \(m+n=121\)이다.

(1) \(g'(x)\) \(=\) \((x-3)f(x)\) 이다. 교점 및 극값은 \(g'(x)=0\) 인 점이므로 \(x=3\) 또는 \(f(x)=0\) 인 점이다.
\(x\) \(\ge\) \(3\) 에서 \(3x-18=0\) \(\rightarrow\) \(x=6\)\(,\)\(x\) \(<\) \(3\) 에서 \(-2x-3=0\) \(\rightarrow\) \(x=-3/2\)이다.
따라서 극값 후보는 \(x = -3/2, 3, 6\)이다.

(2) \(g(x)\) 의 각 극값을 구한다. \(C_2=0\)\(,\)\(C_1=-45\) 이다.
\(x=-3/2\) 극소 \(g(-3/2)\) \(=\) \(-63/8\)\(,\)\(x=3\) 극대 \(g(3)=45/2\)\(,\)\(x=6\) 극소 \(g(6)=9\) 이다. 최솟값은 \(-63/8\)이다.

(3) 극소와 극대 값을 기준으로 직선 \(y=n\) 의 교점 \(a_n\) 의 개수를 구하면,)
\(n=1\) \(\sim\) \(8\) : 교점 \(2\)개 \((\)극소 \(9\)보다 아래\()
\(n=9\) : 교점 \(3\)개 \((\) \(x=6\) 극소에 걸침\()
\(n=10\) \(\sim\) \(15\) : 교점 \(4\)개 \((\) \(9\) \(<\) \(n\) \(<\) \(22\)\(.\)\(5\) \()
\(\sum_{k=1}^{15}\) \(a_k\) \(=\) \(2\) \(\times\) \(8\) \(+\) \(3\) \(\times\) \(1\) \(+\) \(4\) \(\times\) \(6\) \(=\) \(43\)이다.

(1) \(g'(1/2)\) \(=\) \(f(11/2)\) \(-\) \(f(1/2)\) \(=\) \(0\) \(\rightarrow\) \(f(11/2)=f(1/2)\) 이므로 \(f(x)\) 는 대칭축이 \(x=3\)이다.
또한 극한값이 존재하므로 \(f(1)=0\) 이다. 대칭축이 \(3\)이므로 \(f(x)\) \(=\) \((x-1)(x-5)\)이다.

(2) \(g'(x)\) \(=\) \(f(|x+5|)\) \(-\) \(f(|x|)\) \(=\) \(0\) \(\rightarrow\) \(|x+5|\) 와 \(|x|\) 가 \(f(x)\)의 대칭성 등에 의해 함숫값이 같을 조건은,
구간별 분석 시: (i) \(x\) \(<\) \(-5\) 일 때 \(x\) \(=\) \(-11/2\)\(,\)\((ii)\) \(-5\) \(\le\) \(x\) \(<\) \(0\) 일 때 \(x\) \(=\) \(-5/2\)\(,\)\((iii)\) \(x\) \(\ge\) \(0\) 일 때 \(x\) \(=\) \(1/2\)이다.
따라서 \(\alpha = -11/2, \beta = -5/2\)이다.

(3) 증감표를 작성하여 부호 변화를 조사하면, \(x = -5/2\)에서 극대를 가짐을 알 수 있다.

(1) \(g'(1/2)\) \(=\) \(f(11/2)\) \(-\) \(f(1/2)\) \(=\) \(0\) \(\rightarrow\) \(f(11/2)=f(1/2)\) 이므로 \(f(x)\) 는 대칭축이 \(x=3\)이다.
또한 극한값이 존재하므로 \(f(1)=0\) 이다. 대칭축이 \(3\)이므로 \(f(x)\) \(=\) \((x-1)(x-5)\)이다.

(2) \(g'(x)\) \(=\) \(f(|x+5|)\) \(-\) \(f(|x|)\) \(=\) \(0\) \(\rightarrow\) \(|x+5|\) 와 \(|x|\) 가 \(f(x)\)의 대칭성 등에 의해 함숫값이 같을 조건은,
구간별 분석 시: (i) \(x\) \(<\) \(-5\) 일 때 \(x\) \(=\) \(-11/2\)\(,\)\((ii)\) \(-5\) \(\le\) \(x\) \(<\) \(0\) 일 때 \(x\) \(=\) \(-5/2\)\(,\)\((iii)\) \(x\) \(\ge\) \(0\) 일 때 \(x\) \(=\) \(1/2\)이다.
따라서 \(\alpha = -11/2, \beta = -5/2\)이다.

(3) 증감표를 작성하여 부호 변화를 조사하면, \(x = -5/2\)에서 극대를 가짐을 알 수 있다.

(1) \(g(1)\) 은 구간 \([1\)\(,\)\(3]\) 에서의 \(f(x)\) 의 최솟값이다.
\(x\) \(\ge\) \(0\) 에서 \(f(x)\) \(=\) \(x^2-4x\) 이며, 대칭축이 \(2\)이고 최솟값은 \(f(2)=-4\) 이다. 따라서 \(g(1)\) \(=\) \(-4\)이다.

