[논제 1] \(f(x) = \sin 2x - \cos 2x\)라 하면 미분계수의 정의에 의해
\[ \lim_{x \to a} \frac{1}{x - a}\int_{a}^{x} (\sin 2t - \cos 2t) dt = f(a) = \sin 2a - \cos 2a = 0 \]
이다. \(\sin 2a = \cos 2a\)로부터 \(\tan 2a = 1\)이다. \(a > 0\)이므로 \(2a > 0\)이고, \(2a\)의 최솟값은 \(\frac{\pi}{4}\)이다. 따라서 양수 \(a\)의 최솟값은 \(\frac{\pi}{8}\)이다.

[논제 2] \(a = \frac{\pi}{8}\)일 때
\[ g(x) = \int_{\pi/8}^{x} (\sin 2t - \cos 2t) dt = \left[ -\frac{1}{2}\cos 2t - \frac{1}{2}\sin 2t \right]_{\pi/8}^{x} = -\frac{1}{2}(\cos 2x + \sin 2x) + \frac{\sqrt{2}}{2} \]
이다. 삼각함수의 곱의 적분 공식과 치환적분법을 적용하면
\[ \begin{aligned} \int_{0}^{\pi/4} g(x)\cos 2x dx &= \int_{0}^{\pi/4} \left( -\frac{1}{2}(\cos 2x + \sin 2x) + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cos 2x dx \\ &= -\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4} \cos^2 2x dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/4} \sin 2x \cos 2x dx + \frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{\pi/4} \cos 2x dx \\ &= -\frac{1}{2}\left[\frac{x}{2} + \frac{\sin 4x}{8}\right]_{0}^{\pi/4} - \frac{1}{4}\left[\frac{\sin^2 2x}{2}\right]_{0}^{\pi/4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\left[\frac{\sin 2x}{2}\right]_{0}^{\pi/4} \\ &= -\frac{\pi}{16} - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{4\sqrt{2} - \pi - 2}{16} \end{aligned} \] 이다.

[논제 3] 점 \(P(t, g(t))\)에서의 접선의 방정식은 \(y - g(t) = g'(t)(x - t)\)이다.
접선의 \(y\)절편 \(Y(t)\)는 \(x = 0\)일 때의 값이므로 \(Y(t) = g(t) - tg'(t)\)이다.
\(Y'(t) = g'(t) - g'(t) - tg''(t) = -tg''(t)\)이다.
\(g''(t) = f'(t) = 2\cos 2t + 2\sin 2t = 2\sqrt{2}\sin\left(2t + \frac{\pi}{4}\right)\)이다.
닫힌구간 \(\left[0, \frac{\pi}{4}\right]\)에서 \(0 \le t \le \frac{\pi}{4}\)이므로 \(\frac{\pi}{4} \le 2t + \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}\)이고 \(\sin\left(2t + \frac{\pi}{4}\right) \ge \frac{\sqrt{2}}{2} > 0\)이다.
따라서 \(t > 0\)일 때 \(g''(t) > 0\)이므로 \(Y'(t) = -tg''(t) \le 0\)이다.
그러므로 \(Y(t)\)는 닫힌구간 \(\left[0, \frac{\pi}{4}\right]\)에서 단조감소한다.
• 최댓값: \(t = 0\)일 때 \(Y(0) = g(0) = -\frac{1}{2}(\cos 0 + \sin 0) + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}\)
• 최솟값: \(t = \frac{\pi}{4}\)일 때
\[ \begin{aligned} Y\left(\frac{\pi}{4}\right) &= g\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{4}g'\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ &= \left(-\frac{1}{2}(0 + 1) + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \frac{\pi}{4}\left(\sin\frac{\pi}{2} - \cos\frac{\pi}{2}\right) \\ &= \frac{\sqrt{2} - 1}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{2\sqrt{2} - \pi - 2}{4} \end{aligned} \] 이다.

[논제 1] 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 0\)이므로 \(f(2) = 0\)이고 \(f'(2) = 0\)이다. 따라서 \(f(x) = (x-2)^2(x-p)\)로 나타낼 수 있다.
또한 \(f(-2) = 0\)이므로 \((-4)^2(-2-p) = 0 \implies p = -2\).
따라서 \(f(x) = (x-2)^2(x+2) = (x^2-4)(x-2) = x^3 - 2x^2 - 4x + 8\)이다.