(2) \(f(x)\) 는 원점 대칭이므로 \(x\) \(<\) \(0\) 에서 \(f(x)\) \(=\) \(-x^2-4x\) 이다.
\(g(t)\) 의 정의에 따라 함수를 구하면, \(t\) \(\le\) \(-3\) 일 때 \(g(t)=f(t)\)\(,\)\(-3\) \(\le\) \(t\) \(\le\) \(0\) 일 때 \(g(t)=f(t+2)\)\(,\)\(0\) \(\le\) \(t\) \(\le\) \(2\) 일 때 \(g(t)=-4\)\(,\)\(t\) \(\ge\) \(2\) 일 때 \(g(t)=f(t)\)이다.
따라서 \(f(x) \ne g(x) 인 범위는 -3 < x < 2\)이다.

(3) 도형의 넓이는 \(\int_{-3}^2\) \((f(x)-g(x))\) \(dx\) 이다. 구간별로 쪼개어 정적분을 계산하면 \(\frac{46}{3}\)이 된다.

(1) \(g(1)\) 은 구간 \([1\)\(,\)\(3]\) 에서의 \(f(x)\) 의 최솟값이다.
\(x\) \(\ge\) \(0\) 에서 \(f(x)\) \(=\) \(x^2-4x\) 이며, 대칭축이 \(2\)이고 최솟값은 \(f(2)=-4\) 이다. 따라서 \(g(1)\) \(=\) \(-4\)이다.

(2) \(f(x)\) 는 원점 대칭이므로 \(x\) \(<\) \(0\) 에서 \(f(x)\) \(=\) \(-x^2-4x\) 이다.
\(g(t)\) 의 정의에 따라 함수를 구하면, \(t\) \(\le\) \(-3\) 일 때 \(g(t)=f(t)\)\(,\)\(-3\) \(\le\) \(t\) \(\le\) \(0\) 일 때 \(g(t)=f(t+2)\)\(,\)\(0\) \(\le\) \(t\) \(\le\) \(2\) 일 때 \(g(t)=-4\)\(,\)\(t\) \(\ge\) \(2\) 일 때 \(g(t)=f(t)\)이다.
따라서 \(f(x) \ne g(x) 인 범위는 -3 < x < 2\)이다.

(3) 도형의 넓이는 \(\int_{-3}^2\) \((f(x)-g(x))\) \(dx\) 이다. 구간별로 쪼개어 정적분을 계산하면 \(\frac{46}{3}\)이 된다.

①-1 ㉡ / ①-2 지도학적 스케일
②-1 ㉢ / ②-2 포스트 구조주의적

제시문 독해 분석을 바탕으로 요건을 파악한다. ①-1 ㉡ / ①-2 지도학적 스케일
②-1 ㉢ / ②-2 포스트 구조주의적

① ㉣
② ㉢
③ ㉠
④ ㉡

제시문 독해 분석을 바탕으로 요건을 파악한다. ① ㉣
② ㉢
③ ㉠
④ ㉡

(1) \(\angle\text{BCA}\) \(=\) \(\pi/2\) 이다. 피타고라스 정리에 의하여:
\(\overline{\text{AB}}^2\) \(=\) \(\overline{\text{CA}}^2\) \(+\) \(\overline{\text{CB}}^2\) \(=\) \(\sqrt[3]{3}\) \(+\) \(\sqrt[3]{24}\) \(=\) \(3\sqrt[3]{3}\) 이고, \(\overline{\text{AB}}\) \(=\) \(\sqrt{3\sqrt[3]{3}}\) \(=\) \(\sqrt[6]{81}\) \(=\) \(\sqrt[6]{3^4}\)이다.
직각삼각형 닮음에 의하여: \(\overline{\text{BC}}^2\) \(=\) \(\overline{\text{BH}}\) \(\cdot\) \(\overline{\text{AB}}\) 이므로,
\(a\) \(=\) \(\overline{\text{BH}}\) \(=\) \(\frac{\overline{\text{BC}}^2}{\overline{\text{AB}}}\) \(=\) \(\frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[6]{81}}\) \(=\) \(\frac{2\sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{3^4}}\) \(=\) \(\frac{2\sqrt[6]{9}}{\sqrt[6]{81}}\) \(=\) \(\frac{2}{\sqrt[6]{9}}\) \(=\) \(\frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\)이다.

(2) 넓이 관계에 의하여: \(\overline{\text{CA}}\) \(\cdot\) \(\overline{\text{CB}}\) \(=\) \(\overline{\text{AB}}\) \(\cdot\) \(\overline{\text{CH}}\) 이므로,
\(b\) \(=\) \(\overline{\text{CH}}\) \(=\) \(\frac{\overline{\text{CA}}\) \(\cdot\) \(\overline{\text{CB}}}{\overline{\text{AB}}}\) \(=\) \(\frac{\sqrt[6]{3}\) \(\cdot\) \(\sqrt[6]{24}}{\sqrt[6]{81}}\) \(=\) \(\frac{\sqrt[6]{72}}{\sqrt[6]{81}}\) \(=\) \(\sqrt[6]{\frac{8}{9}}\) \(=\) \(\frac{\sqrt[6]{648}}{3}\)이다.

(3) 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여:
- \(\alpha + \beta = a = \frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\)
- \(\alpha\beta = -\sqrt[6]{648}b = -\sqrt[6]{648} \cdot \frac{\sqrt[6]{648}}{3} = -\frac{\sqrt[3]{648}}{3} = -2\sqrt[3]{3}
\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = \left(\frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\right)^3 - 3(-2\sqrt[3]{3})\left(\frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\right) = \frac{8}{3} + 12 = \frac{44}{3}\)이다.

(1) \(\angle\text{BCA}\) \(=\) \(\pi/2\) 이다. 피타고라스 정리에 의하여:
\(\overline{\text{AB}}^2\) \(=\) \(\overline{\text{CA}}^2\) \(+\) \(\overline{\text{CB}}^2\) \(=\) \(\sqrt[3]{3}\) \(+\) \(\sqrt[3]{24}\) \(=\) \(3\sqrt[3]{3}\) 이고, \(\overline{\text{AB}}\) \(=\) \(\sqrt{3\sqrt[3]{3}}\) \(=\) \(\sqrt[6]{81}\) \(=\) \(\sqrt[6]{3^4}\)이다.
직각삼각형 닮음에 의하여: \(\overline{\text{BC}}^2\) \(=\) \(\overline{\text{BH}}\) \(\cdot\) \(\overline{\text{AB}}\) 이므로,
\(a\) \(=\) \(\overline{\text{BH}}\) \(=\) \(\frac{\overline{\text{BC}}^2}{\overline{\text{AB}}}\) \(=\) \(\frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[6]{81}}\) \(=\) \(\frac{2\sqrt[3]{3}}{\sqrt[6]{3^4}}\) \(=\) \(\frac{2\sqrt[6]{9}}{\sqrt[6]{81}}\) \(=\) \(\frac{2}{\sqrt[6]{9}}\) \(=\) \(\frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\)이다.

(2) 넓이 관계에 의하여: \(\overline{\text{CA}}\) \(\cdot\) \(\overline{\text{CB}}\) \(=\) \(\overline{\text{AB}}\) \(\cdot\) \(\overline{\text{CH}}\) 이므로,
\(b\) \(=\) \(\overline{\text{CH}}\) \(=\) \(\frac{\overline{\text{CA}}\) \(\cdot\) \(\overline{\text{CB}}}{\overline{\text{AB}}}\) \(=\) \(\frac{\sqrt[6]{3}\) \(\cdot\) \(\sqrt[6]{24}}{\sqrt[6]{81}}\) \(=\) \(\frac{\sqrt[6]{72}}{\sqrt[6]{81}}\) \(=\) \(\sqrt[6]{\frac{8}{9}}\) \(=\) \(\frac{\sqrt[6]{648}}{3}\)이다.

(3) 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여:
- \(\alpha + \beta = a = \frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\)
- \(\alpha\beta = -\sqrt[6]{648}b = -\sqrt[6]{648} \cdot \frac{\sqrt[6]{648}}{3} = -\frac{\sqrt[3]{648}}{3} = -2\sqrt[3]{3}
\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = \left(\frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\right)^3 - 3(-2\sqrt[3]{3})\left(\frac{2}{3}\sqrt[3]{9}\right) = \frac{8}{3} + 12 = \frac{44}{3}\)이다.

(1) 공차 \(d\) \(=\) \(\frac{21-7}{11-4}\) \(=\) \(2\) 이다. 첫째항 \(a_1\) \(=\) \(a_4\) \(-\) \(3d\) \(=\) \(1\) 이다. 따라서 일반항 \(a_n\) \(=\) \(2n-1\)이다.

(2) \(\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{(2k-1)(2k+3)} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+3} \right)\) 이다.
전개하여 소거하면: \(\frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{21} - \frac{1}{23} \right) = \frac{50}{161}\)이다.

(3) \(\sum_{k=1}^m\) \(\frac{4}{a_k\) \(a_{k+2}}\) \(=\) \(\left(\) \(1\) \(+\) \(\frac{1}{3}\) \(-\) \(\frac{1}{2m+1}\) \(-\) \(\frac{1}{2m+3}\) \(\right)\) \(=\) \(\frac{4}{3}\) \(-\) \(\frac{4m+4}{(2m+1)(2m+3)}\) \(<\)\(;\)\(\frac{13}{12}\) 이다.
\(\frac{4m+4}{4m^2+8m+3}\) \(>\)\(;\)\(\frac{4}{3}\) \(-\) \(\frac{13}{12}\) \(=\) \(\frac{1}{4}\) \(\rightarrow\) \(16m+16\) \(>\)\(;\)\(4m^2+8m+3\) \(\rightarrow\) \(4m^2-8m-13\) \(<\)\(;\)\(0\) 이다.
만족하는 자연수 \(m\) 은 \(1\)\(,\)\(2\)\(,\)\(3\)이다. \((\)대입 시 \(m=3\) 일 때 \(-1\) \(<\)\(;\)\(0\)\(,\)\(m=4\) 일 때 \(19\) \(>\)\(;\)\(0\))

(1) 공차 \(d\) \(=\) \(\frac{21-7}{11-4}\) \(=\) \(2\) 이다. 첫째항 \(a_1\) \(=\) \(a_4\) \(-\) \(3d\) \(=\) \(1\) 이다. 따라서 일반항 \(a_n\) \(=\) \(2n-1\)이다.