조건 \(\int_{-2}^{2} f(x)g(x) dx = 0\)에서 \(f(x) = (x^3 - 4x) + (-2x^2 + 8)\)로 기함수 부분과 우함수 부분으로 분리하면, 기함수 \(g(x)\)와의 곱에서 우함수 부분이 0이 되므로
\[ \int_{-2}^{2} (x^3 - 4x)g(x) dx = 2\int_{0}^{2} (x^3 - 4x)g(x) dx = 0 \]
이다.

[논제 2] \(g(x)\)의 그래프 개형 및 구간별 적분을 분석하자.
\(k(t) = \int_{t}^{t+2} |f(x) - g(x)| dx\)의 극값을 구하기 위해 도함수를 조사하면
\[ k'(t) = |f(t+2) - g(t+2)| - |f(t) - g(t)| = 0 \]
이다.

이 방정식의 근을 구하면 \(t = -1\)에서 극솟값을 가지며, 그때의 최솟값은
\[ k(-1) = \int_{-1}^{1} |f(x) - g(x)| dx = \frac{16}{3} \]
이다.

[논제 1] \(f(x) = \frac{1}{x+1}\)이라 하면 \(f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}\)이다. 점 \(P\left(t, \frac{1}{t+1}\right)\)에서의 접선 \(l\)의 방정식은
\[ y - \frac{1}{t+1} = -\frac{1}{(t+1)^2}(x - t) \]
이다. \(x\)절편은 \(2t+1\)이고, \(y\)절편은 \(\frac{2t+1}{(t+1)^2}\)이다. 따라서 접선 \(l\)과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이 \(S(t)\)는
\[ S(t) = \frac{1}{2}(2t+1)\frac{2t+1}{(t+1)^2} = \frac{(2t+1)^2}{2(t+1)^2} \]
이다. 도함수를 구하면 \(S'(t) = \frac{2(2t+1)}{(t+1)^3}\)이므로 \(S'(t) = 0\)에서 \(t = -\frac{1}{2}\)이다. \(t = -\frac{1}{2}\)에서 극소이자 최소이므로, 넓이의 최솟값은 \(S\left(-\frac{1}{2}\right) = 0\)이다.

[논제 2] \(g(t) = S(t) = \frac{(2t+1)^2}{2(t+1)^2}\)에서 \(g'(t) = \frac{2(2t+1)}{(t+1)^3}\)이다. 우함수 대칭성과 치환적분법을 적용하면
\[ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} [\ln(|g'(t)| + 1)]^2 dt &= 2\int_{0}^{1/2} [\ln(2t+1)]^2 dt + 2\int_{1/2}^{1} [\ln(2t+1)]^2 dt \\ &= 2(\ln 2)^2 - 4\ln 2 + 2 \end{aligned} \] 이다.

[논제 3] 최고차항의 계수가 1인 사차함수 \(h(x)\)에 대하여 직선 \(y = k\)와의 교점의 개수 함수 \(n(k)\)를 생각하자.
\(n(k)\)가 \(k = 0\) 및 \(k = 1\)에서 불연속이므로 사차함수 \(h(x)\)는 두 극솟값 0과 극댓값 1을 갖는 완전 대칭 꼴이어야 한다.
따라서 \(h(x) = (x - 1)^2(x - s)^2\) (\(s \ne 1\))의 형태로 인수분해된다.
대칭성에 의해 극댓값은 두 극솟점의 중점인 \(x = \frac{s+1}{2}\)에서 발생하며, 그 값은
\[ h\left(\frac{s+1}{2}\right) = \left(\frac{s-1}{2}\right)^2 \left(-\frac{s-1}{2}\right)^2 = \left(\frac{s-1}{2}\right)^4 = 1 \]
이다. \((s - 1)^4 = 16 \implies s - 1 = \pm 2 \implies s = 3 \text{ 또는 } s = -1\).
조건에 따라 \(s = 3\)일 때 \(h(x) = (x - 1)^2(x - 3)^2\)이다.

따라서 구하는 함숫값 \(h(4)\)는
\[ h(4) = (4 - 1)^2(4 - 3)^2 = 3^2 \times 1^2 = 9 \]
이다.