(2) \(\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{(2k-1)(2k+3)} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{10} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+3} \right)\) 이다.
전개하여 소거하면: \(\frac{1}{4} \left( 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{21} - \frac{1}{23} \right) = \frac{50}{161}\)이다.

(3) \(\sum_{k=1}^m\) \(\frac{4}{a_k\) \(a_{k+2}}\) \(=\) \(\left(\) \(1\) \(+\) \(\frac{1}{3}\) \(-\) \(\frac{1}{2m+1}\) \(-\) \(\frac{1}{2m+3}\) \(\right)\) \(=\) \(\frac{4}{3}\) \(-\) \(\frac{4m+4}{(2m+1)(2m+3)}\) \(<\)\(;\)\(\frac{13}{12}\) 이다.
\(\frac{4m+4}{4m^2+8m+3}\) \(>\)\(;\)\(\frac{4}{3}\) \(-\) \(\frac{13}{12}\) \(=\) \(\frac{1}{4}\) \(\rightarrow\) \(16m+16\) \(>\)\(;\)\(4m^2+8m+3\) \(\rightarrow\) \(4m^2-8m-13\) \(<\)\(;\)\(0\) 이다.
만족하는 자연수 \(m\) 은 \(1\)\(,\)\(2\)\(,\)\(3\)이다. \((\)대입 시 \(m=3\) 일 때 \(-1\) \(<\)\(;\)\(0\)\(,\)\(m=4\) 일 때 \(19\) \(>\)\(;\)\(0\))

(1) \(6S_n\) \(=\) \(a_n^2\) \(+\) \(3a_n\) \(-\) \(10\) 이고, \(n\) \(\ge\) \(2\) 일 때 \(6S_{n-1}\) \(=\) \(a_{n-1}^2\) \(+\) \(3a_{n-1}\) \(-\) \(10\)이다.
두 식을 빼면: \(6a_n = a_n^2 - a_{n-1}^2 + 3a_n - 3a_{n-1} \rightarrow a_n^2 - a_{n-1}^2 - 3a_n - 3a_{n-1} = 0\)이다.
인수분해하면: \((a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1}-3) = 0\) 이다.
모든 항이 양수이므로 \(a_n+a_{n-1}\) \(>\)\(;\)\(0\) 이며, \(a_n\) \(-\) \(a_{n-1}\) \(=\) \(3\) \((\) \(n\) \(\ge\) \(2\)) 이다. 따라서 공차가 3인 등차수열을 이룬다.

(2) \(n=1\) 일 때: \(6a_1\) \(=\) \(a_1^2\) \(+\) \(3a_1\) \(-\) \(10\) \(\rightarrow\) \(a_1^2\) \(-\) \(3a_1\) \(-\) \(10\) \(=\) \(0\) \(\rightarrow\) \((a_1-5)(a_1+2)=0\) 이고, \(a_1>\)\(;\)\(0\) 이므로 \(a_1\) \(=\) \(5\)이다.
일반항 \(a_n\) \(=\) \(5\) \(+\) \(3(n-1)\) \(=\) \(3n+2\) 이며, \(a_{10}\) \(=\) \(32\)이다.

(3) \(\sum_{k=1}^{10} a_k = S_{10} = \frac{10(5+32)}{2} = 185\)이다.

(1) \(6S_n\) \(=\) \(a_n^2\) \(+\) \(3a_n\) \(-\) \(10\) 이고, \(n\) \(\ge\) \(2\) 일 때 \(6S_{n-1}\) \(=\) \(a_{n-1}^2\) \(+\) \(3a_{n-1}\) \(-\) \(10\)이다.
두 식을 빼면: \(6a_n = a_n^2 - a_{n-1}^2 + 3a_n - 3a_{n-1} \rightarrow a_n^2 - a_{n-1}^2 - 3a_n - 3a_{n-1} = 0\)이다.
인수분해하면: \((a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1}-3) = 0\) 이다.
모든 항이 양수이므로 \(a_n+a_{n-1}\) \(>\)\(;\)\(0\) 이며, \(a_n\) \(-\) \(a_{n-1}\) \(=\) \(3\) \((\) \(n\) \(\ge\) \(2\)) 이다. 따라서 공차가 3인 등차수열을 이룬다.

(2) \(n=1\) 일 때: \(6a_1\) \(=\) \(a_1^2\) \(+\) \(3a_1\) \(-\) \(10\) \(\rightarrow\) \(a_1^2\) \(-\) \(3a_1\) \(-\) \(10\) \(=\) \(0\) \(\rightarrow\) \((a_1-5)(a_1+2)=0\) 이고, \(a_1>\)\(;\)\(0\) 이므로 \(a_1\) \(=\) \(5\)이다.
일반항 \(a_n\) \(=\) \(5\) \(+\) \(3(n-1)\) \(=\) \(3n+2\) 이며, \(a_{10}\) \(=\) \(32\)이다.

(3) \(\sum_{k=1}^{10} a_k = S_{10} = \frac{10(5+32)}{2} = 185\)이다.

(1) 근과 계수의 관계에 의하여: \(\log_2 \alpha + \log_2 \beta = \frac{m}{2} , \log_2 \alpha \cdot \log_2 \beta = \frac{n}{2}\)이다.
주어진 식은: \(\frac{\log_2\) \(\beta}{\log_2\) \(\alpha}\) \(+\) \(\frac{\log_2\) \(\alpha}{\log_2\) \(\beta}\) \(=\) \(\frac{(\log_2\) \(\alpha\) \(+\) \(\log_2\) \(\beta)^2\) \(-\) \(2\log_2\) \(\alpha\) \(\cdot\) \(\log_2\) \(\beta}{\log_2\) \(\alpha\) \(\cdot\) \(\log_2\) \(\beta}\) \(=\) \(\frac{\frac{m^2}{4}\) \(-\) \(n}{\frac{n}{2}}\) \(=\) \(\frac{m^2-4n}{2n}\) \(=\) \(\frac{1}{4}\) 이다.
\(4m^2-16n\) \(=\) \(2n\) \(\rightarrow\) \(2m^2\) \(=\) \(9n\) 이다. 가장 작은 자연수 \(m\)\(,\)\(n\) 이므로 \(m\) 은 \(3\)의 배수여야 하고, \(m=3\) 일 때 \(n=2\) 이다. 따라서 \(m=3\)이다.

(2) \(n=2\)이다.

(3) \(m=3\)\(,\)\(n=2\) 를 조건 \((\)가\()\)에 대입한다.
\(6^a\) \(=\) \(16^b\) \(=\) \(k^c\) \(=\) \(M\) 이라 하면, \(a\) \(=\) \(\log_6\) \(M\)\(,\)\(b\) \(=\) \(\log_{16}\) \(M\)\(,\)\(c\) \(=\) \(\log_k\) \(M\)이다.
조건 (나)에서 \(ab\) \(=\) \(bc\) \(-\) \(ac\) \(\rightarrow\) \(\frac{1}{c}\) \(=\) \(\frac{1}{a}\) \(-\) \(\frac{1}{b}\) 이다.
\(\frac{1}{\log_k\) \(M}\) \(=\) \(\frac{1}{\log_6\) \(M}\) \(-\) \(\frac{1}{\log_{16}\) \(M}\) \(\rightarrow\) \(\log_M\) \(k\) \(=\) \(\log_M\) \(6\) \(-\) \(\log_M\) \(16\) \(=\) \(\log_M\) \(\frac{6}{16}\) \(=\) \(\log_M\) \(\frac{3}{8}\)이다.
따라서 \(k = \frac{3}{8}\)이다.

(1) 근과 계수의 관계에 의하여: \(\log_2 \alpha + \log_2 \beta = \frac{m}{2} , \log_2 \alpha \cdot \log_2 \beta = \frac{n}{2}\)이다.
주어진 식은: \(\frac{\log_2\) \(\beta}{\log_2\) \(\alpha}\) \(+\) \(\frac{\log_2\) \(\alpha}{\log_2\) \(\beta}\) \(=\) \(\frac{(\log_2\) \(\alpha\) \(+\) \(\log_2\) \(\beta)^2\) \(-\) \(2\log_2\) \(\alpha\) \(\cdot\) \(\log_2\) \(\beta}{\log_2\) \(\alpha\) \(\cdot\) \(\log_2\) \(\beta}\) \(=\) \(\frac{\frac{m^2}{4}\) \(-\) \(n}{\frac{n}{2}}\) \(=\) \(\frac{m^2-4n}{2n}\) \(=\) \(\frac{1}{4}\) 이다.
\(4m^2-16n\) \(=\) \(2n\) \(\rightarrow\) \(2m^2\) \(=\) \(9n\) 이다. 가장 작은 자연수 \(m\)\(,\)\(n\) 이므로 \(m\) 은 \(3\)의 배수여야 하고, \(m=3\) 일 때 \(n=2\) 이다. 따라서 \(m=3\)이다.

(2) \(n=2\)이다.

(3) \(m=3\)\(,\)\(n=2\) 를 조건 \((\)가\()\)에 대입한다.
\(6^a\) \(=\) \(16^b\) \(=\) \(k^c\) \(=\) \(M\) 이라 하면, \(a\) \(=\) \(\log_6\) \(M\)\(,\)\(b\) \(=\) \(\log_{16}\) \(M\)\(,\)\(c\) \(=\) \(\log_k\) \(M\)이다.
조건 (나)에서 \(ab\) \(=\) \(bc\) \(-\) \(ac\) \(\rightarrow\) \(\frac{1}{c}\) \(=\) \(\frac{1}{a}\) \(-\) \(\frac{1}{b}\) 이다.
\(\frac{1}{\log_k\) \(M}\) \(=\) \(\frac{1}{\log_6\) \(M}\) \(-\) \(\frac{1}{\log_{16}\) \(M}\) \(\rightarrow\) \(\log_M\) \(k\) \(=\) \(\log_M\) \(6\) \(-\) \(\log_M\) \(16\) \(=\) \(\log_M\) \(\frac{6}{16}\) \(=\) \(\log_M\) \(\frac{3}{8}\)이다.
따라서 \(k = \frac{3}{8}\)이다.

(1) \(x=2\) 에서 연속 조건: \(\lim_{x\) \(\to\) \(2^-}\) \(f(x)\) \(=\) \(-6\) \(=\) \(\lim_{x\) \(\to\) \(2^+}\) \(f(x)\) \(=\) \(3(2-a)\) \(\rightarrow\) \(6-3a\) \(=\) \(-6\) \(\rightarrow\) \(a=4\)이다.