[논제 1] 먼저 닫힌구간 \([4, 6]\)에서 주어진 조건을 만족하는 \(t\)를 찾자.
\(\int_{0}^{4} f(x)dx = \int_{0}^{2} \sin(\pi x)dx + \int_{2}^{4} \sin(2\pi x)dx = 0\)이므로
\[ \frac{1}{6\pi} = \int_{0}^{t} f(x)dx = \int_{4}^{t} \sin(3\pi x)dx = \left[ -\frac{1}{3\pi}\cos(3\pi x) \right]_{4}^{t} = \frac{1 - \cos 3\pi t}{3\pi} \]
즉, \(\frac{1 - \cos 3\pi t}{3\pi} = \frac{1}{6\pi} \implies \cos 3\pi t = \frac{1}{2}\)이다.
닫힌구간 \([4, 6]\)에서 \(3\pi t \in [12\pi, 18\pi]\)이므로 \(\cos 3\pi t = \frac{1}{2}\)을 만족시키는 \(t\)의 값은
\[ t = \frac{37}{9}, \frac{41}{9}, \frac{43}{9}, \frac{47}{9}, \frac{49}{9}, \frac{53}{9} \]
이다. 그러므로 닫힌구간 \([0, 6]\)에서 주어진 조건을 만족시키는 \(t\)의 최댓값은 \(\frac{53}{9}\)이다.

[논제 2] 구간별로 \(\int_{0}^{k} f(x)dx = 0\)을 만족시키는 실수 \(k\)의 개수를 조사하면
• \(0 \le k < 2\)에서 \(\int_{0}^{k} \sin(\pi x)dx = 0\)인 \(k\)의 개수: \(k = 0\) (1개)
• \(2 \le k < 4\)에서 \(\int_{2}^{k} \sin(2\pi x)dx = 0\)인 \(k\)의 개수: \(k = 2, 3\) (2개)
• \(4 \le k < 6\)에서 \(\int_{4}^{k} \sin(3\pi x)dx = 0\)인 \(k\)의 개수: \(k = 4, 4+\frac{2}{3}, 4+\frac{4}{3}\) (3개)
• \(6 \le k < 8\)에서 \(\int_{6}^{k} \sin(4\pi x)dx = 0\)인 \(k\)의 개수: \(k = 6, 6+\frac{1}{2}, 6+1, 6+\frac{3}{2}\) (4개)
• \(8 \le k < 10\)에서 \(\int_{8}^{k} \sin(5\pi x)dx = 0\)인 \(k\)의 개수: \(k = 8, 8+\frac{2}{5}, 8+\frac{4}{5}, 8+\frac{6}{5}, 8+\frac{8}{5}\) (5개)
이므로 구간 \(0 \le k < 10\)에서 \(\int_{0}^{k} f(x)dx = 0\)인 실수 \(k\)의 개수는 \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\)개이다.

따라서 \(10 \le k \le m\)일 때 \(\int_{0}^{k} f(x)dx = \int_{10}^{k} f(x)dx = 0\)을 만족시키는 \(k\)의 개수가 \(18 - 15 = 3\)개이어야 한다.
\(10 \le x < 12\)일 때 \(f(x) = \sin(6\pi x)\)이므로 \(\cos 6\pi k = 1\)을 만족시키는 \(k\)는 \(10, 10+\frac{1}{3}, 10+\frac{2}{3}, 11, \dots\)
따라서 구간 \(10 \le k \le m\)인 \(k\)가 3개(\(10, \frac{31}{3}, \frac{32}{3}\))뿐이기 위한 \(m\)의 범위는
\[ \frac{32}{3} \le m < 11 \]

[논제 1] \(f(x) = \int_{1}^{x} \frac{2t}{t^2 + 3} dt\)에서 \(u = t^2 + 3\)으로 치환하면 \(du = 2t dt\)이다.
\[ f(x) = \left[ \ln(t^2 + 3) \right]_{1}^{x} = \ln(x^2 + 3) - \ln 4 = \ln\left(\frac{x^2 + 3}{4}\right) \]
점 \((1, 0)\)에서의 접선의 기울기는 \(f'(1) = \frac{1}{2}\)이므로 접선의 방정식은 \(y = \frac{1}{2}(x - 1)\)이다.

[논제 2] \(f''(x) = \frac{2(3 - x^2)}{(x^2 + 3)^2}\)이므로 \(f''(x) = 0\)에서 변곡점은 \(x = \sqrt{3}\)이다.
구간 \((0, \sqrt{3})\)에서 \(f''(x) > 0\)이므로 아래로 볼록이고, 구간 \((\sqrt{3}, \infty)\)에서 \(f''(x) < 0\)이므로 위로 볼록이다.

[논제 1] \(f(x) = ax^2 + bx + c\) (\(a < 0\))라 하면 \(g(x) = (ax^2 + (4a+b)x + 2a + 2b + c)e^{2x}\)이다.
조건 (1)에서 \(g(x)\)가 \(x = 1\)에서 변곡점을 가지므로 \(g''(1) = 0 \implies 9a + 6b + c = 0\)이다.
조건 (2)에서 극댓값이 \(e\)이므로 연립하여 계수를 구하면 \(a = -1\), \(b = 2\), \(c = -3\)이다.
따라서 이차함수는 \(f(x) = -x^2 + 2x - 3\)이다.

[논제 1] 곡선 \(y = \sqrt{x}\) 위의 점 \(B_3(t, \sqrt{t})\)에 대하여 삼각형 \(AB_2 B_3\)의 넓이가 최대가 되려면 점 \(B_3\)에서의 접선의 기울기가 직선 \(AB_2\)의 기울기(1)와 같아야 한다.
\[ \frac{1}{2\sqrt{t}} = 1 \implies \sqrt{t} = \frac{1}{2} \implies t = \frac{1}{4} \]
따라서 점 \(B_3\)의 좌표는 \(\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)\)이다.

[논제 2] 정적분을 이용하여 도형의 넓이를 계산하면
\[ S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \]
이다.

[논제 1] \(x = 0\)일 때 조건 (1)에서 \(f(2) = f(0) + 2\)이고 조건 (2)에서 \(f(0) + f(2) = 2\)이므로 연립하면 \(f(0) = 0\), \(f(2) = 2\)이다.
역함수의 정적분 성질에 의해 \(\int_{0}^{2} f^{-1}(x)dx = 2 \times 2 - \int_{0}^{2} f(x)dx = 4 - 1 = 3\)이다.

[논제 2] \(f'(x) \ge 0\)이므로 일대일대응이고 접선의 기울기의 최댓값은 \(f'(1) = 3\)이다.

[논제 1] 자연수 \(n\)에 대하여 함수 \(f(x) = nx^2 e^{-x}\)의 도함수는 곱의 미분법에 의하여
\[ f'(x) = 2nxe^{-x} - nx^2 e^{-x} = nx(2 - x)e^{-x} \]
\(f'(x) = 0\)에서 \(x = 0\) 또는 \(x = 2\)이다.
\(x = 0\)에서 극솟값 \(f(0) = 0\), \(x = 2\)에서 극댓값 \(f(2) = 4ne^{-2}\)을 갖는다.
방정식 \(f(x) = k\)의 서로 다른 실근의 개수가 2개가 되도록 하는 양수 \(k\)의 값은 극댓값이므로 \(k = \frac{4n}{e^2}\)이다.

[논제 2] 부분적분법을 2회 적용하여 정적분을 계산하면
\[ \int_{0}^{2} nx^2 e^{-x} dx = n(2 - 10e^{-2}) \]
이 값이 자연수가 되도록 하는 최소의 자연수 \(n\)의 조건을 구하면 된다.

[논제 1] 함수 \(h(x) = e^x - |x^2 - ex|\)에서 절댓값 안의 식 \(x^2 - ex = x(x - e)\)의 부호에 따라 구간을 나눈다.
(i) \(x \le 0\) 또는 \(x \ge e\)일 때: \(h(x) = e^x - x^2 + ex\)
(ii) \(0 < x < e\)일 때: \(h(x) = e^x + x^2 - ex\)
각 구간의 도함수를 구하여 그래프 개형을 그리면 \(x = 0\)에서 극솟값 \(h(0) = 1\), \(x = e\)에서 극솟값 \(h(e) = e^e\)를 갖는다.

[논제 2] 직선 \(y = k\)와의 교점의 개수는 \(k\)의 값의 범위에 따라 최대 4개의 실근을 가질 수 있다.