(2) \(f(x)\) \(=\) \(\begin{cases}\) \(-3x\) \(&\) \((x\) \(<\)\(;\)\(2)\) \(\\\) \(3x-12\) \(&\) \((x\) \(\ge\) \(2)\) \(\end{cases}\) 이므로, \(g'(x)\) \(=\) \(\begin{cases}\) \(-3x(x-2)\) \(&\) \((x\) \(<\)\(;\)\(2)\) \(\\\) \(3(x-2)(x-4)\) \(&\) \((x\) \(\ge\) \(2)\) \(\end{cases}\) 이다.
- \(x\) \(<\)\(;\)\(2\) 일 때: \(g(x)\) \(=\) \(\int_0^x\) \((-3t^2+6t)dt\) \(=\) \(-x^3+3x^2\)이다.
- \(x\) \(\ge\) \(2\) 일 때: \(g(x)\) \(=\) \(\int_2^x\) \((3t^2-18t+24)dt\) \(+\) \(g(2)\) 이며, \(g(2)\) \(=\) \(4\) 이므로 \(g(x)\) \(=\) \(x^3-9x^2+24x-16\)이다.

(3) \(g'(x)\) \(=\) \(0\) 인 점은 \(x=0\)\(,\)\(2\)\(,\)\(4\)이다.
극댓값은 \(g(2)\) \(=\) \(4\) 이고, 극솟값은 \(g(0)\) \(=\) \(0\)\(,\)\(g(4)\) \(=\) \(0\)이다.
- \(y=0\) 과의 교점 \(b\)\(:\)\(x=0\) 과 \(x=4\) 에서 극솟값 \(0\)으로 접하므로 교점은 단 \(2\)개이다.
- \(y=3\) 과의 교점 \(c\) : 극대 \(4\)와 극소 \(0\) 사이의 수이므로 교점은 \(4\)개이다.
따라서 \(b+c = 2 + 4 = 6\)이다.

(1) \(x=2\) 에서 연속 조건: \(\lim_{x\) \(\to\) \(2^-}\) \(f(x)\) \(=\) \(-6\) \(=\) \(\lim_{x\) \(\to\) \(2^+}\) \(f(x)\) \(=\) \(3(2-a)\) \(\rightarrow\) \(6-3a\) \(=\) \(-6\) \(\rightarrow\) \(a=4\)이다.

(2) \(f(x)\) \(=\) \(\begin{cases}\) \(-3x\) \(&\) \((x\) \(<\)\(;\)\(2)\) \(\\\) \(3x-12\) \(&\) \((x\) \(\ge\) \(2)\) \(\end{cases}\) 이므로, \(g'(x)\) \(=\) \(\begin{cases}\) \(-3x(x-2)\) \(&\) \((x\) \(<\)\(;\)\(2)\) \(\\\) \(3(x-2)(x-4)\) \(&\) \((x\) \(\ge\) \(2)\) \(\end{cases}\) 이다.
- \(x\) \(<\)\(;\)\(2\) 일 때: \(g(x)\) \(=\) \(\int_0^x\) \((-3t^2+6t)dt\) \(=\) \(-x^3+3x^2\)이다.
- \(x\) \(\ge\) \(2\) 일 때: \(g(x)\) \(=\) \(\int_2^x\) \((3t^2-18t+24)dt\) \(+\) \(g(2)\) 이며, \(g(2)\) \(=\) \(4\) 이므로 \(g(x)\) \(=\) \(x^3-9x^2+24x-16\)이다.

(3) \(g'(x)\) \(=\) \(0\) 인 점은 \(x=0\)\(,\)\(2\)\(,\)\(4\)이다.
극댓값은 \(g(2)\) \(=\) \(4\) 이고, 극솟값은 \(g(0)\) \(=\) \(0\)\(,\)\(g(4)\) \(=\) \(0\)이다.
- \(y=0\) 과의 교점 \(b\)\(:\)\(x=0\) 과 \(x=4\) 에서 극솟값 \(0\)으로 접하므로 교점은 단 \(2\)개이다.
- \(y=3\) 과의 교점 \(c\) : 극대 \(4\)와 극소 \(0\) 사이의 수이므로 교점은 \(4\)개이다.
따라서 \(b+c = 2 + 4 = 6\)이다.

(1) 평행사변형 \(\text{ABCD} 의 넓이는 2S\)이다.
- \(\text{Area}(\text{PAR}) = \frac{1}{2} \overline{\text{AP}} \cdot \overline{\text{AR}} \sin(\pi-\alpha) = \frac{1}{2} ( (m-1)c ) ( mb ) \sin\alpha = m(m-1)S\)이다.
- \(\text{Area}(\text{QBP}) = \frac{1}{2} \overline{\text{BQ}} \cdot \overline{\text{BP}} \sin(\pi-\beta) = m(m-1)S\)이다.
- \(\text{Area}(\text{RCQ}) = \frac{1}{2} \overline{\text{CR}} \cdot \overline{\text{CQ}} \sin(\pi-\gamma) = m(m-1)S\)이다.

(2) 삼각형 \(\text{PQR}\) 의 넓이는 \(S\) \(+\) \(3m(m-1)S\) \(=\) \((3m^2-3m+1)S\)이다.
이 값이 평행사변형 넓이 \(2S\) 와 같으므로, \(3m^2-3m+1\) \(=\) \(2\) \(\rightarrow\) \(3m^2-3m-1=0\)이다.
근의 공식에 의하여 \(m\) \(=\) \(\frac{3\) \(\pm\) \(\sqrt{21}}{6}\) 이고, \(m>\)\(;\)\(1\) 이므로 \(m\) \(=\) \(\frac{3+\sqrt{21}}{6}\)이다.

(1) 평행사변형 \(\text{ABCD} 의 넓이는 2S\)이다.
- \(\text{Area}(\text{PAR}) = \frac{1}{2} \overline{\text{AP}} \cdot \overline{\text{AR}} \sin(\pi-\alpha) = \frac{1}{2} ( (m-1)c ) ( mb ) \sin\alpha = m(m-1)S\)이다.
- \(\text{Area}(\text{QBP}) = \frac{1}{2} \overline{\text{BQ}} \cdot \overline{\text{BP}} \sin(\pi-\beta) = m(m-1)S\)이다.
- \(\text{Area}(\text{RCQ}) = \frac{1}{2} \overline{\text{CR}} \cdot \overline{\text{CQ}} \sin(\pi-\gamma) = m(m-1)S\)이다.

(2) 삼각형 \(\text{PQR}\) 의 넓이는 \(S\) \(+\) \(3m(m-1)S\) \(=\) \((3m^2-3m+1)S\)이다.
이 값이 평행사변형 넓이 \(2S\) 와 같으므로, \(3m^2-3m+1\) \(=\) \(2\) \(\rightarrow\) \(3m^2-3m-1=0\)이다.
근의 공식에 의하여 \(m\) \(=\) \(\frac{3\) \(\pm\) \(\sqrt{21}}{6}\) 이고, \(m>\)\(;\)\(1\) 이므로 \(m\) \(=\) \(\frac{3+\sqrt{21}}{6}\)이다.

(1) 피적분함수 식을 정리한다. \(\int\) \(\{\) \(f(x)-3+xf'(x)\) \(\}dx\) \(=\) \(\int\) \(\{\) \((xf(x))'\) \(-\) \(3\) \(\}dx\) \(=\) \(xf(x)\) \(-\) \(3x\) \(+\) \(C\) \(=\) \(x^4-x^3\) 이다.
\(x=0\) 을 대입하면 \(C\) \(=\) \(0\) 이다. 따라서 \(xf(x)\) \(=\) \(x^4-x^3+3x\) \(\rightarrow\) \(f(x)\) \(=\) \(x^3-x^2+3\) 이다.
\(f'(x)\) \(=\) \(3x^2-2x\) \(=\) \(0\) \(\rightarrow\) \(x\) \(=\) \(0\)\(,\)\(\frac{2}{3}\) 이며, 극대점은 \(x=0\) 이다. 극댓값 \(f(0)\) \(=\) \(3\)이다.

(2) \(f(1)\) \(=\) \(3\) 이고, \(f'(1)\) \(=\) \(1\) 이다. 접선의 방정식 \(\ell\) 은 \(y-3\) \(=\) \(1(x-1)\) \(\rightarrow\) \(y\) \(=\) \(x+2\)이다.

(3) 교점은 \(x^3-x^2+3 = x+2 \rightarrow (x-1)^2(x+1) = 0 \rightarrow x = -1, 1\)이다.
넓이 \(S = \int_{-1}^1 ( (x+2) - (x^3-x^2+3) ) dx = \int_{-1}^1 (-x^3+x^2+x-1)dx = 2\int_0^1 (x^2-1)dx = \frac{4}{3}\)이다.

(1) 피적분함수 식을 정리한다. \(\int\) \(\{\) \(f(x)-3+xf'(x)\) \(\}dx\) \(=\) \(\int\) \(\{\) \((xf(x))'\) \(-\) \(3\) \(\}dx\) \(=\) \(xf(x)\) \(-\) \(3x\) \(+\) \(C\) \(=\) \(x^4-x^3\) 이다.
\(x=0\) 을 대입하면 \(C\) \(=\) \(0\) 이다. 따라서 \(xf(x)\) \(=\) \(x^4-x^3+3x\) \(\rightarrow\) \(f(x)\) \(=\) \(x^3-x^2+3\) 이다.
\(f'(x)\) \(=\) \(3x^2-2x\) \(=\) \(0\) \(\rightarrow\) \(x\) \(=\) \(0\)\(,\)\(\frac{2}{3}\) 이며, 극대점은 \(x=0\) 이다. 극댓값 \(f(0)\) \(=\) \(3\)이다.

(2) \(f(1)\) \(=\) \(3\) 이고, \(f'(1)\) \(=\) \(1\) 이다. 접선의 방정식 \(\ell\) 은 \(y-3\) \(=\) \(1(x-1)\) \(\rightarrow\) \(y\) \(=\) \(x+2\)이다.

(3) 교점은 \(x^3-x^2+3 = x+2 \rightarrow (x-1)^2(x+1) = 0 \rightarrow x = -1, 1\)이다.
넓이 \(S = \int_{-1}^1 ( (x+2) - (x^3-x^2+3) ) dx = \int_{-1}^1 (-x^3+x^2+x-1)dx = 2\int_0^1 (x^2-1)dx = \frac{4}{3}\)이다.

(1) \(x^3\) \(+\) \(4x^2\) \(-\) \(6x\) \(+\) \(8\) \(=\) \(x^2\) \(+\) \(18x\) \(+\) \(b\) \(\rightarrow\) \(x^3\) \(+\) \(3x^2\) \(-\) \(24x\) \(+\) \(8\) \(=\) \(b\) 이다.
\(h(x)\) \(=\) \(x^3\) \(+\) \(3x^2\) \(-\) \(24x\) \(+\) \(8\) 이라 하면, \(h'(x)\) \(=\) \(3x^2\) \(+\) \(6x\) \(-\) \(24\) \(=\) \(3(x+4)(x-2)\) \(=\) \(0\) 이다.
극대 \(h(-4)\) \(=\) \(88\) , 극소 \(h(2)\) \(=\) \(-20\) 이므로 교점이 \(2\)개일 조건은 극값에 걸칠 때인 \(b\) \(=\) \(-20\) 또는 \(b\) \(=\) \(88\)이다.

(2) \(x^3\) \(+\) \(3x^2\) \(-\) \(9x\) \(+\) \(8\) \(=\) \(b\) 이다.
\(k(x)\) \(=\) \(x^3\) \(+\) \(3x^2\) \(-\) \(9x\) \(+\) \(8\) 이라 하면, \(k'(x)\) \(=\) \(3x^2\) \(+\) \(6x\) \(-\) \(9\) \(=\) \(3(x+3)(x-1)\) \(=\) \(0\) 이다.
열린구간 \((-2\)\(,\)\(1)\) 에서 \(k'(x)\) \(<\)\(;\)\(0\) 이므로 단조감소한다.
\(k(-2)\) \(=\) \(30\)\(,\)\(k(1)\) \(=\) \(3\) 이므로 범위는 \(3\) \(<\)\(;\)\(b\) \(<\)\(;\)\(30\)이다.

(3) \(f(x)-g(x)\) \(=\) \(x^3\) \(+\) \(3x^2\) \(-\) \((6+a)x\) \(+\) \(8-b\) \(=\) \(0\) 이 모든 \(b\) 에 대해 오직 한 실근을 가지려면, 도함수 \(y\) \(=\) \(3x^2\) \(+\) \(6x\) \(-\) \((6+a)\) \(\ge\) \(0\) 이 항상 성립해야 한다.
판별식 \(D/4 = 9 + 3(6+a) = 3a + 27 \le 0 \rightarrow a \le -9\)이다.

(1) \(x^3\) \(+\) \(4x^2\) \(-\) \(6x\) \(+\) \(8\) \(=\) \(x^2\) \(+\) \(18x\) \(+\) \(b\) \(\rightarrow\) \(x^3\) \(+\) \(3x^2\) \(-\) \(24x\) \(+\) \(8\) \(=\) \(b\) 이다.
\(h(x)\) \(=\) \(x^3\) \(+\) \(3x^2\) \(-\) \(24x\) \(+\) \(8\) 이라 하면, \(h'(x)\) \(=\) \(3x^2\) \(+\) \(6x\) \(-\) \(24\) \(=\) \(3(x+4)(x-2)\) \(=\) \(0\) 이다.
극대 \(h(-4)\) \(=\) \(88\) , 극소 \(h(2)\) \(=\) \(-20\) 이므로 교점이 \(2\)개일 조건은 극값에 걸칠 때인 \(b\) \(=\) \(-20\) 또는 \(b\) \(=\) \(88\)이다.

(2) \(x^3\) \(+\) \(3x^2\) \(-\) \(9x\) \(+\) \(8\) \(=\) \(b\) 이다.
\(k(x)\) \(=\) \(x^3\) \(+\) \(3x^2\) \(-\) \(9x\) \(+\) \(8\) 이라 하면, \(k'(x)\) \(=\) \(3x^2\) \(+\) \(6x\) \(-\) \(9\) \(=\) \(3(x+3)(x-1)\) \(=\) \(0\) 이다.
열린구간 \((-2\)\(,\)\(1)\) 에서 \(k'(x)\) \(<\)\(;\)\(0\) 이므로 단조감소한다.
\(k(-2)\) \(=\) \(30\)\(,\)\(k(1)\) \(=\) \(3\) 이므로 범위는 \(3\) \(<\)\(;\)\(b\) \(<\)\(;\)\(30\)이다.

(3) \(f(x)-g(x)\) \(=\) \(x^3\) \(+\) \(3x^2\) \(-\) \((6+a)x\) \(+\) \(8-b\) \(=\) \(0\) 이 모든 \(b\) 에 대해 오직 한 실근을 가지려면, 도함수 \(y\) \(=\) \(3x^2\) \(+\) \(6x\) \(-\) \((6+a)\) \(\ge\) \(0\) 이 항상 성립해야 한다.
판별식 \(D/4 = 9 + 3(6+a) = 3a + 27 \le 0 \rightarrow a \le -9\)이다.